圆锥曲线的方程思维导图

《解析几何》思维导图，值得收藏的高考数学一轮复习资料也许会有人觉得思维导图对于提高数学成绩毫无用处，但是对于有着多年教学经验的老师，或是非常善于学习的同学来说，他们对思维导图是爱不释手。

因为相比于去看书复习，思维导图有着无可比拟的优势，它条理清晰，能够极大地节约大家的时间，并且扩展方便，大家可以根据自身实际情况增减内容。

将此图存入手机随时随地方便自己复习回顾。

可谓一图在手，天下我有。

本文我们就一起来通过思维导图的方式回顾下高中数学《解析几何》模块所学内容。

如果，通过这张概括性的提纲大家能够回想起每个章节的内容，就可以不用下面看了。

如果感觉某些地方一时想不起来，可以重点记忆备注。

接下来，我们就分章节详细来看下。

一、直线的方程直线的方程这章，大家务必要掌握好直线的位置关系（平行、垂直）、直线的方程、点到直线的距离、平行线之间的距离。

二、圆的方程圆的方程这章，重点要掌握圆的方程的各种形式及其应用，掌握圆的切线方程（过圆上一点圆的切线方程和过圆外一点圆的切线方程），这两类题型在选择题中出现的概率比较大，在大题中通常以动点的轨迹的形式出现。

