第七章离散时间信号与系统的Z域分析总结

数字信号处理知识点总结《数字信号处理》辅导一、离散时间信号和系统的时域分析 （一） 离散时间信号（1）基本概念信号：信号传递信息的函数也是独立变量的函数，这个变量可以是时间、空间位置等。

连续信号：在某个时间区间，除有限间断点外所有瞬时均有确定值。

模拟信号：是连续信号的特例。

时间和幅度均连续。

离散信号：时间上不连续，幅度连续。

常见离散信号——序列。

数字信号：幅度量化，时间和幅度均不连续。

（2）基本序列（课本第7——10页）1）单位脉冲序列 1,0()0,0n n n δ=⎧=⎨≠⎩2）单位阶跃序列 1,0()0,0n u n n ≥⎧=⎨≤⎩3）矩形序列 1,01()0,0,N n N R n n n N ≤≤-⎧=⎨<≥⎩ 4）实指数序列 ()n a u n5）正弦序列 0()sin()x n A n ωθ=+ 6）复指数序列 ()j n n x n e e ωσ= （3）周期序列1）定义：对于序列()x n ，若存在正整数N 使()(),x n x n N n =+-∞<<∞ 则称()x n 为周期序列，记为()x n ，N 为其周期。

注意正弦周期序列周期性的判定（课本第10页）2）周期序列的表示方法： a.主值区间表示法 b.模N 表示法 3）周期延拓设()x n 为N 点非周期序列，以周期序列L 对作()x n 无限次移位相加，即可得到周期序列()x n ，即()()i x n x n iL ∞=-∞=-∑当L N ≥时，()()()N x n x n R n =当L N <时，()()()N x n x n R n ≠（4）序列的分解序列共轭对称分解定理：对于任意给定的整数M ，任何序列()x n 都可以分解成关于/2c M =共轭对称的序列()e x n 和共轭反对称的序列()o x n 之和，即()()(),e o x n x n x n n =+-∞<<∞并且1()[()()]2e x n x n x M n *=+-1()[()()]2o x n x n x M n *=--（4）序列的运算 1）基本运算2）线性卷积：将序列()x n 以y 轴为中心做翻转，然后做m 点移位，最后与()x n 对应点相乘求和——翻转、移位、相乘、求和定义式：1212()()()()()m y n x m x n m x n x n ∞=-∞=-=*∑线性卷积的计算：A 、图解B 、解析法C 、不进位乘法（必须掌握）3）单位复指数序列求和（必须掌握）/2/2/2/2/2/21/2/2/2/2/2/2(1)/21()()/(2)1()()/(2)sin(/2)sin(/2)j N j N j N j N j N j N j N N j nj j j j j j j n j N e e e e e e e j ee e e e e e e j N e ωωωωωωωωωωωωωωωωωω------------=-----===---=∑如果2/k N ωπ=，那么根据洛比达法则有sin(/2)(0)(0)(()())sin(/2)N N k N N k N ωδδω===或可以结合作业题3.22进行练习（5）序列的功率和能量能量：2|()|n E x n ∞=-∞=∑功率：21lim |()|21NN n NP x n N →∞=-=+∑（6）相关函数——与随机信号的定义运算相同（二） 离散时间系统1．系统性质 （1）线性性质定义：设系统的输入分别为1()x n 和2()x n ，输出分别为1()y n 和2()y n ，即1122()[()],()[()]y n T x n y n T x n ==统的输对于任意给定的常数a、b ，下式成立1212()[()()]()()y n T ax n bx n a y n by n =+=+则该系统服从线性叠加原理，为线性系统，否则为非线性系统。

第七章离散时间系统的Z域分析7.1 学习要求1.熟练掌握信号的Z域分析方法：Z变换的定义、收敛区及基本性质，能够应用长除法和部分分式分解法求Z反变换。

2.掌握序列的傅里叶变换的定义和基本性质，并了解Z变换与拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系。

