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信号与系统第7章

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第七章离散时间信号与系统的Z域分析总结

第七章离散时间信号与系统的Z域分析总结
当 z > a 时，这是无穷递缩等比级数。
1 z X ( z) = 此时， = 1 − az −1 z − a
z > a 收敛域：
0
j Im[ z ]
a
*收敛域一定在模最大的极点 所在的圆外。
Re[ z ]
信号与系统
第7章 离散时间信号与系统的z域分析
13 /82
3.左边指数序列 x(n) = −b nu (−n − 1)
的形式 ，其中x2+Ax+B是实数范围内的不可约 多项式，而且k是正整数。这时称各分式为原 分式的“部分分式”。
信号与系统
第7章 离散时间信号与系统的z域分析
19 /82
M X ( z ) 通常， 可表成有理分式形式： b z −i ∑ i B( z ) = i =0N X ( z) = A( z ) 1 + ∑ ai z −i
z −n < ∞
n1 ≤ n ≤ n2 ;
信号与系统
第7章 离散时间信号与系统的z域分析
7 /82
因此，当时，只要，则 n= z − n 1/ z n , ≥0 同样，当时，只要，则 n <= 0 z z ,
n −n
z≠0 z≠∞ z
z −n < ∞
−n
<∞
所以收敛域至少包含，也就是除 0< z <∞ “有限平面” z= (0, ∞) z 。 ∞外的开域，即所谓
9 /82
(3)左边序列
x(n), n ≤ n2 x ( n) = n > n2 0,
X ( z)
n = −∞
= x ( n) z ∑ ∑ x ( n) z
−n n = −∞
n2

信号与系统第七章 系统函数

信号与系统第七章 系统函数

=
K
N1N 2 " N m e j(ψ1+ψ2 +"ψm ) M1 M2 " Mn ej(θ1+θ2 +"θn )
H (jω)
=
K
N1N2 " Nm M1M2 "Mn
ϕ (ω) = (ψ1 +ψ2 + "ψm ) − (θ1 +θ 2 + "θ n )
当ω 沿虚轴移动时，各复数因子(矢量)的模和辐角都
①H(z)在单位圆内的极点所对应的响应序列为衰减的。 即当k→∞时，响应均趋于0。 ②H(z)在单位圆上的一阶极点所对应的响应函数为稳 态响应。
③H(z)在单位圆上的高阶极点或单位圆外的极点，其 所对应的响应序列都是递增的。即当k→∞时，响应 均趋于∞。
第 19 页
三、由系统函数零、极点分布 决定频响特性
v1(t ) −
R
+
C v2(t )
−
写出网络转移函数表达式
H (s)
=
V2 (s) V1 (s )
=
1 RC
⎜⎛ ⋅⎜ ⎜⎜⎝
s
1 +1
RC
⎟⎞ ⎟ ⎟⎟⎠
=
1 RC
1 M1 ejθ1
= V2 ejϕ (ω) V1
M1
θ1
−1 RC
jω
O
σ
第 28 页
频响特性
jω
M1
V2 1 V1 1
2 θ1
−1 RC
O
σ
O1 RC
( ) H
jω
=
1 RC
1 M1 e jθ1
= V2 ejϕ (ω) V1

信号与系统课件第七章离散时间系统

信号与系统课件第七章离散时间系统

两序列的样值 ======= 新序列
2）相乘：z(n) x(n) y(n)
逐项对应相加
两序列的样值 ======= 新序列
3）延时：z(n) x(n m)
逐项对应相乘
原序列 ============ 新序列
2016/1/21 信号与系统 11
逐项依次左移或右移m位
离散信号的运算
4）反褶：z(n) x(n)
1 n 0 u ( n) 0 n 0
n=0,其 值=1
u (n i )
n
1 n i u (n i ) 0 n i
n
3 2 1 0
1
i
u ( n) ( n k ) k 0 (n) u (n) u (n 1)
序列：信号的时间函数只在某些离散瞬时nT 有定义值,即x(nT )
其中T为均匀的离散时刻之间隔隔; nT 称函数的宗量, n 0, 1, 2,
样值：离散信号处理的非实时性 x(n)表示序列
其中n表示各函数值在序列中出现的序号
某序列n的函值x(n)=== 在第n个样值的“样值”
2016/1/21 信号与系统 9
2016/1/21 信号与系统 30
五、离散、时间系统的数学模型联系
离散、连续模型之间联系 差分方程与 微分方程：
对连续y(t ), 若在t nT 各点取样值y(nT ), 且T 足够小
y(nT ) n 1 T dy(t ) y 则 dt T
2016/1/21
x ( n)
6
3
3 2 1 0 1 2 3 4 5 6
n
x(2n)
6 4 2

