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交通第五章梁弯曲时的位移解析

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梁弯曲时的位移

梁弯曲时的位移
弯矩方程为
M x ql x 1 qx2 q lx x2 (1)
22
2
挠曲线近似微分方程为
EIw M x q lx x2 (2) 2
通过两次积分得：
EIw
q 2
lx2 2
x3 3
C1
(3)
EIw
q 2
lx3 6
x4 12
C1
x
C2
(4)
26
例题 5-2
2. 确定积分常数。 该梁的边界条件为： 在 x=0 处 w=0， 在 x=l 处 w=0
将C1和C2代入(3)、(4)两式，得
转角方程
q w Fxl Fx2 (5)
EI 2EI
挠曲线方程
w Fx2l Fx3
(6)
2EI 6EI
19
例题 5-1
转角方程
挠曲线方程
q w Fxl Fx2 (5)
EI 2EI
w Fx2l Fx3
(6)
2EI 6EI
根据该梁边界条件和全梁横截面上弯矩均为负值，描出挠
挠曲线近似微分方程为
(b)
EIw M x F l x (2)
通过两次积分得
EIw
F
lx
x2 2
C1
(3)
EIw
F
lx2 2
x3 6
C1 x
C2
(4)
18
例题 5-1
2. 确定积分常数，并求转角方程和挠曲线方程
该梁的边界条件为：在 x =0 处 w'=0 ，w =0
由(3)、(4)两式得
C1 0，C2 0
把边界条件分别代入(4)式，得
C2 0
及
EIw
|xl

材料力学第五章梁弯曲时的位移

材料力学第五章梁弯曲时的位移

实例3 ：均布载荷
分析受均布载荷作用下梁的位移。
材料力学第五章梁弯曲时 的位移
在材料力学的第五章中，我们将学习有关梁在弯曲时的位移。掌握梁的基本 知识、位移方程和位移计算方法，以及梁的挠度与转角关系。
梁的基本知识
1 定义
梁是一种长条形结构，承受着沿其长度方向的外部力。
2 类型
常见的梁包括简支梁、悬臂梁和受力梁。
3 材料
梁可以由不同类型的材料制成，例如钢、木材或混凝土。
梁的位移方程
1 弯曲位移
2 挠度
3 转角
梁在弯曲时，沿梁的长度方 向发生位移。
挠度是梁的中点相对于其自 由状态的偏移量。
转角是指梁在弯曲时端部角 度的变化。
简支梁的位移计算方法
1
载荷和反力
计算简支梁上的载荷和反力分布。
2
弯矩方程
使用弯矩方程推导出简支梁的位移方程。
3
边界条件
应用适当的边界条件来解决位移方程中的未知量。
悬臂梁的位移计算方法
加载和支座反力
确定悬臂梁上的加载和支座反力。
弯曲力矩方程
通过推导弯曲力矩方程来解决悬臂 梁的位移问题。
解决边界条件
应用边界条件来计算悬臂梁的位移。
受力梁的位移计算方法
1
截面转动方程
2
推导出受力梁的截面转动方程。
3
确定力的分布
分析受力梁上的力分布，包括集中力和均布 力。
边界条件和位移方程
应用边界条件，求解受力梁的位移方程。ຫໍສະໝຸດ 梁的挠度与转角关系挠度
挠度是梁在弯曲时沿其长度方向上的位移。
转角
转角是梁在弯曲时端部偏离初始位置的角度。
关系公式
挠度和转角之间存在一定的关系，可以通过公式计算。

第五章 梁弯曲时的位移

第五章 梁弯曲时的位移
利用边界条件确定上面二式中的积分常数C 利用边界条件确定上面二式中的积分常数 1,C2,即可得 梁的挠度方程和转角方程
李田军材料力学课件 10 第五章 梁弯曲时的位移
积分法求解梁位移的思路: 积分法求解梁位移的思路: 建立合适的坐标系; ① 建立合适的坐标系; 求弯矩方程M(x) ; ② 求弯矩方程 ③ 建立近似微分方程: EIw′′ = M ( x ) 建立近似微分方程: 根据本书的规定坐标系,取负号进行分析. 根据本书的规定坐标系,取负号进行分析. ④ 积分求
李田军材料力学课件 9 第五章 梁弯曲时的位移
积分法求梁的变形 对于等刚度梁, 对于等刚度梁,梁挠曲线的二阶微分方程可写为
Ely'' = M(x)
对此方程连续积分两次,可得 对此方程连续积分两次,
Ely' (x) = ∫ M(x)dx + c1 Ely(x) = ∫ M(x)dxdx + c1x + c2
最大转角,显然在支座处
Pab θA =θ (0) = (L + b) 6EIz Pab θB =θ (L) = (L + a) 6EI 6EIz
P a L y
C
b B x
a >b a <b
θmax =θB θmax =θA
A
从A→B, θ + → 中间必经过0
李田军材料力学课件
19
第五章
梁弯曲时的位移
第五章 梁弯曲时的位移
梁的位移——挠度及转角 §5.1 梁的位移 挠度及转角 §5.2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 §5.3 按叠加原理计算梁的挠度和转角 *§5.4 梁挠曲线的初参数方程 § §5.5 梁的刚度校核.提高梁的刚度的措施 §5.6 梁内的弯曲应变能

