江苏省天一中学高三月考数学试题

江苏省天一中学2025届高三二诊模拟考试数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，设n n b c a =，12n n T c c c =+++()*n ∈N ，则当2020n T <时，n 的最大值是（ ）A ．8B ．9C ．10D ．112．已知不等式组y x y x x a ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为9，若点， 则的最大值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．123．执行下面的程序框图，若输出的S 的值为63，则判断框中可以填入的关于i 的判断条件是（ ）A ．5i ≤B ．6i ≤C ．7i ≤D ．8i ≤4．设函数()21010 0x x x f x lgx x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，，若关于x 的方程()()f x a a R =∈有四个实数解()1234i x i =，，，，其中1234x x x x <<<，则()()1234x x x x +-的取值范围是（ ）A ．(]0101，B ．(]099，C ．(]0100，D ．()0+∞，5．若不相等的非零实数x ，y ，z 成等差数列，且x ，y ，z 成等比数列，则x yz+=（ ）A ．52-B ．2-C ．2D ．726．已知命题p ：1m =“”是“直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直”的充要条件；命题q ：对任意()2,∈=+a R f x x a 都有零点；则下列命题为真命题的是（ ）A ．()()p q ⌝∧⌝B ．()p q ∧⌝C ．p q ∨D ．p q ∧7．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为4的正三角形，俯视图是由边长为4的正三角形和一个半圆构成，则该几何体的体积为（ ）A ．438π+B ．238π+C ．434π+D ．834π+8．已知点1F 是抛物线C ：22x py =的焦点，点2F 为抛物线C 的对称轴与其准线的交点，过2F 作抛物线C 的切线，切点为A ，若点A 恰好在以1F ，2F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ） A 62- B 21C 62+ D 219．若23455012345(21)(21)(21)(21)(21)a a x a x a x a x a x x +-+-+-+-+-=，则2a 的值为（ ）A ．54B ．58C ．516D ．53210．若复数21z m mi =-+（m R ∈）在复平面内的对应点在直线y x =-上，则z 等于( ) A ．1+iB ．1i -C ．1133i --D ．1133i -+11．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足212152–lg E m m E =，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( ) A ．1010.1B ．10.1C ．lg10.1D ．10–10.112．双曲线()221x y m c m-=>的一条渐近线方程为20x y +=，那么它的离心率为（ ）A ．3B ．5C ．62D ．52二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

江苏省天一中学2023届高三年级第一学期四校联考数学试卷 2022.12.22注意事项：1．本试卷分为选择题和非选择题两部分，共150分。

调研时间120分钟。

2．将选择题的答案填涂在答题卡的对应位置，非选择题的答案写在答题卡的指定栏目内。

一、单项选择题：共8题，每题5分，共40分。

每题只有一个选项最符合题意。

1. 若集合A ={x|log 21x≥−1}，B ={x ∈R|x 2∉A}，则A ∩B =( )A. {x|x <−√2或√2<x ≤2}B. {x|x <−√2或x ≥0}C. ⌀D. {x|√2<x ≤2}2. 若z−21+i=i ，则z(z −+1)的实部为( )A. 1B. 2C. 3D. 103. 若a >0，b >0，则“a +b ≤4”是“ab ≤4”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 若函数f(x)=sin(ωx +π4)(ω>0)在(0,π)恰好存在两个零点和两个极值点，则( )A. 74≤ω≤94B. 74<ω≤94C. 74≤ω<94D. 94<ω<1145. 取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下的两段分割三等分，各去掉中间一段，留剩下的更短的四段；……；将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集．若在第n 次操作中去掉的线段长度之和不小于160，则n 的最大值为( ) (参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)A. 6B. 7C. 8D. 96. 如图，在△ABC 中，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13NC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，P 是BN 上一点．若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +29AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则实数m 的值为( )A. 19B. 13C. 1D. 37. 已知点P 在椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上，点Q 在圆F 1：(x +c)2+y 2=14a 2，其中c 为椭圆C 的半焦距，若|PQ|的最大值恰好等于椭圆C 的长轴长，则椭圆C 的离心率为( )A. √2−1B. 34C. 23D. 128. 已知a ，b ，c ∈(0,1)，且a 2−2lna +1=e ，b 2−2lnb +2=e 2，c 2−2lnc +3=e 3，其中e 是自然对数的底数，则( )A. a >b >cB. a >c >bC. c >a >bD. c >b >a二、多选题：本大题共4小题，共20分。

高二数学一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1．（5分）已知集合A ={x |−2<x <5}，B ={x |1−2x >3}，则A B =( )A ．(−2,−1) B ．(−2,1) C ．(1,5) D ．(−1,5)2．（5分）不等式101xx+− 的解集为( ) A ．{|1x x 或1}− B ．{|11}x x − C ．{|1x x 或1}x <− D ．{|11}x x −<3．（5分）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(0,)+∞上为单调函数，则满足2()()3x f x f x +=+的所有实数x 的和为( ) A ．6−B ．6C ．8D ．8−4．（5分）已知函数()2cos f x x x =，则函数()f x 的部分图象可以为( )A ．B ．C ．D ．5．（5分）等腰三角形的底与腰之比是黄金分割比的三角形称为黄金三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形．如图五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，其中一个黄金ABC ∆中，BCAC=上面可得sin126(°= )ABC D 江苏省天一中学2024-2025学年10月份阶段性检测6．（5分）设ABC ∆的三边长为BC a =，CA b =，AB c =，若tan 2A ab c=+，tan 2B b a c =+，则ABC ∆是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形7．（5分）如图所示，在直三棱柱111ABC A B C −中．11AA =，AB BC ==1cos 3ABC ∠=，P 是1A B 上的一动点，则1AP PC +的最小值为( )AB C ．1+D ．38．（5分）第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年02月04日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市．同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”（先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）国家．