浙江省绍兴市2021届新高考第一次适应性考试数学试题含解析
- 格式:doc
- 大小:1.69 MB
- 文档页数:21
浙江省绍兴市2021届新高考第一次质量检测数学试题一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.定义:{}()()N f x g x ⊗表示不等式()()f x g x <的解集中的整数解之和.若2()|log |f x x =,2()(1)2g x a x =-+,{}()()6N f x g x ⊗=,则实数a 的取值范围是 A .(,1]-∞- B .2(log 32,0)-C .2(2log 6,0]-D .2log 32(,0]4- 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】由题意得,{}()()6N f x g x ⊗=表示不等式22|log |(1)2x a x <-+的解集中整数解之和为6.当0a >时,数形结合(如图)得22|log |(1)2x a x <-+的解集中的整数解有无数多个,22|log |(1)2x a x <-+解集中的整数解之和一定大于6.当0a =时,()2g x =,数形结合(如图),由()2f x <解得144x <<.在1(,4)4内有3个整数解,为1,2,3,满足{}()()6N f x g x ⊗=,所以0a =符合题意.当0a <时,作出函数2()|log |f x x =和2()(1)2g x a x =-+的图象,如图所示.若{}()()6N f x g x ⊗=,即22|log |(1)2x a x <-+的整数解只有1,2,3.只需满足(3)(3)(4)(4)f g f g <⎧⎨≥⎩,即2log 342292a a <+⎧⎨≥+⎩,解得2log 3204a -<≤,所以2log 3204a -<<. 综上,当{}()()6N f x g x ⊗=时,实数a 的取值范围是2log 32(,0]4-.故选D. 2.甲、乙、丙、丁四位同学利用暑假游玩某风景名胜大峡谷,四人各自去景区的百里绝壁、千丈瀑布、原始森林、远古村寨四大景点中的一个,每个景点去一人.已知:①甲不在远古村寨,也不在百里绝壁;②乙不在原始森林,也不在远古村寨;③“丙在远古村寨”是“甲在原始森林”的充分条件;④丁不在百里绝壁,也不在远古村寨.若以上语句都正确,则游玩千丈瀑布景点的同学是( ) A .甲 B .乙C .丙D .丁【答案】D 【解析】 【分析】根据演绎推理进行判断. 【详解】由①②④可知甲乙丁都不在远古村寨,必有丙同学去了远古村寨,由③可知必有甲去了原始森林,由④可知丁去了千丈瀑布,因此游玩千丈瀑布景点的同学是丁. 故选:D . 【点睛】本题考查演绎推理,掌握演绎推理的定义是解题基础. 3.已知函数()sinx12sinxf x =+的部分图象如图所示,将此图象分别作以下变换,那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有( )①绕着x 轴上一点旋转180︒; ②沿x 轴正方向平移; ③以x 轴为轴作轴对称;④以x 轴的某一条垂线为轴作轴对称. A .①③ B .③④C .②③D .②④【答案】D【解析】 【分析】计算得到()()2f x k f x π+=,22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故函数是周期函数,轴对称图形,故②④正确,根据图像知①③错误,得到答案. 【详解】()sin 12sin xf x x=+,()()()()sin 2sin 212sin 212sin x k x f x k f x x k x πππ++===+++,k Z ∈, 当沿x 轴正方向平移2,k k Z π∈个单位时,重合,故②正确;co sin 2212co s s s 12in2x f x x x x πππ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-== ⎪+⎛⎫⎝⎭+- ⎪⎝⎭,co sin 2212co s s s 12in2x f x x x x πππ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭+== ⎪+⎛⎫⎝⎭++ ⎪⎝⎭,故22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,函数关于2x π=对称,故④正确;根据图像知:①③不正确; 故选:D . 【点睛】本题考查了根据函数图像判断函数性质,意在考查学生对于三角函数知识和图像的综合应用. 4.若0,0ab >>,则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】本题根据基本不等式,结合选项,判断得出充分性成立,利用“特殊值法”,通过特取,a b 的值,推出矛盾,确定必要性不成立.题目有一定难度,注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查. 【详解】当0, 0a >b >时,a b +≥,则当4a b +≤时,有4a b ≤+≤,解得4ab ≤,充分性成立;当=1, =4a b 时,满足4ab ≤,但此时=5>4a+b ,必要性不成立,综上所述,“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件. 【点睛】易出现的错误有,一是基本不等式掌握不熟,导致判断失误;二是不能灵活的应用“赋值法”,通过特取,a b的值,从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.5.设m r ,n r 均为非零的平面向量,则“存在负数λ,使得m n λ=r r ”是“0m n ⋅<r r”的 A .充要条件 B .充分不必要条件 C .必要不充分条件 D .既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义进行分析、判断后可得结论. 【详解】因为m r ,n r 均为非零的平面向量,存在负数λ,使得m n λ=r r, 所以向量m r ,n r共线且方向相反, 所以0m n ⋅<r r,即充分性成立;反之,当向量m r ,n r 的夹角为钝角时,满足0m n ⋅<r r ,但此时m r ,n r不共线且反向,所以必要性不成立. 所以“存在负数λ,使得m n λ=r r ”是“0m n ⋅<r r”的充分不必要条件. 故选B . 【点睛】判断p 是q 的什么条件,需要从两方面分析:一是由条件p 能否推得条件q ;二是由条件q 能否推得条件p ,定义法是判断充分条件、必要条件的基本的方法,解题时注意选择恰当的方法判断命题是否正确. 6.已知函数()sin3(0,)f x a x a b a x =-++>∈R 的值域为[5,3]-,函数()cos g x b ax =-,则()g x 的图象的对称中心为( ) A .,5()4k k π⎛⎫-∈⎪⎝⎭Z B .,5()48k k ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭Z C .,4()5k k π⎛⎫-∈⎪⎝⎭Z D .,4()510k k ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭Z 【答案】B 【解析】 【分析】由值域为[5,3]-确定,a b 的值,得()5cos4g x x =--,利用对称中心列方程求解即可 【详解】因为()[,2]f x b a b ∈+,又依题意知()f x 的值域为[5,3]-,所以23a b += 得4a =,5b =-, 所以()5cos4g x x =--,令4()2x k k ππ=+∈Z ,得()48k x k ππ=+∈Z ,则()g x 的图象的对称中心为,5()48k k ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭Z . 故选:B 【点睛】本题考查三角函数 的图像及性质,考查函数的对称中心,重点考查值域的求解,易错点是对称中心纵坐标错写为07.将函数()sin 2f x x =的图象向左平移02πϕϕ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭个单位长度,得到的函数为偶函数,则ϕ的值为( ) A .12π B .6π C .3π D .4π 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数的图象变换求得函数的解析式,再根据三角函数的性质,即可求解,得到答案. 【详解】将将函数()sin 2f x x =的图象向左平移ϕ个单位长度, 可得函数()sin[2()]sin(22)g x x x ϕϕ=+=+ 又由函数()g x 为偶函数,所以2,2k k Z πϕπ=+∈,解得,42k k Z ππϕ=+∈, 因为02πϕ≤≤,当0k =时,4πϕ=,故选D .【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换,以及三角函数的性质的应用,其中解答中熟记三角函数的图象变换,合理应用三角函数的图象与性质是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题. 8.如图所示,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1,线段B 1D 1上有两个动点E 、F 且EF=22,则下列结论中错误的是( )A .AC ⊥BEB .EF //平面ABCDC .三棱锥A-BEF 的体积为定值D .异面直线AE,BF 所成的角为定值【答案】D 【解析】 【分析】A .通过线面的垂直关系可证真假;B .根据线面平行可证真假;C .根据三棱锥的体积计算的公式可证真假;D .根据列举特殊情况可证真假. 【详解】A .因为11,,AC BD AC DD DD BD D ⊥⊥=I ,所以AC ⊥平面11BDDB , 又因为BE ⊂平面11BDD B ,所以AC BE ⊥,故正确;B .因为11//D B DB ,所以//EF DB ,且EF ⊂/平面ABCD ,DB ⊂平面ABCD , 所以//EF 平面ABCD ,故正确;C .因为11224BEF S EF BB =⨯⨯=V 为定值,A 到平面11BDD B 的距离为1222h AC ==, 所以11312A BEF BEF V S h -=⋅⋅=V 为定值,故正确; D .