浙江省绍兴市2021届新高考第一次适应性考试数学试题含解析

浙江省绍兴市2021届新高考第一次质量检测数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．定义：{}()()N f x g x ⊗表示不等式()()f x g x <的解集中的整数解之和.若2()|log |f x x =，2()(1)2g x a x =-+，{}()()6N f x g x ⊗=，则实数a 的取值范围是 A ．(,1]-∞- B ．2(log 32,0)-C ．2(2log 6,0]-D ．2log 32(,0]4- 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】由题意得，{}()()6N f x g x ⊗=表示不等式22|log |(1)2x a x <-+的解集中整数解之和为6.当0a >时，数形结合（如图）得22|log |(1)2x a x <-+的解集中的整数解有无数多个，22|log |(1)2x a x <-+解集中的整数解之和一定大于6.当0a =时，()2g x =，数形结合（如图），由()2f x <解得144x <<.在1(,4)4内有3个整数解，为1，2，3，满足{}()()6N f x g x ⊗=，所以0a =符合题意.当0a <时，作出函数2()|log |f x x =和2()(1)2g x a x =-+的图象，如图所示.若{}()()6N f x g x ⊗=，即22|log |(1)2x a x <-+的整数解只有1，2，3.只需满足(3)(3)(4)(4)f g f g <⎧⎨≥⎩，即2log 342292a a <+⎧⎨≥+⎩，解得2log 3204a -<≤，所以2log 3204a -<<. 综上，当{}()()6N f x g x ⊗=时，实数a 的取值范围是2log 32(,0]4-.故选D. 2．甲、乙、丙、丁四位同学利用暑假游玩某风景名胜大峡谷，四人各自去景区的百里绝壁、千丈瀑布、原始森林、远古村寨四大景点中的一个，每个景点去一人．已知：①甲不在远古村寨，也不在百里绝壁；②乙不在原始森林，也不在远古村寨；③“丙在远古村寨”是“甲在原始森林”的充分条件；④丁不在百里绝壁，也不在远古村寨．若以上语句都正确，则游玩千丈瀑布景点的同学是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】D 【解析】 【分析】根据演绎推理进行判断． 【详解】由①②④可知甲乙丁都不在远古村寨，必有丙同学去了远古村寨，由③可知必有甲去了原始森林，由④可知丁去了千丈瀑布，因此游玩千丈瀑布景点的同学是丁． 故选：D ． 【点睛】本题考查演绎推理，掌握演绎推理的定义是解题基础． 3．已知函数()sinx12sinxf x =+的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有（ ）①绕着x 轴上一点旋转180︒; ②沿x 轴正方向平移; ③以x 轴为轴作轴对称;④以x 轴的某一条垂线为轴作轴对称. A ．①③ B ．③④C ．②③D ．②④【答案】D【解析】 【分析】计算得到()()2f x k f x π+=，22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数是周期函数，轴对称图形，故②④正确，根据图像知①③错误，得到答案. 【详解】()sin 12sin xf x x=+，()()()()sin 2sin 212sin 212sin x k x f x k f x x k x πππ++===+++，k Z ∈， 当沿x 轴正方向平移2,k k Z π∈个单位时，重合，故②正确；co sin 2212co s s s 12in2x f x x x x πππ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-== ⎪+⎛⎫⎝⎭+- ⎪⎝⎭，co sin 2212co s s s 12in2x f x x x x πππ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭+== ⎪+⎛⎫⎝⎭++ ⎪⎝⎭，故22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数关于2x π=对称，故④正确；根据图像知：①③不正确； 故选：D . 【点睛】本题考查了根据函数图像判断函数性质，意在考查学生对于三角函数知识和图像的综合应用. 4．若0,0ab >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取,a b 的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查. 【详解】当0, 0a >b >时，a b +≥，则当4a b +≤时，有4a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件. 【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取,a b的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.5．设m r ，n r 均为非零的平面向量，则“存在负数λ，使得m n λ=r r ”是“0m n ⋅<r r”的 A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义进行分析、判断后可得结论． 【详解】因为m r ，n r 均为非零的平面向量，存在负数λ，使得m n λ=r r， 所以向量m r ，n r共线且方向相反， 所以0m n ⋅<r r，即充分性成立；反之，当向量m r ，n r 的夹角为钝角时，满足0m n ⋅<r r ，但此时m r ，n r不共线且反向，所以必要性不成立． 所以“存在负数λ，使得m n λ=r r ”是“0m n ⋅<r r”的充分不必要条件． 故选B ． 【点睛】判断p 是q 的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p 能否推得条件q ；二是由条件q 能否推得条件p ，定义法是判断充分条件、必要条件的基本的方法，解题时注意选择恰当的方法判断命题是否正确． 6．已知函数()sin3(0,)f x a x a b a x =-++>∈R 的值域为[5,3]-，函数()cos g x b ax =-，则()g x 的图象的对称中心为（ ） A ．,5()4k k π⎛⎫-∈⎪⎝⎭Z B ．,5()48k k ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭Z C ．,4()5k k π⎛⎫-∈⎪⎝⎭Z D ．,4()510k k ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭Z 【答案】B 【解析】 【分析】由值域为[5,3]-确定,a b 的值，得()5cos4g x x =--，利用对称中心列方程求解即可 【详解】因为()[,2]f x b a b ∈+，又依题意知()f x 的值域为[5,3]-，所以23a b += 得4a =，5b =-， 所以()5cos4g x x =--，令4()2x k k ππ=+∈Z ，得()48k x k ππ=+∈Z ，则()g x 的图象的对称中心为,5()48k k ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭Z . 故选：B 【点睛】本题考查三角函数 的图像及性质，考查函数的对称中心，重点考查值域的求解，易错点是对称中心纵坐标错写为07．将函数()sin 2f x x =的图象向左平移02πϕϕ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭个单位长度，得到的函数为偶函数，则ϕ的值为（ ） A ．12π B ．6π C ．3π D ．4π 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数的图象变换求得函数的解析式，再根据三角函数的性质，即可求解，得到答案． 【详解】将将函数()sin 2f x x =的图象向左平移ϕ个单位长度， 可得函数()sin[2()]sin(22)g x x x ϕϕ=+=+ 又由函数()g x 为偶函数，所以2,2k k Z πϕπ=+∈，解得,42k k Z ππϕ=+∈， 因为02πϕ≤≤，当0k =时，4πϕ=，故选D ．【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象变换，合理应用三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 8．如图所示，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F 且EF=22，则下列结论中错误的是（ ）A ．AC ⊥BEB ．EF //平面ABCDC ．三棱锥A-BEF 的体积为定值D ．异面直线AE,BF 所成的角为定值【答案】D 【解析】 【分析】A ．通过线面的垂直关系可证真假；B ．根据线面平行可证真假；C ．根据三棱锥的体积计算的公式可证真假；D ．根据列举特殊情况可证真假. 【详解】A ．因为11,,AC BD AC DD DD BD D ⊥⊥=I ，所以AC ⊥平面11BDDB ， 又因为BE ⊂平面11BDD B ，所以AC BE ⊥，故正确；B ．因为11//D B DB ，所以//EF DB ，且EF ⊂/平面ABCD ，DB ⊂平面ABCD ， 所以//EF 平面ABCD ，故正确；C ．因为11224BEF S EF BB =⨯⨯=V 为定值，A 到平面11BDD B 的距离为1222h AC ==， 所以11312A BEF BEF V S h -=⋅⋅=V 为定值，故正确； D ．当1111AC B D E =I ，AC BD G ⋂=，取F 为1B ，如下图所示：因为//BF EG ，所以异面直线,AE BF 所成角为AEG ∠，且222tan 12AG AEG GE ∠===， 当1111AC B D F =I ，AC BD G ⋂=，取E 为1D ，如下图所示：因为11//,D F GB D F GB =，所以四边形1D GBF 是平行四边形，所以1//BF D G ，所以异面直线,AE BF 所成角为AEG ∠，且2232tan 3212AGAEG GE∠===⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由此可知：异面直线,AE BF 所成角不是定值，故错误. 故选：D. 【点睛】本题考查立体几何中的综合应用，涉及到线面垂直与线面平行的证明、异面直线所成角以及三棱锥体积的计算，难度较难.注意求解异面直线所成角时，将直线平移至同一平面内.9．在平面直角坐标系xOy 中，将点()1,2A 绕原点O 逆时针旋转90︒到点B ，设直线OB 与x 轴正半轴所成的最小正角为α，则cos α等于( ) A ．25-B ．5-C ．