三、圆锥曲线及对称性问题圆锥曲线这块，历来是高考数学的一个重点和难点之一，重点应该掌握椭圆、双曲线、抛物线等的离心率、准线等知识。

这些考点在选择题和大题中都有可能出现。

而对称性问题一般出现在选择题和填空题中，偶尔会出现在大题中。

喜欢本文的朋友记得点击收藏，需要x mind思维导图源文件以便在电脑上查看的老师或家长可以在文末留言，我们无偿提供给大家。

对于思维导图软件的下载和使用有问题的朋友，也欢迎一起探讨交流。

至于高考数学一轮复习其它章节的思维导图，请查看我们历史文章并持续关注我们后续更新即可。

专题17 圆锥曲线的综合应用一、知识速览二、考点速览知识点1 直线与椭圆的位置关系 1、直线与椭圆的位置判断设直线方程为y kx m =+，椭圆方程为22221(0)x ya b a b+=>>联立2222,1,y kx m x y a b =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得一个关于x 的一元二次方程222222222()20b k a x a kmx a m a b +++-=①0∆>⇔直线和椭圆相交⇔直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②0∆=⇔直线和椭圆相切⇔直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③0∆<⇔直线和椭圆相离⇔直线和椭圆无公共点． 2、直线与椭圆相交的弦长公式（1）定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦． （2）求弦长的方法①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求． ②根与系数的关系法：如果直线的斜率为k ，被椭圆截得弦AB 两端点坐标分别为(x 1，y1)，(x 2，y 2)，则弦长公式为：=AB 知识点2 直线与双曲线的位置关系 1、直线与双曲线的位置关系判断将双曲线方程22221x y a b-=与直线方程:l y kx b =+联立消去y 得到关于x 的一元二次方程()22222222220ba k x a mkx a m ab ----=，（1）当2220b a k -=，即bk a=±，直线l 与双曲线的渐近线平行，直线l 与双曲线只有一个交点； （2）当2220b a k -≠，即b k a≠±，设该一元二次方程的判别式为∆，若0∆>，直线与双曲线相交，有两个公共点； 若0∆=，直线与双曲线相切，有一个公共点； 若∆<0，直线与双曲线相离，没有公共点；注意：直线与双曲线有一个公共点时，可能相交或相切. 2、直线与双曲线弦长求法若直线:l y kx m =+与双曲线22221x ya b-=（0a >，0b >）交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，则12A B x =-或12AB y =-（0k ≠）．（具体同椭圆相同） 知识点3 直线与抛物线的位置关系1、直线与抛物线的位置关系有三种情况相交（有两个公共点或一个公共点）； 相切（有一个公共点）； 相离（没有公共点）.2、以抛物线22(0)y px p =>与直线的位置关系为例：（1）直线的斜率k 不存在，设直线方程为x a =，若0a >，直线与抛物线有两个交点；若0a =，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点； 若0<a ，直线与抛物线没有交点. （2）直线的斜率k 存在.设直线:l y kx b =+，抛物线22(0)y px p =>，直线与抛物线的交点的个数等于方程组22y kx by px=+⎧⎨=⎩，的解的个数，即二次方程2222()0k x kb p x b +-+=（或22220k y py bp -+=）解的个数. ①若0k ≠，则当0∆>时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当0∆=时，直线与抛物线相切，有个公共点； 当0∆<时，直线与抛物线相离，无公共点.②若0k =，则直线y b =与抛物线22(0)y px p =>相交，有一个公共点. 3、直线与抛物线相交弦长问题 （1）一般弦长设AB 为抛物线22(0)y px p =>的弦，11(,)A x y ，22(,)B x y ，弦AB 的中点为00(,)M x y . ①弦长公式：212122111AB k x y k +-+-（k 为直线AB 的斜率，且0k ≠）. ②0AB p k y =, 推导：由题意，知2222y px =，① 2112y px = ② 由①-②，得121212()(=2()y y y y p x x +--），故1212122y y py y x x -=+-，即0AB p k y =. ③直线AB 的方程为000()py y x x y -=-. （2）焦点弦长如图，AB 是抛物线22(0)y px p =>过焦点F 的一条弦， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，AB 的中点00(,)M x y ，过点A ，M ，B 分别向抛物线的准线l 作垂线，垂足分别为点1A ，1B ，1M ， 根据抛物线的定义有1AF AA =，1BF BB =，11AB AF BF AA BB =+=+ 故11AB AF BF AA BB =+=+.又因为1MM 是梯形11AA B B 的中位线，所以1112AB AA BB MM =+=， 从而有下列结论；①以AB 为直径的圆必与准线l 相切.②022p AB x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(焦点弦长与中点关系)③12AB x x p =++.④若直线AB 的倾斜角为α，则22sin pAB α=. ⑤A ，B 两点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值，即2124p x x =，212y y p =-.⑥11AF BF +为定值2P.一、直线与圆锥曲线位置关系1、直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判定：通常的方法是直线与圆锥曲线方程联立方程消元后得到一元二次方程，其中0∆>；另一方面就是数形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率与双曲线渐近线的斜率的大小得到．2、直线与圆锥曲线只有一个公共点则直线与双曲线的一条渐近线平行，或直线与抛物线的对称轴平行，或直线与圆锥曲线相切．【典例1】（2023·全国·高三专题练习）直线l ：()()211740+++--=m x m y m 与椭圆C ：2211812x y +=的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定 【答案】A【解析】将直线l ：()()211740+++--=m x m y m 变形为l ：(27)40m x y x y +-++-=，由27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩得31x y =⎧⎨=⎩，于是直线l 过定点()3,1，而223171181212+=<，于是点()3,1在椭圆C ：2211812x y +=内部， 因此直线l ：()()211740+++--=m x m y m 与椭圆C ：2211812x y +=相交．故选：A ．【典例2】（2023·高三课时练习）直线()12y k x =-+与抛物线24x y =的位置关系为（ ） A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不能确定 【答案】A【解析】直线()12y k x =-+过定点()1,2，∵2142<⨯，∴()1,2在抛物线24x y =内部，∴直线()12y k x =-+与抛物线24x y =相交，故选：A ．【典例3】（2023·四川成都·高三模拟预测）已知命题p ：1k <，命题q ：直线10kx y -+=与抛物线24y x =有两个公共点，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】由10kx y -+=和24y x =可得()214kx x +=，整理得到：()222410k x k x +-+=，因为直线与抛物线有两个不同的交点，故()22Δ2440k k k ≠⎧⎪⎨=-->⎪⎩， 故1,0k k <≠，故命题q 成立能推出命题p 成立；反之，若1k <，取0k =，此时()222410k x k x +-+=仅有一个实数根14x =， 故此时直线与抛物线仅有一个不同的交点， 故命题p 成立不能推出命题q 成立， 故p 是q 的必要不充分条件，故选：B.【典例4】（2023上·江西南昌·高三校考阶段练习）已知直线1y kx =-与双曲线224x y -=，若直线与双曲线左支交于两点，求实数k 的取值范围.【答案】1⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】因为直线与双曲线224x y -=左支交于两点，所以两点横坐标皆小于2-，把1y kx =-代入224x y -=得：()221250k x kx -+-=，所以()()22125f x k x kx =-+-有两个小于2-的零点，因为()050f =-<，所以210k -<，所以()()()()()()22222210Δ4201022212122250k k k k k f k k ⎧-<⎪=+->⎪⎪⎨-<-⎪-⎪⎪-=--+⨯--<⎩，解得1k <<-，则实数k 的范围为1⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.二、直线与圆锥曲线的弦长问题设11()M x y ，，22()N x y ，根据两点距离公式||MN =．（1）若M N 、在直线y kx m =+上，代入化简，得12||MN x -；（2）若M N 、所在直线方程为x ty m =+，代入化简，得12||MN y =-（3）构造直角三角形求解弦长，||MN 2121|||||cos ||sin |x x y y αα--==．其中k 为直线MN 斜率，α为直线倾斜角． 【典例1】（2023·全国·高三对口高考）已知椭圆2219x y +=，过左焦点F 作倾斜角为π6的直线交椭圆于A 、B两点，则弦AB 的长为 ． 【答案】2【解析】在椭圆2219x y +=中，3a =，1b =，则c ()F -，设点()11,A x y 、()22,B x y ，由题意可知，直线AB 的方程为3223yx ，即x =-联立2299x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩可得21210y --=，1664121440∆=⨯+⨯=>，由韦达定理可得12y y +=，12112y y =-，所以，2AB =. 故答案为：2.【典例2】（2023·四川乐山·高三统考二模）已知直线()():20l y k x k =+>与抛物线24y x =交于点A 、B ，以线段AB 为直径的圆经过定点()2,0D ，则AB =（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．10 【答案】C 【解析】记10m k=>，则直线l 的方程可表示为2x my =-，设点()11,A x y 、()22,B x y ， 联立224x my y x=-⎧⎨=⎩可得2480y my -+=，216320m ∆=->，可得22m >，由韦达定理可得124y y m +=，128y y =，()()11112,4,DA x y my y =-=-，()()22222,4,DB x y my y =-=-，由已知可得DA DB ⊥，则()()()()212121212441416DA DB my my y y m y y m y y ⋅=--+=+-++()2228116162480m m m =+-+=-=，可得23m =， 所以，()22221212141163213163328AB m y y y y m m ++-+-=+⨯-=.故选：C.【典例3】（2023·新疆喀什·高三校考模拟预测）已知双曲线C 两条准线之间的距离为1，离心率为2，直线l 经过C 的右焦点，且与C 相交于A 、B 两点. （1）求C 的标准方程；（2）若直线l 与该双曲线的渐近线垂直，求AB 的长度.【答案】（1）223y x -=1；（2）3 【解析】（1）因为直线l 经过C 的右焦点，所以该双曲线的焦点在横轴上， 因为双曲线C 两条准线之间的距离为1，所以有222112a a a c c c ⎛⎫--=⇒= ⎪⎝⎭， 又因为离心率为2，所以有122c a a c =⇒=代入212a c =中，可得2221,2413a cbc a ==⇒=-=-=，∴C 的标准方程为：2213y x -=；（2）由上可知：该双曲线的渐近线方程为3y x =，所以直线l 的斜率为3 由于双曲线和两条直线都关于y 轴对称， 所以两条直线与双曲线的相交弦相等.又因为直线斜率的绝对值小于渐近线斜率的绝对值， 所以直线与双曲线交于左右两支， 因此不妨设直线l 3方程为)32y x -与双曲线方程联立为： )222138413032y x x x y x ⎧-=⎪⎪⇒+-=⎨⎪=-⎪⎩，设()()1122,,,A x y B x y ，则有1212113,28x x x x +=-=-，()()222121212123232323113144 3.348AB x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-=-=+--⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭三、求解圆锥曲线中的定点问题的两种方法1、特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关．2、直接推理法：①选择一个参数建立直线系方程，一般将题目中给出的曲线方程(包含直线方程)中的常量当成变量，将变量x ，y 当成常量，将原方程转化为kf (x ，y )＋g (x ，y )＝0的形式(k 是原方程中的常量)；②根据直线过定点时与参数没有关系(即直线系方程对任意参数都成立)，得到方程组⎩⎨⎧f (x ，y )＝0，g (x ，y )＝0；③以②中方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点，若定点具备一定的限制条件，可以特殊解决．【典例1】（2022·江苏泰州·高三统考模拟预测）已知1l ，2l 是过点()0,2的两条互相垂直的直线，且1l 与椭圆22:14x y Γ+=相交于A ，B 两点，2l 与椭圆Γ相交于C ，D 两点． （1）求直线1l 的斜率k 的取值范围；（2）若线段AB ，CD 的中点分别为M ，N ，证明直线MN 经过一个定点，并求出此定点的坐标． 【答案】（1）⎛⋃ ⎝⎭⎝；（2）证明见解析；定点20,5⎛⎫⎪⎝⎭. 【解析】（1）根据题意直线1l ，2l 的斜率均存在且不为0直线1l ，2l 分别为2y kx =+，12y x k=-+，联立22214y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()224116120k x kx +++=， 由()()2216412410k k ∆=-⨯+>得243k >，则k <或k > 同理2143k ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，则k < 所以k的取值范围为⎛⋃ ⎝⎭⎝． （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，由（1）得()224116120k kx +++=，所以1221641k x x k +=-+，则1228241Mx x k x k +==-+， 所以22282224141M M k y kx k k =+=-+=++，则2282,4141k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，同理22282,44k k N k k ⎛⎫⎪++⎝⎭，则直线MN 的方程为22222222228441884141441k k k k y x k k k k k k -⎛⎫++-=+ ⎪++⎝⎭+++， 化简整理得21255k y x k -=+因此直线MN 经过一个定点20,5⎛⎫⎪⎝⎭．