当1111AC B D E =I ,AC BD G ⋂=,取F 为1B ,如下图所示:因为//BF EG ,所以异面直线,AE BF 所成角为AEG ∠,且222tan 12AG AEG GE ∠===, 当1111AC B D F =I ,AC BD G ⋂=,取E 为1D ,如下图所示:因为11//,D F GB D F GB =,所以四边形1D GBF 是平行四边形,所以1//BF D G ,所以异面直线,AE BF 所成角为AEG ∠,且2232tan 3212AGAEG GE∠===⎛⎫+ ⎪⎝⎭,由此可知:异面直线,AE BF 所成角不是定值,故错误. 故选:D. 【点睛】本题考查立体几何中的综合应用,涉及到线面垂直与线面平行的证明、异面直线所成角以及三棱锥体积的计算,难度较难.注意求解异面直线所成角时,将直线平移至同一平面内.9.在平面直角坐标系xOy 中,将点()1,2A 绕原点O 逆时针旋转90︒到点B ,设直线OB 与x 轴正半轴所成的最小正角为α,则cos α等于( ) A .25-B .5-C .5 D .25-【答案】A 【解析】 【分析】设直线直线OA 与x 轴正半轴所成的最小正角为β,由任意角的三角函数的定义可以求得sin β的值,依题有OA OB ⊥,则90αβo=+,利用诱导公式即可得到答案.【详解】如图,设直线直线OA 与x 轴正半轴所成的最小正角为β因为点()1,2A 在角β的终边上,所以2225sin 12β==+依题有OA OB ⊥,则90αβo=+,所以25cos cos(90)sin αββo =+=-=-, 故选:A 【点睛】本题考查三角函数的定义及诱导公式,属于基础题.10.已知抛物线C :24x y =的焦点为F ,过点F 的直线l 交抛物线C 于A ,B 两点,其中点A 在第一象限,若弦AB 的长为254,则AF BF =( ) A .2或12B .3或13C .4或14D .5或15【答案】C 【解析】 【分析】先根据弦长求出直线的斜率,再利用抛物线定义可求出,AF BF . 【详解】设直线的倾斜角为θ,则222425cos cos 4p AB θθ===, 所以216cos 25θ=,2219tan 1cos 16θθ=-=,即3tan 4θ=±,所以直线l 的方程为314y x =±+.当直线l 的方程为314y x =+,联立24314x yy x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩,解得11x =-和24x =,所以()40401AF BF -==--; 同理,当直线l 的方程为314y x =-+.14AF BF =,综上,4AF BF =或14.选C. 【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系,弦长问题一般是利用弦长公式来处理.出现了到焦点的距离时,一般考虑抛物线的定义.11.已知椭圆C :()222210x y a b a b+=>>的左,右焦点分别为1F ,2F ,过1F 的直线交椭圆C 于A ,B 两点,若290ABF ∠=︒,且2ABF V 的三边长2BF ,AB ,2AF 成等差数列,则C 的离心率为( ) A .12B.3CD.2【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的性质设出2BF ,AB ,2AF ,利用勾股定理列方程,结合椭圆的定义,求得21BF a BF ==.再利用勾股定理建立,a c 的关系式,化简后求得离心率.【详解】由已知2BF ,AB ,2AF 成等差数列,设2BF x =,AB x d =+,22AF x d =+.由于290ABF ∠=︒,据勾股定理有22222BF AB AF +=,即()()2222x x d x d ++=+,化简得3x d =; 由椭圆定义知2ABF V 的周长为233124x x d x d x d d a ++++=+==,有3a d =,所以x a =,所以21BF a BF ==;在直角21BF F V 中,由勾股定理,2224a c =,∴离心率2e =. 故选:C 【点睛】本小题主要考查椭圆离心率的求法,考查椭圆的定义,考查等差数列的性质,属于中档题.12.在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若1a =,c =,sin sin 3b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,则sin C =( )A B .7C .12D 【答案】B 【解析】 【分析】利用两角差的正弦公式和边角互化思想可求得tan B =,可得出6B π=,然后利用余弦定理求出b 的值,最后利用正弦定理可求出sin C 的值. 【详解】1sin sin cos sin 322b A a B a B a B π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭Q ,即1sin sin cos sin sin 2A B A B A B =-,即3sin sin cos A B A A =,sin 0A >Q ,3sin B B ∴=,得tan B =,0B Q π<<,6B π∴=.由余弦定理得b ===由正弦定理sin sin c b C B=,因此,1sin sin 7c B C b ===. 故选:B. 【点睛】本题考查三角形中角的正弦值的计算,考查两角差的正弦公式、边角互化思想、余弦定理与正弦定理的应用,考查运算求解能力,属于中等题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
浙江省绍兴市2021届高考技术4月科目考试适应性(一模)试题注意事项:1.本试卷分两部分,第一部分信息技术,第二部分通用技术。
全卷共18页,第一部分1至10页,第二部分11至18页;2.考试时间90分钟,满分100分。
第一部分信息技术(共50分)一、选择题(本大题共12小题,每小题2分,共24分。
在每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求)1.下列关于信息的说法,正确的是A.未经证实的消息不是信息B.计算机只能存储数字化后的信息C.信息的加工和处理必须使用计算机才能完成D.信息的表示、传播、存储可以不依附于载体2.下列应用中,使用了人工智能技术的是A.通过远程摄像头查看景区人流情况B.编写VB程序对一批数据进行排序C.把手机拍摄的照片上传到“云相册”D.停车管理系统拍摄并识别车牌号码3.输入用户名和密码登录某网站的邮箱并发送邮件,下列说法正确的是A.登录邮箱的网页属于数据库管理系统B.记录用户信息的数据表中,“用户名”列的数据称为记录C.登录邮箱的过程中,需要查询数据库中对应的用户名和密码D.发送电子邮件到对方邮箱的过程需要使用POP3协议4.下列关于数制的说法,正确的是A.二进制数1010001转换为十六进制数是A1B.二进制数1110中的末位数码0对应权值是21C.若二进制数末位为0,则该数对应的十进制数一定是偶数D.若二进制数1110去掉首位码1,则新数110是原数1110的1/25.使用Photoshop软件制作“抗击新型肺炎”作品,部分界面如图所示。
下列说法正确的是A.“战胜新型肺炎”图层没有设置滤镜效果B.“心形”图层对象不可视的原因是不透明度为100%C.可以使用文字工具修改“众志成城”图层的文字大小D.左下角数值“15%”修改为“30%”,则图像大小变为原来的2倍6.将一个时长2分钟,采样频率44.1KHz,量化位数16、单声道未经压缩Wave音频文件压缩为MP3格式,压缩后MP3格式文件的大小为470KB,则音频的压缩比约为A.11:1B.11:2C.22:1D.176:17.某算法的部分流程图如图所示。
浙江省高考科目考试绍兴市适应性试卷(201年4月)数学试题本科试题卷分选择,题和非选择,题两部分,全卷共6页,选择,题部分1至3页,非选择,题部分3至6页,满分150分,考试时间120分钟。
考生注意:1.答题前,请务必将自己的学校、班級、姓名、座位号用黑色字迹的签字笔或钢笔分別填写在试题卷和答题纸规定的位置上。
2.答题时,请按照答题纸上“注意事项”的要求,在答题纸相应的位置上规范作答,在本试题卷上的作答一律无效。
参考公式:如果事件A ,B 互斥,那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A ,B 相互独立,那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ,那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()()()10,1,2,,n kk kn n P k C p p k n -=-=台体的体积公式()1213V S S h =其中1S ,2S 分别表示台体的上、下底面积,h 表示台体的高 柱体的体积公式V Sh =其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高 锥体的体积公式13V Sh =其中S 表示椎体的底面积,h 表示椎体的高球的表面积公式 球的表面积公式24S R π= 球的体积公式343V R π=其中R 表示球的半径第Ⅰ卷(共40分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合{}0,2A x x x =≤≥或,{}11B x x =-<<,则A B ⋂= A.()1,-+∞ B.()1,1- C.(]1,0- D.[)0,1 2.已知i是虚数单位,若12z i =,则2z =A.12-+B.12--C.12+D.123.若实数x ,y 满足约束条件1,2,30,x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩则2x y +的最大值时A.73 B.3 C.72D.4 4.函数()()log 1a a f x x a x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象可能是 A. B. C. D.5.某几何体由四棱锥和半个圆柱组合而成,其三视图如图所示,则该几何体的体积是A.8π+B.83π+ C.83π+ D.83π+6.设m ∈R ,则“12m ≤≤”是“直线:0l x y m +-=和圆22:2420C x y x y m +--++=有公共点”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.已知无穷数列{}n a 是各项均为正数且公差不为零的等差数列,其前n 项和为n S ,*n ∈N ,则 A.