清华大学微积分课件(全)x11

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在讨论函数的微分时，已经得出 在讨论函数的微分时，已经得出:
如果函数 f 在点 x0 可微 , 则当 x → x0时, 有 f ( x ) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + o( x − x0 )
f ( x ) ≈ f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 )
. . . . . . . . .
f (x0)
y
•
y= f (x) =
o
x
x0
P ( x0 ) = f
( n) n
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( n)
( x0 )
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Pn ( x) = a0 + a1( x − x0 ) + a2 ( x − x0 ) +L+ an ( x − x0 )
2
n
Pn′ ( x ) = a1 + 2a 2 ( x − x 0 ) + L + na n ( x − x 0 )
函数逼近、 一、函数逼近、泰勒多项式 二、带皮亚诺余项的泰勒公式 三、带拉格朗日余项的泰勒公式 五个常用函数的泰勒 泰勒公式 四、五个常用函数的泰勒公式 泰勒公式的应用 五、泰勒公式的应用
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一、函数逼近、泰勒多项式 函数逼近、
（一） 比较
f ( x ) = f ( x0 ) + f ′(ξ )( x − x0 )
( x → 0)
n 阶麦克劳林公式
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[证] Rn ( x) = f ( x) − [ f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) 证
f ′′( x0 ) f ( n) ( x0 ) ( x − x0 )2 + L+ ( x − x0 )n ] + 2! n!
⇒
Rn ( x ) F ( x ) F ( x ) − F ( x0 ) F ′(ξ 1 ) = = = n+1 ( x − x0 ) G ( x ) G ( x ) − G ( x0 ) G ′(ξ 1 ) F ′(ξ 1 ) − F ′( x0 ) F ′′(ξ 2 ) F ′′(ξ 2 ) − F ′′( x0 ) = = = G ′(ξ 1 ) − G ′( x0 ) G ′′(ξ 2 ) G ′′(ξ 2 ) − G ′′( x0 )
f
x
( n+1)
(ξ ) = e
ξ
ξ
1 2 1 n e n+1 e = 1+ x + x +L+ x + x 2! n! ( n + 1)!
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ξ 在 0 与 x 之间 , − ∞ < x < +∞
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( 2 ) f ( x ) = sin x
x0 = 0
f ′( x ) = sin x , f ′′( x ) = cos x = sin( x + f
幂展开 .
x0 = 0
f ′′( 0) 2 f ( x ) = f ( 0 ) + f ′( 0 ) x + x +L 2! f ( n ) ( 0) n f ( n + 1) (ξ ) n + 1 x + x (ξ 在 0 与 x 之间) + n! ( n + 1)!
麦克劳林公式
或者
f ′′(0) 2 f ( x ) = f ( 0 ) + f ′( 0 ) x + x +L 2! f ( n ) (0) n f ( n+1) (θ x ) n+1 x + x (0 < θ < 1) + n! ( n + 1)! 2012-3-22 17
f ( x ) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + o( x − x0 )
（二）函数近似 多项式逼近函数 逼近函数. 用多项式逼近函数 逼近有两种看法： 逼近有两种看法： （1）在一点附近近似这个函数好； ）在一点附近近似这个函数好； —— 泰勒公式 （2）在区间上整体逼近得好。 ）在区间上整体逼近得好。 —— 傅立叶级数、正交多项式 傅立叶级数、 2012-3-22
F ( x0 ) = 0 ⇒ , G ( x0 ) = 0
F ( n ) ( x0 ) = 0 ( n) G ( x0 ) = 0
F ′( x 0 ) = 0 , L G ′( x0 ) = 0
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连续使用（ 连续使用（n+1）次柯西中值定理 ）
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三、带拉格朗日余项的泰勒公式 定理2: 定理2: 若函数 f 在某个包含点 x 0 在内的
开区间 ( a , b )内有 1 到 ( n + 1) 阶的各阶
f ′′( x0 ) f ( x ) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + ( x − x0 ) 2 2! +L+ f
. . . . . . . . . . . . . . . . . . (n) Pn ( x ) = n ( n − 1 )( n − 2 ) L 2 ⋅ 1a n
代入上述条件得到
n −1
n− 2
Pn′′( x ) = 2a2 + 3 ⋅ 2a3 ( x − x0 )L + n(n − 1)an ( x − x0 )
四、五个常用函数的麦克劳林公式
( x 0 = 0的泰勒公式 ) x (1) f ( x ) = e x0 = 0
′( x ) = e x , L , f ( n ) ( x ) = e x , f ( n + 1 ) ( x ) = e x f
⇒ ′( 0 ) = 1, L , f ( n ) ( 0 ) = 1 f ( 0 ) = 1, f
(ξ 在 x 0与 x 之间 )
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拉格朗日余项
[证明思路分析 证明思路分析] 证明思路分析
Rn ( x ) = f ( x ) − [ f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) f ′′( x0 ) f ( n ) ( x0 ) 2 n ( x − x0 ) + L + ( x − x0 ) ] + 2! n!
当 x → x 0时, 有
其中, o [( x − x0 ) ] = Rn ( x ) ( x → x0 )
n
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(皮亚诺余项 ) 皮亚诺余项
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当x0 = 0时, 有
f ′′(0) 2 f ( x ) = f (0) + f ′(0) x + x +L 2! + f
( n)
(0) n n x + o( x ) n!
f ( x ) = f ( x0 ) + f ′(ξ ) ⋅ ( x − x0 )
( ξ 在 x0 与 x 之间 )
[注意 两种形式余项的泰勒公式，各自成立 注意3] 两种形式余项的泰勒公式， 注意 的条件不同。应用范围不同。 的条件不同。应用范围不同。
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[注意 注意4] x 0 点的泰勒公式 , 就用 ( x − x 0 ) 的 注意
′ ′ Rn ( x) 只须证明 Rn ( x) Rn′( x) = 0 lim = lim = lim n n−1 x→x0 ( x − x ) x→x0 n( x − x ) x→x0 n(n − 1)( x − x )n−2 0 0 0
R ( x) = L= lim x→x0 n!( x − x ) 0
习题4.3 习题 作业: 作业 P112习题 13(3). 20(3). P121习题 习题4.4 习题 3(2)(5). 4. 5(2). P122综合题 综合题 10. 12. 15(2). 17. 复习: 复习 P113—121 预习: P124—133 预习
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第十三讲
泰勒公式
f
(n)
n π 0, ( 0 ) = sin = k −1 2 ( − 1) ,
( n)
π
2
), L ,
( x ) = sin( x + n ⋅ ), f 2
π
( n+1)
( x) = sin[x + (n + 1) ⋅ ] 2
n = 2k n = 2k − 1
π
⇒ f ( 0 ) = 0 , f ′( 0 ) = 1, f ′′( 0 ) = 0 , f ′′′( 0 ) = − 1
2
n
f ( x) = Pn( x) + Rn( x)
f ( x ) ≈ Pn ( x )
误差: Rn ( x)
（1）怎样确定系数？ ）怎样确定系数？
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（2）怎样确定误差？ ）怎样确定误差？
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要求： 要求：
Pn ( x0 ) = f ( x0 ) Pn′( x0 ) = f ′( x0 ) Pn′′( x0 ) = f ′′( x0 )
带拉格朗日余项的泰勒公式变形为
Rn ( x ) f ( n+1) (ξ ) = n+1 ( x − x0 ) ( n + 1) !
右端分子为 :
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R
( n+1) n
(ξ )
应用 柯西中值定理
x =ξ
右端分母为 : [( x − x 0 ) n + 1 ]( n + 1 )
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