信号与系统第七、八章课后习题

信号与系统第七、八章课后习题

N k
当
2
2．线性时不变离散时间系统 ①线性 线性=叠加性+均匀性（齐次性）
c1 x1 (n) c2 x2 (n)
系统
c1 y1 (n) c2 y2 (n)
②时不变
x(n N )
系统
y (n N )
x ( n)
1 E
y ( n)
y ( n)

a
ay(n)
单位延时
1 T D z （ ）
已知激励初始状态y(-1)=0,y(-2)=1/2, fk=2ku(k),求系统 的零输入响应,零状态响应和全响应. 解: (1) 零输入响应 根据定义,零输入响应满足方程:
yx (k ) 3 yx (k 1) 2 yx (k 2) 0
其初始状态
1 yx (1) y (1) 0, yx 2 y 2 2
x(n)(n n0 ) x(n0 )(n n0 )
n
x(n)(n) x(0) (n) x(0)
n


n
x(n)(n n ) x(n ) (n n ) x(n )
0 0 n 0 0

x ( n)
k k 零状态响应
2 1 k k k (1) (2) (2) , k 0 3 3
离散时间系统的单位样值响应
(n)
零状态系统
h( n)
单位样值响应h(n)是系统在零状态时，由单位样值信 号作用之下产生的响应。因此，它是一个零状态响应。
同样，单位样值信号δ(n)仅在n=0时刻等于1，其它时 刻δ(n)=0，因此系统在n>0时的响应是零输入响应。

奥本海姆《信号与系统》(第2版)知识点归纳考研复习(下册)

奥本海姆《信号与系统》(第2版)知识点归纳考研复习(下册)

第7章采样第8章通信系统第9章拉普拉斯变换第10章Z变换第11章线性反馈系统第7章采样7.2连续时间信号x（t）从一个截止频率为的理想低通滤波器的输出得到，如果对x（t）完成冲激串采样，那么下列采样周期中的哪一些可能保证x（t）在利用一个合适的低通滤波器后能从它的样本中得到恢复？7.3在采样定理中，采样频率必须要超过的那个频率称为奈奎斯特率。

试确定下列各信号的奈奎斯特率：7.4设x（t）是一个奈奎斯特率为ω0的信号，试确定下列各信号的奈奎斯特率：7.5设x（t）是一个奈奎斯特率为ω0的信号，同时设其中。

7.6在如图7-1所示系统中，有两个时间函数x1（t）和x2（t）相乘，其乘积W （t）由一冲激串采样，x1（t）带限于ω17.7信号x（t）用采样周期T经过一个零阶保持的处理产生一个信号x0（t），设x1（t）是在x（t）的样本上经过一阶保持处理的结果，即7.8有一实值且为奇函数的周期信号x（t），它的傅里叶级数表示为7.9考虑信号x（t）为7.10判断下面每一种说法是否正确。

7.11设是一连续时间信号，它的傅里叶变换具有如下特点：7.12有一离散时间信号其傅里叶变换具有如下性质：7.13参照如图7-7所示的滤波方法，假定所用的采样周期为T，输入xc（t）为带限，而有7.14假定在上题中有重做习题7.13。

7.15对进行脉冲串采样，得到若7.16关于及其傅里叶变换7.17考虑理想离散时间带阻滤波器，其单位脉冲响应为频率响应在条件下为7．18假设截止频率为π/2的一个理想离散时间低通滤波器的单位脉冲响应是用于内插的，以得到一个2倍的增采样序列，求对应于这个增采样单位脉冲响应的频率响应。

