边界层理论基础

以应用与平板边界层时，可简化为：
0 d 2
U
2 0
dx
‹#1›8
13-5 平板上层流边界的计算
应用平板的动量方程来求解平板上的层流边界层时，必 须已知边界层内流速分布。
假设 在整个边界层内沿法线方向为直线变化，如下图。
１．层流边界层内的流速分布公式
ux

2
y



y
2
U0
dx

dt
Mdt


U
0
q x
dx


M x
dxdt

U 0
q x
dxdt
‹#1›6
在讨论作用在控制体ABCD上的冲量．
作用在断面AB上的动水压力的冲量为：
I AB p dt
作用在断面CD上的动水压力的冲量为：
ICD


p

p x
dx


‹#1›1
第二，方程组第一式中惯性项与粘性项既然均不能省略，
那么它们应有相同的数量级， 1
1
~
~
l U 0l Ret
式中：雷诺数 Re t

U 0l


由此可以得出结论：边界层的厚度与所绕流物体长
度的比值的数量级是以该物体长度表示的雷诺数平方根
的倒数。
第三，方程组中p为已知，未知数仅为 ux , uy 所以是可解 的。该方程组也可以应用于曲率比较小的曲面边界层，
维埃－司托克斯方程只有在边界条件极简单的情况下 才能求解，有些复杂的问题只能采用近似解法求解。对于 雷诺数很大时，许多问题惯性项和粘性项两者均不能略去。 1904年普兰特对于雷诺数很大的情况进行了研究，首先创 立了边界层理论，对解决高雷诺数粘滞液体的问题提供了 理论分析的可能，流体力学的发展从此进入了新的阶段。

y u0 u0
u0
x=0
u0 x
壁面附近速度梯度较大的流体层称为边界层。边界 层外，速度梯度接近于零的区称为外流区或主流区。
二、边界层的形成过程
层流边界层和湍流边界层
y 层流边界层 过 湍流边界层
在板前缘附近，边界层 内流速较低，为层流边界 层；而后逐渐过渡为湍流 u0
u0 u0
渡 区
u0
湍流 核心
在距壁面前缘 x 处，取 y
u0
一微元控制体
2
dV=δdx（1）
将动量守恒原理应用 δ
于微元控制体dV，得
ΣF d(mu) dθ
1
0
dx
x 方向：
ΣFx
d (mux ) dθ
（1）
3 δ dδ
4 x
一、边界层积分动量方程的推导
1-2截面：流入
δ
m1 ρuxdy(1)
0
δ
J1
ρu
2 x
dy(1)
边界层外为理想流体的势流，可用 Bernolli方程 描述。在流动的同一水平高度上，有
p ρu02 常数
2
dp dx
ρu0
du0 dx
0
u0
dp 0
dx
边界层内：p y 0
y p1
p3 δ
0
dp 0 dx
p2
p4
x
二、普朗特边界层方程的解
ux
ux x
uy
ux y
ν 2ux y 2
流函数
O(1)
（4）y ：在边界层的范围内，y 由 0→δ，y O(δ)
（5）uy：由连续性方程
ux uy 0 x y
ux O(1) , x

