【名师一号】2013版高中数学 1-1-2 命题及其关系第二课时技能演练 新人教A版选修1-1

【三维设计】2013届高一数学教师用书 第一章 1.1 1.1.2 创新演练课下作业 必修11．集合{x ∈N ＋|x －3<2}的另一种表示方法是( )A ．{0,1,2,3,4}B ．{1,2,3,4}C ．{0,1,2,3,4,5}D ．{1,2,3,4,5}解析：集合中元素满足x <5且x ∈N ＋，所以集合的元素有1,2,3,4.答案：B2．下列命题中正确的是( )①0与{0}表示同一个集合；②由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}；③方程(x －1)2(x －2)＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2}；④集合{x |4<x <5}可以用列举法表示．A ．只有①和④B ．只有②和③C ．只有②D ．以上命题都不对 解析：①中“0”不能表示集合，而“{0}”可以表示集合；根据集合中元素的无序性可知②正确；根据集合的互异性可知③错误；④不能用列举法表示，原因是有无数个元素，不能一一列举．答案：C3．下列集合的表示法正确的是( )A ．第二、四象限内的点集可表示为{(x ，y )|xy ≤0，x ∈R ，y ∈R}B ．不等式x －1<4的解集为{x <5}C ．{全体整数}D ．实数集可表示为R解析：选项A 中应是xy <0；选项B 的本意是想用描述法表示，但不符合描述法的规范格式，缺少了竖线和竖线前面的代表元素x ；选项C 的“{ }”与“全体”意思重复．答案：D4．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －2y ＝－1的解集是( ) A ．{x ＝1，y ＝1} B ．{1} C ．{(1,1)}D ．{(x ，y )|(1,1)} 解析：方程组解集中的元素应是有序数对的形式，排除A ，B ，而D 的集合表示方法有误，排除D ，故选C.答案：C5．已知集合M＝{x|x＝7n＋2，n∈N}，则2 011________M,2 012________M(填∈或∉)．解析：∵2 011＝7×287＋2,2 012＝7×287＋3，∴2 011∈M,2 012∉M.答案：∈∉6．已知集合A＝{x|125－x∈N，x∈N}，则用列举法表示为________．解析：根据题意，5－x应该是12的因数，故其可能的取值为1,2,3,4,6,12，从而可得到对应x的值为4,3,2,1，－1，－7.因为x∈N，所以x的值为4,3,2,1.答案：{4,3,2,1}7．用适当的方法描述下列集合，并且说明它们是有限集还是无限集．(1)方程x2－9＝0的解集；(2)大于0且小于10的奇数构成的集合；(3)不等式x－3>2的解集；(4)抛物线y＝x2上的点构成的采合；(5)方程x2＋x＋1＝0的解集．解：(1)用列举法表示为{3，－3}，用描述法表示为{x|x2－9＝0}.集合中有2个元素，是有限集．(2)用列举法表示为{1,3,5,7,9}，用描述法表示为{x|x＝2k－1，k∈N＋且1≤k≤5}.集合中有5个元素，是有限集．(3)用描述法表示为{x|x>5}.集合中有无数个元素，是无限集．(4)用描述法表示为{(x，y)|y＝x2}.抛物线上的点有无数个，因此该集合是无限集．(5)方程x2＋x＋1＝0无实数解，故该方程的解集为∅，是有限集．8．已知集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.解：当k＝0时，原方程变为－8x＋16＝0，所以x＝2，此时集合A＝{2}.当k≠0时，要使一元二次方程kx2－8x＋16＝0有两个相等的实数根，需Δ＝64－64k ＝0，即k＝1.此时方程的解为x1＝x2＝4，集合A＝{4}．。

【优化方案】2013年高考数学总复习 第一章第2课时知能演练+轻松闯关 文1．若命题p ：∀x ∈R,2x 2－1>0，则该命题的否定是( )A ．∀x ∈R,2x 2－1<0B ．∀x ∈R,2x 2－1≤0C ．∃x 0∈R,2x 20－1≤0D ．∃x 0∈R,2x 20－1>0解析：选C.全称命题的否定为存在性命题．命题p 的否定为存在一个实数x 0，使2x 20－1≤0，故选C.2．下列说法中，正确的是( )A ．命题“若am 2<bm 2，则a <b ”的逆命题是真命题B ．命题“∃x 0∈R ，x 20－x 0>0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x ≤0”C ．命题“p ∨q ”为真命题，则命题p 和命题q 均为真命题D ．已知x ∈R ，则“x >1”是“x >2”的充分不必要条件解析：选B.“∃x 0∈R ，x 20－x 0>0”为存在性命题，则它的否定应为全称命题，即“∀x∈R ，x 2－x ≤0”，故选B.3．(2012·某某质检)已知命题p ：∃a ，b ∈(0，＋∞)，当a ＋b ＝1时，1a ＋1b＝3；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1≥0，则下列命题是假命题的是( )A ．¬p ∨¬qB ．¬p ∧¬qC ．¬p ∨qD ．¬p ∧q解析：选B.由基本不等式可得：1a ＋1b ＝(1a ＋1b )×(a ＋b )＝2＋b a ＋a b≥4，故命题p 为假命题，¬p 为真命题；∀x ∈R ，x 2－x ＋1＝(x －12)2＋34>0，故命题q 为真命题，¬q 为假命题，¬p ∧¬q 为假命题，故选B.4．设全集为U ，给定命题：若x ∈M ，且x ∉P ，则x ∈M ∩(∁U P )，则该命题的否定是( )A ．若x ∈M ，且x ∉P ，则x ∉M ∩(C U P )B ．