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2-3 矩阵的秩

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线代第三章矩阵的秩

线代第三章矩阵的秩
设一般线性方程组为
a11 x1 a x 21 1 am 1 x1

a12 x2 a22 x2 am 2 x2

a1n xn a2 n xn amn xn

b1 b2 bm (1)
a11 a12 a1n a a22 a2 n 为方程组(1)的系数矩阵。 则称矩阵 A 21 am 1 am 2 amn
3 1 2 1 0 0 1 2 0 0 0 1
最后一行有 0 x3
1,
可知方程组无解。
x1 2 x2 3 x3 x2 x3 例3：解线性方程组 x1 3 x2 7 x2 3 x3
1 0 解： ( A, b) 1 0 1 0 0 0 2 1 0 0 3 1 2 4 2 1 3 7 4 1 4 8 3 1 0 3 4 1 3 1 1 0 1 0
a12 x2 a22 x2 am 2 x2 a1 n xn a2 n xn amn xn 0 0 0 (2)
a11 x1 a x 21 1 am 1 x1
称为方程组（1）的导出组， 或称为（1）对应的齐次线性方程组。
举例说明消元法具体步骤：
2 x1 例2：解线性方程组 4 x 1 2 x 1

x2 x2

3 x3
1 4 0
2 x2
5 x3 4 x3
1 2 1 3 1 2 1 3 解： A, b ) 4 2 5 4 0 ( 0 1 2 2 1 4 0 0 0 1 1

线性代数第三章

线性代数第三章

Am n 的各阶子式的总数:
min( m , n )

k 1
k k CmCn .
任意非零矩阵都至少有一个1阶非零子式(其每个非零元都可构成一个
1阶非零子式), 更高阶子式(如有)中还可能有非零的.
一个矩阵所具有的非零子式的最高阶数这一 数字与该矩阵的多方面性质有关, 将这一数字定
1 A 0 0 2 2 0 1 8 0 0 8 0
0
由此知A可逆, 故系数 行列式非零,于是克莱 默法则也适用本题.
3
行最简形矩阵
2
(29,16, 3)
1
x1 2 x2 x3 0 x2 4 x3 4 . 例3.4.2 求解线性方程组 4 x 5 x 8 x 9 1 2 3
由性质 5
ci c n i i 1, 2,, n
~
( A, B )

R ( A) R ( B ).
证毕.
例3.3.4 设A为n阶方阵,证明: R( A E) R( A E) n. 证明:
A E
ri ( 1) i 1, 2, , n
~
EA
练习 设A2=E,证明: R(A+E)+R(A-E)=n.
B的各非零行的首个非零元处在第1,2,3行、第1,2,4列, 分别对应于A 的第4,2,3行、第1,2,4列, 其交叉点处的元素构成的行列式
3 2 D 2 1 0 6
6 5 1
A的第2,3,4行、第1,3,4 列交叉点处的元素也可构成A 的最高阶非零子式.想想为什 么？还可以怎么取?
就是A的一个最高阶非零子式.
R( A) R( B) 3 .
例3.3.2 解:(2)求A的一个最高阶非零子式.事实上

第三节矩阵的秩

第三节矩阵的秩

1 0 3 6
1 2 3 4 1 0 5 1
r2 2 r1 r3 2 r1
r4 3 r1
1 0 0 0
2 0 0 0
2 4 2 61 2 1 3r2 2 r3 r 2
r4 3 r2
1 0 0 0 1 0 0 0
1 2 r2 r3 3 0 ~ r1 2 r 2 0 0
0 1 0 0
1 3 2 3 0 0
0 0 1 0
16 9 1 9 , 1 3 0
最后一个行阶梯形矩阵具有下述特性： 每一个非零行的第一个非零元素均为1，且含这些元素的 列的其它元素都为0. 这个矩阵称为矩阵A的行最简形
4 3 1 0
1 1 5 5
4 1 3 0
r1 r4 r2 r4 r3 2 r1 r4 3 r1
1 0 0 0
6 4 12 16
4 3 9 12
1 1 7 8
1 11 12 4
矩阵I称为A的标准形，其特点是：I的左上角是一个r 阶单位阵 ( r R ( A )), 其它元素都是0. 可见若 A ~ B ， 则A与B有相同的标准形.
特别地，当A为n阶方阵且 A 0 时, 可知 R ( A ) n , 故A的标准形为单位阵E，即 A ~ E . 因此称行列式值 不为零的方阵为满秩方阵; 称行列式值为零的方阵为 降秩方阵
从这个行阶梯形矩阵不仅可看出矩阵的秩. 继续施行 初等行变换，还可化为最简单的形式：
1 0 0 0 2 3 0 0 1 2 0 0 0 2 3 0 2 1 1 0
1 1 r2 0 3 ~ 1 r3 3 0 0