【典例2】（2023·吉林·通化一中高三校联考模拟预测）已知曲线E 上任意一点Q到定点F 的距离与Q到定直线:m x =（1）求曲线E 的轨迹方程；（2）斜率为k k ⎛> ⎝⎭的直线l 交曲线E 于B ，C 两点，线段BC 的中点为M ，点M 在x 轴下方，直线OM交曲线E 于点N ，交直线=1x -于点D ，且满足2||||||ON OD OM =（O 为原点）．求证：直线l 过定点．【答案】（1）22195x y -=；（2）证明见解析 【解析】（1）设曲线E 上任意一点(,)Q x y=化简整理得22195x y -=，所以曲线E 的轨迹方程为22195x y -=；（2）设()11,B x y ，()22,C x y ，直线l的方程为y kx t k ⎛=+> ⎝⎭，联立22195y kx tx y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得()22259189450k x ktx t ----=，因为有两个交点，所以2590Δ0k ⎧-≠⎨>⎩，即22259095k k t ⎧-≠⎨<+⎩，所以1221859kt x x k +=-，()()22121222182591025959k t t k t y y k x x t k k +-+=++==--， 即2295,5959ktt M k k ⎛⎫ ⎪--⎝⎭，因为点M 在x 轴下方，所以25059t k <-，又k >0t >， 所以直线OM 的斜率59OMk k =，则直线OM 的直线方程为59y x k=， 将其代入双曲线E 的方程，整理得2228195Nk x k =-，所以2222222258125||18195NNNk ON x y x k k +⎛⎫=+=+= ⎪-⎝⎭， 将59y x k =代入直线=1x -，解得51,9D k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，又因为2295,5959kt t M k k ⎛⎫ ⎪--⎝⎭，所以有||OD ==||OM ==． 由2||||||ON OD OM =，解得9t k =±，因为k >0t >，所以9t k =， 因此直线l 的方程为9(9)y kx k k x =+=+，故直线l 过定点(9,0)-．【典例3】（2022上·江苏苏州·苏州中学高三校联考阶段练习）在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 在抛物线21:4C y x =上，圆2222:(2)(02).C x y r r -+=<<（1）若1r =，Q 为圆2C 上的动点，求线段PQ 长度的最小值；（2）若点P 的纵坐标为4，过P 的直线,m n 与圆2C 相切，分别交抛物线1C 于,A B （异于点P ），求证：直线AB 过定点． 【答案】（1）1；（2）证明见解析【解析】（1）设()2,2P t t ，则21111PQ PC ≥-=≥，当()0,0P ，Q 为2PC 线段与圆2C 的交点时，min 1PQ = （2）题意可知()4,4P ，过P 点直线()44y k x -=-与圆2C 相切，r =，即()222416160r k k r --+-=，①设直线AB 为：()()441m x n y -+-=， 则与抛物线C 的交点方程可化为：()()()()()()24844444(4)4y y m x n y x m x n y -+--+-=--+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，令44y z x -=-，则：()()2188440n z m n z m ++--=，② 题意有，①②方程同解，故有()()()[]()2233164164818444y r r m n m n -⎡⎤⎣=---+⨯=--+-⎦-， 即：2111m n -=，所以直线AB 为：()()1114412n x n y +-+-=，即6(11252)0x n x y -++-=， 由60112520x x y -=⎧⎨+-=⎩，解得67x y =⎧⎨=-⎩，直线AB 恒过()6,7-．四、圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略1、求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值；2、求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简变形求得；3、求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简变形即可求得． 【典例1】（2023上·四川·南江中学高三校联考阶段练习）以坐标原点为对称中心，坐标轴为对称轴的椭圆过点()830,1,(,)55C D ---．（1）求椭圆的方程． （2）设P 是椭圆上一点（异于,C D ），直线,PC PD 与x 轴分别交于,M N 两点．证明在x 轴上存在两点,A B ，使得MB NA ⋅是定值，并求此定值．【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析，定值为12-.【解析】（1）设椭圆方程为221px qy +=，则164912525q p q =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得141p q ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 所以椭圆的方程为2214x y +=．（2）设()()()00,,,0,,0P x y A m B n ，(,0),(,0)M N M x N x ，则00(,1),(,1)M CM x CP x y ==+，由//CM CP ，得00(1)M x y x +=，而010y +≠，于是001M x x y =+，008383(,),(,)5555N DN x DP x y =+=++，同理008338()()()5555N x y x ++=+，而0305y +≠，于是000385535N x y x y -=+， 则000003855(,0),(,0)315x y x NA m MB n y y -=-=-++，00000000000038(583355()()31(1)(53))()5x y x ny n x my y m x MB NA n m y y y y -+-++-⋅=--=++++， 令00058333my y m ny n ++=--，而00(,)P x y 是椭圆上的动点，则583,33m n m n +=-=-，得4,4n m ==-，于是()()()2222200000020000003443(44)(4412(583)12]1533[1)(5)58)3(y x y y y y MB NA y y y y y y ⎡⎤-+--+---++⎣⎦⋅====-++++++， 所以存在()4,0A -和()4,0B ，使得MB NA ⋅是定值，且定值为12-.【典例2】（2023上·广东深圳·高三统考期末）点M 是平面直角坐标系xOy 上一动点，两直线1:l y x =，2:l y x =-，已知1MA l ⊥于点A ，A 位于第一象限；2MB l ⊥于点B ，B 位于第四象限.若四边形OAMB 的面积为2.（1）若动点M 的轨迹为C ，求C 的方程.（2）设(),M s t ，过点M 分别作直线MP ，MQ 交C 于点P ，Q .若MP 与MQ 的倾斜角互补，证明直线PQ 的斜率为一定值，并求出这个定值.【答案】（1）()2240x y x -=>；（2）证明见解析，定值为s t-.【解析】（1）设(),M x y ，依题意得0x >且x y x >>-，即0x y ->且0x y +>，设(),A n n ，则(),MA x n y n =--， 因为直线1l 的方向向量为()1,1， 所以()1,10MA x n y n ⋅=-+-=，2x y n +=，即,22x y x y A ++⎛⎫⎪⎝⎭，所以)2x y x OA +⎛==， ),2x y x MA -⎛== 所以四边形OAMB 的面积为2222x y OA MA -⋅==，即动点M 的轨迹方程为()2240x y x -=>.（2）设直线():MP y t k x s -=-（1k <-或1k >），则():MQ y t k x s -=--，联立()224,,x y y t k x s ⎧-=⎪⎨-=-⎪⎩得()224x kx ks t ⎡⎤---=⎣⎦， 整理得()()()2221240k x k ks t x ks t -+----=，所以()221P k ks t s x k -+=-，即222222211P k s kt k s kt sx s k k --+=-=--，所以()22221P P k t ksy k x s t t k -+=-+=+-，同理得22221Q k s kt x s k +=--，22221Q k t ksy t k --=+-，所以直线PQ 的斜率44Q P Q P y y ks sk x x kt t--===--，得证.【典例3】（2023·河北衡水·高三模拟预测）已知点(1,2)M -在抛物线2:2(0)C y px p =>上，过点(0,1)N -的直线l 与C 相交于,A B 两点，直线,MA MB 分别与y 轴相交于点,D E . （1）当弦AB 的中点横坐标为3时，求l 的一般方程;（2）设O 为原点，若,DN mON EN nON ==，求证:mnm n+为定值. 【答案】（1）10x y --=或2330x y ++=；（2）证明见解析【解析】（1）由点(1,2)M -在抛物线2:2C y px =上，所以2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =.设直线l 的方程为()()11221(0),,,,y kx k A x y B x y =-≠.由241y xy kx ⎧=⎨=-⎩，得22(24)10k x k x -++=. 依题意22(24)410k k ∆=+-⨯⨯>，解得1k >-且0k ≠. 且121222241,k x x x x k k ++==. 因为弦AB 的中点横坐标为3，所以126x x +=，即2246k k +=，解得1k =或23k =-， 所以l 的一般方程为10x y --=或2330x y ++=.（2）直线MA 的方程为1122(1)1y y x x ++=--， 又111y kx =-，令0x =，得点D 的纵坐标为111(2)1D k x y x -+=-.所以111(2)0,1k x D x ⎛⎫-+ ⎪-⎝⎭，同理得点E 的坐标为221(2)0,1k x E x ⎛⎫-+ ⎪-⎝⎭.由,DN mON EN nON ==，得11(1)11D k x m y x +=+=--，22(1)11E k x n y x +=+=--. 所以12121111(1)(1)x x m n k x k x --+=+++1212112(242)211x x k k x x k ⎛⎫+=-=+-= ⎪++⎝⎭. 所以11112mn m n m n==++，即mn m n +为定值12.五、圆锥曲线中的范围、最值问题的解题方法（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 【典例1】（2022上·江苏宿迁·如东中学高三校考期中）已知12,F F 为椭圆C 的左､右焦点，点3P ⎛ ⎝⎭为其上一点，且124PF PF +=. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知直线y kx m =+与椭圆C 相交于,A B 两点，与y 轴交于点M ，若存在m ，使得34OA OBOM ，求m 的取值范围.【答案】（1）2214x y +=；（2）111,,122⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】（1）由题意设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，因为点3P ⎛ ⎝⎭为椭圆上一点，且124MF MF +=， 所以22241314a a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得2241a b ⎧=⎨=⎩， 所以椭圆的标准方程为2214x y +=.（2）设()()1122,,,,A x y B x y 又()0,M m ， 由34OA OBOM 得，12123,30,4x x y y m ，123x x =-联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()222418440k x kmx m +++-= 222(8)4(41)(4m 4)0km k ∆=-⨯+⨯->，即226416160k m -+>，22410k m ∴-+>，且12221228414441km x x k m x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， 又123x x =-22441kmx k ，则222122224443()4141km m x x x k k -⋅=-==++222216410k mkm，2221416m km ，代入22410k m -+>得22211014m m m -+->-， 2114m <<，解得111,,122m ⎛⎫⎛⎫∈-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.m ∴的取值范围是111,,122⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【典例2】（2023·河北秦皇岛·高三校联考二模）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>实轴的一个端点是P ，虚轴的一个端点是Q ，直线PQ 与双曲线的一条渐近线的交点为11,22⎛⎫⎪⎝⎭.（1）求双曲线的方程；（2）若直线1(01)y kx k k=+<<与曲线C 有两个不同的交点,A B O 、是坐标原点，求OAB的面积最小值.【答案】（1）221x y -=；（2）【解析】（1）设点(),0P a ，点()0,Q b ，则直线PQ 的方程为1x y a b+=，与渐近线b y x a =联立，得1x ya b b y x a ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解之得22a x b y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即直线PQ 与双曲线的一条渐近线交点为,22a b ⎛⎫⎪⎝⎭，又直线PQ 与双曲线的一条渐近线的交点为11,22⎛⎫⎪⎝⎭，所以122122a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即1a b ==，因此双曲线方程为221x y -=.（2）设()()1122,,,A x y B x y ，把1y kx k =+代入221x y -=，得()22211210k x x k----=，则()()422122224112Δ44110,1k k k x x k k k -+⎛⎫=+-+=>+= ⎪-⎝⎭ ，2122111k x x k--=-，12AB x =-==点O 到直线1y kx k=+的距离211k d k =+所以OAB 的面积为()()242422222242111111212222111k k k k kS AB d k k k k k k +-+-==⨯+=⨯+--()242241k k k k +-=-令24t k k =-，所以22111t S t t t+⎛⎫==+ ⎪⎝⎭ 令1s t=，则2S s s =+因为01k <<，所以201k <<， 由221124t k ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，得104t <≤，由1s t=，得4s ≥，由221124S s s s ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭16425S ≥+=即当21124,,,42s t k k ====时，等号成立，此时满足Δ0>，所以OAB 面积的最小值为5【典例3】（2023·全国·高三模拟预测）已知F 是抛物线()2:20C y px p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线C于A 、B 两点，且112AF BF+=． （1）求抛物线C 的方程；（2）若O 为坐标原点，过点B 作y 轴的垂线交直线AO 于点D ，过点A 作直线DF 的垂线与抛物线C 的另一交点为E ，AE 的中点为G ，求GB DG的取值范围．