材料力学上册第五章梁弯曲时的位移

材料力学上册第五章梁弯曲时的位移
6EIl
Mechanics of Materials
wmax 在AC段
wmax
=
Fb( l 2 − b2 )3 2 9 3EIl
Mechanics of Materials
例题：已知梁的刚度EI，用奇异函数法求梁的位移
θA、θD、wB、wD。
qa
q
A
B
C Dx
FA a
y
aa
FC
解：建立图示坐标系
1、求约束反力
( ) M(x) = − EI
w′′ 1+ w′2
32
Mechanics of Materials
若挠曲线是较平坦的光滑连续曲线， w′ << 1，
可忽略不计。
则
M (x) = −w′′
EI
即
EIw′′ = − M (x)
——挠曲线近似微分方程
适用条件： 线弹性小变形； 对称弯曲的细长梁。
2、积分法确定梁的位移
一、挠曲线近似微分方程
材力 数学
1 = M(x)
ρ EI
( ) 1 = w′′
ρ 1 + w′2 3 2
x y M > 0 w′′ < 0
( ) M(x) = ± EI
w′′ 1+ w′2
32
x
( ) M(x) = − EI
w′′ 1+ w′2
32
y M < 0 w′′ > 0
☻挠曲线微分方程的正负号与选取的坐标系有关
2
Mechanics of Materials
弯矩的通用方程
∑ ∑ ∑ ∑ ( ) M x =
i
Mi < x −ai >0 +

材料力学第五章梁弯曲时的位移课件

材料力学第五章梁弯曲时的位移课件
qw q0 (l39lx 28x3)
4E 8I
w(0)0 q (0) q0l3
48EI
固定铰支座 活动铰支座
w(l)0 q(l) 0
固定端 活动铰支座
材料力学第五章梁弯曲时的位移
22
M (x)Ew Iq0(3lx 4x2) 抛物线 8
FS(x)ddM xq 80(3l8x)
直线
q(x)dFS dx
材料力学第五章梁弯曲时的位移
12
x
FA
x
FA
Fb l
FB
FB
Fa l
AD段（ 0≤ x ≤ a ）：
M1(x)
Fbx l
DB段（ a ≤ x ≤ l ）：
M2(x)F l b xF(xa)
材料力学第五章梁弯曲时的位移
13
x a AD段（ 0≤ ≤ ）：
M1(x)
Fbx l
EIw1
Fbx l
Ew I1 EqI1F l bx22C1
q0
M(0)0
FS(0)
3 8
q0l
M(l) 81q0l2
FS(l) 85q0l
材料力学第五章梁弯曲时的位移
23
q0
1 8
q0l
材料力学第五章梁弯曲时的位移
7
挠曲线上某些点的已知位移（挠度和 转角）条件 —— 边界条件
wA ＝ 0 wB ＝ 0
wA ＝ 0 qA ＝ 0
边界条件 —— 支座处的约束条件
材料力学第五章梁弯曲时的位移
8
挠曲线的任意点上，有唯一确定的挠 度和转角 —— 连续条件
错！
错！
当弯矩方程需要分段建立时，在相邻梁 段的交接处，应具有相同的挠度和转角。

