求矩阵的秩:
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第五节:矩阵的秩及其求法之五兆芳芳创作一、矩阵秩的概念 1. k 阶子式 定义1 设 在A 中任取k 行k 列穿插处元素按原相对位置组成的阶行列式,称为A 的一个k 阶子式.例如共有个二阶子式,有 个三阶子式矩阵 A 的第一、三行,第二、四列相交处的元素所组成的二阶子式为 而为 A 的一个三阶子式.显然, 矩阵 A 共有 个k 阶子式.2. 矩阵的秩 定义2 设 有r 阶子式不为0,任何r +1阶子式(如果存在的话)全为0 ,称r 为矩阵A 的秩,记作R (A )或秩(A ).规则: 零矩阵的秩为 0 .注意:(1) 如 R ( A ) = r ,则 A 中至少有一个 r 阶子式所有 r + 1 阶子式为 0,且更高阶子式均为 0,r 是 A 中不为零的子式的最高阶数,是唯一的 .(2) 有行列式的性质,(3) R(A ) ≤m , R (A ) ≤n , 0 ≤R (A ) ≤min { m , n } .(4) 如果An ×n , 且 则 R ( A ) = n .反之,如 R()nm ij a A ⨯={}),min 1(n m k k ≤≤43334=C C 1015643213-=D nm ⨯()nm ij a A ⨯=0,r D ≠()().T R A R A =0,A ≠0.A ≠( A ) = n ,则因此,方阵 A 可逆的充分需要条件是 R ( A ) = n . 二、矩阵秩的求法 1、子式判别法(定义).例1 设 为阶梯形矩阵,求R (B ). 解 由于 存在一个二阶子式不为0,而任何三阶子式全为0,则R (B ) = 2.结论:阶梯形矩阵的秩=台阶数.例如 一般地,行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数”——非零行的行数. 例2 设 如果 求a .解 或例3则 2、用初等变换法求矩阵的秩定理2矩阵初等变换不改动矩阵的秩. 即则注: 只改动子行列式的符号. 是 A 中对应子式的k 倍.2021≠⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010*********A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001021B ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010011C 125034000D ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭21235081530007200000E ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a A 111111(),3<A R ()3<A R 1=∴a 2-=a ()3=A R =K 3-BA →)()(B R A R =ji r r ↔.1irk .2是行列式运算的性质.求矩阵A 的秩办法:1)利用初等行变换化矩阵A 为阶梯形矩阵B 2)数阶梯形矩阵B 非零行的行数即为矩阵A 的秩. 例4求 解R(A ) = 2例5三、满秩矩阵定义3A 为n 阶方阵时,称 A 是满秩阵,(非奇异矩阵) 称 A 是降秩阵,(奇异矩阵) 可见:对于满秩方阵A 施行初等行变换可以化为单位阵E ,又按照初等阵的作用:每对A 施行一次初等行变换,相当于用一个对应的初等阵左乘A,由此得到下面的定理. 定理3设A 是满秩方阵,则存在初等方阵 使得对于满秩矩阵A ,它的行最简形是n 阶单位阵 E . 例如A 为满秩方阵.关于矩阵的秩的一些重要结论:ji krr +.3().A R μλμλ,2,6352132111,求)(且设=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=A R A (),n A R =(),n A R <()0≠⇔=A nA R EA P P P P s s =-121,定理5R (AB )R (A ),R (AB )R (B ),即R (AB )min{R (A ),R (B )}设A 是 矩阵,B 是 矩阵, 性质1性质2 如果 A B = 0 则性质3 如果 R (A )= n, 如果A B = 0 则 B = 0. 性质4 设A,B 均为矩阵,则例8 设A 为n 阶矩阵,证明R (A+E )+R (A-E )≥n 证: ∵ (A+E )+(E-A )=2E∴R (A+E )+ R ( E-A )≥ R (2E )=n而 R ( E-A )=R ( A-E ) ∴ R (A+E )+R (A-E )≥n≤nm ⨯tn ⨯).()()(AB R n B R A R ≤-+.)()(n B R A R ≤+nm ⨯).()()(B R A R B A R +≤±。
第五节:矩阵的秩及其求法一、矩阵秩的概念1. k 阶子式定义1 设 在A 中任取k 行k 列交叉处元素按原相对位置组成的阶行列式,称为A 的一个k 阶子式。
例如 共有个二阶子式,有 个三阶子式 矩阵A 的第一、三行,第二、四列相交处的元素所构成的二阶子式为 而 为 A 的一个三阶子式。
