七年级奥数：含绝对值符号的一次方程

含绝对值号的一元一次方程题目特点：一元一次方程中的未知数含有绝对值号。

解题关键：去绝对值号，化为一元一次方程求解。

解题方法：分类讨论，分x ≥0和x ＜0两种情况讨论。

讨论时，要注意方程的解是否符合题意。

解题关键：去绝对值号。

所用知识：0||0x x x x x ⎧=⎨-<⎩?。

,,||(),.x a x a x a x a a x x a -⎧-=⎨--=-<⎩… 例1 方程|3x|=15的解的情况是（ ）A 、有一个解，是5B 、无解C 、有无数个解D 、有两个解，是±5解：①当x ≥0时，去绝对值得：3x=15，解得：x=5；②当x ＜0时，去绝对值得：-3x=15，解得：x=-5。

故方程有两根，分别为x=5和x=-5．故选D ．点评：这是绝对值方程，正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． 例2 若关于x 的方程||21x x =+的解为负数，则x 的值为（ ）A 、14-B 、13-C 、12- D 、-1 分析：分x ≥0和x ＜0两种情况讨论去绝对值即可．解：①当x ≥0时，去绝对值得，x=2x+1，解得x=-1，不符合预设的x ≥0，舍去．②当x ＜0时，去绝对值得，-x=2x+1，得13x =-．故选B ．例3 方程2|x-5|=6x 的解为（ ）A 、x=52-或54x =B 、x=52或54x =-C 、54x =D 、52x =- 分析：首先考虑去掉绝对值，这是要考虑x 的取值范围，即x ＞5和x ＜5，又有方程2|x-5|=6x 可知，x ＞0，由上可知方程的解．解：（1）当x ≥5时，2（x-5）=6x ，∴4x=-10，解得x=52-，与x ＞5矛盾，舍去； （2）当x ＜5时，2（5-x ）=6x ，∴8x=10，解得x=54；故选C 。

点评：本题主要考查的是含有绝对值符号的一元一次方程的一般计算题，充分考察了绝对值的几何意义．难易适中．例4 方程|21|45x x -=+的解是（ ）A 、x=-3或23x =-B 、x=3或23x =C 、23x =- D 、3x =- 分析：分210x -…和210x -<两种情况讨论去掉绝对值符号，再根据解一元一次方程的步骤求解即可．解：①当2x-1≥0，即x ≥12时，原式可化为：2145x x -=+，解得，x=-3，舍去； ②当2x-1＜0，即x ＜12时，原式可化为：1245x x -=+，解得，23x =-，符合题意． 故此方程的解为23x =-．故选C ．练习：1．方程|2x-6|=0的解是（）A、3B、-3C、±3D、132．方程|3x|=15的解的情况是（）A、有一个解，是5B、无解C、有无数个解D、有两个解，是±5 3．方程|2007x-2007|=2007的解是（）A、0B、2C、1或2D、2或04．若|x-2|=3，则x的值是（）A、1B、-1C、-1或5D、以上都不对5．使方程3|x+2|+2=0成立的未知数x的值是（）A、-2B、0C、23D、不存在6．已知|3x|-y=0，|x|=1，则y的值等于（）A、3或-3B、1或-1C、-3D、37．关于x的方程mx+1=2（m-x）的解满足|x+2|=0，则m的值为（）A、43B、43-C、34D、34-8．已知关于x的方程mx+2=2（m-x）的解满足|x-12|-1=0，则m的值是（）A、10或25B、10或25-C、-10或25D、-10或25-9．方程|x|=5的解是x= ，|x-2|=0的解是，3|x|=-6的解是，|x+2|=3的解是。

奥数之解绝对值方程解绝对值方程是奥数（奥林匹克数学竞赛）中的重要内容之一。

本文将介绍解绝对值方程的方法和技巧，帮助读者更好地理解和掌握这一内容。

一、什么是绝对值方程？绝对值方程是形如 |ax + b| = c 的方程，其中 a、b、c 是已知数。

在解绝对值方程时，我们的任务是找到数 x 的取值，使得方程左边的绝对值等于右边的数。

二、一元一次绝对值方程我们先来看一元一次绝对值方程，即形如 |ax + b| = c 的方程。

这里a、b、c 是已知数，且 a 不等于 0。

解这种方程的关键在于通过绝对值的定义，将含有绝对值的式子拆分成两个式子求解。

绝对值有两种取值，当变量 x 大于或等于 0 时，|x| = x；当变量 x 小于 0 时，|x| = -x。

因此我们可以将 |ax + b| = c 拆分为以下两种情况：情况一：ax + b = c，此时 x = (c - b) / a。

情况二：ax + b = -c，此时 x = (-c - b) / a。

综上所述，一元一次绝对值方程的解为 x = (c - b) / a 或 x = (-c - b) / a。

三、一元二次绝对值方程接下来我们看一元二次绝对值方程，即形如 |ax² + bx + c| = d 的方程。

这里 a、b、c、d 是已知数，且 a 不等于 0。

解一元二次绝对值方程可以用图像法。

首先我们画出 y = |ax² + bx + c| 和 y = d 两条直线的图像，这两条直线相交的点就是方程的解。

对于 y = |ax² + bx + c|，我们可以分别讨论 x 在哪些范围内使得 |ax²+ bx + c| 取正值或负值，然后画出对应的两条直线。

举个例子，如果 a > 0，那么当 ax² + bx + c 大于 0 时，|ax² + bx + c| = ax² + bx + c；当 ax² +bx + c 小于 0 时，|ax² + bx + c| = -(ax² + bx + c)。