3.掌握离散系统响应的Z变换分析方法：深刻理解离散系统的系统函数的概念，掌握离散时间系统的时域和Z域框图与流图描述形式。

7.2 学习重点1.z变换,z反变换定义、基本性质、计算方法。

2.离散时间系统的z域分析。

3.离散时间系统的频率响应特性。

7.3知识结构7.4内容摘要7.4.1 Z变换1.定义∑∞-∞=-=n nz n x z X )()( 表示为：)()]([z X n x Z =。

2. 收敛域 (1) 有限长序列12(),()0,x n n n n x n n ≤≤⎧=⎨⎩其他当0,021>>n n 时，收敛条件为0>z ；当0,021<<n n 时，收敛条件为∞<z ；当0,021><n n 时，收敛条件为∞<<z 0。

(2) 右边序列11(),()0,x n n n x n n n ≥⎧=⎨<⎩当01>n 时，收敛域为1x R z >，1x R 为最小收敛半径；当01<n 时，收敛域为∞<<z R x 1。

(3) 左边序列2(),()0,x n n n x n n ≤⎧=⎨⎩其他 当02<n ，收敛域为2x R z <，2x R 为最大收敛半径； 当02>n ，收敛域为20x R z <<。

(4) 双边序列双边序列指n 为任意值时,)(n x 皆有值的序列，即左边序列和右边序列之和。

其z 变换：∑∑∑∞=--∞=--∞-∞=-+==1)()()()(n n nnn nzn x zn x zn x z X双边序列的收敛域为一环形区域21x x R z R <<。

《信号与系统》课程实验报告变换。

zz z z z z F 2112)(232+++-=一、实验原理的验证 1、离散系统零极点图实验原理如下：离散系统可以用差分方程描述：∑∑==-=-Mm m Ni i m k f b i k y a 0)()(Z 变换后可得系统函数：NN MM z a z a a z b z b b z F z Y z H ----++++++==......)()()(110110 可以用root 函数可分别求零点和极点。

例7-4 求系统函数零极点图131)(45+-+=z z z z H实验结果如下：2、离散系统的频率特性实验原理如下：离散系统的频率特性可由系统函数求出，既令ωj e z =,函数freqz 可计算频率特性，调用格式是：[H ，W]=freqz(b,a,n)，b 和a 是系统函数分子分母系数，n 是π-0范围内n 个等份点，默认值为512，H 是频率响应函数值，W 是相应频率点； 例7-5 系统函数z z z H 5.0)(-=10个频率点的计算结果为幅频特性曲线相频特性曲线freqz语句直接画图例7-7已知系统函数114/11)1(4/5)(----=z z z H ，画频率响应和零极点图。

零极点图幅频特性曲线相频特性曲线二、已知离散系统的系统函数如下所示：1422)(232+-++=z z z z z H试用MATLAB 实现下列分析过程： （1）求出系统的零极点位置；（2）绘出系统的零极点图，根据零极点图判断系统的稳定性； （3）绘出系统单位响应的时域波形，并分析系统稳定性与系统单位响应时域特性的关系。

（1）由计算结果可知：系统的极点为p0=-3.3028、p1=1、p2=0.3028。

由计算结果可知：系统的零点为z0=1.4142i 、z1=-1.4142i 。

（2）系统的零极点图如下：程序清单如下： a=[1 2 -4 1]; b=[1 0 2]; ljdt(a,b)p=roots(a)q=roots(b)pa=abs(p)由图可知：第一个极点（p0）在单位圆外部，第二个极点（p1）在单位圆上，第三个极点（p2）在单位圆内部，因为有一个极点在单位圆外部，故该系统是不稳定的系统（稳定系统要求极点全部在单位圆内）。

实验一离散时间LTI系统的时域分析与Z域分析一、实验目的1、掌握用MATLAB求解离散时间系统的零状态响应、单位脉冲响应和单位阶跃响应；2、掌握离散时间系统系统函数零极点的计算方法和零极点图的绘制方法，并能根据零极点图分析系统的稳定性。

二、实验原理1、离散时间系统的时域分析（1）离散时间系统的零状态响应离散时间LTI系统可用线性常系数差分方程来描述，即MATLAB中函数filter可对式（1-1）的差分方程在指定时间范围内的输入序列所产生的响应进行求解。

函数filter的语句格式为：y=filter(b,a,x)其中，x为输入的离散序列；y为输出的离散序列；y的长度与x的长度一样；b与a分别为差分方程右端与左端的系数向量。

