新湘教版九年级数学上册导学案：2.5 一元二次方程的应用(2)

湘教版数学九年级上册2.5《一元二次方程的应用》说课稿2一. 教材分析湘教版数学九年级上册2.5《一元二次方程的应用》是本册教材的重要内容之一。

这部分内容是在学生已经掌握了二元一次方程组和一元二次方程的基础上进行学习的。

教材通过引入实际问题，让学生学会运用一元二次方程解决实际问题，培养学生的数学应用能力。

本节课的主要内容是一元二次方程的应用，包括一元二次方程在几何图形中的应用和一元二次方程在实际生活中的应用两个方面。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对一元二次方程的概念、解法等有了初步的了解。

但是，学生在解决实际问题时，往往不知道如何将实际问题转化为数学问题，也不知道如何运用一元二次方程来解决问题。

因此，在教学过程中，教师需要引导学生将实际问题转化为数学问题，并运用一元二次方程来解决。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握一元二次方程在几何图形和实际生活中的应用，能运用一元二次方程解决简单的问题。

2.过程与方法目标：通过解决实际问题，培养学生将实际问题转化为数学问题，并运用一元二次方程解决的能力。

3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

四. 说教学重难点1.教学重点：一元二次方程在几何图形和实际生活中的应用。

2.教学难点：如何将实际问题转化为数学问题，并运用一元二次方程解决。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、合作学习法等。

2.教学手段：多媒体课件、黑板、粉笔等。

六. 说教学过程1.导入新课：通过一个几何图形问题，引入一元二次方程的应用。

2.知识讲解：讲解一元二次方程在几何图形和实际生活中的应用，让学生理解一元二次方程的实际意义。

3.案例分析：分析几个实际问题，引导学生将实际问题转化为数学问题，并运用一元二次方程解决。

4.课堂练习：让学生独立解决几个实际问题，巩固所学知识。

5.总结提升：对本节课的内容进行总结，引导学生体会数学在实际生活中的应用。

2.5 一元二次方程的应用（2）-湘教版九年级数学上册
教案
一、教学目标
1.知道一元二次方程应用题的解法步骤，掌握解决一元二次方程应用问题的方法；
2.能够运用平均值不等式解决实际问题，认识到平均值不等式的重要性；
3.培养学生将所学的知识应用到实际问题中的能力。

二、教学内容
1.一元二次方程的应用（2）；
2.平均值不等式的应用。

三、教学重难点
1.教学重点：一元二次方程应用问题的解法步骤；
2.教学难点：平均值不等式的应用。

四、教学过程
1. 暖场导入
通过介绍一个实际的问题，如：小明从家到学校骑车需要 20 分钟，回家只需
要 15 分钟，平均每小时骑车速度相同，问他两次骑车的平均速度是多少？让学生
思考解决问题的方法。

2. 新课讲解
1.回顾一元二次方程的定义和解法步骤；
2.引入一元二次方程应用问题的解法步骤：设未知数、列方程、解方程、作答；
3.通过例题讲解掌握解决一元二次方程应用问题的方法；
4.引入平均值不等式，讲解平均值不等式的定义和推导公式，提醒学生统计数据之间的关系，以及平均值不等式的使用条件。

3. 练习环节
1.学生自主完成课堂练习；
2.学生课后完成习题。

4. 归纳总结
通过例题回顾，提炼出解决一元二次方程应用问题的方法和平均值不等式的应用。

五、教学反思
本节课通过实际问题，引导学生学习一元二次方程应用问题的解题步骤，以及平均值不等式的应用。

运用一元二次方程应用问题和平均值不等式的例题，巩固学生的掌握能力。

教学反思：在练习环节中，增加学生讨论解题思路和方法的时间，以便更好地锻炼学生的思考和表达能力。

湘教版数学九年级上册2.5《一元二次方程的应用》教学设计3一. 教材分析湘教版数学九年级上册2.5《一元二次方程的应用》是本册教材的重要内容之一。

本节内容是在学生学习了二次方程的解法的基础上进行的，通过本节内容的学习，使学生能运用一元二次方程解决实际问题，培养学生的数学应用能力。

教材通过引入实际问题，引导学生用一元二次方程去解决这些问题，从而巩固和提高学生对二次方程的理解和应用能力。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了二次方程的基本解法，对二次方程有一定的理解。

