第十一章 概率

第十一章计数原理概率随机变量及其分布列计数原理是概率论中的重要概念之一，它是研究集合元素个数或事件发生次数的基础。

本章将介绍计数原理、概率、随机变量及其分布列的概念与性质。

首先，我们来介绍计数原理。

计数原理包括排列、组合和乘法原理。

排列是指从一组元素中选取若干元素，按一定顺序排列的方法数。

排列的基本公式为nPm=n!/(n-m)!(n≥m)，其中n为元素个数，m为选取个数，n!表示n的阶乘。

组合是指从一组元素中选取若干元素，不考虑其排列顺序的方法数。

组合的基本公式为nCm=n!/[m!(n-m)!]，其中n为元素个数，m为选取个数。

乘法原理是指若有多个相互独立的事件，每个事件发生的方法数分别为n1，n2，…，nk，则这些事件同时发生的方法数为n1·n2·····nk。

计数原理在概率论中有着重要的应用，它可以帮助我们计算事件发生的可能性。

接下来，我们来介绍概率的概念。

概率是指其中一事件在所有可能事件中发生的可能性大小。

概率的取值范围在0到1之间，0表示不可能发生，1表示必然发生。

概率的计算可以使用频率法、古典概型和几何概率等方法。

频率法是通过大量实验的结果来估计概率，公式为P(A)=n/N，其中n 为事件A发生的次数，N为试验总次数。

古典概型是指每个事件发生的可能性相等的情况下，计算概率。

公式为P(A)=m/n，其中m为事件A包含的基本事件数，n为所有基本事件的总数。

几何概率是指利用几何方法计算概率。

例如，在正方形区域中随机选择一个点，落在一些子区域中的概率等于子区域的面积与正方形区域的面积之比。

随机变量是指对随机事件的其中一种度量或描述。

随机变量可以分为离散型随机变量和连续型随机变量。

离散型随机变量的值在其中一区间内只能取有限或可数个值。

离散型随机变量的分布列可以通过概率函数或分布列来描述。

概率函数表示离散型随机变量取值的概率。

例如，设X为一些离散型随机变量，其取值为x1，x2，…，xn，对应的概率为p1，p2，…，pn，则其概率函数为P(X=xi)=pi。

第十一章 概 率 主编人:王宇红 郑青松 上课时间____________课时________知识目标：了解各种概率的意义，理解随机事件，必然事件，不可能事件，等可能性事件，互斥事件，对立事件，相互独立事件，n 次独立重复试验的概念能力目标：①理解随机概率的意义②能用排列组合知识解决等可能性事件的概率③会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率④会计算事件在n 次独立重复实验中恰好发生k 次的概率情感目标：培养学生科学的.严谨的学习态度，辨证的认识事物，用理性的数学知识解决生 活中的实际问题，培养学生的实践能力和学习数学的兴趣与动力，懂得正难则反的道理。

