求矩阵的秩的步骤

第五节：矩阵的秩及其求法一、矩阵秩的概念1. k 阶子式定义1 设 在A 中任取k 行k 列交叉处元素按原相对位置组成的阶行列式，称为A 的一个k 阶子式。

例如 共有个二阶子式，有 个三阶子式 矩阵A 的第一、三行，第二、四列相交处的元素所构成的二阶子式为 而 为 A 的一个三阶子式。

显然， 矩阵 A 共有 个 k 阶子式。

2. 矩阵的秩定义2 设 有r 阶子式不为0，任何r +1阶子式(如果存在的话)全为0 , 称r 为矩阵A 的秩，记作R (A )或秩(A )。

规定： 零矩阵的秩为 0 .注意：(1) 如 R ( A ) = r ，则 A 中至少有一个 r 阶子式 所有 r + 1 阶子式为0，且更高阶子式均为 0，r 是 A 中不为零的子式的最高阶数，是唯一的 .(2) 有行列式的性质， (3) R(A ) ≤m , R (A ) ≤n , 0 ≤R (A ) ≤min { m , n } .(4) 如果 An ×n , 且 则 R ( A ) = n .反之，如 R ( A ) = n ,则 因此，方阵 A 可逆的充分必要条件是 R ( A ) = n .二、矩阵秩的求法1、子式判别法(定义)。

例1 设 为阶梯形矩阵，求R (B )。

解 由于 存在一个二阶子式不为0，而任何三阶子式全为0，则 R (B ) = 2.结论：阶梯形矩阵的秩=台阶数。

例如一般地，行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数”——非零行的行数。

()n m ij a A ⨯={}),m in 1(n m k k ≤≤⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=110145641321A 182423=C C 43334=C C 10122--=D 1015643213-=D n m ⨯k nk m c c ()n m ij a A ⨯=0,r D ≠()().T R A R A =0,A ≠0.A ≠⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000007204321B 02021≠⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010*********A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001021B ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010011C 125034000D ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭21235081530007200000E ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭()3=A R ()2=B R ()3=C R ()2R D =()3R E =例2 设 如果求 a . 解或 例3 则2、用初等变换法求矩阵的秩定理2 矩阵初等变换不改变矩阵的秩。

矩阵中秩的计算全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：矩阵是线性代数中的一个重要概念，它是由m行n列元素排成的矩形阵列。