数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不可能是等差数列 B.数列2n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不可能是等差数列 C.数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不可能是等差数列 D.数列n n a S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不可能是等差数列 8.已知0a >,0b >,223a b ab +-=,223a b -≤的最小值是A. B.3C. D.49.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>和点22,0a b M a ⎛⎫-⎪⎝⎭.若存在过点M 的直线交C 于P ,Q 点,满足102PM MQ λλ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭,则椭圆C 的离心率取值范围是A.0,2⎛⎝⎭B.2⎝⎭C.⎫⎪⎪⎝⎭D.2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭10.已知a ,b ,c ∈R ,若关于x 的不等式01a cx b x x≤++≤-的解集为[]{}()123321,0x x x x x x ⋃>>>,则A.不存在有序数组(a ,b ,c ),使得211x x -=B.存在唯一有序数组(a ,b ,c ),使得211x x -=C.有且只有两组有序数组(a ,b ,c )使得211x x -=D.存在无穷多组有序数组(a ,b ,c ),使得211x x -=第Ⅱ卷(共110分)二、填空题(本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分)11.《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题:“今有垣厚若干尺,两鼠对穿,大鼠日尺,小鼠也日一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半。
2025届浙江省绍兴市重点中学高考适应性考试数学试卷考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.函数cos 23sin 20,2y x x x π⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的单调递增区间是( ) A .06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B .0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C .,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D .,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 2.如图,设P 为ABC ∆内一点,且1134AP AB AC =+,则ABP ∆与ABC ∆的面积之比为A .14B .13 C .23 D .16 3.5G 网络是一种先进的高频传输技术,我国的5G 技术发展迅速,已位居世界前列.华为公司2019年8月初推出了一款5G 手机,现调查得到该款5G 手机上市时间x 和市场占有率y (单位:%)的几组相关对应数据.如图所示的折线图中,横轴1代表2019年8月,2代表2019年9月……,5代表2019年12月,根据数据得出y 关于x 的线性回归方程为0.042y x a =+.若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势,则最早何时该款5G 手机市场占有率能超过0.5%(精确到月)( )A .2020年6月B .2020年7月C .2020年8月D .2020年9月4.根据散点图,对两个具有非线性关系的相关变量x ,y 进行回归分析,设u = lny ,v =(x -4)2,利用最小二乘法,得到线性回归方程为ˆu=-0.5v +2,则变量y 的最大值的估计值是( ) A .e B .e 2 C .ln 2 D .2ln 25.已知平面向量a ,b ,c 满足:0,1a b c ⋅==,5a c b c -=-=,则a b -的最小值为( )A .5B .6C .7D .86.若函数()()2sin 2cos f x x x θ=+⋅(02πθ<<)的图象过点()0,2,则( ) A .函数()y f x =的值域是[]0,2 B .点,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭是()y f x =的一个对称中心 C .函数()y f x =的最小正周期是2π D .直线4x π=是()y f x =的一条对称轴7.《九章算术》有如下问题:“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤;斩末一尺,重二斤,问次一尺各重几何?”意思是:“现在有一根金箠, 长五尺在粗的一端截下一尺,重4斤;在细的一端截下一尺,重2斤,问各尺依次重多少?”按这一问题的颗设,假设金箠由粗到细各尺重量依次成等差数列,则从粗端开始的第二尺的重量是( ) A .73斤 B .72 斤 C .52斤 D .3斤8.已知ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,且60A =︒,3b =,AD 为BC 边上的中线,若72AD =,则ABC 的面积为( )A 253B .1534C .154D .35349.已知12,F F 是双曲线222:1(0)x C y a a-=>的两个焦点,过点1F 且垂直于x 轴的直线与C 相交于,A B 两点,若2AB =,则2ABF ∆的内切圆半径为( ) A .23 B .33 C .323 D .233 10.若点位于由曲线与围成的封闭区域内(包括边界),则的取值范围是( ) A . B . C . D .11.过点6(26)2P ,的直线l 与曲线213y x =-交于A B ,两点,若25PA AB =,则直线l 的斜率为( ) A .23-B .23+C .23+或23-D .23-或31-12.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )A .53πB .43πC .223π+ D .243π+ 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
浙江省绍兴市2021届新高考适应性测试卷数学试题(1)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设a ,b ,c 为正数,则“a b c +>”是“222a b c +>”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不修要条件【答案】B【解析】【分析】根据不等式的性质,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】解:a Q ,b ,c 为正数, ∴当2a =,2b =,3c =时,满足a b c +>,但222a b c +>不成立,即充分性不成立,若222a b c +>,则22()2a b ab c +->,即222()2a b c ab c +>+>,a b c +>,成立,即必要性成立,则“a b c +>”是“222a b c +>”的必要不充分条件,故选:B .【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,结合不等式的性质是解决本题的关键.2.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左,右焦点分别为12,F F ,O 为坐标原点,P 为双曲线在第一象限上的点,直线PO ,2PF 分别交双曲线C 的左,右支于另一点12,,3M N PF PF =若,且260MF N ∠=o ,则双曲线的离心率为( )A B .3 C .2 D 【答案】D【解析】【分析】本道题结合双曲线的性质以及余弦定理,建立关于a 与c 的等式,计算离心率,即可.【详解】结合题意,绘图,结合双曲线性质可以得到PO=MO ,而12F O F O =,结合四边形对角线平分,可得四边形12PF MF 为平行四边形,结合0260MF N ∠=,故01260F MF ∠=对三角形12F MF 运用余弦定理,得到,222121212122cos F M F M F F MF MF F MF +-=⋅⋅⋅∠ 而结合213PF PF =,可得12,3MF a MF a ==,122F F c =,代入上式子中,得到 2222943a a c a +-=,结合离心率满足c e a =,即可得出72c e a ==,故选D . 【点睛】本道题考查了余弦定理以及双曲线的性质,难度偏难. 3.若平面向量,,a b c r r r ,满足||2,||4,4,||3a b a b c a b ==⋅=-+=r r r r r r r ,则||c b -r r 的最大值为( )A .523B .523C .2133D .2133【答案】C【解析】【分析】可根据题意把要求的向量重新组合成已知向量的表达,利用向量数量积的性质,化简为三角函数最值.【详解】由题意可得: ()(2)c b c a b a b -=-++-r r r r r r r ,2222|2|(2)||4||444164452a b a b a b a b -=-=+⋅-⋅=+⨯-⨯=r r r r r r r r Q|2|213a b ∴-=r r2222||()[()(2)]|()(2)|c b c b c a b a b c a b a b ∴-=-=-++-=-++-r r r r r r r r r r r r r r22|||2|2|||2|cos ,2c a b a b c a b a b c a b a b =-++-+⋅-+⋅-⋅<-++>r r r r r r r r r r r r r r r3522cos ,2c a b a b =++<-++>r r r r r55cos ,2c a b a b =+<-++>r r r r r55+…2555223+=+⨯=Q ,故选:C【点睛】本题主要考查根据已知向量的模求未知向量的模的方法技巧,把要求的向量重新组合成已知向量的表达是本题的关键点.