5 D ．25-【答案】A 【解析】 【分析】设直线直线OA 与x 轴正半轴所成的最小正角为β，由任意角的三角函数的定义可以求得sin β的值，依题有OA OB ⊥,则90αβo=+，利用诱导公式即可得到答案.【详解】如图，设直线直线OA 与x 轴正半轴所成的最小正角为β因为点()1,2A 在角β的终边上，所以2225sin 12β==+依题有OA OB ⊥,则90αβo=+，所以25cos cos(90)sin αββo =+=-=-， 故选：A 【点睛】本题考查三角函数的定义及诱导公式，属于基础题.10．已知抛物线C ：24x y =的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，若弦AB 的长为254，则AF BF =（ ） A ．2或12B ．3或13C ．4或14D ．5或15【答案】C 【解析】 【分析】先根据弦长求出直线的斜率，再利用抛物线定义可求出,AF BF . 【详解】设直线的倾斜角为θ，则222425cos cos 4p AB θθ===， 所以216cos 25θ=，2219tan 1cos 16θθ=-=，即3tan 4θ=±，所以直线l 的方程为314y x =±+.当直线l 的方程为314y x =+，联立24314x yy x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，解得11x =-和24x =，所以()40401AF BF -==--； 同理，当直线l 的方程为314y x =-+.14AF BF =，综上，4AF BF =或14.选C. 【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，弦长问题一般是利用弦长公式来处理.出现了到焦点的距离时，一般考虑抛物线的定义.11．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若290ABF ∠=︒，且2ABF V 的三边长2BF ，AB ，2AF 成等差数列，则C 的离心率为（ ） A ．12B．3CD．2【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的性质设出2BF ，AB ，2AF ，利用勾股定理列方程，结合椭圆的定义，求得21BF a BF ==.再利用勾股定理建立,a c 的关系式，化简后求得离心率.【详解】由已知2BF ，AB ，2AF 成等差数列，设2BF x =，AB x d =+，22AF x d =+.由于290ABF ∠=︒，据勾股定理有22222BF AB AF +=，即()()2222x x d x d ++=+，化简得3x d =； 由椭圆定义知2ABF V 的周长为233124x x d x d x d d a ++++=+==，有3a d =，所以x a =，所以21BF a BF ==；在直角21BF F V 中，由勾股定理，2224a c =，∴离心率2e =. 故选：C 【点睛】本小题主要考查椭圆离心率的求法，考查椭圆的定义，考查等差数列的性质，属于中档题.12．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若1a =，c =，sin sin 3b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则sin C =（ ）A B ．7C ．12D 【答案】B 【解析】 【分析】利用两角差的正弦公式和边角互化思想可求得tan B =，可得出6B π=，然后利用余弦定理求出b 的值，最后利用正弦定理可求出sin C 的值. 【详解】1sin sin cos sin 322b A a B a B a B π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭Q ，即1sin sin cos sin sin 2A B A B A B =-，即3sin sin cos A B A A =，sin 0A >Q ，3sin B B ∴=，得tan B =，0B Q π<<，6B π∴=.由余弦定理得b ===由正弦定理sin sin c b C B=，因此，1sin sin 7c B C b ===. 故选：B. 【点睛】本题考查三角形中角的正弦值的计算，考查两角差的正弦公式、边角互化思想、余弦定理与正弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中等题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

浙江省绍兴市2021届高考技术4月科目考试适应性（一模）试题注意事项：1.本试卷分两部分，第一部分信息技术，第二部分通用技术。

全卷共18页，第一部分1至10页，第二部分11至18页；2.考试时间90分钟，满分100分。

第一部分信息技术(共50分)一、选择题(本大题共12小题，每小题2分，共24分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求)1.下列关于信息的说法，正确的是A.未经证实的消息不是信息B.计算机只能存储数字化后的信息C.信息的加工和处理必须使用计算机才能完成D.信息的表示、传播、存储可以不依附于载体2.下列应用中，使用了人工智能技术的是A.通过远程摄像头查看景区人流情况B.编写VB程序对一批数据进行排序C.把手机拍摄的照片上传到“云相册”D.停车管理系统拍摄并识别车牌号码3.输入用户名和密码登录某网站的邮箱并发送邮件，下列说法正确的是A.登录邮箱的网页属于数据库管理系统B.记录用户信息的数据表中，“用户名”列的数据称为记录C.登录邮箱的过程中，需要查询数据库中对应的用户名和密码D.发送电子邮件到对方邮箱的过程需要使用POP3协议4.下列关于数制的说法，正确的是A.二进制数1010001转换为十六进制数是A1B.二进制数1110中的末位数码0对应权值是21C.若二进制数末位为0，则该数对应的十进制数一定是偶数D.若二进制数1110去掉首位码1，则新数110是原数1110的1/25.使用Photoshop软件制作“抗击新型肺炎”作品，部分界面如图所示。

下列说法正确的是A.“战胜新型肺炎”图层没有设置滤镜效果B.“心形”图层对象不可视的原因是不透明度为100%C.可以使用文字工具修改“众志成城”图层的文字大小D.左下角数值“15%”修改为“30%”，则图像大小变为原来的2倍6.将一个时长2分钟，采样频率44.1KHz，量化位数16、单声道未经压缩Wave音频文件压缩为MP3格式，压缩后MP3格式文件的大小为470KB，则音频的压缩比约为A.11：1B.11：2C.22：1D.176：17.某算法的部分流程图如图所示。

浙江省高考科目考试绍兴市适应性试卷（201年4月）数学试题本科试题卷分选择，题和非选择，题两部分，全卷共6页，选择，题部分1至3页，非选择，题部分3至6页，满分150分，考试时间120分钟。

考生注意：1.答题前，请务必将自己的学校、班級、姓名、座位号用黑色字迹的签字笔或钢笔分別填写在试题卷和答题纸规定的位置上。

2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。

参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()()()10,1,2,,n kk kn n P k C p p k n -=-=台体的体积公式()1213V S S h =其中1S ，2S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高 柱体的体积公式V Sh =其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式13V Sh =其中S 表示椎体的底面积，h 表示椎体的高球的表面积公式 球的表面积公式24S R π= 球的体积公式343V R π=其中R 表示球的半径第Ⅰ卷（共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}0,2A x x x =≤≥或，{}11B x x =-<<，则A B ⋂= A.()1,-+∞ B.()1,1- C.(]1,0- D.[)0,1 2.已知i是虚数单位，若12z i =，则2z =A.12-+B.12--C.12+D.123.若实数x ，y 满足约束条件1,2,30,x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩则2x y +的最大值时A.73 B.3 C.72D.4 4.函数()()log 1a a f x x a x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象可能是 A. B. C. D.5.某几何体由四棱锥和半个圆柱组合而成，其三视图如图所示，则该几何体的体积是A.8π+B.83π+ C.83π+ D.83π+6.设m ∈R ，则“12m ≤≤”是“直线:0l x y m +-=和圆22:2420C x y x y m +--++=有公共点”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.已知无穷数列{}n a 是各项均为正数且公差不为零的等差数列，其前n 项和为n S ，*n ∈N ，则 A.数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不可能是等差数列 B.数列2n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不可能是等差数列 C.数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不可能是等差数列 D.数列n n a S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不可能是等差数列 8.已知0a >，0b >，223a b ab +-=，223a b -≤的最小值是A. B.3C. D.49.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>和点22,0a b M a ⎛⎫-⎪⎝⎭.若存在过点M 的直线交C 于P ，Q 点，满足102PM MQ λλ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，则椭圆C 的离心率取值范围是A.0,2⎛⎝⎭B.2⎝⎭C.⎫⎪⎪⎝⎭D.2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭10.已知a ，b ，c ∈R ，若关于x 的不等式01a cx b x x≤++≤-的解集为[]{}()123321,0x x x x x x ⋃>>>，则A.不存在有序数组（a ，b ，c ），使得211x x -=B.存在唯一有序数组（a ，b ，c ），使得211x x -=C.有且只有两组有序数组（a ，b ，c ）使得211x x -=D.存在无穷多组有序数组（a ，b ，c ），使得211x x -=第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11.《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半。