在实际问题中，经常会遇到需要对矩阵进行分析和计算的情况。

矩阵的秩是一个非常重要的概念，它可以帮助我们理解矩阵的性质和特点。

矩阵的秩是指矩阵中线性独立的行或列的最大个数，也可以理解为矩阵中非零的行列式数量。

计算矩阵的秩是一项复杂而重要的工作，它涉及到矩阵的行变换和列变换等操作。

在计算矩阵的秩时，我们可以采用多种方法，如高斯消元法、矩阵的行列式等。

我们来看一种常用的计算矩阵秩的方法，即高斯消元法。

高斯消元法是一种基本的线性代数运算方法，在计算矩阵的秩时非常有效。

其基本思想是通过一系列的行变换操作将矩阵化为行阶梯形式，然后统计非零行的个数即为矩阵的秩。

具体步骤如下：1. 将矩阵化为增广矩阵形式，也就是矩阵的最右边添加一个单位矩阵。

2. 从左上角开始，通过一系列的行变换操作将矩阵化为行阶梯形式。

3. 统计非零行的个数，即为矩阵的秩。

通过高斯消元法，我们可以比较容易地计算矩阵的秩。

但需要注意的是，由于矩阵的秩是矩阵自带的性质，所以在进行行变换过程中需要保持同构性，即不能改变矩阵的秩。

另一种常用的方法是通过求解矩阵的行列式来计算矩阵的秩。

矩阵的行列式是一个标量值，表示矩阵中所有元素的线性组合。

矩阵的秩等于行列式非零的最大子式的阶数。

这种方法的优点是简单直观，适用于小规模矩阵的计算。

通过计算矩阵的秩，我们可以得到很多关于矩阵的信息。

矩阵的秩可以反映矩阵的线性无关性，即矩阵中非零行列向量的独立性。

当矩阵的秩小于其行数或列数时，说明矩阵中存在线性相关的行列向量；当矩阵的秩等于其行数或列数时，说明矩阵是满秩的，行列向量线性无关。

矩阵的秩还可以反映矩阵的奇异性。

一个矩阵是奇异的，当且仅当其秩小于其阶数。

奇异矩阵的行列式为0，没有逆矩阵。

通过计算矩阵的秩可以判断矩阵是否奇异。

矩阵的秩还与方程组的解有密切关系。

求矩阵的秩的三种方法矩阵是线性代数中的一个重要概念，它由一个数域中的矩形阵列组成，是线性变换的一种表现形式。

矩阵的秩是矩阵的重要性质之一，它可以告诉我们矩阵中行向量或列向量之间的关系。

在实际应用中，求解矩阵的秩是非常常见的问题。

本文将介绍矩阵的三种求解秩的方法。

方法一：高斯消元法高斯消元法是求解矩阵秩的一种基础方法。

对于一个矩阵A，如果它的秩为r，则A必然存在一个大小为r的非零行列式。

我们可以通过对矩阵A进行初等行变换将矩阵转化为行简化阶梯矩阵，然后统计矩阵中非零行的个数来确定矩阵的秩。

具体步骤如下：1. 对矩阵A进行高斯列变换，将A转化为行简化阶梯矩阵形式。

2. 统计矩阵中非零行的个数，即为矩阵的秩。

对于下面的矩阵A，我们可以通过高斯消元法求解矩阵的秩：$$A=\begin{bmatrix}1 &2 & 3\\4 &5 & 6\\7 & 8 & 9\end{bmatrix}$$按照高斯消元法的步骤对A进行初等行变换，得到行简化阶梯矩阵：方法二：矩阵的列空间对于一个矩阵A，其列空间是由A中所有列向量所张成的向量空间。