本题属中档题.4.盒中装有形状、大小完全相同的5张“刮刮卡”,其中只有2张“刮刮卡”有奖,现甲从盒中随机取出2张,则至少有一张有奖的概率为( )A .12B .35C .710D .45【答案】C【解析】【分析】先计算出总的基本事件的个数,再计算出两张都没获奖的个数,根据古典概型的概率,求出两张都没有奖的概率,由对立事件的概率关系,即可求解.【详解】从5张“刮刮卡”中随机取出2张,共有2510C =种情况,2张均没有奖的情况有233C =(种),故所求概率为3711010-=. 故选:C.【点睛】本题考查古典概型的概率、对立事件的概率关系,意在考查数学建模、数学计算能力,属于基础题. 5.已知正项数列{}{},n n a b 满足:1110n n n n n n a a b b a b ++=+⎧⎨=+⎩,设n n n a c b =,当34c c +最小时,5c 的值为( ) A .2B .145C .3D .4 【答案】B【解析】【分析】由1110n n n n n n a a b b a b ++=+⎧⎨=+⎩得11911n n n na ab b ++=++,即1911n nc c +=++,所以得3433911c c c c +=+++,利用基本不等式求出最小值,得到32c =,再由递推公式求出5c .【详解】由1110n n n n n n a a b b a b ++=+⎧⎨=+⎩得1110109111n n n n n n n n n n n n a a a b b a a b a b b b ++++===++++, 即1911n n c c +=++, 34339161c c c c ∴+=++≥+,当且仅当32c =时取得最小值, 此时45349914141115,c c c c =+==+=++. 故选:B【点睛】 本题主要考查了数列中的最值问题,递推公式的应用,基本不等式求最值,考查了学生的运算求解能力. 6.在关于x 的不等式2210ax x ++>中,“1a >”是“2210ax x ++>恒成立”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】讨论当1a >时,2210ax x ++>是否恒成立;讨论当2210ax x ++>恒成立时,1a >是否成立,即可选出正确答案.【详解】解:当1a >时,440a ∆=-<,由221y ax x =++开口向上,则2210ax x ++>恒成立;当2210ax x ++>恒成立时,若0a =,则210x +> 不恒成立,不符合题意, 若0a ≠ 时,要使得2210ax x ++>恒成立,则0440a a >⎧⎨∆=-<⎩ ,即1a > . 所以“1a >”是“2210ax x ++>恒成立”的充要条件.故选:C.【点睛】本题考查了命题的关系,考查了不等式恒成立问题.对于探究两个命题的关系时,一般分成两步,若p q ⇒,则推出p 是q 的充分条件;若q p ⇒,则推出p 是q 的必要条件.7.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的右焦点为,F O 为坐标原点,以OF 为直径的圆与双 曲线C 的一条渐近线交于点O 及点33,22A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,则双曲线C 的方程为( )A .2213y x -= B .22126x y -= C .2213x y -= D .22162x y -= 【答案】C【解析】【分析】根据双曲线方程求出渐近线方程:b y x a =,再将点33,2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代入可得3b a =,连接FA ,根据圆的性质可得2333c -=,从而可求出c ,再由222c a b =+即可求解. 【详解】由双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>, 则渐近线方程:b y x a=±, 33b a ∴=,连接FA ,则23333FAc b AO a -===2c =, 所以2224c a b =+=,解得223,1a b ==.故双曲线方程为2213x y -=. 故选:C【点睛】本题考查了双曲线的几何性质,需掌握双曲线的渐近线求法,属于中档题.8.已知函数())33x x f x x -=+-,不等式()2(50f f x ++…对x ∈R 恒成立,则a 的取值范围为( )A .[2,)-+∞B .(,2]-∞-C .5,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D .5,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ 【答案】C【解析】【分析】确定函数为奇函数,且单调递减,不等式转化为2a ⎫=-,利用双勾函数单调性求最值得到答案.【详解】())33(),()x x f x x f x f x --=+-=-是奇函数,())3333x x x x f x x --=+=+--,易知,33x x y y y -==-=均为减函数,故()f x 且在R 上单调递减,不等式()2(50f f x ++…,即()2(5f f x --…,结合函数的单调性可得25x --,即2a ⎫=-,设t =,2t ≥,故1y t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭单调递减,故max 52⎫-=-, 当2t =,即0x =时取最大值,所以52a -…. 故选:C .【点睛】 本题考查了根据函数单调性和奇偶性解不等式,参数分离求最值是解题的关键.9.某校8位学生的本次月考成绩恰好都比上一次的月考成绩高出50分,则以该8位学生这两次的月考成绩各自组成样本,则这两个样本不变的数字特征是( )A .方差B .中位数C .众数D .平均数【答案】A【解析】【分析】 通过方差公式分析可知方差没有改变,中位数、众数和平均数都发生了改变.【详解】由题可知,中位数和众数、平均数都有变化.本次和上次的月考成绩相比,成绩和平均数都增加了50,所以2)n x x -(没有改变,根据方差公式222181[()()]8S x x x x =-++-L 可知方差不变.故选:A【点睛】本题主要考查样本的数字特征,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10.如图,平面α与平面β相交于BC ,AB α⊂,CD β⊂,点A BC ∉,点D BC ∉,则下列叙述错误的是( )A .直线AD 与BC 异面B .过AD 只有唯一平面与BC 平行C .过点D 只能作唯一平面与BC 垂直D .过AD 一定能作一平面与BC 垂直【答案】D【解析】【分析】根据异面直线的判定定理、定义和性质,结合线面垂直的关系,对选项中的命题判断.【详解】A.假设直线AD 与BC 共面,则A ,D ,B ,C 共面,则AB ,CD 共面,与AB α⊂,CD β⊂矛盾, 故正确.B. 根据异面直线的性质知,过AD 只有唯一平面与BC 平行,故正确.C. 根据过一点有且只有一个平面与已知直线垂直知,故正确.D. 根据异面直线的性质知,过AD 不一定能作一平面与BC 垂直,故错误.故选:D【点睛】本题主要考查异面直线的定义,性质以及线面关系,还考查了理解辨析的能力,属于中档题. 11.设复数z 满足i (i i 2i z z -=-为虚数单位),则z =( ) A .13i 22- B .13i 22+ C .13i 22-- D .13i 22-+ 【答案】B【解析】【分析】 易得2i 1iz +=-,分子分母同乘以分母的共轭复数即可. 【详解】由已知,i i 2z z -=+,所以2i (2i)(1i)13i 13i 1i 2222z ++++====+-. 故选:B.【点睛】本题考查复数的乘法、除法运算,考查学生的基本计算能力,是一道容易题. 12.已知向量()1,2a =-v ,(),1b x x =-v ,若()2//b a a -v v v ,则x =( )A .13B .23C .1D .3【答案】A【解析】【分析】利用平面向量平行的坐标条件得到参数x 的值.【详解】由题意得,()22,5b a x x -=+-v v ,()2//b a a v v Q v -, ()2250x x ∴++-=, 解得13x =. 故选A.【点睛】本题考查向量平行定理,考查向量的坐标运算,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。
2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点,且2AF FB =,抛物线的准线l 与x 轴交于C ,ACF ∆的面积为82,则AB =( ) A .6 B .9 C .92 D .622.若复数z 满足(1)12i z i +=+,则||z =( )A .22B .32C .102D .123.由曲线3,y x y x ==围成的封闭图形的面积为( )A .512B .13C .14D .124.若复数()(1)2z i i =++(i 是虚数单位),则复数z 在复平面内对应的点位于( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限5.如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,已知E 、F 、G 分别是线段11A C 上的点,且11A E EF FG GC ===.则下列直线与平面1A BD 平行的是( )A .CEB .CFC .CGD .1CC6.已知(,)a bi a b R +∈是11i i +-的共轭复数,则a b +=( ) A . B .1- C .1 D .7.若复数z 满足(23i)13i z +=,则z =( )A .32i -+B .32i +C .32i --D .32i -8.已知数列{}n a 的首项1(0)a a a =≠,且+1n n a ka t =+,其中k ,t R ∈,*n N ∈,下列叙述正确的是( ) A .若{}n a 是等差数列,则一定有1k = B .若{}n a 是等比数列,则一定有0t =C .若{}n a 不是等差数列,则一定有 1k ≠D .若{}n a 不是等比数列,则一定有0t ≠ 9.已知函数()()()1sin ,13222,3100x x f x f x x π⎧-≤≤⎪=⎨⎪-<≤⎩,若函数()f x 的极大值点从小到大依次记为12,?··n a a a ,并记相应的极大值为12,,?··n b b b ,则()1n i i i a b =+∑的值为( ) A .5022449+ B .5022549+ C .4922449+ D .4922549+10.函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象如图所示,为了得到()cos g x x ω=的图象,可将()f x 的图象( )A .向右平移6π个单位 B .向右平移12π个单位 C .向左平移12π个单位 D .向左平移6π个单位 11.已知抛物线C :()220y px p =>,直线()02p y k x k ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭与C 分别相交于点A ,M 与C 的准线相交于点N ,若AM MN =,则k =( )A .3B .23C .2D .1312.不等式组201230x y y x x y -≥⎧⎪⎪≥⎨⎪+-≤⎪⎩表示的平面区域为Ω,则( ) A .(),x y ∀∈Ω,23x y +>B .(),x y ∃∈Ω,25x y +>C .(),x y ∀∈Ω,231y x +>-D .(),x y ∃∈Ω,251y x +>- 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