若x ∉M ，且x ∈P ，则x ∉M ∩(C U P )C ．若x ∈M ，或x ∈P ，则x ∉M ∩(C U P )D ．若x ∉M ，或x ∈P ，则x ∉M ∩(C U P )答案：A5．设p ：关于x 的不等式a x >1的解集为{x |x <0}，q ：函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R ，若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则a 的取值X 围是________．解析：p 真时，0<a <1；q 真时，ax 2－x ＋a >0对x ∈R 恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ＝1－4a 2<0，即a >12；p ∨q 为真，p ∧q 为假，则p 、q 应一真一假：①当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1a ≤12⇒0<a ≤12；②当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤0或a ≥1a >12⇒a ≥1.综上，a ∈(0，12]∪[1，＋∞)． 答案：(0，12]∪[1，＋∞)一、选择题1．(2010·高考某某卷)下列命题中的假命题是( )A ．∃x ∈R ，lg x ＝0B ．∃x ∈R ，tan x ＝1C ．∀x ∈R ，x 3>0D ．∀x ∈R,2x >0解析：选C.对于A ，当x ＝1时，lg x ＝0，正确；对于B ，当x ＝π4时，tan x ＝1，正确；对于C ，当x <0时，x 3<0，错误；对于D ，∀x ∈R,2x >0，正确．2．(2011·高考卷)若p 是真命题，q 是假命题，则( )A ．p ∧q 是真命题B ．p ∨q 是假命题C ．¬p 是真命题D ．¬q 是真命题解析：选D.根据“且”“或”“非”命题的真假判定法则知D 正确．3．下列理解错误的是( )A ．命题“3≤3”是p 且q 形式的复合命题，其中p ：3<3，q ：3＝3.所以“3≤3”是假命题B ．“2是偶质数”是一个p 且q 形式的复合命题，其中p ：2是偶数，q ：2是质数C ．“不等式|x |<－1无实数解”的否定形式是“不等式|x |<－1有实数解”D ．“2011>2012或2012>2011”是真命题答案：A4．下列命题中，真命题是( )A ．∃m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是偶函数B ．∃m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是奇函数C ．∀m ∈R ，函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是偶函数D ．∀m ∈R ，函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是奇函数解析：选A.对于选项A ，∃m ∈R ，即当m ＝0时，f (x )＝x 2＋mx ＝x 2是偶函数．故A 正确．5．(2011·高考某某卷)已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是( )A ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<3B ．若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2<3C ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2≥3D ．若a 2＋b 2＋c 2≥3，则a ＋b ＋c ＝3解析：选A.由于一个命题的否命题既否定题设又否定结论，因此原命题的否命题为“若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<3”．二、填空题6．在“¬p ”，“p ∧q ”，“p ∨q ”形式的命题中，“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，“¬p ”为真，那么p ，q 的真假为p ________，q ________.解析：∵“p ∨q ”为真，∴p ，q 至少有一个为真．又“p ∧q ”为假，∴p ，q 一个为假，一个为真．而“¬p ”为真，∴p 为假，q 为真．答案：假 真7．给定下列几个命题：①“x ＝π6”是“sin x ＝12”的充分不必要条件； ②若“p ∨q ”为真，则“p ∧q ”为真；③等底等高的三角形是全等三角形的逆命题．其中为真命题的是________．(填上所有正确命题的序号)解析：①中，若x ＝π6，则sin x ＝12，但sin x ＝12时，x ＝π6＋2k π或5π6＋2k π(k ∈Z )．故“x ＝π6”是“sin x ＝12”的充分不必要条件，故①为真命题；②中，令p 为假命题，q 为真命题，有“p ∨q ”为真命题，而“p ∧q ”为假命题，故②为假命题；③为真命题．答案：①③8．命题“∀x ∈R ，∃m ∈Z ，m 2－m ＜x 2＋x ＋1”是________命题．(填“真”或“假”)解析：由于∀x ∈R ，x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34≥34，因此只需m 2－m <34，即－12<m <32，所以当m ＝0或m ＝1时，∀x ∈R ，m 2－m ＜x 2＋x ＋1成立，因此命题是真命题．答案：真三、解答题9．