第五专题 矩阵的数值特征(行列式、范数、条件数、迹、秩、相对特征根)讲解

第五专题 矩阵的数值特征(行列式、范数、条件数、迹、秩、相对特征根)讲解

第五专题矩阵的数值特征（行列式、迹、秩、相对特征根、范数、条件数）一、行列式已知A p×q, B q×p, 则|I p+AB|=|I q+BA|证明一：参照课本194页，例4.3.证明二：利用AB和BA有相同的非零特征值的性质；从而I p+AB，I q+BA中不等于1的特征值的数目相同，大小相同；其余特征值都等于1。

行列式是特征值的乘积，因此|I p+AB|和|I q+BA|等于特征值（不等于1）的乘积，所以二者相等。

二、矩阵的迹矩阵的迹相对其它数值特征简单些，然而，它在许多领域，如数值计算，逼近论，以及统计估计等都有相当多的应用，许多量的计算都会归结为矩阵的迹的运算。

下面讨论有关迹的一些性质和不等式。

定义：n nii ii1i1tr(A)a====λ∑∑，etrA=exp(trA)性质：1. tr(A B)tr(A)tr(B)λ+μ=λ+μ，线性性质；2. Ttr(A )tr(A)=；3. tr(AB)tr(BA)=；4. 1tr(P AP)tr(A)-=；5. H Htr(x Ax)tr(Axx ),x =为向量；6. nnk ki i i 1i 1tr(A),tr(A )===λ=λ∑∑;从Schur 定理（或Jordan 标准形）和（4）证明； 7. A 0≥,则tr(A)0≥,且等号成立的充要条件是A=0；8. A B(A B 0)≥-≥即,则tr(A)tr(B)≥，且等号成立的充要条件是A=B （i i A B (A)(B)≥⇒λ≥λ）；9. 对于n 阶方阵A ，若存在正整数k,使得A k =0,则tr(A)=0（从Schur 定理或Jordan 标准形证明）。

若干基本不等式对于两个m ×n 复矩阵A 和B ，tr(A H B)是m ×n 维酉空间上的内积，也就是将它们按列依次排成的两个mn 维列向量的内积，利用Cauchy-schwarz 不等式[x,y]2≤[x,x]﹒[y,y]得定理：对任意两个m ×n 复矩阵A 和B |tr(A H B)|2≤tr(A H A)﹒tr(B H B)这里等号成立的充要条件是A=cB,c为一常数。

3-4矩阵的秩

3-4矩阵的秩
向量组 α1 , α 2 ,L , α n 称为矩阵A的列向量组.
α1
α2
αj
αn
高等代数
类似地 , 矩阵A = (a ij )m×n 又有m 个n维行向量
a 11 a 21 M A= a i1 M a m1
a a a
12 22
M
i2
M
a
m2
L 2n M L a in M L a mn L
个线性无关的行向量， 是r个线性无关的行向量， 则该向量组的延伸组 个线性无关的行向量
(a11 , a21 ,L , ar 1 , ar +1,1 ,L , a s1 ),L ,(a1r , a2 r ,L , arr , ar +1,r ,L , a sr )
也线性无关． 于是矩阵A的列秩 也线性无关． 于是矩阵 的列秩 r1 ≥ r ． 同理可证 r1 ≤ r. 所以 r1 = r ．
高等代数
a11 0 A= L 0
a12 ′ a22 L ′ an 2
L L L L
a1n ′ a2 n = a11 L ′ ann
′ a22 L ′ an 2
L L L
′ a2 n L a′ nn
ai 1 ′ 其中 (0, ai′2 ,L , ain ) = α i − α1 , i = 2,L , n a11
a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n xn = 0 a21 x1 + a22 x2 + L + a2 n xn = 0 LLLLLLLLLL = 0 a x + a x +L + a x = 0 r2 2 rn n r1 1