【答案】（1）22y x =；（2）1,12⎛⎫⎪⎝⎭【解析】（1）抛物线C 的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，若直线AB 与x 轴重合，则直线AB 与抛物线C 只有一个公共点，不合乎题意，设直线AB 的方程为2px my =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ， 联立222y px p x my ⎧=⎪⎨=+⎪⎩可得2220y pmy p --=，222440p m p ∆=+>，由韦达定理可得122y y pm +=，212y y p =-，()()()12121212211111122m y y p p p AF BF my p my p my p my p x x +++=+=+=++++++()()()()22122222222221212212222221p m m y y p pm pm y y mp y y p m p m p p pp m ++++=====+++-+++，解得1p =， 所以，抛物线C 的方程为22y x =. （2）设点()11,A x y 、()22,B x y ，则10x >，由（1）可得122y y m +=，121y y =-，又因为直线AO 的方程为11211122y y y x x x y x y ===， 将2y y =代入直线AO 的方程可得212y x y =， 可得12122y y x ==-，即点21,2D y ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以，221122DF y k y ==---， 因为AE DF ⊥，则211AE DF k k y =-=， 所以，直线AE 的方程为()1121y y x x y -=-， 联立()112212y y x x y y x ⎧-=-⎪⎨⎪=⎩可得2212220y y y x ---=，则122E y y y +=，故212E y y y =-，则()22122111212121212142E E x y y x y y y x x y y y x x =++=-++=+-+=++，由AE 的中点为G ，可得()12221,G x x y ++， 故G 、B 、D 三点共线，则1221212122111321222GB x x x x x GDx x x x ++-++==+++++．又由121y y =-，知221212144y y x x ==，故()()2111111221111111111141221411131346221222222x x x GB x x x GD x x x x x x x x ++++++===-=-++++++++1111,1222x ⎛⎫=-∈ ⎪+⎝⎭. 故GB GD的取值范围为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭．六、圆锥曲线中的证明问题1、圆锥曲线中的证明问题，常见的有位置关系方面的，如证明相切、垂直、过定点等；数量关系方面的，如存在定值、恒成立、值相等、角相等、三点共线等．在熟悉圆锥曲线的定义和性质的前提下，要多采用直接法证明，但有时也会用到反证法．【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过3(1,)2和两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A ，B ，当动点M 在定直线4x =上运动时，直线AM ，BM 分别交椭圆于两点P 和Q （不同于B ，A ）.证明：点B 在以PQ 为直径的圆内.【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析. 【解析】（1）依题意，将点3(1,)2和的坐标代入椭圆22221x y a b +=，得222219142312a b ab ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2243a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆方程为22143x y +=（2）由（1）知()()2,0,2,0A B -，显然点M 不在x 轴上，设()4,,0M t t ≠，()(),,,P P Q Q P x y Q x y ，直线,AM BM 斜率分别为,62AM BM t tk k ==，直线AM 的方程为()26ty x =+，BM 的方程为()22t y x =-，由()2226143t y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 得()222227441080t x t x t +++-=，显然0∆>， 于是224108227P t x t --=+，解得2254227P t x t -=+，则()2182627P P t ty x t =+=+，由()2222143t y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 得()2222344120t x t x t +-+-=，显然0'∆>，于是2241223Q t x t -=+，解得22263Q t x t -=+，则()26223Q Q t ty x t =-=-+，因此22222254218418(2,)(,)27272727t t t t BP t t t t --=-=++++，22222266126(2,)(,)3333t t tBQ t t t t--=--=-++++， 则()()2222222241218660()()027*******t t t t BP BQ t t t t t t --⋅=⨯-+⨯-=++++++<， 则有PBQ ∠为钝角， 所以点B 在以PQ 为直径的圆内.【典例2】（2023上·福建泉州·高三校考阶段练习）点F 是抛物线Γ：22y px =（0p >）的焦点，O 为坐标原点，过点F 作垂直于x 轴的直线l ，与抛物线Γ相交于A ，B 两点，AB 4=，抛物线Γ的准线与x 轴交于点K ．（1）求抛物线Γ的方程；（2）设C 、D 是抛物线Γ上异于A 、B 两点的两个不同的点，直线AC 、BD 相交于点E ，直线AD 、BC 相交于点G ，证明：E 、G 、K 三点共线． 【答案】（1）24y x =；（2）详见解析.【解析】（1）抛物线Γ：22y px =（0p >）的焦点坐标为：,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭过点F 作垂因为直于x 轴的直线l ，与抛物线Γ相交于A ，B 两点，且AB 4=， 不妨设,2,,222p p A B ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2222p p =⋅，解得2p =或2p =-（舍去），所以抛物线Γ的方程为24y x =； （2）如图所示：由（1）知()()1,2,1,2A B -，设()22121212,,,2,244y y C y D y y y ⎛⎫⎛⎫≠≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则直线AC 的方程为：()()12112421,21214y y x y x y y --=--=-+-，直线BD 的方程为：()()22222421,21214y y x y x y y ++=-+=---，联立得()()1242124212y x y y x y ⎧-=-⎪+⎪⎨⎪+=-⎪-⎩，解得()1212121212424y y y y x y y y y y y y -+⎧=⎪-+⎪⎨+⎪=⎪-+⎩，则()12121212122,44y y y y y y E y y y y +⎛⎫-+ ⎪-+-+⎝⎭，所以()()()()1212121212121212121212122224441144EKy y y y y y y y y y k y y y y y y y y y y y y y y +++-+-+===-+-++--+-+-+， 则直线BC 的方程为：()()12112421,21214y y x y x y y ++=-+=---，直线AD 的方程为：()()22222421,21214y y x y x y y --=--=-+-，联立得()()1242124212y x y y x y ⎧+=-⎪-⎪⎨⎪-=-⎪+⎩，解得()1221211221424y y y y x y y y y y y y -+⎧=⎪-+⎪⎨+⎪=⎪-+⎩，则()12122121212,44y y y y y y G y y y y +⎛⎫-+ ⎪-+-+⎝⎭，所以()()()()1212122121122112211221212224441144GKy y y y y y y y y y k y y y y y y y y y y y y y y +++-+-+===-+-++--+-+-+，则EK GK k k =， 所以E ，K ，G 三点共线.七、圆锥曲线中的探索性问题“肯定顺推法”解决探索性问题，即先假设结论成立，用待定系数法列出相应参数的方程，倘若相应方程有解，则探索的元素存在(或命题成立)，否则不存在(或不成立)．【典例1】（2023下·河南开封·通许一中高三校考阶段练习）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点⎛- ⎝⎭和2⎛ ⎝⎭． （1）求C 的方程；（2）不过原点O 的直线l 与C 交于不同的,P Q 两点，且直线,,OP PQ OQ 的斜率成等比数列．在C 上是否存在一点M ，使得四边形OPMQ 为平行四边形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2212x y +=；（2）存在；)12y x =+或)12y x =-或)12y x =-+或)12y x =-.【解析】（1）由题意可得2222112113241a ba b ⎧⎪+=⎪⎪⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得2221a b ⎧=⎨=⎩，故C 的方程为2212x y +=；（2）由题意知直线l 的斜率一定存在，设直线的l 方程为0),(0y kx m k m ≠+≠=，设())(1122,,,P x y Q x y ，由2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()222214220k x kmx m +++-=， 需满足228(21)0k m ∆=-+>，则()2121222214,2121-+=-=++m km x x x x k k ， 所以()()()2222121212122221m k y y kx m kx m k x x km x x m k -=++=+++=+，故()2212212221y y m k x x m -=-；由于直线,,OP PQ OQ 的斜率成等比数列，即2()PQ OP OQ k k k =，即21212y y k x x =， 故()2222221m k k m -=-，解得212k =， 存在点M ，使得四边形OPMQ 为平行四边形，理由如下：四边形OPMQ 为平行四边形，则())(1122,,OM OP OQ x y x y =+=+, 故()1212,M x x y y ++，又点M 在椭圆C 上，故()()22121212x x y y +++=，因为()()2222122216221k m x x m k+==+，()()()()22222212121212244y y k x x m k x x km x x m m +=++=++++=⎡⎤⎣⎦所以221m m +=，即212m =， 当2211,22==k m ，满足228(21)0k m ∆=-+>，所以直线l 的方程为)21y x =+或)21y x =-或)21y x =+或)21y x =-.【典例2】（2023上·重庆·高三统考阶段练习）已知抛物线2:2C y px =经过点(2,6-，直线1:(0)l y kx m km =+≠与C 交于A ，B 两点（异于坐标原点O ）．（1）若0OA OB ⋅=，证明：直线1l 过定点．（2）已知2k =，直线2l 在直线1l 的右侧，12//l l ，1l 与2l 之间的距离5d =2l 交C 于M ，N 两点，试问是否存在m ，使得||||10MN AB -=？若存在，求m 的值；若不存在，说明理由．24【解析】（1）证明：将点(2,26-代入22y px =，得244p =，即6p ．联立212,,y x y kx m ⎧=⎨=+⎩得212120ky y m -+=，由0km ≠，设()11,A x y ，()22,B x y ，则1212m y y k =，()222212121221212144y y y y m x x k =⋅==．因为0OA OB ⋅=，所以212122120m mx x y y k k+=+=恒成立，则12m k =-，所以1l 的方程为(12)y k x =-， 故直线1l 过定点(12,0)．（2）联立212,2,y x y x m ⎧=⎨=+⎩得224(412)0x m x m +-+=，则122123,,4x x m m x x +=-+⎧⎪⎨=⎪⎩且22(412)1648(32)0m m m ∆=--=->，即32m <， ()222121212||12124596AB x x x x x m =+-=++--设2:2l y x n =+，同理可得||596MN n =- 因为直线2l 在1l 的右侧，所以n m <， 则55d ==5n m =-． 所以||||596(5)9610MN AB m m ⎡-=---=⎣， 3962596m m --3124m =，因为313242<，所以满足条件的m 存在，3124m =.【典例3】（2023上·重庆·南开中学高三校考阶段练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右顶点分别为A 、B ，渐近线方程为12y x =±，焦点到渐近线距离为1，直线:l y kx m =+与C 左右两支分别交于P ，Q ，且点2323m k ⎝⎭在双曲线C 上.记APQ △和BPQ 面积分别为1S ，2S ，AP ，BQ 的斜率分别为1k ，2k（1）求双曲线C 的方程；（2）若12432S S =，试问是否存在实数λ，使得1k -，k λ，2k .成等比数列，若存在，求出λ的值，不存在说明理由.4【解析】（1）由题可得222121b a c a b ⎧=⎪⎪==+⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，所以双曲线C 的方程为2214x y -=； （2）由点⎝⎭在22:14x C y -=上可得：2243m k -=. 联立y kx m =+和22:14x C y -=整理得：()()222148410k x kmx m ---+=，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则有：122814km x x k +=-，21224(1)14m x x k -+⋅=-， ()22Δ1641640m k =-+=>，又由直线交左右两支各一点可得：21224(1)014m x x k -+⋅=<-，所以2140k ->，即214k <，所以12PQ x =-==， 又()2,0A -到直线:l y kx m =+的距离1d =()2,0B 到直线:l y kx m =+的距离2d =所以2212224311m k d d k k -==++，所以()12122211484322214S S PQ d PQ d k ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭-， 所以23(14)1k -=（2140k ->），解得216k =， 又121212121221222()4y y y y k k x x x x x x =⋅=+-+--， 其中2222121212122243()()()1414m k y y kx m kx m k x x km x x m k k -=++=+++==--， 212212224(1)842()424141414m x x x x k k k -+-+--=+-=---， 所以1212122132()44y y k k x x x x ==-+--，假设存在实数λ，使得1k -，k λ，2k 成等比数列， 则有2212k k k λ=-，所以21364λ=，解得λ=λ=.易错点2 忽视直线与双曲线相交的特殊性点拨：直线与双曲线的位置关系分为：相交、相离、相切三种。