矩阵的秩等于它的列空间的维度。

我们可以先求解矩阵A的列空间的维度，然后确定矩阵A的秩。

具体步骤如下：2. 取矩阵A中与非零列对应的列向量，将它们作为张成列空间的一组基。

3. 求解列空间的维度，即为矩阵A的秩。

阶梯矩阵中非零列的位置分别是1和2，因此取A中的第1列和第2列作为列空间的一组基。

可以看出，这组基中存在一个线性关系：第2列 = 2*第1列。

矩阵A的列空间实际上只由A中的第1列张成，其维度为1，因此矩阵A的秩为1。

总结：本文介绍了求解矩阵秩的三种方法：高斯消元法、矩阵的列空间和矩阵的行空间。

对于一般的矩阵，三种方法的求解结果并不一定相同。

但无论采用哪种方法，都能够有效地求解矩阵的秩。

还有一些特殊的矩阵，它们的秩具有一些特殊性质：1. 对于一个n阶矩阵A，如果它是一个可逆矩阵，那么它的秩为n。

第五节：矩阵的秩及其求法一、矩阵秩的概念1. ｋ 阶子式定义1 设 在A 中任取k 行ｋ 列交叉处元素按原相对位置组成的 阶行列式,称为A 的一个k 阶子式。

例如 共有 个二阶子式，有 个三阶子式 矩阵A 的第一、三行,第二、四列相交处的元素所构成的二阶子式为 而 为 A 的一个三阶子式。

显然, 矩阵 A 共有 个 k 阶子式。

２. 矩阵的秩定义2 设 有r 阶子式不为0，任何ｒ+1阶子式(如果存在的话)全为0 , 称ｒ为矩阵Ａ的秩,记作R (Ａ）或秩(A )。

规定： 零矩阵的秩为 0 .注意：(1) 如 R ( A ) = r ，则 A 中至少有一个 r 阶子式 所有 r + 1 阶子式为 0,且更高阶子式均为 0,r 是 A 中不为零的子式的最高阶数，是唯一的 .（2) 有行列式的性质, （3) R(Ａ) ≤m , R (A ) ≤n ， ０ ≤R (A ） ≤min { m , n } ．(4) 如果 An ×ｎ , 且 则 R( A ） = n .反之，如 R ( Ａ ) = n ,则因此,方阵 Ａ 可逆的充分必要条件是 R ( A ) = n ．二、矩阵秩的求法1、子式判别法（定义)。

例1 设 为阶梯形矩阵,求Ｒ（B ）。

解 由于 存在一个二阶子式不为0,而任何三阶子式全为0,则 Ｒ(B ) = 2.结论：阶梯形矩阵的秩=台阶数。

例如()n m ij a A ⨯={}),m in 1(n m k k ≤≤⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=110145641321A 182423=C C 43334=C C 10122--=D 1015643213-=D n m ⨯k n k m c c ()n m ij a A ⨯=0,r D ≠()().T R A R A =0,A ≠0.A ≠⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000007204321B 02021≠⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010*********A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001021B ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010011C 125034000D ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭21235081530007200000E ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭()3=A R ()2=B R ()3=C R ()2R D =()3R E =一般地，行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数”—— 非零行的行数。

将该矩阵转换为行梯形矩阵，然后矩阵的秩等于非零行的数量。

在步骤矩阵中，选择了1,3行和3,4列。

由元素在其交点处形成的二阶子矩阵的行列式是矩阵A的二阶子矩阵。

行等级是A的线性独立行的最大数量。

也就是说，如果将矩阵视为行向量或列向量，则等级是这些行向量或列向量的等级，即包含在其中的向量数最大独立组。

扩展数据：证明：由AB构造的块矩阵和n阶恒等式en| AB O || O En |A将以下两个矩阵相乘并相乘，然后将它们加到上两个矩阵中| AB A || 0 En |相乘-B，在左侧矩阵中添加两个块| 0 A || -B En |因此，R（AB）+ n = R（第一个矩阵）= R（最后一个矩阵）> = R（a）+ R（b）即R（a）+ R（b）-N <= R（AB）在数学中，矩阵是根据矩形阵列排列的一组复数或实数。

最早的矩阵是由等式的系数和常数组成的方阵。

这个概念最早是由19世纪的英国数学家凯利（Kelly）提出的。

矩阵是高等代数以及统计分析等应用数学中的常用工具。

[2]在物理学中，矩阵应用于电路科学，力学，光学和量子物理学；在计算机科学中，矩阵还用于3D动画中。

矩阵运算是数值分析领域中的重要问题。

将矩阵分解为简单矩阵的组合，可以在理论上和实际应用中简化矩阵的运算。

对于一些广泛使用的特殊形式的矩阵，例如稀疏矩阵和准对角线矩阵，有特定的快速算法。

关于矩阵理论的发展和应用，请参考矩阵理论。

在天体物理学，量子力学等领域，将存在无穷维矩阵，这是矩阵的一种概括。

数值分析的主要分支致力于矩阵计算的有效算法的开发，这已经是一个世纪以来的主题，并且是一个不断扩展的研究领域。

矩阵分解法简化了理论和实际计算。

为特定矩阵结构（例如稀疏矩阵和近角矩阵）定制的算法可加快有限元方法和其他计算的速度。

在行星理论和原子理论中存在无限矩阵。

无穷矩阵的一个简单示例是函数的泰勒级数的导数算子矩阵[3]。

计算矩阵的秩步骤矩阵是线性代数中的重要概念，它可以用来表示线性方程组或线性变换。

矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行或列的最大个数，它可以用来描述矩阵的维度或表示线性变换的变化程度。