根据规划，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A 和短轴一端点B 分别向内层椭圆引切线AC ，BD （如图），且两切线斜率之积等于916−，则椭圆的离心率为( )A ．34B C ．916D 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（5分）在空间四点O ，A ，B ，C 中，若{OA ，OB，}OC 是空间的一个基底，则下列说法正确的是( )A ．O ，A ，B ，C 四点不共线 B ．O ，A ，B ，C 四点共面，但不共线 C ．O ，A ，B ，C 四点不共面D ．O ，A ，B ，C 四点中任意三点不共线10．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的两个顶点分别为1(,0)A a −，2(,0)A a ，P ，Q 的坐标分别为(0,)b ，(0,)b −，且四边形12A PA Q 的面积为12A PA Q ，则双曲线C 的方程为( )A ．2212x y −=B ．2212y x −=C ．22142x y −=D ．22124x y −=11．（5分）如图，在三棱锥P ABC −中，PA PB ⊥，PB PC ⊥，PA PC ⊥，点M 是ABC ∆内的一点，若PM 与平面PAB ，PAC ，PBC 所成的角分别是α，β，γ，PAB ∆，PAC ∆，PBC ∆，ABC ∆的面积分别为PAB S ∆，PAC S ∆，PBC S ∆，ABC S ∆，则以下说法正确的是( )A ．222sin sin sin 1αβγ++=B ．222cos cos cos 1αβγ++=C ．PAB PAC PBC ABC S S S S ∆∆∆∆++>D ．ABC ∆是锐角三角形12．（5分）设1e，2e 为单位向量，满足12|2|e e − ，12a e e =+ ，123b e e =+ ，则a ，b 的夹角为θ，则2cos θ的可能取值为( )A ．1920B ．2029C ．2829D ．1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为715，取得两个绿球的概率为115，则至少取得一个红球的概率为 ．14．（5分）若复数z 满足|32|1z i −+=，则|62|z i −−的最小值为 ．15．（5分）已知一组数据1x ，2x ，3x ，…，n x 的平均数为x ，方差为2.s 若131x +，231x +，331x +，…，31n x +的平均数比方差大4，则22s x −的最大值为 ．16．（5分）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，O 为ABC ∆的外心，且有AB BC AC +，sin (cos cos sin 0C A C A −+=，若AO xAB y AC =+，x ，y R ∈，则2x y −=． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（10分）已知圆C 的方程：22240x y x y m +−−+=． （Ⅰ）求m 的取值范围；（Ⅱ）当圆C 与圆22:(3)(1)16D x y +++=相外切时，求直线:240l x y +−=被圆C 所截得的弦MN 的长． 18．（12分）已知向量(1,2)a =−，||b = （1）若b a λ=，其中0λ<，求b 的坐标；（2）若a 与b 的夹角为23π，求()(2)a b a b −⋅+ 的值． 19．（12分）已知等差数列{}n a ，14a =，前n 项和为n S ，各项为正数的等比数列{}n b 满足：112b =，5342b b b =−，949S b =． （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）在空间直角坐标系中，O 为坐标原点，存在一系列的点(2,,1)n n n n P a c +−，(n n Q b ，1−，1)，若n n OP OQ ⊥，求数列{}n c 的前n 项和n T ．20．（12分）“绿水青山，就是金山银山．”从社会效益和经济效益出发，某市准备投入资金进行生态环境建设，促进旅游业的发展．计划本年度投入1200万元，以后每年投入均比上年减少20%，本年度旅游业收入估计为400万元，预计今后旅游业收入的年增长率相同．设本年度为第一年，已知前三年旅游业总收入为1525万元．（Ⅰ）设第n 年的投入为n a 万元，旅游业收入为n b 万元，写出n a ，n b 的表达式； （Ⅱ）至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？ （参考数据：20.301lg ≈，30.477)lg ≈21．（12分）已知三棱锥M ABC −中，MA MB MC AC ====，2AB BC ==，O 为AC 的中点，点N在线BC 上，且23BN BC = ．（1）证明：BO ⊥平面AMC ； （2）求二面角N AM C −−的正弦值．22．（12分）已知圆22:4O x y +=和定点(1,0)A ，平面上一动点P 满足以线段AP 为直径的圆内切于圆O ，动点P 的轨迹记为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）直线:(4)(0)l y k x k =−≠与曲线C 交于不同两点M ，N ，直线AM ，AN 分别交y 轴于P ，Q 两点．求证：||||AP AQ =．天一高二上第一次检测数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1．（5分）已知集合{|25}A x x =−<<，{|123}B x x =−>，则(A B = ) A ．(2,1)−−B ．(2,1)−C ．(1,5)D ．(1,5)−【分析】先求出集合B ，然后结合集合的交集运算即可求解． 【解答】解：{|25}A x x =−<<，{|123}{|1}B x x x x =−>=<−， 则{21}A B x =−<<− ． 故选：A ．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 2．（5分）不等式101xx+− 的解集为( ) A ．{|1x x 或1}− B ．{|11}x x − C ．{|1x x 或1}x <− D ．{|11}x x −<【分析】不等式等价于101x x +− ，即(1)(1)0x x +− ，且10x −≠，由此求得不等式的解集． 【解答】解：不等式等价于101x x +− ，即(1)(1)0x x +− ，且10x −≠，解得11x −< ， 故不等式的解集为{|11}x x −< ， 故选：D ．【点评】本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于基础题． 3．（5分）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(0,)+∞上为单调函数，则满足2()()3x f x f x +=+的所有实数x 的和为( ) A ．6−B ．6C ．8D ．8−【分析】利用偶函数的性质，将方程转化为2(||)(||)3x f x f x +=+，再利用()f x 在(0,)+∞上为单调递增函数，从而得到23x x x +=−+或23x x x +=+，然后化简变形，然后由韦达定理求解即可． 【解答】解：因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数， 所以()()(||)f x f x f x =−=，又函数的图象是连续不断的，且在(0,)+∞上为单调递增函数，则2()()3x f x f x +=+等价于2(||)(||)3x f x f x +=+， 所以23x x x +=−+或23x x x +=+，即2420(3)x x x ++=≠−或2220(3)x x x +−=≠−， 设2420(3)x x x ++=≠−的两个根为m ，n ，则4m n +=−， 设2220(3)x x x +−=≠−的两个根为a ，b ，则2a b +=−， 所以满足2()()3x f x f x +=+的所有实数x 的和为426−−=−． 故选：A ．【点评】本题考查了函数与方程的综合应用，函数性质的应用，主要考查了函数奇偶性的应用以及单调性的应用，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．4．（5分）已知函数()2cos f x x x =，则函数()f x 的部分图象可以为( )A ．B ．C ．D ．【分析】判断函数的奇偶性，排除选项，然后利用特殊值判断函数的图象上的点即可得到结果． 【解答】解：函数()2cos f x x x =，()2cos ()f x x x f x −=−=−，所以函数是奇函数，排除B 、D ， 当0x →时，函数()2cos 0f x x x =>，函数的图象在第一象限，排除C ， 故选：A ．【点评】本题考查函数的图象的判断与应用，这类问题，一般通过函数的定义域，值域，单调性、奇偶性，以及函数的图象经过的特殊点判断．5．（5分）等腰三角形的底与腰之比是黄金分割比的三角形称为黄金三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形．