d ρ ∫ (ux − u0 )ux dy = τ s dx 0
δ
（5—14） ） ——卡门边界层积分动量方程 卡门边界层积分动量方程
适用于层流、湍流，精度取决于 适用于层流、湍流，精度取决于ux=f(x,y) 可预先假定一个速度分布方程，如： x = a + by + cy 2 可预先假定一个速度分布方程， u 代入，求得近似解。 代入，求得近似解。
δ
0
δ
第三节 边界层积分动量方程
一、边界层积分动量方程的推导
方向流动： 只考虑 x 方向流动： d dp ρ ∫ ( u x − u0 )u x d y = τ s + l d x dx 0
作数量级分析时，有 ∂p ＝0 即边 作数量级分析时， 界层压力p在 方向近似不变 方向近似不变， 界层压力 在y方向近似不变，等于边界 层外面流体的压力，边界层外按理想流 层外面流体的压力， 体处理。 体处理。
∂ 2uy ∂ 2uy 1 ∂p ux + uy =− +v + 2 2 ∂x ∂y ∂y ρ ∂y ∂x
经化简后， 经化简后，得：
(4- 5a)
∂uy
∂uy
(4 - 5b)
1 ∂p ∂ 2ux ∂ux ∂ux ux + uy =− +v 2 ρ ∂x ∂x ∂y ∂y ∂ux ∂uy + =0 ∂x ∂y
d δ dux (4 - 21) ρ ∫ ux (u0 − ux )dy = µ y =0 0 dx dy 次方为例： 以3次方为例： ux = a + by + cy2 + dy3 次方为例 B.C. y = 0, ux = 0 3 2 d ux ux 3 y 1 y y = 0, =0 ⇒ = ⋅ − ⋅ (4 - 22) 2 dy u0 2 δ 2 δ

ux
∂ux ∂x
+ uy
∂ux ∂y
=
−
1 ρ
∂p ∂x
+
ν
∂ 2u x ∂y 2
∂ux ∂x
+
∂uy ∂y
=
0
边界条件： y =∞（或y = δ），ux = U0 y = 0，ux = 0， uy = 0
其中 U0 = U0(x) =边界层外界限上外部流动的流速 且 p = p(x) = 边界层外界限上外部流动的压强
=
1 2
δ
∫ ∫ δ2 =
δ 0
ux u0
⎜⎜⎝⎛1 −
ux u0
⎟⎟⎠⎞dy
=
δ
1η(1− η)dη = 1 δ
0
6
∫ ∫ ( ) δ3 =
δ 0
ux u0
⎜⎜⎝⎛1 −
ux 2 u0 2
⎟⎟⎠⎞dy
=
δ
1η 1− η2
0
dη = 1 δ 4
10
8.2 边界层微分方程
——利用边界层的性质对粘性流体基本方程（纳维－斯托克斯方 程）的简化。
⎟⎠⎞
=
−δ
dp dx
− τ0
其中: dp/dx和u0应由外部流动求出 → 三个未知量：τ0、δ、ux
应用动量积分方程求解边界层问题的步骤： (1) 补充 ux (x, y)、τ0(δ)关系式，积分方程转变为δ的常微分方程
（2）求解方程 → δ(x) →τ0(x) → 总阻力→ 计算位移厚度等其他 参数。
∫ ∫∫ ∑ 积分形式的动量方程
∂ ∂t
ρurdV
cv
+
cs
ρurundA

例11-1 本例说明例上1表1-111-1的用法。
(1) 欲求边界层内点（x,y）的速度Vx（x,y）
可将ｘ及ｙ的值代入
1 2
y
U x
中得出η值，由
此值从上表中找出相应的
1 2
(
)
=vx/U
则
vx(x,
y)U1()
2
设 U=25 km/h，ν=0.15cm2/s, x=3m,ｙ=5mm，
求：Vx＝？
10. 绕流物体的阻力 11.减少粘性阻力的方法
形状阻力
2
§11-1 边界层的概念
N-S方程理论上完备但求解困难。解决(求解) 工程实际问题大多局限于小雷诺数流动问题。
高Re时(量级在10６～10９的范围),粘性力与惯 性力相比是很小的。
1904年，L.Prandtl指出，对于粘性很小的流 体(如空气、水），粘性对流动的影响仅限于贴 近固体表面的一个薄层内，这一薄层以外，粘性 完全可以忽略。
可得
2 .5 2 x 50 .1 5 1 0 4 3 00 ..01 12 28 8mm 1 .2 8 c m
U
6 .9 5
27
（3)求板面上的切应力0 解： 由牛顿内摩擦定律
0 v y x y 0 y 2 2 y 01 4UU x(0)
按照表11－1，φ″（0）可近似表达为：
(0) (0.1) (0) 1.328
二、动量损失厚度
33
这一动量损失为：
K IK II0 U 2dy(U 20 U 2dy) 0 U 2dy[U 20 (1U vx)dy0 vx2dy]0 vx(Uvx)dy
可用理想流体的速度Ｕ流过某层厚度为θ的截面
U20 vx(Uvx)dy