2021届浙江省绍兴市高三下学期4月适应性考试数学试题一、单选题1.已知集合{0A x x =≤或}2x ≥,{}|11B x x =-<<,则A B =( )A .()1,-+∞B .()1,1-C .(]1,0-D .[)0,1答案:C直接根据交集的运算计算即可.解:由题可知:集合{0A x x =≤或}2x ≥,{}|11B x x =-<< 所以(]1,0A B =-故选:C2.已知i是虚数单位,若12=z i ,则2z =( ) A.12-B.12-C.12+ D.12- 答案:D直接按照平方式公式计算即可.解:由题可知:12=+z i所以22213112442z i i ⎛⎫==+=- ⎪ ⎪⎝⎭故选:D3.若实数x ,y 满足约束条件2301x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩,则2x y +的最大值是( )A .73B .3C .72D .4答案:C由约束条件作出可行域,令2z x y =+,化为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,把最优解的坐标代入得答案.解:由约束条件作出可行域如图,联立302x y x y -=⎧⎨+=⎩,解得3(2A ,1)2,令2z x y =+,得2y x z =-+,由图可知,当直线2y x z =-+过A 时, 直线在y 轴上的截距最大,z 有最大值为72. 故选:C .点评:求解时注意根据直线截距的几何意义,考查数形结合思想的应用. 4.函数()()log 1a a f x x a x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象可能是( ) A . B .C .D .答案:A根据基本不等式以及排除法可得结果.解:由2+≥a x a x,当且仅当ax x =时,取等号又1a >,所以22a x a x +≥>,故()log log 10a a a f x x x ⎛⎫=+>= ⎪⎝⎭所以只有A 正确 故选:A5.某几何体由四棱锥和半个圆柱组合而成,其三视图如图所示,则该几何体的体积是( )A .8π+B .83π+ C .83π+D .83π+ 答案:B画出该几何体的直观图,然后根据三视图的数据以及锥体体积公式以及圆柱的体积公式计算即可. 解:如图所以四棱锥的体积为:2182233⨯⨯=半个圆柱的体积为:21122ππ⨯⨯⨯= 故该几何体的体积为:83π+故选:B6.设m R ∈,则“12m ≤≤”是“直线:0l x y m +-=和圆22:2420C x y x y m +--++=有公共点”的( ) A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件答案:A根据条件先求m 的取值范围,再比较集合的包含关系,判断充分必要条件. 解:圆()()22:123C x y m -+-=-,圆心()1,2,半径r =若直线l 与圆C 有公共点, 则圆心()1,2到直线的距离d =≤13m ≤<,{}12m m ≤≤{}13m m ≤<,所以“12m ≤≤”是“直线:0l x y m +-=和圆22:2420C x y x y m +--++=有公共点”的充分不必要条件.故选:A7.已知无穷数列{}n a 是各项均为正数且公差不为零的等差数列,其前n 项和为,n S n N *∈,则( ) A .数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不可能是等差数列 B .数列2n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不可能是等差数列 C .数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不可能是等差数列D .数列n n a S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不可能是等差数列答案:D计算等差数列的n S 和n a ,然后逐项进行判断即可. 解:由题可知:()112n n n dS a n -=+,()11n a a n d +-=,其中10,0a d >> 对A ,112n S n a d n -=+⋅,所以数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为2d 等差数列,故A 错 对B ,1121222n d a S a n d d n n n n⎛⎫- ⎪-⎝⎭=+⋅=+,当12d a =时,22n S d n =, 所以数列2n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭可能是等差数列,故B 错 对C ,()()11121n n n n da n S a a n d-+=+-,当1a d =时,12n n S n a +=,所以数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭可能是等差数列,故C 错 ()()11112nna n d n n d a n a S +-=-+,n na S 不可能转化为关于n 的一次函数形式, 故数列n n a S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不可能是等差数列,故D 正确故选:D8.已知22220,0,3,3a b a b ab a b >>+-=-≤,则a b +的最小值是( )A.B .3C.D .4答案:B将223a b ab +-=,变形为223324b b a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭,令2ba θθ⎧-=⎪⎪=,根据0,0a b >>确定203θπ<<,得到22a b-23πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,然后由223a b -≤,,进一步确定62ππθ≤≤,然后由3sin 6a b πθθθ⎛⎫+=+=+⎪⎝⎭,利用三角函数性质求解. 解:因为222222344b b a b ab a b ab +-=+-++, 223324b b a ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭,令2ba θθ⎧-=⎪⎪=,则sin 2sin 32sin a b πθθθθ⎧⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩, 因为0,0a b >>,所以sin 03sin 0πθθ⎧⎛⎫+>⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪>⎩,即030πθπθπ⎧<+<⎪⎨⎪<<⎩, 解得203θπ<<,所以)()2222sin 2sin a b θθθ-=+-,2223cos cos sin 4sin θθθθθ=++-,()223cos sin cos θθθθ=-+3cos22θθ=,23πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,因为203θπ<<, 所以52333ππθπ<+<,因为223a b -≤,所以sin 2232πθ⎛⎫≤+≤⎪⎝⎭, 解得242333ππθπ≤+≤, 所以62ππθ≤≤,则2363πππθ≤+≤,所以3sin 6a b πθθθ⎛⎫⎡+=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭, 所以a b +的最小值是3, 故选:B点评:关键点点睛:本题关键是将223a b ab +-=,变形为223324b b a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭,利用三角换元,转化为三角函数求解.9.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>和点22,0a b M a ⎛⎫-⎪⎝⎭,若存在过点M 的直线交C 于P ,Q 两点,满足102PM MQ λλ⎛⎫=<<⎪⎝⎭,则椭圆C 的离心率取值范围是( )A.⎛ ⎝⎭B.⎝⎭C.⎫⎪⎪⎝⎭D.⎫⎪⎪⎝⎭答案:C设(,)T x y 是椭圆上的任一点,求出2||TM ,根据其单调性,将问题转化为2112A M MA <,其中()()1,0,,0a A A a -,得出,a c 不等量关系,即可求解.解:设(,)T x y 是椭圆上的任一点,222242222222||c c c c TM x y x x b a a a a ⎛⎫=-+=-++ ⎪⎝⎭,对称轴为x a =,所以2||TM 在[,]x a a ∈-上单调递减, 设()()1,0,,0a A A a -,由题知:只要2112A M MA <即可, 22222111322c a A M a a c c MA a a-<⇔<⇔<+,所以13e <<.故选:C.点评:关键点点睛:把问题转化2112A M MA <是解题的关键. 10.已知a ,b ,Rc ∈,若关于x 不等式01a cx b x x≤++≤-的解集为[]{}()123321,0x x x x x x ⋃>>>,则( )A .