如图五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，其中一个黄金ABC ∆中，BC AC=上面可得sin126(°= )A BC D 【分析】由顶角是36°的等腰三角形底边与腰的比值可得18°的正弦值，再由诱导公式可得sin126cos36°=°，再由二倍角公式，求出126°的正弦值．【解答】解：由BC AC =ABC ∆为等腰三角形且顶角36°，所以sin18°，2sin126cos3612sin 18°°−° 故选：C ．【点评】本题考查黄金三角形的性质的应用及诱导公式和二倍角公式的应用，属于基础题． 6．（5分）设ABC ∆的三边长为BC a =，CA b =，AB c =，若tan 2A a b c=+，tan 2B ba c =+，则ABC ∆是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形【分析】利用正弦定理可得sin sin 1cos B C A +=+与sin sin 1cos A C B +=+，两式作差后平方，可得sin 2sin 2A B A B =⇒=或2A B π+=，从而可得答案．【解答】解：在ABC ∆中，若tan 2A a b c=+，则sin sin 1cos sin sin A AA B C =++，整理得sin sin 1cos B C A +=+①； 又tan2B ba c=+，同理可得sin sin 1cos A C B +=+② ①−②得，sin sin cos cos B A A B −=−，即sin cos sin cos A A B B +=+， sin 2sin 2A B ∴=，A B ∴=或2A B π+=，则ABC ∆是等腰三角形或直角三角形， 故选：C ．【点评】本题考查正弦定理，两角和的正弦的应用，考查运算求解能力，属于中档题．7．（5分）如图所示，在直三棱柱111ABC A B C −中．11AA =，AB BC ==1cos 3ABC ∠=，P 是1A B 上的一动点，则1AP PC +的最小值为( )AB C ．1+D ．3【分析】将立体图展开成平面图，设点1C 的新位置为C ′，连接AC ′，即可得到AC ′即为1AP PC +的最小值，解三角形即可．【解答】解：连接1BC ，得△11A BC ，以1A B 所在直线为轴，将△11A BC 所在平面旋转到平面11ABB A ， 设点1C 的新位置为C ′，连接AC ′，则AC ′即为1AP PC +的最小值，由题意可知11AA =，AB BC ==，1cos 3ABC ∠=，得112A B BC A C′′===， 1160AA B BA C ′∠=∠=°，所以在△1AA C ′中，AC ′=故选：B ．【点评】本题考查距离最小值问题，考查学生逻辑推理、数学运算、直观想象能力，属于中档题． 8．（5分）第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年02月04日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市．同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”（先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）国家．根据规划，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A 和短轴一端点B 分别向内层椭圆引切线AC ，BD （如图），且两切线斜率之积等于916−，则椭圆的离心率为( )A ．34B C ．916D 【分析】设内层椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，外层椭圆设为22221(1)()()x y m ma mb +=>，设切线的方程为1()y k x ma =+，分别与两个椭圆方程联立，求解42221249()16b k k a −，然后求解离心率即可．【解答】解：设内层椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，因为内外椭圆离心率相同，所以外层椭圆，可设成，22221(1)()()x y m ma mb +=>，设切线的方程为1()y k x ma =+，切线的方程为1()y k x a =+与22221x y a b +=联立得，22223224222111()20b a k x ma k x m a k a b +++−=， 由△0=，则221221(1)b k a m =×−，同理22222(1)b k m a =−，所以42221249()16b k k a −，因此e =．故选：B ．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的应用，是中档题．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（5分）在空间四点O ，A ，B ，C 中，若{OA ，OB，}OC 是空间的一个基底，则下列说法正确的是( )A ．O ，A ，B ，C 四点不共线B ．O ，A ，B ，C 四点共面，但不共线 C ．O ，A ，B ，C 四点不共面D ．O ，A ，B ，C 四点中任意三点不共线【分析】根据基底的含义，非零向量OA ，OB ，OC不在同一平面内，即O ，A ，B ，C 四点不共面，从而可得结论．【解答】解：因为{OA ，OB ，}OC是空间的一个基底， 所以非零向量OA ，OB ，OC不在同一平面内，即O ，A ，B ，C 四点不共面，所以A 、C 、D 选项说法正确，B 错误． 故选：ACD ．【点评】本题考查空间向量基本定理中基底的含义，属于基础题．10．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的两个顶点分别为1(,0)A a −，2(,0)A a ，P ，Q 的坐标分别为(0,)b ，(0,)b −，且四边形12A PA Q 的面积为12A PA Q ，则双曲线C 的方程为( )A ．2212x y −=B ．2212y x −=C ．22142x y −=D ．22124x y −=【分析】四边形12A PA Q 的面积为∴142a b ×××，再根据内切圆的周长可以求出内切圆的半径，再利用内切圆半径×周长2÷=四边形12A PA Q 的面积，进而得到关于a ，b 的两个方程，求解即可得答案．【解答】解：四边形12A PA Q 的面积为∴142a b ×××ab = 记四边形12A PA Q 内切圆半径为r ，则2r π=，得r =∴2cr =，∴c =，又2223c a b =+= ，得1a b ==，或1a b = =C 的方程为2212x y −= 或2212y x −=． 故选：AB ．【点评】本题考查双曲线方程的求法，本题四边形12A PA Q 的面积用了两种方法计算，进而得到方程，考查了“算两次”思想在解题过程中的应用，属于中档题．11．（5分）如图，在三棱锥P ABC −中，PA PB ⊥，PB PC ⊥，PA PC ⊥，点M 是ABC ∆内的一点，若PM 与平面PAB ，PAC ，PBC 所成的角分别是α，β，γ，PAB ∆，PAC ∆，PBC ∆，ABC ∆的面积分别为PAB S ∆，PAC S ∆，PBC S ∆，ABC S ∆，则以下说法正确的是( )A ．222sin sin sin 1αβγ++=B ．222cos cos cos 1αβγ++=C ．PAB PAC PBC ABC S S S S ∆∆∆∆++>D ．ABC ∆是锐角三角形【分析】选项A ，B ，以PM 为体对角线构造如图所示的长方体DEMI PHGF −，可判断；选项C ，作PO ⊥平面ABC 于O ，PN AB ⊥于N ，连结MN ，可得PAB OAB S S ∆∆>，同理PAC OAC S S ∆∆>，PBC OBC S S ∆∆>，可判断；选项D ，设PA x =，PB y =，PC z =，在ABC ∆中，利用余弦定理表示三个角的余弦，可判断． 【解答】解：如图所示，以PM 为体对角线构造如图所示的长方体DEMI PHGF −，则PM 与平面PAB ，PAC ，PBC 所成的角分别是αβγ，即分别为IPM ∠，EPM ∠，GPM ∠，不妨设DE a =，DI b =，DP c =则222222sin sin sin 1αβγ++=++，故选项A 正确；222222cos cos cos 2αβγ++=++，故选项B 不正确；如图所示，作PO ⊥平面ABC 于O ，PN AB ⊥于N ，连结MN ， 由三垂线定理可得，MN AB ⊥，由于PON ∆为以O ∠为直角的直角三角形，因此PN ON >， 故PAB OAB S S ∆∆>，同理PAC OAC S S ∆∆>，PBC OBC S S ∆∆>， PAB PAC PBC ABC OBC OAC OAB S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∴++>=++，故选项C 正确；不妨设PA x =，PB y =，PC z =，则AB AC BC 在ABC ∆中，cos 0,cos 0,cos 0A BC=>>>，因此ABC ∆为锐角三角形，故选项D 正确． 故选：ACD ．【点评】本题主要考查空间图形的综合问题，考查了学生空间想象，构造，综合分析，数学运算等能力等知识，属于中等题．12．