江西省南昌市第二中学2019届高三上学期第四次月考数学(理)试题(解析版)
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江西省南昌市第二中学2019届高三上学期第四次月考
数学（理）试题
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是合题目要求的.
1.若复数z，是虚数单位）是纯虚数，则复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意首先求得a的值，然后确定复数的虚部即可.
【详解】由题意可得：，
满足题意时，有：，解得：，则，
由共轭复数的定义可得：，故复数的虚部为.
本题选择C选项.
【点睛】这个题目考查了复数问题，复数分为虚数和实数，虚数又分为纯虚数和非纯虚数，需要注意的是已知数的性质求参时，会出增根，比如纯虚数，既要求实部为0，也要求虚部不为0.
2.设集合，，则中整数元素的个数为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】B
【解析】
集合 ，. ，整数有3，4，5，6.共四个。
故答案为B。
3.已知 ，,，则它们的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意结合指数函数的性质和幂函数的性质比较大小即可.
【详解】由幂函数的性质可知在区间上单调递增，
由于故，即，
由指数函数的性质可知在区间上单调递增，
由于故，即，
综上可得.
本题选择D选项.
【点睛】对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．
4.设表示三条不同的直线，表示三个不同的平面，下列四个命题正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，是在内的射影，，则
C. 若是平面的一条斜线，，为过的一条动直线，则可能有
D. 若，则
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意逐一考查所给命题是否正确即可.
【详解】逐一分析所给的选项：
A中，在如图所示的正方体中，
若取直线为，为，平面为，平面为，
满足，但是不满足，题中的说法错误；
由射影定理可知选项B正确；
选项C中，若，结合线面垂直的性质定理可知，平面或，题中的说法错误；
选项D中，在如图所示的正方体中，
若取平面为，平面为，平面为，
满足，但是不满足，题中的说法错误.
本题选择B选项.
【点睛】本题考查了空间几何体的线面位置关系判定与证明：
（1）对于异面直线的判定要熟记异面直线的概念：把既不平行也不相交的两条直线称为异面直线；
（2）对于线面位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键.
5.已知数列是公差为的等差数列，为数列的前项和.若成等比数列，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
首先求得数列的首项，然后求解其前n项和即可.
【详解】由题意可得：，即：，
解得：，则.
本题选择A选项.
【点睛】本题主要考查等比中项的应用，等差数列前n项和的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
6.函数y＝e|lnx|－|x－2|的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
首先将函数的解析式写成分段函数的形式，然后确定其图像即可.
【详解】由题意可知，当时，，
当时，，
当时，，
结合题中所给的函数图像可知，只有选项C符合题意.
本题选择C选项.
【点睛】本题主要考查函数图像的识别，分段函数的性质，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
7.若对于任意都有，则函数图象的对称中心为（ ）
A. （ ） B. （）
C. （ ） D. （）
【答案】D
【解析】
∵，
∴，
解得：，
∴，令，
则，，
即函数图象的对称中心为（）.
故选：D
8.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：由三视图可得此几何体的直观图如图，由三视图可知：该几何体是一个四棱锥，底面，，底面是一个上下边长分别为和，高为的直角梯形，体积，所以，故选B．
考点：三视图．
9.已知函数，如果存在实数，使得对任意的实数，都有成立，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
首先整理函数的解析式，然后结合最小正周期公式求解的值即可.
【详解】由题意可得：，
如果存在实数，使得对任意的实数，都有成立，
则满足题意时有：，
结合最小正周期公式可得：，解得：.
本题选择C选项.
【点睛】本题主要考查三角函数的性质，三角函数的周期公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
10.在中，，，点是所在平面内一点，则当取得最小值时，（ ）
A. 24 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
首先确定三角形的形状，然后建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算确定点P的坐标即可求解数量积.
【详解】由可得：，
则，即，
以点坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，设，则：
，
当，即时取得最小值，
此时.
本题选择A选项.
【点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
11.2018年9月24日, 英国数学家M.F阿蒂亚爵在“海德堡论坛”展示了他“证明”黎曼猜想的过程,引起数学界震动. 黎曼猜想来源于一些特殊数列求和, 记
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意利用不等式放缩后裂项确定S的范围即可.
【详解】由题意可知：
，
且
，
综上可得：.
本题选择C选项.
【点睛】本题的核心是考查裂项求和的方法，使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．
12.函数满足，，若存在，使得成立，则的取值范围
是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
由题意设，则，所以（为常数）．∵，∴，∴，
∴．令，则，故当时，单调递减；当时，单调递增．
∴，从而当时，，∴在区间上单调递增．
设，则，故在上单调递增，在上单调递减，所以．
∴不等式等价于，
∴，解得，故的取值范围为．选A．
点睛：本题考查用函数的单调性解不等式，在解答过程中首先要根据含有导函数的条件构造函数，并进一步求得函数的解析式，从而得到函数在区间上的单调性．然后再根据条件中的能成立将原不等式转化为，最后根据函数的单调性将函数不等式化为一般不等式求解即可．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.
13.已知函数，若，则______．
【答案】-7
【解析】
【分析】
由题意函数，由，求得，进而可求得的值.
【详解】由题意函数，
因为，则，则，
则．
【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数值问题，其中解答中利用函数的奇偶性性和，求得的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
14.设实数x，y满足则u＝的取值范围是________．
【答案】[－，]
【解析】
试题分析：令，作出可行域，可知可视为，连线的斜率，且为关于的增函数，所以.
考点：1.线性规划；2.函数的单调性.
【方法点晴】本题主要考查学生的是线性规划的基本知识和复合函数的单调性的应用,属于基础题目.首先要画出约束条件的可行域,画图时注意观察题中不等式的端点是否有等号,画出的直线有实虚之分,再求出可行域中各交点坐标,根据目标函数的集合意义,先求出斜率的取值范围,代入函数中转化为单调函数的定义域,从中求出值域.
15.若函数在其定义域内的一个子区间内存在极值，则实数的取值范围 ．
【答案】
【解析】
试题分析：,所以函数的极值点为，又函数在其定义域内的一个子区间内存在极值，所以，解之得.
考点：导数与函数单调性、极值.
16.已知三棱锥中，平面平面，，则三棱锥的外接球的大圆面积为________．
【答案】
【解析】
试题分析：如下图所示，设的中点为，，连结，因为，所以，又平面平面，所以平面，又因为是等腰直角三角形，所为的外心，，所以球心一定在直线上，，所以球心在线段的延长线上，设，则三棱锥外接球半径，即，解得，所以，所以三棱锥的外接球的大圆面积
.
考点：1.球的切接问题；2.球的性质.
【名师点睛】本题主要考查球的切接问题与球的性质，属中档题；球的切接问题是最近高考的热点之一，解题的关键是利用所给几何体的特征，找到球心，求出半径；找球心常用方法就是先找到多面体的一个三角形面的外心，球心在过这个外心且垂直于这个平面的直线上，再利用已知条件求出半径，如本题就釆用这种方法；或者是看所给多面体是否能放入某个正方体或长方体中，借助正方体或长方体的外接球去求解.
三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.已知．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若不等式的解集为，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
试题分析：（1）由条件利用绝对值的意义，去掉绝对值，得到分段函数，可求解不等式的解集；（2）由题意得，在根据绝对值三角不等式，可得恒成立，从而求解实数的取值范围．
试题解析：（1）当时，，
易得解集为．
（2）．
∵解集为，∴恒成立，
∵，∴．
考点：绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．
18.在中，分别是角所对的边，且.