但是，对于如何将实际问题转化为数学问题，如何建立一元二次方程，以及如何运用一元二次方程解决实际问题，学生的理解和应用能力还有待提高。

因此，在教学过程中，教师需要引导学生将实际问题转化为数学问题，指导学生建立一元二次方程，并通过实际问题提高学生的数学应用能力。

三. 教学目标1.理解一元二次方程在实际问题中的应用。

2.能够将实际问题转化为数学问题，建立一元二次方程。

3.提高学生的数学应用能力。

四. 教学重难点1.教学重点：一元二次方程在实际问题中的应用。

2.教学难点：如何将实际问题转化为数学问题，建立一元二次方程。

五. 教学方法采用问题驱动法，通过引入实际问题，引导学生用一元二次方程去解决这些问题。

在解决问题的过程中，教师引导学生思考，指导学生建立一元二次方程，并通过实际问题提高学生的数学应用能力。

六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于引导学生应用一元二次方程。

2.准备教学PPT，用于展示和引导学生思考。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过引入一个实际问题，引发学生的思考，激发学生的学习兴趣。

例如：某商店进行促销活动，购买一件商品需要支付一定的费用，如果购买的商品超过一定的数量，每件商品的优惠价格不同。

请学生帮助商店计算在不同的购买数量下，需要支付的总费用。

2.呈现（10分钟）教师呈现相关的实际问题，让学生独立思考，尝试建立一元二次方程。

2．5 一元二次方程的应用第1课时一元二次方程的应用(1)教学目标【知识与技能】使学生会用列一元二次方程的方法解应用题．【过程与方法】让学生在经历运用一元二次方程解决一些代数问题的过程中体会一元二次方程的应用价值．【情感态度】在应用一元二次方程的过程中，提高学生的分析问题、解决问题的能力．【教学重点】建立一元二次方程模型解决一些代数问题．【教学难点】把一些代数问题化归为解一元二次方程的问题．教学过程一、情景导入，初步认知列方程解应用问题的步骤是什么？①审题，②设未知数，③列方程，④解方程，⑤答．【教学说明】七年级学过一元一次方程的应用，实际上是据实际题意，设未知数，列出一元一次方程求解，从而得到问题的解决．但有的实际问题，列出的方程不是一元一次方程，是一元二次方程，这就是我们本节课所研究的问题，一元二次方程的应用．二、思考探究，获取新知1．某省农作物秸秆资源巨大，但合理使用量十分有限，因此该省准备引进适用的新技术来提高秸秆的合理使用率，若今年的使用率为40%，计划后年的使用率达到90%，求这两年秸秆使用率的年平均增长率(假设该省每年产生的秸秆总量不变)分析：由于今年到后年间隔两年，所以问题中涉及的等量关系是：今年的使用率3(1＋年平均增长率)2＝后年的使用率解：设这两年秸秆使用率的年平均增长率为x，则根据等量关系，可列出方程：40%(1＋x)2＝90%解得：x1＝50%，x2＝－2.5根据题意可知：x＝50%答：这两年秸秆使用率的平均年增长率为50%.2．为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．求平均每次降价的百分率．分析：问题中涉及的等量关系是：原价3(1－平均每次降价的百分率)2＝现在的售价解：设平均每次降价的百分率为x，则根据等量关系，可列出方程：100(1－x)2＝81解得：x1＝10%，x2＝1.9根据题意可知：x＝10%答：平均每次降价的百分率为10%.3．“议一议”运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？【归纳结论】运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤：分析实际问题→建立一元二次方程模型→解一元二次方程→一元二次方程的根的检验→实际问题的解．【教学说明】使学生感受、明白利用一元二次方程解决实际问题的过程与方法．三、运用新知，深化理解1．见教材P50例2.2．一件商品的原价是121元，经过两次降价后的价格为100元．如果每次降价的百分率都是x，根据题意列方程得________．【答案】121(1－x)2＝1003．某小区2013年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2015年屋顶绿化面积要达到2880平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是多少？分析：本题需先设出这个增长率是x，再根据已知条件找出等量关系列出方程，求出x 的值，即可得出答案．解：设这个增长率是x，根据题意得：20003(1＋x)2＝2880解得：x1＝20%，x2＝－220%(舍去)故答案为：20%.4．某电脑公司2012年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为600万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2014年经营总收入要达到2160万元，且计划从2012年到2014年，每年经营总收入的年增长率相同，问2013年预计经营总收入为多少万元？解：设每年经营总收入的年增长率为 a.列方程，600÷40%3(1＋a)2＝2160解方程，a1＝0.2，a2＝－2.2，(不符合题意，舍去)∴每年经营总收入的年增长率为0.2，则2013年预计经营总收入为：600÷40%3(1＋0.2)＝600÷40%31.2＝1800答：2013年预计经营总收入为1800万元．5．将进货单价为40元的商品按50元售出时，能卖出500个，已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，若这种商品涨价x元，则可赚得y元的利润．