最新青岛版七年级数学下册12.2完全平方公式公开课优质PPT课件(3)

(5)(b a )(a b) (6)(3 x 5 y )(3 x 5 y )
数学表达式
★结构特点
1.左边是两个二项式相乘，并且有一项完全相同；另一项互为相反数
2.右边是乘式中两项的平方差，即（相同项）2 -（相反项）2
★字母a、b的代表性：
a、b可以表示数，还可以表示单项式或多项式。
学校有一个边长为 a米的正方形花坛， 现在要进行改建，将它的一边增加2 米，而另一边缩短2米. 问正方形花坛改建后的面积是多少？
平方差公式
1、会推导平方差公式：(a+b)(a-b)=a² -b² ， 了解公式的几何解释，并能运用公式进行计算。 2、经历探索平方差公式的过程，发展符号意识，体会 特殊→一般→特殊的认识规律和数形结合思想。 3、通过自主探究，合作交流活动，体验合作学习的快 乐。 【学习重点和难点】 1、学习重点：平方差公式的推导和应用 2、学习难点：平方差公式的几何拼图验证及灵 活运用平方差公式
2 4
你能根据上题计算: (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)(264+1)
A组： 1、下面各式的计算对不对？如果不对，应当 怎样 改正？ ( 1 ) (x+2)(x-2)=x2-2 （） ( 2 ) (-a-b)(a-b)=-a2+b2 （） ( 3 ) (3a-2)(-3a-2)=9a2-4 （） ( 4 ) (x+y)(-x-y)=x2-y2 （） B组： 2、运用平方差公式计算下列各式 （1）(m+1)(m −1)(m2+1) （2）73×67
一、知识：
1、试用语言表述平方差公式 (a+b)(a−b)=a2−b2。

公式特点：
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
1、积为二次三项式； 2、积中两项为两数的平方和； 3、另一项是两数积的2倍，且与乘式中
4、公式中的字母a，b可以表示数，单项式和 多项式。
首平方，末平方， 间的符号相同。 首末两倍中间放 , 中间符号中间定
完全平方公式： 2 2 2 (a+b) = a +2ab+b (a+b)2= a2 +2ab+b2
第12章 乘法公式与因式分解
12.2完全平方公式
聪明的同学们，口答下列式子是否相等：
(3+8)² ≠ 3²+8² (4+6)² ≠ 4²+6² (8-3)² (6-4)² ≠ 8²-3² ≠ 6²-4²
2 2 2 判断：(x+y) =x +y
×
学生抢答： (3+8)² =3² +8² + ▁(2 ×3 ×8 ) (4+6)² =4² +6² + ▁( 2 ×4 ×6 )
课堂小结：
(a+b)2= a2 +2ab+b2 1、完全平方公式：
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
2、注意：项数、符号、字母及其指数； 3、公式的逆向使用： 4、解题时常用结论：
a2 +2ab+b2 = (a+b)2
a2 - 2ab+b2= (a-b)2
(-a-b)2 =(a+b)2 (a-b)2 =(b-a)2
语言表达：
两数和（差）的平方等于 这两个数的平方和加上（减去） 它们乘积的2倍。
例1：运用完全平方公式计算：
(2)

=a2＋4ab＋4b2－9c2
你能说出每一步理论依据吗？
第九页，共十四页。
例4 计算（a+b）3
• 解 （a+b）3 =（a+b)(a+b）2
•
= (a+b)(a2+2ab+b2)
• =a3+2a2b+ab2+a2b+2ab2+b3
• =a3+3a2b+3ab2+b3
第十页，共十四页。
计算：1、(2a－3b+c)(2a －
青岛版七年级数学下册《完全平方公式》ppt
科 目：数学 适用版本：青岛版 适用范围：【教师教学】
12.2 完全平方公式
第一页，共十四页。
目标导航
1、熟练利用完全平方公式进行计算； 2、灵活运用平方差与完全平方公式进行混合
运算； 3、在应用乘法公式进行计算的过程中，感受
乘法公式的作用和价值。
第二页，共十四页。
前两节你学过哪些乘法公式？
a2 - b2 = (a+b)(a-b)
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
第三页，共十四页。
1、（x+3)(x－3）= 2 、（ 2x+5)2 =
X2－9
4x2+20x+25
3、 (a2+b2)(a2 －b2)= 4 、（－3m+4n)2=
= x2 4y2 x2 4xy 4y2 8y2
=－4xy
你能说出每一步运理论依据吗？
第六页，共十四页。
计算：1、[2(m＋1)]2－(2m＋1)(2m—1)