边界层理论边界层理论始于20世纪50年代，是一种以社会学中的社会心理学为基础的理论。

由于受到社会中的文化差异的影响，社会的边界层不同于一般的社会结构，它是一种身份认同和社会化过程的实质性结构。

其主要内容包括边界层的组成、功能、社会定位和边界层的调整等。

边界层理论主要聚焦于社会层次之间的关系，侧重考察如何管控不同社会层次之间的实证关系，揭示边界层的特征和机理，也为不同社会层次的社会活动提供了一种新的研究框架。

边界层理论告诉我们，每一个社会都由不同的社会层次组成，而每一个社会层次都有它自己的特点，例如在国家层次，就存在不同国家之间的文化差异和经济利益分配差异；在社会机构层次，就存在社会经济地位差异等。

边界层是社会层次之间连接的桥梁，在不同层次上，边界层有着不同的功能。

首先，边界层能够承载社会分类信息，从而使每个社会层次的身份认同更加清晰，例如在民族层次上，边界层有着民族特征，即民族分类的功能，而在宗教层次上，边界层有着宗教的认同，也就是运用边界层的宗教特征来区分每一个宗教信仰。

其次，当边界层作用于不同社会层次之间时，它还具有一种吸引力，它能够将不同社会层次之间的交流促进，以此来实现平等和融合。

这种吸引力可以表现为模仿或认可他人的行为，获得他人的认可和关注，以此来拓展自身的社会地位，最终可以实现融合或社会化。

最后，边界层理论还提供了一些有效的措施来加强边界层的建设，首先，政策立法应该重视社会层次之间的不平等问题，加强社会层次之间的调整，如政府可以以财政补贴的形式来实现资源分配的公平，减少社会层次之间的不公平。

其次，政府需要加强文化教育，确保建立一种同理心的文化氛围，减少不同社会层次之间的文化冲突，从而让边界层的建设更加有效。

社会的发展和进步，不仅需要不同社会层次之间的动力，而且也需要有效的边界层，只有社会的边界层得到加强和完善，才能有效地联系不同的社会层次，推动社会的发展。

边界层理论给我们提出了一种新的观点，用于解读不同社会层次之间的联系，进而让边界层更加有效地联结不同的社会层次，从而为社会发展提供了全新的基础。

位移厚度 1
因为有了边界层，使通
y
过断面的流量比理想流体
流动时减少了
(U ux ) d y
0
δ
0.99U ux
把这些流量折合成理想
流体流动通过一个厚度 1
δ
的流量，这个厚度就叫做
1
位移厚度。
根据定义
u
1 = (1
0
x )d y U
y
0.99U
边界层使来流的流线
向外排挤了位移厚度的
δ
ux
距离，所以位移厚度也
u x (U
0
根据定义
u
2=
x (1 0U
ux) d y u x)d y U
显然, 2< 1
§9—4 平板边界层动量积分方程
对平板绕流的如图区域应用动量方程，进口断面选在平板前缘 处，出口断面离前缘距离为x，出口断面厚度为当地边界层厚度 δ(x)，进口断面厚度取为出口断面的δ(x)-δ1(x)，这样通过进 口断面和出口断面的流量是相等的，必有一条流线可以连接两 个断面的厚度，用它作为区域的上边界。
一侧摩擦力
Cf =
摩阻系数
1
D
= 1.328 el
U 2 (bl)
R 1/2
2
二.平板紊流边界层
平板紊流边界层兼有 壁面紊流和自由紊流的
① 粘性底层 0 < y+ < 5 ② 过渡区 5 < y+ < 70
性质，在边界层的外 区，流动特性与圆管紊 流有所不同。
③ 紊流区
+>
<
④ 不稳定区
y 0.4
由于平板首部转捩点前必有一段层流边界层，所以不存在全 程为紊流的边界层，只能是混合边界层。按全程为紊流边界层 的摩擦阻力计算应作修正。