教学重点：四种概率的求法教学难点：四种概型的区别，用各种概型解决实际问题一 看教材：P136----P165二 知识回顾与梳理（一)随机事件的概率1.基本概念：随机事件，必然事件，不可能事件，事件的概率，等可能性事件2.概率的求法：①随机事件的求法:0≤P(A)≤1 ②等可能性事件的概率P(A)=nm （二）互斥事件和对立事件的概念与加法公式（1）互斥事件： 对立事件：（2）互斥事件有一个发生的概率的公式推广：（3）对立事件的概率公式：（三)相互对立事件同时发生的概率（1）相互独立事件：（2）相互独立事件同时发生的概率公式及推广（四）独立重复试验（1）独立重复试验的特点（2）n 次试验恰好发生k 次的概率公式三 基础自测1.设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，其中恰有6个红球的概率( )A 、 10100610480C C CB 、10100410680C C C C 、10100620480C C CD 、10100420680C C C 2.我校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参加，一班有3位，二班有2位，其他班有 5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班3位恰好排在一起而二班2位没有排在一起的概率为 （ ）A 、101 B 、201 C 、401 D 、1201 3.将5本不同的书全发给4名同学，每人至少一本的概率为（ ） A 、6415 B 、12815 C 、12524 D 、12548 4.甲：2.1A A 是互斥事件；乙：1A .2A 是对立事件，那么( )A 、甲是乙的充分不必要条件B 、甲是乙的必要不充分条件C 、甲是乙的充要条件D 、甲既不是乙的充分条件也不是必要条件5 从甲袋里摸出一个红球的概率为31，从乙袋里摸出一个红球的概率是21，从两袋里各摸出一个球，则32等于( ) A 、2个球不都是红球的概率 B 、2个球都是红球的概率C 、至少有一个红球的概率D 、2个球中恰好有一个红球的概率6 某人射击一次的概率为0.6，经过三次射击，此人至少有两次击中目标的概率为（ )A 、12581B 、12554C 、12536D 、12527 四 例题讲解例1（1）甲.乙两个盒子里各放有5个不同的电子元件,已知:甲盒子里有2个次品;乙盒子 里有1个次品,其余的均为正品.若将2个盒子的元件放在一起,然后逐个取出检查,直到次品全部被检出为至,求所有次品恰好在第4次检验时被检出的概率（2）某班星期一要上数学.物理.历史.技术.体育各一节共五节课,求体育课不排第一节且技术课与体育课不相邻的概率例2 袋中有4个白球，6个红球，在抽取这些球的时候也无法看到这些球的颜色，现先由甲取出3个球，并且取出的球不放回，再由乙取出4个球，若规定取得白球多者获胜，试求甲获胜的概率例3 甲.乙.丙三人分别独立解一道题,甲做对的概率是21,甲.乙.丙三人都做对的概率是241,甲.乙.丙三个全做错的概率是41 (1)分别求乙.丙两人各自做对的概率(2)求甲.乙.丙三人中恰有一人做对这道题的概率例4 某减肥中心对第一期60人进行训练减肥，结果有40人达到减肥目的，按此比率，现有5人参加减肥训练，求：①恰有4人没有达到减肥目的的概率②至少有4人 没有 达到减肥目的的概率③恰有甲.乙.丙.丁4人没有达到减肥目的的概率五 巩固练习1 某班共有40个学生，其中只有一对双胞胎，若随机抽查3个学生的作业，这对双胞胎的作业同时被抽中的概率2.曲线C 的方程为1x 2222=+ny m ，其中m.n ∈{}654321，，，，，,事件A=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+轴上的椭圆表示焦点在方程x n y m 1x 2222，那幺P （A)= A 、61 B 、41 C 、31 D 、21 3.甲.乙.丙.丁4个足球队参加比赛,假设每场比赛各队取胜的概率相等,现任意将这4个队平均分成两个小组进行比赛,胜者再赛，则甲.乙相遇的概率为_______4.A 甲.乙两人进行乒乓球比赛,比赛规则为"3局2胜",即先赢2局者为胜,根据经验,每局比赛中甲获胜的概率为0.6,则本次比赛甲获胜的概率是（ ）A 、0.216B 、0.36C 、0.432D 、0.6485甲.乙.丙三位大学毕业生,同时应聘一个用人单位 ,其能被选中的概率分别为:P(A)=52;乙 : P(B)=43;P(C)=31,且各自能否被选中是无关的 (1)求3人都被选中的概率 （2）求只有2人被选中的概率 （3）三人中有几个人被选中的事件最易发生6.某公司的“咨询热线”电话共有6条，经长期统计发现，每天在电话高峰期，外线同时大入的概率如下表（记电话同时大入数为n) n0 1 2 3 4 5 6 P 0.13 0.35 0.27 0.14 0.08 0.02 0.01 如果公司只安排2位接线员（一位接线员一次只能接一个电话） （1）求每天电话高峰期内至少有一个电话不能一次接通的概率（2）公司董事会决定，把“一周五个工作日中至少有四天在高峰期内电话都能一次接通”的概率视作公司的“美誉度”，如果“美誉度”低于0.8，就增派接线员，请你帮助计算一下，该公司是否需要增派接线员？7在等差数列{}n a 中，4a =2，4a 7-=，现从{}n a 的前十项中随机取数，每次取出一个数，取后放回，连续抽取3次，假定每次取数互不影响，那么在这3次取数中，求取出的数恰好是2个正数和1个负数的概率8两个相互独立事件A 和B ，若事件A 发生的概率为P ，事件B 发生的概率为1-P ，求A 和B 同时发生的概率的最大值9.某人连续做同样的试验，每次试验只有成功和失败两种结果，已知第k 次试验成功时，第k+1次试验成功的概率为21；第k 次试验失败时，第k+1次试验成功的概率为43，且第三次试验成功的概率为3219 （1）求第一次试验成功的概率；（2）求第n 次试验成功的概率n P 关于n 的表达式（3）假设若试验成功，则停止试验，否则继续做试验直至成功，求停止试验时恰好做了4次试验的概率六课后反思。

