01竞赛辅导：一次函数及绝对值函数的应用

一次函数的实际应用在我们的日常生活和学习中，数学知识无处不在，而一次函数作为数学中的重要概念，具有广泛的实际应用。

一次函数的表达式通常为 y ＝ kx ＋ b （其中 k 不为 0），它能够帮助我们解决许多与变量之间线性关系相关的问题。

先来说说行程问题。

假设小明以每小时 5 千米的速度匀速行走，行走的时间为 x 小时，行走的路程为 y 千米。

那么，路程 y 与时间 x 之间的关系就可以用一次函数来表示，即 y ＝ 5x 。

通过这个函数，我们可以很容易地算出小明在给定时间内行走的路程，或者根据路程计算出所需的时间。

再看购物中的打折问题。

商场在进行促销活动时，常常会有“满减”的优惠政策。

比如，购买商品总价达到 200 元，可享受 8 折优惠。

设购买商品的原价为 x 元，实际支付的金额为 y 元。

当x ≤ 200 时，y ＝x ；当 x ＞ 200 时，y ＝ 08x 。

这就是一个分段的一次函数，通过这个函数，我们能清晰地了解到购买商品时的价格变化规律，从而做出更明智的消费决策。

在成本与利润的计算中，一次函数也发挥着重要作用。

假设一家工厂生产某种产品，每件产品的成本为 10 元，售价为 x 元，销售量为 y 件。

总利润 z 等于销售收入减去成本，即 z ＝ y(x 10) 。

如果销售量 y 与售价 x 之间存在线性关系，比如 y ＝－2x ＋ 100 ，那么总利润 z 就可以表示为 z ＝（－2x ＋ 100)（x 10) ，这是一个二次函数，但其中包含了一次函数的成分。

通过对这个函数的分析，厂家可以确定最优的售价，以实现利润最大化。

水电费的计算也是一次函数的常见应用场景。

比如，某地区的水费收取标准为：每月用水量不超过 10 吨时，每吨水收费 2 元；超过 10 吨的部分，每吨水收费 3 元。

设每月用水量为 x 吨，水费为 y 元。

那么当x ≤ 10 时，y ＝ 2x ；当 x ＞ 10 时，y ＝ 2×10 ＋ 3(x 10) ，即 y ＝3x 10 。

高考数学中绝对值函数的性质与应用在高考数学中，绝对值函数是一道经典的数学题型，也是许多同学所困扰的难点，今天我来为大家详细讲解绝对值函数的性质与应用。

一、绝对值函数的定义绝对值函数就是一个把自变量转变符号的函数，一般表示为|f(x)|，其中x为自变量，f(x)为函数。

我们可以对绝对值函数进行分类讨论：1.当x>0时，|x| = x；2.当x<0时，|x| = −x；3.当x=0时，|x| = 0。

二、绝对值函数的性质1.非负性：|x|≥0，即绝对值不会小于0。

2.同号性：|ab|=|a|·|b|，当且仅当a和b同号时，成立。

3.三角不等式：|a+b|≤|a|+|b|，a、b为任意实数。

三、绝对值函数的应用现在我们来看几个具体的例子。

1.绝对值函数的应用于解方程首先我们来看一个简单的例子：|x−3|=5，我们需要解出x的值。

首先我们可以根据绝对值的两种情况对原式进行分类讨论：①当x−3≥0时，|x−3|=x−3，则原式变成x−3=5。

解得：x=8②当x−3<0时，|x−3|=−(x−3)，则原式变成−(x−3)=5。

解得：x=−2因此绝对值方程的解法就是把绝对值函数拆分成两条方程，然后求解。

2.绝对值函数的应用于证明不等式题目：设a，b为正实数，证明：(a+b)²≥4ab。

解析：我们先来试着将(a+b)²拆开，得到：(a+b)²= a²+2ab+b²又因为x²≥0，所以a²+b²≥2ab。

将此代入(a+b)²= a²+2ab+b²中，得(a+b)²= (a²+b²)+2ab ≥4ab3.绝对值函数的应用于优化问题考虑一个面积固定的长方形，现在把它分成两个相等的正方形，求它的周长的最小值。

