圆锥曲线的原理最详细图解(平面与圆锥面的截线)

平面与圆锥面的截线一、直观感受：观察平面截圆锥面的图形，截线是什么图形？改变平面的位置，可得到三种曲线，它们统称为圆锥曲线（下图由软件《立几画板》制作）：二、分类探究：从平面图形入手，开始讨论一条直线与等腰三角形的位置关系：将等腰三角形拓广为圆锥，直线拓广为平面。

如果用一平面去截一个正圆锥，而且这个平面不通过圆锥的顶点，会出现哪些情况呢？如下图：归纳提升：定理在空间中，取直线l为轴，直线l'与l相交于O点，其夹角为α，l'围绕l旋转得到以O为顶点，l'为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴l交角为β（π与l平行，记作β＝0），则：（1）β＞α，平面π与圆锥的交线为椭圆；（2）β＝α，平面π与圆锥的交线为抛物线；（3）β＜α，平面π与圆锥的交线为双曲线。

三、证明结论：利用Dandelin双球（这两个球位于圆锥的内部，一个位于平面的上方，一个位于平面的下方，并且与平面及圆锥均相切）证明：β＞α，平面与圆锥的交线为椭圆.如图，利用切线长相等，容易证明PF1+PF2=PQ1+PQ2＝Q1Q2=定值.下面证明：β＝α时，平面与圆锥面的交线为抛物线。

下面讨论当平面与圆锥面的交线为双曲线时准线的及离心率：换个角度看图：容易知道：截得的圆锥曲线的离心率等于截面和圆锥轴的夹角的余弦与圆锥顶角一半的余弦之比.四、知识运用用图霸制作三维直观图：解答参看下图：五、图形制作三种曲线的丹迪林Dandelin双球图可以在《几何图霸》中统一到一幅图中，主要制作步骤如下：1.作全自由点O，过点O作平行于z轴上的点B，过B作平行于x轴上的点C，作点B、C 关于O的对称点B’、C'.2.选取点O、B、C，作圆锥，选取点O、B’、C’，作圆锥.3.在圆B上任取点D，作D关于B对称点，连接OD，OD’，在OD上任取一点E，以E 为圆心画过点D’、D的心点圆，在圆E上任取点F，连EF，它表示截面的位置，可以绕点E转动.4.作角OEF的平分线，与轴BB’交于O1；作角DEF的平分线，与轴BB’交于O2，它们就是双球的球心.5.过球心O1、O2分别作边EF的垂线，垂足分别为F1、F2，它们就是焦点.6.选取点O1、F1，作球O1（图中显示大圆，光照后显示为球），同法作球O2.7.取线EF上的点G、H，作GDO垂线上的伸缩点I，作点I关于点G的对称点I’，按向量GH平称点I、I’，得点I2、I".添加面II2I"I’，连接四边，表示截面.它的长宽可以用点G、H、I控制；点F控制其转动.8.添加下底圆上的点J，连结OJ交截面于点K，选取点J、K，添加轨迹，它就是截线，如上图中的椭圆.9.点E按向量OD’平移得点E’，EE’交圆于点G1，EG1平行于母线OD’，添加点F到点G1的动画，名为“抛物线”.10.参看前面各图添加其它图元.下载图霸文件后在“对象浏览器”中查看各对象.课件下载：共享文件下载中心相关文章：1 利用丹迪林Dandelin双球证明平面与圆锥面的截线定理2平面与圆柱面的截线更多文章：《几何图霸》文章列表几何图霸网站：。

圆锥曲线的切线及其作图原理摘要：介绍了圆锥曲线作切线的简单方法、易操作，在作图中有很高的使用价值，应进行推广. 并按照这个方法完成了《圆锥曲线的切线及其作图原理》几何画板课件.笔者最近借助几何画板研究一个数学问题时,无意中发现了圆的一个优美性质,并将其推广到椭圆和双曲线,这一性质为我们提供了过椭圆(双曲线)上任意一点作椭圆(双曲线)切线的非常简便的尺规方法.定理1:已知AB 是圆C :222x y r +=的直径,直线l 与x 轴垂直,过圆C 上任意一点P (不同于,A B )作直线PA 与PB 分别交直线l 于,M N 两点,记线段MN 的中点为Q ,则直线PQ 与圆相切。