3§4 矩阵的秩

3§4 矩阵的秩
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从而r(A)=列秩 < n . 若A的第一列的元素有一个不为零，不失一般性， ai1 a 0. 将第一行的( ) 倍加到第i行(2≤i≤n), 则 设 11 a11 从第二行直到第n行的第一个元素 a21 ,, an1全变为零 .
即得
a11 0 | A | 0 a12 a1n a2 n a22 a2 n a22 a11 2 ann an 2 ann an
2
n n个m维列向量
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例如 矩阵
1 0 A 0 0
1
1 2 1 4 0 0 5 0 0 0 3
行向量组
1 (1,1,3,1), 2 (0, 2, 1, 4), 3 (0, 0, 0,5), 4 (0, 0, 0, 0).
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结束
先证 r r1.
设矩阵A的行向量组为1 , 2 ,, s , 不失一般性，
设1 , 2 ,, r 为它的一个极大线性无关组 . 因为1 , 2 ,, r 是线性无关的，所以方程
x11 x2 2 xr r 0
只有零解， 即
a11 x1 a21 x2 ar1 xr 0, a x a x a x 0, 12 1 22 2 r2 r a1n x1 a2 n x2 arn xr 0
2 ,, r 等价，故方程组（1）与方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0, a x a x a x 0, 21 1 22 2 2n n ar1 x1 ar 2 x2 arn xn 0

《线性代数》(陈维新)习题答案(第4章)


⇔ 矩阵 [α1 α 2 α 3 ] 的秩是否与矩阵 [α1 α 2 α 3
解 对矩阵 [α1
β ] 的秩相同.
α 2 α 3 β ] 作初等行变换化为阶梯形:
[α1
1 2 3 1 7 1 2 −1 α2 = α 3 β ] 3 7 −6 − 2 → 0 1 −3 − 5 . 5 8 1 a 0 0 0 a − 1 5
证明 设������ ≠ ������ ∈ ������ ，则������，2������， ⋯ ，������������， ⋯ ∈ ������ 。下证当������ ≠ ������时，������������ ≠ ������������。 (反证) 若������������ = ������������，则(������ − ������)������ = ������，因������ ≠ ������，则������ − ������ = 0，这与 ������ ≠ ������矛盾，所以������ 中 至少有无穷多个向量������，2������， ⋯ ，������������， ⋯。
第四章 线性空间和线性变换
习题 4.1
1．检验以下集合关于所指定的运算是否构成实数域������上的线性空间： (1) ������阶实对称矩阵的全体，关于矩阵的加法和实数与矩阵的数乘； (2) 次数等于������(������ ≥ 1)的实系数一元多项式的全体，关于多项式的加法和实数与多项式 的数乘； (3) 有理数的全体������，关于数的加法和实数与有理数的乘法； ： (4) 平面上全体向量������2 ，关于通常的向量加法和如下定义的数量乘法“∘” 解 (1) 是 因为任意两个������阶实对称矩阵和是������阶实对称矩阵， 任意一个实数乘以������阶实对称矩阵也 是������阶实对称矩阵，所以������阶实对称矩阵的全体关于矩阵的加法和实数与矩阵的数乘运算是 封闭的。下面验证八条运算规律成立。 记������阶零矩阵为������，显示������是实对称矩阵，且对任意的������阶实对称矩阵������都有������ + ������ = ������。 对任意的������阶实对称矩阵������，显然−������也是������阶实对称矩阵，且������ + (−������) = ������。 其它 6 条运算规律显然成立，这里就不证。 由此可知，������阶实对称矩阵的全体，关于矩阵的加法和实数与矩阵的数乘否构成实数域 ������上的线性空间。 (2) 否 因为零多项式的次数不是������，所以这个集合不含零向量，因此次数等于������(������ ≥ 1)的实系 数一元多项式的全体，关于多项式的加法和实数与多项式的数乘不能构成实数域������上的线性 空间。 或者说： 因为两个任意的次数等于������(������ ≥ 1)的实系数一元多项式和的多项式次数不一定等于������， 有可能小于������，所以关于多项式的加法不封闭，因此次数等于������(������ ≥ 1)的实系数一元多项式 的全体，关于多项式的加法和实数与多项式的数乘不能构成实数域������上的线性空间。 ������ ∘ ������ = ������，∀������ ∈ ������，∀������ ∈ ������2