7.19考虑如图7-11所示的系统，输入为x[n]，输出为y[n]。

零值插入系统在每一序列x[n]值之间插入两个零值点，抽取系统定义为其中W[n]是抽取系统的输入序列。

若输入x[n]为试确定下列ω1值时的输出y[n]：7.20有两个离散时间系统S1和S2用于实现一个截止频率为π/4的理想低通滤波器。

奥本海姆《信号与系统》(第2版)课后习题-第7章至第9章(下册)(圣才出品)

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第二部分课后习题第7章采样基本题7.1已知实值信号x（t），当采样频率时，x（t）能用它的样本值唯一确定。

问在什么ω值下保证为零？解：对于因其为实函数，故是偶函数。

由题意及采样定理知的最大角频率即当时，7.2连续时间信号x（t）从一个截止频率为的理想低通滤波器的输出得到，如果对x（t）完成冲激串采样，那么下列采样周期中的哪一些可能保证x（t）在利用一个合适的低通滤波器后能从它的样本中得到恢复？解：因为x（t）是某个截止频率的理想低通滤波器的输出信号，所以x（t）的最大频率就为＝1000π，由采样定理知，若对其进行冲激采样且欲由其采样m点恢复出x（t），需采样频率即采样时间问隔从而有（a）和（c）两种采样时间间隔均能保证x（t）由其采样点恢复，而（b）不能。

7.3在采样定理中，采样频率必须要超过的那个频率称为奈奎斯特率。

试确定下列各信号的奈奎斯特率：解：（a）x（t）的频谱函数为由此可见故奈奎斯特频率为（b）x（t）的频谱函数为由此可见故奈奎斯特频率为（c）x（t）的频谱函数为由此可见，当故奈奎斯特频率为7.4设x（t）是一个奈奎斯特率为ω0的信号，试确定下列各信号的奈奎斯特率：解：（a）因为的傅里叶变换为可见x（t）的最大频率也是的最大频率，故的奈奎斯特频率为0 。

（b）因为的傅里叶变换为可见x （t）的最大频率也是的最大频率．故的奈奎斯特频率仍为。

（c）因为的傅里叶变换蔓可见的最大频率是x（t）的2倍。

从而知x 2（t）的奈奎斯特频率为2（d）因为的傅里叶变换为，x（t）的最大频率为，故的最大频率为，从而可推知其奈奎斯特频率为7.5设x（t）是一个奈奎斯特率为ω0的信号，同时设其中。

当某一滤波器以Y（t）为输入，x（t）为输出时，试给出该滤波器频率响应的模和相位特性上的限制。

解：p（t）是一冲激串，间隔对x（t）用p（t-1）进行冲激采样。

先分别求出P（t）和P（t-1）的频谱函数：注意0ω是x（t）的奈奎斯特频率，这意味着x（t）的最大频率为02ω，当以p（t-1）对x（t）进行采样时，频谱无混叠发生。

《信号与系统》奥本海姆第七章

15
采样频率： 1 f s 2 f M 或 s 2M T

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信号重建:
x(t)
连续信号
∞
xp(t)
FT
x1 (t ) X1 ( j) 0,| | 1 ;
FT
x2 (t ) X 2 ( j) 0,| | 2 ;
[1 2 ]
计算 x(t ) x1 (t ) x2 (t ) 的采样频率.
20
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1 1 n 0时, X p j X j , 包 T 含原信号的全部信息, 幅度差T倍。
Xp( j)
A/ T
2
X p j 以s为周期的连续谱 , 有 新的频率成分 ,即 X j 的周期 性延拓。
s
0
s
A
X ( j)
s s M
M M
离散信号与系统的主要优点：
(1) 信号稳定性好 (2) 信号可靠性高 (3) 信号处理简便 (4) 系统灵活性强
4
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7.0 引言
采样定理是从连续信号到离散信号的桥梁， 也是对信号进行数字处理的第一个环节。
fs (t )
f (t )
A/ D
量化编码
f (n)
数字 滤波器
g(n)