2025届浙江省绍兴市重点中学高考适应性考试数学试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数cos 23sin 20,2y x x x π⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的单调递增区间是（ ） A ．06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 2．如图，设P 为ABC ∆内一点，且1134AP AB AC =+，则ABP ∆与ABC ∆的面积之比为A ．14B ．13 C ．23 D ．16 3．5G 网络是一种先进的高频传输技术，我国的5G 技术发展迅速，已位居世界前列.华为公司2019年8月初推出了一款5G 手机，现调查得到该款5G 手机上市时间x 和市场占有率y （单位：%）的几组相关对应数据.如图所示的折线图中，横轴1代表2019年8月，2代表2019年9月……，5代表2019年12月，根据数据得出y 关于x 的线性回归方程为0.042y x a =+.若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势，则最早何时该款5G 手机市场占有率能超过0.5%（精确到月）（ ）A ．2020年6月B ．2020年7月C ．2020年8月D ．2020年9月4．根据散点图，对两个具有非线性关系的相关变量x ，y 进行回归分析，设u = lny ，v =(x -4)2，利用最小二乘法，得到线性回归方程为ˆu=-0.5v +2，则变量y 的最大值的估计值是（ ） A ．e B ．e 2 C ．ln 2 D ．2ln 25．已知平面向量a ，b ，c 满足：0,1a b c ⋅==，5a c b c -=-=，则a b -的最小值为( )A ．5B ．6C ．7D ．86．若函数()()2sin 2cos f x x x θ=+⋅（02πθ<<）的图象过点()0,2，则（ ） A ．函数()y f x =的值域是[]0,2 B ．点,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭是()y f x =的一个对称中心 C ．函数()y f x =的最小正周期是2π D ．直线4x π=是()y f x =的一条对称轴7．《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤；斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何?”意思是：“现在有一根金箠， 长五尺在粗的一端截下一尺，重4斤；在细的一端截下一尺，重2斤，问各尺依次重多少?”按这一问题的颗设，假设金箠由粗到细各尺重量依次成等差数列，则从粗端开始的第二尺的重量是（ ） A ．73斤 B ．72 斤 C ．52斤 D ．3斤8．已知ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且60A =︒，3b =，AD 为BC 边上的中线，若72AD =，则ABC 的面积为（ ）A 253B ．1534C ．154D ．35349．已知12,F F 是双曲线222:1(0)x C y a a-=>的两个焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与C 相交于,A B 两点，若2AB =，则2ABF ∆的内切圆半径为（ ） A ．23 B ．33 C ．323 D ．233 10．若点位于由曲线与围成的封闭区域内（包括边界），则的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ．11．过点6(26)2P ，的直线l 与曲线213y x =-交于A B ，两点，若25PA AB =，则直线l 的斜率为( ) A ．23-B ．23+C ．23+或23-D ．23-或31-12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．53πB ．43πC ．223π+ D ．243π+ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

浙江省绍兴市2021届新高考适应性测试卷数学试题（1）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设a ，b ，c 为正数，则“a b c +>”是“222a b c +>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不修要条件【答案】B【解析】【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：a Q ，b ，c 为正数， ∴当2a =，2b =，3c =时，满足a b c +>，但222a b c +>不成立，即充分性不成立，若222a b c +>，则22()2a b ab c +->，即222()2a b c ab c +>+>，a b c +>，成立，即必要性成立，则“a b c +>”是“222a b c +>”的必要不充分条件，故选：B ．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的性质是解决本题的关键．2．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点，P 为双曲线在第一象限上的点，直线PO ，2PF 分别交双曲线C 的左，右支于另一点12,,3M N PF PF =若，且260MF N ∠=o ，则双曲线的离心率为( )A B ．3 C ．2 D 【答案】D【解析】【分析】本道题结合双曲线的性质以及余弦定理，建立关于a 与c 的等式，计算离心率，即可．【详解】结合题意，绘图，结合双曲线性质可以得到PO=MO ，而12F O F O =，结合四边形对角线平分，可得四边形12PF MF 为平行四边形，结合0260MF N ∠=，故01260F MF ∠=对三角形12F MF 运用余弦定理，得到，222121212122cos F M F M F F MF MF F MF +-=⋅⋅⋅∠ 而结合213PF PF =，可得12,3MF a MF a ==，122F F c =，代入上式子中，得到 2222943a a c a +-=，结合离心率满足c e a =，即可得出72c e a ==，故选D ． 【点睛】本道题考查了余弦定理以及双曲线的性质，难度偏难． 3．若平面向量,,a b c r r r ，满足||2,||4,4,||3a b a b c a b ==⋅=-+=r r r r r r r ，则||c b -r r 的最大值为（ ）A ．523B ．523C ．2133D ．2133【答案】C【解析】【分析】可根据题意把要求的向量重新组合成已知向量的表达，利用向量数量积的性质，化简为三角函数最值.【详解】由题意可得： ()(2)c b c a b a b -=-++-r r r r r r r ，2222|2|(2)||4||444164452a b a b a b a b -=-=+⋅-⋅=+⨯-⨯=r r r r r r r r Q|2|213a b ∴-=r r2222||()[()(2)]|()(2)|c b c b c a b a b c a b a b ∴-=-=-++-=-++-r r r r r r r r r r r r r r22|||2|2|||2|cos ,2c a b a b c a b a b c a b a b =-++-+⋅-+⋅-⋅<-++>r r r r r r r r r r r r r r r3522cos ,2c a b a b =++<-++>r r r r r55cos ,2c a b a b =+<-++>r r r r r55+…2555223+=+⨯=Q ，故选：C【点睛】本题主要考查根据已知向量的模求未知向量的模的方法技巧,把要求的向量重新组合成已知向量的表达是本题的关键点.本题属中档题.4．盒中装有形状、大小完全相同的5张“刮刮卡”，其中只有2张“刮刮卡”有奖，现甲从盒中随机取出2张，则至少有一张有奖的概率为( )A ．12B ．35C ．710D ．45【答案】C【解析】【分析】先计算出总的基本事件的个数，再计算出两张都没获奖的个数，根据古典概型的概率，求出两张都没有奖的概率，由对立事件的概率关系，即可求解.【详解】从5张“刮刮卡”中随机取出2张，共有2510C =种情况，2张均没有奖的情况有233C =（种），故所求概率为3711010-=. 故选:C.【点睛】本题考查古典概型的概率、对立事件的概率关系，意在考查数学建模、数学计算能力，属于基础题. 5．已知正项数列{}{},n n a b 满足：1110n n n n n n a a b b a b ++=+⎧⎨=+⎩，设n n n a c b =，当34c c +最小时，5c 的值为( ) A ．2B ．145C ．3D ．4 【答案】B【解析】【分析】由1110n n n n n n a a b b a b ++=+⎧⎨=+⎩得11911n n n na ab b ++=++，即1911n nc c +=++，所以得3433911c c c c +=+++，利用基本不等式求出最小值，得到32c =，再由递推公式求出5c .【详解】由1110n n n n n n a a b b a b ++=+⎧⎨=+⎩得1110109111n n n n n n n n n n n n a a a b b a a b a b b b ++++===++++， 即1911n n c c +=++， 34339161c c c c ∴+=++≥+，当且仅当32c =时取得最小值， 此时45349914141115，c c c c =+==+=++. 故选：B【点睛】 本题主要考查了数列中的最值问题，递推公式的应用，基本不等式求最值，考查了学生的运算求解能力. 6．在关于x 的不等式2210ax x ++>中，“1a >”是“2210ax x ++>恒成立”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】讨论当1a >时，2210ax x ++>是否恒成立；讨论当2210ax x ++>恒成立时，1a >是否成立，即可选出正确答案.【详解】解：当1a >时，440a ∆=-<，由221y ax x =++开口向上，则2210ax x ++>恒成立；当2210ax x ++>恒成立时，若0a =，则210x +> 不恒成立，不符合题意， 若0a ≠ 时，要使得2210ax x ++>恒成立，则0440a a >⎧⎨∆=-<⎩ ，即1a > . 所以“1a >”是“2210ax x ++>恒成立”的充要条件.故选:C.【点睛】本题考查了命题的关系，考查了不等式恒成立问题.