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高一数学函数及函数的性质1、映射的概念（1）映射是特殊的对应，即是“一对一”的对应和“多对一”的对应，而“一对多”的对应不是映射.（2）给定一个映射f：A→B，则A中的每一个元素都有唯一的象，B的某些元素可以没有原象，如果有原象，也可以不唯一的.2、函数的概念（1）函数是特殊的映射，即集合A、B均为非空数集的映射.（2）构成函数的三要素；对应关系f、定义域A、值域{f(x)|x∈A}，其中值域{f(x)|x∈A} B.正确理解函数符号y=f(x)：①它表示y是x的函数，绝非f与x的积；②f(a)仅表示函数f(x)在x=a时的函数值，是一常数．（3）确定函数的条件：当对应关系f和定义域A已确定，则函数已确定，判定两个函数是否相同时，就要看定义域和对应法则是否完全一致．（4）函数的定义域，一般是使函数解析式有意义的x值的集合，在具体问题中则应考虑x的实际意义，如时间t，距离d均应为非负数等.求函数定义域的基本方法：①分式中分母不为零；②偶次根式中的被开方式不小于零；③ [f(x)]0中的底f(x)不为零；④如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使每个部分式子都有意义的实数集合．根据对应法则的性质求定义域，如已知f(x)的定义域为[a，b]，则f[ψ（x）]的定义域应为ψ（x）的定义域与a≤ψ（x）≤b的解集的交集．3、函数的表示法：解析法、列表法、图象法.4、函数的值域是全体函数值所组成的集合，有观察法，换元法、配方法、图象法、反求法、判别式法等求值域的基本方法．函数的值域是函数的“三要素”之一，在一个给定的函数中，函数的值域随对应法则和定义域而确定．几个基本初等函数的值域：一次函数y=kx＋b（k≠0）的值域：{y|y∈R}；二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的值域：当a>0时，；当a<0时，；反比例函数（k≠0）的值域：（－∞，0）∪（0，＋∞）．求函数值域的基本方法（1）直接法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围；例如：的值域为[1，＋∞）．这是因为x≤3，所以≥0，∴ y≥1.（2）二次函数法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域（或最值）；（3）反函数法：将求函数值域转化为求反函数的定义域；4）判别式法：运用方程的思想，将函数变形成关于x的二次方程，依据二次方程有实根，求出y 的取值范围；（5）利用函数的单调性求值域；（6）图象法：作出函数的图象，由图象来确定函数的值域．1、判断下列对应是否是从集合A到集合B的映射；（1）A=R，B={x|x＞0且x∈R}，x∈A，f:x→|x|；（2）A=N，B=N*，x∈A，f:x→|x－1|；（3）A={x|x＞0且x∈R}，B=R，x∈A，f:x→x2．2、求函数的定义域.1、已知映射f：A→B，则下列说法正确的是（）A．A中某一元素的象可能不止一个 B．A中两个不同元素的象必不相同C．B中某一元素的原象可能不止一个 D．B中两个不同元素的原象可能相同2、若A={2，4，6，8}，B={－1，－3，－5，－7}，下列对应法则：①f：x→9－2x；②f：x→1－x；③f：x→7－x；④f：x→x－9中，能确定A到B的映射的是（）A．①②B．②③ C．③④D．②④3、下面四组函数f(x)与g(t)中，表示同一函数的是（）A．B．C．D．4、函数的定义域是（）A．（4，＋∞） B．（2，3）C．（－∞，2）∪（3，＋∞） D ．（－∞，2）∪（2，3）∪（3，＋∞）5、已知f(x)是一次函数，且满足2f(2)－3f(1)=5，2f(0)－f(－1)=1，则f(x)的解析式为（）A．3x－2 B．3x＋2 C．2x－3 D．2x＋36、设函数y=f(x)的定义域为[－]，则函数y=f(－2)的定义域是（）A．[－，2] B．[2－，2＋] C．[6－4，6＋4] D．[0，6＋4]7、若函数的定义域为A，y=的定义域为B，的定义域为C，则集合A、B、C之间的关系是（）A．