专题09 含绝对值符号的一次方程阅读与思考绝对值符号中含有未知数的一次方程叫含绝对值符号的一次方程，简称绝对值方程．解这类方程的基本思路是：脱去绝对值符号，将原方程转化为一元一次方程求解，其基本类型与解法是：1．形如||(0)ax b c c +=…的最简绝对值方程这类绝对值方程可转化为两个普通一元一次方程：ax b c +=或ax b c +=-． 2．含多重或多个绝对值符号的复杂绝对值方程这类绝对值方程可通过分类讨论转化为最简绝对值方程求解．解绝对值方程时，常常要用到绝对值的几何意义、去绝对值符号法则、常用的绝对值基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法．例题与求解【例1】 方程|5|25x x -+=-的解是__________．（四川省竞赛试题）解题思路：设法脱去绝对值符号，将原方程转化为一般的一无一次方程求解．【例2】 方程|1||3|4x x ++-=的整数解有（ ）． A ．2个B ．3个C ．5个D ．无穷多个（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：借助数轴，从绝对值的几何意义入手能获得简解．【例3】 已知：有理数x 、y 、z 满足0xy <，0yz >．并且||3x =，||2y =，|1|2z +=．求x y z++的值．（北京市“迎春杯”竞赛试题）解题思路：本题关键在于确定x 、y 、z 的符号．三者的符号有联系，可围绕其中一个数分类讨论．【例4】 解下列方程： （1）||31||4x x -+=；（天津市竞赛试题）（2）|3||1|1x x x +--=+；（北京市“迎春杯”竞赛试题）（3）|1||5|4x x -+-=．（“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：解多重绝对值方程的基本方法是：根据绝对值定义，从内向外化简原方程；零点分段讨论法是解多个绝对值方程的有效手段．【例5】 已知|2||1|9|5||1|x x y y ++-=---+，求x y +的最大值与最小值．（江苏省竞赛试题）解题思路：已知等式可化为：|2||1||1||5|9x x y y ++-+++-=，再根据绝对值的几何意义来探求x 、y 的取值范围，进而可得x y +的最大值与最小值．【例6】 当10m -<…时，试判定关于x 的方程|1|x mx -=的解的情况．（上海市竞赛试题）解题思路：由于10m -<…，且|1|0x -…，就有0x …，进而计算．能力训练A 级1．方程|56|65x x +=-的解是_______________．（重庆市竞赛试题）2．方程13|2||2|035y y +--=的解是_______________，方程||3(||1)15x x -=+的解是_______________．3．已知|39901995|1995x +=，那么x =__________．（北京市“迎春杯”竞赛试题）4．巳知||2x x =+，那么9919327x x ++的值为__________．（“希望杯”邀请赛试题）5．若方程23|10021002|1002x -=的解分别是1x 、2x ，则12x x +=__________．（“希望杯”邀请赛试题）6．满足2()()||a b b a a b ab -+--=（0ab ≠）的有理数a 和b ，一定不满足的关系是（ ）． A ．0ab <B ．0ab >C ．0a b +>D ．0a b +<7．有理数a 、b 满足||||a b a b +<-，则（ ）．A ．0a b +…B ．0a b +<C ．0ab <D ．0ab …8．若关于x 的方程|23|0x m -+=无解，|34|0x n -+=只有一个解，|45|0x k -+=有两个解，则m ，n ，k 的大小关系是（ ）．A ．m n k >>B ．n k m >>C ．k m n >>D ．m k n >>（“希望杯”邀请赛试题）9．方程|5|50x x -+-=的解的个数为（ ）． A ．不确定B ．无数个C ．2个D ．3个（“祖冲之杯”邀请赛试题）10．若关于x 的方程||2|1|x a --=有三个整数解，则a 的值是（ ）． A ．0B ．2C ．1D ．3（全国初中数学联赛试题）11．解下列方程： （1）142|1|32x -+=； （2）1|1|32x x -=-； （3）||21||3x x -+=； （五城市联赛试题）（4）|21||2||1|x x x -+--+．（全国通讯赛试题）12．求关于x 的方程||2|1|0x a ---=（01a <<）的所有解的和．（陕西省竞赛试题）B 级1．关于x 的方程|||1|a x a x =+-的解是0x =，则a 的值是__________；关于x 的方程|||1|a x a x =+-的解是1x =，则有理数a 的取值范围是__________．2．若010x <<，则满足条件|3|x a -=的整数a 的值共有__________个，它们的和是__________．（“希望杯”邀请赛试题）3．若0a >，0b <，则使||||x a x b a b -+-=-成立的x 的取值范围是__________．（武汉市选拔赛试题）4．已知||0a a +=且1a ≠-，那么||1|1|a a -=+__________．5．若有理数x 满足方程|1|1||x x -=+，那么化简|1|x -的结果是（ ）． A ．1B ．xC ．1x -D ．1x -6．适合关系式|34||32|6x x -++=的整数x 的值有（ ）． A ．0B ．1C ．2D ．大于2的自然数7．如果关于x 的方程|1||1|x x a ++-=有实根．那么实数a 的取值范围是（ ）． A ．0a …B ．0a >C ．1a …D ．2a …（武汉市竞赛试题）8．巳知方程||1x ax =+有一个负根，而没有正根，那么a 的取值范围是（ ）． A ．1a =B ．1a >-C ．1a …D ．1a <（全国初中数学联赛试题）9．设a 、b 为有理数，且方程||||3x a b --=有三个不相等的解，求b 的值．（“华罗庚金杯”邀请赛试题）10．当a 满足什么条件时，关于x 的方程|2||5|x x a ---=有一解？有无数多解？无解？（江苏省竞赛试题）11． 用符号“㊉”定义一种新运算：对于有理数a 、b （0a ≠，1a ≠），有220032004||a b a b a a+⊕=-，已知20042x ⊕=，求x 的值． （北京市“迎春杯”竞赛试题）。