边界层厚度沿流体流动方向是增加的，由于边界层内流体
质点受到黏性力的作用，流动速度降低，所以要达到外部势 流速度，边界层厚度必然逐渐增加。 由 于 边 界 层 很 薄 ， 可 以 近 似 认 为 边 界 层 中 各 截 面 上 的 压强等于同一截面上边界层外边界上的压强值。
在边界层内，黏性力与惯性力同一数量级。
普朗特ludwigprandtl1875年2月4日出生于德国的弗莱辛1953年8月15日卒于哥廷根现代力学的奠基人之一他创立了边界层理论薄翼理论升力线理论研究了超声速流动提出普朗特葛劳渥法则并与他的学生梅耶一起研究了膨胀波现象普朗特梅耶流动并首次提出超声速喷管设计方法
第九章 边界层理论基础
主要内容
边界层的概念及理论
2
第一节 边界层的基本概念
1904年，在德国举行的第三届国际数学家学会上，
德国著名的力学家普朗特第一次提出了边界层的概念。 他认为对于水和空气等黏度很小的流体，在大雷诺 数下绕物体流动时，黏性对流动的影响仅限于紧贴物体 壁面的薄层中，而在这一薄层外黏性影响很小，完全可 以忽略不计，这一薄层称为边界层。
边界条件
y 0 : u 0, v 0 u0 y : u 0.9911
普朗特的学生布拉修斯于1908年将普朗特边界层 方程应用于半无限长平板层流边界层精确解，得到：
精确解： 4.96xRex 近似解： 5.48xRex
y
u0 δ(x)
边界层 外边界
-1 2 -1 2
15
第三节 边界层分离
边界层分离现象：实际流体流过弯曲壁面时，经 常从某一点开始边界层脱离壁面，并产生漩涡， 这种现象也叫脱体现象。
工程上常用无量纲的压强系数表示物体表面 上任一点的压强，对圆柱体有

沿边界层外法线方向压强不变，等于边界层外边界上
p dp 的压强，即p=p(x)。所以 x dx
2009-11-25 粘性流体力学 唐晓寅制作 第6页
第六章 边界层基本理论 在边界层外边界上，由势流的伯努利方程:
1 2 ue C 2 ue 1 p ue ue t x x p
第六章 边界层基本理论
y * x f * ( ) x
x x ue ue g ( ) x 1 2 x 1 2
（6-17）
4) 若有相似性解，要使边界条件与x 无关，则有
u Cons tant 1 2 x
使必有 m 1 2 ,
2009-11-25
1 从而， 2
粘性流体力学
，故
第20页
唐晓寅制作
（6-16）
1）引入线性变换群
x A1 x,
1
y A2 y ,
1
A ,
5
ue A4 ue
u x 3 x 1 y 2 A ( ) ( ) ( ) x y ux
2009-11-25 粘性流体力学 唐晓寅制作 第18页
1
第六章 边界层基本理论 将变换群代入方程和边界条件得
2009-11-25 粘性流体力学 唐晓寅制作 第2页
第六章 边界层基本理论 （2）边界层的性质 1）雷诺数↑↑时，惯性力〉〉粘性力，但在边界上的 流体质点必然粘附在固体边界上，流速为零，称为 无滑动条件。 2）在流动区流速较大，因此在靠近壁面附近的一个 薄层内，存在很大的速度梯度，即使粘性很小的流 体，其粘性力也很大，粘性的影响不能忽略;而在这 一薄层之处的主流区，速度梯度较小，即使粘性很 大的流体，其粘滞力也很小，粘性力的影响可以忽 略。

