江西省樟树中学高二上学期第四次月考数学(理)试题
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江西省樟树中学2019届高二年级第四次月考
数 学 试 卷（理）
考试范围：考到选修2－1，以选修2－1为主 考试时间：12月29日
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1.设命题 为则p,2,:2nnNnp（ ）
A.nnNn2,2 B.nnNn2,2 C.nnNn2,2 D.nnNn2,2
2.“1a”是“方程22220xyxya表示圆”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
3.某企业共有职工150人，其中高级职称15人，中级职称45人，初级职称90人，现用分层抽样方法抽取一个容量为30的样本，则各职称中抽取的人数分别为 ( )
A．5，10，15 B．3，9，18 C．5，9，16 D．3，10，17
4．双曲线22221(0,0)xyabab的离心率为2，则它的渐近线方程是( )
A．3yx B．32yx C．3yx D．32yx
5. 如图所示，在两个圆盘中，指针在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是（ ）
A．49 B．29 C．23 D． 13
6.已知a＞0，b＞0，若不等式212mabab恒成立，则m的最大值等于（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
7.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表：
广告费用x（万元） 4 2 3 5
销售额y（万元） 49 26 39 54
根据上表可得回归方程ybxa中的b为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（ ）
A．63.6万元 B．67.7万元 C．65.5万元 D．72.0万元
8.如图程序框图的功能（ ）
A．求满足1+2+…+n＞2004的最小整数
B．求满足1+2+…+n﹣1＞2004的最小整数
C．求满足1+2+…+n＜2004的最大整数
D．求满足1+2+…+n﹣1＜2004的最大整数
9.“珠算之父”程大位是我国明代伟大是数学家，他的应用数学巨著《算法统综》的问世，标志着我国的算法由筹算到珠算转变的完成．程大位在《算法统综》中常以诗歌的形式呈现数学问题，其中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节三升九，上梢四节贮三升，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明．”（[注释]三升九：3.9升．次第盛：盛米容积依次相差同一数量．）用你所学的数学知识求得中间两节的容积为（ ）
A．1.9升 B．2.1升 C．2.2升 D．2.3升
10.若点O和点F分别为椭圆13422yx的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则FPOP的最大值为（ ）
A． 4 B． 5 C. 6 D．7
11.如图，过抛物线22(0)ypxp的焦点F的直线交抛物线于点AB、，交其准线l于点C，若点F是AC的中点，且4AF，则线段AB的长为（ ）
A.5 B. 6 C. 163 D. 203
12.已知双曲线E:22221(0,0)xyabab的右顶点为A，抛物线2:8Cyax的焦点为F，
若在双曲线E的渐近线上存在点P使得PAFP，则双曲线E的离心率的取值范围为（ ）
A. (1,2) B. 3(1,2]4 C. (2,) D. 3(2,)4
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 若变量,xy满足约束条件1 211xyxyy，则3zxy的最大值为________.
14．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是________.
15．已知球面上四点A,B,C,D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA=AB=BC=3，则该球体积等于______.
16．已知12,FF是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且321PFF，椭圆的离心率为1e，双曲线的离心率2e，则222131ee ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17.（本小题满分10分） 求倾斜角是直线31yx的倾斜角的14，且分别满足下列条件的直线方程：
(1)经过点(3,1)；
(2)在y轴上的截距是5.
18．（本小题满分12分）为调查学生每周平均体育运动时间的情况，某校收集到高三（1）班20位学生的样本数据（单位：小时），将他们的每周平均体育运动时间分为6组：[0，2），
[2，4），[4，6），[6，8），[8，10），[10，12]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）根据频率分布直方图，求出该班学生的每周平均体育运动时间的平均数的估计值；
（2）若在该班每周平均体育运动时间低于4小时的学生中任意抽取2人，求抽取到运动时间低于2小时的学生的概率．
19.（本小题满分12分）在ABC中，内角A,B,C的对边分别为cba,,，已知bacBCA2coscos2cos.
（1）求ACsinsin；
（2）若2,41cosbB，求ABC的面积S.