专题03 最值问题最值（含范围）问题是解析几何中常见的 问题之一，其基本解题方法是把所求量表示成某个变量的函数，利用二次函数或函数单调性 求最值或范围，也可以利用基本不等式，有时 也会利用几何量的有界性确定范围. 最值问题不仅解答题中分量较大，而且客 观题中也时常出现.求最值的思维导图如右 最大最小为最值 单调二次不等式 几何有界也有用 具体问题再审视思路点拨解1 显然两条直线的斜率都存在且不为0，抛物线2:4C y x =的焦点(1,0)F .设1:(1)l y k x =-，由2(1)4y k x y x =-⎧⎨=⎩，，消元y 得2222(24)0k x k x k -++=，所以22224424A B k AB x x p k k+=++=+=+， 同理，244DE k =+，2214()816AB DE k k+=++≥，当且仅当1k =±时取等号.选（A ）. 解2 设直线1l 的倾斜角为α，则2l 的倾斜角为2+πα，因为22sin p AB =α，22sin ()2pDE =+πα， 例1 已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（A ）16 （B ）14 （C ）12 （D ）10 用参数表示该量求 某 量 最 值化简、换元转化为可以利用函数单调性、二次函数、基本不等式、导数、几何图形有界等方法求最值所以2244sin sin ()2AB DE +=++παα 2222444sin cos sin cos =+=αααα21616sin 2=≥α， 当且仅当4=πα或34=πα时取等号.选（A ）.注1 过抛物线22y px =的焦点弦长22||sin p AB θ=.注2 也可以设1:1l x ty =+，则214x ty y x =+⎧⎨=⎩，，消取x 得2440y ty --=，所以2()444A B A B AB x x p t y y t =++=++=+，同理，244DE t =+， 2214()816AB DE t t +=++≥，当且仅当1t =±时取等号.思路点拨当03m <<，焦点在x 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=，则tan 603a b ≥=33≥，得01m <≤. 当3m >，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=，则tan 603ab≥=≥，得9m ≥. 故m 的取值范围为(0,1][9,)+∞.(0,1][9,)+∞ 3][9,)+∞ (0,1][4,)+∞ 3][4,)+∞思路点拨要求两个绝对值之和的最小值，就要去掉绝对值，需要分类讨论.怎么确定分类标准？就是令绝对值内部的式子为0.比如，若令220x y +-=，则直线220x y +-=与圆相交，把圆分成两部分.解1 原问题可以转化为如下的非线性规划问题：可行域为单位圆（含内部）的任意一点，直线22y x =-将可行域分成两个部分，不妨将左下方的区域（大弓形区域）记作Ⅰ，将右上方的区域（小弓形区域）记作Ⅰ．因为单位圆221x y +≤及其内部在直线630x y --=下方，所以630x y -->，所以(,)|22||63|f x y x y x y =+-+--42,22,834,22.x y y x x y y x +-≥-⎧=⎨--<-⎩ 直线22y x =-与单位圆221x y +=交点10E ,（），3455F （，）.设1242,834z x y z x y =+-=--，分别作直线13,24y x y x ==-并平移，则1242,834z x y z x y =+-=--都在点3455F （，）取得最小值3.所以2263x y x y +-+--的最小值是3.解2 (,)|22||63|f x y x y x y =+-+--|(22)(63)||348|x y x y x y ≥+----=+-，（当220x y +-≤时取等号）.设cos ,sin x r y r θθ==，其中01,02r θπ≤≤≤≤. 则 |348||3cos 4sin 8|x y r r θθ+-=+-|5sin()8|85853r r θϕ=+-≥-≥-=.其中ϕ由34sin ,cos 55ϕϕ==确定，等号当且仅当1,sin+=1r θϕ=（），即3455x ,y ==.另外，当220x y +->时，2263x y x y +-+--3>. 所以2263x y x y +-+--的最小值是3.思路点拨在平面直角坐标系中画出可行域如图，22x y +的几何意义为可行域内的点到原点距离的平方．xy BA –1–2–3–412341234例4 已知实数,x y 满足240,220,330,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩则22x y +的取值范围为____.是 ．过原点O 作直线220x y +-=的垂线，垂足为A ，可以看出图中A 点距离原点最近，此时距离为原点O 到直线220x y +-=的距离，d ==()22min45x y +=， 图中B 点距离原点最远，B 点为240x y -+=与330x y --=交点，则()2,3B ，则()22max13xy +=．所以，22x y +的取值范围为4[,13].5思路点拨第（2）题的关键是选择适当的参数表示||||PA PQ ⋅，可以用直线AP 的斜率为k 为参数，需要求出Q 的坐标，再分别求出||||PA PQ 、的表达式，计算量较大.也可以设2(,)P t t ，以t 为参数，从向量的角度得到||||||||cos AP PQ AP PB BPQ ⋅=⋅∠PA PQ =-⋅+PA PB BQ PA PB =-⋅-⋅（）=.转化为t 函数，再求最大值. 满分解答（1）设直线AP 的斜率为k ，2114122x k x x -==-+， 因为1322x -<<，所以直线AP 斜率的取值范围是(1,1)-.（2）解1设直线AP 的斜率为k ，则 直线AP 的方程为y =kx +12k +14，BQ 的方程为y =13924x k k -++.联立直线AP 与BQ 的方程1102493042kx y k x ky k ⎧-++=⎪⎪⎨⎪+--=⎪⎩，，解得点222234981(,)2244k k k k Q k k +-++++.因为1||)1)2PA x k =+=+，2||)Q PQ x x =-=，所以3||||(1)(1)PA PQ k k ⋅=--+.令3()(1)(1)f k k k =--+，因为2()(42)(1)f k k k '=--+，所以()f k 在区间1(1,)2-上单调递增，1(,1)2上单调递减，因此当12k =时，||||PA PQ ⋅取得最大值2716. 解2 用向量法，令2(,)P t t ，所以||||||||cos AP PQ AP PB BPQ ⋅=⋅∠PA PQ PA PB =-⋅=-⋅221319()()()()2244t t t t =+-+--4233216t t t =-+++222127(1)(1)216t t =----+2716≤. 当且仅当1t =时等号成立.第（2）题可设SOMθ∠=，则2SOTθ∠=，则23sin23ABMCOM OC ABθ==+.223OCAB=+⋅，只要求sinθ的最小值，即只要求OCAB的最小值.(2) 设SOMθ∠=，则2SOTθ∠=，且223sin2233ABMCOCOM OC ABABθ===++⋅.设1122(,),(,)A x yB x y，联立方程22112xyy k x⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得2211(42)10k x x+--=，由题意知0∆>，且1121222111,212(21)x x x x k k +==-++，故12212AB x k =-=+.联立方程221124x y y x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得2221221181,1414k x y k k ==++，因此OC ==.注 211k OCAB +=22=令21112,1(0,1)t k t t =+>∈，，则211=2t k -，代入上式整理得OC AB =当且仅当112t=，即2t =时OC AB的最小值23，此时12k =±.思路点拨第（1）题直接计算可得。