公式推导
通过代数运算和因式分解，将完 全平方公式进行推导，理解其结
构特点和内在规律。
理解意义
明确完全平方公式的几何意义，将 其与实际图形相结合，加深对公式 的理解。
公式变形
掌握完全平方公式的变形技巧，能 够灵活运用公式进行计算和证明。
完全平方公式的应用
代数计算
利用完全平方公式进行代数式的 化简和计算，简化复杂问题，提
完全平方公式可以用于解 决代数问题，例如因式分 解、求代数式的值等。
证明数学定理
完全平方公式是数学证明 中的重要工具，可以用于 证明一些数学定理和性质。
解决实际问题
在一些实际问题中，如物 理、工程、经济等领域， 完全平方公式可以用于建 模和计算。
完全平方公式的推导
通过多项式展开和合并同类项，可以 得到完全平方公式的形式。
通过展开 (a+b)^2 和 (a-b)^2 来证明完全平方公式。
证明方法二
利用多项式乘法法则来证明完全 平方公式。
完全平方公式的应用实例
例子1
将表达式 x^2 + 4x + 4 化简为 (x+2)^2。
例子2
利用完全平方公式解决代数问题，例如求 (x+3)^2 的值。
04
完全平方公式的扩展
完全平方公式的推导
式方公式不成立 ，然后推导出矛盾，从而证明
完全平方公式的正确性。
完全平方公式的应用
解决代数问题
利用完全平方公式可以解 决一些代数问题，如因式 分解、求值等。
解决几何问题
利用完全平方公式可以将 一些几何问题转化为代数 问题，从而简化计算过程。
解决实际问题
在一些实际问题中，如建 筑、物理等领域，可以利 用完全平方公式进行计算 和分析。

完全平方公式的文字叙述：
两数和（或差）的平方，等于 它们的平方和，加上（或减去）它 们的积的2倍。
(a+b)2= a2 +2ab+b2
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
❖ 观察这两个公式，它们有什么特点？
(1) 公式左边是两个数的和（差）的平方。 特征 (2) 公式右边是两个数的平方和，再加上 结构 （减去）两数积的2倍。结果是三项式。
学习目标
❖ 1、能推导完全平方公式，会说出公式的 结构特征,知道公式的几何背景。（重点）
❖ 2、熟练运用完全平方公式进行简单计算. （难点）
❖ 3、通过把公式运用到数的速算，让学生 进一步体会乘法公式的价值，提高学生 学习数学的兴趣。
完全平方公式 (a+b)2= a2 +2ab+b2
的数学表达式： (a-b)2= a2 - 2ab+b2
(-a-b)2 =(a+b)2
❖ 9、春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，日子像桃子一样甜蜜。 2020/12/172020/12/17Thursday, December 17, 2020
❖ 10、人的志向通常和他们的能力成正比例。2020/12/172020/12/172020/12/1712/17/2020 8:10:16 AM ❖ 11、夫学须志也，才须学也，非学无以广才，非志无以成学。2020/12/172020/12/172020/12/17Dec-2017-Dec-20 ❖ 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。2020/12/172020/12/172020/12/17Thursday, December 17, 2020 ❖ 13、志不立，天下无可成之事。2020/12/172020/12/172020/12/172020/12/1712/17/2020

指出下列计算中的错误：
(1) (1+3x)(1−3x)=1−3x2 第二数被平方时，未添括号。 (2) (3a2+b2)(3a2−b2)=3a4−b4第一数被平方时，未添括号。 (3) (3x+2y)(3x−2y)=3x 2−2y2 第一数与第二数被平方时，
都未添括号。
例2、灵活运用平方差公式计算：
10、人的志向通常和他们的能力成正比例。2020/12/172020/12/172020/12/1712/17/2020 8:09:28 AM 11、夫学须志也，才须学也，非学无以广才，非志无以成学。2020/12/172020/12/172020/12/17Dec-2017-Dec-20 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。2020/12/172020/12/172020/12/17Thursday, December 17, 2020 13、志不立，天下无可成之事。2020/12/172020/12/172020/12/172020/12/1712/17/2020
（1）( − 7+2m2)(− 7 − 2m2) （2）(x-1)(x +1)(x²+1) （3）803×797
1、小莹同学在计算 (21)2 (21)时2 (，41) 将积式乘以（2-1）得： 解：原式= (21)2(1)2(21)2(41) = (221)2 (21)2 (41) = (241)(241)
THE END 17、一个人如果不到最高峰，他就没有片刻的安宁，他也就不会感到生命的恬静和光荣。2020/12/172020/12/172020/12/172020/12/17
谢谢观看
计算下列各题:
(1)(x+1)(x-1) =x2−1²; (2) (m+2)(m-2)=m2−(2)2 ;

