经济数学期末考试试卷(A卷)
经济数学期末考试试卷（A 卷）
一、
填空题（ 满分15分，每小题 3 分） 1.
设
2
1
()11ln f x x x
=
-+的定义域
为 .
2. 当0x →时，若2
ln(1)ax -与sin x x 是等价无穷小量，
则常数a = ． 3. 设0
()f x A '=，则0
()(2)
lim h f x f x
h h →--=
.
4. 设()f x 在(,)-∞+∞上的一个原函数为sin 2x ，则()f x '= .
5. 设()f x 为连续函数，且
1
()2()f x x f t dt
=+⎰，则
()f x =
．
二、选择题：（ 满分15分，每小题 3 分）
6．设
()sin 010
x
x x
f x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩
，则在0=x 处，)(x f （ ）
（A ）．连续 （B ）．左、右极限存在但不相等
（C ）．极限存在但不连续 （D ）．左、右极限不存在
7. 设
2()sin x x
f x x
π-=
，则函数()f x （ ）
14．设2cos 3sin x t y t
=⎧⎨
=⎩，求
22
d y dx
四、计算题（10分）
15．设sin ,
(),
x x f x ax b x ≤⎧=⎨
+>⎩
． （1）确定常数,a b 的值，使()f x 在0x =处可导； （2）求()f x '；
（3）问()f x '在0x =处是否连续．
五、计算题（满分10分） 16．求不定积分：11x
dx
e -+⎰ 17．求广义积分：21
ln x
dx x
+∞⎰
六、应用题（ 满分20分）
18．过原点作曲线ln y x =的切线，求该切线与曲线ln y x =及x 轴所围成的平面图形的面积，并求该图形绕x 轴旋转一周所成立体的体积。
19．设生产某产品的固定成本为10万元，产量为x 吨时的边际收入函数为()1032R x x '=+，边际成本为2
()40203C x x x '=--+。求
（1）总利润函数； （2）产量为多少时，总利润最大？
七、（ 满分10分，每小题 5 分）证明题:
20．设
()
f x 在[,]a b 上连续且单调递增，证明1
(),()(),
x a
f t dt a x b F x x a f a x a ⎧<≤⎪
=-⎨⎪=⎩⎰在区间[,]a b 上也单调递增.
21．设()f x 在[0,]2π上可导，()02f π=，证明存在(0,)2
πξ∈，使得
()tan ()0f f ξξξ'+⋅=
答案及评分标准
一、
1.1
1(0,)(,)
e
e --⋃+∞； 2.1-； 3. 2A ； 4.
4sin 2x -； 5. 1x -．
二、6．（B ）； 7.（D ）； 8．（A ）； 9. （B ）； 10．（B ）． 三
、
11
．
【
解
】
111ln 1lim()lim 1ln (1)ln x x x x x x x x
x x →→+-+=--........................（2
分）
112
1
ln 111
lim
lim 1112ln x x x x
x x x x x
→→+-===-
--+--............（5分） 12．【
解
】因为
222lim()lim(1)x a ax
x a x a
x x x a a x a x a
-⋅-→∞→∞+=+--2lim 2x ax
a x a e e →∞-==............（3分） 故
28
a e =，
因
此
3ln 2
2
a =......................................
......（5分） 13
．
【
解
】
因
sin ln sin ln ()(sin ln )
x x x x dy d e e d x x ==..........................
.....（2分）
sin ln sin (cos ln )x x x
e x x dx x
=+
.....................（4分）
所
以
sin ln sin |(cos ln )ln x dy e dx dx
ππππ
ππππ
==+
=-...................
.....（5分） 14
．
【
解
】
()3cos 3
cot ()2sin 2
dy y t t t dx x t t '===-'-............................
........（2分）
2
232
3
(cot )3csc 32()csc ()22sin 4
t d y d dy t t dx dx dx x t t '
--===-⋅=-'-.....
.......（5分） 【另解】函数的隐函数方程为
22
149
x y +=，两边对x 求导，
得94dy x
dx y
=-............（2分） 22223
9()99814()444x dy y x y x
d y d dy y dx dx dx dx y y y ---==-⋅=-⋅=-.......
.....（5分）
四、15．【解】（1）由()f x 在0x =处可导，知()f x 在0x =处连续且(0)f '存在，因此
(0)lim ()x f f x →=，(0)(0)f f +
-
''=