第五章梁弯曲时的位移

第五章梁弯曲时的位移
挠曲线方程为 w w(x)
式中 ，x 为梁变形前轴线上任一点的横坐标 ，w 为该点的挠度。
A
挠曲线
y
CB
x
w挠度
C'
转角
5
三、挠度与转角的关系：
A
挠曲线
y
CB
x
w挠度
C'
转角
tg w' w'(x)
6
四、挠度和转角符号的规定 挠度：向下为正，向上为负。 转角：自 x 转至 切线方向，顺时针转为正，逆时针转为负。
b
l
FB
两段梁的弯矩方程分别为
b M1 FA x F l x
(0 x a)
b M2 F l x F(x a) (a x l)
36
两段梁的挠曲线方程分别为
挠曲线方程
1 ( 0 x a)
EIw1"
M1
F
b l
x
转角方程 挠度方程
EIw1'
F
b l
x2 2
C1
EIw1
F
b l
x3 6
l
EIw Fl
46
l
F x
b(x)
b1
bmax h
EIw Fl
EIw Flx C
EIw Fl x2 Cx D 2
47
l
F x
b(x)
b1
bmax h
EIw Flx C
EIw Fl x2 Cx D 2
边界条件： x l , w 0
xl , w0
48
l
F x
b(x)
b1
w2 与 1 相比十分微小而可以忽略不计, 故上式可近似为

第五章梁弯曲时的位移

第五章梁弯曲时的位移

P
B C
x
2
l 2
由边界条件： x 0时， w 0
l 由对称条件： x 时，w 0 2
得： D 0
Pl 2 得： C 16
AC段梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
P 2 2 (l 4 x ) 16 EI Px w (3l 2 4 x 2 ) 48 EI
x
A
y
挠度w —— 横截面形心处的铅垂位移。
(deflection)
转角 —— 横截面绕中性轴转过的角度。
(slope of cross section)
F

l 2
w
x 挠曲线
l 2
y
§5-2 挠曲线近似微分方程 及其积分
1.挠曲线方程(deflection equation)

w
挠曲线 y x
挠曲线方程：
qa 2 (a l ) ( ) 6 EI
进一步讨论
wC wC 1 wC 2 qa (3a 4l ) ( ) 24 EI
3
q
A C B
l
a
q
C C1 C 2
qa 2 (a l ) ( ) 6 EI
A B
变形叠加法： 静定梁或刚架的任一横 截面的总位移，等于各 梁段单独变形 (其余梁 段刚化)在该截面引起 的位移的和。
，求自由端挠度 w B
a
F B
q0 ( )d
l

d
B
x
查表: 分析方法： 将任意分布载荷看作无 穷微集中力的叠加。 注意：
2 Fa F 3l a wB 6 EI
(1) a 取为变量 挠度向下为正
dF 2 dw B 3l 6 EI q0 2 cos 3l d 6 EI 2l

第五章 梁弯曲时的位移

第五章 梁弯曲时的位移
F
A
解： 1、梁任一截面的弯 矩为：
l
B v B
M x F l x
2
2、弯曲应变能为：
2 l F l x M 2 x F 2l 3 V dx dx l 2 EI 0 2 EI 6 EI
3、计算B点的挠度
1 F 2l 3 W V FvB 2 6 EI
vmax v l l q max q
1 1 v l 250 ~ 1000
通常情况下，强度条件满足，刚度条件一般也满足。 但是，当位移限制很严，或按强度条件所选截面过于单薄 时，刚度条件也起控制作用。
例 一简支梁受载如图示，已知许用应力[σ]＝160 MPa， 许用挠度[δ]=l /500，弹性模量E=200GPa，试选择工字钢型号。
一、挠曲线近似微分方程
1.力学关系： 1 M ( x) ( x) EI 2.几何关系：
1 v ( x) 1 v2


32
v' '
dv 1 小变形，挠曲线很平坦。 dx
x
与1相比可略去
x
M
y
M
M 0，v 0
y
M
M 0，v 0
M
3.挠曲线近似微分方程：
Fl3 vB 3EI
F x
A

解：建立坐标系如图
1) x处弯矩方程为：
M ( x) F (l x)
2) 列挠曲线方程并积分两 次：
EIv" M ( x) F (l x) Fx2 EIv' Flx C1 2 FLx2 Fx3 EIv C1 x C2 2 6

材料力学：梁弯曲时的位移

材料力学：梁弯曲时的位移
Flx 2 Fx3 EIw C1 x C2 2 6
C1=0 C2=0
(3)
(4)
梁的转角方程和挠曲线方程分别为
Flx Fx 2 w' EI 2 EI
Flx 2 Fx3 w 2 EI 6 EI
24
F
A B x
w
max
l
θ max
y
max 及 wmax都发生在自由端截面处
M ( x) EI
12
(1 w' )
2
3
2
M
M
在规定的坐标系中，x 轴水平向右 为正，y 轴竖直向下为正。 曲线向下凸 时 ： w’’< 0 , M > 0 曲线向上凸 时 : w’’ > 0 , M < 0
y
M>0
w" 0
o
M
x
M
M<0
因此, M 与 w’’ 的正负号相反 y
w" 0
挠曲线方程为
w w( x)
式中 ，x 为梁变形前轴线上任一点的横坐标 ，w 为该点的挠度。
A
C
B
x
w挠度
挠曲线
y
C'
转角