Re = Ux
ν
ｘ为离平板前缘点的距离
对于平板，层流转变为湍流的临界雷诺数为 对于平板，层流转变为湍流的临界雷诺数为： 临界雷诺数
R e kp
U x kp
ν
= 5 × 105
层流边界层转为湍流边界层转捩点的位置坐标 层流边界层转为湍流边界层转捩点的位置坐标
x kp = 5 × 1 0
7 边界层理论基础 （ Elementary on Boundary layer theory） ）
• 7. 1 边界层的基本概念
• 7. 2 层流边界层 • 7. 3 紊流边界层方程 • 7.4 边界层的动量积分及能量积分 • 7.5 边界层分离 • 7.6 绕流阻力
1
7. 1 边界层的基本概念
∂ ux U ∂ u′ x = 2 2 ∂x 2 α L L ∂y′2
2 2
,
∂ 2u y
∂ 2u ′ U y = αU 2 2 ∂x L ∂x′2
∂ ux U ∂ u′ x = 2 2 ∂y 2 α L L ∂y′2 ∂p p0 ∂p′ = ∂x L ∂x′
2 2
∂ 2 u y αU U ∂ 2 u ′ y ， 2 = 2 2 ∂y α L L ∂y′2 p0 ∂p′ ∂p ， = ∂y α L L ∂y′
y
′ ′ ′ ′ ∂ux αU ∂ux ∂p′ 1 ∂2ux 1 ∂2ux u′ M′ ： x ′ + u′ ′ =− ′ + ( 2 + 2 2 ) x ∂x αL y ∂y ∂x ReL ∂x′ αL ∂y′
∂u′ αU ∂u′ ∂2u′ 1 ∂2u′ y ′ y + u y y = − 1 ∂p′ + 1 ( y + 2 ) u M′y：x ∂x′ α ∂y′ α α ∂y′ Re ∂x′2 α L ∂y′2 L U L L

0.33206 0.33199
1.0
0.16557 0.32979
0.32301
5.0
3.28329 0.99155
0.01591
普朗特边界层方程的精确解
※ 解题思路：
对于给定的 位置（x,y）
（无因次流 函数f(η)及 其导数表）
x, y y u0
vx
找出对应 的f和f’
查表
求出ux， uy
边界层内的速度分布
（2）uxx :
Δux O(1) O(1) Δx O(1)
（3）2ux
x2
:
2ux x2
Δux ( Δx)2
O(1) O(1)O(1)
O(1)
（4）y ：在边界层的范围内，y 由 0→δ，y O(δ)
（5）uy：由连续性方程
ux uy 0 x y
ux O(1) , x
y O(δ) uy O(δ)
u0
d2 f dη2
η y
u0
u0 f νx
(3)
3ψ y3
u02 νx
f
(4)
ψ f (η) (
x
x
u0νx)
u0νx
df dη
η x
1 2
u0ν ( f ηf ) x
(5)
2ψ xy
u0
f
1 2
y
u0 νx3
1 2
u0 x
η
f
2 f f f 0
B.C. (1) η 0, f ' 0
2ux y 2
分析结果： (2) μ / ρ ν O(δ2 )
(3) 1 p O(1) ρ x
1 1/δ2
获得边界层流 动，流体的粘 性要非常低

边界层理论的基本内容:
流体流过某一固体壁面时,由于粘性力的作用,在壁面附近会形成边界层.将整个流场分为两个区域.即边界层区和主流区.在边界层区内,不论流体粘性有多小,因为存在很大的速度梯度,故粘性力不可被忽略.流场的速度分布计算需由N-S方程进行计算.而在主流区,不论流体粘性有多大,因为不存在速度梯度,故粘性力可被忽略,流场的速度分布计算需由EuLer方程进行计算.这种想法最初是由普朗特提出的.
意义: 由于边界层的特点，可用量级分析法将N-S方程进行简化。

