浅谈高中数学中最值问题的常用解题方法(数学本科毕业论文)

备考指南最值问题是高考试题中常见的考点之一.此类问题具有较强的综合性，且命题形式多种多样，在解题过程中若找不到恰当的方法，就会因为复杂冗繁的计算量而浪费大量的时间，甚至得不到正确的答案.如何选择合适的方法，如何灵活运用各个模块的知识，是解答最值问题所需要重点考虑的事情.本文举了四个典型的例题，并对其进行了分析、探究，总结出解答最值问题的技巧，供同学们参考.一、用函数的单调性求最值在求解最值问题时，我们通常可将目标式构造成函数式，将问题转化为函数最值问题，利用函数的单调性来求解最值.在解题时，需根据函数单调性的定义，或导函数与函数单调性之间的关系判断出函数的单调性，即可根据函数的单调性求得最值.例1.设a 为实数，求x 2+||x -a +1的最小值.解：设f ()x =x 2+||x -a +1，(1)若x ≤a ，则f ()x =æèöøx -122+a +34，①当a <12时，函数f ()x 在(]-∞,a 上单调递减，可知函数在(]-∞,a 上的最小值为f ()a =a 2+1；②当a ≥12时，函数f ()x 在(]-∞,a 上的最小值为f æèöø12=34+a ，且f æèöø12≤f ()a .（2）若x >a ，则f ()x =æèöøx +122-a +34.①当a ≤-12时，则函数f ()x 在éëöø-12,+∞上单调递增，在éëöøa ,-12上单调递减，所以函数在[)a ,+∞上的最小值为f æèöø-12=34-a ，且f æèöø-12≤f ()a ；②当a >-12时，则函数f ()x 在[)a ,+∞上的最小值为f ()a =a 2+1.综上可得，当a ≤-12时，f ()x min =34-a ；当-12<a≤12时，f ()x min =a 2+1；当a >12时，f ()x min =a +34.将目标式看作二次函数式，便可根据x 与a 的大小关系，以及a 与函数对称轴-12的大小关系，确定二次函数的单调性，即可根据二次函数的单调性确定函数的最值.在解题时，需运用运动和变化的观点，构建关于变量、自变量的集合，通过类比、联想、转化的方式构造合适的函数.二、用基本不等式求最值基本不等式a +b 2≥ab ()a >0，b >0主要用于求函数的最值及证明不等式.在运用基本不等式求最值时，需把握“一正”“二定”“三相等”三个条件，重点关注或配凑出两式的和或积，并使其中之一为定值.例2.求y =x +4x的值域.解：①当x >0时，x +4x ≥=4，当且仅当x =2时等号成立，②当x <0时，()-x +æèöø-4x ≥=4，当且仅当x =2时等号成立，所以x +4x ≤-4，故y =x +4x的值域是(]-∞,-4∪[)4,+∞.由于x 的取值不确定，而运用基本不等式的条件是各式均为正值，于是将x 分为x >0和x <0两种情况，分别运用基本不等式来求最值.三、利用线性规划思想求最值线性规划思想是指求线性约束条件下，目标函数的极值.运用线性规划思想求最值的基本步骤是：①根据题意建立数学模型，并作出可行域；②建立目标函数；③利用图形求出目标函数的最值.例3.已知ìíîïïx -y +2≥0，x +y -4≥0，2x -y -5≤0，求z =x 2+y 2-10y +25的最小值.解：作出可行域，如图中阴影部分所示.将直线x -y +2=0、x +y -4=0、2x -y -5=0两两联立可求出三个顶点的坐标A ()1,3、B ()3,1、C ()7,9，51备考指南而z =x 2+y 2-10y +25=x 2+()y -52表示可行域内任一点()x ,y 到定点M ()0,5的距离的平方，过M 作直线AC易知垂足N 在线段AC 上，则z 的最小值为||MN 2，由点到直线的距离公式可得||MN =，故z 的最小值为||MN 2=92.我们将不等式组看作线性约束条件，画出可行域，便可将问题看作线性规划问题，结合图形寻找到目标函数取得最小值的点，即可利用线性规划思想求得问题的答案.四、利用代数式的几何意义求最值大部分的代数式都有几何意义，如y =x 2表示的是一条抛物线，y =x 表示的是一条直线，y =1x表示的是两条双曲线，等等.在求最值时，可先挖掘代数式的几何意义，画出相应的几何图形，通过寻找图形中的临界情形，如相切、相交等情形，确定目标式的最值.例4.已知x ，y 满足x 225+y 29=1，求()x -42+y 2+()x -22+()y -22的最值.解：由方程x 225+y29=1易知，该曲线为椭圆，设P ()x ,y 为椭圆上的一点，B (2，2)，则a =5，b =3，c =4，右焦点A (4,0)，左焦点F 1(-4,0)，而||PA +||PB =()x -42+y 2+()x -22+()y -22，根据椭圆的定义可得|PF 1|+|PA |=10，则|PA |=10-|PF 1|，|PA |＋|PB |=10-|PF 1|+|PB |，根据三角形的性质：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边性质，可得10-|F 1B |≤|PF 1|-|PB |≤10+|F 1B |，又F 1B =210，故10-210≤|PA |+|PB |≤10+210.当且仅当P ，B ，A 共线时等号成立，故()x -42+y 2+()x -22+()y -22的最大值是10+210，最小值是10-210.解答此题，需将方程x 225+y 29=1看作椭圆，P 看作椭圆上的一个动点，那么目标式表示的是线段||PA +||PB ，问题就变为求两线段和的最大值、最小值.挖掘题目中代数式的几何意义，将问题转化为几何图形问题，利用几何图形的性质以及相关定理、公式即可解题.当然，求最值的方法还有很多，如导数法、转化法等.这就要求让同学们运用发散思维，去寻求、总结更多的解答最值问题的方法.（作者单位：安徽省临泉第二中学）（上接34页）三、引导学生关注时事，点评其中的人与事“文章合为时而著”，在写作教学中，我们要引导学生关注时事，多思考，多评论，让他们走进社会生活，理性地表达自己的观点。