证明:设点00(,)P x y ,直线l 为x m =,直线,PA PB 的斜率分别为12,k k ,则000001222000022y y x y xk k x r x r x r y +=+==-+-- 直线010:()PA y y k x x -=-,令x m =,则100()y k m x y =-+∴100(,())M m k m x y -+,同理可得200(,())N m k m x y -+∴MN 的中点0000(,())x Q m m x y y --+,∴直线PQ 的斜率为00xk y =- ∴直线0000:()x PQ y y x x y -=--,即为200x x y y r +=,易知直线PQ 与圆相切.定理2:已知,A B 是椭圆C :)0(12222>>=+b a by a x 的左右顶点,直线l 与x 轴垂直,过椭圆C 上任意一点P (不同于,A B )作直线PA 与PB 分别交直线l 于,M N 两点,记线段MN 的中点为Q ,则直线PQ 与椭圆相切.证明:设点00(,)P x y ,直线l 为x m =,直线,PA PB 的斜率分别为12,k k ,则20000012222000022y y x y b x k k x a x a x a a y +=+==-+--直线010:()PA y y k x x -=-,令x m =,则100()y k m x y =-+∴100(,())M m k m x y -+,同理可得200(,())N m k m x y -+∴MN 的中点200020(,())b x Q m m x y a y --+,∴直线PQ 的斜率为2020b x k a y =-∴直线200020:()b x PQ y y x x a y -=--,即为00221x x y ya b +=,易知直线PQ 与椭圆相切.定理3:已知,A B 是双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右顶点,直线l 与x 轴垂直,过双曲线C 上任意一点P (不同于,A B )作直线PA 与PB 分别交直线l 于,M N 两点,记线段MN 的中点为Q ,则直线PQ 与双曲线相切。