12 义务教育教科书 青岛版 七年级下册
12.2 完全平方公式
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0 学习目标
1、掌握完全平方公式 2、能利用完全平方公式化简计算
1 复习旧知
课前一题
（1）（a+b)(a-b)= a²-b² （2）（a+b)(a+b)= a²+2ab+b²
(3) (a-b)(a-b) = a²-2ab+b²
总结：（-a-b）²=（a+b）² （-b+a）²=(a-b) ²
学习目标
评价任务
教学活动
（1）初始完全平方公式：
（a+b）²=a²+2ab+b²
（a-b）²=a²-2ab+b²
目标3： 归纳总结完全平方公式并会用文字语 言叙述
（1）归纳总结完全平方公式
（2）文字描述：两数和（或差）的平 方，等于这两个数的平方和，加上
②
3 典例精讲
（1）（3a+2b)²是哪两个数和的平方？ （3a+2b）²=(3a)²+2(3a)(2b)+(2b)²
（2）（-2x+y）²是哪两个数和的平方？ （-2x+y）²=(-2x )²+2(-2x)( y)+( y)²
变式：（-2x+y）²还能写成哪两个数的差？
（-2x+y）²=（y-2x）²
6 公式及文字描述
完全平方公式： （a+b）²=a²+2ab+b² （a-b）²=a²-2ab+b²
口诀：首平方，尾平方， 两数乘积的两倍中间放，
符号看前方
文字描述： 两数和（或差）的平方，等于这两个数的平方和，加上

•
15、一个人炫耀什么，说明他内心缺 少什么 。。2022年2月 2022/2/172022/2/172022/2/172/17/2022
•
16、业余生活要有意义，不要越轨。2022/2/172022/2/17Februar y 17, 2022
•
17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。2022/2/172022/2/172022/2/172022/2/17
【课前延伸】 （回顾 多项式乘多项式法则和合并同类项法则）
• （1） （2a+b）(a+2b)= • (2) (3m-n) (m-2n)=
【情景导入】
想一想,议 一议
一块边长为a米的正方形实验田， 因需要
将其边长增加b米，形成四块实验田，以种植 不同的新品种，如图1。
b
用不同的形式表示实验田的总积，
• 两数差的平方，等于它们平方的和，减去它们乘积的两倍。
• (a-b) ²=a²-2ab+ b² • 这两个公式统称为完全平方公式
即：两数和(或差)的平方，等于它们的平方 和，加上(或者减去)它们的积的2倍.
(a+b)2= a2 +2ab+b2
公式特点： (a-b)2= a2 - 2ab+b2
1、积为二次三项式； 2、积中两项为两数的平方和； 3、另一项是两数积的2倍，且与乘式中
(x -y)2 =x2 -2xy +y2
(4) (x+y)2 =x2 +xy +y2 错 (x +y)2 =x2+2xy +y2
【精讲点拨】
• 例1n) 2
• 2、（-0.5a+0.1b）2

由此得到公式：
(a－b)2＝a2－2ab ＋b2
12.2 完全平方公式
你能用一个几何图形的面积关系说明这个公式吗?
这就是说，两数和(差)的平方等于这两个数的平方 和加上(减去)它们乘积的2倍.
这两个公式统称完全平方公式. 完全平方公式与平方差公式都叫做乘法公式.
12.2 完全平方公式 例1
利用完全平方公式计算：
12.2 完全平方公式
12.2 完全平方公式
3. 利用完全平方公式计算：
(1) 542；
(2) 9972.
12.2 完全平方公式 例3
12.2 完全平方公式 可以把 (a＋2b)看做平方差公式中的a.
12.2 完全平方公式 例4
计算： (a＋b)3.
12.2 完全平方公式
挑战自我
计算：152＝__2_2_5___，252＝__6_2_5___， 352＝__2_0_2_5__，452＝__2_0_2_5___.
(1) 912；
习题 12.2 (2) －1982
习题 12.2 3.计算：
(1) 3(2－y)2－4(y＋5)；
习题 12.2 (2) (m－n－1)·(m－n＋1).
习题 12.2
4. 回答下列问题： (1) a＋b 加上什么式子可以得到 (a＋b)2? 2ab (2) a2＋ab＋b2 加上什么式子可以得到 (a－b)2? －3ab
12.2 完全平方公式 (3) 每行中的数字呈左右对称，由1开始由小变大，然 后由大变小，最后回到1. (4)“三角形”两腰上的数字都是“1”. 除1之外，其余每个数字都是它“双肩” 上的两个数字之和，如2＝1＋1， 10＝4＋6，35＝15＋20.
12.2 完全平方公式 不仅如此，这个“三角形”第n＋1行中的数竟与(a＋ b)”(n是正整数)展开式各项的系数完全吻合. 例如，当n 为2，3 时，