(2012·某某质检)写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)q ：所有的正方形都是矩形；(2)r ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0.解：(1)¬q ：至少存在一个正方形不是矩形，是假命题．(2)¬r ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0，是真命题．10．已知命题p ：方程2x 2－2 6x ＋3＝0的两根都是实数，q ：方程2x 2－2 6x ＋3＝0的两根不相等，试写出由这组命题构成的“p 或q ”、“p 且q ”、“非p ”形式的复合命题，并指出其真假．解：“p 或q ”的形式：方程2x 2－2 6x ＋3＝0的两根都是实数或不相等．“p 且q ”的形式：方程2x 2－2 6x ＋3＝0的两根都是实数且不相等．“非p ”的形式：方程2x 2－2 6x ＋3＝0无实根．∵Δ＝24－24＝0，∴方程有两相等的实根．∵p 真，q 假，∴“p 或q ”真，“p 且q ”假，“非p ”假．11．(探究选做)已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”，若命题“p 且q ”是真命题，某某数a 的取值X 围．解：由“p 且q ”是真命题，知p 为真命题，q 也为真命题．若p 为真命题，则a ≤x 2恒成立．∵x ∈[1,2]，∴a ≤1.若q 为真命题，即x 2＋2ax ＋2－a ＝0有实根，Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，即a ≥1或a ≤－2，综上，实数a 的取值X 围为a ≤－2或a ＝1.。

选修1-1第二章测试(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知抛物线的准线方程为x ＝－7，则抛物线的标准方程为( )A ．x 2＝－28yB ．y 2＝28xC ．y 2＝－28xD ．x 2＝28y2．设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点．若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )A ．4B ．5C ．8D ．103．双曲线3mx 2－my 2＝3的一个焦点是(0,2)，则m 的值是( )A ．－1B ．1C ．－1020 D.1024．椭圆x 225＋y 29＝1上一点P 到两焦点的距离之积为m ，则m 取最大值时，P 点坐标是( )A ．(5,0)或(－5,0)B ．(52，332)或(52，－332)C ．(0,3)或(0，－3)D ．(532，32)或(－532，32)5．(2010·天津)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 236－y 2108＝1B.x 29－y 227＝1 C.x 2108－y 236＝1 D.x 227－y 29＝1 6．在y ＝2x 2上有一点P ，它到A (1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是( )A ．(－2,1)B ．(1,2)C ．(2,1)D ．(－1,2) 7．已知抛物线的顶点为原点，焦点在y 轴上，抛物线上点M (m ，－2)到焦点的距离为4，则m 的值为( )A ．4或－4B ．－2C ．4D ．2或－28．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，且它的一个焦点在抛物线y 2＝12x 的准线上，则此双曲线的方程为( )A.x 25－y 26＝1B.x 27－y 25＝1 C.x 23－y 26＝1 D.x 24－y 23＝1 9．动圆的圆心在抛物线y 2＝8x上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则动圆必过点( )A ．(4,0)B ．(2,0)C ．(0,2)D ．(0，－2) 10．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上任意一点到两焦点的距离分别为d 1，d 2，焦距为2c ，若d 1,2c ，d 2成等差数列，则椭圆的离心率为( )A.12B.22C.32D.3411．已知F 是抛物线y ＝14x 2的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段PF 中点的轨迹方程是( )A ．x 2＝y －12B ．x 2＝2y －116C ．x 2＝2y －1D ．x 2＝2y －212．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为双曲线左支上一点，若|PF 2|2|PF 1|的最小值为8a ，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(1,3]D ．(1,2]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．(2010·福建)若双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)的渐近线方程为y ＝±12x ，则b 等于________．14．若中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆经过点(4,0)，离心率为32，则椭圆的标准方程为________． 15．设F 1和F 2是双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积为________．