第十一章 概率与统计两个计数原理1．分类计数原理： 。

分步计数原理： 。

2．王云同学有参考书若干本，其中有5本不同的外语书，4本不同的数学书，3本不同的物理书，他欲带参考书到图书馆阅读，若他从这些参考书中带一本去图书馆，有 种不同的方法；若带外语，数学，物理各一本，有 种不同的带法；若从这些参书中选2本不同学科的参考书带到图书馆，有种不同的带法。

3．设*,x y N ∈，且4x y +≤，则点(,)x y 共有 个.、4．设{1,2,3},{4,5}A B ==，从集合A 到集合B 共可建立不同的函数个数为 . 5．一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共10个数字，这4个拨号盘可以组成 个四位数字号码。

6．11n mi ji j a b==⋅∑∑展开后共有 项.例1．（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？（2）有4名学生争夺数学、物理、化学竞赛的冠军（无并列），有多少种不同的结果？ （3）某人要将4封不同的信投入3个不同信箱中，不同的投寄方法有多少种？（4）将3个不贩小球放入4个不同编号的盒子中（一个盒子只放一个小球），不同的放法有多少种？例2．在一次综艺节目的演出中，热心观众坐成四个方阵（如下图），现有4种不同颜色的T 恤衫，要求相邻方阵着不同颜色的T 恤，有多少种不同的着衣方法？例3．（1）用数字0，1，2，3，4可组成多少个不同的三位数？（2）甲、乙、丙3人互相传1只篮球，开始球在甲手中，经过5次传球后，球在甲手中，问共有多少种不同的传球方式？例4．（备选题）设整数4,(,)n P a b ≥是平面直角坐标系xOy 中的点，其中,{1,2,3,,}a b n ∈L ，a b >.（1）记n A 为满足3a b -=的点P 的个数，求n A ； （2）记n B 为满足1()3a b -是整数的点P 的个数，求n B .排列、组合的概念和运算1．排列的定义： ，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.2．排列数的定义： ，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号 表示.3．排列数公式：mn A = = ；m n A = = ；0!=4．组合的定义： ，叫做从n 个不同元素中取出n 个元素的一个组合.5．组合数的定义： ，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的给合数，用符号 表示.6．组合数公式：mn C = = = ；0n C = 7．组合数的两个性质：（1） （2）例1．（1）若17161554mn A =⨯⨯⨯⨯⨯L ，则n = ，m = .（2）若*n N ∈，则(55)(56)(57)(68)n n n n ----L 用排列数符号表示为（3）若33210n n A A =，则n =（4）若75589n nnA A A -=，则n = 例2．（1）若*x N ∈，求123231x x x x C A ---++的所有可能值.（2）求11224n nn n A A -++的值.例3．（1）化学：1!22!33!!n n +⋅+⋅++⋅L （2）化简：12312!3!4!!n n -++++L （3）化简：122nn n n C C nC +++L例4．（备选题）已知(2)p p ≥是给定的某个正整数，数列{}n a 满足：111,(1)()k k a k a p k p a +=+=-，其中1,2,3,,1k p =-L .（1）设4,p =求234,,a a a ； （2）求123p a a a a ++++L .二项式定理及通项公式的应用1．二项式定理：对于*n N ∈，()na b += ，二项式展开式的通项公式为 ，二项式展开式中第r 项的二项式系数为 ，要分清展开式中第一项的系数与该项的二项式系数.2．6(23)a b +的展开式的第3项是 ；6(32)b a +的展开式的第3项是 . 3．15(12)x -的展开式的第1r +项为 .4．37(2)x x +展开式的第4项的二项式系数是 ，第4项的系数是 .5．*n N ∈，式子01122(1)2(1)n n k k n k n n n n n C C C C ---++-++-L L = .例1．求10的展开式中，求：（1）第3项的二项式系数及系数；（2）含2x 的项及系数；（3）常数项、有理项.例2．（1）已知9a x ⎛- ⎝的展开式中3x 的系数为94，求常数a 的值 （2）求2521(2)x x++的展开式中2x 项 （3）求64(1)(1)x x -+展开式中3x 的系数例3．