高考数学新课标思维导图高考数学新课标思维导图主要围绕以下几个核心模块构建：1. 函数与方程- 函数的概念与性质：定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性 - 基本初等函数：指数函数、对数函数、三角函数- 函数的图像与变换：平移、伸缩、对称- 函数的应用：最值问题、实际问题建模2. 几何与空间- 平面几何：直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线- 立体几何：柱体、锥体、球体、多面体- 空间向量及其应用：向量加法、数乘、数量积、向量积- 空间几何体的体积与表面积计算3. 概率与统计- 随机事件与概率：事件的分类、概率的计算- 离散型随机变量：分布列、期望、方差- 连续型随机变量：概率密度函数、期望、方差- 统计初步：数据的收集、整理、描述（平均数、中位数、众数、方差）4. 数列与极限- 数列的概念：等差数列、等比数列、递推数列- 数列的通项公式与求和：公式法、裂项法、错位相减法- 数列的应用：数列与函数、数列与不等式- 极限的概念：极限的运算、无穷小量、无穷大量5. 解析几何- 直线与圆的方程：标准方程、一般方程、参数方程- 圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线的方程与性质- 坐标变换：坐标平移、旋转、伸缩- 轨迹问题：直线与曲线的交点、曲线的切线6. 微积分初步- 导数的概念：导数的定义、几何意义、物理意义- 导数的运算：基本初等函数的导数、复合函数的导数- 微分的应用：速度问题、曲线的切线- 积分的概念：不定积分、定积分- 积分的运算：换元积分法、分部积分法7. 数学思想方法- 归纳法与演绎法：数学证明的基本方法- 数形结合：图形与代数的相互转化- 转化与化归：将复杂问题转化为简单问题- 逻辑推理：命题的真假判断、推理过程8. 数学文化与应用- 数学史：数学发展的重要事件与人物- 数学与生活：数学在日常生活中的应用- 数学与技术：数学在科技领域的应用- 数学与社会：数学在社会问题解决中的作用以上是高考数学新课标思维导图的主要内容，这些模块相互关联，共同构成了高中数学知识体系。