(1)写出x与y之间的关系式；(2)为了赚得8000元利润，售价应定为多少元，这时应进货多少个？解∶(1)商品的单价为50＋x元，每个的利润是(50＋x)－40元，销售量是500－10x个，则依题意得y＝[(50＋x)－40](500－10x)，即y＝－10x2＋400x＋5000.(2)依题意，得－10x2＋400x＋5000＝8000.整理，得x2－40x＋300＝0.解得x1＝10，x2＝30.所以商品的单价应定为50＋10＝60(元)或50＋30＝80(元)．当商品的单价为60元时，其进货量只能是500－10310＝400(个)；当商品每个单价为80元时，其进货量只能是500－10330＝200(个)．6．“国运兴衰，系于教育”下图中给出了我国从1998─2002年每年教育经费投入的情况．(1)由图可见，1998─2002年的五年内，我国教育经费投入呈现出________趋势；(2)如果我国的教育经费从2002年的5500亿元增加到2004年的7920亿元，那么这两年的教育经费平均年增长率为多少？解：(1)上升或增长．(2)设平均每年增长率为x.依题意，5500(1＋x)2＝7920解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去)．答：这两年的教育经费平均年增长率为20%.【教学说明】进一步提高分析问题、解决问题的能力，深刻体会方程的思想方法在解应用问题中的用途．四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．课后作业布置作业：教材“习题 2.5”中第1、2题．教学反思一元二次方程的应用——增长率及利润问题与我们的生活密切相关，在解决增长率问题时，要弄清关键词语的含义和有关数量间的关系，掌握其规律，还应注意各种数据变化的基础，针对本节课的内容，制作了多媒体教学课件，让学生在探讨、练习中完成所学内容．本节课中，同学们能积极投入到课堂教学中，认真思考、讨论，踊跃发言，课堂气氛活跃，在个别问题的回答上，学生大胆发言，配合默契，达到了积极的教学效果．第2课时一元二次方程的应用(2)教学目标【知识与技能】会建立一元二次方程的模型解决实际问题，并能根据具体问题的实际意义，对方程解的合理性作出解释．【过程与方法】进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题，解决问题的能力，培养学生用数学的意识．【情感态度】让学生进一步感受一元二次方程的应用价值，提高学生的数学应用意识．【教学重点】应用一元二次方程解决实际问题．【教学难点】从实际问题中建立一元二次方程的模型．教学过程一、情景导入，初步认知复习列方程解应用题的一般步骤：(1)审题：仔细阅读题目，分析题意，明确题目要求，弄清已知数、未知数以及它们之间的关系；(2)设未知数：用字母(如x)表示题中的未知数，通常是求什么量，就设这个量为x；(3)列方程：根据题中已知量和未知量之间的关系列出方程；(4)解方程：求出所给方程的解；(5)检验：既要检验所求方程的解是否满足所列出的方程，又要检验它是否能使实际问题有意义；(6)作答：根据题意，选择合理的答案．2．说一说，矩形的面积与它的两邻边长有什么关系？【教学说明】复习相关知识，为本节课的学习作准备．二、思考探究，获取新知1．思考：如图，在一长为40cm，宽为28cm的矩形铁皮的四角截去四个全等的小正方形后，折成一个无盖的长方体盒子，若已知长方体盒子的底面积为364平方厘米，求截去的四个小正方形的边长．(1)引导学生审题，弄清已知数、未知数以及它们之间的关系；(2)确定本题的等量关系是：盒子的底面积＝盒子的底面长3盒子的底面宽；(3)引导学生根据题意设未知数；(4)引导学生根据等量关系列方程；(5)引导学生求出所列方程的解；(6)检验所求方程的解的合理性；(7)根据题意作答．【教学说明】设未知数和作答时都不要漏写单位，是多项式时要加括号再写单位．2．如图，一长为32m，宽为20m的矩形地面上修建有同样宽的道路(图中阴影部分)，余下部分进行了绿化，若已知绿化面积为540m2，求道路的宽．分析：本题考查了一元二次方程的应用，这类题目体现了数形结合的思想，如图，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程，求出答案．还要注意根据题意考虑根的合理性，从而确定根的取舍．本题可设道路宽为x米，利用平移把不规则的图形变为规则图形，如此一来，所有草坪面积之和就变为了(32－x)(20－x)平方米2，进而即可列出方程，求出答案．解：设道路宽为x米(32－x)(20－x)＝540解得：x1＝2，x2＝50(不合题意，舍去)∴x＝2答：道路宽为2米．3．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm.BC＝8cm，点P沿AC边从点A向终点C 以1cm/s的速度移动，同时点Q沿CB边从C向终点B以2cm/s的速度移动，且当其中一点达到终点时，另一点也随之停止移动，问点P、Q出发几秒后，可使△PCQ的面积为9cm2?解：设x s后，可使△PCQ的面积为9cm2.由题意得，AP＝x cm，PC＝(6－x)cm，CQ＝2x cm则122(6－x)22x＝9.整理，得x2－6x＋9＝0，解得x1＝x2＝3.所以P、Q同时出发，3s后可使△PCQ的面积为9cm2.【教学说明】使学生感受、明白在几何图形中利用一元二次方程解决实际问题的过程与方法．三、运用新知，深化理解1．如图，某中学为方便师生活动，准备在长30m，宽20m的矩形草坪上修两横两纵四条小路，横纵路的宽度之比为3∶2，若使余下的草坪面积是原来草坪面积的四分之三，若横路宽为3x cm，则可列方程为________．