解析：设长为x，宽为y，面积为xy，由题目可知x²=2xy，可得到y=x/2。

绝对值函数的应用与问题解决绝对值函数是一种常见的数学函数，它有着广泛的应用和解决问题的能力。

本文将探讨绝对值函数的应用，并讨论如何应对与绝对值函数相关的问题。

一、绝对值函数的定义和性质绝对值函数是一个以0为中心的对称函数，表示一个数到0的距离。

它的定义如下：对于任意实数x，绝对值函数|x|的值为：当x≥0时，|x|=x；当x<0时，|x|=-x。

绝对值函数具有以下基本性质：1. 非负性质：对于任何实数x，|x|≥0。

2. 正负交替性质：如果x≠0，则有|−x|=|x|。

3. 三角不等式：对于任何实数x和y，有|x+y|≤|x|+|y|。

二、绝对值函数的应用1. 距离计算由于绝对值函数表示距离，它可以应用于计算两点之间的距离。

例如，在平面坐标系中，点A(x1, y1)和点B(x2, y2)之间的距离可以表示为：d = |x2 - x1| + |y2 - y1|2. 绝对值方程和不等式绝对值函数常用于解决与绝对值相关的方程和不等式。

一般来说，解绝对值方程或不等式的关键是根据定义对绝对值进行分析，并根据不同情况给出解的表达式。

例如，对于绝对值方程|2x - 1| = 3，可以分别考虑2x - 1的正值和负值进行求解，得到x的两组解。

3. 函数图像的变换绝对值函数还可以用于描述函数图像的变换情况。

当对函数进行平移、伸缩和翻转等操作时，绝对值函数的图像也会相应地进行变换。

例如，通过对函数y = |x|进行变换，可以得到y = |x - a|、y = a|x|等相关函数的图像。

三、与绝对值函数相关的问题解决1. 寻找极值点在一些优化问题中，绝对值函数经常和极值点相关。

我们可以利用绝对值函数的非负性质，配合求导等方法，来确定绝对值函数在特定区间内的最大值或最小值。

2. 求解不等式解决包含绝对值函数的不等式时，可以将不等式分为两个部分，并分别去掉绝对值符号，得到一个由不等式组成的方程组。

接下来，通过对不等式的符号进行讨论，可得到不等式的解集。

高中数学绝对值函数的应用实例及解题方法绝对值函数是高中数学中常见的一种函数形式，它在数学建模和实际问题中具有广泛的应用。

本文将通过具体的实例，来介绍绝对值函数的应用和解题方法，帮助高中学生更好地理解和掌握这一知识点。

一、求解绝对值不等式绝对值不等式是绝对值函数应用的重要形式之一。

我们以一个简单的例子开始，假设有如下的不等式：|2x - 1| < 3要求解这个不等式，我们可以将其拆分为两个不等式，即：2x - 1 < 3 和 2x - 1 > -3解得：x < 2 和 x > -1所以，原始的不等式的解集为 -1 < x < 2。

这个例子展示了如何通过拆分不等式来求解绝对值不等式，这也是解决绝对值不等式常用的方法之一。

二、求解含有绝对值的方程除了不等式，绝对值函数还常常出现在方程的解中。

我们以一个实际问题为例，来说明如何求解含有绝对值的方程。

例题：某地的温度每天都在变化，已知温度的变化规律可以用函数T(t) = |t - 5| - 3来表示，其中t表示时间（单位：小时），T(t)表示温度（单位：摄氏度）。