对于探究两个命题的关系时，一般分成两步，若p q ⇒，则推出p 是q 的充分条件；若q p ⇒，则推出p 是q 的必要条件.7．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的右焦点为,F O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与双 曲线C 的一条渐近线交于点O 及点33,22A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则双曲线C 的方程为（ ）A ．2213y x -= B ．22126x y -= C ．2213x y -= D ．22162x y -= 【答案】C【解析】【分析】根据双曲线方程求出渐近线方程：b y x a =，再将点33,2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代入可得3b a =，连接FA ，根据圆的性质可得2333c -=，从而可求出c ，再由222c a b =+即可求解. 【详解】由双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>， 则渐近线方程：b y x a=±， 33b a ∴=，连接FA ，则23333FAc b AO a -===2c =， 所以2224c a b =+=，解得223,1a b ==.故双曲线方程为2213x y -=. 故选：C【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，需掌握双曲线的渐近线求法，属于中档题.8．已知函数())33x x f x x -=+-，不等式()2(50f f x ++…对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围为（ ）A ．[2,)-+∞B ．(,2]-∞-C ．5,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．5,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ 【答案】C【解析】【分析】确定函数为奇函数，且单调递减，不等式转化为2a ⎫=-，利用双勾函数单调性求最值得到答案.【详解】())33(),()x x f x x f x f x --=+-=-是奇函数，())3333x x x x f x x --=+=+--，易知,33x x y y y -==-=均为减函数，故()f x 且在R 上单调递减，不等式()2(50f f x ++…，即()2(5f f x --…，结合函数的单调性可得25x --，即2a ⎫=-，设t =，2t ≥，故1y t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭单调递减，故max 52⎫-=-， 当2t =，即0x =时取最大值，所以52a -…. 故选：C .【点睛】 本题考查了根据函数单调性和奇偶性解不等式，参数分离求最值是解题的关键.9．某校8位学生的本次月考成绩恰好都比上一次的月考成绩高出50分，则以该8位学生这两次的月考成绩各自组成样本，则这两个样本不变的数字特征是（ ）A ．方差B ．中位数C ．众数D ．平均数【答案】A【解析】【分析】 通过方差公式分析可知方差没有改变，中位数、众数和平均数都发生了改变.【详解】由题可知，中位数和众数、平均数都有变化.本次和上次的月考成绩相比，成绩和平均数都增加了50，所以2)n x x -（没有改变，根据方差公式222181[()()]8S x x x x =-++-L 可知方差不变.故选：A【点睛】本题主要考查样本的数字特征，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10．如图，平面α与平面β相交于BC ，AB α⊂，CD β⊂，点A BC ∉，点D BC ∉，则下列叙述错误的是（ ）A ．直线AD 与BC 异面B ．过AD 只有唯一平面与BC 平行C ．过点D 只能作唯一平面与BC 垂直D ．过AD 一定能作一平面与BC 垂直【答案】D【解析】【分析】根据异面直线的判定定理、定义和性质，结合线面垂直的关系，对选项中的命题判断.【详解】A.假设直线AD 与BC 共面，则A ，D ，B ，C 共面，则AB ，CD 共面，与AB α⊂，CD β⊂矛盾， 故正确.B. 根据异面直线的性质知，过AD 只有唯一平面与BC 平行，故正确.C. 根据过一点有且只有一个平面与已知直线垂直知，故正确.D. 根据异面直线的性质知，过AD 不一定能作一平面与BC 垂直，故错误.故选：D【点睛】本题主要考查异面直线的定义，性质以及线面关系，还考查了理解辨析的能力，属于中档题. 11．设复数z 满足i (i i 2i z z -=-为虚数单位)，则z =（ ） A ．13i 22- B ．13i 22+ C ．13i 22-- D ．13i 22-+ 【答案】B【解析】【分析】 易得2i 1iz +=-，分子分母同乘以分母的共轭复数即可. 【详解】由已知，i i 2z z -=+，所以2i (2i)(1i)13i 13i 1i 2222z ++++====+-. 故选：B.【点睛】本题考查复数的乘法、除法运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题. 12．已知向量()1,2a =-v ，(),1b x x =-v ，若()2//b a a -v v v ，则x =（ ）A ．13B ．23C ．1D ．3【答案】A【解析】【分析】利用平面向量平行的坐标条件得到参数x 的值.【详解】由题意得，()22,5b a x x -=+-v v ，()2//b a a v v Q v -， ()2250x x ∴++-=， 解得13x =. 故选A.【点睛】本题考查向量平行定理，考查向量的坐标运算，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021-2022高考数学模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，且2AF FB =，抛物线的准线l 与x 轴交于C ，ACF ∆的面积为82，则AB =（ ） A ．6 B ．9 C ．92 D ．622．若复数z 满足(1)12i z i +=+，则||z =( )A ．22B ．32C ．102D ．123．由曲线3,y x y x ==围成的封闭图形的面积为（ ）A ．512B ．13C ．14D ．124．若复数()(1)2z i i =++（i 是虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，已知E 、F 、G 分别是线段11A C 上的点，且11A E EF FG GC ===.则下列直线与平面1A BD 平行的是（ ）A ．CEB ．CFC ．CGD ．1CC6．已知(,)a bi a b R +∈是11i i +-的共轭复数,则a b +=（ ） A ． B ．1- C ．1 D ．7．若复数z 满足(23i)13i z +=，则z =（ ）A ．32i -+B ．32i +C ．32i --D ．32i -8．已知数列{}n a 的首项1(0)a a a =≠，且+1n n a ka t =+，其中k ，t R ∈，*n N ∈，下列叙述正确的是（ ） A ．若{}n a 是等差数列，则一定有1k = B ．若{}n a 是等比数列，则一定有0t =C ．若{}n a 不是等差数列，则一定有 1k ≠D ．若{}n a 不是等比数列，则一定有0t ≠ 9．已知函数()()()1sin ,13222,3100x x f x f x x π⎧-≤≤⎪=⎨⎪-<≤⎩，若函数()f x 的极大值点从小到大依次记为12,?··n a a a ，并记相应的极大值为12,,?··n b b b ，则()1n i i i a b =+∑的值为（ ） A ．5022449+ B ．5022549+ C ．4922449+ D ．4922549+10．函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象如图所示，为了得到()cos g x x ω=的图象，可将()f x 的图象（ ）A ．向右平移6π个单位 B ．向右平移12π个单位 C ．向左平移12π个单位 D ．向左平移6π个单位 11．已知抛物线C ：()220y px p =>，直线()02p y k x k ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭与C 分别相交于点A ，M 与C 的准线相交于点N ，若AM MN =，则k =（ ）A ．3B ．23C ．2D ．1312．不等式组201230x y y x x y -≥⎧⎪⎪≥⎨⎪+-≤⎪⎩表示的平面区域为Ω，则（ ） A ．(),x y ∀∈Ω，23x y +>B ．(),x y ∃∈Ω，25x y +>C ．(),x y ∀∈Ω，231y x +>-D ．(),x y ∃∈Ω，251y x +>- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021届浙江省绍兴市高三下学期4月适应性考试数学试题一、单选题1．已知集合{0A x x =≤或}2x ≥，{}|11B x x =-<<，则A B =（ ）A ．()1,-+∞B ．()1,1-C ．(]1,0-D ．[)0,1答案：C直接根据交集的运算计算即可.解：由题可知：集合{0A x x =≤或}2x ≥，{}|11B x x =-<< 所以(]1,0A B =-故选：C2．已知i是虚数单位，若12=z i ，则2z =（ ） A．12-B．12-C．12+ D．12- 答案：D直接按照平方式公式计算即可.解：由题可知：12=+z i所以22213112442z i i ⎛⎫==+=- ⎪ ⎪⎝⎭故选：D3．若实数x ，y 满足约束条件2301x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则2x y +的最大值是（ ）A ．73B ．3C ．72D ．4答案：C由约束条件作出可行域，令2z x y =+，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入得答案．解：由约束条件作出可行域如图，联立302x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得3(2A ，1)2，令2z x y =+，得2y x z =-+，由图可知，当直线2y x z =-+过A 时， 直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值为72． 故选：C ．点评：求解时注意根据直线截距的几何意义，考查数形结合思想的应用. 4．函数()()log 1a a f x x a x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．答案：A根据基本不等式以及排除法可得结果.