（5分）设1e，2e为单位向量，满足12|2|e e − ，12a e e =+ ，123b e e =+ ，则a ，b 的夹角为θ，则2cos θ的可能取值为( )A ．1920B ．2029C ．2829D ．1【分析】由已知结合向量数量积的性质先求出12e e ⋅的范围，然后结合向量数量积的定义及夹角公式进行求解即可．【解答】解：因为1e ，2e为单位向量，且满足12|2|e e −所以124412e e −⋅+ ，即1234e e ⋅ ，所以121212()(3)44a b e e e e e e ⋅=+⋅+=+⋅，221212||()22a e e e e =+=+⋅ ，221212||(3)106b e e e e =+=+⋅ ， 则22212122212121212(44)4(1)()424228cos (1)(1)33329||||(22)(106)5353534e e e e a b a b e e e e e e e e θ+⋅+⋅⋅====−−=+⋅+⋅+⋅+⋅+×故选：CD ．【点评】本题主要考查了向量数量积性质的综合应用，考查了函数取值范围的求解，属于中档题． 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为715，取得两个绿球的概率为115，则至少取得一个红球的概率为【分析】利用对立事件的概率公式求解即可．【解答】解：由题意，取得两个绿玻璃球的概率为115， 所以至少取得一个红球的概率为11411515−=． 故答案为：1415． 【点评】本题考查了对立事件概率公式的理解与应用，属于基础题． 14．（5分）若复数z 满足|32|1z i −+=，则|62|z i −−的最小值为 4 ．【分析】利用复数的几何意义，先确定复数z 对应的点Z 的轨迹是以(3,2)C −为圆心，半径为1的圆，|62|z i −−表示复数z 对应的点Z 与点(6,2)P 之间的距离，然后由圆的几何性质分析求解即可．【解答】解：因为复数z 满足|32|1z i −+=，则复数z 对应的点Z 的轨迹是以(3,2)C −为圆心，半径为1的圆， 又|62|z i −−表示复数z 对应的点Z 与点(6,2)P 之间的距离，所以|62|z i −−的最小值为11514PC −=−=−=．故答案为：4．【点评】本题考查了复数模的几何意义的理解与应用，圆的几何性质的运用，两点间距离公式的应用，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于基础题．15．（5分）已知一组数据1x ，2x ，3x ，…，n x 的平均数为x ，方差为2.s 若131x +，231x +，331x +，…，31n x +的平均数比方差大4，则22s x −的最大值为 1− ．【分析】根据已知条件，结合平均数和方差的公式，即可求解．【解答】解：设新数据131x +，231x +，331x +，…，31n x +的平均数为1x ，方差为21s ， 一组数据1x ，2x ，3x ，…，n x 的平均数为x ，方差为2s ，∴131x x =+，2219s s =， 131x + ，231x +，331x +，…，31n x +的平均数比方差大4，∴23194x s +=+， ∴21133s x =−， 222211111()33636s x x x x −=−−=−−−， 又 211033s x =− ，∴1x ，故当1x =时，22s x −取得最大值，最大值为1−．故答案为：1−．【点评】本题主要考查方差与平均数的求解，掌握二次函数的性质是解本题的关键，属于基础题．16．（5分）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，O 为ABC ∆的外心，且有AB BC AC +，sin (cos cos sin 0C A C A −+=，若AO xAB y AC =+，x ，y R ∈，则2x y −=3− ． 【分析】设三角形的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，运用三角函数的和角公式和正弦定理、余弦定理，求得B ，A ，C ，再将AO xAB y AC =+ 的两边点乘AB ，AC，运用向量数量积的定义和性质，可得x ，y 的方程组，解方程组得x ，y 的值，计算即可．【解答】解：设三角形的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AB BC AC +，sin (cos cos sin 0C A C A +=，可得c a +，sin cos cos sin C A C A C +，即为sin()C A C +，即有sin B C =，可得b =，a c =，222222231cos 222c a b c c c B ac c +−+−===−， 可得120B =°，30A C ==°，若AO xAB y AC =+可得2AO AB xAB y AC AB ⋅=+⋅ ，即有22212c xc y =，化为231x y +=，...①又可得2AO AC xAB AC y AC ⋅=⋅+ ， 即有22233322c xc y c =+⋅，化为21x y +=，...② 由①②解得1x =−，1y =， 所以21213x y −=−−×=−． 故答案为：3−．【点评】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了平面向量数量积的定义和性质，以及三角形函数的化简和求值问题，是中档题．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（10分）已知圆C 的方程：22240x y x y m +−−+=． （Ⅰ）求m 的取值范围；（Ⅱ）当圆C 与圆22:(3)(1)16D x y +++=相外切时，求直线:240l x y +−=被圆C 所截得的弦MN 的长． 【分析】（Ⅰ）根据圆的一般方程表示圆的条件即可求m 的取值范围；（Ⅱ）根据圆与圆相切的等价条件求出m 的值，结合直线的弦长公式进行求解即可． 【解答】解：（Ⅰ）圆C 的方程可化为22(1)(2)5x y m −+−=− …（2分） 令50m −>，得5m <．…（4分）（Ⅱ）圆22:(1)(2)5C x y m −+−=−，圆心(1,2)C ，半径r=圆22:(3)(1)16D x y +++=，圆心(3,1)D −−，半径4R =…（6分） 圆C 与圆D 相外切∴4=+，解得4m = …（8分）圆心(1,2)C 到直线:240l x y +−=的距离为d =…（10分）||MN ∴= …（12分） 【点评】本题主要考查圆与圆的位置关系的应用以及直线和圆相交的弦长公式的计算，考查学生的计算能力．18．（12分）已知向量(1,2)a =−，||b = （1）若b a λ=，其中0λ<，求b 的坐标；（2）若a 与b 的夹角为23π，求()(2)a b a b −⋅+ 的值． 【分析】（1）根据题意，可得(,2)b a λλλ==−，由向量模的计算公式可得λ的值，即可得答案； （2）根据题意，求出a b ⋅的值，又由数量积的运算性质计算可得答案．【解答】解：（1）根据题意，若b a λ=，则(,2)b a λλλ==− ，又由||b =2520λ=，解可得2λ=±，又由0λ<，则2λ=−，则(2,4)b −；（2）根据题意，向量(1,2)a =−，则||a = ，又由||b = a 与b 的夹角为23π，则2cos 53a b π⋅=− ，22()(2)2102055a b a b a b a b −⋅+=−−⋅=−+=− ．【点评】本题考查向量数量积性质以及运算，涉及向量数量积的计算，属于基础题． 19．（12分）已知等差数列{}n a ，14a =，前n 项和为n S ，各项为正数的等比数列{}n b 满足：112b =，5342b b b =−，949S b =．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）在空间直角坐标系中，O 为坐标原点，存在一系列的点(2,,1)n n n n P a c +−，(n n Q b ，1−，1)，若n n OP OQ ⊥，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【分析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得所求；（2）由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和． 【解答】解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，5342b b b =− ，221q q ∴=−，得12q =，1q =−（舍)，又112b =，∴1112n n n b b q −==． 949S b = ，∴541992a ×=，解得516a =， 又14a =，∴51123514a a d−===−， 4(1)331n a n n ∴=+−×=+．（2）由（1）得31na n =+，12n nb =． n n OP OQ ⊥ ，∴210n n n n n a b bc +−−=，∴312n n n c +=． ∴234710312222n n n T +=+++…+，① ①式等号两边同乘以12，得234147103122222n n T n ++=+++…+，②①−②得2312311111(1)4333311111131131737223()31222222222222222212n n n n n n n n T n n n n ++++−++++=+++…+−=++++…+−=+×−=−−． ∴3772n nn T +=−． 