不存在有序数组(,,)a b c ,使得211x x -=B .存在唯一有序数组(,,)a b c ,使得211x x -=C .有且只有两组有序数组(,,)a b c ,使得211x x -=D .存在无穷多组有序数组(,,)a b c ,使得211x x -= 答案:D根据1>0x ,不等式转化为一元二次不等式的解的问题,利用两个一元二次不等式解集有交集的结论,得出两个不等式解集的形式,从而再结合一元二次方程的根与系数关系确定结论. 解:由题意不等式20x bx a c x ≤++≤-的解集为[]{}()123321,0x x x x x x ⋃>>>,即220x bx a x bx a c x⎧++≥⎨++≤-⎩的解集是[]{}123,x x x ⋃, 则不等式20x bx a ++≥的解是{|x 2x x ≤或3x x ≥},不等式2x bx a c x ++≤-的解集是13{|}x x x x ≤≤,设1x m =,21x m =+,3x n =(1)m n +<, 所以0c n -=,n c =,1m +和n 是方程20x bx a ++=的两根,则11b m n m c -=++=++,(1)a m n mc c =+=+, 又22(1)m bm a m m m c mc c c m ++=+---++=-, 所以m 是2x bx a c x ++=-的一根, 所以存在无数对(,,)a b c ,使得211x x -=. 故选:D .点评:关键点点睛:本题考查分式不等式的解集问题,解题关键是转化一元二次不等式的解集,从而结合一元二次方程根与系数关系得出结论. 二、填空题11.《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题:“今有垣厚若干尺,两鼠对穿,大鼠日一尺,小鼠也日一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半.问何日相逢,各穿几何?”题意是:有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙,大老鼠第一天进一尺,以后每天加倍:小老鼠第一天也进一尺,以后每天减半.如果墙足够厚,n S 为前n 天两只老鼠打洞长度之和,则3S =___________尺. 答案:354大、小老鼠每天打洞的距离符合等比数列,分别计算大、小老鼠打洞长度之和,然后简单计算即可. 解:由题意知:大老鼠每天打洞的距离是以1为首项,以2为公比的等比数列,所以大老鼠前n 天打洞长度之和为122112n n -=--,同理小老鼠前n 天打洞长度之和为111()1221212nn --=--,所以11112122122nnn n n S --=-+-=-+ 所以33131512324S -=-+=故答案为:35412.如图,在棱长为4的正方体1111ABCD A BC D -中,M 是棱1A A 上的动点,N 是棱BC 的中点.当平面1D MN 与底面ABCD 所成的锐二面角最小时,1A M =___________.答案:85建立空间直角坐标系,分别得到平面1D MN 、平面ABCD 的法向量,然后按照公式计算进行判断即可. 解:如图设()()4,0,04M a a ≤≤,()()12,4,0,0,0,4N D()()12,4,,2,4,4MN a D N =--=-设平面1D MN 的一个法向量为(),,n x y z =()()14240042440048a z x x y az n MN x y z n D N a z y ⎧-=⎪⎧-+-=⋅=⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨+-=⋅=+⎪⎩⎩⎪=⎪⎩令8z =,82,4x a y a =-=+,则()82,4,8n a a =-+ 平面ABCD 的法向量的一个法向量为()10,0,1n = 设平面1D MN 与底面ABCD 所成的锐二面角为θ所以(11cos 8n n n n θ⋅===当2412105a ==时,cos θ有最大,则θ有最小,所以185A M = 故答案为:8513.已知平面向量,,a b c 满足:12,1,,02a a b b cc b b ⎛⎫=-==-⋅= ⎪⎝⎭,则12a c -的最大值是___________. 1 先得到,3b c π=,然后假设坐标,得到b 的终点坐标满足的方程,同时得到c 的终点的轨迹方程,最后使用参数方程进行求解,计算即可. 解:由2110022c b b c b b ⎛⎫-⋅=⇒⋅-= ⎪⎝⎭,又b c =,所以可知1cos ,2b c = 又[],0,b c π∈,所以,3b c π=设()2,0,a =b 的终点为(),B x y ,c的终点为(),C m n,其中0,0n y ≥≥ 由()22121a b x y -=⇒-+=①,设BOx θ∠=,则cos θθ==所以3232xm y xyn x yπθπθ⎧⎧⎛⎫=+=-⎪=⎪⎪⎪⎝⎭⎪⇒⎨⎨⎛⎫⎪⎪=+=+=⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩,②将②代入①并化简可得()(2211m n-+=令设1cossinmnϕϕ=+⎧⎪⎨=⎪⎩,所以21cos2a c-==当sin1ϕ=时,max1412a c-===1点评:关键点睛:利用坐标求解并得到c的终点轨迹方程()(2211m n-+=是关键.三、双空题14.已知函数()()2217,1log3,1x xf xx x⎧-++≤⎪=⎨+>⎪⎩,则()0f=___________;关于x的不等式()7f x>的解集是___________.答案:6 ()16,+∞根据分段函数直接计算可得()0f,然后分类讨论计算可得不等式的解集.解:由题可知:()()2217,1log3,1x xf xx x⎧-++≤⎪=⎨+>⎪⎩,所以()()200176f=-++=①()21177xxx≤⎧⎪⇒∈∅⎨-++>⎪⎩,②2116log37xxx>⎧⇒>⎨+>⎩所以()7f x>的解集是()16,+∞故答案为:6,()16,+∞15.已知二项展开式(1+x)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9,则a0=___________;a1+a2+a3+a4=___________.(用数字作答)答案:1 130根据题意,令x=0,即可求导0a,根据9(1)x+展开式的通项公式,即可求得答案.解:因为二项展开式(1+x )9=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 9x 9, 令x =0,可得a 0=1.又9(1)x +展开式的通项公式为:91991k kk k kk T C x C x -+==,所以a 1+a 2+a 3+a 4=01239999C C C C +++=1+9+36+84=130, 故答案为:1;130.16.在锐角ABC 中,内角A ,B 所对的边分别为a ,b ,若2,2A B b ==,则cos aB=___________;边长a 的取值范围是___________. 答案:4 (依据题意可知()sin sin 2A B =,然后结合正弦定理可知cos aB,然后得到角B 的范围,简单计算即可.解:由题可知:2,2A B b ==,所以()sin sin 22sin cos A B B B == 所以sin 2sin cos A B B =,由正弦定理可知24cos ab B==,则4cos a B =, 由ABC 为锐角三角形,所以020202C A B πππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩,即0320226402B B B B ππππππ⎧<-<⎪⎪⎪<<⇒<<⎨⎪⎪<<⎪⎩cos B <<(4cos a B =∈ 故答案为:4, (17.袋中装有大小相同的1个白球和2个黑球,现分两步从中摸球:第一步从袋中随机摸取2个球后全部放回袋中(若摸得白球则涂成黑球,若摸得黑球则不变色);第二步再从袋中随机摸取2个球,记第二步所摸取的2个球中白球的个数为ξ,则()0P ξ==___________;()E ξ=___________.答案:7929得到ξ的所有值,并计算相应的概率,然后简单计算即可. 解:ξ所有可能结果为1,0()2112122233219C C C P C C ξ==⋅=,所以()()70119P P ξξ==-==所以()27210999E ξ=⨯+⨯= 故答案为:79,29四、解答题18.已领函数()22sin cos f x x x x =-(1)求4f π⎛⎫⎪⎝⎭的值; (2)求()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 答案:(1)1;(2)最大值2,最小值(1)根据两角和的正弦、余弦公式以及辅助角公式化简()f x ,然后代入计算即可. (2)根据(1)的条件,以及正弦函数的性质进行计算和判断即可. 解:解:(1)因为()22sin cos f x x x x =-1cos 2sin 22xx +=-+sin 222sin 23x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭,所以2sin 2sin 14236f ππππ⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (2)因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦,所以sin 232π⎡⎤⎛⎫-∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦x , 所以,当232x ππ-=,即512x π=时,()f x 取到最大值2; 当233x ππ-=-,即0x =时,()f x取到最小值19.如图,在三棱柱111ABC A B C -中,1114,2,,60AB AA BC AC AC BC A AB ====⊥∠=︒.(1)证明:BC ⊥平面11ACC A ;(2)设点D 为1CC 的中点,求直线1A D 与平面11ABB A 所成角的正弦值. 答案:(1)证明见解析;(2)33. (1)根据勾股定理逆定理可知1BC AC ⊥,然后利用线面垂直的判定定理可知结果.(2)解法1通过作辅助线,找到直线1A D 与平面11ABB A 所成角,然后根据三角函数的知识进行求解即可;解法2利用建系,求得平面11ABB A 的一个法向量,然后按公式计算即可. 