解：由2+≥a x a x，当且仅当ax x =时，取等号又1a >，所以22a x a x +≥>，故()log log 10a a a f x x x ⎛⎫=+>= ⎪⎝⎭所以只有A 正确 故选：A5．某几何体由四棱锥和半个圆柱组合而成，其三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．8π+B ．83π+ C ．83π+D ．83π+ 答案：B画出该几何体的直观图，然后根据三视图的数据以及锥体体积公式以及圆柱的体积公式计算即可. 解：如图所以四棱锥的体积为：2182233⨯⨯=半个圆柱的体积为：21122ππ⨯⨯⨯= 故该几何体的体积为：83π+故选：B6．设m R ∈，则“12m ≤≤”是“直线:0l x y m +-=和圆22:2420C x y x y m +--++=有公共点”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A根据条件先求m 的取值范围，再比较集合的包含关系，判断充分必要条件. 解：圆()()22:123C x y m -+-=-，圆心()1,2，半径r =若直线l 与圆C 有公共点， 则圆心()1,2到直线的距离d =≤13m ≤<，{}12m m ≤≤{}13m m ≤<，所以“12m ≤≤”是“直线:0l x y m +-=和圆22:2420C x y x y m +--++=有公共点”的充分不必要条件.故选：A7．已知无穷数列{}n a 是各项均为正数且公差不为零的等差数列，其前n 项和为,n S n N *∈，则（ ） A ．数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不可能是等差数列 B ．数列2n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不可能是等差数列 C ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不可能是等差数列D ．数列n n a S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不可能是等差数列答案：D计算等差数列的n S 和n a ，然后逐项进行判断即可. 解：由题可知：()112n n n dS a n -=+，()11n a a n d +-=，其中10,0a d >> 对A ，112n S n a d n -=+⋅，所以数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为2d 等差数列，故A 错 对B ，1121222n d a S a n d d n n n n⎛⎫- ⎪-⎝⎭=+⋅=+，当12d a =时，22n S d n =， 所以数列2n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭可能是等差数列，故B 错 对C ，()()11121n n n n da n S a a n d-+=+-，当1a d =时，12n n S n a +=，所以数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭可能是等差数列，故C 错 ()()11112nna n d n n d a n a S +-=-+，n na S 不可能转化为关于n 的一次函数形式， 故数列n n a S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不可能是等差数列，故D 正确故选：D8．已知22220,0,3,3a b a b ab a b >>+-=-≤，则a b +的最小值是（ ）A．B ．3C．D ．4答案：B将223a b ab +-=，变形为223324b b a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，令2ba θθ⎧-=⎪⎪=，根据0,0a b >>确定203θπ<<，得到22a b-23πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后由223a b -≤，，进一步确定62ππθ≤≤，然后由3sin 6a b πθθθ⎛⎫+=+=+⎪⎝⎭，利用三角函数性质求解. 解：因为222222344b b a b ab a b ab +-=+-++， 223324b b a ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，令2ba θθ⎧-=⎪⎪=，则sin 2sin 32sin a b πθθθθ⎧⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩， 因为0,0a b >>，所以sin 03sin 0πθθ⎧⎛⎫+>⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪>⎩，即030πθπθπ⎧<+<⎪⎨⎪<<⎩， 解得203θπ<<，所以)()2222sin 2sin a b θθθ-=+-，2223cos cos sin 4sin θθθθθ=++-，()223cos sin cos θθθθ=-+3cos22θθ=，23πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为203θπ<<， 所以52333ππθπ<+<，因为223a b -≤，所以sin 2232πθ⎛⎫≤+≤⎪⎝⎭， 解得242333ππθπ≤+≤， 所以62ππθ≤≤，则2363πππθ≤+≤，所以3sin 6a b πθθθ⎛⎫⎡+=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭， 所以a b +的最小值是3， 故选：B点评：关键点点睛：本题关键是将223a b ab +-=，变形为223324b b a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，利用三角换元，转化为三角函数求解.9．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>和点22,0a b M a ⎛⎫-⎪⎝⎭，若存在过点M 的直线交C 于P ，Q 两点，满足102PM MQ λλ⎛⎫=<<⎪⎝⎭，则椭圆C 的离心率取值范围是（ ）A．⎛ ⎝⎭B．⎝⎭C．⎫⎪⎪⎝⎭D．⎫⎪⎪⎝⎭答案：C设(,)T x y 是椭圆上的任一点，求出2||TM ，根据其单调性，将问题转化为2112A M MA <，其中()()1,0,,0a A A a -，得出,a c 不等量关系，即可求解.解：设(,)T x y 是椭圆上的任一点，222242222222||c c c c TM x y x x b a a a a ⎛⎫=-+=-++ ⎪⎝⎭，对称轴为x a =，所以2||TM 在[,]x a a ∈-上单调递减， 设()()1,0,,0a A A a -，由题知：只要2112A M MA <即可， 22222111322c a A M a a c c MA a a-<⇔<⇔<+，所以13e <<.故选：C.点评：关键点点睛：把问题转化2112A M MA <是解题的关键. 10．已知a ，b ，Rc ∈，若关于x 不等式01a cx b x x≤++≤-的解集为[]{}()123321,0x x x x x x ⋃>>>，则（ ）A ．不存在有序数组(,,)a b c ，使得211x x -=B ．存在唯一有序数组(,,)a b c ，使得211x x -=C ．有且只有两组有序数组(,,)a b c ，使得211x x -=D ．存在无穷多组有序数组(,,)a b c ，使得211x x -= 答案：D根据1>0x ，不等式转化为一元二次不等式的解的问题，利用两个一元二次不等式解集有交集的结论，得出两个不等式解集的形式，从而再结合一元二次方程的根与系数关系确定结论． 解：由题意不等式20x bx a c x ≤++≤-的解集为[]{}()123321,0x x x x x x ⋃>>>，即220x bx a x bx a c x⎧++≥⎨++≤-⎩的解集是[]{}123,x x x ⋃， 则不等式20x bx a ++≥的解是{|x 2x x ≤或3x x ≥}，不等式2x bx a c x ++≤-的解集是13{|}x x x x ≤≤，设1x m =，21x m =+，3x n =(1)m n +<， 所以0c n -=，n c =，1m +和n 是方程20x bx a ++=的两根，则11b m n m c -=++=++，(1)a m n mc c =+=+， 又22(1)m bm a m m m c mc c c m ++=+---++=-， 所以m 是2x bx a c x ++=-的一根， 所以存在无数对(,,)a b c ，使得211x x -=． 故选：D ．点评：关键点点睛：本题考查分式不等式的解集问题，解题关键是转化一元二次不等式的解集，从而结合一元二次方程根与系数关系得出结论． 二、填空题11．《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.问何日相逢，各穿几何？”题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍：小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.如果墙足够厚，n S 为前n 天两只老鼠打洞长度之和，则3S =___________尺. 答案：354大、小老鼠每天打洞的距离符合等比数列，分别计算大、小老鼠打洞长度之和，然后简单计算即可. 解：由题意知:大老鼠每天打洞的距离是以1为首项,以2为公比的等比数列,所以大老鼠前n 天打洞长度之和为122112n n -=--,同理小老鼠前n 天打洞长度之和为111()1221212nn --=--,所以11112122122nnn n n S --=-+-=-+ 所以33131512324S -=-+=故答案为：35412．如图，在棱长为4的正方体1111ABCD A BC D -中，M 是棱1A A 上的动点，N 是棱BC 的中点.当平面1D MN 与底面ABCD 所成的锐二面角最小时，1A M =___________.答案：85建立空间直角坐标系，分别得到平面1D MN 、平面ABCD 的法向量，然后按照公式计算进行判断即可. 解：如图设()()4,0,04M a a ≤≤，()()12,4,0,0,0,4N D()()12,4,,2,4,4MN a D N =--=-设平面1D MN 的一个法向量为(),,n x y z =()()14240042440048a z x x y az n MN x y z n D N a z y ⎧-=⎪⎧-+-=⋅=⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨+-=⋅=+⎪⎩⎩⎪=⎪⎩令8z =，82,4x a y a =-=+，则()82,4,8n a a =-+ 平面ABCD 的法向量的一个法向量为()10,0,1n = 设平面1D MN 与底面ABCD 所成的锐二面角为θ所以(11cos 8n n n n θ⋅===当2412105a ==时，cos θ有最大，则θ有最小，所以185A M = 故答案为：8513．