含绝对值的一元一次方程解法引言一元一次方程是数学中常见的方程类型。

然而，当方程中含有绝对值时，解题变得更加复杂。

本文将介绍含绝对值的一元一次方程的解法，并提供简单的策略来解决这类问题。

解法步骤解含绝对值的一元一次方程可以按照以下步骤进行：1. 确定绝对值的取值范围：首先，我们需要确定绝对值的取值范围。

绝对值是一个非负数，所以无论绝对值内的表达式是正数还是负数，我们都可以用正数来解方程。

确定绝对值的取值范围：首先，我们需要确定绝对值的取值范围。

绝对值是一个非负数，所以无论绝对值内的表达式是正数还是负数，我们都可以用正数来解方程。

2. 列出两个方程：根据绝对值的定义，我们可以将含绝对值的方程分成两个方程，分别对应绝对值内的表达式为正数和负数的情况。

对于每个方程，我们将绝对值去掉，得到一个等式。

列出两个方程：根据绝对值的定义，我们可以将含绝对值的方程分成两个方程，分别对应绝对值内的表达式为正数和负数的情况。

对于每个方程，我们将绝对值去掉，得到一个等式。

3. 解每个方程：解两个等式，分别得到两个解。

这些解将是含绝对值的方程的解。

解每个方程：解两个等式，分别得到两个解。

这些解将是含绝对值的方程的解。

4. 检查解的有效性：将得到的解代入原方程，检查是否满足原方程的条件。

只有满足条件的解才是方程的真正解。

检查解的有效性：将得到的解代入原方程，检查是否满足原方程的条件。

只有满足条件的解才是方程的真正解。

简单示例让我们通过一个简单的示例来演示含绝对值的一元一次方程的解法。

题目：解方程 $|2x - 3| = 5$。

解方程 $|2x - 3| = 5$。

解法：1. 绝对值的取值范围为非负数，所以我们可以将方程改写为两个等式：- $2x - 3 = 5$，对应于绝对值内的表达式为正数的情况。

- $2x - 3 = -5$，对应于绝对值内的表达式为负数的情况。

2. 解第一个等式：$2x - 3 = 5$。

解得 $x = 4$。

含绝对值的一元一次方程的解法1．含绝对值的一次方程的解法（1）形如(0)ax b c a +=≠型的绝对值方程的解法：①当0c <时，根据绝对值的非负性，可知此时方程无解；②当0c =时，原方程变为0ax b +=，即0ax b +=，解得b x a=-； ③当0c >时，原方程变为ax b c +=或ax b c +=-，解得c b x a -=或c b x a--=． 解方程：⑴235x += ⑵21302x --= ⑶200520052006x x -+-= ⑷1121123x x +--+-=（2）形如(0)ax b cx d ac +=+≠型的绝对值方程的解法：①根据绝对值的非负性可知0cx d +≥，求出x 的取值范围；②根据绝对值的定义将原方程化为两个方程ax b cx d +=+和()ax b cx d +=-+； ③分别解方程ax b cx d +=+和()ax b cx d +=-+；④将求得的解代入0cx d +≥检验，舍去不合条件的解．解方程⑴4329x x +=+ ⑵525x x -+=-（3）形如(0)ax b cx d ac +=+≠型的绝对值方程的解法：①根据绝对值的定义将原方程化为两个方程ax b cx d +=+或()ax b cx d +=-+； ②分别解方程ax b cx d +=+和()ax b cx d +=-+． 解方程⑴23a a =- ⑵2131x x -=+（4）形如()x a x b c a b -+-=<型的绝对值方程的解法：①根据绝对值的几何意义可知x a x b a b -+-≥-；②当c a b <-时，此时方程无解；当c a b =-时，此时方程的解为a x b ≤≤；当c a b >-时，分两种情况： ①当x a <时，原方程的解为2a b c x +-=； ②当x b >时，原方程的解为2a b c x ++=． 解方程⑴134x x -+-= ⑵154x x -+-= ⑶216x x -++=（5）形如(0)ax b cx d ex f ac +±+=+≠型的绝对值方程的解法：①找绝对值零点：令0ax b +=，得1x x =，令0cx d +=得2x x =；②零点分段讨论：不妨设12x x <，将数轴分为三个区段，即①1x x <；②12x x x ≤<；③2x x ≥；③分段求解方程：在每一个区段内去掉绝对值符号，求解方程并检验，舍去不在区段内的解．解方程⑴2123x x +--= ⑵2134x x --+= ⑶23143x x x +--=-（6）形如(0)ax b cx d ex f a +++=+≠型的绝对值方程的解法：解法一：由内而外去绝对值符号：按照零点分段讨论的方式，由内而外逐层去掉绝对值符号，解方程并检验，舍去不符合条件的解．解法二：由外而内去绝对值符号：①根据绝对值的非负性可知0ex f +≥，求出x 的取值范围；②根据绝对值的定义将原方程化为两个绝对值方程()ax b ex f cx d +=+-+和()()ax b ex f cx d +=-+-+；③解②中的两个绝对值方程．【题01】解方程93352x x x ++-=+ 35162x x ---= 3548x -+=【题02】解方程：2112x --= 2121x x -+=+ 314x x -+= 11110x ----=【题03】当01x ≤≤时，求方程1110x ---=的解。