A∩B=C B．A∩B C C．A∩B C D．A∪B C8、若函数y=f(x)的定义域为[0，1]，则函数y=f(x＋a)＋f(2x＋a)（0<a<1）的定义域是（）A．B．C．[－a，1－a] D．9．下列图中，画在同一坐标系中，函数与的图象只可能是（）A． B．C． D．10、给出四个命题：（1）函数是其定义域到值域的映射；2）是函数；（3）函数y=2x(x∈N)是一次函数；4）与g(x)=x是同一个函数．其中正确的有（）A．1个B．2个 C．3个 D．4个11、设(x，y)在映射f：A→B的作用下的象是（），则在f的作用下，元素（－1，1）象是_____________，元素（3，－2）的原象是_____________.12、若f(x＋1)=2x2＋1，则f(x－1)= _____________.13、（1）f(x)是二次函数，且f(2)=－3，f(－2)=－7，f(0)=－3，求f(x)的表达式；（2）已知：f(2x－1)=4x2－2x，求f(x)的表达式．14、已知函数y=f(x)的定义域为[0，1]，设函数F(x)=f(x＋a)＋f(x－a)，求正实数a的取值范围，并求函数F(x)的定义域.15、已知f(x)是二次函数，且f(x＋1)＋f(x－1)=2x2－4x，求f(1－)的值.6、求下列函数的值域.1、函数的单调性（1）定义: 设函数y=f(x)的定义域为 A ：区间，如果对于区间I上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说f(x)在区间I上是增函数. 区间I称为y=f(x)的单调增区间;如果对于区间I上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说f(x)在这个区间上是减函数。
1.2 函数的概念和性质 1.2.1 对应、映射和函数一、对应与映射的概念（一）映射的概念（1）先看几个对应的例子：两个集合A 、B 之间的一些确定的对应关系：（2）一般地，设A 、B 是两个非空集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一．．．．确定的元素y 与之对应，那么就称对应:f A B →为从．集合．．A 到集合．．．B 的．一个映射．．．．（．mapp ．．．．ing．．．）．。
记作“:f A B →”。
其中A 为映射的定义域．．．．．．．。
若,a A b B ∈∈，元素a 与元素b 对应，即:()f a b f a →=，则称元素b 叫做元素a 的象．，元素a 叫做元素b 的原象．．。
A 中所有元素的象构成的集合C 叫做象．集合．．，则C B ⊆。
（注意B 不能为C 的真子集，否则不能形成映射） 说明：①映射的概念可以概括为“取元任意性、成象唯一性．．．．．．．．．．．”； ②映射的三要素：原象、象、对应关系； ③A 中元素不可剩，B 中元素可剩； ④多对一行，一对多不行；⑤映射具有方向性：:f A B →与:f B A →一般是不同的映射。
其中f 表示具体的对应法则，可以用汉字、符号等叙述。
⑥*一一映射：设:f A B →是集合A 到集合B 的映射，若对集合A 中的不同元素，在集合B 中有不同的象，且B 中的每一个元素都有原象，则称这种映射叫一一映射。
例1.下列哪些对应是从集合A 到集合B 的映射？（1）{}{},(,),A P P B x y x R y R ==∈∈是平面直角坐标系中的点，对应关系f ：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；（2）,A x x B x x ==是重庆一中的班级是重庆一中的学生，对应关系f ：每一个班级都对应班里的学生。
（3）{}{},A x x B y y ==是三角形是圆，对应关系f ：每一个三角形都对应它的内切圆；（4）{}{},A x x B y y ==是圆是三角形，对应关系f ：y 是x 的内接三角形；（5）5,,:A Z B Q f x y x==→=；（6）{}{}12,13A x x B y y =≤≤=≤≤，对应关系2:f x y x →=。
大一高数知识点映射与函数高等数学是大多数理工科专业大一必修的一门课程，其中包含了许多重要的数学知识点。