（2）离散时间系统的单位脉冲响应系统的单位脉冲响应定义为系统在 (n)激励下系统的零状态响应，用h(n)表示。

MATLAB求解单位脉冲响有两种方法：一种是利用函数filter；另一种是利用函数impz。

impz函数的常用语句格式为impz(b,a,n)，其中b和a的定义见filter，n表示脉冲响应输出的序列个数。

（3）离散时间系统的单位阶跃响应系统的单位阶跃响应定义为系统在ε(n)激励下系统的零状态响应。

MATLAB求解单位脉冲响应有两种方法：一种是利用函数filter，另一种是利用函数stepz。

stepz函数的常用语句格式为stepz(b,a,N)其中，b和a的定义见filter，N表示脉冲响应输出的序列个数。

2、离散时间系统的Z域分析(1)系统函数的零极点分析离散时间系统的系统函数定义为系统零状态响应的z变换与激励的z变换之比，即如果系统函数H(z)的有理函数表示式为那么，在MATLAB中系统函数的零极点就可通过函数roots得到，也可借助函数tf2zp得到。

roots的语法格式为：Z=roots(b)%计算零点b=[b1b2…bmbm+1]P=roots(a)%计算极点a=[a1a2…anan+1]tf2zp的语句格式为[Z,P,K]=tf2zp(b,a)其中，b与a分别表示H(z)的分子与分母多项式的系数向量。

离散时间系统的z域分析本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March第7章 离散时间系统的z 域分析1．z 变换是如何提出的它的作用是什么z 变换是为分析离散时间系统而提出的一种工程分析方法，它在离散时间系统分析中的地位和作用等价于连续时间系统分析中的拉氏变换。

它可以看作为拉氏变换的推广。

z 变换定义为：()[]nn X z x n z∞-=-∞=∑ ---- 双边z 变换 （1）()[]n n X z x n z ∞-==∑---- 单边z 变换 （2）其中z 是复变量，Re Im j z z j z re Ω=+=。

而对于取样信号的拉氏变换为()()()() ()() ()stst s s n st n snTn X s x t e dt x nT t nT e dtx nT e t nT dt x nT eδδ∞∞∞---∞-∞=-∞∞∞--∞=-∞∞-=-∞⎡⎤==-⎢⎥⎣⎦⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦=∑⎰⎰∑⎰∑ （3）如果 [](),x n x nT =令sT z e =，可以发现式（1）和式（3）相同。

2．双边z 变换和单边z 变换时如何定义的它们的定义域是如何确定的收敛域的意义是什么z 变换定义为：()[]nn X z x n z∞-=-∞=∑ ---- 双边z 变换 （1）()[]n n X z x n z ∞-==∑---- 单边z 变换 （2）z 变换收敛域就是使上述级数收敛的所有z 的取值的集合。

根据级数收敛理论，一般我们用根值判别法或比值判别法来确定z 变换收敛域， 其作用是建立序列和z 变换之间的一一对应关系。

根据序列的不同性质，序列z 变换的收敛域各不相同，具体参阅教材Page 297-298 表7-1。

3．z 变换和拉氏变换之间有什么样的关系具体分析见问题1中的式（1）和（3），根据两式，可以建立分析连续时间系统的拉氏变换的变量s 和分析离散时间系统的z 变换的变量z 之间的映射关系：sT z e =令, j z re s j σωΩ==+， 则有, T r e T σω=Ω=， 具体见教材Page 300 表7-2 。

第七章离散时间系统的 z域分析(1)??? Z变换 (2)??? Z变换的收敛域 (3)??? Z变换的性质 (4)??? 利用z变换求解差分方程 (5)??? 离散系统的系统函数 (6) 离散系统的频率响应特性本章教学要求 (1) 掌握Z变换与Z反变换.(2) 掌握离散系统的Z域分析方法. (3) 掌握离散系统函数. (4) 熟悉Z变换的主要性质. (5) 解离散系统函数零、极点的概念. (6)了解离散系统稳定性和频率响应特性的概念. 抽样信号抽样信号单边拉氏变换 7.5 z变换的基本性质 Z变换可由其定义推出许多性质，其中不少可与拉氏变换对应，据此可求解复杂序列的z 变换。

（1）线性:若例:求序列an u(n)-bn u(n-1)的z变换解: 则 a,b为任息常数. （2）移序性 1）对于双边z 变换证明: 若则称为位移因子，只影响z=0和z=?处收敛情况。