3.含绝对值的一次方程绝对值符号内含有未知数的方程，称之为含有绝对值的方程，在解含有绝对值的方程时，关键是利用绝对值的定义，去掉绝对值符号，从而转化为不含绝对值的方程．如果a a x (,||=是常数）当0>a 时，;a x ±= 当0=a 时，;0=x 当0<a 时，此方程无解，例1 解方程.5|32|=+x 解 由题意可知532=+x 或,532-=+x则 1=x 或.4-=x例2 解方程.43|43|-=-x x分析 观察到绝对值内的式子和绝对值外面的式子是相同的，那么谁的绝对值会等于本身呢？ 解 由题意可知,043≥-x ,43≥x⋅≥34x 例3 解方程.3|4||1|=-+-x x分析 本题可以根据去绝对值符号的方法进行“分段讨论”，但是仔细观察方程自身的特点，利用绝对值的几何意义，能很快地解出这个方程，解 因为|1|-x 表示x 与1之间的距离（在数轴上），︱x-4︱表示x 与4之间的距离，而|4||1|-+-x x 一定大于等于1和4之间的距离，当x 落在1和4之间（包含1、4）时，取等号．因此，我们有,3|4||1|≥-+-x x 当且仅当41≤≤x 时取等号， 所以原方程的解为.41≤≤x例4 若,100<<x 则满足条件a x =-|3|的整数a 的值有 个，它们的和等于 ．（第10届初一希望杯）解 当30<<x 时，则有a a x x ,3|3|=-=-的解为1、2；当103<≤x 时，则a a x x .3|3|=-=-的解为0、1、2、3、4、5、6．则a 的值有9个，它们的和等于24.例5 使得关于x 的方程1||+=ax x 同时有一个正根和一个负根的整数a 的值是 ．（第12届初一希望杯）解 若x 为方程的正根，则,1+=ax x 即,1)1(=-x a 因为,01>,0>x 所以,01>-a 即;1<a若x 为方程的负根，则,1+=-ax x 即,1)1(-=+x a 因为,01<-,0<x 故,01>+a 即.1->a要使原方程同时有正根和负根，则,11<<-a 这样的整数a 只有.0=a 例6 若关于x 的方程x m x .|1|=-有解，则实数m 的取值范围是分析与解 分类讨论，去掉绝对值的符号．当1≥x 时，得,11,1)1(,1mx x m mx x -==-=-可得;10<≤m 当1<x 时，得;1)1(,1=+=-x m mx x 当1-<m 时，显然成立，当1->m 时，要求,111<+m 所以 .0>m综上所述，1-≤m 或.0≥m 例7 若方程01997||1997=--x x a只有负根，则实数a 的取值范围是 ．（1997年上海市初中数学竞赛）解 当0>x 时，原方程为.01997)11997(=--x a当1997=a 时，方程无解；当1997=/a 时，则,199719972-=a x 所以.1997<a当0<x 时，原方程为,01997)11997(=---x a 则,199719972+-=a x 所以.1997->a所以 .19971997≤<-a例8 解方程.1|2||4|+=--+x x x分析 要去掉绝对值符号，必须明确绝对值符号内的代数式4+x 和2-x 的符号，由04=+x和,02=-x 得4-=x 和,2=x 这样x 的取值范围从小到大排列依次为,2,24,4>≤<--≤x x x 由此可判定4+x 和2-x 的符号，这样的方法也称为“零点分段法”，解 令,04=+x 解得;4-=x 令,02=-x 解得.2=x 当4-≤x 时，原方程可化为,1)2()4(+=-++-x x x解得 ,7⋅-=x当24≤<-x 时，原方程可化为,1)2(4+=-++x x x解得 ,1⋅-=x时，原方程可化为,1)2(4+=--+x x x解得 .5=x综上所述，517、、--=x 是原方程的解.例9 解方程.3||12||=+-x x分析 方程中有两层绝对值符号，可以逐层去掉绝对值符号． 解 由,3||12||=+-x x可得 3|12|=+-x x 或.3|12|-=+-x x当3|12|=+-x x 时，,3|12|-=+x x则可得 312-=+x x 或者,312x x -=+ 解得 4-=x （不符合题意，舍去）或者;32=x 当3|12|-=+-x x 时，,3|12|+=+x x则可得 312+=+x x 或者,312--=+x x解得 2=x 或者34-=x （不符合题意，舍去）． 所以，原方程的解为2=x 或⋅=32x习 题 3一、选择题1. 若,||a x =则||a x -等于( )．a x A 22.或 a x B -⋅. x a C -. 0.D2. 若,200020|20002000|⨯=+x 则x=( )．（2000年重庆市初中数学竞赛）2120.-或A 2120.或-B 2119.或-C 2119.-或D3. 已知关于x 的方程)(22x m mx -=+的解满足,01|21|=--x 则m 的值为( )．5210.或A 5210.-或B 5210.或-C 5210.--或D二、填空题4. 当2||+=x x 时，则=++273194x x5. 解方程,12||21|21|2=+--x x 则x=6. 如果规定,2*b a =那么方程4||*3=x 的解是 ．（第14届迎春杯） 7. 已知关于x 的方程a x x =-++|6||3|有解，那么a 的取值范围是 8. 方程56|65|-=+x x 的解是 ．（1999年重庆市初二数学竞赛）参考答案。