信号与系统chapter 7离散时间信号与系统的Z域分析


由此可见，位移特性Z域表达式中包含了系统的起始条 件，把时域差分方程转换为Z域代数方程，因此，可以方便 求出Z域的零输入响应和两状态响应。
式（7.3）又称为左移序性质，与拉普拉斯变换的时域 微分特性相当。式（7.4）又称右移序性质，与拉普拉斯变 换的时域积分特性相当。
进一步，对于因果序列 x ( n ) , x ( 1 ) 0 ,x ( 2 ) 0 , ,则
Z [nx(n)u(n)]zdd zn∞ 0znx(n)zdd zX(z)
求下列序列的Z变换。
(1) n 2 u ( n )
n(n 1)
(2)
u(n)
解：(1 )Z[n2 u(n)] zd d z 2zz 1 zd d z2 zd d z zz 1
dz
z2 z
z [
]
, z 1
zlnz1 1ln1 zzlnzz1,z1
（2）因为
Z1
u(n 1) , z 1 z 1
根据Z域积分特性，可得
∞1
X(z)
x 1dx∞
1
z dxln ,z1
2
z x1
z x(x1 )
z1
§ 6. 卷积和定理
若 x1(n)u(n) ZX 1(z),z Rx;x2(n)u(n) ZX2(z),z Rx，则 ：
第七章 离散时间信号与系统的Z域分析
7.1引言 7.2 Z 变换 7.3 Z 变换的性质 7.4 反变换 7.5离散时间系统的 Z 域分析 7.6离散时间系统的系统函数与系统特性 7.7离散时间系统的模拟
7.1 引 言
按照与连续时间信号与系统相同的分析方法，本章将
讨论离散时间信号与系统的 z 域分析。
§ 4. Z域微分特性

信号与系统第7章(陈后金)3


一、系统函数
2. H(z)与h[k]的关系
[k]
h[k] yzs [k] = [k]*h[k] h[k ]
Z { yzs [k ]} Z {h[k ]} H ( z) Z {h[k ]} Z { [k ]} 1
H ( z ) Z {h[k ]}
h[k ] Z [H ( z)]
H(z)
2.5 1.25 z 1 0.5 z 2 H ( z) 1 0.25 z 2
二、系统函数的零极点分布
系统函数可以表达为零极点增益形式，即
( z r1 )( z r2 )( z rm ) N ( z) H ( z) K D( z ) ( z z1 )( z z2 )( z zn )
-
-
-
W(z)
an-1 an
z域框图
二、离散系统的模拟框图
2. 级联型结构
将系统函数的N(z) 和D(z)分解为一阶或二阶实系
数因子形式，将它们组成一阶和二阶子系统，即
H(z) = H1(z) H2(z) ….. Hn(z)
画出每个子系统直接型模拟流图，然后将各 子系统级联。
X(z)
H1(z)
H2(z)
D(z)=0的根是H(z)的极点，在z平面用表示。 N(z)=0的根是H(z)的零点，在z平面用 表示。 例如
(2) 1 Im (z) j 0. 5j (3) 0. 5 0 0. 5j j Re (z) 0. 5 1
H (z)
z3(z 1 j)(z 1 j)
(z 0.5)(z 1)2(z 0.5 j0.5)(z 0.5 j0.5)
w[k ] a j w[k j ] x[k ]