关于解决高中数学中最值问题的分析苗祥磊１㊀王德朋２(１.喀什第二中学ꎬ新疆喀什８４４０９９ꎻ２.喀什大学数学与统计学院ꎬ新疆喀什８４４００８)摘㊀要:文章通过举例对函数中的最值问题㊁三角函数中的最值问题㊁数列中的最值问题㊁解三角形中的最值问题等进行剖析.关键词:高中数学ꎻ最值问题ꎻ解题分析中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)２８－００１９－０３收稿日期:２０２３－０７－０５作者简介:苗祥磊(１９８３－)ꎬ男ꎬ新疆喀什人ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究ꎻ王德朋(１９９７－)ꎬ男ꎬ内蒙古赤峰人ꎬ硕士研究生ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀最值问题是高中数学中比较常见的题目ꎬ亦是高考中经常考查的题目.针对该问题的解题方法也比较灵活㊁多样ꎬ不同的题型ꎬ分析解决问题的方法也不一样.运用函数思想与数形结合思想对于求解这类问题都有着极强的助力.１函数中的最值问题例１㊀已知函数ｇ(ｘ)＝ｅｘ－１２ｘ２－ｘ－２.(１)求函数ｇ(ｘ)在[－１ꎬ＋ɕ)上的最小值ꎻ(２)若ｇ(ｋｘ)ȡｓｉｎｘ－ｃｏｓｘ－ｋ２２ｘ２－ｋｘ对ｘɪ[０ꎬ＋ɕ)恒成立ꎬ求实数ｋ的取值范围.解析㊀(１)已知ｇ(ｘ)＝ｅｘ－１２ｘ２－ｘ－２ꎬ则ｇᶄ(ｘ)＝ｅｘ－ｘ－１.令ｅｘ－ｘ－１＝０ꎬ解得ｘ＝０.函数单调性见表１.㊀表１㊀函数的单调性ｘ－１(－１ꎬ０)０(０ꎬ＋ɕ)ｇᶄ(ｘ)＋０＋ｇ(ｘ)１ｅ－３２↗－１↗㊀㊀因此当ｘ＝－１时ꎬｇ(ｘ)取得最小值ꎬ即ｇｍｉｎ(ｘ)＝ｇ(－１)＝１ｅ－３２.(２)已知ｇ(ｋｘ)ȡｓｉｎｘ－ｃｏｓｘ－ｋ２２ｘ２－ｋｘ对ｘɪ[０ꎬ＋ɕ)恒成立ꎬ即ｅｋｘ－ｋ２２ｘ２－ｋｘ－２ȡｓｉｎｘ－ｃｏｓｘ－ｋ２２ｘ２－ｋｘ.整理ꎬ得ｅｋｘȡｓｉｎｘ－ｃｏｓｘ＋２对ｘɪ[０ꎬ＋ɕ)恒成立.那么ｅｋｘȡｓｉｎｘ－ｃｏｓｘ＋２()ｍａｘ对ｘɪ[０ꎬ＋ɕ)恒成立.ｅｋｘȡ２ｓｉｎｘ－π４æèçöø÷＋２ꎬ当ｘ＝３π４＋２ｋπ(ｋɪＺ)时ꎬ２ｓｉｎｘ－π４æèçöø÷＋２取得最大值为２＋２ꎬ即ｅｋｘȡ２＋２ꎬｋｘȡｌｎ(２＋２).则ｋȡｌｎ(２＋２)ｘ.因此ｋȡｌｎ(２＋２)３π/４＋２ｋπ.２三角函数中的最值问题例２㊀函数ｆ(ｘ)＝－２ｃｏｓ(２ｘ－π４)＋６ｓｉｎｘｃｏｓｘ－２ｃｏｓ２ｘ＋１ꎬｘɪＲ.(１)把ｆ(ｘ)的解析式改写为ｆ(ｘ)＝Ａｓｉｎωｘ＋φ()Ａ>０ꎬω>０()的形式ꎻ(２)求ｆ(ｘ)的最小正周期并求ｆ(ｘ)在区间０ꎬπ２[]上的最大值和最小值.９１解析㊀(１)由函数ｆ(ｘ)＝－２ｃｏｓ(２ｘ－π４)＋６ｓｉｎｘｃｏｓｘ－２ｃｏｓ２ｘ＋１ꎬ得ｆ(ｘ)＝－２ｃｏｓ２ｘｃｏｓπ４＋ｓｉｎ２ｘｓｉｎπ４æèçöø÷＋３ｓｉｎ２ｘ－２ｃｏｓ２ｘ－１().