16．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点作圆x 2＋y 2＝a 2的两条切线，切点分别为A ，B .若∠AOB ＝120°(O 是坐标原点)，则双曲线C 的离心率为________．三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)求与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦距，且离心率为55的椭圆的标准方程．18．(12分)已知抛物线y2＝6x，过点P(4,1)引一条弦P1P2使它恰好被点P平分，求这条弦所在的直线方程及|P1P2|.19．(12分)已知椭圆方程为x29＋y24＝1，在椭圆上是否存在点P(x，y)到定点A(a,0)(其中0＜a＜3)的距离的最小值为1，若存在，求出a的值及P点的坐标；若不存在，说明理由．20．(12分)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，直线l为圆O：x2＋y2＝b2的一条切线，记椭圆C的离心率为e.(1)若直线l的倾斜角为π3，且恰好经过椭圆C的右顶点，求e的大小；(2)在(1)的条件下，设椭圆C的上顶点为A，左焦点为F，过点A与AF垂直的直线交x轴的正半轴于B点，且过A，B，F三点的圆恰好与直线l：x＋3y＋3＝0相切，求椭圆C的方程．21．(12分)设椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，抛物线C2：x2＋by＝b2.(1)若C2经过C1的两个焦点，求C1的离心率；(2)设A(0，b)，Q(33，54b)，又M，N为C1与C2不在y轴上的两个交点，若△AMN的垂心为B(0，34b)，且△QMN的重心在C2上，求椭圆C1和抛物线C2的方程．22．(12分)(2010·北京)已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，离心率是63，直线y＝t与椭圆C交于不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆P，圆心为P.(1)求椭圆C的方程；(2)若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；选修1-1第二章测试1．解析 由条件可知p2＝7，∴p ＝14，抛物线开口向右，故方程为y 2＝28x .答案 B2．解析 由题可知a ＝5，P 为椭圆上一点， ∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10. 答案 D3．解析 把方程化为标准形式－x 2－1m ＋y 2－3m ＝1，∴a 2＝－3m ，b 2＝－1m . ∴c 2＝－3m －1m ＝4， 解得m ＝－1. 答案 A4．解析 |PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10， ∴|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2)2＝25.当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝5时，取得最大值， 此时P 点是短轴端点，故选C. 答案 C5．解析 本题主要考查双曲线与抛物线的几何性质与标准方程，属于容易题． 依题意知⎩⎪⎨⎪⎧ba ＝3，c ＝6，c 2＝a 2＋b 2，⇒a 2＝9，b 2＝27，所以双曲线的方程为x 29－y 227＝1.答案 B6．解析 如图所示，直线l 为抛物线y ＝2x 2的准线，F 为其焦点，PN ⊥l ，AN 1⊥l ，由抛物线的定义知，|PF |＝|PN |， ∴|AP |＋|PF |＝|AP |＋|PN |≥|AN 1|， 当且仅当A ，P ，N 三点共线时取等号， ∴P 点的横坐标与A 点的横坐标相同即为1， 则可排除A 、C 、D 项，故选B. 答案 B7．解析 由题可知，p2－(－2)＝4，∴p ＝4.∴抛物线的方程为x 2＝－8y .将(m ，－2)代入可得m 2＝16，∴m ＝±4.故选A.答案 A8．解析 抛物线y 2＝12x 的准线方程为x ＝－3，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝3，ca ＝3，c 2＝a 2＋b 2.解得a 2＝3，b 2＝6，故所求双曲线的方程为x 23－y 26＝1.答案 C9．解析 直线x ＋2＝0是抛物线的准线，又动圆圆心在抛物线上，由抛物线的定义知，动圆必过抛物线的焦点(2,0)．答案 B10解析 由椭圆的定义可知d 1＋d 2＝2a ， 又由d 1,2c ，d 2成等差数列， ∴4c ＝d 1＋d 2＝2a ，∴e ＝c a ＝12.答案 A11．解析 由y ＝14x 2⇒x 2＝4y ，焦点F (0,1)，设PF 中点Q (x ，y )、P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝0＋x 0，2y ＝1＋y 0，4y 0＝x 20，∴x 2＝2y －1.答案 C12．解析 |PF 2|2|PF 1|＝(|PF 1|＋2a )2|PF 1|＝|PF 1|＋4a 2|PF 1|＋4a ≥8a ，当|PF 1|＝4a 2|PF 1|，即|PF 1|＝2a 时取等号．又|PF 1|≥c －a ，∴2a ≥c －a . ∴c ≤3a ，即e ≤3.∴双曲线的离心率的取值范围是(1,3] 答案 C13解析 由题意知b 2＝12，解得b ＝1.答案 114．