00 1 1
变式训练：
992
1. 经历完全平方公式的推导过程， 记住完全平方公式的特征。 2. 运用完全平方公式进行各种运算。 3. 体会运算中运用完全平方公式的 简便，感受数学之美。
1、请写出完全平方公式
1 a b 2、 3
2
3、 2 x y y 2 x
a bc d
ac ad bc bd
用多项式乘以多项式的运算法则计算下列各题：
x 2x 2
x y x y
2x 3 y 2x 3 y
小组讨论： 1、观察3题目的算式和结果，你发现等式左边和右边 分别有什么规律？
2、你能用几种方法验证你的结论？
12.2完全平方公式
活动区域的边 长增加b米,扩充 为一个边长为 （a+b)米的大 正方形。
每个班原来都有一块边长为a米的 12班要求将原 正方形课外活动区
11班要求再增加 一块边长为b米的 正方形活动区域。
1. 经历完全平方公式的推导过程， 记住完全平方公式的特征。 2. 运用完全平方公式进行各种运算。 3. 体会运算中运用完全平方公式的 简便，感受数学之美。
2 2 y （1）
（2） 2 x y
2
（3） x 2 y 2 y x
（4）x 2 y 2 x y
2 2 x 3 y （1）
2 2 m 5 n （2）
2 1 x y （3） 3 2
2
小结：运用完全平方公式计算时应该注意什么？
12班要求将原 活动区域的边长 增加b米,扩充为 一个边长为 （a+b)米的大 正方形。
每个班原来都有一块边长为a米的 正方形课外活动区

b
a
=
+
+
+
a
b
(a+b)2
a2
ab
ab
b2
和的完全平方公式： (a+b)2= a2+2ab+b2 .
一 完全平方公式
几何解释:
a−b
b
a−b (a−b)2 b(a−b)
a
b
ab
(a−b)2 = a2 −ab−b(a−b)= a2−2ab+b2 .
a
差的完全平方公式： (a-b)2= a2-2ab+b2 .
解：
典例精讲
解：
课堂小结
法则
(a±b)2= a2 ±2ab+b2
完全平 方公式
1.项数、符号、字母及其指数.
注意
2.弄清完全平方公式和平方差公式不同 （从公式结构特点及结果两方面）.
课堂练习
1.运用乘法公式计算(a-2)2的结果是（ A ）
A．a2-4a+4
B．a2-2a+4
C．a2-4
D．a2-4a-4
2.下列计算结果为2ab-a2-b2的是( D )
A．(a-b)2
B．(-a-b)2
C．-(a+b)2
D．-(a-b)2
3.运用完全平方公式计算: (1) (6a+5b)2=_3_6_a_2_+_6_0_a_b_+_2_5_b_2_； (2) (4x-3y)2=__1_6_x_2-_2_4_x_y_+_9_y_2__ ； (3) (2m-1)2 =___4_m_2_-_4_m_+_1_____； (4)(-2m-1)2 =___4_m_2_+_4_m_+__1____.

想一想:
下面各式的计算是否正确？如果不正确， 应当怎样改正？
(1)(x+y)2=x2 +y2 错 (x +y)2 =x2+2xy +y2
(2)(x -y)2 =x2 -y2 错 (x -y)2 =x2 -2xy +y2 (3) (-x +y)2 =x2+2xy +y2错
(-x +y)2 =x2 -2xy +y2
探究
两数差的平方，等于这两数的 平方和，减去这两数积的2倍。
完全平方公式 的几何意义
差的完全平方公式：
b ab b²
a
a² ab
(a-b)²
ab
(a b)2 a2 ab ab b2
a2 2ab b2
归纳
完全平方公式的结构特点：
(a+b)2＝a2 +2ab+b2
(a-b)2＝a2 -2ab + b2
时间到了！
就是说，两数和的平方等于这两个数的平方和加上它 们乘积的2倍。
完全平方公式 的几何意义
和的完全平方公式：
b ab b²
(a+b)²
a a² ab
ab
(a b)2 a2+2ab+b2
两数差的平方
(a－b)2=?
(a－b)2 =[a＋(－b)]2 =a2＋2a(－b)＋(－b)2 =a2－2ab＋b2
正正3y x2
正+正 mn a2
这样就将4种情况转化为2种情况了！
例3、运用完全平方公式计算：
解： （1）1022 = (100+2)2 =10000+400+4