解:(1) 证明:如图,连接1A B由11,60AB AA A AB =∠=︒,所以1ABA △为等边三角形 因为112324AC BC A B ===,,, 所以22211A B AC BC =+,所以1BC AC ⊥, 又11BC AC AC AC C AC AC ⊥⋂=⊂,,,平面11ACC A , 所以BC ⊥平面11ACC A .(2)解法1:如图,设E 为1BB 的中点,连结1A E DE ,,作1DF A E ⊥于F .因为BC ⊥平面11ACC A ,//DE BC ,所以DE ⊥平面11ACC A , 又1CC ⊂平面11ACC A ,所以1DE CC ⊥.在11ACC △中,111ACAC =, D 为1CC 的中点,所以11A D CC ⊥,又1A D DE D ⋂=,所以1CC ⊥平面1A DE .因为11//BB CC ,所以1BB ⊥平面1A DE ,所以1BBDF ⊥, 又因为11111,DF A E BB A E E BB A E ⊥⋂=⊂,,平面11ABB A ,所以DF ⊥平面11ABB A , 所以直线1A D 与平面11ABB A 所成角为1DA E ∠. 在1DA E 中,221112222A D DE A D AC DE BC ⊥=-===,,, 所以221123A E A D DE =+=,所以113sin 3DE DA E A E ∠==. 因此,直线1A D 与平面11ABB A 所成角的正弦值为33. 解法2:如图,以C 为原点,以射线CA CB ,分别为x ,y 轴正半轴,建立空间直角坐标系C xyz -,则()()()10,0,0,,0,2,0,C A B A ⎝⎭1,3333C D ⎛⎫⎛-- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭因此133A D ⎛=-- ⎝⎭,()1423,2,0,3AB AA ⎛=-=- ⎝⎭.设平面11ABB A 的法向量为,,n x y z =(),由10n AB n AA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,得00y x -=-=⎪⎩可取()2,6,1n =.设直线1A D 与平面11ABB A 所成角为θ, 则1113sin cos ,3A D n A D n A D nθ⋅===⋅. 因此,直线1A D 与平面11ABB A . 点评:方法点睛:证明线面平行的方法:(1)根据线线平行得到线面平行(线面平行判定定理);(2)根据面面平行得到线面平行;(3)向量法;线面角的一般求法;(1)根据定义找到线面角;(2)向量法.20.已知等差数列{a n }的公差不为零,a 4=1,且a 4,a 5,a 7成等比数列,数列{b n }的前n 项和为S n ,满足S n =2b n ﹣4(n ∈N ).(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式; (2)若数列{c n }满足112c =-,c n +1=c n ﹣n na b (n ∈N ),求使得216n n c ->成立的所有n 值.答案:(1)a n =n ﹣3,b n =2n +1;(2)n 的值为3,4.(1)根据已知条件求得d ,由此求得n a ;先求得1b ,然后利用1n n S S --求得n b . (2)利用累加法,结合错位相减求和法求得n c ,由此解不等式62212n nn c n ->-=,求得n 的所有可能取值.解:(1)设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0),由题意得25a =a 4a 7, 即(1+d )2=1+3d ,整理得d 2=d ,解得d =1, 所以a n =a 4+(n ﹣4)d =n ﹣3, 因为b 1=S 1=2b 1﹣4,所以b 1=4,当n ≥2时,由b n =S n ﹣S n ﹣1,得b n =2b n ﹣2b n ﹣1,即b n =2b n ﹣1, 所以{b n }是以4为首项,2为公比的等比数列,所以b n =2n +1. (2)由c n +1=c n ﹣n n a b ,得c n +1﹣c n =﹣132n n +-, 所以c n =(c n ﹣c n ﹣1)+(c n ﹣1﹣c n ﹣2)+…+(c 2﹣c 1)+c 1=﹣12﹣(232122--++……+42n n -), 设T n =232122--++……+42n n -,则12T n=342122--++……+142n n +-, 两式相减得12T n =232122-++412+……+12n ﹣142n n +-=﹣31111221212n +-+-﹣142n n +-=﹣14﹣122n n +-,所以T n =﹣12﹣22n n -,所以c n =﹣12﹣T n =22n n -,因为62212n nn c n ->-=,所以(n ﹣2)(24﹣n﹣1)> 0, 当n =1时,不满足题意; 当n =2时,不满足题意;当n ≥3时,24﹣n ﹣1≥0,解得3≤n ≤4, 所以满足题意的所有n 的值为3,4.点评:当1n n a a --不是常数时,可利用累加法来求数列的通项公式.21.已知抛物线21:4C x y =和椭圆222:143x y C +=如图,经过抛物线1C 焦点F 的直线l 分别交抛物线1C 和椭圆2C 于A ,B ,C ,D 四点,抛物线1C 在点A ,B 处的切线交于点P .(1)求点P 的纵坐标;(2)设M 为线段AB 的中点,PM 交1C 于点Q ,BQ 交AP 于点T .记TCD QBP ,的面积分别为12S S ,.(i )求证:Q 为线段PM 的中点; (ii )若1287S S =,求直线l 的方程. 答案:(1)1-;(2)(i )证明见解析;(ii )1y x =+或1y x =-+.(1)假设点,A B 坐标并得到直线l 的方程,同时得到点A ,B 处的切线方程,然后得到点P 的坐标,根据直线l 与抛物线联立方程,使用韦达定理可知结果.(2)(i )得到,,P M Q 的坐标,然后根据中点坐标公式可得结果; (ii )依据23TABPABSS =,得到1283CD S S AB=⋅,然后利用弦长公式计算,CD AB ,最后根据等式进行计算即可. 解:(1)解:设点221212,,,44x x A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,直线l 的方程为1y kx =+. 22442x xx y y y =⇒=⇒'=,可知抛物线在点A ,B 处的切线的斜率分别为12,22x x抛物线1C 在点A ,B 处的切线方程分别为221122,2424x x x x y x y x =-=-,联立方程组,解得点P 的坐标为1212,24x x x x +⎛⎫⎪⎝⎭. 由214y kx x y=+⎧⎨=⎩,得22144016(1)0x kx k --=∆=+>,,所以12144x x k x x +==-2,,所以点P 的坐标为(21)k -,, 即点P 的纵坐标为1-.(2)(i )证明:由(1)得()()()22212,21,2,P k M k k Q k k -+,,, 因为22(21)(1)2k k ++-=, 所以,点Q 是线段PM 的中点.(ii )解:因为M ,Q 分别为线段AB PM ,的中点,所以2AT TP = 所以23TABPAB SS =,所以2113248QBPMBPPABTAB S SS S S ====,所以12883338TCD TCD TAB TAB CD S S S S S ABS ==⋅=⋅. 设点C ,D 的横坐标分别为34x x ,, 由22134120y kx x y =+⎧⎨+-=⎩,得()()222243880,96210k x kx k ++-=∆=+>, 所以34342288,4343k x x x xk k +=-=-++,所以CD==由(1)得()241ABk ==+.所以,1283CD S S AB=⋅==设()()()()2210431x f x x x x +=≥++,则()()()232162050431x x f x x x ---'=<++,所以()f x 在[)0,+∞上单调递减.因为1287S S ==,所以()22327f k =⨯,所以21k =,即1k =±, 经检验,符合条件,所以直线l 的方程为1y x =+或1y x =-+.点评:思路点睛:第(1)问,①假设直线l 的方程并与抛物线方程联立,使用韦达定理;②得到在A,B 处切线方程并联立得到点P 坐标;③计算即可.第(2)问,①得到面积的比值1283CD S S AB=⋅;②利用弦长公式得到,CD AB ;③计算得到k . 22.已知函数()(xf x ax e -=(其中02a <<,e 为自然对数的底数).(1)求函数()f x 的单调区间;(2)设函数()f x 的极小值点为m ,极大值点为n ,证明:当(,)x m n ∈时,()1ln a f x x x e--<. 答案:(1)递减区间的2112,1,,22a ⎛⎫⎛⎫++∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,递增区间的2121,2a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭;(2)证明见解析.(1)首先确定函数的定义域,接着求导,求解()0f x '>得到函数单调增区间,求解()0f x '<得到函数的单调减区间;(2)由(1)知21212m n a==+,,构造函数()(1ln x a g x ax e x x e--=---,经过推导判断()0g x '<得到()()10g x g <=,所以原不等式得证.解:(1)解:由已知得12x ≥()(x xx f x a e ax e a ax e ---⎛⎛'=-=- ⎝⎝()1x xa ax e x a e --⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭由()0f x '>解得21212x a<<+ 所以()f x 的递减区间的2112,1,,22a ⎛⎫⎛⎫++∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,递增区间的2121,2a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.(2)证明:由(1)可知21212m n a ==+,,即2121,2x a ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭. 设()(1ln xa g x ax e x x e--=---, 则()()1ln 1x g x x a e x -⎫'=----⎪⎭.当2121,2x a ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时,因为022a a <-<-<,所以()()21ln 1x g x x ex -'<---. 设()()21ln x h x x e x -=--,则()242x xe x x h x xe -+'=- 当(),x m n ∈时,因为()()22421421210x e x x x x x x x -+>+-+=-->, 所以()0h x '<,所以()()10h x h <=,所以()0g x '<,所以()()10g x g <=,所以,当(),x m n ∈时,()1ln a f x x x e--<. 点评:用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面:(1)在利用导数讨论函数的单调区间时,首先要确定函数的定义域;(2)不能随意将函数的2个独立的单调递增(或递减)区间写成并集形式;(3)利用导数解决含参函数的单调性问题时,一般将其转化为不等式恒成立问题,解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.。