解析 若焦点在x 轴上，则a ＝4， 由e ＝32，可得c ＝23， ∴b 2＝a 2－c 2＝16－12＝4， 椭圆方程为x 216＋y 24＝1，若焦点在y 轴上，则b ＝4，由e ＝32，可得c a ＝32，∴c 2＝34a 2.又a 2－c 2＝b 2，∴14a 2＝16，a 2＝64.∴椭圆方程为x 216＋y 264＝1.答案 x 216＋y 264＝1，或x 216＋y 24＝115．解析 由题设知⎩⎪⎨⎪⎧||PF 1|－|PF 2||＝4，①|PF 1|2＋|PF 2|2＝20，②)②－①2得|PF 1|·|PF 2|＝2.∴△F 1PF 2的面积S ＝12|PF 1|·|PF 2|＝1.答案 1 16．解析 如图，设双曲线一个焦点为F ， 则△AOF 中，|OA |＝a ，|OF |＝c ，∠FOA ＝60°. ∴c ＝2a ，∴e ＝ca ＝2. 答案 217．解 把方程4x 2＋9y 2＝36写成x 29＋y 24＝1，则其焦距2c ＝25，∴c ＝ 5. 又e ＝c a ＝55，∴a ＝5.b 2＝a 2－c 2＝52－5＝20，故所求椭圆的方程为x 225＋y 220＝1，或y 225＋x 220＝1.18．解 设直线上任意一点坐标为(x ，y )， 弦两端点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)．∵P 1，P 2在抛物线上，∴y 21＝6x 1，y 22＝6x 2. 两式相减，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝6(x 1－x 2)． ∵y 1＋y 2＝2，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝6y 1＋y 2＝3. ∴直线的方程为y －1＝3(x －4)，即3x －y －11＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝3x －11，得y 2－2y －22＝0， ∴y 1＋y 2＝2，y 1·y 2＝－22. ∴|P 1P 2|＝1＋1922－4×(－22)＝22303. 19．解 设存在点P (x ，y )满足题设条件，则 |AP |2＝(x －a )2＋y 2.又∵x 29＋y 24＝1，∴y 2＝4(1－x29)．∴|AP|2＝(x－a)2＋4(1－x29)＝59(x－95a)2＋4－45a2.∵|x |≤3，当|95a|≤3，又0<a<3即0＜a≤53时，|AP|2的最小值为4－45a2.依题意，得4－45a 2＝1，∴a＝±152∉⎝ ⎛⎦⎥⎤0，53，当95a＞3，即53＜a＜3.此时x＝3，|AP|2取最小值(3－a)2.依题意，得(3－a)2＝1，∴a＝2.此时P点的坐标是(3,0)．故当a＝2时，存在这样的点P满足条件，P点坐标为(3,0)．20．解(1)如图，设直线l与圆O相切于E点，椭圆C的右顶点为D，则由题意易知，△OED为直角三角形，且|OE|＝b，|OD|＝a，∠ODE＝π3，∴|ED|＝|OD|2－|OE|2＝c(c为椭圆C的半焦距)．∴椭圆C的离心率e＝ca＝cosπ3＝12.(2)由(1)知，ca＝12，∴可设a＝2m(m>0)，则c＝m，b＝3m，∴椭圆C的方程为x24m2＋y23m2＝1.∴A(0，3m)，∴|AF|＝2m.直线AF的斜率k AF＝3，∴∠AFB＝60°.在Rt△AFB中，|FB|＝|AF|cos∠AFB＝4m，∴B(3m,0)，设斜边FB的中点为Q，则Q(m,0)，∵△AFB为直角三角形，∴过A，B，F三点的圆的圆心为斜边FB的中点Q，且半径为2m，∵圆Q与直线l：x＋3y＋3＝0相切，∴|m＋3|1＋3＝2m.∵m是大于0的常数，∴m＝1.故所求的椭圆C的方程为x24＋y23＝1.21解(1)由已知椭圆焦点(c,0)在抛物线上，可得c2＝b2，由a2＝b2＋c2＝2c2，有c2a2＝12⇒e＝22.(2)由题设可知M、N关于y轴对称，设M(－x1，y1)，N(x1，y1)(x1>0)，由△AMN的垂心为B，有BM→·AN→＝0⇒－x21＋(y1－34b)(y1－b)＝0.由点N(x1，y1)在抛物线上，x21＋by1＝b2，解得y1＝－b4，或y1＝b(舍去)，故x1＝52b，M(－52b，－b4)，N(52b，－b4)，得△QMN重心坐标(3，b4)．由重心在抛物线上得3＋b24＝b2，∴b＝2，M(－5，12)，N(5，－12)，又∵M，N在椭圆上，得a2＝163，椭圆方程为x 2163＋y 24＝1，抛物线方程为x 2＋2y ＝4. 22．解 (1)∵c a ＝63，且c ＝2，∴a ＝3，b ＝a 2－c 2＝1.∴椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)由题意知P (0，t )(－1<t <1)，由⎩⎨⎧y ＝t ，x 23＋y 2＝1，得x ＝±3(1－t 2)，∴圆P 的半径为3(1－t 2).∴3(1－t 2)＝|t |，解得t ＝±32. ∴点P 的坐标是(0，±32)． (3)由(2)知，圆P 的方程为 x 2＋(y －t )2＝3(1－t 2)． ∵点Q (x ，y )在圆P 上， ∴y ＝t ±3(1－t 2)－x 2≤t ＋3(1－t 2).设t ＝cos θ，θ∈(0，π)，则t ＋3(1－t 2)＝cos θ＋3sin θ＝2sin(θ＋π6)，当θ＝π3，即t ＝12，且x ＝0，y 取最大值2.