分析：若设小路的横路宽为3x m，则纵路宽为2x m，我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的道理，把纵、横四条路移动一下(目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路)，则余下的草坪面积可用含x的代数式表示为(30－4x)(20－6x)m2，又由题意可知余下草坪的面积为原草坪面积的四分之三，可列方程．则可列方程：(30－4x)(20－6x)＝34 330320【答案】(30－4x)(20－6x)＝34 3303202．在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为x cm，那么x满足的方程是( )A．x2＋130x－1400＝0 B．x2＋65x－350＝0 C．x2－130x－1400＝0 D．x2－65x－350＝0 【答案】B3．如图，利用一面墙(墙的长度不超过45m)，用80m长的篱笆围一个矩形场地．(1)怎样围才能使矩形场地的面积为750m2?(2)能否使所围矩形场地的面积为810m2，为什么？解：(1)设所围矩形ABCD的长AB为x米，则宽AD为12(80－x)米．依题意，得x212(80－x)＝750.即，x2－80x＋1500＝0，解此方程，得x1＝30，x2＝50. ∵墙的长度不超过45m，∴ｘ2＝50不合题意，应舍去．当x＝30时，12(80－x)＝123(80－30)＝25，所以，当所围矩形的长为30m、宽为25m时，能使矩形的面积为750m2.(2)不能．因为由x212(80－x)＝810得x2－80x＋1620＝0.又∵ｂ2－4ac＝(－80)2－43131620＝－80＜0，∴上述方程没有实数根．因此，不能使所围矩形场地的面积为810m2.4．如图①，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的边．如图②，地毯中央的矩形图案长6米、宽3米，整个地毯的面积是40平方米．求花边的宽．分析：本题可根据地毯的面积为40平方米来列方程，其等量关系式可表示为：(矩形图案的长＋两个花边的宽)3(矩形图案的宽＋两个花边的宽)＝地毯的面积．解：设花边的宽为x米，根据题意得(2x＋6)(2x＋3)＝40，解得x1＝1，x2＝－112，x2＝－112不合题意，舍去．答：花边的宽为1米．5．我校原有一块正方形空地，后来在这块空地上划出部分区域栽种花草(如图)，原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，使剩余的空地面积为12m2，求原正方形的边长．分析：本题可设原正方形的边长为x m，则剩余的空地长为(x－1)m，宽为(x－2)m.根据长方形的面积公式方程可列出，进而可求出原正方形的边长．解：设原正方形的边长为x m，依题意有(x－1)(x－2)＝12整理，得x2－3x－10＝0.∴(x－5)(x＋2)＝0，∴ｘ1＝5，x2＝－2(不合题意，舍去)答：原正方形的边长5m.6．小明家有一块长8m，宽6m的矩形空地，现准备在该空地上建造一个十字花园(图中阴影部分)，并使花园面积为空地面积的一半，小明设计了如图的方案，求图中的x值．解：据题意，得(8－x)(6－x)＝12 3836.解得x1＝12，x2＝2.x1不合题意，舍去．∴x＝2.【教学说明】进一步提高分析问题、解决问题的能力，深刻体会方程的思想方法在解应用问题中的用途．四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．课后作业布置作业：教材“习题 2.5”中第3、4、7题．教学反思本节课以学生熟悉的现实生活为问题的背景，让学生从具体的问题情境中抽象出数量关系，归纳出变化规律，并能用数学符号表示，最终解决实际问题．这类注重联系实际考查学生数学应用能力的问题，体现时代性，并且结合社会热点、焦点问题，引导学生关注国家、人类和世界的命运．既有强烈的德育功能，又可以让学生从数学的角度分析社会现象，体会数学在现实生活中的作用．复习与提升教学目标【知识与技能】1．一元二次方程的相关概念．2．灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程．3．能运用一元二次方程的根的判别式判定方程的根的情况．4．能简单运用一元二次方程的根与系数的关系解决相关问题．5．构造一元二次方程解决简单的实际问题．【过程与方法】通过灵活运用解方程的方法，体会几种解法之间的联系与区别，进一步熟练根据方程特征找出最优解法．【情感态度】通过实际问题的解决，进一步熟练运用方程解决实际问题，体会方程思想在解决问题中的作用．【教学重点】运用知识、技能解决问题．【教学难点】解题分析能力的提高．教学过程一、知识框图，整体把握【教学说明】引导学生回顾本章知识点，展示本章知识结构图，使学生系统地了解本章知识及之间的关系．二、释疑解惑，加深理解1．一元二次方程的概念：如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边是只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫作一元二次方程，它的一般形式是：ax2＋bx＋c＝0，(a，b，c是已知数且a≠0)，其中a，b，c分别叫作二次项系数、一次项系数、常数项．2．直接开平方法：对于形如(x＋n)2＝d(d≥0)的方程，可用直接开平方法解．直接开平方法的步骤是：把方程变形成(x＋n)2＝d(d≥0)，然后直接开平方得x＋n＝d 和x＋n＝－d，分别解这两个一元一次方程，得到的解就是原一元二次方程的解．