显然, 矩阵 A 共有 个 k 阶子式。
2. 矩阵的秩定义2 设 有r 阶子式不为0,任何r +1阶子式(如果存在的话)全为0 , 称r 为矩阵A 的秩,记作R (A )或秩(A )。
规定: 零矩阵的秩为 0 .注意:(1) 如 R ( A ) = r ,则 A 中至少有一个 r 阶子式 所有 r + 1 阶子式为0,且更高阶子式均为 0,r 是 A 中不为零的子式的最高阶数,是唯一的 .(2) 有行列式的性质, (3) R(A ) ≤m , R (A ) ≤n , 0 ≤R (A ) ≤min { m , n } .(4) 如果 An ×n , 且 则 R ( A ) = n .反之,如 R ( A ) = n ,则 因此,方阵 A 可逆的充分必要条件是 R ( A ) = n .二、矩阵秩的求法1、子式判别法(定义)。
例1 设 为阶梯形矩阵,求R (B )。
解 由于 存在一个二阶子式不为0,而任何三阶子式全为0,则 R (B ) = 2.结论:阶梯形矩阵的秩=台阶数。
例如一般地,行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数”——非零行的行数。
()n m ij a A ⨯={}),m in 1(n m k k ≤≤⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=110145641321A 182423=C C 43334=C C 10122--=D 1015643213-=D n m ⨯k nk m c c ()n m ij a A ⨯=0,r D ≠()().T R A R A =0,A ≠0.A ≠⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000007204321B 02021≠⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010*********A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001021B ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010011C 125034000D ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭21235081530007200000E ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭()3=A R ()2=B R ()3=C R ()2R D =()3R E =例2 设 如果求 a . 解或 例3 则2、用初等变换法求矩阵的秩定理2 矩阵初等变换不改变矩阵的秩。
矩阵秩的计算方法:将矩阵A按初等行数变换为梯形矩阵B,梯形矩阵B的非零行数即为矩阵A的秩。
在线性代数中,矩阵A的列秩是A的线性独立列数的最大值,类似地,行秩是A的线性独立的水平行数的最大值,一般说来,如果将矩阵看作行向量或列向量,则秩是这些行向量或列向量的秩,即包含在最大不相关群中的向量的个数。
矩阵秩的性质;
1.矩阵的行秩、列秩、秩均相等。
2.初等变换不改变矩阵的秩。
3.矩阵Rab<=min{Ra,Rb}乘积的秩。
4.如果p和q是可逆矩阵,则r(PA)=r(A)=r(AQ)=r(PAQ)。
5.当r(A)<=n-2时,最高阶非零子公式的阶数<=n-2,n-1阶子公式为零,而伴随矩阵中的每个元素都是n-1阶子公式加一个符号,所以伴随矩阵是零矩阵。
6.当r(A)<=n-1时,最高阶非零子公式的阶数为<=n-1,因此n-1
阶子公式可能不为零,因此伴随矩阵可能为非零(等号成立时伴随矩阵必须为非零)。
矩阵的秩求解方法作者:***来源:《文理导航》2019年第32期【摘要】矩阵的秩是線性代数中一类重要的问题。
以一道有关线性代数的数三考研题为例,对问题不同的看法所用到的求秩的方法不一样,但知识点之间都是相呼应的,本文从矩阵秩的定义、矩阵初等变换、分块矩阵、线性方程组等多个方面探讨求秩的方法。
【关键词】线性代数;矩阵的秩;求秩方法线性代数是一门比较抽象的学科,在线性代数的学习中,矩阵占据了十分重要的地位,对矩阵概念的理解是学习线性代数的重要基础任务。
J.Sylvester在1861年提出矩阵的秩的概念。
它是矩阵最重要的数字特征之一,也是《线性代数》教学中的一个难点,因此对于矩阵的秩的研究也是线性代数学习中的重要部分。
四、总结矩阵的秩是线性代数中一个非常重要的概念,对于矩阵秩的求解及其应用更是重中之重。
矩阵的秩是它的最高阶非零子式的阶数,这个概念是一个非常有力的工具,特别是对于后续线性方程组解的情况的判定、方阵的可逆性、向量的线性关系等问题有非常好的应用。
本文通过几种求解秩的方法,将线性代数中非常重要的几个知识点联系在一起,融会贯通,具有理论意义。
【参考文献】[1]黄廷祝,成孝予.线性代数与空间解析几何(第4版)[M].北京:高等教育出版社,2015[2]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数(第3版)[M].北京:高等教育出版社,2003[3]吴华安.矩阵多项式的逆矩阵的求法[J].大学数学,2004(20):89-91[4]陈梅香.矩阵多项式与可逆矩阵的确定[J].北华大学学报:自然科学版,2013(14):153-155[5]赵云河.线性代数:第2版[M].北京:科学出版社,2017:35-139。