在本文中，我们将介绍计算矩阵秩的一般步骤。

步骤1：理解矩阵的定义和性质我们需要理解矩阵的基本定义和性质。

矩阵是由m行n列元素排列而成的矩形数组。

我们可以用A=[aij]表示一个矩阵，其中aij表示矩阵A中第i行第j列的元素。

矩阵的秩满足以下性质：- 矩阵的秩不超过它的行数和列数中的较小值，即rank(A) ≤ min(m, n)。

- 若矩阵的某一行（列）全为零，则该行（列）不计入秩的计算。

- 若矩阵某一行（列）是另一行（列）的倍数，则该行（列）不计入秩的计算。

步骤2：将矩阵化为行阶梯形为了计算矩阵的秩，我们首先将矩阵化为行阶梯形。

行阶梯形是指矩阵的每一行从左到右第一个非零元素为1，且每一行的1元素所在的列的其他元素都为零。

化为行阶梯形的步骤如下：- 找到矩阵中第一个非零的元素，记为a。

- 如果a的所在行不是第一行，则将该行与第一行进行交换。

- 用第一行的倍数减去其他行的适当倍数，使得第一行除了第一个非零元素外的其他元素都为零。

- 重复以上步骤，直到将矩阵化为行阶梯形。

步骤3：将矩阵化为简化行阶梯形在将矩阵化为简化行阶梯形之前，我们需要了解简化行阶梯形的定义。

简化行阶梯形是指行阶梯形的每一个非零行的第一个非零元素为1，并且每一列的1元素所在的行的其他元素都为零。

化为简化行阶梯形的步骤如下：- 将行阶梯形中每个非零行的第一个非零元素化为1，即将每一行除以该行第一个非零元素的值。

- 对于每个非零行，用它的倍数减去其他行的适当倍数，使得每一列的1元素所在的行的其他元素都为零。

步骤4：计算矩阵的秩在得到简化行阶梯形后，矩阵的秩就等于矩阵中非零行的个数。

可以通过观察简化行阶梯形的形式来确定矩阵的秩。

步骤5：举例计算矩阵的秩为了更好地理解计算矩阵秩的步骤，我们举一个例子来进行计算。

求矩阵的秩的三种方法矩阵的秩是一个非常重要的概念，在线性代数和矩阵理论中被广泛应用。

本文将介绍三种常用的方法来计算矩阵的秩。

第一种方法是基于行变换的高斯消元法。

该方法通过一系列的行变换操作将矩阵转化为阶梯形式，从而可以很方便地确定矩阵的秩。

步骤如下：1. 将矩阵的第一行作为基准行，如果基准行的第一个元素为零，则交换该行与后面某一行的位置，以保证基准行的第一个元素不为零。

2. 将矩阵的其他行逐一与基准行进行运算，使得该行的第一个元素为零。

具体操作是将其第一个元素乘以一个适当的倍数，并与基准行相减，使得第一个元素变为零。

3. 重复以上步骤，直到所有行的第一个元素都为零。

4. 接下来，选取下一行作为基准行，重复以上步骤。

重复直到所有行都处理完毕。

5. 最后，统计阶梯形式矩阵中非零行的个数，这个个数就是矩阵的秩。

这种方法的时间复杂度为O(r * c * min(r,c))，其中r和c分别是矩阵的行数和列数。

第二种方法是基于线性无关向量组的概念。

如果一个向量组中的向量是线性无关的，那么这个向量组的秩就是它所包含向量的个数。

因此，我们可以将矩阵的列向量看作向量组，然后通过计算向量组的线性无关个数来确定矩阵的秩。

具体步骤如下：1. 将矩阵的列向量取出，构成一个向量组。

2. 利用线性代数中的线性无关向量组的判定方法来确定向量组的线性无关个数。

可以通过计算向量组的秩（即向量组中的线性无关向量的个数）来确定矩阵的秩。

这种方法的时间复杂度为O(r * c^2)，其中r是矩阵的行数，c是矩阵的列数。

第三种方法是基于矩阵的特征值和特征向量的计算。

根据线性代数中的性质，一个矩阵的秩等于其非零特征值的个数。

具体步骤如下：1. 对于一个n阶矩阵A，我们首先计算其特征值和特征向量。

2. 接下来，统计特征值中非零特征值的个数，这个个数就是矩阵的秩。

这种方法的时间复杂度为O(n^3)，其中n是矩阵的阶数。

综上所述，我们介绍了三种常用的方法来计算矩阵的秩，包括基于行变换的高斯消元法、基于线性无关向量组的概念以及基于矩阵的特征值和特征向量的计算。

c语言求矩阵的秩算法矩阵的秩是线性代数中一个重要的概念，它表示矩阵中非零行的最大数量。

在C语言中，求矩阵的秩算法可以通过高斯消元法来实现。

高斯消元法是一种线性代数中常用的求解线性方程组的方法，它可以将矩阵化为行阶梯形式，从而方便求解矩阵的秩。