（1）求100.998的近似值（精确到0.01） （2）当n 为正奇数时，求112215555n n n n n n n C C C ---++++L 被7除所得的余数.（3）当*3,n n N ≥∈，求证：221nn >+例4．（备选题）是否存在等比数列{}n a ，使12121(1)2nn nnn na C a C a C --+++=L 对一切*n N ∈都成立？如存在，求出n a ；如不存在，请说明理由.二项式系数的性质及应用1．二项式系数的性质（1）对称性：在()na b +展开式中， 的两项的二项式系数相等.（2）增减性与最大值；当12n k +<时，二项式系数是逐渐 的，由对称性知它的后半部分是逐渐的，且在中间取得最大值，当n 是偶数时，中间的一项 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项 相等，且同时取得最大值.（3）二项式系数的和：012nn n n n C C C C ++++L = ；022135n n n n n n C C C C C C +++=+++L L = .2．在()nx y +的展开式中，若第7项的系数最大，则n 等于 .3．若29323636012,(2),n n n n n C C x a a x a x a x ++=-=++++L 则011n a a a -+++L = ；12323n a a a na ++++L = .4．函数1010()(1cos )(1cos )(0)f x x x x π=++-≤≤的最大值为 .5．若1)nx的展开式中各项系数和为P ，所有二项式系数和为2,272,r n S P S C +=最大，则r .例1．（1）求7(2)x y +展开式中系数最大的项；（2）求7(2)x y -展开工中系数最大的项.例2．求12(13)x -的展开式中 （1）各项二项式系数之和； （2）奇数项二项式系数和； （3）各项系数和； （4）各项系数绝对值的和.例3．已知数列{}n a 的首项为1，011222111231()(1)(1)(1)(1)n n n n n n n n n n n n n n p x a C x a xC x a x C x a C x x a C x ----+=-+-+-++-+L .（1）若数列{}n a 是公比为2的等比数列，求(1)p -的值；（2）若数列{}n a 是公差为2的等差数列，求证：()p x 是关于x 的一次多项式.例4．（备选题）（1）当*k N ∈时，求证：(1(1k k ++-是正整数；（2）试证明大于2(1n +的最小整数能被12n +整除*()n N ∈ .排列、组合的应用题（1）1．特殊元素、特殊位置的“优先安排法” 2．正难则反：排除法（去杂法）3．相邻问题：捆绑法4．不相邻问题：插空法5．顺序一定问题：除法6．至多、至少问题：正面与反面的选择7．染色问题：“树型图法”、恰当的分类与准确的分步8．相同元素问题：隔板法例1．4男3女坐成一排，下列各小题分别有多少种排法？（1）某人必须在中间（2）某两人只能在两端（3）某人不在中间和两端（4）甲、乙两人必须相邻（5）甲、乙两人不相邻（5）甲、乙两人必须相隔1人（7）4男必须相邻（8）4男必须相邻，3女也必须相邻（9）3女不相邻（10）4男不相邻（11）4男不在两端（12）甲在乙左边（13）3男不等高，按高矮自左向右顺序排列例2．用0、1、2、3、4、5六个数字分别可以组成多少个符合下列条件的没有重复数字的自然数？（1）四位偶数（2）四位奇数（3）是25的倍数的六位数（4）比240135大的六位数（5）个位数字比十位数字小的五位数例3．某旅行社有导游9人，其中3人只会英语，2人只会日语，其余4人既会英语又会日语，现要从中选6人，其中3人做英语导游，另外3人做日语导游，则不同的选择方法有多少种？例4．（备选题）将4个编号1、2、3、4的小球放入4个编号为1、2、3、4的盒子中，（1）每盒子至多一球，有多少种放法？（2）恰好有一个空盒，有多少种放法？（3）每个盒子放一球，并且恰好有一球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法？（4）把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒子，有多少种放法？（5）把4个不同的小球换成20个相同的小球，要求每个盒子内的球数不少于它的编号数，有多少种放法？排列、组合的应用题（2）1．某天某班的课程表要排语文、数学、外语、物理、化学、体育六门课程，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，一共有种不同的排法。

