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回归方程及回归系数验检性著显的．3 回归方程及回归系数的显著性检验§１、回归方程的显著性检验回归平方和与剩余平方和(1)是否确实存在线性关系呢？这, 回归效果如何呢？因变量与自变量建立回归方程以后我们要进一步研究因变量, 取值的变化规律。
的每是需要进行统计检验才能加以肯定或否定, 为此常用该次观侧值每次观测值的变差大小, 次取值是有波动的, 这种波动常称为变差,次观测值的总变差可由而全部, 的差(称为离差)来表示与次观测值的平均值总的离差平方和,: 其中它反映了自变量称为回归平方和 , 是回归值与均值之差的平方和,。
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总的离差平方和。
它是由试验误差及其它因素引起的,,, 是确定的即, 如果观测值给定则总的离差平方和是确定的, 因此大则反之小,或者, 与, 大所以且回归平方和都可用来衡量回归效果, 越大则线性回归效果越显著小则如果越小回归效果越显著, ; 则线性回大, 说剩余平方和0, ＝如果则回归超平面过所有观测点归效果不好。
复相关系数(2)人们也常引用无量纲指标, 为检验总的回归效果, (3.1)或．, (3.2)称为复相关系数。
因为回归平方和实际上是反映回归方程中全部自变量的“方差贡献”, 因此因此的相关程度。
显然, 就是这种贡献在总回归平方和中所占的比例表示全部自变量与因变量因此它可以作为检验总的回归效果的一个指标。
但, 回归效果就越好, 。
复相关系数越接近１常有较大的并不很大时, 相对于,与回归方程中自变量的个数及观测组数有关, 当应注意一般认为应取, 的适当比例的５到10至少为倍为宜。
值与, 因此实际计算中应注意检验(3)就是要检验假设, 是否存在线性关系要检验与, (3.3)应用统计量否则认为线性关系显著。
检验假设无线性关系, 与成立时当假设, 则, (3.4)它服从自由度为即及的分布, , 这是两个方差之比, (3.5)应有则当给定检验水平成立, α下, 可检验回归的总体效果。
回归系数检验回归系数检验是一种统计方法，用于确定回归模型中自变量的系数是否与因变量存在显著相关性。
在回归分析中，我们建立了一个包含一个或多个自变量的回归模型，该模型用于预测因变量的值。
回归系数检验的目的是评估自变量的系数是否统计上显著不等于零，从而判断自变量是否对因变量产生重要影响。
在进行回归系数检验时，我们通常会构建一个假设检验。
假设检验的零假设 (H0) 是回归系数等于零，而备择假设 (H1) 是回归系数不等于零。
如果回归系数显著不等于零，我们会拒绝零假设，即认为自变量与因变量之间存在显著相关性。
反之，如果回归系数不显著，我们会接受零假设，即认为自变量对因变量没有显著影响。
回归系数检验的关键是计算 t 统计量和 p 值。
t 统计量用于反映回归系数的显著性，而 p 值用于评估 t 统计量的显著性。
t 统计量的计算方法为回归系数除以其标准误 (standard error)。
标准误可以通过计算回归模型的残差平方和与自由度的比值来获得。
计算出 t 统计量后，可以使用 t 分布表来确定与之对应的 p 值。
p 值是指在零假设成立时，观察到的 t 统计量或更极端的值出现的概率。
通常，我们使用一个事先设定的显著性水平 (例如0.05) 来进行判断。
如果 p 值小于显著性水平，则拒绝零假设，认为回归系数显著不等于零。
反之，如果 p 值大于显著性水平，则接受零假设，认为回归系数不显著。
除了 t 统计量和 p 值，回归系数检验还可以利用置信区间来评估回归系数的显著性。
置信区间是指回归系数的一个估计范围，其中包含了回归系数真值的可能区间。
通常，我们使用一个事先设定的置信水平 (例如95%) 来构建置信区间。
如果置信区间不包含零，就意味着回归系数在给定置信水平下是显著不等于零的。
回归系数检验可以应用于多元回归分析中的单个自变量或多个自变量。
对于多元回归分析，我们可以利用方差分析 (ANOVA) 来评估整体模型的显著性。
回归方程及回归系数的显著性检验§3 回归方程及回归系数的显著性检验１、回归方程的显著性检验(1) 回归平方和与剩余平方和建立回归方程以后, 回归效果如何呢？因变量与自变量是否确实存在线性关系呢？这是需要进行统计检验才能加以肯定或否定, 为此, 我们要进一步研究因变量取值的变化规律。
的每次取值是有波动的, 这种波动常称为变差, 每次观测值的变差大小, 常用该次观侧值与次观测值的平均值的差(称为离差)来表示, 而全部次观测值的总变差可由总的离差平方和,其中:称为回归平方和, 是回归值与均值之差的平方和, 它反映了自变量的变化所引起的的波动, 其自由度(为自变量的个数)。
称为剩余平方和(或称残差平方和), 是实测值与回归值之差的平方和, 它是由试验误差及其它因素引起的, 其自由度。
总的离差平方和的自由度为。
如果观测值给定, 则总的离差平方和是确定的, 即是确定的, 因此大则小, 反之, 小则大, 所以与都可用来衡量回归效果, 且回归平方和越大则线性回归效果越显著, 或者说剩余平方和越小回归效果越显著, 如果＝0, 则回归超平面过所有观测点; 如果大, 则线性回归效果不好。