由其学生布拉修斯对层流绕流平板的流场进行了计算。

通过EuLer方程及伯努利方程计算主流区流场速度及压力分布并同时得到边界层区流场速度边界条件，从而整个流场微分解得以求出。

边界层理论知识点总结边界层是指在地表和自由大气之间存在着较为复杂的物理、化学、动力和能量过程的气体层，其厚度一般在几十米到几百米之间。

边界层的存在对于大气环流、气候、水循环等方面都有着重要的影响。

边界层理论是研究边界层的物理过程和结构的学科，在气象学、地理学、环境科学等领域都有着重要的应用。

边界层的结构边界层的结构是指边界层内部的物理特征和过程。

一般来说，边界层的结构可以分为水平结构和垂直结构两个方面。

水平结构在地表上，由于地形的不同，边界层的结构也会有所不同。

在平坦地区，边界层结构比较简单，可以分为地表边界层和大气边界层两部分。

地表边界层是指在地表之上0-1000米内的边界层，大气边界层是指在地表之上1000米以上的边界层。

在山地或者海洋等地形复杂的地区，边界层的结构也会有所不同，有时候边界层内部会出现多层结构。

垂直结构边界层内部的垂直结构一般可以分为三层。

地表边界层（0-100米）是指最近地表的一层，其内部的风速和风向受到地表粗糙度影响较大。

中层边界层（100-1000米）是指地表上方100-1000米的一层，其内部的风速和风向受到大气稳定度影响较大。

大气边界层（1000米以上）是指在1000米以上的一层，其内部的风速和风向受到大气环流影响较大。

边界层的动力过程边界层的动力过程是指边界层内部的气体动力学过程，主要包括湍流、辐射、湍流输送、地转偏向、辐散、螺旋上升等过程。

湍流湍流是边界层内部流体的一种不规则运动状态，其特点是速度、密度和压力都不断发生变化，同时也存在着不规则的旋转运动。

湍流是边界层内部动能输送和质量输送的重要机制。

辐射辐射是指太阳光的热辐射在地表和大气中的传播和吸收过程。

在白天，地表吸收太阳光，导致地表温度升高，然后通过热传导和对流作用将热量传递给大气，形成边界层内部的热辐射。

在晚上，地表失去热量，导致地表温度下降，然后通过热传导和对流作用将热量传递给大气，形成边界层内部的冷辐射。

减阻和节能
通过减小边界层的阻力，降低流体机械的能耗，提高运行效率。
流动分离控制
控制边界层的流动分离，防止流体机械中的流动失稳和振动，提 高设备稳定性。
流体动力学中的边界层效应
流动特性的影响
边界层内的流动特性对整体流动行为产生重要影响，如湍流、分离 流等。
流动阻力
边界层内的流动阻力决定了流体动力学的性能，如流体阻力、升力 等。
在推导过程中，需要考虑流体与固体表面之间的相互作用力，如粘性力和压力梯 度等，以及流体内部的动量传递和能量传递过程。
边界层方程的求解方法
边界层方程是一个复杂的偏微分方程，求解难度较大。常用的求解方法包括分离变量法、积分变换法、有限差分法和有限元 法等。
分离变量法是将多维问题简化为多个一维问题，通过求解一维问题得到原问题的解。积分变换法是通过积分变换将偏微分方 程转化为常微分方程，从而简化求解过程。有限差分法和有限元法则是将偏微分方程离散化，通过求解离散化的方程组得到 原问题的近似解。
边界层内的流动可以从层流转变为湍流，或从湍 流转为层流。
边界层内的流动状态
层流边界层
流速在物体表面附近呈现平滑变化的流动状态。
湍流边界层
流速在物体表面附近呈现不规则变化的流动状态。
混合流动状态
边界层内的流动状态可以是层流和湍流的混合状态。
03
边界层方程与求解方法
边界层方程的推导
边界层方程是流体力学中的重要方程，用于描述流体在固体表面附近的流动行为 。其推导基于Navier-Stokes方程，通过引入边界层假设，即认为在靠近固体表 面的薄层内，流体的速度梯度变化剧烈，而远离固体表面的流体则可以视为均匀 流动。
展望
随着科技的不断进步和研究的深入，边界层理论在未来 有望取得以下突破。首先，随着计算能力的提升，更加 精确和可靠的数值模拟方法将得到发展，这有助于更好 地理解和预测复杂流动现象。其次，随着实验技术的进 步，将能够获得更高精度的实验数据，为理论模型的发 展提供有力支持。最后，随着多学科交叉研究的深入， 将能够从不同角度全面揭示流体流动的内在机制，推动 流体力学理论的进一步发展。