在这篇文章中，我们将重点讨论高数中的映射与函数。
一、映射的概念与性质映射是数学上非常重要的概念，它描述了元素之间的对应关系。
在集合论中，我们将一个元素从一个集合映射到另一个集合，这两个集合可以是相同的，也可以是不同的。
映射一般用函数符号f(x) 表示，其中 x 是原集合的元素，f(x) 是它在目标集合中的对应元素。
映射具有以下性质：1. 单射：若 f(x1) = f(x2)，则 x1 = x2。
即不同的元素在映射中有不同的对应元素。
2. 满射：若对于任意的 y ∈目标集合，都存在 x ∈原集合，使得 f(x) = y。
即每一个元素都有对应的映射元素。
3. 一一映射：即又是单射又是满射的映射。
二、函数的定义与性质函数是映射的一种特殊形式，它在数学和其他学科中都有着广泛的应用。
函数的定义比较简洁，它是一种特殊的映射，其中原集合只能有一个元素对应到目标集合中的一个元素。
函数具有以下性质：1. 定义域和值域：函数的定义域是指输入变量的取值范围，值域是指函数输出的取值范围。
2. 奇偶性：函数 f(x) 的奇偶性取决于 f(-x) = f(x) 或 f(-x) = -f(x) 是否成立。
3. 单调性：函数在定义域上的增减状况，可以分为递增、递减或保持不变。
4. 极值与最值：函数在定义域的某一点或某一区间上取得的最大值或最小值。
5. 对称性：函数是否具有关于某个轴的对称性。
三、常见的函数类型在高数课程中，我们学习了许多常见的函数类型。
下面是其中一些重要的函数：1. 幂函数：y = x^n，其中 n 是正整数。
2. 指数函数：y = a^x，其中 a 是正实数且不等于 1。
3. 对数函数：y = log_a(x)，其中 a 是正实数且不等于 1。
4. 三角函数：包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
5. 反三角函数：包括反正弦函数、反余弦函数和反正切函数等。
映射与函数的概念1.映射的概念设A ，B 为非空集合，在某种对应关系f 的作用下，使集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么称f:A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射。
2.函数的概念从非空数集A 到非空数集B 的映射叫做函数，其中A 是定义域，C 是值域（C ⊆B ）。
函数的三要素：定义域，对应关系，值域。
定义域和对应关系确定，则值域确定，函数确定。
（1）求定义域①分式：分母不能为0。
②根式：偶次根式的被开方数大于等于0。
③指数：底数大于0且不等于1。
④对数：底数大于0且不等于1，真数大于0。
⑤x 0中x ≠0。
⑥tanx 中的x ≠k π＋π/2。
（2）求值域①观察法：求函数y =x+1+1的值域。
解：该函数的定义域为[﹣1，+∞].∵√x +1≥0，∴√x +1+1≥1，∴0＜√x+1+1≤1. 该原函数的值域为(0,1].②换元法：求函数y =x ＋√x −1的值域。
解：该函数的定义域为[﹣1，+∞). 令√x −1＝t （t ≥0），则x ＝t ²－1.∴y=t ²＋t ＋1.（t ≥0）求得y=t ²＋t ＋1值域为[1,﹢∞)，即原函数的值域.③分离常数法：求函数y =﹣x²x²+1的值域。
解：该函数的定义域为R.该函数＝﹣(x 2+1)−1x²+1＝﹣1＋1x²+1.∵x ²+1≥1，∴0＜1x²+1.≤1，∴﹣1＜﹣1＋1x²+1≤0.该函数的值域为(﹣1，0]. 归纳：形如y ＝Cx+D Ax+B （A,B,C,D 为常数且A ≠0）或y ＝Cx²+DAx²+B （A,B,C,D 为常数且A ≠0）的函数可以采用分离常数法，分离到y ＝c ax+b ＋d （a,b,c,d 为常数且a ≠0）或y ＝c ax²+b ＋d （a,b,c,d 为常数且a ≠0）,前者的值域为y ≠d ，求后者的值域是y =c ax²+b 的值域加上d 。