专题09 含绝对值符号的一次方程例1 x ＝－10 提示：x －5＝±（－5－2x ），解得x ＝－10或x ＝0（舍去）．例2 C 提示：用数轴表示，方程中未知数x 表示到－1与3的距离之和等于4的整数值，分别是－1，0，1，2，3．例3 由12z +=得12z +=±，∴ 11z =，23z =-．又x ，y 异号，y ，z 同号，故当y ＝2，x ＝－3时，z ＝1，即x ＋y ＋z ＝0；当y ＝－2，x ＝3时，z ＝－3，即x ＋y ＋z ＝－2．综上可知x ＋y ＋z 的值为0或－2．例4 （1）54x =-或32x = （2）提示：当x ＜－3时，原方程化为()()311x x x -++-=+，解得x ＝－5；当－3≤x ＜1时，原方程化为()311x x x ++-=+，解得x ＝－1；当x ≥1时，原方程化为()311x x x +--=+，解得x ＝3；故原方程的解是x ＝－5，－1，3．例5 提示：由绝对值的几何意义知，当－2≤x ≤1且－1≤y ≤5时， 有21159x x y y ++-++++=，故当x = －2, y =－1时,x +y 有最小值为－ 3; 当X =1时,y =5时,x +y 有最大值为6.例6 分2种情况考虑:11x x mx ≥⎧⎨-=⎩① 011x x mx ≤<⎧⎨-=⎩② 当且仅当m ≠1时,其解为11x m =-，这是m 满足的条件为 111m ≥-，即0≤m <1,不符合-1≤m <0的条件,故应舍去.同理,有②得m >0时,方程有唯一的解.但不符合-1≤m <0.故方程无解.A 级1． x =11 提示:原方程可化为5x +6=6x -5或5x +6=5-6x .分两种情况讨论.2．3925y =或35- 107x =±3． 0或-14． 55． 2004 提示:x ₁=1002+1002² x ₂=1002-1002²6． A 提示:a <b7． C8．A9．B10．C 提示:用筛选法11． ⑴ ｘ=-1 或ｘ=-3⑵ ｘ=4 ⑶43x =- 或ｘ=2 ⑷提示:X <-1;-112x -<<， 122x ≤<, X ≥2 四种情况分别去掉绝对值符号解方程,当考虑到 122x ≤< 时,原方程化为 (21)(2)1x x x ---== , 即1=1,这是一个恒等式,说明凡是满足122x ≤<的x 值都是方程的解. 9 提示21x a -=± (0<a <1),2(1)x a -=±+, x =2±(1±a ),得x ₁=3+a ， x ₂=3-a , x ₃=1+a , x ₄=1-a ,故x ₁+ x ₂+ x ₃+ x ₄=8B 级1. -1 a ≥0 提示:由11a a +=+ 得a ×1≥0,即 a ≥02. 7 213. b ≤x ≤a 提示用绝对值得几何意义解4. 1 或-1 提示: 当a ＜-1时,原式=1,当-1<a ≤0时,原式=-15. D6. C 提示由绝对值的几何意义知-2≤3X ≤47. D 提示用绝对值得几何意义求解8. C 提示:当a ＞1时,方程有一负根;当a ＜1时,方程有一正根.9. 提示:若b +3,b -3都是非负的,而且如果其中有一个为零,则得3个解;如果都不是零,则得4个解,故b =310. 提示:由绝对值的几何意义知:当-3＜a ＜3时,方程有一解;当a =±3时,方程有无穷多个解;当a >3或a ＜-3时,方程无解.11. 根据题意:2003200420042004(2003)200320042200420042004200420032003x x x x ⨯+⨯++====⨯-⨯⊕ 解得x=±2003。