整理ꎬ得ｆ(ｘ)＝２ｓｉｎ２ｘ－２ｃｏｓ２ｘ＝２２ｓｉｎ２ｘｃｏｓπ４－ｃｏｓ２ｘｓｉｎπ４æèçöø÷.＝２２ｓｉｎ２ｘ－π４æèçöø÷.(２)结合第(１)问ꎬｆ(ｘ)的最小正周期为Ｔ＝２πω＝２π２＝π.因为ｘɪ０ꎬπ２[]ꎬ则２ｘ－π４ɪ－π４ꎬ３π４[]ꎬｆ(ｘ)＝２２ｓｉｎ２ｘ－π４æèçöø÷在－π４ꎬ３π４[]是单调递增ꎬ所以当２ｘ－π４＝－π４ꎬ即ｘ＝０时ꎬ函数ｆ(ｘ)取得最小值ꎬ即[ｆ(ｘ)]ｍｉｎ＝２２ｓｉｎ－π４æèçöø÷＝－２ꎻ当２ｘ－π４＝π２ꎬ即ｘ＝３π８时ꎬ函数取得最大值ꎬ即ｆ(ｘ)ｍａｘ＝２２ｓｉｎπ２＝２２.综上ꎬｆ(ｘ)的最小正周期为πꎬ最小值为－２ꎬ最大值为２２.３数列中的最值问题例３㊀已知等差数列ａｎ{}满足ａ３＝２ꎬａ２５ａ１＋ａ６＋ａ８＝１ꎬ数列ｂｎ{}的前ｎ项和Ｔｎ＝ａ１ ２ｎ＋２－４ꎬｎɪＮ∗.(１)求数列ａｎ{}ꎬｂｎ{}的通项公式ꎻ(２)记数列ａｎｂｎ{}的前ｎ项和为Ｓｎꎬ如果存在整数ｋꎬ使ｋＳｎａｎ>６ｎ２ｎ２－９ｎ＋３６对一切ｎɪＮ∗恒成立ꎬ求ｋ的取值范围.解析㊀(１)因为ａ３＝ａ１＋２ｄ＝２ꎬａ２５ａ１＋ａ６＋ａ８＝ａ１＋４ｄ()２３ａ１＋４ｄ()＝ａ１＋４ｄ３＝１ꎬ则ａ１＋４ｄ＝３.由ａ１＋２ｄ＝２ꎬａ１＋４ｄ＝３ꎬ{解得ａ１＝１ꎬｄ＝１２.ìîíïïï因此ａｎ＝１＋１２(ｎ－１)＝ｎ＋１２.又因为Ｔｎ＝ａ１ ２ｎ＋２－４＝２ｎ＋２－４ꎬ所以ｂ１＝Ｔ１＝４ꎬｂｎ＝Ｔｎ－Ｔｎ－１＝２ｎ＋２－４－(２ｎ＋１－４)＝２ｎ＋１.(２)ａｎｂｎ＝ｎ＋１２２ｎ＋１＝(ｎ＋１) ２ｎꎬＳｎ＝２ˑ２＋３ˑ２２＋４ˑ２３＋ ＋(ｎ＋１) ２ｎꎬ２Ｓｎ＝２ˑ２２＋３ˑ２３＋ ＋(ｎ＋１) ２ｎ＋１ꎬ即－Ｓｎ＝２ˑ２＋２２＋２３＋ ＋２ｎ－(ｎ＋１) ２ｎ＋１＝４＋４１－２ｎ－１()１－２－(ｎ＋１) ２ｎ＋１＝－ｎ ２ｎ＋１.所以Ｓｎ＝ｎ ２ｎ＋１.即ｋＳｎａｎ>６ｎ２ｎ２－９ｎ＋３６＝ｋｎ ２ｎ＋１２ｎ＋１＝ｋｎ>６ｎ２ｎ２－９ｎ＋３６.所以ｋ>６ｎｎ２－９ｎ＋３６对一切ｎɪＮ∗恒成立.即求６ｎｎ２－９ｎ＋３６的最大值.因为６ｎｎ２－９ｎ＋３６＝６ｎ＋３６/ｎ－９ɤ６２３６－９＝２(当且仅当ｎ＝３６ｎ时ꎬ即ｎ＝６时ꎬ等号成立)ꎬ因此６ｎｎ２－９ｎ＋３６的最大值为２.综上ꎬｋ的取值范围为(２ꎬ＋ɕ).４解三角形中的最值问题例４㊀已知ａꎬｂꎬｃ分别是әＡＢＣ的内角ＡꎬＢꎬＣ的对边ꎬｂ２＋ｃ２＝ａｃｃｏｓＣ＋ｃ２ｃｏｓＡ＋ａ２ꎬ其中ＳәＡＢＣ＝３３＋２６４ꎬ求әＡＢＣ的周长的最小值.解析㊀根据ｂ２＋ｃ２＝ａｃｃｏｓＣ＋ｃ２ｃｏｓＡ＋ａ２ꎬ由余弦定理ꎬ得ｂ２＋ｃ２＝ａｃａ２＋ｂ２－ｃ２２ａｂ＋ｃ２ｂ２＋ｃ２－ａ２２ｂｃ＋ａ２.①０２即ｂ２＋ｃ２＝ｃａ２＋ｂ２－ｃ２２ｂ＋ｂ２＋ｃ２－ａ２２ｂæèçöø÷＋ａ２.②整理ꎬ得ｂ２＋ｃ２－ａ２ｂｃ＝１.③因此ｃｏｓＡ＝ｂ２＋ｃ２－ａ２２ｂｃ＝１２.