已知平面向量,,a b c 满足：12,1,,02a a b b cc b b ⎛⎫=-==-⋅= ⎪⎝⎭，则12a c -的最大值是___________. 1 先得到,3b c π=，然后假设坐标，得到b 的终点坐标满足的方程，同时得到c 的终点的轨迹方程，最后使用参数方程进行求解，计算即可. 解：由2110022c b b c b b ⎛⎫-⋅=⇒⋅-= ⎪⎝⎭，又b c =，所以可知1cos ,2b c = 又[],0,b c π∈，所以,3b c π=设()2,0,a =b 的终点为(),B x y ，c的终点为(),C m n，其中0,0n y ≥≥ 由()22121a b x y -=⇒-+=①，设BOx θ∠=，则cos θθ==所以3232xm y xyn x yπθπθ⎧⎧⎛⎫=+=-⎪=⎪⎪⎪⎝⎭⎪⇒⎨⎨⎛⎫⎪⎪=+=+=⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩，②将②代入①并化简可得()(2211m n-+=令设1cossinmnϕϕ=+⎧⎪⎨=⎪⎩，所以21cos2a c-==当sin1ϕ=时，max1412a c-===1点评：关键点睛：利用坐标求解并得到c的终点轨迹方程()(2211m n-+=是关键.三、双空题14．已知函数()()2217,1log3,1x xf xx x⎧-++≤⎪=⎨+>⎪⎩，则()0f=___________；关于x的不等式()7f x>的解集是___________.答案：6 ()16,+∞根据分段函数直接计算可得()0f，然后分类讨论计算可得不等式的解集.解：由题可知：()()2217,1log3,1x xf xx x⎧-++≤⎪=⎨+>⎪⎩，所以()()200176f=-++=①()21177xxx≤⎧⎪⇒∈∅⎨-++>⎪⎩，②2116log37xxx>⎧⇒>⎨+>⎩所以()7f x>的解集是()16,+∞故答案为：6，()16,+∞15．已知二项展开式(1+x)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9，则a0=___________；a1+a2+a3+a4=___________.(用数字作答)答案：1 130根据题意，令x=0，即可求导0a，根据9(1)x+展开式的通项公式，即可求得答案.解：因为二项展开式(1+x )9=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 9x 9， 令x =0，可得a 0=1.又9(1)x +展开式的通项公式为：91991k kk k kk T C x C x -+==，所以a 1+a 2+a 3+a 4=01239999C C C C +++=1+9+36+84=130， 故答案为：1；130.16．在锐角ABC 中，内角A ，B 所对的边分别为a ，b ，若2,2A B b ==，则cos aB=___________；边长a 的取值范围是___________. 答案：4 (依据题意可知()sin sin 2A B =，然后结合正弦定理可知cos aB，然后得到角B 的范围，简单计算即可.解：由题可知：2,2A B b ==，所以()sin sin 22sin cos A B B B == 所以sin 2sin cos A B B =，由正弦定理可知24cos ab B==,则4cos a B =， 由ABC 为锐角三角形，所以020202C A B πππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩，即0320226402B B B B ππππππ⎧<-<⎪⎪⎪<<⇒<<⎨⎪⎪<<⎪⎩cos B <<(4cos a B =∈ 故答案为：4, (17．袋中装有大小相同的1个白球和2个黑球，现分两步从中摸球：第一步从袋中随机摸取2个球后全部放回袋中(若摸得白球则涂成黑球，若摸得黑球则不变色)；第二步再从袋中随机摸取2个球，记第二步所摸取的2个球中白球的个数为ξ，则()0P ξ==___________；()E ξ=___________.答案：7929得到ξ的所有值，并计算相应的概率，然后简单计算即可. 解：ξ所有可能结果为1，0()2112122233219C C C P C C ξ==⋅=，所以()()70119P P ξξ==-==所以()27210999E ξ=⨯+⨯= 故答案为：79，29四、解答题18．已领函数()22sin cos f x x x x =-（1）求4f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）求()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 答案：（1）1；（2）最大值2，最小值（1）根据两角和的正弦、余弦公式以及辅助角公式化简()f x ，然后代入计算即可. （2）根据（1）的条件，以及正弦函数的性质进行计算和判断即可. 解：解：（1）因为()22sin cos f x x x x =-1cos 2sin 22xx +=-+sin 222sin 23x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以2sin 2sin 14236f ππππ⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以sin 232π⎡⎤⎛⎫-∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦x ， 所以，当232x ππ-=，即512x π=时，()f x 取到最大值2； 当233x ππ-=-，即0x =时，()f x取到最小值19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1114,2,,60AB AA BC AC AC BC A AB ====⊥∠=︒.（1）证明：BC ⊥平面11ACC A ；（2）设点D 为1CC 的中点，求直线1A D 与平面11ABB A 所成角的正弦值. 答案：（1）证明见解析；（2）33. （1）根据勾股定理逆定理可知1BC AC ⊥，然后利用线面垂直的判定定理可知结果.（2）解法1通过作辅助线，找到直线1A D 与平面11ABB A 所成角，然后根据三角函数的知识进行求解即可；解法2利用建系，求得平面11ABB A 的一个法向量，然后按公式计算即可. 解：（1） 证明：如图，连接1A B由11,60AB AA A AB =∠=︒，所以1ABA △为等边三角形 因为112324AC BC A B ===，，， 所以22211A B AC BC =+，所以1BC AC ⊥， 又11BC AC AC AC C AC AC ⊥⋂=⊂，，，平面11ACC A ， 所以BC ⊥平面11ACC A .（2）解法1：如图，设E 为1BB 的中点，连结1A E DE ，，作1DF A E ⊥于F .因为BC ⊥平面11ACC A ，//DE BC ，所以DE ⊥平面11ACC A ， 又1CC ⊂平面11ACC A ，所以1DE CC ⊥.在11ACC △中，111ACAC =， D 为1CC 的中点，所以11A D CC ⊥，又1A D DE D ⋂=，所以1CC ⊥平面1A DE .因为11//BB CC ，所以1BB ⊥平面1A DE ，所以1BBDF ⊥， 又因为11111,DF A E BB A E E BB A E ⊥⋂=⊂，，平面11ABB A ，所以DF ⊥平面11ABB A ， 所以直线1A D 与平面11ABB A 所成角为1DA E ∠. 在1DA E 中，221112222A D DE A D AC DE BC ⊥=-===，，， 所以221123A E A D DE =+=，所以113sin 3DE DA E A E ∠==. 因此，直线1A D 与平面11ABB A 所成角的正弦值为33. 解法2：如图，以C 为原点，以射线CA CB ，分别为x ，y 轴正半轴，建立空间直角坐标系C xyz -，则()()()10,0,0,,0,2,0,C A B A ⎝⎭1,3333C D ⎛⎫⎛-- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭因此133A D ⎛=-- ⎝⎭，()1423,2,0,3AB AA ⎛=-=- ⎝⎭.设平面11ABB A 的法向量为,,n x y z =（），由10n AB n AA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得00y x -=-=⎪⎩可取()2,6,1n =.设直线1A D 与平面11ABB A 所成角为θ， 则1113sin cos ,3A D n A D n A D nθ⋅===⋅. 因此，直线1A D 与平面11ABB A . 点评：方法点睛：证明线面平行的方法：（1）根据线线平行得到线面平行（线面平行判定定理）；（2）根据面面平行得到线面平行；（3）向量法；线面角的一般求法；（1）根据定义找到线面角；（2）向量法.20．已知等差数列{a n }的公差不为零，a 4=1，且a 4，a 5，a 7成等比数列，数列{b n }的前n 项和为S n ，满足S n =2b n ﹣4(n ∈N ).（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式； （2）若数列{c n }满足112c =-，c n +1=c n ﹣n na b (n ∈N )，求使得216n n c ->成立的所有n 值.答案：（1）a n =n ﹣3，b n =2n +1；（2）n 的值为3，4.（1）根据已知条件求得d ，由此求得n a ；先求得1b ，然后利用1n n S S --求得n b . （2）利用累加法，结合错位相减求和法求得n c ，由此解不等式62212n nn c n ->-=，求得n 的所有可能取值.解：（1）设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，由题意得25a =a 4a 7， 即(1+d )2=1+3d ，整理得d 2=d ，解得d =1， 所以a n =a 4+(n ﹣4)d =n ﹣3， 因为b 1=S 1=2b 1﹣4，所以b 1=4，当n ≥2时，由b n =S n ﹣S n ﹣1，得b n =2b n ﹣2b n ﹣1，即b n =2b n ﹣1， 所以{b n }是以4为首项，2为公比的等比数列，所以b n =2n +1. （2）由c n +1=c n ﹣n n a b ，得c n +1﹣c n =﹣132n n +-， 所以c n =(c n ﹣c n ﹣1)+(c n ﹣1﹣c n ﹣2)+…+(c 2﹣c 1)+c 1=﹣12﹣(232122--++……+42n n -)， 设T n =232122--++……+42n n -，则12T n=342122--++……+142n n +-， 两式相减得12T n =232122-++412+……+12n ﹣142n n +-=﹣31111221212n +-+-﹣142n n +-=﹣14﹣122n n +-，所以T n =﹣12﹣22n n -，所以c n =﹣12﹣T n =22n n -，因为62212n nn c n ->-=，所以(n ﹣2)(24﹣n﹣1)> 0， 当n =1时，不满足题意； 当n =2时，不满足题意；当n ≥3时，24﹣n ﹣1≥0，解得3≤n ≤4， 所以满足题意的所有n 的值为3，4.