3．配方法：通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根，这种方法称为配方法．用配方法解一元二次方程的步骤：(1)把方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0；(2)把方程的常数项通过移项移到方程的右边；(3)若方程的二次项系数不为1时，方程两边同时除以二次项系数a；(4)方程两边同时加上一次项系数一半的平方；(5)此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解．4．公式法：求根公式x＝－b±b2－4ac2a(b2－4ac≥０)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．用公式法解一元二次方程的一般步骤：首先要把原方程化为一般形式，从而正确地确定a，b，c的值；其次要计算b2－4ac的值，当b2－4ac≥０时，再用求根公式求解．5．因式分解法：利用因式分解来解一元二次方程的方法叫做因式分解法．因式分解法解一元二次方程的一般步骤：把方程化成一边为0，另一边是两个一次因式的乘积的形式，然后使每一个一次因式等于0，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原一元二次方程的解．6．一元二次方程的根的判别式：我们把b2－4ac叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“Δ”表示．即：Δ＝b2－4ac(1)当Δ＝b2－4ac>0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等实数根即x1＝－b＋b2－4ac2a，x2＝－b－b2－4ac2a.(2)当Δ＝b2－4ac＝0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等实数根．(3)当Δ＝b2－4ac<0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根．7．一元二次方程的根与系数的关系：当Δ≥０时，一元二次方程的根与系数之间具有以下关系：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比．即：x1＋x2＝－ba，x12x2＝ca8．运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤：实际问题→建立一元二次方程模型→解一元二次方程→一元二次方程的根的检验→实际问题的解．【教学说明】通过对重点知识的回顾为本节课的学习内容做好铺垫．三、典例精析，复习新知1．(1)方程(m＋1)xm2－2m－1＋7x－m＝0是一元二次方程，则m是多少？分析：首先根据一元二次方程的定义得，m2－2m－1＝2；再由一元二次方程ax2＋bx＋c ＝0(a≠0)的定义中a≠０这一条件得m＋1≠０来求m的值．【答案】m＝3.(2)若关于x的一元二次方程(m－1)x2＋5x＋m2－3m＋2＝0的常数项为0，则m等于( )A．1 B．2 C．1或2 D．0分析：首先得出m2－3m＋2＝0；再由一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的定义中a≠０这一条件得m－1≠０来求m的值．【答案】B【教学说明】此时要注意二次项系数不为0，在讨论含字母系数的一元二次方程问题时，命题者常利用a≠０设计陷阱．2．用适当的方法解一元二次方程(1)x2＝3x (2)(x－1)2＝3(3)x2－2x－99＝0 (4)2x2＋5x－3＝0分析：方程(1)选用因式分解法；方程(2)选用直接开平方法；方程(3)选用配方法；方程(4)选用公式法．解：(1)x1＝0，x2＝3；(2)x1＝1＋3，x2＝1－3；(3)x1＝11，x2＝－9；(4)x1＝12，x2＝－3.3．若(x2＋y2)2－4(x2＋y2)－5＝0，则x2＋y2＝________．分析：用换元法设x2＋y2＝m得m2－4m－5＝0，解得m1＝5，m2＝－1.对所求结果，还要结合“ｘ2＋y2”进行取舍，从而得到最后结果．【答案】54．若关于x的一元二次方程kx2－2x－1＝0有两不个相等的实数根，则k的取值范围是( )A．k>－1 B．k>－1且k≠０C．k<1 D．k<1且k≠０分析：b2－4ac＝(－2)2－43(－1)k＝4k＋4＞0得k＞－1，再由一元二次方程ax2＋bx ＋c＝0(a≠0)的定义中a≠０这一条件得k≠0.【答案】B5．某商场将销售成本为30元的台灯以40元的价格售出，平均每月销售600个．市场调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，每月平均销售数量将减少10个．若销售利润率不得高于100%，那么销售这种台灯每月要获利10000元，台灯的售价应定为多少元？分析：如果这种台灯售价上涨x元，那么每个台灯获利(40＋x－30)元，每月平均销售数量为(600－10x)个，销售利润为(40＋x－30)和(600－10x)的积．用一元二次方程解决实际问题时，所求得的结果往往有两个，而实际问题的答案常常是一个，这就需要我们仔细审题，看清题目的要求，进而作出正确的选择．解：设这种台灯的售价上涨x元，根据题意，得(40＋x－30)(600－10x)＝10000.即x2－50x＋400＝0.解得x1＝10，x2＝40.所以每个台灯的售价应定为50元或80元．当台灯售价定为80元时，销售利润率为53，不符合要求；当台灯售价定为50元时，销售利润率为23，符合要求．答：每个台灯售价应是50元．6．