因为Ａɪ０ꎬπ()ꎬ所以Ａ＝π３.又因为ＳәＡＢＣ＝３３＋２６４ꎬＳәＡＢＣ＝１２ｂｃｓｉｎＡ＝３４ｂｃ＝３３＋２６４ꎬ所以ｂｃ＝３＋２２.由③得ａ２＝ｂ２＋ｃ２－ｂｃȡ２ｂｃ－ｂｃ＝ｂｃ＝３＋２２.即ａȡ２＋１(当ｂ＝ｃ时取等号).故ｂ＋ｃ()２＝３ｂｃ＋ａ２ȡ３３＋２２()＋３＋２２＝４３＋２２()ꎬ即ｂ＋ｃȡ２２＋１()(当ｂ＝ｃ时取等号).故әＡＢＣ周长的最小值为ａ＋ｂ＋ｃ＝３２＋１().５平面向量中的最值问题例５㊀在四边形ＡＢＣＤ中ꎬøＢ＝６０ʎꎬＡＢ＝３ꎬＢＣ＝６ꎬ且ＡＤң＝λＢＣңꎬＡＤң ＡＢң＝－３２.(１)求实数λ的值ꎻ(２)若ＭꎬＮ是线段ＢＣ上的动点ꎬ且ＭＮң＝１ꎬ求ＤＭң ＤＮң的最小值.解析㊀(１)因为ＡＤң＝λＢＣңꎬＡＤң ＡＢң＝－３２ꎬ即λＢＣң ＡＢң＝λＢＣң ＡＢңｃｏｓ１２０ʎ＝－９λ＝－３２.解得λ＝１６.(２)过点Ａ作ＡＯʅＢＣꎬ垂足为点Ｏꎬ以Ｏ为原点ꎬＢＣꎬＯＡ所在直线为坐标轴建立直角坐标系.因为ＭꎬＮ是线段ＢＣ上的动点ꎬ且ＭＮң＝１ꎬＡＢ＝３ꎬøＢ＝６０ʎꎬ所以ＯＡ＝３３２.又因为ＡＤ＝１６ＢＣꎬ所以ＡＤ＝１.设Ｍ(ｘꎬ０)ꎬ则Ｎ(ｘ＋１ꎬ０)ꎬＤ(１ꎬ３３２).所以ＤＭң ＤＮң＝ｘ－１ꎬ－３３２æèçöø÷ ｘꎬ－３３２æèçöø÷＝ｘ－１２æèçöø÷２＋１３２(－３２ɤｘɤ５).因此ꎬ当ｘ＝１２时ꎬＤＭң ＤＮң取得最小值１３２.６圆锥曲线中的最值问题例６㊀已知Ｆ为抛物线Ｃ:ｙ２＝４ｘ的焦点ꎬ过点Ｆ作两条互相垂直的直线ｌ１ꎬｌ２ꎬ直线ｌ１与Ｃ交于ＡꎬＢ两点ꎬ直线ｌ２与Ｃ交于ＤꎬＥ两点ꎬ求ＡＢ＋４ＤＥ的最小值.解析㊀因为抛物线Ｃ:ｙ２＝４ｘ的焦点Ｆ(１ꎬ０)ꎬ准线为ｘ＝－１ꎬ设直线ｌ１的方程为ｙ＝ｋ１ｘ－１()ꎬ且ｋʂ０.联立方程组ｙ２＝４ｘꎬｙ＝ｋ１ｘ－１()ꎬ{则ｋ２１ｘ２－４＋２ｋ２１()ｘ＋ｋ２１＝０.设Ａ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ由韦达定理ꎬ得ｘ１＋ｘ２＝２＋４ｋ２１.根据抛物线的定义ꎬ得ＡＢ＝ｘ１＋ｘ２＋２＝４＋４ｋ１２.由ｌ１ʅｌ２ꎬ则ｋ２＝－１ｋ１ꎬ将上式ｋ１换为－１ｋ１ꎬ得到ＤＥ＝ｘ１＋ｘ２＋２＝４＋４ｋ２１.则ＡＢ＋４ＤＥ＝２０＋４４ｋ２１＋１ｋ２１æèçöø÷ȡ２０＋８４ｋ２１＋１ｋ１２＝３６ꎬ当且仅当４ｋ２１＝１ｋ２１ꎬ即ｋ１＝ʃ２２时ꎬ等号成立.综上ꎬＡＢ＋４ＤＥ的最小值为３６.高中数学中大部分内容都能与函数的最值问题联系起来[１]ꎬ也是考题中经常出现的题目ꎬ难度较大ꎬ方法也比较灵活.教师在教学中要把最值问题作为一个专题ꎬ引导学生掌握解题方法ꎬ做到具体问题具体分析ꎬ引导学生对每一种类型题都能够有思路ꎬ锻炼学生的思维能力.总之ꎬ思路要灵活ꎬ掌握解题方法是最关键的.参考文献:[１]陈丽燕.高中数学最值问题的解题分析[Ｊ].试题与研究ꎬ２０２３(０２):１９－２１.[责任编辑:李㊀璟]１２。