含绝对值的一次方程1．含绝对值的一次方程的解法（1）形如(0)ax b c a +=≠型的绝对值方程的解法：①当0c <时，根据绝对值的非负性，可知此时方程无解；②当0c =时，原方程变为0ax b +=，即0ax b +=，解得b x a =-；③当0c >时，原方程变为ax b c +=或ax b c +=-，解得c b x a -=或c b x a --=．（2）形如(0)ax b cx d ac +=+≠型的绝对值方程的解法：①根据绝对值的非负性可知0cx d +≥，求出x 的取值范围；②根据绝对值的定义将原方程化为两个方程ax b cx d +=+和()ax b cx d +=-+；③分别解方程ax b cx d +=+和()ax b cx d +=-+；④将求得的解代入0cx d +≥检验，舍去不合条件的解．（3）形如(0)ax b cx d ac +=+≠型的绝对值方程的解法：①根据绝对值的定义将原方程化为两个方程ax b cx d +=+或()ax b cx d +=-+；②分别解方程ax b cx d +=+和()ax b cx d +=-+．（4）形如()x a x b c a b -+-=<型的绝对值方程的解法：①根据绝对值的几何意义可知x a x b a b -+-≥-； ②当c a b <-时，此时方程无解；当c a b =-时，此时方程的解为a x b ≤≤；当c a b >-时，分两种情况：①当x a <时，原方程的解为2a b c x +-=；②当x b >时，原方程的解为2a b c x ++=．（5）形如(0)ax b cx d ex f ac +±+=+≠型的绝对值方程的解法：①找绝对值零点：令0ax b +=，得1x x =，令0cx d +=得2x x =；②零点分段讨论：不妨设12x x <，将数轴分为三个区段，即①1x x <；②12x x x ≤<；③2x x ≥；③分段求解方程：在每一个区段内去掉绝对值符号，求解方程并检验，舍去不在区段内的解．（6）形如(0)ax b cx d ex f a +++=+≠型的绝对值方程的解法：解法一：由内而外去绝对值符号：按照零点分段讨论的方式，由内而外逐层去掉绝对值符号，解方程并检验，舍去不符合条件的解．解法二：由外而内去绝对值符号：①根据绝对值的非负性可知0ex f +≥，求出x 的取值范围；②根据绝对值的定义将原方程化为两个绝对值方程()ax b ex f cx d +=+-+和 ()()ax b ex f cx d +=-+-+；③解②中的两个绝对值方程．直接求解1、方程│5x+6│=6x-5的解是_______.(2000年重庆市竞赛题)思路点拨设法去掉绝对值符号,将原方程化为一般的一元一次方程来求解. 解:x=11提示:原方程5x+6=±(6x-5)或从5x+6≥0、5x+6<0讨论.2、解方程:│x-│3x+1││=4; (天津市竞赛题)思路点拨从内向外,根据绝对值定义性质简化方程.解:x=-54或x=32提示:原方程化为x-│3x+1=4或x-│3x+1│=-43、解下列方程:(1)│x+3│-│x-1│=x+1; (北京市“迎春杯”竞赛题)(2)│x-1│+│x-5│=4. (“祖冲之杯”邀请赛试题)思路点拨解含多个绝对值符号的方程最常用也是最一般的方法是将数轴分段进行讨论,采用前面介绍的“零点分段法”分类讨论;有些特殊的绝对值方程可利用绝对值的几何意义迅速求解.解:(1)提示:当x<-3时,原方程化为x+3+(x-1)=x+1,得x=-5;当-3≤x<1时,原方程化为x+3+x-1=x+1,得x=-1;当x≥1时,原方程化为x+3-(x-1)=x+1,得x=3.综上知原方程的解为x=-5,-1,3.(2)提示:方程的几何意义是,数轴上表示数x的点到表示数1及5的距离和等于4,画出数轴易得满足条件的数为1≤x≤5,此即为原方程的解.4、方程3(│x│-1)= ||5x+1的解是_______;方程│3x-1│=│2x+1│的解是____.4、±107、2或05、已知│3990x+1995│=1995,那么x=______.5、0或-16、已知│x │=x+2,那么19x 99+3x+27的值为________.6、.57、若│2000x+2000│=20×2000,则x 等于( ).A.20或-21B.-20或21C.-19或21D.19或-21 (2001年重庆市竞赛题)7、D8、解下列方程:(1)││3x-5│+4│=8; (2)│4x-3│-2=3x+4;(3)│x-│2x+1││=3; (4)│2x-1│+│x-2│=│x+1│.8、(1)x=3或x=13; (2)x=9或x=-37; (3)x=-43或x=2; (4)提示:分x<-1、-1≤x<12 、 •12≤x ≤2、x ≥2四种情况分别去掉绝对值符号解方程,当考虑到12≤x ≤2时,•原方程化为(2x-1)-(x-2)=x+1,即1=1,这是一个恒等式,说明凡是满足12≤x ≤2的x 值都是方程的解. 9、方程5665-=+x x 的解是 ．(重庆市竞赛题)思路点拨 没法去掉绝对值符号，将原方程化为一般的一元一次方程来求解．讨论解的个数情况1、适合│2a+7│+│2a-1│=8的整数a 的值的个数有( ).A.5B.4C.3D.2 (第11届“希望杯”邀请赛试题)思路点拨 用分类讨论法解过程繁琐,仔细观察数据特征,借助数轴也许能找到简捷的解题途径.解:选B提示:由已知即在数轴上表示2a 的点到-7与+1的距离和等于8,•所以2a 表示-7到1之间的偶数.注：形如d cx b ax +=+的绝对值方程可变形为)(d cx b ax +±=+且0≥+d cx ， 才是原方程的根，否则必须舍去，故解绝对值时应检验．2、方程│x-5│+x-5=0的解的个数为( ).A.不确定B.无数个C.2个D.3个 (“祖冲之杯”邀请赛试题)2、B讨论解是否存在的情况1、已知关于x的方程│x-2│+│x-3│=a,研究a存在的条件,对这个方程的解进行讨论.思路点拨方程解的情况取决于a的情况,a与方程中常数2、3有依存关系,这种关系决定了方程解的情况,因此,探求这种关系是解本例的关键,•运用分类讨论法或借助数轴是探求这种关系的重要方法与工具,读者可从两个思路去解.解:提示:数轴上表示数x的点到数轴上表示数2,3的点的距离和的最小值为1,由此可得方程解的情况是:(1)当a>1时,原方程解为x=52a;(2)当a=1时,原方程解为2≤x≤3;(3)当a<1时,原方程无解.2、使方程3│x+2│+2=0成立的未知数x的值是( ).A.-2B.0C. 23D.不存在2、D3、已知关于x的方程mx+2=2(m-x)的解满足│x-12|-1=0,则m的值是( ).A.10或25B.10或-25C.-10或25D.-10或-25(2000年山东省竞赛题)3、A4、讨论方程││x+3│-2│=k的解的情况.4、当k<0时,原方程无解;当k=0时,原方程有两解:x=-1或x=-5;当0<k<2时,原方程化为│x+3│=2±k,此时原方程有四解:x=-3±(2±k);当k=2时,原方程化为│x+•3│=2±2,此时原方程有三解:x=1或x=-7或x=-3;当k>2时,原方程有两解:x+3=±2(•2+k).5、当a 满足什么条件时,关于x 的方程│x-2│-│x-5│=a 有一解?有无数多个解?无解?5、提示:由绝对值几何意义知:当-3<a<3时,方程有一解;当a=±3时,•方程有无穷多个解;当a>3或a<-3时,方程无解.6、已知关于x 的方程a x x =-+-32，研究a 存在的条件，对这个方程的解进行讨论． 思路点拨 方程解的情况取决于a 的情况，a 与方程中常数2、3有依存关系，这种关系决定了方程解的情况，因此，探求这种关系是解本例的关键．运用分类讨它法或借助数轴是探求这种关系的重要方法与工具，读者可从两个思路去解．注 本例给出了条件，但没有明确的结论，这是一种探索性数学问题，它给我们留有自由思考的余地和充分展示思维的广阔空间，我们应从问题的要求出发，进行分析、收集和挖掘题目提供的各种信息，进行全面研究．创新拓展题1、已知│x+2│+│1-x│=9-│y-5│-│1+y│,求x+y的最大值与最小值.(第15届江苏省竞赛题)1、提示:已知等式可化为:│x+2│+│x-1│+│y+1│+│y-5│=9,•由绝对值的几何意义知,当-2≤x≤1且-1≤y≤5时,上式成立,故当x=-2,y=-1时,x+y有最小值为-3;当x=1,y=5时,x+y的最大值为6.2、(1)数轴上两点表示的有理数是a、b,求这两点之间的距离;(2)是否存在有理数x,使│x+1│+│x-3│=x?(3)是否存在整数x,使│x-4│+│x-3│+│x+3│+│x+4│=14?如果存在,•求出所有的整数x;如果不存在,说明理由.2、(1)│a-b│;(2)不存在;(3)x=±3,±2,±1,0.。