11。

2古典概型必备知识预案自诊知识梳理1.基本事件在一次试验中，我们常常要关心的是所有可能发生的基本结果,它们是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以用它们来描绘,这样的事件称为。

2.基本事件的特点（1)任何两个基本事件是的.(2)任何事件(除不可能事件）都可以表示成的和.3。

古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型。

(1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件.(2）等可能性:每个基本事件出现的可能性。

4。

古典概型的概率公式.P（A）=A包含的基本事件的个数基本事件的总数1。

任一随机事件的概率都等于构成它的每一个基本事件概率的和。

2。

求试验的基本事件数及事件A包含的基本事件数的方法有列举法、列表法和树状图法。

考点自诊1.判断下列结论是否正确，正确的画“√”，错误的画“×”。

(1）在一次古典概型试验中,其基本事件的发生一定是等可能的.(）（2）基本事件的概率都是1n。

若某个事件A包含的结果有m个,则P(A)=mn.(）（3）掷一枚质地均匀的硬币两次，出现“两个正面”“一正一反"“两个反面”,这三个结果是等可能事件.()(4）在古典概型中，如果事件A中基本事件构成集合A,所有的基本事件构成集合I,那么事件A的概率为card(A)card(I)。

()(5)从1,2，3,4,5中任取出两个不同的数,其和为5的概率是0。

2.()2.某同学打算编织一条毛线围巾送给妈妈,决定从妈妈喜欢的白色、黄色和紫色中随机选择两种颜色的毛线编织，那么这条围巾是由白色、紫色两种颜色的毛线编织的概率是（)A.14B.13C。

12D.343.(2019全国3,3）两位男同学和两位女同学随机排成一列,则两位女同学相邻的概率是(）A。

16B。

14C。

13D.124.从集合A={1，3，5,7,9｝和集合B=｛2,4，6,8｝中各取一个数,那么这两个数之和除以3余1的概率是()A。

第十一章概率第一节随机事件的概率知识点讲解题型1——随机事件及其概率讲例1 盒中仅有4只白球、5只黑球，从中任意取出1只球。

（1）“取出的球是黄球”是什么事件？它的概率是多少？（2）“取出的球是白球”是什么事件？它的概率是多少？（3）“取出的球是白球或黑球”是什么事件？它的概率是多少？变式演练1 （1）指出下列事件是必然事件，不可能事件，还是随机事件。

①长度为3、4、5的三条线段可以构成一个三角形；②长度为2、3、4的三条线段可以构成一个直角三角形；③在乒乓球比赛中，某运动员取胜。

（2）某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：射击次数n 10 20 50 100 200 5008 19 44 92 178 455击中靶中心次数m击中靶心频率mn①计算表中击中靶心的各个频率；②这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？题型2——等可能事件的概率讲例2（天津高考题）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛。

（1）求所选3人都是男生的概率；（2）求所选3人中至少有1名女生的概率。

变式演练2 （2007年北京）某条公共汽车线路沿线共有11个车站（包括起点站和终点站）.在起点站开出的一辆公共汽车上有6位乘客，假设每位乘客在起点站之外的各个站下车是等可能的.求：（1）这6位乘客在互不相同的车站下车的概率；（2）这6位乘客中恰有3人在终点下车的概率。