目录1 引言 02 文献综述 (1)2.1国内研究现状 (1)2.2国内研究现状评价 (2)2.3提出问题 (2)3 高中数学常见最值问题及解题策略 (2)3.1无理函数的最值问题 (2)3.2三角函数的最值问题 (4)3.3 数列的最值问题 (6)3.4 平面向量的最值问题 (10)3.5 圆锥曲线的最值问题 (11)3.6具有几何意义的最值问题 (14)3.7几个特殊类型函数的最值问题 (17)3.8用特殊方法求一类函数的最值问题 (23)4. 结论 (24)4.1主要发现 (24)4.2启示 (24)4.3局限性 (24)4.4努力的方向 (25)参考文献 (25)1 引言最值问题是人们在生产和日常生活中最为普遍的一种数学问题，它的应用性和实用性非常广泛，无论是在生产实践中还是在科学研究领域我们都会遇到一些关于“最好”、“最省”、“最低”、“最优”、“最大”、“最小”等问题，这些问题一般都是转化为最值问题进行求解．此类问题的求解，不仅充分训练了学生把实际问题抽象成数学问题的思维方式，还培养了学生分析问题和解决问题的能力，同时也使学生逐步形成了应用数学的意识．在近几年的高考题中，最值问题是考试命题的一个重点，它占了高考分数的5%~23%．从题型上讲，主要以选择题、填空题和解答题三种形式出现．从难易程度上讲，主要有基础题、中档题和高档题三种题型．它在考查基础知识的同时，也逐步加强了对能力的考查，高考将注重检查学生对所学课程内容达到融会贯通的程度．因此，求解最值问题将会是高考的一个难点，学生不但要较好地掌握各个分支的知识，还要善于捕捉题目信息，有较强的思维能力，能够运用各种数学技能，灵活选择适当的解题方法，方能达到事半功倍之效．文章从高中数学试题中经常出现的无理函数、三角函数、数列、向量、圆锥曲线和解析式具有几何意义的最值问题以及三类特殊最值问题几个方面对高中数学最值问题进行相关探讨，给出求高考数学最值问题的解题策略，为学生的备考和教师的教学提供相应的指导．2 文献综述2.1国内研究现状对于中学数学中最值问题的求解，国内已经有了一定的探讨，文[1]－[5]中总结归纳了最值问题的常用求解方法；文[6]通过举例讨论了一类无理函数最值的求解策略；文[7]讨论了如何巧求一类二元函数的最值；文献[8]针对解析式具有几何意义的函数的最值巧妙求法方法进行了归纳总结；文[9]给出了三类最小值问题的统一解法及一般结果；文[10]对一类函数最小值问题的处理方法进行了探讨；文[11]对一类函数最小值问题的处理方法进行了相关的补充；文[12]介绍了几种关于应用均值定理求最值的方法；文[13]给出了2005～2009年中最新五年高考真题及其详解；文[14]～[15]介绍了函数最值的概念及其求解方法；文[16]给出了用松弛变量法巧妙地求解一类二元函数的最值问题的方法．2.2国内研究现状评价国内虽然对最值问题的求解方法已有了一定的研究，尤其是最值问题的常用求解方法归纳比较全面系统．但是在近几年的高考题中，主要考查学生学以致用的能力，只利用常用求解方法一般很难解决高考题中的最值问题．高考很多最值问题都是要综合应用相关知识的概念、性质、定理才可解决．现查阅到的参考文献中大多只讨论了最值问题的常用求解方法及归纳了几个特殊最值问题的统一解法，并没有具体探讨高考数学中基本最值问题的求解策略．2.3提出问题由于高考过程中，试题数量多、时间少、难度大，要在高考中获胜，必须要讲解题方法“精”、“巧”、“练”．而大多资料并没有从高考的角度研究高考数学中最值问题的求解，最值问题的求解方法还不够完善，高考中学生对最值问题的求解还存在一定的困难．因此，本文将通过查阅相关资料，站在高考的角度，对高中数学常见最值问题及解题策略进行总结、归纳、整理，进一步完善最值问题的求解策略，为学生的备考和教师的教学提供相应的指导．3 高中数学常见最值问题及解题策略最值问题是中学数学的一个重要内容，也是各种考试命题的一个热点．尤其在高考命题中，它是必不可缺少的热门考点，在近几年的高考试卷中，函数的最值问题占了相当大的比例．其主要以选择题、填空题和解答题的类型出现，其目的在于考查学生对基础知识的把握和灵活运用相关知识的能力．解决这类问题涉及的知识面较宽，要求学生不仅要能利用常用方法求解简单函数的最值问题，还要学生能根据知识的内在联系以及函数本身的特征适当选择最优解题方案，达到事半功倍之效．3.1无理函数的最值问题 求形如22221121c x b x a c x b x a y ++±++=的最值此类题型求解最值的方法很多，一般有平面几何法、分析法、解析几何法、复数法和求导法．但在求解过程中这些方法的使用非常灵活，存在一定难度，要求对常用最值求解工具较为熟悉，能根据解析式的特征联系相关知识，恰当、准确地选用最优解题方案进行求解．而如何实现使用最优解题方案进行求解，关键是要认真捕捉题目信息，仔细观察解析式，从而根据知识的内在联系，利用转化思想便可解决问题．例1 求()2f x =的最小值.解 令y =显然]0,5[-∈x 有意义,有222)725(x x x y -+-=)7)(25(272522x x x x --+-=,则0)7)(25(2,0722≥--≥-x x x x ,（当0=x 时等号成立）当0=x 时5min =y ，所以min ()7f x =．评析 该题根据解析式的特征合理变形后，采用分析法．利用不等式的性质进行解答．本题主要考查学生的应变能力、分析能力和观察能力（各个时候取等号的条件的一致性，否则没有最值）．例2 求32610134)(22++-++-=x x x x x f )(R x ∈的最小值．解 令22221)5(3)2(+-++-=x x y ，设,3)2(1i x z +-=i x z +-=)5(2，则21z z y +=，且54321=+=+i z z ，有52121=+≥+z z z z ． 当且仅当345123=-=-x x 时函数取得最小值．当417=x 时5min =y ， 所以min ()8f x =．评析 采用复数法，利用复数模的性质121212z z z z z z -≤+≤+，把代数式转化为复数模的关系进行求解．求二元无理式的最值二元无理式的最值问题也是最值求解的一个难点，虽然它的解题方法不少，但是解答过程非常复杂繁琐，计算容易出错．而这种题可以运用一个定理便可轻松简捷地求解．定理1 设R x x ∈2,1，+∈R y y 2,，则21221222121)(y y x x y x y x ++≥+（当且仅当2211::y x y x =时等号成立）．例3 若521≥-++y x ，求y x x f +=)(+52的最小值. 解 令11211+-++=+=y x y x z ,根据定理得 11211+-++=+=y x y x z , 当且仅当1211-=+y x ，521=-++y x 时取得最小值. 当433,421==y x 时 227min =z , 所以min ()16f x =．评析 该无理函数求解最值的方法很多，但是相比之下，利用此定理使用松弛变量法[16]更为巧妙，但需注意的是题目中的已知条件必须全部满足定理的要求，否则求解将会有误，在使用这种方法时，必须认真捕捉题目信息．3.2三角函数的最值问题在高考试卷中，求解三角函数的最值问题的题目出现的非常频繁，几乎每年都会出现，占高考分数的%8~%3．它主要考查学生对三角函数基础知识的综合运用．其难度大，很多学生对此类问题“一筹莫展”．其实，三角函数的最值问题看似非常复杂，一, 2 27 1 25 1 11 )2 1 ( 2 2 = + ≥ + + - + + ≥ y x般使用常用最值求解方法很难求解，但是要解决它并不困难，只要充分理解其概念、性质，牢记公式，能灵活运用正弦定理、余弦定理及相关的三角公式进行适当的变形化简，然后根据它的性质、定理逐步击破，便可解决问题．因此，在解决三角函数最值问题时，关键在于学生对其性质、定理的深刻理解和各个三角公式的灵活运用．例4（2008年全国卷Ⅱ） 若动直线a x =与函数x x f sin )(=和x x g cos )(=的图像分别交于M 、N 两点，则MN 的最大值为（B ）．