线代第三章习题解答

第三章 行列式习题3.13-1-6.用定义计算行列式（1）()2,1,0,,,0000000222211114=≠=i d c b a d c b a d c b a D ii i i解：设444⨯=ija D 则4D 中第1行的非0元为113111,b a a a ==，故11,3j =同法可求：2342,4;1,3;2,4j j j ===∵4321,,,j j j j 可组成四个4元排列 1 2 3 4，1 4 3 2，3 2 1 4，3 4 1 2， 故4D 中相应的非0项有4项，分别为2211d b c a ，,2211c b d a -2211d a c b -，2211c a d b 其代数和即为4D 的值，整理后得 ()()122112214d c d c b a b a D --=(2)010...0002 0000...000 0n D n =M M MM解：由行列式的定义121212()12(1)n n nj j j n j j nj j j j D a a a τ=-∑L L L仅当12,,,n j j j L 分别取2，3,…,n-1,n,1 时，对应项不为零，其余各项都为零12121()(231)1212231(1)(1)(1)(1)(1)12(1)!n n n j j j n n j j nj n n n n D a a a a a a a n n ττ---=-=-=-⋅=-⋅L L L L L习题3.23.2-2.证明(1)0sin cos 2cos sin cos 2cos sin cos 2cos 222222=γγγβββααα证明:22222222222222132222222cos sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin cos cos sin c c αααααααβββββββγγγγγγγ-=-+-左0= (2) 322)(11122b a b b a a b ab a -=+证明:23222212()()2()11001c c a ab ab b b a a b b a b a b c c a ba b b a b a b a b --------==---左右=-=3)(b a(3) 121211221100001000001n n n n n nn n x x x a x a x a x a x a a a a a x-------=+++++-+L L M MM O M M L L L证明: 按最后一行展开，得1211000000010001000(1)(1)00010000100101n n n n x x a a x x x ++----=-+-----L L L L O M M M M M O M M L L LL左321220000100000000100(1)(1)0001000000001001n n n x x x x a a x x +----+-++----LL L L L M M M O M M M M M O M M L L LL21100100()(1)000100nx x x a x x--++--LL M M M O M M L L222222121221(1)(1)(1)(1)()(1)n n n n n n n n n n a a x a x a x x a x ----=-+-+-++-++-L 2211221n n n n n n a a x a x a x a x x ----=++++++=L 右3=2-3．计算下列行列式 （1）11111100((1))((1))x a a a x a ax a x a x n a x n a a a xa a xx a-=+-=+--LL L LLLM M O M M M OM MM O M LLL])1([)(1a n x a x n -+-=-(2)()()()()()()111(1)211111111()1(1)(1)111111nnnn n n n n n n n n nnna a a n a a a n a a a n D a a a n a a a n a a a n ---++---------==-------L L L LM MOMMM O ML L LL（最后一行（n+1）行依次与第n,n-1,…,2,1行交换，经过n 次交换；再将新的行列式的最后一行（即原来的n 行）依次换到第二行，经过n-1次交换；。

线性代数1同济大学第五版课件3-2

设 A 经初等列变换变为 B , 也有 R ( A ) R ( B ).
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设 A 经初等列变换变为
B,
则 A
T
经初等行变换变为
T T
B ,
T
R ( A ) R ( B ),
T T
且 R ( A ) R ( A ), R ( B ) R ( B ),

R ( A ) R ( B ).

R ( B ) 3,
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故 B 中必有
3 阶非零子式
. 且共有
4 个.
计算 B 的前三行构成的子式
3 2 3
2 0 2
5
3
2 0 0
5 5 11
5 2 6 6
2
2 6
5 11
16 0 .
则这个子式便是A 的一个最高阶非零子式.
机动
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例4
1 2 设A 2 3
则 D r D r 0 , 也有 R ( B ) r .
若A经一次初等行变换变为 ，则 R( A ) R( B ). B
由于 B 也可经过一次初等行变 换变为 A ,
故也有 R( B ) R( A). 因此 R( A) R( B ).
经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经 有限次初等行变换矩阵的秩仍不变．
对于 A ， 显有 R ( A ) R ( A ).
T T
对 A m n，有 0 R （ A ） min m , n
0，则 R （ A ） s ；