具体实现步骤如下：1. 将矩阵化为增广矩阵，即将矩阵的系数矩阵和常数矩阵合并成一个大矩阵。

2. 对矩阵进行初等行变换，将矩阵化为行阶梯形式。

具体来说，可以通过以下三种初等行变换来实现：（1）交换两行的位置；（2）将某一行乘以一个非零常数；（3）将某一行加上另一行的若干倍。

3. 统计矩阵中非零行的数量，即为矩阵的秩。

下面是C语言实现矩阵秩算法的代码：```#include <stdio.h>#define ROW 3#define COL 3int rank(int matrix[ROW][COL]) {int i, j, k, r, temp;int rank = ROW;for (i = 0; i < rank; i++) {if (matrix[i][i] != 0) {for (j = 0; j < ROW; j++) {if (j != i) {temp = matrix[j][i] / matrix[i][i];for (k = 0; k < rank; k++) {matrix[j][k] -= temp * matrix[i][k]; }}}} else {for (j = i + 1; j < ROW; j++) {if (matrix[j][i] != 0) {for (k = 0; k < rank; k++) {temp = matrix[i][k];matrix[i][k] = matrix[j][k];matrix[j][k] = temp;}break;}}if (j == ROW) {rank--;for (j = 0; j < ROW; j++) {matrix[j][i] = matrix[j][rank];}}i--;}}return rank;}int main() {int matrix[ROW][COL] = {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8, 9}};int r = rank(matrix);printf("The rank of the matrix is %d\n", r);return 0;}```在上述代码中，我们定义了一个rank函数来计算矩阵的秩。

c语言求矩阵的秩算法矩阵的秩是矩阵中非零行的最大数量。

在C语言中，可以通过高斯消元法求解矩阵的秩。

具体步骤如下：1. 将矩阵转换为行阶梯矩阵。

2. 统计行阶梯矩阵中非零行的数量。

3. 将行阶梯矩阵中每一行的首个非零元素所在的列标记为“基列”。

4. 检查是否存在重复的基列，若存在则将其合并。

5. 统计合并后的基列的数量，即为矩阵的秩。

C语言代码实现如下：```c#include <stdio.h>#define ROWS 3 // 矩阵的行数#define COLS 4 // 矩阵的列数int matrix[ROWS][COLS] = {{1, 2, 3, 4},{2, 4, 6, 8},{3, 6, 9, 12}}; // 待求矩阵int main() {int rank = 0; // 矩阵的秩int lead = 0; // 当前基列的列号if (lead >= COLS) break;int i = r;while (matrix[i][lead] == 0) { i++;if (i == ROWS) {i = r;lead++;if (lead == COLS) break;}}if (lead < COLS) {int* temp = matrix[r];matrix[r] = matrix[i];matrix[i] = temp;int div = matrix[r][lead];for (int j = 0; j < COLS; j++) { matrix[r][j] /= div;}for (int k = 0; k < ROWS; k++) { if (k != r) {int mult = matrix[k][lead];matrix[k][j] -= mult * matrix[r][j];}}}lead++;rank++;}}printf('The rank of the matrix is %d.', rank); // 输出矩阵的秩return 0;}```以上代码使用了指针和循环来实现高斯消元法求矩阵的秩。