题型3——等可能事件概率的应用讲例 3 （湖北高考题）为防止某突发事件发生，有甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施可供采用，单独采用甲、乙、丙、丁预防措施后突发事件不发生的概率（记为p）和所需费用如下表：预防措施甲乙丙丁p 0.9 0.8 0.7 0.6费用（万元）90 60 30 10预防方案可单独采用一种预防措施或联合采用几种预防措施，在总费用不超过120万元的前提下，请确定一个预防方案，使得此突发事件不发生的概率最大.变式演练3 从高一年级和高二年级共18名学生代表中，随机抽取2人到学生会担任干部，如每个年级恰好抽1人的概率是80153，而且知道高一年级的学生代表多于高二年级，求这两个年级各自的学生代表.巩固练习一、选择题1、（2007年辽宁）一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率是（）A．122B．111C．322D．2112、（2008年重庆）从编号为1,2,…,10的10个大小相同的球中任取4个，则所取4个球的最大号码是6的概率为(A)184(B)121(C)25(D)353、（2008年辽宁）4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．344、（2007年重庆）从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所取3张中至少有2张价格相同的概率为（A ）41 （B ）12079 （C ）43 （D ）2423 5、（2008年江西）电子钟一天显示的时间是从00:00到23:59，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为 A ．1180 B ．1288 C ．1360D ．1480 6、（2007年山东）设集合{12}{123}A B ==，，，，，分别从集合A 和B 中随机取一个数a 和b ，确定平面上的一个点()P a b ，，记“点()P a b ，落在直线x y n +=上”为事件(25)n C n n ∈N ≤≤，，若事件n C 的概率最大，则n 的所有可能值为（ ）A ．3B ．4C ．2和5D ．3和47、连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量()m n ，a =与向量(11)=-，b 的夹角为θ，则0θπ⎛⎤∈ ⎥2⎝⎦，的概率是（ ）A ．512B ．12C ．712D ．56二、填空题1、（2007年广东）甲、乙两个袋中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同.其中甲袋装有4个红球，2个白球，乙袋装有1个红球，5个白球. 现分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球，则取出的两球都是红球的概率为 .（答案用分数表示）2、（2007全国1）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有 种．（用数字作答）三、解答题1、100件产品中，有95件合格品，5件次品.从中任取3件，求：（1）3件都是合格品的概率；（2）3件都是次品的概率；（3）2件是合格品、1件是次品的概率；2、在一次口试中，要从20道题中随机抽出6道题进行回答，答对了其中的5道就获得优秀，答对其中的4道就获得及格，某考生回答20道题中的8道题。

高中数学第十一章-概率考试内容：随机事件的概率．等可能性事件的概率．互斥事件有一个发生的概率．相互独立事件同时发生的概率．独立重复试验． 考试要求：（1）了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义．（2）了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率。