信号与系统分析——宗伟 7


4．离散时间与离散频率的傅里叶变换(DFS) 离散时间与离散频率的傅里叶变换(DFS)
离散周期时间信号 x ( k ) 的傅里叶变换 X ( n ) 也是离 散周期, 与 构成一对傅里叶变换对, 散周期, x ( k ) X ( n )构成一对傅里叶变换对,又称 为离散傅里叶级数. 为离散傅里叶级数. 傅里叶级数对为
D F T [ x1 ( k )] = X 1 ( n ), D F T [ x 2 ( k )] = X 2 ( n ),
则
D F T [ x1 ( k ) ⊗ x 2 ( k )] = X 1 ( n ) X 2 ( n )
证明: 证明
D F T [ x1 ( k ) ⊗ x 2 ( k )] = D F T [ ∑ x1 ( i ) x 2 (( k − i )) N G N ( i )]
N
)k
的离散傅里叶变换
W 40 W 40 W 40 x (0) 1 1 1 1 0 0 W 41 W 42 W 43 x (1) 1 − j − 1 j 1 − 2 j = = 2 4 6 W 4 W 4 W 4 x (2) 1 − 1 1 − 1 0 0 3 6 9 x (3) 1 j − 1 − j − 1 2 j W4 W4 W4
频域:周期 连续 频域 周期,连续 周期
综合以上三对傅里叶变换的规律可以得出: 综合以上三对傅里叶变换的规律可以得出 一个域中的连续性对应于另一个域中的非周期 性;一个域中的周期性对应于另一个域中的离散 一个域中的周期性对应于另一个域中的离散 性. 除了以上三种变换外,还有第四种变换存在,时 除了以上三种变换外,还有第四种变换存在, 域中周期离散函数对应于频域中离散周期函数, 域中周期离散函数对应于频域中离散周期函数, 即时域频域之间的傅里叶变换规律4: 即时域频域之间的傅里叶变换规律4: 时域:离散, 时域:离散,周期 DFS 频域:周期, 频域:周期,离散
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2
7.1.2 典型序列
1．单位样值信号（unit sample sequence）
1 [ n] 0
n0 n0
(7.1-1）
3
7.1.2 典型序列
2．单位阶跃序列（unit step sequence）
1 u[n] 0
n≥ 0 n0
(7.1-2）
u[n]
m0
[n m]

n
[m]
(7.1-4） (7.1-5）
m
[n] u[n] u[n 1]
4
7.1.2 典型序列
3．矩形序列（rectangular sequence）
1 RN [n] 0Leabharlann 0≤ n ≤ N 1 其他
(7.1-3）
RN [n] u[n] u[n N ]
(7.1-24)
s[n] x[n] y[n]
例7.1-2 已知序列
n 1 n0 n2 其他 0.5 1 x[n] 2 0
m

x[m] y[n m] (7.1-25)
1.5 1 y[ n] 1 2 0 n0 n 1 n2 n3 其他
如果：2/0是无理数，则正弦序列是非周期序列 。
0为序列正弦包络的振荡频率，也称为正弦序列的频率。
8
7.1.2 典型序列
6．斜变序列（ramp sequence）
x[n] = n u[n]
(7.1-12)
7．复指数序列（complex exponential sequence）
x[n] e
n
lim n x[ n]
23
7.2.2
z变换的收敛域
4．双边序列（two-sided sequence）
X ( z)
n


x[n]z n
n

1
x[n]z n x[n]z n
n 0

24
7.2.2
z变换的收敛域
x[n] a nu[n] bnu[n 1]
例7.2-2 求双边指数序列
的z变换，并确定它的收敛域（其中：a > 0, b > 0, b > a）。 解：这是一个双边序列，令
x1[n] a n u[n]
则：
x2 [n] bnu[n 1]
x[n] x1[n] x2 [n]

由上例结果可以直接得到x1[n]与x2[n]的z变换，即
0

1
0
Re(z )
1. s平面原点( = 0, = 0)
j
j Im( z )
0

1 0
Re(z )
2. s平面虚轴 ( = 0, 任意）
30
7.2.4
s平面到z平面的映射
j
j Im( z )
0

1 0
Re(z )
3. 左半s平面 ( 0)
j
r eT 1 （单位圆内）
n
z lim n x[n] R
n
22
7.2.2
z变换的收敛域
n2

3．左边序列（left-sided sequence）
X ( z)
n

x[n]z
n
n
X ( z)
z
m n2

x[m]z m
1 R
lim n x[n]z 1
n
Ex[n] = x [n +1]
Emx[n] = x [n+m] E–1 x[n] = x [n – 1] E–m x[n] = x [n – m]
10
7.1.3 序列的运算
（4）序列的差分和累加运算： 序列的一阶前向差分定义为 x[n] = x[n+1] x[n] 序列的一阶后向差分定义为 (7.1-20)
j Im( z )
0