解 )4sin(2cos sin )()(π-=-=-x x x x g x f ,根据三角函数的性质可知，当z k k x ∈+=,43ππ时， 2)()(max max =-=x g x f MN ．故 选B ． 评析 本题主要考查学生对三角函数的性质的理解和应用．例5（2008年全国卷Ⅰ） 设ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边长为a 、b 、c ，且c A b B a 53cos cos =-．（Ⅰ）求B A cot tan 的值．（Ⅱ）求)tan(B A -的最小值． 解 （Ⅰ）由正弦定理知C A c a sin sin =，CB c b sin sin =, c AC B B C A A b B a ⋅⋅-⋅=-)cos sin sin cos sin sin (cos cos ,1cos tan )1cot (tan sin cos cos sin sin cos cos sin )sin(sin cos cos sin +⋅-⋅+-=⋅+-=B A c B A c BA B A B A B A c B A A B B A 由题意得c B A c B A 531cot tan )1cot (tan =+⋅-, 解得4cot tan =B A ．（Ⅱ）由（Ⅰ）得B A tan 4tan =，则A 、B 都是锐角，于是0tan >B ．所以43tan 41tan 3tan tan 1tan tan )tan(2≤+=+-=-B B B A B A B A ， 且当21tan =B 时，上式取等号，所以 )tan(B A -的最大值为43． 评析 本题主要考查学生对三角函数性质的理解和定理的应用能力．学生灵活使用正弦定理将原解析式变形、化简，从而由题设产生新的已知条件，为求解目标函数的最值打下坚实的基础．例6（2008年四川卷） 求函数2474sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-的最大值与最小值．解 由2474sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-得2(1sin 2)6y x =-+．由于函数2(1)6z u =-+在[1,1]-中的最值为max 10z =，min 6z =．故当sin 21x =-时max 10y =，当sin 21x =时min 6y =．评析 三角函数的公式非常多，学生解决问题时必须正确选用适当的公式对解析式进行变形，才能使问题简单化，否则将越化越复杂，无法解决．因此，学生不但要熟记公式，还要有灵活运用公式的能力．3.3数列的最值问题数列的最值问题也是高考的一种题型之一，出现也较为普遍，它曾在2009年四川卷、安徽卷和2008年的江西卷、宁夏海南卷中出现．该类问题主要以选择题、解答题两种题型出现，选择题的难度不大，而对解答题的解题能力的要求却很高，不但要求学生对其基础知识非常熟悉，还要求学生有较强的计算能力、思维能力、分析能力和解决问题的能力．针对这类问题，学生必须熟记并能准确灵活地运用等差数列和等比数列的各个公式．例7（2009年安徽卷） 已知{}n a 为等差数列，135105a a a ++=，24699a a a ++=．以n s 表示{}n a 的前n 项和，则使得n s 达到最大值的n 是（B ）．A ．（21）B ．（20）C ．（19）D ．（18） 解 由于数列{}n a 为等差数列，则1(1)n a a n d =+-，有1235a d +=，1333a d +=．则139a =， 2d =-．根据数列的前n 项和公式2(1)39(2)402n n n s n n n -=+⨯-=-+, 显然当20n =时n s 取得最大值．评析 本题主要考查学生对公式的应用，学生只要有较强的观察能力、思维能力，结合使用等差数列的通项公式和前n 项和公式就可以求解．例8(2009年四川卷) 设数列{}n a 的前n 项和为n s ，对任意的正整数n 都有51n n a s =+成立，记4()1n n na b n N a ++=∈-．（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式．（Ⅱ）记221()n n n c b b n N *-=-∈，设数列{}n c 的前n 项和为n T ．求证：对任意的正整数n 都有32n T <． （Ⅲ）设数列 {}n b 的前n 项和为n R ，已知正实数λ满足：对任意的正整数n ，n R n λ≤恒成立，求λ的最小值．解 （Ⅰ）当1n =时，151n a a =+，则114a =-． 又51n n a s =+，1151n n a s ++=+，有115n n n a a a ++-=，即114n n a a +=-． 所以，数列{}n a 成等比数列，其首相114a =-，14q =-． 则14()n n a =-，所以14()5441(4)11()4n n n n b +-==+----． （Ⅱ）由（Ⅰ）知54(4)1n n b =+--， 则221221554141n n n n n c b b --=-=+++ 222516(161)(164)2516(16)31642516(16)25,16nn n nn n nn n ⨯=-+⨯=+⨯-⨯<=又13b =，2133b =． 有143c =． 当1n =时 132T <， 当2n ≥时23411125()3161616n n T <+⨯+++ 12211[1()]41616251311614162513116693,482n --=+⨯-<+⨯-=<（Ⅲ）由（Ⅰ）知 54(4)1n n b ==+--． 一方面 ，已知n R n λ≤恒成立，取n 为大于1的奇数时，设21()n k k N *=+∈，则1221n k R b b b +=+++ 12321123221111145()414141411111145[()()]414141414141,k k k n n n ++=+-+-+++-++=+-+-++-+-+++>- 有41n n R n λ≥>-即(4)1n λ->-对一切大于1的奇数 n 恒成立．所以4λ≥．否则(4)1n λ->-只对满足14n λ<-的正奇数n 成立，矛盾． 另一方面，当4λ=时对一切的正整数n 都有4n R n ≤恒成立，事实上，对任意的正整数k 都有212212558(4)1(4)1k k k k b b --+=++----52081611641516408(161)(164)8,k k k k k =+--+⨯-=--+< 当n 为偶数时，设2()n m m N =∈*，则1234232221()()()n m m m R b b b b b b b ---=+++++++8m <4n =，当n 为奇数时，设21()n m n N =-∈*，则1234232221()()()n m m m R b b b b b b b ---=+++++++8(1)m <-4n =，所以，对一切正整数n 都有4n R n ≤．综上所述，正实数λ的最小值为4．评析 本题主要考查数列、不等式等基础知识，化归思想、分类整合思想等数学思想方法，以及推理论证、分析与解决问题的能力，要求学生有较强的综合解题能力．3.4平面向量的最值问题在考查平面向量的最值问题中，一般结合三角函数进行考查，题型多以选择题、填空题和解答题的形式出现，考生需要深刻理解平面向量的概念、性质和数量积与向量积的几何意义，灵活运用向量的各种性质，有较强的运算和论证能力便可解决问题．对于这类题型，学生首先要根据题目的已知条件，利用向量的性质灵活变形，进而利用数量积或向量积便可求解．例9（2009年安徽卷） 给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120，如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动。