如图，要设计一个矩形的花坛，花坛长60m，宽40m，有两条纵向甬道和一条横向甬道，横向甬道的两侧有两个半圆环形甬道，半圆环形甬道的内半圆的半径为10m，横向甬道的宽度是其它各甬道宽度的2倍．设横向甬道的宽为2x m.(π的值取3)(1)用含x的式子表示两个半圆环形甬道的面积之和；(2)当所有甬道的面积之和比矩形面积的15多36m2时，求x的值．解：(1)两个半圆环形甬道的面积＝π(10＋x)2－π3102＝3x2＋60x(m2)；(2)依题意，得403x32＋6032x－2x232＋3x2＋60x＝15360340＋36，整理，得x2－260x＋516＝0，解得x1＝2，x2＝258(不符合题意，舍去)，∴x＝2；答：x的值为 2.【教学说明】列方程解应用题注重考查了能力问题，表面文字比较复杂，但认真阅读，抓住实质，问题就迎刃而解了．四、复习训练，巩固提高1．一元二次方程x2－2x－1＝0的根的情况为( )A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根分析：b2－4ac＝(－2)2－43(－1)＝8【答案】B2．关于x的一元二次方程(a－1)x2＋x＋|a|－1＝0的一个根为0，则实数a的值为( ) A．－1 B．0 C．1 D．－1或1分析：把x＝0代入方程得：|a|－1＝0，∴a＝±1.∵a－1≠0，∴a＝－ 1.故选A.【答案】A3．已知关于x的方程x2＋(2k＋1)x＋k2－2＝0的两实根的平方和等于11，则k的值为________．分析：设方程x2＋(2k＋1)x＋k2－2＝0的两根为x1，x2，得∵Δ＝(2k＋1)2－43(k2－2)＝4k＋9＞0，∴k＞－9 4 .∵ｘ1＋x2＝－(2k＋1)，x12x2＝k2－2，又∵ｘ21＋x22＝11，∴(x1＋x2)2－2x1x2＝11.∴(2k＋1)2－2(k2－2)＝11，解得k＝1或－3.∵k＞－94，∴k＝1.【答案】14．若关于x的一元二次方程x2＋2x＋a＝0有实数根，则a的取值范围是________．分析：∵关于x的一元二次方程有实根，∴Δ＝42－4a≥0，解之得a≤1.【答案】a≤１5．若关于x的一元二次方程x2－4x＋k－3＝0的两个实数根为x1、x2，且满足x1＝3x2，试求出方程的两个实数根及k的值．分析：根据根与系数的关系列出等式，再由已知条件x1＝3x2联立组成方程组，解方程组即可．解：由根与系数的关系得：x1＋x2＝4①，x12x2＝k－3②又∵ｘ1＝3x2③，联立①、③，解方程组得x1＝3x2＝1.∴k＝x1x2＋3＝331＋3＝6.方程两根为x1＝3，x2＝1；k＝6.6．某汽车销售公司6月份销售某厂家汽车，在一定范围内，每辆汽车的进价与销售量有如下关系，若当月仅售出1辆汽车，则该汽车的进价为27万元；每多售出1辆，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/辆，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10辆以内(含10辆)，每辆返利0.5万元，销售量在10辆以上，每辆返利1万．(1)若该公司当月售出3辆汽车，则每辆汽车的进价为________万元；(2)如果汽车的售价为28万元/辆，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少辆汽车？(盈利＝销售利润＋返利)分析：用销售数量表示出每辆的进价、返利等，再表示出盈利，列出方程，求解．解：(1)27－(3－1)30.1＝26.8.(2)设销售汽车x辆，则汽车的进价为27－(x－1)30.1＝(27.1－0.1x)万元，若x≤10，则(28－27.1＋0.1x)x＋0.5x＝12解得x1＝6，x2＝－20(不合题意，舍去)若x>10，则(28－27.1＋0.1x)x＋x＝12解得x3＝5(与x>10矛盾，舍去)，x4＝－24(不合题意，舍去)答：公司计划当月盈利12万元，需要售出6辆汽车．7．如图①，要设计一幅宽20cm，长60cm的长方形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为4∶3，如果要使所有彩条所占面积为原长方形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？分析：由横、竖彩条的宽度比为4∶3，可设每个横彩条的宽为4x，则每个竖彩条的宽为3x.为更好地寻找题目中的等量关系，将横、竖彩条分别集中，原问题转化为如图②的情况，得到长方形ABCD.(1)结合以上分析完成填空：如图②，用含x的代数式表示：AB＝________cm；AD＝________cm；长方形ABCD的面积为________cm2；(2)列出方程并完成本题解答．分析：(1)一条竖纹宽度为3x，长方形宽减去两条竖纹宽度，即为AB长度，同理，长方形长减去两条横纹宽度，即为AD长度；长方形面积为203603(1－13)＝800；(2)在(1)的基础上，根据所有彩条所占面积为原长方形图案面积的三分之一列方程求解即可．解：(1)由题意得，AB＝(20－6x)cm，AD＝(60－8x)cm，长方形面积为603203(1－1 3 )＝800cm2.(2)由题意列方程得(20－6x)(60－8x)＝23 31200，解得，x＝56，x＝10(舍去)．答：每个横彩条的宽度为103cm，每个竖彩条的宽度为52cm.五、师生互动，课堂小结1．回顾整理今日收获．2．你还有哪些困惑和疑问？课后作业布置作业：教材“复习题2”中第3、4、5、11、12题．教学反思通过画知识框图，完成对一元二次方程的知识点的梳理，建构知识体系；让学生对典型例题、自身错题进行整理，从而使学生抓住本章的重点、突破学习的难点．。