（3）了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率．（4）会计算事件在n 次独立重复试验中恰好发生κ次的概率．§11. 概率 知识要点1. 概率：随机事件A 的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值.2. 等可能事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有年n 个，且所有结果出现的可能性都相等，那么，每一个基本事件的概率都是n1，如果某个事件A 包含的结果有m 个，那么事件A 的概率nm P(A)=. 3. ①互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件. 如果事件A 、B 互斥，那么事件A+B 发生(即A 、B 中有一个发生)的概率，等于事件A 、B 分别发生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)，推广：)P(A )P(A )P(A )A A P(A n 21n 21+++=+++ .②对立事件：两个事件必有一个发生的互斥事件．．．．．．．．．．．．．．．叫对立事件. 例如：从1～52张扑克牌中任取一张抽到“红桃”与抽到“黑桃”互为互斥事件，因为其中一个不可能同时发生，但又不能保证其中一个必然发生，故不是对立事件.而抽到“红色牌”与抽到黑色牌“互为对立事件，因为其中一个必发生.注意：i.对立事件的概率和等于1：1)A P(A )A P(P(A)=+=+.ii.互为对立的两个事件一定互斥，但互斥不一定是对立事件.③相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响.这样的两个事件叫做相互独立事件. 如果两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A·B)=P(A)·P(B). 由此，当两个事件同时发生的概率P （AB ）等于这两个事件发生概率之和，这时我们也可称这两个事件为独立事件.例如：从一副扑克牌（52张）中任抽一张设A ：“抽到老K”；B ：“抽到红牌”则 A 应与B 互为独立事件[看上去A 与B 有关系很有可能不是独立事件，但261P(B)P(A),215226P(B),131524P(A)=⋅====.又事件AB 表示“既抽到老K 对抽到红牌”即“抽到红桃老K 或方块老K”有261522B)P(A ==⋅，因此有)B P(A P(B)P(A)⋅=⋅.推广：若事件n 21,A ,,A A 相互独立，则)P(A )P(A )P(A )A A P(A n 21n 21 ⋅=⋅.注意：i. 一般地，如果事件A 与B 相互独立，那么A 与A B ,与B ，A 与B 也都相互独立. ii. 必然事件与任何事件都是相互独立的.互斥对立iii. 独立事件是对任意多个事件来讲，而互斥事件是对同一实验来讲的多个事件，且这多个事件不能同时发生，故这些事件相互之间必然影响，因此互斥事件一定不是独立事件. ④独立重复试验：若n 次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n 次试验是独立的. 如果在一次试验中某事件发生的概率为P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率：kn k k n n P)(1P C (k)P --=. 4. 对任何两个事件都有)()()()(B A P B P A P B A P ⋅-+=+第十二章-概率与统计考试内容：抽样方法.总体分布的估计． 总体期望值和方差的估计． 考试要求：（1）了解随机抽样了解分层抽样的意义，会用它们对简单实际问题进行抽样． （2）会用样本频率分布估计总体分布． （3）会用样本估计总体期望值和方差．§12. 概率与统计 知识要点一、随机变量.1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件： ①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.它就被称为一个随机试验.2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a ，b 是常数.则b a +=ξη也是一个随机变量.一般地，若ξ是随机变量，)(x f 是连续函数或单调函数，则)(ξf 也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量.设离散型随机变量ξ可能取的值为： ,,,,21i x x xξ取每一个值),2,1(1 =i x 的概率i i p x P ==)(ξ，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的121i 注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：]5,0[∈ξ即ξ可以取0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数.3. ⑴二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是：kn k k n qp C k)P(ξ-==[其中p q n k -==1,,,1,0 ] 于是得到随机变量ξ的概率分布如下：我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B（n·p ），其中n ，p 为参数，并记p)n b(k;qp C k n k k n ⋅=-. ⑵二项分布的判断与应用.①二项分布，实际是对n 次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行n 次独立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布.②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.4. 几何分布：“k =ξ”表示在第k 次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把k 次试验时事件A 发生记为k A ，事A 不发生记为q )P(A ,A k k =，那么)A A A A P(k)P(ξk 1k 21-== .根据相互独立事件的概率乘法分式：))P(A A P()A )P(A P(k)P(ξk 1k 21-== ),3,2,1(1 ==-k p q k 于是得我们称ξ服从几何分布，并记p q p)g(k,1k -=，其中 3,2,1.1=-=k p q5. ⑴超几何分布：一批产品共有N 件，其中有M （M ＜N ）件次品，今抽取)N n n(1≤≤件，则其中的次品数ξ是一离散型随机变量，分布列为)M N k n M,0k (0CC C k)P(ξnNkn MN k M -≤-≤≤≤⋅⋅==--.