点评：当1n n a a --不是常数时，可利用累加法来求数列的通项公式.21．已知抛物线21:4C x y =和椭圆222:143x y C +=如图，经过抛物线1C 焦点F 的直线l 分别交抛物线1C 和椭圆2C 于A ，B ，C ，D 四点，抛物线1C 在点A ，B 处的切线交于点P .（1）求点P 的纵坐标；（2）设M 为线段AB 的中点，PM 交1C 于点Q ，BQ 交AP 于点T .记TCD QBP ，的面积分别为12S S ，.（i ）求证：Q 为线段PM 的中点； （ii ）若1287S S =，求直线l 的方程. 答案：（1）1-；（2）（i ）证明见解析；（ii ）1y x =+或1y x =-+.（1）假设点,A B 坐标并得到直线l 的方程，同时得到点A ，B 处的切线方程，然后得到点P 的坐标，根据直线l 与抛物线联立方程，使用韦达定理可知结果.（2）（i ）得到,,P M Q 的坐标，然后根据中点坐标公式可得结果; （ii ）依据23TABPABSS =，得到1283CD S S AB=⋅，然后利用弦长公式计算,CD AB ，最后根据等式进行计算即可. 解：（1）解：设点221212,,,44x x A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，直线l 的方程为1y kx =+. 22442x xx y y y =⇒=⇒'=，可知抛物线在点A ，B 处的切线的斜率分别为12,22x x抛物线1C 在点A ，B 处的切线方程分别为221122,2424x x x x y x y x =-=-，联立方程组，解得点P 的坐标为1212,24x x x x +⎛⎫⎪⎝⎭. 由214y kx x y=+⎧⎨=⎩，得22144016(1)0x kx k --=∆=+>，，所以12144x x k x x +==-2，，所以点P 的坐标为(21)k -，， 即点P 的纵坐标为1-.（2）（i ）证明：由（1）得()()()22212,21,2,P k M k k Q k k -+，,， 因为22(21)(1)2k k ++-=， 所以，点Q 是线段PM 的中点.（ii ）解：因为M ，Q 分别为线段AB PM ，的中点，所以2AT TP = 所以23TABPAB SS =，所以2113248QBPMBPPABTAB S SS S S ====，所以12883338TCD TCD TAB TAB CD S S S S S ABS ==⋅=⋅. 设点C ，D 的横坐标分别为34x x ，， 由22134120y kx x y =+⎧⎨+-=⎩，得()()222243880,96210k x kx k ++-=∆=+>， 所以34342288,4343k x x x xk k +=-=-++，所以CD==由（1）得()241ABk ==+.所以，1283CD S S AB=⋅==设()()()()2210431x f x x x x +=≥++，则()()()232162050431x x f x x x ---'=<++，所以()f x 在[)0,+∞上单调递减.因为1287S S ==，所以()22327f k =⨯，所以21k =，即1k =±， 经检验，符合条件，所以直线l 的方程为1y x =+或1y x =-+.点评：思路点睛：第（1）问，①假设直线l 的方程并与抛物线方程联立，使用韦达定理；②得到在A,B 处切线方程并联立得到点P 坐标；③计算即可.第（2）问，①得到面积的比值1283CD S S AB=⋅；②利用弦长公式得到,CD AB ；③计算得到k . 22．已知函数()(xf x ax e -=(其中02a <<，e 为自然对数的底数).（1）求函数()f x 的单调区间；（2）设函数()f x 的极小值点为m ，极大值点为n ，证明：当(,)x m n ∈时，()1ln a f x x x e--<. 答案：（1）递减区间的2112,1,,22a ⎛⎫⎛⎫++∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，递增区间的2121,2a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（2）证明见解析.（1）首先确定函数的定义域，接着求导，求解()0f x '>得到函数单调增区间，求解()0f x '<得到函数的单调减区间；（2）由（1）知21212m n a==+，，构造函数()(1ln x a g x ax e x x e--=---，经过推导判断()0g x '<得到()()10g x g <=，所以原不等式得证.解：（1）解：由已知得12x ≥()(x xx f x a e ax e a ax e ---⎛⎛'=-=- ⎝⎝()1x xa ax e x a e --⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭由()0f x '>解得21212x a<<+ 所以()f x 的递减区间的2112,1,,22a ⎛⎫⎛⎫++∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，递增区间的2121,2a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.（2）证明：由（1）可知21212m n a ==+，，即2121,2x a ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭. 设()(1ln xa g x ax e x x e--=---， 则()()1ln 1x g x x a e x -⎫'=----⎪⎭.当2121,2x a ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，因为022a a <-<-<，所以()()21ln 1x g x x ex -'<---. 设()()21ln x h x x e x -=--，则()242x xe x x h x xe -+'=- 当(),x m n ∈时，因为()()22421421210x e x x x x x x x -+>+-+=-->， 所以()0h x '<，所以()()10h x h <=，所以()0g x '<，所以()()10g x g <=，所以，当(),x m n ∈时，()1ln a f x x x e--<. 点评：用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；(2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；(3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.。

浙江省绍兴市2021届新高考适应性测试卷数学试题（2）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数()1log 1a x f x x x +=+（01a <<）的图象的大致形状是（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】对x 分类讨论，去掉绝对值，即可作出图象. 【详解】()()()log 11log log 101log 0.a a a ax x x f x x x x x x x ⎧--<-+⎪==--<<⎨+⎪>⎩，，，，，故选C ． 【点睛】 识图常用的方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题． 2．如图，正四面体P ABC -的体积为V ，底面积为S ，O 是高PH 的中点，过O 的平面α与棱PA 、PB 、PC 分别交于D 、E 、F ，设三棱锥P DEF -的体积为0V ，截面三角形DEF 的面积为0S ，则（ ）A ．08V V ≤，04S S ≤B ．08V V ≤，04S S ≥C ．08V V ≥，04S S ≤D ．08V V ≥，04S S ≥【答案】A 【解析】 【分析】设2AB =，取EF 与BC 重合时的情况，计算出0S 以及0V 的值，利用排除法可得出正确选项. 【详解】如图所示，利用排除法，取EF 与BC 重合时的情况.不妨设2AB =，延长MD 到N ，使得//PN AM ．PO OH =Q ，PN MH ∴=，2AH MH =Q ，33AM MH PN ∴==，则13PD AD =， 由余弦定理得22222331132cos 22232224BD AB AD AB AD π⎛⎫=+-⋅=+-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，2232DM BD BM =-=，01332222S =⨯⨯=， 又2323S ==042313S S ∴==>， 当平面//DEF 平面ABC 时，04S S =，04S S ∴≤，排除B 、D 选项；因为13PD AD =，014V V ∴=，此时，0821V V=>， 当平面//DEF 平面ABC 时，08V V =，08V V ∴≥，排除C 选项. 故选：A. 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理、余弦定理、勾股定理、三棱锥的体积计算公式、排除法，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于难题．3．过抛物线24y x =的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点.若3AF =，则直线AB 的斜率为( )A ．B ．C ．D ．±【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的定义，结合||3AF =，求出A 的坐标，然后求出AF 的斜率即可． 【详解】解：抛物线的焦点(1,0)F ，准线方程为1x =-，设(,)A x y ，则||13AF x =+=，故2x =，此时y =±(2,A ±．则直线AF 的斜率k ==±． 故选：D ． 【点睛】本题考查了抛物线的定义，直线斜率公式，属于中档题．4．大衍数列，米源于我国古代文献《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和.已知该数列前10项是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则大衍数列中奇数项的通项公式为（ ）A ．22n n -B ．212n -C ．212n (-)D ．22n【答案】B 【解析】 【分析】直接代入检验，排除其中三个即可． 