19世纪中，随着航海、水利工程等的迅速发展，流体力学的另一个重要分支，研究不可压缩粘性流体流动的 水力学得到很大的发展。它是建立在大量实验测量的基础上。当时如哈根、泊肃叶、雷诺等用实验研究水和其他 粘性流体在管道和槽渠中流动时的阻力和压强损失问题、得到的有关粘性流体的实验研究成果，有助于解决某些 工程实际问题。但由于水力学在理论指导上的不足，由实验成果得出的经验公式和半经验理论公式有一定的局限 性。于是在19世纪中叶产生了粘性流体运动的理论，1827年，纳维尔在欧拉运动微分方程中加上粘性项，第一个 得到粘性流体运动微分方程。1846年，斯托克斯严格地导出了这个方程，称为纳维尔-斯托克斯方程，简称N-S方 程。虽然N-S方程对粘性流体流动问题的研究分析有所帮助，但对这个方程数学上的求解是十分复杂和困难的。 1851年，斯托克斯对N-S方程作了某些简化，略去方程中的惯性项，也就是在非常缓慢的流体流动条件下，计算 出球体在流动的粘性流体中所受到的阻力。
边界层方程组
边界层方程组
不可压缩流体在大雷诺数的层流情况下绕过平滑壁面的情况。在此考虑二维定常不可压缩流动。规定沿物体 壁面的方向为x轴，垂直于壁面的方向为y轴。由于边界层厚度δ比物面特征尺寸L小得多，因此对二维的忽略重 力的纳维－斯托克斯方程逐项进行数量级分析，在忽略数量级小的各项后，可近似认为边界层垂直方向的压力不 变，从而得到层流边界层方程组为：
发展
1907年，布拉修斯成功地应用边界层理论计算在流体中运动物体的摩擦阻力。1921年，卡门和波耳豪森提 出了边界层动能积分方程，以计算边界层问题，这个方程经霍尔斯坦-博伦（1940）和瓦茨进行简化和改进，到 现在还被广泛应用。另外边界层动能积分方程和热能积分方程分别由莱本森和弗兰克尔提出。这三个边界层的近 似计算方法使边界层理论在工程界中很快地推广开来。1925年，普朗特提出的混合长度理论和1930年卡门提出的 相似性理论，将边界层理论推广到紊流边界层、射流和物体后的尾迹流中去。从层流向紊流的转捩现象是流体动 力学中的基本现象。早在19世纪末，雷诺就首先对转捩现象进行了研究。1914年，普朗特做了著名的圆球实验， 正确地指出：边界层中的流动可以是层流的，也可以是紊流的，还指出边界层分离的问题，因此计算阻力的问题 是受这种转捩支配的。从层流向紊流的转捩过程的理论研究，是以雷诺的假设为基础的，即承认紊流是由于层流 边界层产生不稳定性的结果。1921年，普朗特开始进行转捩的理论研究，1929年获得成功。当时托尔明从理论上 算出零冲角平板转捩的临界雷诺数，后被别人所进行非常仔细的实验所证实。稳定性理论能够考虑到对转捩有影 响的压强梯度、抽吸、马赫数和传热等许多因素。这个理论已得到很多重要的应用，如设计阻力非常小的层流翼 型。