古今名言敏而好学，不耻下问——孔子业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随——韩愈兴于《诗》，立于礼，成于乐——孔子己所不欲，勿施于人——孔子读书破万卷，下笔如有神——杜甫读书有三到，谓心到，眼到，口到——朱熹立身以立学为先，立学以读书为本——欧阳修读万卷书，行万里路——刘彝黑发不知勤学早，白首方悔读书迟——颜真卿书卷多情似故人，晨昏忧乐每相亲——于谦书犹药也，善读之可以医愚——刘向莫等闲，白了少年头，空悲切——岳飞发奋识遍天下字，立志读尽人间书——苏轼鸟欲高飞先振翅，人求上进先读书——李苦禅立志宜思真品格，读书须尽苦功夫——阮元非淡泊无以明志，非宁静无以致远——诸葛亮熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟——孙洙《唐诗三百首序》书到用时方恨少，事非经过不知难——陆游问渠那得清如许，为有源头活水来——朱熹旧书不厌百回读，熟读精思子自知——苏轼书痴者文必工，艺痴者技必良——蒲松龄声明访问者可将本资料提供的内容用于个人学习、研究或欣赏，以及其他非商业性或非盈利性用途，但同时应遵守著作权法及其他相关法律的规定，不得侵犯本文档及相关权利人的合法权利。

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四种命题、四种命题间的相互关系一、选择题1．已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素"是假命题,那么下列命题中真命题的个数为（）①M中的元素都不是P的元素;②M中有不属于P的元素；③M中有属于P的元素；④M中的元素不都是P的元素．A．1 B．2C．3 D．4［答案] B［解析］由于“M⊆P"为假命题，故M中至少有一个元素不属于P,∴②④正确．M中可能有属于P的元素，也可能都不是P的元素,故①③错误,选B。

2．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，p的逆命题为t，则s是t的( ）A．逆否命题B．逆命题C．否命题D．原命题［答案] C3．已知命题p：“若a>b〉0，则错误!a〈错误!b＋1”，则命题p及它的逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数为( ）A．0 B．1C．2 D．4［答案] C[解析] 对于命题p，当a>b>0时，有错误!a<错误!b，则必有错误!a<错误!b＋1，因此原命题正确,逆否命题也正确；但当错误!a〈错误!b＋1时，得错误!a〈错误!错误!，即a〉错误!〉0,此时不一定有a>b〉0，因此逆命题不正确，则命题p的否命题也不正确．因此一共有2个正确命题，故选C. 学科网二、填空题4．下列命题：①“若xy＝1,则x、y互为倒数”的逆命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题;③“梯形不是平行四边形”的逆否命题;④“若ac2＞bc2，则a＞b"的逆命题．其中是真命题的是________（填序号）．解析：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“x、y互为倒数，则xy＝1",是真命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题是“四边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；③“梯形不是平行四边形"本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题;④“若ac2＞bc2，则a＞b"的逆命题是“若a＞b,则ac2＞bc2”，是假命题．所以真命题是①②③.答案：①②③5．有下列四个命题:①“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的否命题;②“若x＞y，则x2＞y2”的逆否命题;③“对顶角相等”的逆命题．其中真命题的个数是________．解析：①真命题,②③为假命题答案：1三、解答题6．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断其真假．(1)如果两圆外切,那么两圆心距等于两圆半径之和；（2）平面内，两条平行直线不相交．学科网高考一轮复习微课视频手机观看地址：http：//x kw。

本册综合测试(二)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题后给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．变量y 与x 之间的回归方程( ) A ．表示y 与x 之间的函数关系 B ．表示y 与x 之间的不确定关系 C ．反映y 与x 之间的真实关系D ．反映y 与x 之间真实关系达到最大限度的吻合解析 回归方程是表示y 与x 具有相关关系，相关关系是一种非确定性关系，而回归方程是由最小二乘法求得的，它反映了y 与x 之间真实关系达到最大限度的吻合．答案 D2．若z 1＝(1＋i)2，z 2＝1－i ，则z 1z 2等于( )A ．1＋iB ．－1＋iC ．1－iD ．－1－i解析 z 1＝(1＋i)2＝2i ，z 2＝1－i ，z 1z 2＝2i1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝2(i －1)2＝－1＋i. 答案 B3．散点图在回归分析过程中的作用是( ) A ．查找个体个数 B ．比较个体数据大小关系 C ．探究个体分类D ．粗略判断变量是否线性相关 答案 D4．设a ，b ，c 均为正实数，P ＝a ＋b －c ，Q ＝b ＋c －a ，R ＝c ＋a －b ，则“PQR >0”是“P ，Q ，R 同时大于0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 必要性显然成立；PQR >0，包括P ，Q ，R 同时大于0，或其中两个为负两种情况．