现在要求解在什么时间温度为0度。

解答：根据题意，我们需要求解方程|t - 5| - 3 = 0。

将绝对值函数的定义展开，得到两个方程：t - 5 - 3 = 0 或者 -(t - 5) - 3 = 0解得：t = 8 或者 t = 2所以，温度为0度的时间有两个解，分别是t = 8和t = 2。

这个例子展示了如何通过将绝对值函数的定义展开，来求解含有绝对值的方程。

这是解决这类问题常用的方法之一。

三、绝对值函数在距离和模型中的应用绝对值函数在距离和模型中的应用也是高中数学中的重要内容。

我们以一个典型的例子来说明。

例题：甲、乙两地相距200公里，甲地有一辆车以每小时50公里的速度往乙地行驶，乙地有一辆车以每小时40公里的速度往甲地行驶。

问多少小时后，两车相遇？解答：设两车相遇的时间为t小时，则甲地车行驶的距离为50t公里，乙地车行驶的距离为40t公里。

O C B A y x O C B A y x 初中数学竞赛培训讲义 一次函数是与现实生活联系最紧密的知识点，受到各级各类竞赛的青睐，近些年来与一次函数有关的竞赛问题屡见不鲜，本将就来研究这系列问题.一 平面直角坐标系中的坐标问题例1 如图，边长为2的正方形OABC 顶点O 与坐标原点重合，且OA 与x 轴正方形的夹角为30.求点,,A B C 的坐标练习1、点(,)A x y 关于x 轴的对称点坐标为 ，关于y 轴的对称点坐标为 ，关于原点的对称点坐标为 ，关于直线y x 的对称点是2、在平面直角坐标系中，已知点(3,3)A ，P 是y 轴上一点，则使AOP 为等腰三角形的点P 有（ ）个.(A). 2 (B). 3 (C). 4 (D). 53、在平面直角坐标系中有点(2,2),(3,2)A B ，C 是坐标轴上一点，已知ABC 是直角三角形，求点C 的坐标.二 一次函数的图像性质问题 例2 若ab c t b c c a a b ，则一次函数2y tx t 的图像必经过的象限是（ ）(A). 第一、二象限 (B). 第一、二、三象限 (C).第二、三、四象限 (D). 第三、四象限练习设a b >，在同一平面直角坐标系内，一次函数a bx y +=与b ax y +=的图象最有可能的是（ ）．三 一次函数的解析式1、对称问题例3 如图，直线210y x 与,x y 轴分别交于,A B ，把AOB 沿直线翻折，点O 落在C 处，则点C 的坐标是2、面积问题例4 设直线(1)1kxk y （k 是正整数）与两坐标轴所围成的图形面积为k S ，则122011S S S3、整点问题例5 在直角坐标系中，横纵坐标都是整数的点称为整点，设k 是整数，当直线3y x 与y kx k 的交点为整点时，满足条件的k 的值有 个4、定点问题例6 不论k 为何值，解析式(21)(3)(11)0k x k y k 表示的函数的图像经过一定点，则这个定点是5、最值问题例7 已知,,a b c 是非负实数，且满足30,350,a b c a b c 求42M a b c 的最大值和最小值.三 一次函数的应用题例8 某家电企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按120个工时计算）生产空调器、彩电、冰箱共360四 可化为一次函数的绝对值函数例8 （1）作函数13yx x 的图像 （2）13y x x五 构造一次函数解题例9 已知关于x 的方程13x x a ，（1）若方程仅有两个解，求a 的取值范围. (2) 若方程有无数个解，求a 的取值范围. （3）若方程无解，求a 的取值范围. （4）解不等式134x xE(0,6)D(2,6)O C(2,1)B(4,1)A(4,0)y x 例10 若已知关于x 的方程1kxx 有且仅有一个负根，求k 的取值范围.练习题1、在直角坐标系中，x 轴上的动点(,0)M x 到定点(5,5),(2,1)P Q 的距离分别为,MP MQ ，求MPMQ 的最小值，并求此时点M 的坐标.2、已知一个六边形OABCDE 六个顶点的坐标如图所示，直线l 平分该六边形的面积，写出满足条件的一条直线l 的解析式.3、小刚和小强在一条由西向东的公路上行走，出发时间相同，小强从 A 出发，小刚从A 往东的B 处出发，两人到达C 地后都停止。