求矩阵的秩的三种方法矩阵是线性代数中的一个重要概念,它由一个数域中的矩形阵列组成,是线性变换的一种表现形式。
矩阵的秩是矩阵的重要性质之一,它可以告诉我们矩阵中行向量或列向量之间的关系。
在实际应用中,求解矩阵的秩是非常常见的问题。
本文将介绍矩阵的三种求解秩的方法。
方法一:高斯消元法高斯消元法是求解矩阵秩的一种基础方法。
对于一个矩阵A,如果它的秩为r,则A必然存在一个大小为r的非零行列式。
我们可以通过对矩阵A进行初等行变换将矩阵转化为行简化阶梯矩阵,然后统计矩阵中非零行的个数来确定矩阵的秩。
具体步骤如下:1. 对矩阵A进行高斯列变换,将A转化为行简化阶梯矩阵形式。
2. 统计矩阵中非零行的个数,即为矩阵的秩。
对于下面的矩阵A,我们可以通过高斯消元法求解矩阵的秩:$$A=\begin{bmatrix}1 &2 & 3\\4 &5 & 6\\7 & 8 & 9\end{bmatrix}$$按照高斯消元法的步骤对A进行初等行变换,得到行简化阶梯矩阵:方法二:矩阵的列空间对于一个矩阵A,其列空间是由A中所有列向量所张成的向量空间。
矩阵的秩等于它的列空间的维度。
我们可以先求解矩阵A的列空间的维度,然后确定矩阵A的秩。
具体步骤如下:2. 取矩阵A中与非零列对应的列向量,将它们作为张成列空间的一组基。
3. 求解列空间的维度,即为矩阵A的秩。
阶梯矩阵中非零列的位置分别是1和2,因此取A中的第1列和第2列作为列空间的一组基。
可以看出,这组基中存在一个线性关系:第2列 = 2*第1列。
矩阵A的列空间实际上只由A中的第1列张成,其维度为1,因此矩阵A的秩为1。
总结:本文介绍了求解矩阵秩的三种方法:高斯消元法、矩阵的列空间和矩阵的行空间。
对于一般的矩阵,三种方法的求解结果并不一定相同。
但无论采用哪种方法,都能够有效地求解矩阵的秩。
还有一些特殊的矩阵,它们的秩具有一些特殊性质:1. 对于一个n阶矩阵A,如果它是一个可逆矩阵,那么它的秩为n。
第五节:矩阵的秩及其求法一、矩阵秩的概念1. k 阶子式定义1 设 在A 中任取k 行k 列交叉处元素按原相对位置组成的 阶行列式,称为A 的一个k 阶子式。
例如 共有 个二阶子式,有 个三阶子式 矩阵A 的第一、三行,第二、四列相交处的元素所构成的二阶子式为 而 为 A 的一个三阶子式。
显然, 矩阵 A 共有 个 k 阶子式。
2. 矩阵的秩定义2 设 有r 阶子式不为0,任何r+1阶子式(如果存在的话)全为0 , 称r为矩阵A的秩,记作R (A)或秩(A )。
规定: 零矩阵的秩为 0 .注意:(1) 如 R ( A ) = r ,则 A 中至少有一个 r 阶子式 所有 r + 1 阶子式为 0,且更高阶子式均为 0,r 是 A 中不为零的子式的最高阶数,是唯一的 .(2) 有行列式的性质, (3) R(A) ≤m , R (A ) ≤n , 0 ≤R (A ) ≤min { m , n } .(4) 如果 An ×n , 且 则 R( A ) = n .反之,如 R ( A ) = n ,则因此,方阵 A 可逆的充分必要条件是 R ( A ) = n .二、矩阵秩的求法1、子式判别法(定义)。
例1 设 为阶梯形矩阵,求R(B )。
解 由于 存在一个二阶子式不为0,而任何三阶子式全为0,则 R(B ) = 2.结论:阶梯形矩阵的秩=台阶数。
例如()n m ij a A ⨯={}),m in 1(n m k k ≤≤⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=110145641321A 182423=C C 43334=C C 10122--=D 1015643213-=D n m ⨯k n k m c c ()n m ij a A ⨯=0,r D ≠()().T R A R A =0,A ≠0.A ≠⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000007204321B 02021≠⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010*********A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001021B ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010011C 125034000D ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭21235081530007200000E ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭()3=A R ()2=B R ()3=C R ()2R D =()3R E =一般地,行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数”—— 非零行的行数。