假设P <0，Q <0，则P ＋Q ＝2b <0，这与b 为正实数矛盾．同理当P ，R 同时小于0或Q ，R 同时小于0的情况亦得出矛盾，故P ，Q ，R 同时大于0，所以选C.答案 C5．在一个2×2列联表中，由其数据计算得到K 2的观测值k ＝13.097，则其两个变量间有关系的可能性为( )A ．99.9%B ．95%C ．90%D ．0解析 ∵13.097>10.828，∴有99.9%的把握认为两个变量有关系． 答案 A6．设a ，b 为实数，若复数1＋2i a ＋b i ＝1＋i ，则( )A ．a ＝32，b ＝12 B ．a ＝3，b ＝1 C ．a ＝12，b ＝32 D ．a ＝1，b ＝3解析 1＋2i a ＋b i＝1＋i ，则1＋2i ＝(1＋i)(a ＋b i)＝(a －b )＋(a ＋b )i ，∵a ，b ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝1，a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝12.答案 A7．在一次试验中，当变量x 的取值分别为1、12、13、14时，变量y 的值依次为2、3、4、5，则y 与x 之间的回归曲线方程为( )A.y ^＝x ＋1B.y ^＝2x ＋1 C.y ^＝2x ＋3 D.y ^＝1x ＋1解析 把变量x 的值代入验证知，回归曲线方程为y ^＝1x ＋1. 答案 D8．用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①A ＋B ＋C ＝90°＋90°＋C >180°，这与三角形内角和为180°矛盾，A ＝B ＝90°不成立．②所以三角形中不能有两个直角．③假设三角形的三个内角A 、B 、C 中有两个直角，不妨设A ＝B ＝90°.正确顺序的序号为( )A ．①②③B ．③①②C ．①③②D ．②③①答案 B9．复数z ＝(2－i )2i (i 为虚数单位)，则|z |＝( ) A ．25 B.41 C ．5 D. 5解析 解法一：z ＝(2－i )2i ＝4－4i －1i ＝(3－4i )ii·i ＝－4－3i. ∴|z |＝|－4－3i|＝(－4)2＋(－3)2＝5.解法二：|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪(2－i )2i ＝|2－i|2|i|＝(5)21＝5. 答案 C 10．已知下表： a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 …则a 81的位置是( ) A ．第13行第2个数 B ．第14行第3个数 C ．第13行第3个数 D ．第17行第2个数解析 第n 行最后一项为a n (n ＋1)2，故当n ＝13时，有a 91，所以a 81是第13行第3个数．答案 C11．如图所示，程序框图输出的所有实数对(x ，y )所对应的点都在函数( )A．y＝x＋1的图象上B．y＝2x的图象上C．y＝2x的图象上D．y＝2x－1的图象上解析读程序框图知，输出的(x，y)依次是：(1,1)，(2,2)，(3,4)，(4,8)，这些点都在y＝2x－1的图象上．答案 D12．已知数列1，a＋a2，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5＋a6，…，则数列的第k项是()A．a k＋a k＋1＋…＋a2kB．a k－1＋a k＋…＋a2k－1C．a k－1＋a k＋…＋a2kD．a k－1＋a k＋…＋a2k－2解析设数列为{b n}，则b1＝1＝a1－1，b2＝a＋a2＝a2－1＋a2(2－1)，b3＝a2＋a3＋a4＝a3－1＋a3＋a2(3－1)，b4＝a3＋a4＋a5＋a6＝a4－1＋a4＋a5＋a2(4－1)，…b n＝a n－1＋a n＋…＋a2(n－1)(n∈N*)，∴b k＝a k－1＋a k＋…＋a2(k－1)．答案 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上)13．观察数列3，3，15，21，33，…，写出数列的一个通项公式a n＝________.解析观察数列3，9，15，21，27，…，被开方数3,9,15,21,27，…，成等差数列，通项为3＋(n－1)×6＝6n－3，故a n＝6n－3(n∈N*)．答案6n－3(n∈N*)14．下列表示旅客搭乘火车的流程，正确的是________．①买票―→候车―→上车―→检票②候车―→买票―→上车―→检票③买票―→候车―→检票―→上车④候车―→买票―→上车―→检票答案③15．设θ∈，当θ＝________时，z＝1＋sinθ＋i(cosθ－sinθ)是实数．解析若z为实数，则cosθ＝sinθ，即tanθ＝1，∵θ∈，∴θ＝π4，或θ＝5π4.答案π4或5π416．如图所示，在三棱锥S －ABC 中，SA ⊥SB ，SB ⊥SC ，SC ⊥SA ，且SA ，SB ，SC 和底面ABC 所成的角分别为α1，α2，α3，△SBC ，△SAC ，△SAB 的面积分别为S 1，S 2，S 3，类比三角形中的正弦定理，给出空间图形的一个猜想是________．解析 在△ABC 中，有正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，于是类比三角形中的正弦定理，在三棱锥S －ABC 中，猜想S 1sin α1＝S 2sin α2＝S 3sin α3.答案 S 1sin α1＝S 2sin α2＝S 3sin α3三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)某人酷爱买彩票，一次他购买了1000注的彩票，共有50注中奖，于是他回到家对彩票的号码进行了分析，分析后又去买了1500注的彩票，有75注中奖．