圆锥曲线的截法
圆锥曲线的截法是指将一个圆锥曲线与一直线相交所得的交点。

不同的圆锥曲线有不同的截法。

1. 椭圆的截法：椭圆与一直线的截点是椭圆上的两个点，除非直线与椭圆相切于唯一一点或者不与椭圆相交。

2. 双曲线的截法：双曲线与一直线的截点是双曲线上的两个点，除非直线与双曲线相切于唯一一点或者不与双曲线相交。

3. 抛物线的截法：抛物线与一直线的截点是抛物线上的一个点，除非直线与抛物线相切于该点或者不与抛物线相交。

在实际应用中，可以根据截法确定圆锥曲线的方程和特征。

圆锥曲线一：椭圆【1】第必定义： PF 1 PF 2 2a第二定义：PF 2ePP注意：当2a 1 2 时表示椭圆；1 2 时表示线段F 1F 2 ；2a 1 2 ，没有轨迹 .F F 2a F FF F【2】标准方程：x 2y 21 (a b 0) x a cos ,为参数 )参数方程：( a 2b 2y b sin .【3】焦点三角形 PF 1F 2 的性质b 2 ①【定义推出周长】周长 l 2a 2c；②| PF 1 || PF 2 |21 cos③【 S 1 底 高1PF 1 PF 2 sin余弦定理】 S c y pb 2 tan (F 1 PF 2 )222④ PQ 为 F 1PF 2 的角均分线， I 为 F 1PF 2 的心里，依据SS1 F 1Q h 高1 F 1P PQ sinF 1QF 1P则有以下结论：F 1 PQ222 ，即F 2 PQ1 F 2Q h 高 1 F2 P PQ sin F 2Q F 2 P2 22F 1Q F 2QF 1Q F 2Q F 1 F 2 sin 2c QI F 1P F 2 P F 1 P F 2PF 1P F 2 P sinsin2aeIP【4】 P ( x , y ) 为椭圆上随意一点，则过点P 的切线 PT 方程为：x 0 x y 0 y 1 . 剖析 ：可理解为切线是一次的方程，点 P (x 0 , y 0 )的 a 2b 2坐标既要知足椭圆又要知足切线，相当于把椭圆里面的此中一对( x, y) 换成 (x 0 , y 0 ) .此外切线 PT 也是 F 1 PF 2 的外角角均分线 .扩展：① 焦点 F 1, F 2 在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆， 除掉长轴的两个端点，即 x 2y 2 a 2 .② 若 0在椭圆x 2 y 2 1 外 ，则过 P 作椭圆的两条切线切点为P 1 , P 2 ，则a2b2P ( x , y )切点弦 P P 的直线方程是x 0xy 0 y 1 . 1 2a 2b 2③ 椭圆 x2y 2 1 （ a ＞ b ＞ 0）的两个极点为 A 1 ( a,0) , A 2 ( a,0) ，与 y 轴平行的直线 a 2b 2交椭圆于 P 1, P 2 时 , A P 与 A P 交点的轨迹方程是双曲线 x 2 y 2 1 .a 2b 21 12 2④ 设A 1, A 2 是椭圆 x 2y 21的长轴的两个端点，QQ 是与 A 1 A 2 垂直的弦，则直线22abx 2y 2A Q 与 A Q 的交点 P 的轨迹是双曲线1.2212ab【5】“点差法”或许“中点弦性质”直线 AB 与椭圆交于 A(x , y ), B( x 2 , y ) 两点， M (x , y ) 为 AB 的中点 ，则有:1120 0x 12y 12 1222y 222b 2( y 1 y 2 )( y 1y 2 ) b 2b 2a 2b 2作差x 1x 2y 12整理y 1 y 2x 22 y 221a2b2x 12x 22a 2( x 1x 2 )( x 1 x 2 )a2k AB k OMa 2a2 b 2【总结】 当题目中出现弦的中点时或许提到直线的斜率了， 那我们就能够试试看看是否是符合点差法的基础图形或许结论了. 拓展 ：点差法的变形第 2 页【6】设A, B为椭圆x2 y2k(k 0, k 1)上两点，其直线x2 y2 a2 b2订交于 P,Q ,则 AP BQ .（两个椭圆AB 与椭圆b2 1a2离心率相等，即圆扁程度同样）【7】过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于P, Q 两点，A , A1 2为椭圆长轴上的极点，A1P 和 A2 Q 交于点 M ， A2 P 和 A1Q 交于点 N ，则 MF NF【8】比较小众化的解决一些线段取值范围问题的思路题目背景： P 为椭圆上任一点， E 为椭圆内一点，求 | PE | | PF | 这类形式的取值范围.2思路：|PE | |PF2 | | PE | ( 2a | PF1 |) 2a (| PE | | PF1 |) ，而后利用 P, E, F1三点共线来解决取值范围.（用定义变换此中一个和定义相关的线段，再利用三点共线办理）圆锥曲线二：双曲线【1】第必定义：PF1 PF2 2a 第二定义：PF2e PP注意：当 1 2 时表示双曲线； 1 2 时表示线段F1F2 ；2a 1 2，没有轨迹.2a F F 2a F F F F注：焦点 F 往渐近线y bx 做垂线，垂直距离恒为 b ，垂足在准线 x a2 上 .a c【2】标准方程：x 2y2 x a , 为参数 )1 (a b 0) cos参数方程：(a2 b2 y b tan .【3】焦点PF1F2的性质：①| PF1 || PF2 |2b2；1 cos【S 1 底高1 PF1 PF2 sin 余弦定理】S c y p b2 ( F1 PF2 )2 2 tan22 2②设双曲线 x2y 2 1（a ＞ 0,b ＞ 0）的两个焦点为 F 1, F 2 , P （异于长轴端点）为双曲线上 a b任 意 一 点 ， 在 PF 1F 2 中 ， 记F 1 PF 2 , PF 1 F 2 , F 1F 2P ， 则 有sinc e .