1.(遵义中考)如图，从边长为(a+1)cm的正方形纸片中剪去一个 边长为(a-1)cm的正方形(a＞1)，剩余部分沿虚线又剪拼成一个 矩形(不重叠无缝隙)，则该矩形的面积是( )
(A)2 cm2 (C)4a cm2
(B)2a cm2 (D)(a2-1)cm2
【解析】选C.矩形的面积是(a+1)2-(a-1)2 =a2+2a+1-(a2-2a+1)=4a (cm2).
同号加，异号减，符号置于中间项。
二、几何解释 如图,最大正方形的面积可用两种形式表示： ①_(_a_+_b_)_2，②_a_2_+_2_a_b_+_b_2 ， 由于这两个代数式表示同一块面积,所以应 相等,即(_a_+_b_)_2_= a_2_+_2_a_b_+_b_2_. 【点拨】公式中的a和b可代表一个字母、一个数字、单项式或 多项式.
【归纳】(1)(a＋b)2＝a_2_＋__2_a__b_＋__b_2，(a－b)2＝a_2_－__2_a_b__＋__b_2. (2)公式特征：①左边：二项式的_平__方__;②右边是_三__项,且有__两_ 个平方项,中间项为首尾两项底数积的2倍. (3)语言叙述：两数和(或差)的平方,等于这两个数的__平__方__和_, 加上(或减去)这两数的__积_的2倍. (4)记忆口诀：前平方，后平方，二倍乘积在中央；
【规律总结】 完全平方公式的常见变形
(1)a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab. (2)(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2). (3)(a+b)2-(a-b)2=4ab. 在运用公式时，不应拘泥于公式的形式，而要深刻理解、灵活 应用.

最新青岛版七年级数学下册全册 课件【完整版】目录
ห้องสมุดไป่ตู้
0002页 0030页 0049页 0075页 0114页 0144页 0161页 0182页 0226页 0266页 0283页 0335页 0375页 0422页 0482页 0501页 0523页
第8章 角 8.2 角的比较 8.4 对顶角 第9章 平行线 9.2 平行线和它的画法 9.4 平行线的判定 10.1 认识二元一次方程组 10.3 三元一次方程组 第11章 整式的乘除 11.2 积的乘方与幂的乘方 11.5 同底数幂的除法 第12章 乘法公式与因式分解 12.2 完全平方公式 12.4 用公式法进行因式分解 13.1 三角形 13.3 圆 14.1 用有序数对表示位置
第8章 角
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8.1 角的表示
最新青岛版七年级数学下册全册课 件【完整版】
8.2 角的比较
最新青岛版七年级数学下册全册课 件【完整版】

① 2x+y 2 4x2 +y2 ,② a-3b 2 a2 -9b2 ,③ -x-y 2 x2 -2xy+y2
④(x
1 )2 2
x2 -2x+ 1 , 4
3． x2
y2 =
x+y
2
-__________=
x-y
2
+________．
4. 2 9a2 _____16b2, x2 10x _____ x ____2
青州市弥河初级中学 吴延朝
【学习目标】
能根据算式的结构特征灵活运用公式进行计算； 进一步体验乘法公式对简化运算的作用.
【课内探究】 精讲点拨
例 1：计算：（1） x y 3 （2） x y 3
（3） a b c 2
例 2：计算（1）10012 9992
（2） 20.22 19.82
【温故知新】
（1）多项式乘多项式法则：
；
（2）平方差公式：a+b a-b =
；
（3）完全平方公式： a+b2 =
；
（4）去括号法则：去括号时，如果括号前是正号，去掉括
号和正号后，括号里的每一项都
；如果括号
前是负号，去掉括号和负号后，括号里的各项都
（5）添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到
括号里的各项都
，452=
。
你发现个位数字是 5 的两位数的平方的末尾两位数有什么规律？个位数字是 5 的三位
数的平方呢？你知道其中的原因吗？
【拓展提升】
【达标检测】
5.计算： （1） (2x y 1)(2x y 1)
（2） a+b+c+d2
（3）1022 982