2）对于单边z 变换若f(n)是双边序列,其单边变换为则序列左移后,它的单边z变换为序列右移后的单边z变换为若f(n)为因果序列,则例:已知系统的差分方程为 y(n)-0.9y(n-1)=0.05u(n) 边界条件y(-1)=0,用z变换方法求响应y(n). 解:对差分方程两端分别取z变换（3）z域微分性(序列线性加权) 若则例:已知解: 求（4）z域尺度变换(序列指数加权) 若则则（5）初值定理若f(n)为因果序列,已知则（6）终值定理若f(n)为因果序列,已知则（7）时域卷积定理若则证明: 例:求下列两单边指数序列的卷积解: h(n) e(n) r(n) r(n)=e(n)*h(n) (在时域中求响应r(n)需进行卷积运算) R(z)=E(z)H(z) r(n)=Z-1[R(z)] (在z域中求响应r(n)不需进行卷积运算) （8）z域卷积定理(序列相乘) 若则 C1为F(z/v)与F(v)收敛域重叠部分内逆时针旋转的围线. 7.6 z变换与拉氏变换的关系（一）从 S 平面到 Z 平面的映射 T为序列的时间间隔,重复频率掌据S 平面到 Z 平面的映射关系,容易利用类似s域的方法研究离散时间系统函数z平面特性与系统时域频响及稳定性的关系. 任意 S平面的虚轴 z平面中的单位圆任意 S左半平面 z平面中的单位圆内任意 S右半平面 z平面中的单位圆外任意 S平面的实轴 z平面中的正实轴参见教材下册表8-6(p75) * * 信号与系统Signals and Systems 本章主要内容 7.1 引言 z变换是一种数学工具,它把离散系统的数学模型---差分方程转化为简单的代数方程,使其求解过程得以简化. z变换在离散系统中的地位与作用,类似于连续系统中的拉普拉斯变换. 7.2 z变换的定义一、由拉氏变换引出Z变换令 , 其中 z 为一个复变量则广义上讲采样周期T=1 单边Z变换序列{x(n)}的单边z变换定义: 序列{x(n)}的双边z变换定义: 对于因果序列(x(n)=0,n 0),双边z变换与单边z 变换等同. 二、典型序列的Z变换 (1)单位样值序列 (2)单位阶跃序列 (3)单位斜变序列 (4)指数序列 (5)正弦余弦序列正弦序列的 Z 变换: 余弦序列的 Z 变换: 7.3 z变换的收敛域 1）比值判别法 2) 根值判别法收敛域：当x(n) 为有界时，令上述级数收敛的 z 的所有可取的值的集合称为收敛域正项级数收敛性的判别收敛可能收敛可能发散发散例：收敛可能收敛可能发散发散几类序列的收敛域（1）有限序列：在有限区间内，有非零的有限值的序列收敛域:(a)n1 0,n2 0时为0 |z| ?;(b)n1 0,n2?0时为|z| ?; (c)n1?0,n2 0时为|z| 0.（2）右边序列：只在区间内，有非零的有限值的序列收敛半径圆外为收敛域 n1 ?0(n1=0为因果序列),收敛域包括z= ?,n1 0,收敛域不包括z= ?, （3）左边序列：只在区间内，有非零的有限值的序列收敛半径圆内为收敛域，若则不包括z=0点（1）双边序列：只在区间内，有非零的有限值的序列右边序列圆内收敛右边序列, 圆外收敛有环状收敛域没有收敛域例：右边序列例：左边序列收敛半径圆内为收敛域，若则不包括z=0点例：有限长序列收敛域为除了 0 和的整个平面 8个零点 7阶极点一阶极点例：双边序列 7.4 逆z变换（1）留数法（2）幂级数展开法（略）（3）部分分式法（1）留数法假设有一固定的围线C，它包围原点，沿围线逆时针转一圈，两边乘以，然后沿着围线积分，得到：由复变函数中的柯西定理只有右边的即一项，于是逆变换用留数求围线积分一阶极点： S 阶极点：例解必然是因果序列，右边序列（2）部分分式法Am 是在 Pm 处的留数只有一阶极点例双边序列左边序列右边序列简单的可用公式或查下册第60页的表8-2，8-3，8-4： *。