专题09 含绝对值符号的一次方程例1 x ＝－10 提示：x －5＝±（－5－2x ），解得x ＝－10或x ＝0（舍去）．例2 C 提示：用数轴表示，方程中未知数x 表示到－1与3的距离之和等于4的整数值，分别是－1，0，1，2，3．例3 由12z +=得12z +=±，∴ 11z =，23z =-．又x ，y 异号，y ，z 同号，故当y ＝2，x ＝－3时，z ＝1，即x ＋y ＋z ＝0；当y ＝－2，x ＝3时，z ＝－3，即x ＋y ＋z ＝－2．综上可知x ＋y ＋z 的值为0或－2．例4 （1）54x =-或32x = （2）提示：当x ＜－3时，原方程化为()()311x x x -++-=+，解得x ＝－5；当－3≤x ＜1时，原方程化为()311x x x ++-=+，解得x ＝－1；当x≥1时，原方程化为()311x x x +--=+，解得x ＝3；故原方程的解是x ＝－5，－1，3．例5 提示：由绝对值的几何意义知，当－2≤x≤1且－1≤y≤5时， 有21159x x y y ++-++++=，故当x = －2, y =－1时,x +y 有最小值为－ 3; 当X =1时,y =5时,x +y 有最大值为6.例6 分2种情况考虑:11x x mx ≥⎧⎨-=⎩① 011x x mx≤<⎧⎨-=⎩② 当且仅当m ≠1时,其解为11x m =-，这是m 满足的条件为 111m≥-，即0≤m <1,不符合-1≤m <0的条件,故应舍去.同理,有②得m >0时,方程有唯一的解.但不符合-1≤m <0.故方程无解.A 级1． x =11 提示:原方程可化为5x +6=6x -5或5x +6=5-6x .分两种情况讨论.2．3925y =或35- 107x =±3． 0或-14． 55． 2004 提示:x ₁=1002+1002² x ₂=1002-1002²6． A 提示:a <b7． C8．A9．B10．C 提示:用筛选法11． ⑴ ｘ=-1 或ｘ=-3⑵ ｘ=4 ⑶43x =-或ｘ=2 ⑷提示:X <-1;-112x -<<， 122x ≤<, X ≥2 四种情况分别去掉绝对值符号解方程,当考虑到122x ≤< 时,原方程化为 (21)(2)1x x x ---== , 即1=1,这是一个恒等式,说明凡是满足122x ≤<的x 值都是方程的解. 9 提示21x a -=± (0<a <1),2(1)x a -=±+, x =2±(1±a ),得x ₁=3+a ， x ₂=3-a ,x ₃=1+a , x ₄=1-a ,故x ₁+ x ₂+ x ₃+ x ₄=8B 级1. -1 a ≥0 提示:由11a a +=+ 得a ×1≥0,即 a ≥02. 7 213. b ≤x ≤a 提示用绝对值得几何意义解4. 1 或-1 提示: 当a ＜-1时,原式=1,当-1<a ≤0时,原式=-15. D6. C 提示由绝对值的几何意义知-2≤3X ≤47. D 提示用绝对值得几何意义求解8. C 提示:当a ＞1时,方程有一负根;当a ＜1时,方程有一正根.9. 提示:若b +3,b -3都是非负的,而且如果其中有一个为零,则得3个解;如果都不是零,则得4个解,故b =310. 提示:由绝对值的几何意义知:当-3＜a ＜3时,方程有一解;当a =±3时,方程有无穷多个解;当a >3或a ＜-3时,方程无解.11. 根据题意:2003200420042004(2003)200320042200420042004200420032003x x x x ⨯+⨯++====⨯-⨯⊕ 解得x =±2003。