20.（本小题满分12分）如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，
∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC．
（1）求证：AC⊥平面BDEF；
（2）求二面角A﹣FC﹣B的余弦值．
21.本小题满分12分）等差数列na前n项和为nS，已知37a，5726aa.
（1）求na及nS；
（2）令1nnbS（*nN），数列nb的前n项和nT，证明34nT.
22.（本小题满分12分）已知21F,F是椭圆 12222byax的左、右焦点，O为坐标原点，点)22P(-1,在椭圆上，线段2PF与y轴的交点M满足0PM2MF.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）圆O是以21FF为直径的圆，一直线mkxyl:与圆O相切，并与椭圆交于不同的两点BA,，当OBOA，且满足4332时，求OAB的面积S的取值范围.
樟树中学2019届高二年级第四次月考数学（理科）答案
一、选择题 （本大题共12小题，每小题5分，共60分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
12
答案 C A B C A B C B B C C B
12. 2 13.(x－2)2＋(y＋1)2＝1 14. 92 15.4
17. ∵直线的方程为y＝－x＋1，∴k＝－，倾斜角α＝120°，倾斜角为30°，即斜率为.(1)∵直线经过点(，－1)，所求直线方程为y＋1＝(x－)，即x－3y－6＝0.(2)∵直线在y轴上的截距为－5，∴由斜截式知所求直线方程为y＝x－5，即x－3y－15＝0.
18. （1）解：根据频率分布直方图，各组的频率分别为：0.05，0.2，0.3，0.25，0.15，0.05，各组的中点分别为：1，3，5，7，9，11，该班学生的每周平均体育运动时间的平均数的估计值为0.05×1+0.2×3+0.3×5+0.25×7+0.15×9+0.05×11=4.45…（6分）
（2）依题意可知，平均运动时间低于4小时的学生中，在[0，2）的人数有0.05×20=1，记为1，在[2，4）的人数有0.2×20=4，记为2，3，4，5，从这5人中随机抽取2人的可能情况有10种，分别为：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）；）其中，运动时间低于2小时的学生的可能情况有4种，分别为：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5）；故所求概率 12分
20 Ⅰ）证明：设AC与BD相交于点O，
连接FO．因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD，且O为AC中点．
又 FA=FC，所以 AC⊥FO． 因为 FO∩BD=O，所以 AC⊥平面BDEF． ……6分
（Ⅱ）解：因为四边形BDEF为菱形，且∠DBF=60°，所以△DBF为等边三角形．
因为O为BD中点，所以FO⊥BD，故FO⊥平面ABCD．
由OA，OB，OF两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．
设AB=2．因为四边形ABCD为菱形，∠DAB=60°，则BD=2，所以OB=1，．所以
．
所以 ，．设平面BFC的法向量为=（x，y，z），
则有，取x=1，得．
∵平面AFC的法向量为=（0，1，0）．
由二面角A﹣FC﹣B是锐角，得|cos＜，＞|==．
所以二面角A﹣FC﹣B的余弦值为．
19（Ⅰ）由正弦定理得2sin,aRA2sin,bRB2sin,cRC所以cosA-2cosC2c-a=cosBb=2sinsinsinCAB,
即sincos2sincos2sincossincosBABCCBAB,即有sin()2sin()ABBC,即sin2sinCA,所以sinsinCA=2.
（3）（Ⅱ）由（Ⅰ）知: sinsincCaA=2,即c=2a,又因为2b,所以由余弦定理得：
（4）2222cosbcaacB，即222124224aaaa,解得1a,所以c=2,又因为cosB=14，所以sinB=154，故ABC的面积为11sin1222acB154=154.
21. 解（1）解：（1）设数列na的公差为d，则由题知576226aaa 613a
316127513aadaad 132ad 32(1)21nann
1()(2)2nnnaaSnn
（2）则11111()(2)22nnbSnnnn 那么
123111111nnnTSSSSS
111111111111111111()()()()()()21322423524621122nnnn
1111(1)2212nn32342(1)(2)nnn 2302(1)(2)nnn
34nT …12分
22、（1）因为，所以 是线段的中点，所以是的中位线，又所以,所以，又因为