5
三、挠度与转角的关系：
A
C
B
x
w挠度
挠曲线
y
C'
转角

tg w' w' ( x)
6
四、挠度和转角符号的规定
挠度：向下为正，向上为负。
转角：自 x 转至 切线方向，顺时针转为正，逆时针转为负。
A
C
B
x
w 挠度

材料力学第五章 梁弯曲时的位移 PPT

材料力学第五章 梁弯曲时的位移 PPT

M(x) E Iz
高等数学：
1
r (x)
=±（1＋ww2）3/2
± w w （1＋ 2）3/2
=
M(x) E Iz
M ＜ 0，w ＞ 0
M ＞ 0，w ＜ 0
取负号!
－ w w （1＋ 2）3/2
=
M(x) E Iz
w w （1＋ 2）3/2
=－
M(x) E Iz
挠曲线微分方程
小 变 形
w
=－
DB段（a≤x≤l）： M2(x)F l b xF(xa) Ew I2 Fl b xF(xa)
q E w 2 IE2I F l b x 2 2 F (x 2 a )2 C 2
E2 I w F l b x 6 3F(x 6 a )3 C 2xD 2
确定积分常数 连续条件
x = a 时：
w1 w2 w1 w2
边界条件
x = 0 时： w1 0 x = l 时： w2 0
D1D20 C1C2F 6lb(l2b2)
AD段（ 0≤ x ≤ a ）：
w 1 q1F(6 b lE 2b I2)l2F Eb Ix2l
w1F(6 b lE 2b I2l)x6F EbIx3 l
DB段（ a ≤ x ≤ l ）：
q w 2 2 F ( 6 lE 2 b b 2 I ) l2 F Ex b 2 I l 2 F E (x I a )2
对于受任意荷载的简支梁，若挠曲线上无拐点， 则可用梁中点的挠度代替最大挠度。
例3：悬臂梁如图，已知F、a，M＝0.5 Fa，
梁的弯曲刚度 EI 为常数，试画出挠曲线的大致形 状。
FM
A
B
C
D
a
a

材料力学第五章梁弯曲时的位移分析

材料力学第五章梁弯曲时的位移分析

a)2
C2 x2 D2
C2
B B x
FBy
目录
5.2 积分法求梁的挠度和转角
4）由边界条件确定积分常数
位移边界条件
x1 0, w1(0) 0 x2 l, w2 (l) 0
光滑连续条件
x1 x2 a, 1(a) 2 (a)
x1 x2 a, w1(a) y2 (a) 代入求解，得
x1 ,0
x1
a
y
CB 段：
M x2
FAy
x2
F ( x2
a)
Fb l
x2
F ( x2
a),
a x2 l
目录
5.2 积分法求梁的挠度和转角
3）列挠曲线近似微分方程并积分
F
AC 段： 0 x1 a
EI
d 2w1 dx12
M (x1)
Fb l
x1
EI
dw1 dx1
EI (x1)
Fb 2l
x2 1
EI dw EI 1 F (l x)2 C
dx
2
EIw 1 F (l x)3 Cx D 6
代入求解
C 1 Fl2, D 1 Fl3
2
6
5）确定转角方程和挠度方程
EI 1 F (l x)2 1 Fl2
2
2
Ax
y
yB
l
F Bx
B
EIw 1 F (l x)3 1 Fl2x 1 Fl3
目录
5.2 积分法求梁的挠度和转角
例2 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，
梁的EI已知，l=a+b，a>b。
F
解 1）由梁整体平衡分析得：

第五章 弯曲位移讲解

第五章 弯曲位移讲解

q8E244a8I1ZqE4aIZ3
2EqIaZ4L


1 500
B
I
ZB
41 250qa
2 24C E
3
qa34 050cm4
8EIZ
查Iz表B33：40选0Cc2am24,a号6qE工aWI3Z字z a钢309c6qmEa3I4Z
2,提高刚度的途径
FL22L1 EI z1
例题 5.10 多跨静定梁如图示，试求力作用点E处的挠度ωE.
A
D
3L B L E LC L
A
1F 2
B
1F 2
C
E