【详解】由题意10a =，排除D ，34a =，排除A ，C ．同时B 也满足512a =，724a =，940a =， 故选：B ． 【点睛】本题考查由数列的项选择通项公式，解题时可代入检验，利用排除法求解．5．如图在一个60︒的二面角的棱有两个点,A B ，线段,AC BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于棱AB ，且2,4AB AC BD ===，则CD 的长为（ ）A ．4B ．5C ．2D ．23【答案】A 【解析】 【分析】由CD CA AB BD =++u u u r u u u r u u u r u u u r ，两边平方后展开整理，即可求得2CD u u u r ，则CD 的长可求．【详解】解：Q CD CA AB BD =++u u u r u u u r u u u r u u u r，∴2222222CD CA AB BD CA AB CA BD AB BD =+++++u u u r u u u r u u u ru u u ru u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg g g ， Q CA AB ⊥u u u ru u u r，BD AB ⊥u u u r u u u r，∴0CA AB =u u u r u u u r g ，0BD AB =u u u r u u u rg ，1||||cos1202442CA BD CA BD =︒=-⨯⨯=-u u u r u u u r u u u r u u u r g ．∴244162416CD =++-⨯=u u u r，||4CD ∴=u u u r，故选：A ． 【点睛】本题考查了向量的多边形法则、数量积的运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，点()00,P x y 是直线40bx ay a -+=上任意一点，若圆()()22001x x y y -+-=与双曲线C 的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围是（ ）．A ．(]1,2B ．(]1,4C ．[)2,+∞D ．[)4,+∞ 【答案】B 【解析】 【分析】先求出双曲线的渐近线方程，可得则直线bx ay 2a 0-+=与直线bx ay 0-=的距离d ，根据圆()()2200x x y y 1-+-=与双曲线C 的右支没有公共点，可得d 1≥，解得即可．【详解】由题意，双曲线2222x y C :1(a 0,b 0)a b-=>>的一条渐近线方程为b y x a =，即bx ay 0-=，∵()00P x ,y 是直线bx ay 4a 0-+=上任意一点， 则直线bx ay 4a 0-+=与直线bx ay 0-=的距离4a d c==， ∵圆()()2200x x y y 1-+-=与双曲线C 的右支没有公共点，则d 1≥， ∴41a c ≥，即4ce a=≤，又1e > 故e 的取值范围为(]1,4， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了直线和双曲线的位置关系，以及两平行线间的距离公式，其中解答中根据圆与双曲线C 的右支没有公共点得出d 1≥是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 7．已知复数,z a i a R =+∈，若||2z =，则a 的值为（ ）A ．1 BC ．±1D ．【答案】D 【解析】由复数模的定义可得：2z ==，求解关于实数a 的方程可得：a =.本题选择D 选项.8．羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成. 某班级从3名男生1A ，2A ，3A 和3名女生1B ，2B ，3B 中各随机选出两名，把选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则1A 和1B 两人组成一队参加比赛的概率为（ ）A．19B．29C．13D．49【答案】B【解析】【分析】根据组合知识，计算出选出的4人分成两队混合双打的总数为2211332222C C C CA，然后计算1A和1B分在一组的数目为1122C C，最后简单计算，可得结果.【详解】由题可知：分别从3名男生、3名女生中选2人：2233C C将选中2名女生平均分为两组：112122C CA将选中2名男生平均分为两组：112122C CA则选出的4人分成两队混合双打的总数为：221111112223322212133222222218C C C CC C C CC C AA A A==1A和1B分在一组的数目为11224C C=所以所求的概率为42189=故选：B【点睛】本题考查排列组合的综合应用，对平均分组的问题要掌握公式，比如：平均分成m组，则要除以m m A，即!m，审清题意，细心计算，考验分析能力，属中档题.9．如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F且EF=2，则下列结论中错误的是（）A．AC⊥BE B．EF//平面ABCDC ．三棱锥A-BEF 的体积为定值D ．异面直线AE,BF 所成的角为定值【答案】D 【解析】 【分析】A ．通过线面的垂直关系可证真假；B ．根据线面平行可证真假；C ．根据三棱锥的体积计算的公式可证真假；D ．根据列举特殊情况可证真假. 【详解】A ．因为11,,AC BD AC DD DD BD D ⊥⊥=I ，所以AC ⊥平面11BDDB ， 又因为BE ⊂平面11BDD B ，所以AC BE ⊥，故正确；B ．因为11//D B DB ，所以//EF DB ，且EF ⊂/平面ABCD ，DB ⊂平面ABCD ， 所以//EF 平面ABCD ，故正确；C ．因为11224BEF S EF BB =⨯⨯=V 为定值，A 到平面11BDD B 的距离为1222h AC ==， 所以11312A BEF BEF V S h -=⋅⋅=V 为定值，故正确； D ．当1111AC B D E =I ，AC BD G ⋂=，取F 为1B ，如下图所示：因为//BF EG ，所以异面直线,AE BF 所成角为AEG ∠，且222tan 12AG AEG GE ∠===， 当1111AC B D F =I ，AC BD G ⋂=，取E 为1D ，如下图所示：因为11//,D F GB D F GB =，所以四边形1D GBF 是平行四边形，所以1//BF D G ，所以异面直线,AE BF 所成角为AEG ∠，且tan AGAEG GE∠===由此可知：异面直线,AE BF 所成角不是定值，故错误. 故选：D. 【点睛】本题考查立体几何中的综合应用，涉及到线面垂直与线面平行的证明、异面直线所成角以及三棱锥体积的计算，难度较难.注意求解异面直线所成角时，将直线平移至同一平面内.10．已知0x >，a x =，22xb x =-，ln(1)c x =+，则（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．b c a <<【答案】D 【解析】 【分析】令2()ln(1)2x f x x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，求()f x '，利用导数判断函数为单调递增，从而可得2ln(1)2xx x +>-，设()()ln 1g x x x =+-，利用导数证出()g x 为单调递减函数，从而证出0,ln(1)x x x ∀>+<，即可得到答案. 【详解】0x >时，22x x x >-令2()ln(1)2x f x x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，求导21()111x f x x x x '=-+=++ 0x ∀>，()0f x '>，故()f x 单调递增：()(0)0f x f >=∴2ln(1)2x x x +>-，当0x >，设()()ln 1g x x x =+-，()11011x g x x x-'∴=-=<++ ， 又()00g =Q ，()()ln 10g x x x ∴=+-<，即0,ln(1)x x x ∀>+<，故2ln(1)2x x x x >+>-. 故选：D 【点睛】本题考查了作差法比较大小，考查了构造函数法，利用导数判断式子的大小，属于中档题.11．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，又称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的，如图（1）），类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图（2）所示的图形，它是由6个全等的三角形与中间的一个小正六边形组成的一个大正六边形，设A F F A 2'''=，若在大正六边形中随机取一点，则此点取自小正六边形的概率为（ ）A 213B ．413C ．277D ．47【答案】D 【解析】 【分析】设AF a '=，则2A F a ''=，小正六边形的边长为2A F a ''=，利用余弦定理可得大正六边形的边长为7AB a =，再利用面积之比可得结论.【详解】由题意，设AF a '=，则2A F a ''=，即小正六边形的边长为2A F a ''=， 所以，3FF a '=，3AF F π'∠=，在AF F '∆中，由余弦定理得2222cos AF AF FF AF FF AF F '''''=+-⋅⋅∠， 即()222323cos3AF a a a a π=+-⋅⋅，解得7AF a =，所以，大正六边形的边长为7AF a =，所以，小正六边形的面积为21132222236322S a a a a a =⨯⨯⨯⨯+⨯=， 大正六边形的面积为22132137727212S a a a a a =⨯⨯⨯⨯+⨯=， 所以，此点取自小正六边形的概率1247S P S ==. 故选：D. 【点睛】本题考查概率的求法，考查余弦定理、几何概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 12．如图，在三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，现从该三棱锥的4个表面中任选2个，则选取的2个表面互相垂直的概率为（ ）A ．12B ．14C ．13D ．23【答案】A 【解析】 【分析】根据线面垂直得面面垂直，已知SA ⊥平面ABC ，由AB BC ⊥，可得BC ⊥平面SAB ，这样可确定垂直平面的对数，再求出四个面中任选2个的方法数，从而可计算概率． 【详解】由已知SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，可得SB BC ⊥，从该三棱锥的4个面中任选2个面共有246C =种不同的选法，而选取的2个表面互相垂直的有3种情况，故所求事件的概率为12． 故选：A ． 【点睛】本题考查古典概型概率，解题关键是求出基本事件的个数． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。