湘教版数学九年级上册2.5《一元二次方程的应用》教学设计4一. 教材分析《一元二次方程的应用》是湘教版数学九年级上册2.5节的内容。

这部分内容是在学生已经掌握了方程的解法、根的判别式等知识的基础上进行学习的。

本节课主要让学生学会运用一元二次方程解决实际问题，培养学生的数学应用能力。

教材通过例题和练习题的形式，引导学生掌握一元二次方程的应用，并能够将其运用到实际问题中。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对一元二次方程的解法和根的判别式有一定的了解。

但是，学生在解决实际问题时，往往会将数学知识与实际问题脱节，无法正确列出方程。

因此，在教学过程中，教师需要引导学生将数学知识与实际问题相结合，提高学生的数学应用能力。

三. 教学目标1.让学生掌握一元二次方程的应用，能够正确列出实际问题中的一元二次方程。

2.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

3.提高学生对数学的兴趣，培养学生的数学思维。

四. 教学重难点1.教学重点：引导学生掌握一元二次方程的应用，能够将其运用到实际问题中。

2.教学难点：如何引导学生将实际问题转化为数学方程，并正确求解。

五. 教学方法1.讲授法：教师通过讲解例题和练习题，引导学生掌握一元二次方程的应用。

2.案例分析法：教师通过分析实际问题，引导学生将数学知识与实际问题相结合。

3.练习法：学生通过做练习题，巩固所学知识，提高解题能力。

六. 教学准备1.教师准备PPT，内容包括例题、练习题和相关的实际问题。

2.教师准备黑板，用于板书解题过程和关键步骤。

3.学生准备笔记本，用于记录解题过程和重点知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个简单的实际问题，引导学生思考如何运用一元二次方程解决问题。

例如：一块地形为等腰三角形的农田，底边长为8米，高为6米，求这块农田的面积。

2.呈现（10分钟）教师呈现PPT，展示例题和相关的实际问题。

例题：某商品打8折后的售价为120元，求原价。

湘教版数学九年级上册2.5《一元二次方程的应用》（第2课时）教学设计一. 教材分析《一元二次方程的应用》是湘教版数学九年级上册第2.5节的内容，主要介绍了如何运用一元二次方程解决实际问题。

本节内容是在学生已经掌握一元二次方程的解法基础上进行的，通过实例使学生了解一元二次方程在实际问题中的应用，提高学生解决实际问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一元二次方程的基本知识，对于如何解一元二次方程已经有所了解。

但是，如何将一元二次方程应用于实际问题中，可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要通过实例引导学生了解一元二次方程在实际问题中的应用，提高学生解决实际问题的能力。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生了解一元二次方程在实际问题中的应用，培养学生解决实际问题的能力。

2.过程与方法：通过实例分析，使学生掌握一元二次方程解决实际问题的方法。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识。

四. 教学重难点1.重点：一元二次方程在实际问题中的应用。

2.难点：如何将实际问题转化为一元二次方程，并求解。

五. 教学方法采用实例教学法，通过具体的实际问题引导学生了解一元二次方程的应用，采用小组合作学习的方式，培养学生的合作精神和团队意识。

六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于引导学生运用一元二次方程解决实际问题。

2.准备PPT，用于展示实际问题和引导学生进行讨论。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入本节内容，例如：“某商店举行打折活动，原价为100元的商品，打8折后的价格是多少？”让学生思考如何用数学知识解决这个问题。