矩阵的秩及其求法

1、用初等变换法求矩阵的秩
定理2 矩阵初等变换不改变矩阵的秩。
即 A B 则 R(A) R(B)
说明：1. ri rj 只改变子行列式的符号。
2. k ri 是 A 中对应子式的 k 倍。
3. ri krj 是行列式运算的性质。
由于初等变换不改变矩阵的秩，而任一 Amn 都等价
子式(如果存在的话)全为0 , 称r为矩阵A的秩， 记作R(A)或秩(A)。
4
规定： 零矩阵的秩为 0 . 注意：(1) 如 R ( A ) = r，则 A 中至少有一个 r 阶子
式 Dr 0 , 所有 r + 1 阶子式为 0，且更高阶
子式均为 0，r 是 A 中非零的子式的最高阶数.
(2) 由行列式的性质，R( A) R( AT ) .
(3) R(A) ≤m, R(A) ≤n, 0 ≤R(A) ≤min { m , n } .
(4) 如果 An×n , 且 A 0 , 则 R ( A ) = n . 反之，如 R ( A ) = n ,则 A 0 .
因此，方阵 A 可逆的充分必要条件是 R ( A ) = n .
5
二、矩阵秩的求法
于行阶梯矩阵。其秩等于它的非零行的行数，即为 RA.
所以可以用初等变换化 A 为阶梯矩阵来求A的秩。
10
例4
1 A 2
0 1
2 3
4 6
求 RA.
1 1 1 2
1
解
A
rr32 2rr11
0
0
0 1 1
2 1 1
24 2
1 0 0
0 1 0
2 1 0
4 2 ， 0
R(A) = 2
0 0 1
RA 3
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Er → → 0
0 0
r = r ( A)
9
定义2.3.4 定义2.3.4
A→
有限次初等变换
→ B, 称A与B等价 记作 A B 与 等价
具有三性: 具有三性: (1)反身性 (2)对称性 ) ) (3)传递性 )
注:
有相同的标准形, , 有相同的标准形 A,B有相同的标准形,从而秩相等 的标准形是单位阵E, 的标准形是单位阵 2. r ( A) = E A的标准形是单位阵 ,即 A E 1.
所以, 非零行的个数) 所以,r (A)=3 (非零行的个数) ) 非零行的个数
6
1 0 A→ B = 0 0
1 3 5 2 1 3 5 2 1 7 3 2 0 1 5 7 3 2 → 5 5 5 0 0 1 2 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0
A B
10
定理2.3.3 定理2.3.3
r ( A + B ) ≤ r ( A) + r ( B )
是两个s× 证明: , 是两个 证明 设A,B是两个 ×n 矩阵
α1 + β1 γ1 α1 β1 β2 α2 α 2 + β2 设 A + B = γ 2 , A+ B = A= , B= α + β γ α β s s s s s
T
定义2.3.3 定义2.3.3
A为n阶方阵 为 阶方阵 称A为满秩方阵或非退化(非奇异)方阵 为满秩方阵或非退化(非奇异) 称A为降秩方阵或退化(奇异)方阵 为降秩方阵或退化(奇异)
4
r ( A) = n r ( A) < n
注: 求矩阵秩的方法( 求矩阵秩的方法(P45): ): 通过矩阵的初等变换,把矩阵化为一个行阶梯形, 通过矩阵的初等变换,把矩阵化为一个行阶梯形, 其中非零行的个数就是矩阵的秩 例1 求矩阵A的秩: 求矩阵 的秩: 的秩
4 9 0 1 5 5 7 8 0 → 0 5 5 0 1 2 0 0 0 0 0
4 0 0 5 7 1 0 0 5 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 =D 0
8
D称标准形:左上角是一个 (=r (A) )阶单位阵, 称 左上角是一个r ) 阶单位阵, 其他元素都是0 其他元素都是 一般: 一般: Am×n
定理 2.3.5 定理2.3.6 定理
r ( AT ) = r ( A)
Am×n的m个行向量线性相关 个行向量线性相关 × Am×n的m个列向量线性相关 m个列向量线性相关 × r (A)<m ) r (A)<n A) ) Am×n的m个行向量线性无关 r (A)=m 个行向量线性无关 ×
推论1 推论
2