(2) 复相关系数为检验总的回归效果, 人们也常引用无量纲指标, (3.1)或, (3.2)称为复相关系数。
因为回归平方和实际上是反映回归方程中全部自变量的“方差贡献”, 因此就是这种贡献在总回归平方和中所占的比例, 因此表示全部自变量与因变量的相关程度。
显然。
复相关系数越接近１, 回归效果就越好, 因此它可以作为检验总的回归效果的一个指标。
但应注意, 与回归方程中自变量的个数及观测组数有关, 当相对于并不很大时, 常有较大的值, 因此实际计算中应注意与的适当比例, 一般认为应取至少为的５到10倍为宜。
(3) 检验要检验与是否存在线性关系, 就是要检验假设, (3.3)当假设成立时, 则与无线性关系, 否则认为线性关系显著。
.3 回归方程及回归系数的显著性检验§１、回归方程的显著性检验回归平方和与剩余平方和(1)与自变量, 是否确实存在线性关系呢？这回归效果如何呢？因变量建立回归方程以后我们要进一步研究因变量, 为此, 取值的变化规律。
的每次是需要进行统计检验才能加以肯定或否定常用该次观侧值, 每次观测值是有波动的, 这种波动常称为变差, 的变差大小取值而全部次观测值的总变差可由总的来表示, 的差(称为离差与次观测值的平均值)离差平方和,: 其中与均值之差的平方和, , 是回归值它反映了自变量称为回归平方和。
(其自由度为自变量的个数)的变化所引起的的波动,与回归值之差的平方和是实测值, 称为剩余平方和(或称残差平方和), 它的自由度为其自由度。
是由试验误差及其它因素引起的, 。
总的离差平方和,反之因此, 即小大则是确定的, , 如果观测值给定 , 是确定的则总的离差平方和且回归平方和越大则线性回归效果越显著, 小则大, 所以与, 或者说剩都可用来衡量回归效果如果; ＝如果0, 越小回归效果越显著则线性回归效果大, 余平方和, 则回归超平面过所有观测点不好。
复相关系数(2)人们也常引用无量纲指标为检验总的回归效果,, (3.1)或1 / 6., (3.2)称为复相关系数。
因为回归平方和实际上是反映回归方程中全部自变量的“方差贡献”, 因此就因此。
是这种贡献在总回归平方和中所占的比例显然, 表示全部自变量与因变量的相关程度。
, , 因此它可以作为检验总的回归效果的一个指标。
但应注意与复相关系数越接近１, 回归效果就越好因此实际值相对于并不很大时, 及观测组数回归方程中自变量的个数有关, , 当常有较大的一般认为应取的５到计算中应注意的适当比例倍为宜。
, 与10至少为检验(3)要检验与是否存在线性关系, 就是要检验假设, (3.3)应用统计量当假设无线性关系, 成立时, 否则认为线性关系显著。
检验假设则与, (3.4)它服从自由度为及这是两个方差之比的分布, 即,, (3.5)应有统计量下, 用此统计量, 成立则当给定检验水平可检验回归的总体效果。
回归系数的假设检验前面所求得的回归方程是否成立，即X 、Y 是否有直线关系，是回归分析要考虑的首要问题。
我们知道即使X 、Y 的总体回归系数β为零，由于抽样误差，其样本回归系数b 也不一定为零。
因此需作β是否为零的假设检验，可用方差分析或t 检验。
.P(x, y)YY ˆ- Y Y Y ------------------------------------ --------------Y YX应变量Y 的平方和划分示意图任一点P 的纵坐标被回归直线与均数Y 截成三段：第一段)ˆ(YY -，表示实测点P 与回归直线的纵向距离，即实际值Y 与估计值Yˆ之差，称为剩余或残差。
第二段)ˆ(Y Y -，即Y 估计值Y ˆ与均数Y 之差，它与回归系数的大小有关。
|b|值越大，)ˆ(Y Y -也越大，反之亦然。
当b=0时，)ˆ(Y Y -亦为零，则)ˆ(Y Y -=)(Y Y -,也就是回归直线不能使残差)ˆ(YY -减小。
第三段Y ，是应变量Y 的均数。
依变量y 的总变异)(y y -由y 与x 间存在直线关系所引起的变异)ˆ(y y -与偏差)ˆ(yy -两部分构成，即 )ˆ()ˆ()(y y y yy y -+-=- 上式两端平方，然后对所有的n 点求和，则有=-∑2)(y y 2)]ˆ()ˆ([y y y y-+-∑ )ˆ)(ˆ(2)ˆ()ˆ(22y y y y y y y y--+-+-=∑∑∑ 由于)(ˆx x b y bx a y-+=+=，所以)(ˆx x b y y -=- 于是)ˆ)(()ˆ)(ˆ(y y x x b y y y y--=--∑∑)]())[((x x b y y x x b ----=∑)()())((x x b x x b y y x x b -⋅----=∑∑ =0 所以有=-∑2)(y y ∑∑-+-22)ˆ()ˆ(y y y y2)(∑-y y 反映了y 的总变异程度，称为y 的总平方和，记为y SS ；∑-2)ˆ(y y反映了由于y 与x 间存在直线关系所引起的y 的变异程度，称为回归平方和，记为R SS ；∑-2)ˆ(yy 反映了除y 与x 存在直线关系以外的原因，包括随机误差所引起的y 的变异程度，称为离回归平方和或剩余平方和，记为SS r 。