【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，错位相减法求和，属于 中档题． 20．（12分）“绿水青山，就是金山银山．”从社会效益和经济效益出发，某市准备投入资金进行生态环境建设，促进旅游业的发展．计划本年度投入1200万元，以后每年投入均比上年减少20%，本年度旅游业收入估计为400万元，预计今后旅游业收入的年增长率相同．设本年度为第一年，已知前三年旅游业总收入为1525万元．（Ⅰ）设第n 年的投入为n a 万元，旅游业收入为n b 万元，写出n a ，n b 的表达式； （Ⅱ）至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？ （参考数据：20.301lg ≈，30.477)lg ≈【分析】（Ⅰ）由题意知{}n a ，{}n b 均为等比数列，根据条件中的数列{}n a 的首项和公比直接写出通项公式，设数列{}n b 的公比为q ，根据三年内旅游业总收入求得q ，从而求得{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设至少经过n 年，旅游业的总收入才能超过总投入．分别计算出经过n 年，总投入和旅游业总收入，根据不等关系列出表达式，解得n 的最小值即可． 【解答】解：（Ⅰ）由题意知{}n a ，{}n b 均为等比数列， 数列{}n a 的首项为1200，公比为4120%5−=，所以141200()5n n a −=⋅，设数列{}n b 的公比为q ，显然q 0>，q ≠1．所以三年内旅游业总收入为3400(1)15251q q−=−，即261116q q ++=，所以21616450q q +−=，解得54q =或94q =−（舍) 所以15400()4n n b −=⋅．（Ⅱ）设至少经过n 年，旅游业的总收入才能超过总投入． 则经过n 年，总投入为41200[1()]456000[1()]4515n n −=−−，经过n 年，旅游业总收入为5400[1()]541600[()1]5414n n −=−−，所以541600[()1]6000[1()]45n n −>−，化简得4515()4()19054n n ⋅+⋅−>，设4()(01)5n tt <<，代入上式得2151940t t −+>， 解此不等式，得t 1>（舍去）或t 415<， 即44()515n <，解得45422(35)3231 5.915225321lg lg lg lg lg n log lg lg lg −+−−>==≈−−， 由此得n 6 ．所以至少经过6 年，旅游业的总收入才能超过总投入．【点评】本题考查等比数列及其前n 项和的实际应用，考查学生的应用数列模型的能力和运算能力，属中档题．21．（12分）已知三棱锥M ABC −中，MA MB MC AC ====，2AB BC ==，O 为AC 的中点，点N 在线BC 上，且23BN BC =．（1）证明：BO ⊥平面AMC ； （2）求二面角N AM C −−的正弦值．【分析】（1）只需证明OB AC ⊥及OB OM ⊥即可；（2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量公式求解即可． 【解答】解：( 1)如图所示：连接OM ，AC ，OM 相交于O ，在ABC ∆中：2,ABBC AC ===90,ABC BO ∠=°，OB AC ⊥． 在MAC ∆中：MA MC AC ===，O 为AC 的中点，则OM AC ⊥，且OM =在MOB ∆中：BO OM MB =，满足：222BO OM MB +=根据勾股定理逆定理得到OB OM ⊥，故OB ⊥平面AMC ；（2）因为OB ，OC ，OM 两两垂直，建立空间直角坐标系O xyz −如图所示．因为MA MB MC AC ====，2ABBC ==则(0,A B C M ， 由23BN BC =所以，N 设平面MAN 的法向量为(,,)m x y z =，则(,,)0,(,,)0AN m x y z x y AM m x y z ⋅=⋅= ⋅=⋅=+令y =(1)m −− ，因为BO ⊥平面AMC，所以OB = 为平面AMC 的法向量，所以(1)m −− 与OB = 所成角的余弦为cos ,m OB <>= ．所以二面角的正弦值为2|sin ,|m OB <>== ． 【点评】本题考查线面垂直的判定及二面角正弦值的求法，考查空间向量在立体几何中运用，属于常规题目．22．（12分）已知圆22:4O x y +=和定点(1,0)A ，平面上一动点P 满足以线段AP 为直径的圆内切于圆O ，动点P 的轨迹记为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）直线:(4)(0)l y k x k =−≠与曲线C 交于不同两点M ，N ，直线AM ，AN 分别交y 轴于P ，Q 两点．求证：||||AP AQ =．【分析】（1）由两圆内切的条件和椭圆的定义，可得所求轨迹方程；（2）设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，联立直线l 的方程和椭圆方程，运用韦达定理，计算MA NA k k +，可判断三角形APQ 的形状，即可得到证明．【解答】解：（1）设以线段AP 为直径的圆的圆心为C ，取(1,0)A ′−．依题意，圆C 内切于圆O ，设切点为D ，则O ，C ，D 三点共线，因为O 为AA ′的中点，C 为AP 中点，所以||2||A P OC ′=．所以||||222224||2PA PA OC AC OC CD OD AA ′+=+=+==>′=，所以动点P 的轨迹是以A ，A ′为焦点，长轴长为4的椭圆， 设其方程为22221(0)x y a b a b+=>>， 则24a =，22c =，所以2a =，1c =，所以2223b a c =−=，所以动点P 的轨迹方程为22143x y +=； （2）证明：设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，由22(4)3412y k x x y =− +=，得2222(34)3264120k x k x k +−+−=，依题意△2222(32)4(34)(6412)0k k k =−−+−>，即2104k <<， 21223234k x x k +=+，2122641234k x x k −=+， 为12121212121212(4)(4)[5()8]1111(1)(1)MA NA y y k x k x k x x x x k k x x x x x x −−−+++=+=+=−−−−−− 222212641232[2()5()8]34340(1)(1)k k k k k x x −⋅−⋅+++=−−， 所以直线MP 倾斜角与直线NQ 倾斜角互补，即OAP OAQ ∠=∠．因为OA PQ ⊥，所以||||AP AQ =．【点评】本题考查轨迹方程的求法，以及直线和椭圆的位置关系，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．。

江苏省天一中学2018-2019高三11月月考一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相．．．．应位置上．．．．．1.设集合，则_______．【分析】直接利用集合并集的定义求解即可.【详解】因为集合,所以，故答案为.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合或属于集合的元素的集合.2.命题：“使得”的否定为__________.【分析】根据特称命题的否定是全称命题，既要改写量词，又要否定结论，可得原命题的否定形式.【详解】因为特称命题的否定是全称命题,既要改写量词，又要否定结论，故命题“”的否定是，故答案为.【点睛】本题主要考查特称命题的否定，属于简单题.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词、存在量词改写为全称量词;二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可.3.函数的定义域为_________.【分析】直接由根式内部的代数式大于等于0 ，分式的分母不等于0 ,列不等式求解即可得结果.【详解】要使函数有意义，则，解得，函数的定义域为，故答案为.【点睛】本题主要考查具体函数的定义域、不等式的解法，属于中档题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出.4.曲线在处的切线的斜率为_________.【分析】求出原函数的导函数，可得到曲线在处的导数值,根据导数的几何意义可得结果.【详解】因为曲线在处的切线的斜率就是曲线在处的导数值，由得,，即曲线在处的切线的斜率为1，故答案为1.【点睛】本题考查了利角导数研究曲线上某点处的切线斜率,曲线在某点处的导数值,即为曲线上以该点为切点的切线的斜率，是中档题.5.若函数是偶函数，则实数______．【分析】由函数是偶函数，利用求得，再验证即可得结果.【详解】是偶函数，，即，解得，当时，是偶函数，合题意，故答案为1.