高中数学二元函数最值问题求解方法浅析我们把形如z=f（x，y）的函数称为二元函数。

其最值问题是高中数学的一大难点，近年来高考试题中屡有考察。

求解二元函数的最值，涉及到函数、不等式、线性规划、解析几何等诸多高中数学重点知识，更体现了函数思想、化归转化思想、数形结合思想和分类讨论思想等若干核心数学思想的应用。

学好二元函数问题最值的求解，是函数部分的一大重点。

求解二元函数最值，核心思想是化二元为一元——将复杂问题化归为简单模型是数学解题的关键，也是本质。

通过消元或换元，将一个二元问题简化为一元函数问题，依托于研究学生所熟识的一元函数达到求解二元函数最值的目的。

下文所叙述的消元法和换元法都是这一思想的具体运用。

同时，求解二元函数最值问题时，联系题目中条件与最值问题所对应的几何意义——利用数形结合的思想，将二元函数问题化归为二维平面内的图形变换关系，通过观察图形的几何意义来解决问题，是此类问题其求解的又一法宝。

此外，结合已知条件，利用重要不等式来解决问题是我们可以借助的又一重要工具。

均值不等式法就体现了这一思想。

下面通过几个具体的例子，着重通过一题多解的模式来分析二元最值求解的基本方法。

1. 配方法利用多项式的配方法和实数的性质以及不等式的性质来分析新式子的结构，进而研究确定二元函数的最大值或最小值，这也是求极值的一种很简便的方法。

例1：求二元函数z=x4+y4+2 x2y2-4x2-3y2+2y+15的最小值。

分析：原式配方得：z=（x2+y2-2） 2+（y+1）2+10，当且仅当x2+y2-2=0且y+1=0 ，即x= ±1，y=-1 时，z的最小值是10例2：已知x∈r ，y ∈r，求 u=x2+xy+y2-x-2y+5的最值。

分析：原式配方可得 u=（x+y-12）2+34（y-1）2+4，当且仅当x+y-12=0及y-1=0时即x=0，y=1时取最小值42. 消元法消元法是求解二元函数最值问题的最基本方法。

高中数学求最值的方法
高中数学求最值的方法有多种，以下是其中一种常用的方法：
1. 探索区间：首先确定要求最值的函数的定义域和范围。

一般来说，可以通过观察函数的图像或者对函数进行分析来确定函数的定义域和范围。

2. 寻找极值点：使用求导的方法，找到函数的导数为零或不存在的点。

这些点称为函数的驻点。

然后对这些点进行求值，得到函数在这些点的函数值。

3. 确定边界值：将函数的边界值（例如定义域的开区间端点或者范围的端点）代入函数中求值，得到函数在边界值处的函数值。

4. 比较函数值：将所得到的函数值进行比较，找出其中最大值或最小值。

需要注意的是，在这个过程中，可能会遇到以下情况：
- 函数导数不存在的点可能是函数的极值点，需要进一步进行分析。

- 函数的定义域和范围可能存在开区间端点或无穷的情况，需要单独考虑。

- 如果函数在某些点的函数值相等，则这些点都可能成为函数的最值点，需要进行进一步的比较。

在完成这个过程之后，就可以找到函数的最大值或最小值了。

论高中数学常见最值问题及解题策略作者：张明明来源：《课程教育研究·新教师教学》2014年第28期摘要：高中数学的应用性和实用性都比较强，在数学的学习过程中总会遇见一些“最大”、“最小”、“最优”“最好”等问题，这些问题都可以转化为最值问题来求解。

高中数学中最值问题的求解是最为常见的，最值问题的求解既锻炼了学生的数学思维能力，还培养了学生的综合分析能力和解决问题的能力。

最值问题同时也是高中数学的一个难点之一，本文主要论述高中数学中几种常见的数学最值问题：函数（如三角函数、指函数、对函数二次函数）、圆锥曲线、数列、立体几何、解析几何、不等式和向量，并提出相应的最值问题的解题策略。

关键词高中数学；常见最值问题；解题策略中国分类号：G633.6一、高中数学常见最值问题高中数学的一个重要内容就是最值问题，最值问题是考试命题的热点之一。

考试中最值问题的考查目的是為了考察学生对基础知识的把握程度及其灵活运用知识解题的能力。

高中数学常见的最值问题在数学知识点中分布的比较广泛，最常见的最值问题主要存在于函数（如三角函数、指函数、对函数二次函数）、圆锥曲线、数列、立体几何、解析几何、不等式和向量这些数学知识点中。

二、高中数学常见最值问题及解题策略求解最值问题可以用很多方法，关键在于灵活运用各种解题方法，常用的求解最值问题的方法有二次函数的性质法、函数的单调性法、三角函数的有界性法、导数法、均值不等式法、换元法和几何法。

函数最值的求解过程离不开数与形的结合。

1、利用二次函数的图像和性质求最值利用这种方法求解最值首先就要知道二次函数的性质：若a>0，则说明二次函数的图像是开口向上的，顶点为图像的最低点，表达式为利用三角函数的有界性求最值是解决三角函数最值问题的最基本的方法，也是最重要的方法之一。