01 思维导图知识点02：椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x 轴上焦点在图形221x y （0a b >>）22221y x a b +=（02 知识速记x a ≥或x a≤-y a ≤-或y a≥x≥，03 题型归纳A ．若直线AB 的斜率k 存在，则B ．当点C 的坐标为(210,C ．当2AB AD AB ×=uuu r uuu r uuu r时，△D ．当2AB AD AB ×=uuu r uuu r uuu r 时，2(1)当直线l的倾斜角为(2)试确定在x轴上是否存在点请说明理由．(1)求证：6pa =；(2)求抛物线C 的方程；(3)过点(2,2)D 作直线交抛物线()121232k k k k -+的值．（1）若P的坐标为（-2（2）记PQ直线为m，其在若QF恰好经过M点，求直线2．（23-24高三上·广东惠州·阶段练习）已知点()1,0A -，()10B ,，动点(),P x y 满足直线PA 与PB 的斜率之积为3，记动点P 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)过点()2,0F 的直线与曲线C 交于,M N 两点，直线AM 与BN 相交于Q ．求证：点Q 在定直线上．3．（2024·浙江绍兴）已知抛物线2:4C x y =，过点(1,2)P -的直线l 交抛物线C 于,A B 两点，交y 轴于点(0,)(0)M t t >，分别过点,A B 作直线y t =-的垂线，垂足分别为,C D ，如图．（1）若OC OD ^（O 为坐标原点），求t 的值；（2）过M 作直线AB 的垂线交CD 于点N ．记ACO △，,BDO ABN V V 的面积分别为123,,S S S ．若()12323S S S +=，求直线l 的方程．3．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）已知点()1,2Q 在抛物线22y px =上，过点()8,0的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，点M 为线段AB 的中点，过M 作平行于x 轴的直线交抛物线于点N ．(1)求抛物线的方程；(2)是否存在直线l 使得点N 满足0NA NB ×=uuu r uuu r 若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由．。