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，属于中档题. 已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由恒成立求解，（2）偶函数由恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由求解，偶函数一般由求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.6.已知，函数和存在相同的极值点，则________．【分析】(1)求出函数的导数，可得极值点,通过与有相同的极值点，列方程求的值.【详解】，则，令，得或，可得在上递增；可得在递减，极大值点为，极小值点为，因为函数和存在相同的极值点，而在处有极大值，所以，所以，故答案为3.【点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值，属于中档题.求函数极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值.7.已知函数.若，则实数的最小值为______.试题分析：由题意得,实数的最小值为考点：三角函数周期8.已知函数和函数的图像相交于三点，则的面积为__________．【解析】联立方程与可得，解之得，所以，因到轴的距离为，所以的面积为，应填答案。

2024学年江苏省天一中学高三3月大联考数学试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）为（ ）A ．163B ．6C ．203D ．2232．设非零向量a ，b ，c ，满足||2b =，||1a =，且b 与a 的夹角为θ，则“||3b a -=”是“3πθ=”的（ ）． A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3．已知函数()(N )k f x k x+=∈，ln 1()1x g x x +=-，若对任意的1c >，存在实数,a b 满足0a b c <<<，使得()()()g a f b g c ==，则k 的最大值是( )A ．3B ．2C ．4D ．54．已知复数z 满足()14i z i -=，则z =（ ）A ．22B ．2C ．4D ．35．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且43a =-，1224S =，若0+=i j a a （*,i j ∈N ，且1i j ≤<），则i 的取值集合是（ ）A ．{}1,2,3B ．{}6,7,8C ．{}1,2,3,4,5D ．{}6,7,8,9,106．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M 为棱1DD 的中点，则平面ACM 截该正方体的内切球所得截面面积为（ ）A ．3πB ．23πC ．πD ．43π 7．如图，点E 是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱DD 1的中点，点F ，M 分别在线段AC ，BD 1（不包含端点）上运动，则（ ）A ．在点F 的运动过程中，存在EF //BC 1B ．在点M 的运动过程中，不存在B 1M ⊥AEC ．四面体EMAC 的体积为定值D ．四面体FA 1C 1B 的体积不为定值8．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A ．23B ．43C ．2D ．839．已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点，,A B 是C 的左、右顶点，点P 在过1F 3直线上，PAB △为等腰三角形，120ABP ∠=︒，则C 的渐近线方程为（ ）A ．12y x =±B ．2y x =±C ．3y x =D ．3y x =10．设命题p:n ∃>1,n 2>2n ,则⌝p 为（ ）A ．21,2n n n ∀>>B ．21,2n n n ∃≤≤C ．21,2n n n ∀>≤D ．21,2n n n ∃>≤11．盒中装有形状、大小完全相同的5张“刮刮卡”，其中只有2张“刮刮卡”有奖，现甲从盒中随机取出2张，则至少A ．12B ．35C ．710D ．4512．下图所示函数图象经过何种变换可以得到sin 2y x =的图象（ ）A ．向左平移3π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移6π个单位 D ．向右平移6π个单位 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019届江苏省无锡市天一中学高三11月月考数学试题一、填空题1．设集合，则_______．【答案】【解析】直接利用集合并集的定义求解即可.【详解】因为集合,所以，故答案为.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合或属于集合的元素的集合.2．命题：“ 使得”的否定为__________.【答案】【解析】根据特称命题的否定是全称命题，既要改写量词，又要否定结论，可得原命题的否定形式.【详解】因为特称命题的否定是全称命题,既要改写量词，又要否定结论，故命题“”的否定是，故答案为.【点睛】本题主要考查特称命题的否定，属于简单题.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词、存在量词改写为全称量词;二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可.3．函数的定义域为_________.【答案】【解析】直接由根式内部的代数式大于等于0 ，分式的分母不等于0 ,列不等式求解即可得结果.【详解】要使函数有意义，则，解得，函数的定义域为，故答案为.【点睛】本题主要考查具体函数的定义域、不等式的解法，属于中档题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出.4．曲线在处的切线的斜率为_________.【答案】1【解析】求出原函数的导函数，可得到曲线在处的导数值,根据导数的几何意义可得结果.【详解】因为曲线在处的切线的斜率就是曲线在处的导数值，由得,，即曲线在处的切线的斜率为1，故答案为1.【点睛】本题考查了利角导数研究曲线上某点处的切线斜率,曲线在某点处的导数值,即为曲线上以该点为切点的切线的斜率，是中档题.5．若函数是偶函数，则实数______．【答案】1【解析】由函数是偶函数，利用求得，再验证即可得结果.【详解】是偶函数，，即，解得，当时，是偶函数，合题意，故答案为1.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，属于中档题. 已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由恒成立求解，（2）偶函数由恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由求解，偶函数一般由求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.6．已知，函数和存在相同的极值点，则________．【答案】3【解析】(1)求出函数的导数，可得极值点,通过与有相同的极值点，列方程求的值.【详解】，则，令，得或，可得在上递增；可得在递减，极大值点为，极小值点为，因为函数和存在相同的极值点，而在处有极大值，所以，所以 ，故答案为3.【点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值，属于中档题.求函数极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值.7．已知函数.若，则实数的最小值为______.【答案】【解析】试题分析：由题意得,实数的最小值为【考点】三角函数周期8．已知函数()[]()sin 0,f x x x π=∈和函数()1tan 3g x x =的图像相交于,,A B C 三点，则ABC ∆的面积为__________． 2π 【解析】联立方程()sin f x x =与()1tan 3g x x =可得1tan sin 3x x =，解之得10,,cos sin 33x x x π==⇒=，所以()()()0,0,,0,,sin A B C x x π，因(),,sin AB C x x π=到x 轴的距离为sin x =，所以ABC ∆的面积为12S π=⨯= 9．已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在区间（−∞，0）上单调递增.若实数a 满足f （2|a-1|）＞f （），则a 的取值范围是______. 【答案】13,22⎛⎫⎪⎝⎭【解析】试题分析：由题意()f x 在()0,+∞上单调递减，又()f x 是偶函数，则不等式()(12a f f ->可化为()12a f f ->，则12a -< 112a -<，解得1322a <<． 【考点】利用函数性质解不等式【名师点睛】利用数形结合解决不等式问题时，在解题时既要想形又要以形助数，常见的“以形助数”的方法有：（1）借助数轴，运用数轴的有关概念，解决与绝对值有关的问题，解决数集的交、并、补运算非常有效．