1 2
B
C E1
D
3L
L
B

F
2 3L3
3EI z

9FL3 2EI z
C

F 2L3
3EI z
FL3 6 EI z
B处 的 总 转 角 为: B BP1 BP2
13.54 105 2.53 105 11.01105 rad
（2）校核刚度 主轴的许用挠度和许用转角为：
y 0.0001l 0.0001 40 40104cm 0.001 103rad
F
B
C
BM
FL2 L12 2 EI z1
BM
FL2 L1 EI z1
F
C2 BF BM
A
M FL2
B
C3 BF BM L2
C
C3
C1 C2 C3
FL22 3EI z 2
FL13 3EI z1

FL2 FL12L12L2FL12L2 2EIz1EI z1 2EI z1

第5章-梁弯位移1

第5章-梁弯位移1

背板的厚度t起着四次方的作用，手机本身的厚度b的幂次也是3
结构:又长又薄总要出事故
q (转角)
A
B x C1 y w(挠度)
挠度：横截面的形心（即轴线上的点）在y方 向的线位移w。在图示坐标系中，w向下为正。
转角：横截面对其原来位置的角位移q。 也等 于平面曲线AC1B在C1点的切线和x轴的夹角。在图 示坐标系中， 顺时针转向的q为正。
边界条件:
A
B wB＝0 B
简支梁 悬臂梁
wA＝0 A
连续性条件: 在挠曲线的任一点上 , 有唯一的 挠度和转角。如:
wA＝0
A
qA＝0
c
B
wC wC q C q C