含有绝对值符号的方程解含绝对值的方程的关键,是根据绝对值的定义或性质去掉绝对值符号,把它化为一般的方程,从而解决问题.本文就近几年竞赛中可能出现的类型题加以研究解决,供参考.一,形如lax+bl=c的方程对此类方程可分三种情况讨论:(1)c&lt;0,方程无解;(2)c=0,根据绝对值的定义,ax+b=0;f3)c&gt;0,根据绝对值的定义,ax+b=+c.例1解方程12x+31=5.解:由绝对值的定义12x+31=51~1]2x+3=+5由2x+3=5解得x=l,由2x+3=一5解得=一4所以原方程的解为x=l或=一4..二,形如III盯一bl—cI—的方程此类型含有多层绝对值,求解时可以不断地利用例1的方法,从最外层开始,逐层去掉绝对值符号,最后化为一般的一次方程求解.例2解方程Illxl一21—11=3.解:根据绝对值的定义,由IIlxl一21—11=3得Ikl一21—1=±3,l~llllxl一21=4或一21=一2(无解),由IIxl一21=4,得Ixl一2=±4,l~1]lxl=6或Ixl=一2(无解),由Ixl=6~x=+6,所以原方程的解为x=6或=一6.三,形如lax+bl=cx+d的方程此类方程可将它变为:似+6=±(c+d)且cx+d~0.方程似+6=±(c+d)的根,只有同时满足cx+d~O,才是原方程的根,否则,就是增根,应当舍去.例3解方程14x+31=2x+9.解:由原方程得4x+3=+(2x+9),且2x+9I&gt;0解+3=+9,得x=3.解4+3=一(2x+91,导=一2.由于x=3时,2x+9=15&gt;0;=一2时,2x+9=5&gt;0,所以原方程的解为x=3或一2.四,形如k~x+bl+lcx+dl=e的方程解此类方程有两种方法:(1)零点分段法;(2)绝对值几何意义法.例4解方程Ix一21+12x+11=8.11解:可用"零点法",即令一2=0,2x+l=O分别得到x=2,一÷,用2,一÷将数轴分成三段:戈&lt;一1,一÷≤&lt;2,I&gt;2,就可去掉绝对值符号再求解. 111(1)当&lt;一÷时,原方程为一一2)一(+1)=8,解得一/,在&lt;一÷之内,当海浪拍打在岸边的礁石上,它们都在唱一支动人心弦的歌.杨金字绝对值符口所以是原方程的解.(2)当一÷≤&lt;2时,原方程为一一2)+(+1)=8,解=5,它不在一÷≤&lt;2之内,因此舍去.(3)当I&gt;2时,原方程为一2)+(+1)=8,解-~x=3,在所给的范围内,所以x=3是原方程解.综上得,原方程解为=3或=一÷.例5求适合13x一41+13+21=6的整数的值.解:式子13x一41+13x+21=6的几何意义是:数轴上表示数3x的点到表示数4及一2的点的距离之和等于6,显然一2≤3≤4,所以一÷≤≤4,因此适合条件的整数有两个,即戈:0,:1.通过例5可以看出:利用绝对值的几何意义解此类型题更形象,直观,简捷.五,形如lax+bl—Icx+dl=ex+fllCJ方程解此类型方程只能用零点分段法.例6解方程12x+31一Ix一11=4x一3.解:易知零点分别为=一要和x=l,所以把的取值范围分为:≤一3,一3≤1和&gt;1.(1)当≤一妄时,原方程化为一(+3)一(一一1)]=缸一3,解得x1,不在≤一丢内,舍去.(2)当一要≤1时,原方程化为(+3)一-(x一1)]=舐一3,解得=5,它不在一≤1之内,舍去.(3)当x&gt;l时,原方程化为(+3)～一1)=4x一3,解得=了7,~Ex&gt;l之内,所以=÷是原方程的解.综上得,原方程的解为=_=-/.≥六,求参数型此类型一般利用绝对值意义,约去参量,从而求出参量或参量范围.例7若关于的方程I一21—11=a有三个整数解,求a的值.解:当a&lt;Ol~,-J",原方程无解;当口≥0时,由绝对值的定义知Ix一21—1=±口,所以Ix～21=l+a.(1)若a&gt;l,解Ix一21=1一a&lt;O,无解.所以ix一21=l+a,只能有两解x=3+a~x=l-a; (2)若0≤口≤1,则由Ix一21=1+a,得x=l—a或x=3+a,由Ix一21=1～a,导=1+(威=3一ck原方程的解为x=3+a,3-a,1+a,1-a,为使方程有三个整数解,口必为整数,所以a只能取0 或1.当a=0时,原方程的解为x=3和x=l,两个解与题设不符,所以口≠0;当a=l时,原方程的解为x=4,0,2---"个解.综上得a=1.【练习】解方程1.I4x一51=82.IJ一21+11+31=123.I5一31—3x=24.I2x+51+14x一31+12x一21=85.+1I+一2l+一3I+I2y—4I+I),+1I=76.Ix+31—13x一21=5x+87.已知方程Ixl=ax+l有一负根,且无正根,求a的取值范围.【练习答案】=÷2.=一6或x=lO;3丢或x=18;4÷或X-----1;5.=2,y=2;6.:～13:37.a≥1.我携文学同行,走向壮丽人生.陈旭。