主要有两种求解方法，一是直接将三角函数的有界性应用到最值问题的求解中去；二是将一个角的函数均化为正弦函数或者余弦函数来求解。

在中学数学的教学和学习过程中，最值问题是一个重要的知识点，它涉及到许多数学概念和技巧的应用。

本文将探讨中学数学最值问题的解决方法，以期帮助学生更好地理解和应用这些知识。

一、最值问题的概念和分类最值问题是指在一定范围内，寻求最大或最小的数值问题。

根据不同的数学概念和解题方法，最值问题可以分为不同的类型，如代数最值问题、几何最值问题、三角函数最值问题等。

二、最值问题的解决方法1.代数最值问题解决方法对于代数最值问题，通常需要使用函数、不等式和方程等方法进行求解。

具体步骤如下：（1）分析题意，找出变量和参数，建立数学模型；（2）利用函数性质，如单调性、奇偶性等，求出最大或最小值；（3）结合实际问题，进行验证和讨论，得出最终结果。

例如，求函数f(x)=x²+2x+1的最小值。

可以通过配方得到f(x)的最小值为1。

2.几何最值问题解决方法对于几何最值问题，通常需要使用几何图形、三角函数和向量等方法进行求解。

具体步骤如下：（1）根据题意，画出相应的几何图形；（2）利用三角函数性质和向量方法，求出最大或最小值；（3）结合实际问题，进行验证和讨论，得出最终结果。

例如，求圆x²+y²=4上的点到直线y=x+b的最短距离。

可以通过三角函数求解得到最小距离为。

3.三角函数最值问题解决方法对于三角函数最值问题，通常需要使用三角函数的性质和公式进行求解。

具体步骤如下：（1）根据题意，确定变量和参数；（2）利用三角函数的性质和公式，求出最大或最小值；（3）结合实际问题，进行验证和讨论，得出最终结果。

例如，求在三角形ABC中，已知A为锐角，a、b分别为内角A和B的对边，c为BC上的高，求bc的最大值。

可以通过正弦定理和余弦定理求解得到最大值为。

三、解题思路总结1.仔细审题，明确题意，找出变量和参数；2.根据不同的数学概念和解题方法，选择合适的解决方法；3.建立数学模型，利用数学方法求解最大或最小值；4.结合实际问题，进行验证和讨论，得出最终结果；5.总结解题思路和方法，加强理解和应用。

福建师范大学现代远程教育毕业论文题 目： 浅谈高中数学中最值问题的常用解题方法学习中心： 灌 云 奥 鹏 专 业： 数学及应用数学 年 级（入学批次）： 201103 学 号： ************ 学生姓名： * * 导师姓名： 严 晓 明2013 年 3月 15 日装 订 线浅谈高中数学中最值问题的常用解题方法201103896627 刘明 指导老师：严晓明摘要： 最值问题是中学数学的重要题型之一。

以最值问题为载体，可以考查中学数学的几乎所有知识点，可以考查分类讨论、数形结合、转化与化归等诸多数学思想和方法，还可以考查学生的思维能力、实践和创新能力。

解决最值问题，从方法上来说，它常用到函数的单调性、二次函数的性质、数形结合法、均值不等式法、导数法、换元法等等。

本文就高中数学的要求，结合一些典型试题进行分析和探讨，说明其解题的思考方法和一般的技能与技巧。

关键词：高中数学 最值 解题方法1、引言在日常生活及科学实验中,常常遇到“最好”、“最省”、“最大”、“最小”、“最低”等问题。

例如质量最好,用料最省,效益最高,成本最低,利润最大,投入最小等等,这类问题在数学上常常归结为求函数的最大值或最小值问题，也就是最值问题.最值问题是一类综合性较强的问题，其题型多样，解法灵活，在高中数学中，最值问题涉及面广，像函数（三角函数，二次函数，指对函数，幂函数），不等式，向量，解析几何，立体几何，圆锥曲线中都能找到最值问题，在高考中，常以一些基础题，小综合的中档题或一些难题的形式出现，是历年高考重点考查的知识点之一，几乎每年的高考试题中都有出现。

2、最大（小）值及其几何意义一般地，设)(x f y =的定义域为A ，如果存在A x ∈0,使得对于任意的A x ∈，都有)()(0x f x f ≤，那么称)(0x f 为)(x f y =的最大值，记为)(0max x f y =；如果存在A x ∈0,使得对于任意的A x ∈，都有)()(0x f x f ≥，那么称)(0x f 为)(x f y =的最小值，记为)(0min x f y =.其几何意义是：函数图象上最高（低）点的纵坐标。

求函数最值的常见方法【中图分类号】g63 【文献标识码】b 【文章编号】2095-3089（2013）17-0-02求函数的值域或最值是高中数学基本问题之一，也是考试的热点和难点之一。

遗憾的是教材中仅有少量求定义域的例题、习题，而求值域或最值的例题、习题则是少得屈指可数。

原因可能是求函数的值域往往需要综合用到众多的知识内容，技巧性强，有很高的难度，因此求函数的值域或最值的方法需要我们在后续的学习中逐步强化。

本文谈一些求函数值域的常见方法，希望对广大读者有所帮助。

一、直接法适用类型：从自变量的范围出发，推出的取值范围。

例1：求函数的值域。

解：因为，所以，所以函数的值域为。

二、配方法适用类型：二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。

例2：求函数的值域。

解：本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设：配方得：利用二次函数的相关知识得，从而得出：。

说明：在求解值域（最值）时，遇到分式.根式.对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为：。

三、判别式法适用类型：分子.分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可以化为的形式，再利用判别式加以判断。

例3：求函数的值域。

解：由于本题的分子、分母均为关于x的二次形式，因此可以考虑使用判别式法，将原函数变形为：整理得：当时，上式可以看成关于的二次方程，该方程的范围应该满足即此时方程有实根即△，△细心的读者不难发现，在前面限定而结果却出现：我们是该舍还是留呢？注意：判别式法解出值域后一定要将端点值（本题是）代回方程检验。

将分别代入检验得不符合方程，所以。

四、分离常数法适用类型：分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。

例4：求函数的值域。

解：因为，所以，所以，所以函数的值域为。

五、换元法适用类型：即运用代数或三角代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域。

形如y=ax+b±（a、b、c、d均为常数，且a≠0）的函数常用此法求解。