2.呈现（15分钟）呈现一系列的实际问题，引导学生运用一元二次方程解决。

例如：“某商店举行打折活动，原价为100元的商品，打x折后的价格是多少？”让学生列出方程并求解。

3.操练（15分钟）让学生分组进行讨论，每组选择一个实际问题，运用一元二次方程解决。

2.5 一元二次方程的应用(二)学习目标：1.巩固并提高解一元二次方程的能力2.能用一元二次方程解决有关几何图形问题。

3.经历通过几何图形的相关问题建立一元二次方程模型的过程，进一步体验用数形结合思想、方程思想分析思考问题，解决问题.学习重点：用一元二次方程解决有关几何图形问题学习难点：用一元二次方程解决有关几何图形问题。

学习过程：一、复习引入1、一元二次方程20(0)++=≠，当 b2-4ac 时，方程有两ax bx c a个不相等的实数根；当 b2-4ac 时，方程有两个相等的实数根；当 b2-4ac 时，方程没有实数根.2、你学过哪些解一元二次方程的方法？二、探求新知一例1 一种铁栅栏护窗的正面高120cm、宽100cm的矩形，在中间有一个由4根铁条组成的菱形，如图所示.菱形的水平方向的对角线比竖直方向的对角线长20cm，并且菱形的面积是护窗正面矩形面积的. （1）求菱形的两条对角线的长；（2）求组成菱形的每一根铁条的长.分析：S菱形ABCD＝AC·BD，菱形的对角线互相垂直平分；本题的相等关系：S菱形ABCD＝ .解：对应练习，1、村里有一块面积为100㎡的正方形地块，现要把这块地的各边都加长，李叔将ABCD两边加长了xm,再将ADBC边加长了2xm，这样产生的长方形地块面积就变成了300㎡，你能求出x吗？2、如图在宽为20米，长为32米得矩形空地上修同样宽度的两条相互垂直的水泥路，余下部分作为草地，要使草地面积为540平方米，求水泥路的宽是多少米？.探索新知2例2 如图，一块长和宽分别为40cm、28cm的矩形铁皮，在它的四角截去四个全等的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，使它的底面积为364cm2.求截去的小正方形的边长.分析：本题的相等关系：S矩形ABCD=AB×CD=364解：用一元二次方程解有关图形问题的关键是结合已知条件所给的数据和几何图形的性质（数形结合）寻找相等关系、列相关代数式.对应练习1、课本第24页练习第1、2题.2、一间长20米，宽15米得会议室，在会议室中间铺一块地毯，地毯面积是会议室面积的一半，四周未铺地毯的留空空地相同，则留空空地为 .3、若从一块正方形木板上锯掉一块面积为2厘米宽的木条，剩下部分的面积是48平方厘米，则这块木板原来的面积是（）.A、81 cm2B、81 cm2或64 cm2C、64 cm2D、96 cm24、要制作一个表面积为48πcm2高为10cm的圆柱，圆柱底面半径应为多少？.课堂小结说说你学习本节课的收获.作业设计课本第27页习题1.3A组第3题。

湘教版九年级上册教学设计2.5一元二次方程的应用一. 教材分析湘教版九年级上册的教学内容是围绕一元二次方程的应用展开的。

本节课的教学内容主要包括一元二次方程的解法、判别式的意义及其应用。

通过本节课的学习，学生将能够掌握一元二次方程的解法，并能够将其应用于实际问题中。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了一元一次方程的解法和应用，对于解方程的基本思路和方法有一定的了解。

然而，对于一元二次方程的解法和判别式的意义，学生可能还不够熟悉。

因此，在教学过程中，教师需要引导学生从一元一次方程过渡到一元二次方程，并通过具体的例子让学生理解判别式的意义及其应用。

三. 教学目标1.知识与技能：学生能够掌握一元二次方程的解法，理解判别式的意义，并能够将其应用于实际问题中。

2.过程与方法：学生能够通过自主学习、合作交流的方式，探索一元二次方程的解法，培养解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：学生能够培养对数学的兴趣，增强自信心，体验成功的喜悦。

四. 教学重难点1.教学重点：一元二次方程的解法、判别式的意义及其应用。

2.教学难点：一元二次方程的解法，判别式的应用。

五. 教学方法1.自主学习：学生通过自主学习，掌握一元二次方程的解法，培养自主学习的能力。

2.合作交流：学生通过小组合作，探讨一元二次方程的解法，培养合作交流的能力。

3.实例分析：教师通过具体的例子，引导学生理解判别式的意义及其应用，培养解决问题的能力。

六. 教学准备1.教师准备：教师需要准备相关的教学材料，如PPT、教案、例题等。

2.学生准备：学生需要预习相关的内容，了解一元二次方程的基本概念。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题引入一元二次方程的概念，激发学生的兴趣。

2.呈现（15分钟）教师通过PPT呈现一元二次方程的解法，引导学生自主学习，理解解法的基本思路。

3.操练（10分钟）学生通过自主练习，巩固一元二次方程的解法，教师进行个别指导。