〔分子是从M 件次品中取k 件，从N-M 件正品中取n-k 件的取法数，如果规定m ＜r 时0C rm=，则k 的范围可以写为k=0，1，…，n.〕 ⑵超几何分布的另一种形式：一批产品由 a 件次品、b 件正品组成，今抽取n 件（1≤n≤a+b ），则次品数ξ的分布列为n.,0,1,k CC C k)P(ξnba kn bk a =⋅==+-.⑶超几何分布与二项分布的关系.设一批产品由a 件次品、b 件正品组成，不放回抽取n 件时，其中次品数ξ服从超几何分布.若放回式抽取，则其中次品数η的分布列可如下求得：把b a +个产品编号，则抽取n 次共有nb a )(+个可能结果，等可能：k)(η=含kn k k n b a C -个结果，故n ,0,1,2,k ,)ba a (1)b a a (C b)(a ba C k)P(ηkn k k n nk n k k n =+-+=+==--，即η～)(b a a n B +⋅.[我们先为k 个次品选定位置，共k n C 种选法；然后每个次品位置有a 种选法，每个正品位置有b 种选法] 可以证明：当产品总数很大而抽取个数不多时，k)P(ηk)P(ξ=≈=，因此二项分布可作为超几何分布的近似，无放回抽样可近似看作放回抽样.二、数学期望与方差.n n 2211期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.2. ⑴随机变量b a +=ξη的数学期望：b aE b a E E +=+=ξξη)( ①当0=a 时，b b E =)(，即常数的数学期望就是这个常数本身.②当1=a 时，b E b E +=+ξξ)(，即随机变量ξ与常数之和的期望等于ξ的期望与这个常数的和.③当0=b 时，ξξaE a E =)(，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.⑵单点分布：c c E =⨯=1ξ其分布列为：c P ==)1(ξ. ⑶两点分布：p p q E =⨯+⨯=10ξ，其分布列为：（p + q = 1）⑷二项分布：∑=⋅-⋅=-np q p k n k n k E k n k )!(!!ξ 其分布列为ξ～),(p n B .（P 为发生ξ的概率）⑸几何分布：pE 1=ξ 其分布列为ξ～),(p k q .（P 为发生ξ的概率） 3.方差、标准差的定义：当已知随机变量ξ的分布列为),2,1()( ===k p x P k k ξ时，则称+-++-+-=n n p E x p E x p E x D 2222121)()()(ξξξξ为ξ的方差. 显然0≥ξD ，故σξξσξ.D =为ξ的根方差或标准差.随机变量ξ的方差与标准差都反映了随机变量ξ取值的稳定与波动，集中与离散的程度.ξD 越小，稳定性越高，波动越小．．．．．．．．．．．．．.． 4.方差的性质.⑴随机变量b a +=ξη的方差ξξηD a b a D D 2)()(=+=.（a 、b 均为常数） ⑵单点分布：0=ξD 其分布列为p P ==)1(ξ⑶两点分布：pq D =ξ 其分布列为：（p + q = 1）⑷二项分布：npq D =ξ ⑸几何分布：2p q D =ξ5. 期望与方差的关系.⑴如果ξE 和ηE 都存在，则ηξηξE E E ±=±)(⑵设ξ和η是互相独立的两个随机变量，则ηξηξηξξηD D D E E E +=+⋅=)(,)(⑶期望与方差的转化：22)(ξξξE E D -= ⑷)()()(ξξξξE E E E E -=-（因为ξE 为一常数）0=-=ξξE E .三、正态分布.（基本不列入考试范围）1.密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量ξ，位于x 轴上方，ξ落在任一区间),[b a 内的概率等于它与x 轴.直线a x =与直线b x =（如图阴影部分）的曲线叫ξ的密度曲线，以其作为 图像的函数)(x f 叫做ξ的密度函数，由于“),(+∞-∞∈x ”是必然事件，故密度曲线与x 轴所夹部分面积等于1.2. ⑴正态分布与正态曲线：如果随机变量ξ的概率密度为：2221)(σσπ-=ex f . （σμ,,R x ∈为常数，且0 σ），称ξ服从参数为σμ,的正态分布，用ξ～),(2σμN 表示.)(x f 的表达式可简记为),(2σμN ，它的密度曲线简称为正态曲线.⑵正态分布的期望与方差：若ξ～),(2σμN ，则ξ的期望与方差分别为：2,σξμξ==D E . ⑶正态曲线的性质.①曲线在x 轴上方，与x 轴不相交. ②曲线关于直线μ=x 对称.③当μ=x 时曲线处于最高点，当x 向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线.④当x ＜μ时，曲线上升；当x ＞μ时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向x 轴无限的靠近.⑤当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.3. ⑴标准正态分布：如果随机变量ξ的概率函数为)(21)(22+∞-∞=- x ex x πϕ，则称ξ服从标准正态分布. 即ξ～)1,0(N 有)()(x P x ≤=ξϕ，)(1)(x x --=ϕϕ求出，而P （a ＜ξ≤b ）的计算则是)()()(a b b a P ϕϕξ-=≤ .注意：当标准正态分布的)(x Φ的X 取0时，有5.0)(=Φx 当)(x Φ的X 取大于0的数时，有5.0)( x Φ.比如5.00793.0)5.0(=-Φσμ则σμ-5.0必然小于0，如图.⑵正态分布与标准正态分布间的关系：若ξ～),(2σμN 则ξ的分布函数通 常用)(x F 表示，且有)σμx (F(x)x)P(ξ-==≤ϕ.4.⑴“3σ”原则.假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：①提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分布),(2σμN .②确定一次试验中的取值a 是否落入范围)3,3(σμσμ+-.③做出判断：如果)3,3(σμσμ+-∈a ，接受统计假设. 如果)3,3(σμσμ+-∉a ，由于这是小概率事件，就拒绝统计假设.⑵“3σ”原则的应用：若随机变量ξ服从正态分布),(2σμN 则 ξ落在)3,3(σμσμ+-内的概率为99.7％ 亦即落在)3,3(σμσμ+-之外的概率为0.3％，此为小概率事件，如果此事件发生了，就说明此种产品不合格（即ξ不服从正态分布）.S 阴=0.5S a =0.5+S。