高一数学映射及函数的表示方法【本讲主要内容】一. 本周教学内容：映射及函数的表示方法映射的概念、函数的概念、函数的表示方法【知识掌握】 【知识点精析】1. 函数的定义：设A 、B 是两个非空数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y=f(x)，x ∈A ，其中x 叫自变量，x 的取值X 围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫函数值，函数值的集合})(|{A x x f y y ∈=，叫函数的值域。
2. 两个函数的相等：当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一函数，例如：x y =与33x y =。
3. 映射的定义：一般地，A 、B 是两个集合，如果按照某个对应法则f 对于集合A 中的任一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A 和B ，及集合A 到集合B 的对应法则f ）叫做集合A 到集合B 的映射，记做f ：A →B 。
4. 函数的实质：函数是特殊的映射，即要求A 、B 都是非空数集。
5. 函数的表示方法：解析式（分段函数法、图像法、列表法）【解题方法指导】例1. （1）设}8621021{}4210{，，，，，＝，，，B A =下列对应法则能构成A 到B 的映射的是（ ） A. 1:2-→x x f B. 2)1(:-→x x f C. x x f 2:→D. 12:-→x x f点拨：根据映射定义，检验集合A 中每一元素依照对应法则在B 中是否都有唯一元素与之对应。
解析：选C 。
在集合A 中，\10B ∈-→ 在集合B 中，\94B ∈→ 在集合D 中，\42B ∈→（2）下图中可表示函数)(x f y =图象的只可能是（ ）与图像相交，如果只有唯一的交点，则是函数图象，否则不是。
解析：根据函数定义，对任意一个x ，都要有唯一的y 与之对应，故选D 。
第5讲映射、函数的概念1.函数的定义（1）传统定义：在某一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于在某一个范围内的任一个x的值，都有唯一的y值与它对应，则称y是x的函数，x叫做自变量，y叫做因变量。
（2）近代定义：给定两个非空数集A和B，如果按照某个对应关系f，对于A中任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数f(x)与之对应，那么就把对应关系f叫做定义在A 上的函数，记作A→B，或y=f(x)，x∈A，此时，x叫做自变量，集合A叫做函数的定义域，集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域，习惯上我们称y是x的函数。
（3）两个定义间的联系：函数的两个定义本质是一致的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合的观点出发。
这样，就不难得知函数的实质是从非空数集A到非空数集B的一个特殊对应。
2.函数的定义域函数的定义域是自变量x的取值范围，但要注意，在实际问题中，定义域要受到实际意义的制约。
如函数y {x|x≥0}，圆半径r与圆面积S的函数关系为S=πr2的定义域为{r|r＞0}。
求函数定义域的一般原则是：①如果f(x)为整式，其定义域为实数集R；②如果f(x)为分式，其定义域是使分母不为0的实数集合；③如果f(x)是二次根式（偶次根式），其定义域是使根号内的式子不小于0的实数集合；④如果f(x)是由以上几个部分的数学式子构成的，其定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；⑤f(x)=x0的定义域是{x∈R|x≠0}。
求函数定义域除上述所列外，还应注意以下几点：①如果是实际问题，除应考虑解析式本身有意义外，还应考虑使实际问题有意义；②如果不给出解析式：已知f(x)的定义域为x∈A，则f[g(x)]的定义域是求使g(x)∈A 的x的取值范围；已知f[g(x)]的定义域为A，则f(x)的定义域是求g(x)在A上的值域。
3.函数的对应法则对应关系f是函数关系的本质特征，y=f(x)的意义是：y就是x在关系f下的对应值，而f是“对应”得以实现的方法和途径。