一次函数的应用与解析一、引言一次函数是数学中最基本的函数之一，也是数学建模和实际问题解决中常见的一种函数类型。

本文将探讨一次函数的应用和解析，通过实际案例来说明其在日常生活和科学领域中的重要性。

二、一次函数的定义和特点一次函数，又称线性函数，是指函数表达式为 y = kx + b 的函数，其中 k 和 b 是常数，且k ≠ 0。

一次函数的特点包括直线图像、斜率和截距。

三、一次函数在经济学中的应用1. 成本和收益预测一次函数可应用于经济学中的成本和收益预测。

例如，某公司制造某种产品的成本可以表示为 y = mx + b，其中 x 表示生产数量，y 表示总成本，m 表示单位成本，b 表示固定成本。

通过拟合一次函数模型，可以根据生产数量预测总成本，并做出相应的决策。

2. 市场需求和供应分析一次函数还可用于市场需求和供应分析。

如果市场需求或供应的变化可以用一次函数来近似，就可以通过函数的斜率和截距来分析市场的变化趋势。

这有助于企业制定合理的定价策略和库存管理策略。

四、一次函数在物理学中的应用1. 物体的运动分析在物理学中，一次函数可以用来描述物体的运动。

例如，一个物体的位移与时间的关系可以表示为 y = kx + b，其中 y 表示位移，x 表示时间，k 表示速度，b 表示初始位移。

通过解析一次函数，可以计算物体的速度和初始位移，从而深入了解物体的运动规律。

2. 电流和电压的关系一次函数还可应用于电路分析。

例如，欧姆定律描述了电流和电压之间的关系，可以表示为 y = kx + b，其中 y 表示电流，x 表示电压，k 表示电阻，b 表示电流的截距。

通过解析一次函数，可以计算电阻的大小以及电路的特性参数。

五、一次函数在社会学中的应用1. 人口增长预测一次函数可应用于社会学中的人口增长预测。

例如，某个地区的人口增长可以表示为 y = kx + b，其中 y 表示人口数量，x 表示时间，k 表示增长率，b 表示初始人口数量。

用绝对值函数解决问题绝对值函数是一种常见的数学函数，它在现实生活和应用问题中起着重要的作用。

本文将探讨如何使用绝对值函数来解决各种问题，并简要介绍该函数的定义和性质。

一、绝对值函数的定义与性质绝对值函数（Absolute Value Function）是指以x为自变量，y=|x|为因变量的函数。

在数学符号中，绝对值函数通常用竖线表示。

对于任意实数x，其绝对值函数的定义如下：| x | = x, x ≥ 0| x | = -x, x < 0绝对值函数具有以下性质：1.非负性：对于任何实数x，| x | ≥ 0。

2.自反性：对于任何实数x，| x | = | -x |。

3.三角不等式：对于任何实数x和y，| x + y | ≤ | x | + | y |。

4.分段函数性质：绝对值函数可以表示为分段函数形式，便于处理不同区间的情况。

二、用绝对值函数解决实际问题1.距离问题绝对值函数在处理距离问题时经常被使用。

例如，设有两个点A和B在数轴上，其坐标分别为x1和x2。

则点A到点B的距离可以表示为：d = | x2 - x1 |绝对值函数保证了距离的非负性，且当x2 > x1时，距离为x2 - x1；当x2 < x1时，距离为-(x2 - x1) = x1 - x2。

2.不等式问题绝对值函数在解决不等式问题时也具有重要作用。

例如，考虑以下不等式：| x - a | < ε其中a为固定实数，ε为任意正数。

解决该不等式可以转化为求满足以下条件的x的区间：-a < x - a < a或 a - ε < x < a + ε通过绝对值函数的性质，可以得到不等式的解集，从而解决问题。