uy p 1 1 uy uy uy 1 = [ u y xu ] [ u y yu ] u y u x y y y x y x x u uy x =0 y x
U
y
ux
δ( l)
O
l
x
边界层厚度方向的特征长度 (l ) 比长度方向的特征值 l 是高 一阶的小量。 边界层内流动的惯性力项与粘性力项是同阶量项。 u y 比 u x 小一个量级。
x 比 y 小一个量级。
y
U
ux
δ( l)
O l
x
p 1 1 ux 1 ux ux ux = [ u x u x ] [ u x u y] u y u x x x y y x x y
ux
δ( x)
O
x
边界层中的流动也存在两种流态，从前缘起自层流开始，随 x 增加，边界层越来越厚，壁面对扰动的稳定作用逐渐减弱， UxC x C 直至发生流态的转捩。转捩点 对应的雷诺数 记为 Re C ， 称为转捩临界雷诺数。
层流边界层 过渡区 紊流边界层
U
粘性底层
xc
影响边界层转捩的因素很多、很复杂，所以层流与紊流的转捩 不是在某个断面突然发生的，而是在一个过渡区内完成的。转捩 点 主 要 依 靠 试 验 确定 。一 般 认为转捩临界雷诺数在3×105 ～ 3×106之间。
回答
无限长平板突 然起动的例子 然起动的例子 突然起动
粘性流体
δ(t)
U
t 时刻
δ处流速为 1%U
边界层厚度可以看成是壁面对来流的粘滞作用扩散范围的 边界层厚度可以看成是壁面对来流的粘滞作用扩散范围的 度量，定义为壁面起沿法向至流速达到外界主流流速之 99% 度量，定义为壁面起沿法向至流速达到外界主流流速之 99%

2
-------(11-4)
p =0 y
边界条件为
1 2
几点结论：
u x 0 , u y 0 y : ux U 0 y 0:
-------(11-5)
（1）压强沿物体界面外法线方向的梯度，较沿物体界面切线方向的梯度低一个量级。
p 0 y
上式说明边界层内的压强沿物面外法线方向是不变的，并等于边界层外边界上的压强。
u∞
u∞
δ
形成过程流体Βιβλιοθήκη 经固体表面；Ax0
层流内层
平板上的流动边界层
由于粘性，接触固体表面流体的流速为零
；
附着在固体表面的流体对相邻流层流动起阻碍作用，使其流
速下降；
对相邻流层的影响，在离开壁的方向上传递，并逐渐减小。
最终影响减小至零，当流速接近或达到主流的流速时，速
度梯度减少至零。
一、边界层的提出 2、流场的求解可分为两个区进行：
将上述的量纲一的量代人式(10-1)中的各项中，则得
0 0 0 2 0 2 0 1 p u u u ux x x x 0 0 ux 0 uy 0 02 02 x x 0 Re y y x 0 0 0 2 0 2 0 1 p u u uy u y y y 0 0 ux 0 uy 0 0 02 02 x Re y y y x 0 u 0 u y x 0 0 0 x y
2 u ，得 u 由 L 2
1 uL L 2 Re 2 ~ O 0 2
0 u0 u y x 0 0 0 x y
0 0 0 2 0 2 0 1 p u u u ux x x x 0 0 ux 0 uy 0 0 02 02 x x Re x y y 0 1 02 1 2 1 1 1 0 1 0 0 0 0 2 0 2 0 1 p u u uy u y y y 0 0 02 ux 0 uy 0 0 02 x y y Re x y 1 0 02 0 1 0 0 0 1 1