请分析他对号码的研究是否对中奖产生了大的影响．解 根据题意可知购买1000注的彩票，中奖50注，未中奖的有950注；购买1500注彩票，中奖75注，未中奖的有1425注．列出对应的2×2列联表如下：0由表中数据，得K 2的观测值为 k ＝2500×(50×1425－75×950)21000×1500×125×2375＝0.因为0<2.706，所以没有足够的证据说明对彩票号码的分析与中奖有关．18．(12分)已知f (z )＝|1＋z |－z －，且f (－z )＝10＋3i ，求复数z . 解 f (z )＝|1＋z |－z －，f (－z )＝|1－z |＋z －， 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i. 由f (－z )＝10＋3i ，得 |1－(a ＋b i)|＋a －b i ＝10＋3i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )2＋b 2＋a ＝10，－b ＝3，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－3.所以复数z ＝5－3i.19．(12分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin 213°＋cos 217°－sin13°cos17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin18°cos12°；④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．解 (1)选择②式，计算如下： sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15° ＝1－12sin30°＝1－12×12＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos30°cos α＋sin30°sin α)2－sin α(cos30°cos α＋sin30°sin α)＝sin 2α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α＋12sin α2－32sin αcos α－12sin 2α＝12sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α ＝34(sin 2α＋cos 2α)＝34.20．(12分)下面命题是真命题还是假命题，用分析法证明你的结论．命题：若a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，则b 2－aca < 3. 解 命题是真命题，证明如下： ∵a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0， ∴a >0，c <0.要证b2－aca<3，只需证b2－ac<3a，只需证b2－ac<3a2，因为b＝－a－c，故只需证(a＋c)2－ac<3a2，即证2a2－ac－c2>0，即证(2a＋c)(a－c)>0.∵2a＋c>a＋b＋c＝0，a－c>0，∴(2a＋c)(a－c)>0成立，故原命题成立．21．(12分)设函数y＝f(x)定义在R上，对任意实数m，n，恒有f(m ＋n)＝f(m)·f(n)，且当x>0时，0<f(x)<1.(1)求证：f(0)＝1，且当x<0时，f(x)>1；(2)证明：f(x)在R上是减函数．证明(1)∵对m，n∈R，恒有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，∴令m＝1，n＝0，得f(1)＝f(1)·f(0)．又0<f(1)<1，∴f(0)＝1.当x<0时，－x>0，从而f(0)＝f(x－x)＝f(x)·f(－x)，∴f(x)＝1f(－x).∵－x>0，∴0<f(－x)<1，从而f(x)>1.(2)任取x1，x2∈R，且x1<x2，∴x2－x1>0，故0<f(x2－x1)<1，即0<f(x2)·f(－x1)<1.又f(0)＝f(x1－x1)＝f(x1)·f(－x1)＝1，∴f(－x1)＝1f(x1).又当x∈R时，f(x)>0，∴0<f (x 2)f (x 1)<1，∴f (x 2)<f (x 1)，即f (x 1)>f (x 2)， 故f (x )在R 上是减函数．22．(12分)某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：(1)(2)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应该抽取几名？(3)在上述抽取的5名观众中，任取2名，求恰有一名观众的年龄为20至40岁的概率．解 (1)因为在20岁至40岁的58名观众中有18名观众收看新闻节目，而大于40岁的42名观众中有27名收看新闻节目，所以，经直观分析，收看新闻节目的观众与年龄是有关的．(2)应抽取大于40岁的观众人数为2745×5＝3(名)．(3)用分层抽样方法抽取的5名观众中，20岁至40岁的有2名(记为y 1，y 2)，大于40岁的有3名(记为A 1，A 2，A 3).5名观众中任取2名，共有10种不同的取法：y 1y 2，y 1A 1，y 1A 2，y 1A 3，y 2A 1，y 2A 2，y 2A 3，A 1A 2，A 1A 3，A 2A 3.设A 表示随机事件“5名观众中任取2名，恰有一名年龄在20岁至40岁”，则A 中的基本事件有6种：y 1A 1，y 1A 2，y 1A 3，y 2A 1，y 2A 2，y 2A 3.6故所求的概率为P(A)＝10＝0.6.。