（2）借助函数图象的性质，利用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的基本方法，需要注意的问题是准确把握代数式的几何意义实现由“数”向“形”的转化． 10．已知0y x π<<<，且tan tan 2x y =， 1sin sin 3x y =，则x y -=______． 【答案】3π 【解析】试题分析：由tan tan 2x y =可得sin sin 2cos cos x y x y =.又因为1sin sin 3x y =所以1cos cos 6x y =.又因为()1cos cos cos sin sin 2x y x y x y -=+=.又因为0y x π<<<所以0x y π<-<.所以3x y π-=.本小题关键是角的和差的余弦公式的正逆方向的应用.【考点】1.余弦和差公式的应用.2.解三角方程.11．在平行四边形ABCD 中，AC AD AC BD ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r3=，则线段AC 的长为 ．【解析】试题分析：由AC AD AC BD ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 得()0AC AD BD ⋅-=u u u r u u u r u u u r ，即0AC AB ⋅=u u u r u u u r，所以AC AB ⊥，于是AC CD ⊥，又22()AC AD AC AC CD AC AC CD AC ⋅=⋅+=+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，即23AC =u u u r ，所以3AC =；【考点】1.向量的数量积；12．已知，，且，则的最大值为______． 【答案】 【解析】利用同角三角函数的关系以及两角和的正弦公式化简可得，由此得，利用基本不等式可得结果.【详解】，，，可得，，，，，故答案为-4.【点睛】本题主要考查同角三角函数的关系以及两角和的正弦公式、两角和的正切公式以及利用基本不等式求最值，属于难题.求最值问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据:配方法、换元法、不等式法、三角函数法、图象法、函数单调性法求解，，利用基本不等式求最值，注意应用基本不等式的条件是“一正二定三相等”.13．设是自然对数的底数，函数有零点，且所有零点的和不大于6，则的取值范围为______．【答案】【解析】对分四种情况讨论，分别判断函数的单调性与最值，根据单调性、最值，判断函数是否有零点，若函数有零点，判断所有零点的和是否不大于6，综合各种讨论结果，即可得结论.【详解】①，时，在单调递减，且在有一个小于0的零点；时，在单调递增，，在有一个小于1的零点，因此满足条件.②（1）时，在单调递减，在上没有零点.又,故在上也没有零点，因此不满足题意.(2)时，在上单调递减，在上单调递增，在上没有零点.又，故在上也没有零点，因此不满足题意.(3)时，在上没有零点，在上只有零点2，满足条件.(4)时，在上没有零点，在上有两个不相等的零点，且和为,故满足题意的范围是.综上所述，的取值范围为，故答案为.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与零点以及分类讨论思想的应用.属于难题.分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中. 14．设函数,若存在，使，则的取值范围是____．【答案】【解析】存在, 使，等价于，化简的解析式，判断的单调性，讨论的单调区间与区间的关系，求出在上的最小值，令最小值小于或等于零解出即可.【详解】存在, 使，，当时,,在上单调递减；当时,，在上单调递减，在上单调递增；当时，，在上单调递增，(1) 若，即时，在上单调递增,,解得；(2)若，即时，在上单调递减，在上单调递增，，解得，综上，的取值范围是，故答案为.【点睛】本题主要考查不等式有解问题以及利用导数研究函数的单调性、求函数最值，考查了分类讨论思想的应用，属于难题.不等式有解问题不能只局限于判别式是否为正，不但可以利用一元二次方程根的分布解题，还可以转化为有解（即可）或转化为有解（即可）.二、解答题15．已知，．（1）求的值；（2）设函数，，求函数的单调增区间．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由，两边平方可得，结合，可得，即；（2）由（1）知，，利用二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数的递增区间.【详解】（1）由，得，即，所以．因为，所以，所以，即．（2）由（1）知，，所以．令，得，所以函数的单调增区间是，．【点睛】本题主要考查三角函数的单调性、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及正弦函数的单调性，属于中档题.函数的单调区间的求法：(1) 代换法：①若,把看作是一个整体，由求得函数的减区间，求得增区间；②若,则利用诱导公式先将的符号化为正，再利用①的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解；(2) 图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.16．如图，在中，已知是边上的一点，,,求：（1）的长；（2）的面积.【答案】（1）5；（2）.【解析】（1）在中，,,由余弦定理得，解得；（2）在中，由正弦定理得，解得，利用三角形面积公式可得结果.【详解】（1）在中，由余弦定理得，解得.（2）在中，由正弦定理得，，解得，所以.【点睛】本题主要考查正弦定理、三角形面积公式以及余弦定理的应用，属于中档题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.17．在平面直角坐标系中，已知向量,设向量，其中.（1）若，，求的值；（2）若，求实数的最大值，并求取最大值时的值.【答案】（1）；（2）；【解析】试题分析：（1）向量数量积问题可以先求向量的坐标，再利用坐标运算；或者先符号运算进行化简，再代入坐标；（2）由向量共线得到与的关系式，用表示出，再利用导数求该函数的最大值，为了便于运算，可以求的最小值；试题解析：（1）（方法1）当，时，，()，则．（方法2）依题意，，则．（2）依题意，，，因为x y，所以，整理得，，令，则.令，得或，又，故. 列表：↘极小值↗故当时，，此时实数取最大值.【考点】1.向量数量积的坐标公式；2.向量共线的坐标公式；3利用导数求函数的最值；18．对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”．（1）已知二次函数，试判断是否为“局部奇函数”？并说明理由；（2）若是定义在区间上的“局部奇函数”，求实数的取值范围；（3）若为定义域上的“局部奇函数”，求实数的取值范围.【答案】（1）是；（2）；（3）.【解析】(1)由“局部奇函数”的定义，为“局部奇函数”等价于关于x的方程有解，结合函数，解方程即可得结论；(2)若是定义在上的“局部奇函数”，则在有解，分离参数，利用导数求函数的最值，进而可得实数的取值范围；(3)若是定义域上的“局部奇函数”，则有解，根据分类讨论思想，结合一元二次方程根的分布，列不等式求出满足条件的的取值范围可得结果.【详解】为“局部奇函数”等价于关于x的方程有解．（1）当时，方程即有解，所以为“局部奇函数”．（2）当时，可化为，因为的定义域为，所以方程在上有解．令，则．设，则，当时，，故在上为减函数，当时，，故在上为增函数．所以时，．所以，即．（3）当时，可化为．，则，从而在有解即可保证为“局部奇函数”．令，1°当，在有解，由，即，解得；2°当时，在有解等价于解得．综上，所求实数m的取值范围为．【点睛】本题考查指数函数的性质、二次函数的性质、新定义问题及分类讨论思想函数与方程思想的应用，属于难题. 新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.19．如图，、是海岸线、上的两个码头，为海中一小岛，在水上旅游线上．测得，，到海岸线、的距离分别为，．（1）求水上旅游线的长；（2）海中，且处的某试验产生的强水波圆，生成小时时的半径为．若与此同时，一艘游轮以小时的速度自码头开往码头，试研究强水波是否波及游轮的航行？【答案】（1）；（2）强水波不会波及游轮的航行．【解析】(1)以点为坐标原点，直线为轴，建立直角坐标系，直线的方程为，，由点到直线距离公式得求得直线的方程为，可得交点，结合由两点间距离公式可得的长；(2)设试验产生的强水波圆，生成小时，游轮在线段上的点处，令，求得，，利用导数证明，即恒成立，从而可得结果.【详解】（1）以点为坐标原点，直线为轴，建立直角坐标系如图所示．则由题设得：，直线的方程为，，由，及得，直线的方程为，即，由得即，，即水上旅游线的长为．（2）设试验产生的强水波圆，生成小时，游轮在线段上的点处，则，，，令，则，，，，，，由得或（舍去）+-，时，，即恒成立，亦即强水波不会波及游轮的航行．【点睛】本题主要考查阅读能力、数学建模能力和化归思想以及直线方程、点到直线距离公式以及利用导数研究函数的单调性求函数的最值，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.20．