求矩阵的秩最简单方法例题求矩阵的秩那可太重要啦！步骤嘛，先把矩阵化简，可以用行变换或者列变换。

哇塞，就像给矩阵来个大变身一样。

注意可别瞎变，得有规律地来。

那求矩阵秩安全不？嘿，这有啥不安全的，只要方法对，稳稳当当的。

应用场景可多啦！解方程组啥的都能用得上。

优势那也是杠杠的，能快速帮咱解决难题。

举个实际例子哈，上次做一道难题，用求矩阵秩的方法，一下子就搞定啦！就像找到了一把神奇的钥匙，打开了难题的大门。

求矩阵秩的方法超棒，大家赶紧用起来呀！。

第五节 【2 】：矩阵的秩及其求法一.矩阵秩的概念 1. k 阶子式界说1 设 在A 中任取k 行k 列交叉处元素按原相对地位构成的阶行列式,称为A 的一个k 阶子式.例如共有个二阶子式,有 个三阶子式 矩阵A 的第一.三行,第二.四列订交处的元素所构成的二阶子式为 而为 A 的一个三阶子式.显然, 矩阵 A 共有 个k阶子式. 2. 矩阵的秩界说2 设 有r 阶子式不为0,任何r +1阶子式(假如消失的话)全为0 ,称r 为矩阵A 的秩,记作R (A )或秩(A ). 划定： 零矩阵的秩为 0 .留意：(1) 如 R ( A ) = r ,则 A 中至少有一个 r 阶子式所有 r + 1 阶子式为 0,且更高阶子式均为 0,r 是 A 中不为零的子式的最高阶数,是独一的 .(2) 有行列式的性质,(3) R(A ) ≤m , R (A ) ≤n , 0 ≤R (A ) ≤min { m , n } .(4) 假如An ×n , 且 则 R ( A ) =n .反之,如 R ( A ) = n ,则 是以,方阵 A 可逆的充分必要前提是 R ( A ) = n . 二.矩阵秩的求法 1.子式判别法(界说).例1 设 为阶梯形矩阵,求R (B ). ()nm ij a A ⨯={}),m in 1(n m k k≤≤⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=110145641321A 182423=C C 43334=C C 10122--=D 1015643213-=D nm ⨯k n k m c c ()nm ij a A ⨯=0,r D ≠()().T R A R A =0,A ≠0.A ≠⎪⎫⎛4321因为 消失一个二阶子式不为0,而任何三阶子式全为0,则R (B ) = 2. 结论：阶梯形矩阵的秩=台阶数.例如一般地,行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数”——非零行的行数. 例2 设 假如 求a .解或例3则 2.用初等变换法求矩阵的秩定理2矩阵初等变换不转变矩阵的秩. 即则注： 只转变子行列式的符号.是A 中对应子式的k 倍. 是行列式运算的性质.求矩阵A 的秩办法：1）应用初等行变换化矩阵A 为阶梯形矩阵B 2）数阶梯形矩阵B 非零行的行数即为矩阵A 的秩.例4求解⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010*********A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001021B ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010011C 125034000D ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭21235081530007200000E ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭()3=A R ()2=B R ()3=C R ()2R D =()3R E =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a A 111111(),3<A R ()3<A R aa a A 111111=0)1)(2(2=-+=a a 1=∴a 2-=a ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=K K K K A 111111111111()3=A R =K 3-()311111113(1)(3)111111K A K K K KK=+=-+BA →)()(B R A R =j i rr ↔.1i rk .2j i krr +.3⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=211163124201A ().A R −−→−-122r r A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----211021104201⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→000021104201R(A ) = 2例5三.满秩矩阵界说3A 为n 阶方阵时,称 A 是满秩阵,（非奇怪矩阵） 称 A 是降秩阵,（奇怪矩阵） 可见： 对于满秩方阵A 施行初等行变换可以化为单位阵E ,又依据初等阵的感化：每对A 施行一次初等行变换,相当于用一个对应的初等阵左乘A,由此得到下面的定理. 定理3设A 是满秩方阵,则消失初等方阵 使得对于满秩矩阵A,它的行最简形是n 阶单位阵 E .例如A 为满秩方阵.关于矩阵的秩的一些主要结论：定理5R (AB )R (A ),R (AB )R (B ),即R (AB )min{R (A ),R (B )}设A 是 矩阵,B 是 矩阵, 性质1性质2 假如 A B = 0 则μλμλ,2,6352132111，求）（且设=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=A R A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=6352132111μλA ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----+-→458044302111μλ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----+-→015044302111μλλ,2)(=A R 1,5==∴μλ01,05=-=-∴μλ(),n A R =(),n A R <()0≠⇔=A nA R .,,,21s P P P EA P P P P s s =-121, ()EA nA R ~= ()nE A n A R ~⇔=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=213212321A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→320430321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→320110001E=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→100010001()3=∴A R ≤≤≤nm ⨯tn ⨯).()()(AB R n B R A R ≤-+.)()(n B R A R ≤+性质3 假如 R (A )= n, 假如A B = 0 则 B = 0. 性质4 设A,B 均为矩阵,则例8 设A 为n 阶矩阵,证实R （A+E ）+R （A-E ）≥n 证： ∵ （A+E ）+（E-A ）=2E∴R （A+E ）+ R （ E-A ）≥ R （2E ）=n 而 R （ E-A ）=R （ A-E ） ∴ R （A+E ）+R （A-E ）≥nnm ⨯).()()(B R A R B A R +≤±。