定义2.3.1 定义2.3.1 矩阵A的行向量组的秩称为 的 矩阵 的行向量组的秩称为 A的行秩 矩阵A的列向量组的秩称为 的 矩阵 的列向量组的秩称为 A的列秩 定理2.3.1 定理2.3.1 矩阵的初等行变换不改变矩阵的行(列)秩; 矩阵的初等行变换不改变矩阵的行( 矩阵的初等列变换不改变矩阵的列( 矩阵的初等列变换不改变矩阵的列(行)秩; 定理2.3.2 定理2.3.2 矩阵的行秩等于矩阵的列秩 证略
3
定义2.3.2 定义2.3.2 矩阵A的行( 矩阵 的行(列)秩称为矩阵的秩, 的行 秩称为矩阵的秩, 记为rank (A)或r (A)或R (A) 记为 ) ) ) 注: 1. r ( A) ≤ min( m, n) 2. 规定 r (0) = 0 3. 由定义显然
r ( A ) = r ( A)
13
作业PLeabharlann 14�1 3 5 1 3 5 2 1 0 5 7 2 1 3 1 4 → A= 0 5 7 0 5 7 3 2 0 10 14 1 7 9 3 7
2 1 3 2 3 2 5 6
5
1 3 5 0 5 7 → 0 5 7 0 10 14 1 3 5 0 5 7 → 0 0 0 0 0 0
1 3 5 0 3 0 1 7 0 8 → 5 5 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0
C称行最简形:非零行向量的第一个非零元素为 , 称 非零行向量的第一个非零元素为1, 且含有这些元素的列的其它元素为0 且含有这些元素的列的其它元素为
1 0 → 0 0
4 9 0 0 5 5 7 8 1 0 =C 5 5 0 0 1 2 0 0 0 0
则A+B的行向量组可以由向量组 + 的行向量组可以由向量组
α1 , α 2 , , α s 及向量组
β1 , β 2 , , β s 线性表示
所以, 所以, r ( A + B ) ≤ r (α1 , α 2 , , α s , β1 , β 2 , , β s )
≤ r (α1 , α 2 , , α s ) + r ( β1 , β 2 , , β s ) = r ( A) + r ( B )
11
推论 定理2.3.4 定理 推论
r ( A1 + A2 + + Am ) ≤ r ( A1 ) + r ( A2 ) + + r ( Am )
r ( AB) ≤ min {r ( A), r ( B)}
证略
r ( A1 A2 Am ) ≤ min {r ( A1 ), r ( A2 ), , r ( At )}
) Am×n的m个列向量线性无关 r (A)=n 个列向量线性无关 × 推论2 推论 n个n维行(列)向量线性无关 维行( 个 维行 以它们为行(列)向量作成的是一具满秩矩阵 以它们为行(
注:
一个n阶方阵是满秩矩阵 一个 阶方阵是满秩矩阵 A E
12
小结
1.基本概念:初等变换,行秩,列秩,秩; 基本概念:初等变换,行秩,列秩, 基本概念 2. 行阶梯形矩阵,行最简形,标准形 行阶梯形矩阵,行最简形,标准形; 3. 必须会求矩阵的秩 必须会求矩阵的秩.
第三节 矩阵的秩
1
初等变换
{
初等行变换
初等列变换
{ {
逆变换
ri rj
ri rj
1 ri × k
kci (k ≠ 0) ci + kc j
kri (k ≠ 0) ri + ( k ) rj ri + krj ci c j ci c j
ci + ( k )c j
1 ci × k
1 2 3 4 A = 5 6 7 8 9 10 11 12
7
1 0 → 0 0
1 初 等 行 变换 初 等 行变 换 0 A → B → C= 0 0
0 1 0 0
0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 → 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 E3 = 0 1 0 0 0 0 0 0 0
2 1 1 3 5 2 1 3 2 0 5 7 3 2 → 3 2 0 0 0 0 0 5 6 0 0 0 1 2 2 1 以上只做初等行变换, 以上只做初等行变换, 3 2 = B B称为行阶梯形矩阵: 称为行阶梯形矩阵 称为行阶梯形矩阵: 1 2 每个阶梯只有一行,阶 每个阶梯只有一行, 0 0 梯以下的元素全为0 梯以下的元素全为