已知函数，.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）证明：当时，曲线恒在曲线的下方；（3）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.【解析】（1）求出,求出的值可得切点坐标，求出的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线在点处的切线方程；(2)要使得当时，曲线恒在曲线的下方，即需证，不妨设，则，利用导数证明取得最大值即可得结果；(3)由题意可知，可得不等式可转化为，构造函数，分类讨论，利用导数研究函数的单调性，可证明的最大值小于零，从而可得结论.【详解】（1），，故切线方程是.(2)要使得当时，曲线恒在曲线的下方，即需证，不妨设，则，，令，恒成立，^在单调递减，v又时，；当时，，在上单调递增，在上单调递减，即当时，取得最大值，当时，，即，当时，曲线恒在曲线的下方，(3)由题意可知，不等式可转化为，构造函数，，在二次函数中，开口向下，对称轴，且过定点，解得，得(舍去），.①当时，即(舍去）或，此时当时，；时,；当时，取得最大值，记为，由得，，而，当时，，即在上递减，当时，，即在上递增，在处取得最小值，只有符合条件，此时解得，不合条件，舍去;②当时，解得，当时，在时取得最大值，即当时，恒成立，原不等式恒成立；③当时，解得，当时，，在时取得最大值，记为，由（2)可知的图象与的图象相同，当时，，原不等式恒成立；综上所述，实数的取值范围是.【点睛】本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.。

2019届江苏省无锡市天一中学高三11月月考数学试题一、填空题1．设集合，则_______．【答案】【解析】直接利用集合并集的定义求解即可.【详解】因为集合,所以，故答案为.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合或属于集合的元素的集合.2．命题：“ 使得”的否定为__________.【答案】【解析】根据特称命题的否定是全称命题，既要改写量词，又要否定结论，可得原命题的否定形式.【详解】因为特称命题的否定是全称命题,既要改写量词，又要否定结论，故命题“”的否定是，故答案为.【点睛】本题主要考查特称命题的否定，属于简单题.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词、存在量词改写为全称量词;二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可.3．函数的定义域为_________.【答案】【解析】直接由根式内部的代数式大于等于0 ，分式的分母不等于0 ,列不等式求解即可得结果.【详解】要使函数有意义，则，解得，函数的定义域为，故答案为.【点睛】本题主要考查具体函数的定义域、不等式的解法，属于中档题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出.4．曲线在处的切线的斜率为_________.【答案】1【解析】求出原函数的导函数，可得到曲线在处的导数值,根据导数的几何意义可得结果.【详解】因为曲线在处的切线的斜率就是曲线在处的导数值，由得,，即曲线在处的切线的斜率为1，故答案为1.【点睛】本题考查了利角导数研究曲线上某点处的切线斜率,曲线在某点处的导数值,即为曲线上以该点为切点的切线的斜率，是中档题.5．若函数是偶函数，则实数______．【答案】1【解析】由函数是偶函数，利用求得，再验证即可得结果.【详解】是偶函数，，即，解得，当时，是偶函数，合题意，故答案为1.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，属于中档题. 已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由恒成立求解，（2）偶函数由恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由求解，偶函数一般由求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.6．已知，函数和存在相同的极值点，则________．【答案】3【解析】(1)求出函数的导数，可得极值点,通过与有相同的极值点，列方程求的值.【详解】，则，令，得或，可得在上递增；可得在递减，极大值点为，极小值点为，因为函数和存在相同的极值点，而在处有极大值，所以，所以 ，故答案为3.【点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值，属于中档题.求函数极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值.7．已知函数.若，则实数的最小值为______.【答案】【解析】试题分析：由题意得,实数的最小值为【考点】三角函数周期8．已知函数()[]()sin 0,f x x x π=∈和函数()1tan 3g x x =的图像相交于,,A B C 三点，则ABC ∆的面积为__________．【解析】联立方程()sin f x x =与()1tan 3g x x =可得1t a n s i n 3x x =，解之得10,,cos sin 3x x x π==⇒=，所以()()()0,0,,0,,s i nA B C x x π，因(),,s in A B C xπ=到x 轴的距离为sin x =，所以ABC ∆的面积为1233S π=⨯⨯=，应填答案3。

江苏省无锡市天一中学2025届高三第四次模拟考试数学试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．使得()3nx n N+⎛+∈ ⎝的展开式中含有常数项的最小的n 为( )A ．4B ．5C ．6D ．72．若集合M ＝{1，3}，N ＝{1，3，5}，则满足M ∪X ＝N 的集合X 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．43．已知236a b ==，则a ，b 不可能满足的关系是（） A ．a b ab +=B ．4a b +>C ．()()22112a b -+-< D ．228a b +>4．设集合A 、B 是全集U 的两个子集，则“A B ⊆”是“UA B =∅”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知函数2()(2)g x f x x =+为奇函数，且(2)3f =，则(2)f -=（ ）A ．2B ．5C ．1D ．36．已知函数()()2sin 1f x x ωϕ=+-（0>ω，0ϕπ<<）的一个零点是3π，函数()y f x =图象的一条对称轴是直线6x π=-，则当ω取得最小值时，函数()f x 的单调递增区间是（ ）A ．3,336k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） B ．53,336k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） C ．22,236k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） D ．2,236k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） 7．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知23C π=，1c =．当,a b 变化时，若z b a λ=+存在最大值，则正数λ的取值范围为A ．(0,1)B ．(0,2)C ．1(,2)2D ．(1,3)8．2019年10月1日，中华人民共和国成立70周年，举国同庆.将2,0,1,9,10这5个数字按照任意次序排成一行，拼成一个6位数，则产生的不同的6位数的个数为 A ．96B ．84C ．120D ．3609．设{1,0,1,2}U =-，集合2{|1,}A x x x U =<∈，则U C A =（ ）A ．{0,1,2}B ．{1,1,2}-C ．{1,0,2}-D ．{1,0,1}-10．已知双曲线22221x y a b-=的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为（ ）A ．43B ．53C ．54D ．3211．随着人民生活水平的提高，对城市空气质量的关注度也逐步增大，下图是某城市1月至8月的空气质量检测情况，图中一、二、三、四级是空气质量等级，一级空气质量最好，一级和二级都是质量合格天气，下面叙述不正确的是（ ）A ．1月至8月空气合格天数超过20天的月份有5个B ．第二季度与第一季度相比，空气达标天数的比重下降了C ．8月是空气质量最好的一个月D ．6月份的空气质量最差.12．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a B b A c +=.若2a =，ABC 的面积为21)，则b c +=（ ） A ．5B ．22C ．4D ．16二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。