求矩阵的秩的步骤矩阵的秩计算方法：利用初等行变换化矩阵A为阶梯形矩阵B ，数阶梯形矩阵B非零行的行数即为矩阵A的秩。

例题如下：在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。

类似地，行秩是A的线性无关的横行的极大数目。

通俗一点说，如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量，秩就是这些行向量或者列向量的秩，也就是极大无关组中所含向量的个数。

矩阵的秩的性质：1、矩阵的行秩，列秩，秩都相等。

2、初等变换不改变矩阵的秩。

3、矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb}。

4、P，Q为可逆矩阵，则r(PA)=r(A)=r(AQ)=r(PAQ)。

5、当r(A)<=n-2时，最高阶非零子式的阶数<=n-2，任何n-1阶子式均为零，而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负号，所以伴随阵为0矩阵。

6、当r(A)<=n-1时，最高阶非零子式的阶数<=n-1，所以n-1阶子式有可能不为零，所以伴随阵有可能非零（等号成立时伴随阵必为非零）。

方阵(行数、列数相等的矩阵)的列秩和行秩总是相等的，因此它们可以简单地称作矩阵A的秩。

通常表示为r(A)，rk(A)或。

m×n矩阵的秩最大为m和n中的较小者，表示为min(m,n)。

有尽可能大的秩的矩阵被称为有满秩；类似的，否则矩阵是秩不足（或称为“欠秩”）的。

设A是一组向量，定义A的极大无关组中向量的个数为A的秩。

定义1. 在m*n矩阵A中，任意决定k行和k列交叉点上的元素构成A的一个k阶子矩阵，此子矩阵的行列式，称为A的一个k阶子式。

例如，在阶梯形矩阵中，选定1，3行和3，4列，它们交叉点上的元素所组成的2阶子矩阵的行列式就是矩阵A的一个2阶子式。

定义2. A=(aij)m×n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A 的秩，记作rA，或rankA或R(A)。

特别规定零矩阵的秩为零。

显然rA≤min(m,n) 易得：若A中至少有一个r阶子式不等于零，且在r<min(m,n)时，A中所有的r+1阶子式全为零，则A的秩为r。