3.优化问题绝对值函数在解决优化问题时也发挥了重要作用。

例如，考虑以下问题：求函数f(x) = | x - a | 的最小值通过求导数和分析函数的凹凸性，可以确定绝对值函数的极值点。

当x = a时，函数取得最小值为0。

一次函数的性质与应用一次函数，又称线性函数，是数学中一种常见的函数形式。

它的一般表达式可以写作 y=ax+b，其中 a 和 b 是已知常数，而 x 和 y 则是自变量和因变量。

本文将探讨一次函数的性质以及它在实际应用中的具体运用。

一、一次函数的性质一次函数具有以下几个重要的性质：1. 函数图像为一条直线：一次函数的图像是一条直线，直线上的点满足函数的定义域和值域。

2. 斜率表示函数的增减关系：一次函数的斜率 a 描述了函数图像的增长速度。

当 a>0 时，函数图像向上斜，表示函数是递增的；当 a<0 时，函数图像向下斜，表示函数是递减的；当a=0 时，函数图像水平，表示函数是常数函数。

3. 截距表示函数图像与坐标轴的交点：一次函数的截距 b 描述了函数图像和 y 轴的交点，即当 x=0 时的函数值。

4. 一次函数的解析式唯一：一次函数的解析式 y=ax+b 由斜率 a 和截距 b 确定，给定 a 和 b 的值，可以唯一确定一条直线。

二、一次函数的应用一次函数在实际应用中有着广泛的运用，下面就列举几个常见的应用场景：1. 直线运动的描述：一次函数可以用来描述直线运动的位置和速度。

以速度为常数的匀速直线运动为例，设 t 表示时间，位置函数可以表示为 y=vt+y0，其中 v 为速度，y0 为初位置。

根据这个函数，我们可以轻松求解运动的位置和速度等相关问题。

2. 成本和收入的关系：一次函数可以用来描述成本和收入之间的关系。

以生产成本为例，设 x 表示生产的数量，成本函数可以表示为y=ax+b，其中 a 表示单位产品的生产成本，b 表示固定成本。

通过分析函数的性质，我们可以判断成本的变化趋势以及最优的生产数量。

3. 经济增长的模型：一次函数可以用来描述经济增长模型中的变量关系。

以 GDP（国内生产总值）为例，设 t 表示年份，GDP 可以表示为 y=ax+b，其中 a 表示年均增长率，b 表示初始 GDP。

数学教案：应用绝对值函数解决实际问题应用绝对值函数解决实际问题一、教学目标1、引入绝对值函数的概念，能正确理解其定义和图像特征。

2、掌握绝对值函数的性质和基本操作，能熟练求绝对值函数的值。

3、学会应用绝对值函数解决实际问题。

二、教学重点和难点1、掌握绝对值函数的性质和基本操作。

2、学会应用绝对值函数解决实际问题。

三、教学内容及方法1、绝对值函数的定义对于任意实数x，定义其绝对值函数为：| x | = x (x≥0)| x | = -x (x<0)2、绝对值函数的图像特征绝对值函数y=|x| 的图像如下：图1 绝对值函数图像由图1可知：（1）当x≥0时，y=x；（2）当x<0时，y=-x。