1
0
Re(z )
4. 右半s平面 ( 0)
r eT 1 （单位圆外）
31
7.2.4
a
0
s平面到z平面的映射
j
2 T 2 s = T s =
j Im( z )
1 0
Re(z )
20
7.2.2
z变换的收敛域
n2
1．有限长序列（limitary-duration sequence）
X ( z)
n n1
x[n]z n
21
7.2.2
z变换的收敛域

2．右边序列（right-sided sequence）
X ( z)
n n1
x[n]z n
lim n x[n]z n 1
an 1 lim n a n
n


an
(7.2-4)
1 收敛， , 发散， 1 不能确定， 1
n
根值判定法：若有一个正项级数


an
(7.2-5)
1 收敛， n | a |, 发散， lim 1 n n 不能确定， 1
它是几何级数，若
az 1 1 ，即 z | a | 时，级数收敛，于是
，
n0
18
7.2.1
z 变换的定义
z a
1 z X1 ( z ) 1 1 (az ) z a
同理
X 2 ( z)
n


x2 [n]z
n
( a n ) z n
n
X1 ( z )
n


x1[n]z n
z za
z a
X 2 ( z)
n

x2 [n]z
n
z z b
z b
25
7.2.2
z变换的收敛域
z z X ( z) X1 ( z) X 2 ( z) z a z b ab 2z z 2 ( z a)( z b)
n 0

X s ( s) xs (t )e st dt
0

0
st x(nT ) (t nT )e dt n 0
st snT
X s ( s) x(nT ) (t nT )e dt x(nT )e
n 0 0 n 0
n 0
x[n]z

n
= x[0] + x[1]z -1 + x[2]z -2 +
(7.2-1)
序列x[n]的双边z变换（bilateral (two-sided) z transform）定义为 X(z) = Z [x[n]] =
n


x[n]z n
(7.2-2)
17
7.2.1
x[n] = x[n] x[n1]
序列的累加运算定义为
y[n]
m
(7.1-21)

n
x[m]
(7.1-22)
（5）序列的能量：
E
n


x[n]
2
(7.1-23)
11
7.1.3 序列的运算
（6）序列的分解：
x[n]
（7）序列的卷积和
m



x[m] [n m]
求：w[n] = x[n]+ x[n-1] x[n-2]， v[n] = x[n]-y[n+1], z[n] = x[n]y[n]。
12
7.1.3 序列的运算
解：
0.5 1 x[n 1] 2 0
n0 n 1 n3 其他
0.5 1 x[n 2] 2 0
1
a n z n 1 a n z n
n 1 n 0
1 z 1 1 1 a z z a
z a
19
7.2.2
z变换的收敛域
对于任意给定的有界序列x[n]，使z变换定义式(7.2-1)或式(7.2-2) 级数收敛的z值的集合，称为z变换的收敛域（ROC）。 比值判定法：若有一个正项级数
第7章 离散时间信号的时域 和变换域分析
7.1 离散时间信号的表示 7.2 序列的z变换 7.3 z逆变换
7.4 z变换的基本性质
7.5 序列的傅里叶变换 7.6 离散信号时域与变换域分析的Matlab实现
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7.1 离散时间信号—序列
7.1.1 离散时间信号的表示 只在某些离散瞬时给出函数值的时间函数，称为离 散时间信号，简称为离散信号或序列（sequence）。 用符号表示为： f (tn), x (tn) ； 若 tn = nT（n = 0, 1, 2, …），则表示为f (nT )或x(nT) 或进一步简化为：f [n] ，x[n] 注：n只能取整数，表示各函数值在序列中出现的先后序号。 称 f [n]（或x[n]）为信号在第n个样点的“样本”或“样值” （sample）。
n 1 n0 n 1 其他
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7.1.3 序列的运算
z[n] x[n] y[n]
m


x[m] y[n m]
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7.1.3 序列的运算
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7.2 序列的z变换
7.2.1 z 变换的定义 序列x[n]的单边z变换（single sided z transform）定义为 X(z) = Z [x[n]] =
| z | 0 | z | 1
p.228 表7.2-2
| z || a | | z || a |