基本专题：（1）求曲线的标准方程 方法一：待定系数法 方法二．求c b a ,,（2）判断曲线的类型 122=+By A x 类型 022=++C By Ax 类型（3）定义的应用 判断所求轨迹的点的性质（4）求曲线的离心率 要求曲线离心率，找出关系消去b ，化简之后变成e ，注意范围取正值 （5）中点弦问题 点差法（设而不求）（6）焦点三角形 （正弦定理．余弦定理的应用）（7）弦长公式 ||1||11||1||2122122m k y y kx x k AB ∆+=-+=-+=（8）最值问题 注意几何意义（9）圆锥曲线应用题 读题--->反复读题--->建立模型--->求解结果--->写出结论 （10）直线与圆锥曲线的位置关系 （点在曲线外/内/上）（直线：联立，化简，判断△）圆锥曲线的其他有用结论总结一、椭圆中结论：1、点00(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内部的条件：____________________点00(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外部的条件：____________________2、过椭圆22221x y a b +=上一点00(,)P x y 与椭圆相切的直线方程：____________________过椭圆22221x y a b +=外一点00(,)P x y 与椭圆相切得切点弦的方程：____________________过椭圆22221x y a b+=内一点00(,)P x y 的弦与椭圆交点的切线交点轨迹：____________________3、椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点，12F PF θ∠=， 则椭圆的焦点三角形的面积为____________________12||||PF PF =__________________ 4、AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则AB K =______________，即OM AB k k ⋅=______________。