由此可以发现，在直线x=0处，有个尖点，这是绝对值函数的一个特点。

3、绝对值函数的性质和基本操作（1）非负性：对于任意实数x，有| x |≥0。

（2）对称性：对于任意实数x，有| x |=| -x |。

（3）可加性：对于任意实数x和y，有| x + y |≤| x |+| y |。

（4）可乘性：对于任意实数x和y，有| xy |=| x || y |。

（5）基本操作：① 计算绝对值：对于任意实数x，有| x |=x(x≥0)，| x |=-x(x<0)。

② 解绝对值方程：| x |=a(a>0)的解为x=a或x=-a。

③ 解不等式：△x< a，解为：-a< x < a。

△x> a，解为：x< -a或x> a。

四、教学设计1、教师引入（1）回顾数学运算中的绝对值符号。

（2）通过开头的实际问题，意在唤起学生的兴趣，以培养学生应用绝对值函数解决实际问题的能力。

2、示范操作（1）引导学生分析实际问题，解释应用绝对值函数的必要性。

（2）示范解决实际问题的步骤和方法。

3、学生实践（1）学生根据教师的操作示范，自行完成一些练习题，以巩固所学内容。

（2）学生自己思考实际问题，然后进行应用绝对值函数解决的训练。

《数学思维与能力训练》辅导讲义姓名 辅导时间一次函数的性质与应用【知识要点】1、一次函数的性质一次函数y = kx + b (k ≠0)当k > 0时，函数值y 随自变量x 的值增大而增大当k < 0时，函数值y 随自变量x 的值增大而减小2、k 、b 对直线y = kx + b 的图像位置的影响当k > 0且b > 0时，直线y = kx + b 经过第一、二、三象限当k > 0且b < 0时，直线y = kx + b 经过第一、三、三象限当k < 0且b > 0时，直线y = kx + b 经过第一、二、四象限当k < 0且b < 0时，直线y = kx + b 经过第二、三、四象限3、一次函数的应用一次函数在现实生活中有广泛的应用，许多问题特别较复杂的一些问题都可以利用一次函数来解决。

【夯实基础】一．填空题1．若函数(1)3y m x =++图象经过点（1，2），则图象还经过点( —2， ) ．2．已知函数(23)1y m x m =-++中，y 随x 的减小而减小，则m ．3．一次函数(1)5y k x b =-++的图像过一、二、四象限，则k ________,b________．4．如果直线y ax b =-不经过三象限，那么ab __ __0．5．直线25y x =-+是由直线21y x =--沿y 轴向 平移 个单位而成．6．已知一次函数y kx b =+的图像与31y x =-的交点的横坐标为2，与直线8y x =-+的交点的纵坐标为7，则该一次函数的解析式为 ．7．已知直线y kx b =+经过点A(-2,0),与y 轴交于点B,且AOB S ∆=4(O 为原点),则这条直线的函数表达式为____________ ___ ___.8．某种储蓄的月利率为0.15%，现存入1000元，则本息和y （元）与所存月数x 之间的函数关系式是 ．9．拖拉机开始工作时，邮箱中有油24升，如果每小时耗油4升，那么邮箱中的剩余油量y(升)和工作时间x （时）之间的函数关系式是 ，定义域 ．10．一慢车和一快车沿相同路线从A 地到相距120千米的B 地，所行地路程与时间的函数图像如图所示.试根据图像，回答下列问题:⑴慢车比快车早出发 小时，快车比慢车少用 小时到达B 地；⑵快车用 小时追上慢车；此时相距A 地 千米.1．下列关于x 的函数中，是一次函数的是( )（A ）22y x b =-+ （B ）2y =- （C ）()1y k x k =+- （D ）3y kx =+2． 在一次函数2y x b =-+中（ ）（A ）y 随x 的增大而增大 （B ）y 随x 的增大而减小（C ）当b ＞0时，y 随x 的增大而增大 （D ） 当b ＜0时，y 随x 的增大而减小3．下列图像中，表示一次函数y mx n =+与y mnx =-（0mn ≠）的图像是（ ）4．一支蜡烛长20厘米,点燃后每小时燃烧5厘米,燃烧时剩下的高度n(厘米)与燃烧时间t(时)的函数关系的图象是( )(A) (B) （C ） （D ）1．某市电话的月租费是20元，可打60次免费电话（每次3分钟），超过60次后，超过部分每次0.13元。