不可能

A
B
不可能
例：弯曲刚度为EI的悬臂梁如图，求梁的挠曲线方 程及其最大挠度wmax。 解： x截面处弯矩方程为： q
b) x 2l 处， 则： 2lC2 D2 0 （2）连续条件： x l
w2 0
处， w1 w2
则： C1l D1 C2l D2 故：
最后可得：
1 3 C2 ql 8 1 4 D2 ql 4
wB w1 x l
C1l D1 ql3 （向下） EI 8EI
2
而此时梁中点C截面处的挠度为：
wC
2 2 Fb Fbl Fbl （3l 2 - 4b 2） 0. 0625 48EI 16EI EI
两者相差也不超过中点挠度的3%。
因此，在简支梁中，只要挠曲线无拐点，即可有 中点挠度来代替最大挠度。 当载荷作用在梁的中点，即a=b=l/2时，其最大转 角和挠度为：
q max
Fl 16EI
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max
B
Pl 2 2EI
Pl 3 wmax wB 3EI
P
θBB x
例4: 已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在集 中力P作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定θmax 和 wmax。
A
y l 2
P
C l 2
B
x
解：AC段：M(x) P x
2
EIw P x 2
x
A
EIw P x2 C 4
w=0
w=0
w=0
=0
自由端：无位移约束条件。
➢位移连续条件和光滑条件
F
M
挠曲线在B、C点连续且光滑 A
B
C
D
连续：wB左= wB右
光滑：B左 = B右
F
弯曲变形的对称点上 C=0
A
C
B
例1：写出梁的挠曲线方程的约束条件和连续条件
F
A
B
C
D
E
思考： 该梁可分几段积分？各段边界点有多少 位移约束与连续条件？ 分4段
F
w
x
挠曲线
挠曲线方程
y
EIw x M (x) dx C
w f (x)
转角方程
tan w f (x)
EIw x M (x) dxdx Cx D
式中积分常数C、D由边界条件确定
位移约束条件 位移连续条件
EIwx M xdx Cx D
• 位移约束条件与连续条件
➢位移约束条件
P
C l
2
2
最大转角和最大挠度分别为：
max
A
B
Pl 2 16 EI
wm a x
w
x l 2
Pl3 48EI
B
x
练习: 已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁的 转角方程、挠曲线方程，并确定θmax和wmax。
q
A
C
D
E
B
x
y
a
a
a
a
解：由对称性，只考虑半跨梁ACD
M1(x1) qax1
M2 (x2
22
2
l
EIw ql x2 q x3 C y
B
x
ql
2
46
EIw ql x3 q x4 Cx D 12 24
由边界条件：x 0, w 0 x l, w 0
D0 C ql3
24
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
w' q (l3－6lx2＋4x3)
24EI
A
w qx (l3 2lx2 x3)
y l
2
EIw P x3 Cx D 12
P
C l 2
B
x
由边界条件：x 0时，w 0 由对称条件：x l 时，w 0
2
得： D 0
得：
Pl 2 C
16
AC段梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
P (l 2 4x2 )
x
16EI
A
w Px (3l 2 4x2 ) y
48EI
l
第五章 梁弯曲时的位移
主要内容 1、积分法求梁的变形 2、叠加法求梁的变形 3、梁的刚度设计 4、梁内的弯曲应变能
§5-1 梁的位移
工程实践中的弯曲变形问题 要求变形不能过大
摇臂钻床的摇臂，就会影响零件的加工精度， 甚至会出现废品。
桥式起重机的横梁变形过大,则会使 小车行走困难，出现爬坡现象。
但有时却要求构件具有较大的弹性变形，以满 足特定的工作需要。
)
qax2
q 2
(x2
a)2
EIw1 qax1
(0 x1 a) (a x2 2a)
q EIw2
qax2
q 2
( x2
a)2
A
y
qa
x1
C
D
EBxqa Nhomakorabeax2
a
a
a
a
EIw1 qax1
EIw1
qa 2
x12
C1
EIw1
qa 6
x13
C1x1
D1
EIw2
qax2
q 2
( x2
a)2
EIw2
qa 2
x
l
EIw Px Pl
A
EIw
P 2
x2
Pl x
C
y
EIw P x3 Pl x2 Cx D 62
由边界条件：x 0时，w 0,w 0
得： C D 0
P
Bx
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
Px (2l x)
2EI
x
l
A
w Px2 (3l x)
6EI
y
最大转角和最大挠度分别为：
32
w( x ) 1 [w(x)]2
32
--二阶非线性常微分方程
Q 挠曲线微分方程
w( x)
Mx
1 [w( x)]2 3 2 EI
Q方程简化
•小变形时：w2 1
w( x) = M( x) EI
•正负号确定: 当y轴正方向向下时：
挠曲线向上凸时(即开口向下时)
M<0 w 0
挠曲线向下凸时(即开口向上时)
例如，车辆上的板弹簧，要求有足够大的变 形，以缓解车辆受到的冲击和振动作用。
P
• 梁变形的描述：
挠曲线——变形后的轴线(弹性曲线) 。
挠度w —— 横截面形心处的铅垂位移。
转角 —— 横截面绕中性轴转过的角度。
F
Ow
l2 l2
x
挠曲线
y
§5-2 挠曲线近似微分方程及其积分
1.挠曲线方程
F
O w
位移约束条件：A：2个；C: 1个；D: 无 位移连续条件：B：1个；C: 2个；E: 2个；
例2: 已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁 在均布载荷q作用下的转角方程、挠曲线方程， 并确定θmax和wmax。
ql
x
y
解：M(x) ql x q x2
q
22 A
EIw ql x q x2 ql x
x22
q 6
(x2
a)3
C2
EIw2
qa 6
x23
q 24
(x2
a)4
C2 x2
D2
q
A
y
qa
x1
C
D
E
B
x
qa
x2
a
a
a
a
由连续条件：x1 x2
a时,w1
w2 ,w1 w2
得CD11
C2 D2
由约束条件：x1 0时,w1 0 得D1 0
由对称条件：
x2
2a时,w2
0
得C2
11 qa3 6
x
挠曲线
y
挠曲线方程：w f ( x)
转角方程： tan w f ( x)
w以向下为正，向上为负
θ以顺时针为正，逆时针为负
Q 中性层曲率表示的弯曲变形公式
1
M EI
（纯弯曲）
1 M ( x) （推广到横力弯曲） ( x) EI
Q 由高等数学知识
1
(x)
y '' 1 y '2
q
x θA
θB
B
x
24EI
l
y
最大挠度和最大转角分别为：
wm a x
w x l 2
5ql 4 384 EI
max
A
B
ql3 24 EI
练习：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示悬臂梁在集 中力P作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定θmax 和wmax。
l A
P
Bx
y
解：M(x) P(l x)
M>0 w 0
方程恒取负号
EIw(x) = M(x) ——挠曲线的近似微分方程
w( x) = M( x) EI
x
M0 M w 0 M
y
x
M0 M w 0 M
Q应用条件：
y
max p 小变形的等直梁
y轴正方向向下时，挠度 w 向下为正，弯矩以向下凸为正
2. 积分法求弯曲变形 O
EIw x M(x)