(sinsin)a③ P(x , y ) 为双曲线上随意一点，则过点P 的切线 PT 方程为： x 0 xy 0 y1. 此外切线a 2 b2PT 也是 F 1PF 2 的外角角均分线（拜见椭圆的切线性质） .焦点 F 1 , F 2 在直线 PT 上的射影H 点的轨迹是以实轴为直径的圆，除掉实轴的两个端点，即x 2 y 2 a 2 .④若) 在双曲线x 2y 21 外 ，则过 P 作双曲线的两条切线，切点为P 1 , P 2 ，则a 2b 2P (x , y切点弦 P P 的直线方程是 x 0 x y 0 y 1 .1 2 a 2 b 2⑤双曲线x 2y 21 （ a ＞ 0,b ＞ 0）的两个极点为 A 1 ( a,0) ,A 2 (a,0) ，与 y 轴平行的直线a 2b 2交双曲线于 P , P 时 , A P 与 A P 交点的轨迹方程是椭圆x 2 y 2 1.22121 122a b是双曲线x 2y 2⑥设A 1, A 2 1的实轴的两个端点，QQ 是与 A A 垂直的弦，则直线 A Qa 2b 21 21与 A Q 的交点 P 的轨迹是椭圆x 2y 2 1 .2a 22b【4】焦点三角形内切圆（或许说是和角均分线相关）①如下图， I 为F PF 2 的心里， S,T , Q 为切点，利用双曲线的定义，可得T 的地点恒为1双曲线的极点 A 2 ，即 F 1 PF 2 内切圆的圆心横坐标恒为 a ，即 IA 1, IA 2x轴 ；② PI 为角均分线，过F 2 做 PI 的垂线，垂足为 D ，利用双曲线的定义可得 OD a ，即垂足的轨迹方程为：x 2 y 2 a 2 （卡在双曲线中间的一个半径为 a 的圆）【5】设 A, B 为双曲线x2y 2 k （ a ＞0,b ＞0， k 0, k 1 ）上两点，其直线 AB 与双曲线 x2y 2a 2b 21 订交于 P, Q ,则 AP BQ .（两个双曲线离心率相等，即张口程度同样）a 2b 2【6】过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于P, Q两点，A 1 , A 2 为双曲线实轴上的极点，A P 和 A Q 交于点 M ， A P 和 A Q 交于点 N ，则 MF NF .1221【7】“点差法”或许“中点弦性质”直线 AB 与双曲线交于 A ( x , y ), B (x , y )两点， M (x 0, y ) 为 AB 的中点，则有:1122x 12 y 12 1 222222b 2( y 1 y 2 )( y 1 y 2 ) b 2b 22 2a b作差 x 1x 2y 1y 2整理 y 1y 2a 2b 2x 22a 2(x 1 x 2 )( x 1 x 2 )a 2k AB k OMa 2x 22 y 221x 12a2b2注：点差法的变形拜见椭圆的变形图形.【8】比较小众化的解决一些线段取值范围问题的思路题目背景： P 为双曲线上一点， E 为双曲线内一点，求 | PE | | PF 2 | 这类形式的取值范围 .思路： | PE | | PF 2 | | PE | (| PF 1 | 2a)(| PF 1 | | PE |) 2a ，而后利用 P, E, F 1 三点共线来解决取值范围 .（用定义变换此中一个和定义相关的线段，再利用三点共线办理）圆锥曲线三：抛物线【1】定义：PF PP抛物线上任一点到焦点的距离等于到准线的距离.【2】标准方程：右：y2 2 px ( p 0)一共四种方程：左： y 2 2 px 上： x2 2 py 下： x2 2 py【3】焦点弦性质过焦点 F 倾斜角为的直线 PQ ：y k( x p) 交抛物线于 P, Q 两点，2P( x1 , y1 ), Q ( x2 , y2 ) ， P , Q 为 P, Q 在准线的投影， MN 是过焦点与直线PQ 垂直的直线，准线与 x 轴交于点 T ，则有：y k(x p 1 x1 x2 k2 p 2 p2 2 2 2 2 2 2)x p 2 p) x p 0 k y1 y2p2 k ( k ky 2 2 px 4 x1 x2 1 2p4PFxpQF x2 p122PQ x 1 x 2 p2 pPF p 1 121 112cossin1cosPF QFQFpPFQF pPQMN 2pPF QFcos1 特别地当60时，PF3QF1注: 通径为 2 p ，三角形 POQ 的面积 S POQ1PQ dp 22 sin2如下图：①点 P, O,Q ,P , O,Q 三点必定共线，充任直角梯形的对角线，交点为 O .②以 PQ 为直径的圆必与准线相切，圆心与切点连线充任半径和中位线.③ x 轴为PTQ 的角均分线.【4】随意一条直线与抛物线交于A, B 两点，则有：①点差法： k AB y 0p ②若 OA OB , 则直线 AB 必过点 (2 p,0)【5】比较小众化的解决一些线段取值范围问题的思路题目背景： P 为抛物线上一点，E 为抛物线内一点，求 | PE | | PF | 这类形式的取值范围 .思路： | PE | | PF | | PE |PP ，而后利用 P, E, P 三点共线来解决取值范围.（用定义转换此中一个和定义相关的线段，再利用三点共线办理）【6】对于抛物线切线问题，由于抛物线是一个二次和一次的联合，在求一些对于切线的问题时能够适合的利用求导来解决.D 为准线上任一点，DA, DB 为抛物线的两条切线，以下三个结论和DA, DB 切线为等价结论，知一求三：① A, F , B 三点共线；② DA DB ; ③ DF AB。