浙江省绍兴市2021届新高考适应性测试卷数学试题(2)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.函数()1log 1a x f x x x +=+(01a <<)的图象的大致形状是( ) A . B . C .D .【答案】C 【解析】 【分析】对x 分类讨论,去掉绝对值,即可作出图象. 【详解】()()()log 11log log 101log 0.a a a ax x x f x x x x x x x ⎧--<-+⎪==--<<⎨+⎪>⎩,,,,,故选C . 【点睛】 识图常用的方法(1)定性分析法:通过对问题进行定性的分析,从而得出图象的上升(或下降)的趋势,利用这一特征分析解决问题;(2)定量计算法:通过定量的计算来分析解决问题;(3)函数模型法:由所提供的图象特征,联想相关函数模型,利用这一函数模型来分析解决问题. 2.如图,正四面体P ABC -的体积为V ,底面积为S ,O 是高PH 的中点,过O 的平面α与棱PA 、PB 、PC 分别交于D 、E 、F ,设三棱锥P DEF -的体积为0V ,截面三角形DEF 的面积为0S ,则( )A .08V V ≤,04S S ≤B .08V V ≤,04S S ≥C .08V V ≥,04S S ≤D .08V V ≥,04S S ≥【答案】A 【解析】 【分析】设2AB =,取EF 与BC 重合时的情况,计算出0S 以及0V 的值,利用排除法可得出正确选项. 【详解】如图所示,利用排除法,取EF 与BC 重合时的情况.不妨设2AB =,延长MD 到N ,使得//PN AM .PO OH =Q ,PN MH ∴=,2AH MH =Q ,33AM MH PN ∴==,则13PD AD =, 由余弦定理得22222331132cos 22232224BD AB AD AB AD π⎛⎫=+-⋅=+-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭,2232DM BD BM =-=,01332222S =⨯⨯=, 又2323S ==042313S S ∴==>, 当平面//DEF 平面ABC 时,04S S =,04S S ∴≤,排除B 、D 选项;因为13PD AD =,014V V ∴=,此时,0821V V=>, 当平面//DEF 平面ABC 时,08V V =,08V V ∴≥,排除C 选项. 故选:A. 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理、余弦定理、勾股定理、三棱锥的体积计算公式、排除法,考查了空间想象能力、推理能力与计算能力,属于难题.3.过抛物线24y x =的焦点F 的直线交该抛物线于A ,B 两点,O 为坐标原点.若3AF =,则直线AB 的斜率为( )A .B .C .D .±【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的定义,结合||3AF =,求出A 的坐标,然后求出AF 的斜率即可. 【详解】解:抛物线的焦点(1,0)F ,准线方程为1x =-,设(,)A x y ,则||13AF x =+=,故2x =,此时y =±(2,A ±.则直线AF 的斜率k ==±. 故选:D . 【点睛】本题考查了抛物线的定义,直线斜率公式,属于中档题.4.大衍数列,米源于我国古代文献《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论,主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理,数列中的每一项,都代表太极衍生过程中,曾经经历过的两仪数量总和.已知该数列前10项是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…,则大衍数列中奇数项的通项公式为( )A .22n n -B .212n -C .212n (-)D .22n【答案】B 【解析】 【分析】直接代入检验,排除其中三个即可. 【详解】由题意10a =,排除D ,34a =,排除A ,C .同时B 也满足512a =,724a =,940a =, 故选:B . 【点睛】本题考查由数列的项选择通项公式,解题时可代入检验,利用排除法求解.5.如图在一个60︒的二面角的棱有两个点,A B ,线段,AC BD 分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于棱AB ,且2,4AB AC BD ===,则CD 的长为( )A .4B .5C .2D .23【答案】A 【解析】 【分析】由CD CA AB BD =++u u u r u u u r u u u r u u u r ,两边平方后展开整理,即可求得2CD u u u r ,则CD 的长可求.【详解】解:Q CD CA AB BD =++u u u r u u u r u u u r u u u r,∴2222222CD CA AB BD CA AB CA BD AB BD =+++++u u u r u u u r u u u ru u u ru u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg g g , Q CA AB ⊥u u u ru u u r,BD AB ⊥u u u r u u u r,∴0CA AB =u u u r u u u r g ,0BD AB =u u u r u u u rg ,1||||cos1202442CA BD CA BD =︒=-⨯⨯=-u u u r u u u r u u u r u u u r g .∴244162416CD =++-⨯=u u u r,||4CD ∴=u u u r,故选:A . 【点睛】本题考查了向量的多边形法则、数量积的运算性质、向量垂直与数量积的关系,考查了空间想象能力,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.6.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>,点()00,P x y 是直线40bx ay a -+=上任意一点,若圆()()22001x x y y -+-=与双曲线C 的右支没有公共点,则双曲线的离心率取值范围是( ).A .(]1,2B .(]1,4C .[)2,+∞D .[)4,+∞ 【答案】B 【解析】 【分析】先求出双曲线的渐近线方程,可得则直线bx ay 2a 0-+=与直线bx ay 0-=的距离d ,根据圆()()2200x x y y 1-+-=与双曲线C 的右支没有公共点,可得d 1≥,解得即可.【详解】由题意,双曲线2222x y C :1(a 0,b 0)a b-=>>的一条渐近线方程为b y x a =,即bx ay 0-=,∵()00P x ,y 是直线bx ay 4a 0-+=上任意一点, 则直线bx ay 4a 0-+=与直线bx ay 0-=的距离4a d c==, ∵圆()()2200x x y y 1-+-=与双曲线C 的右支没有公共点,则d 1≥, ∴41a c ≥,即4ce a=≤,又1e > 故e 的取值范围为(]1,4, 故选:B . 【点睛】本题主要考查了直线和双曲线的位置关系,以及两平行线间的距离公式,其中解答中根据圆与双曲线C 的右支没有公共点得出d 1≥是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题. 7.已知复数,z a i a R =+∈,若||2z =,则a 的值为( )A .1 BC .±1D .【答案】D 【解析】由复数模的定义可得:2z ==,求解关于实数a 的方程可得:a =.本题选择D 选项.8.羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成. 某班级从3名男生1A ,2A ,3A 和3名女生1B ,2B ,3B 中各随机选出两名,把选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛,则1A 和1B 两人组成一队参加比赛的概率为( )A.19B.29C.13D.49【答案】B【解析】【分析】根据组合知识,计算出选出的4人分成两队混合双打的总数为2211332222C C C CA,然后计算1A和1B分在一组的数目为1122C C,最后简单计算,可得结果.【详解】由题可知:分别从3名男生、3名女生中选2人:2233C C将选中2名女生平均分为两组:112122C CA将选中2名男生平均分为两组:112122C CA则选出的4人分成两队混合双打的总数为:221111112223322212133222222218C C C CC C C CC C AA A A==1A和1B分在一组的数目为11224C C=所以所求的概率为42189=故选:B【点睛】本题考查排列组合的综合应用,对平均分组的问题要掌握公式,比如:平均分成m组,则要除以m m A,即!m,审清题意,细心计算,考验分析能力,属中档题.9.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E、F且EF=2,则下列结论中错误的是()A.AC⊥BE B.EF//平面ABCDC .三棱锥A-BEF 的体积为定值D .异面直线AE,BF 所成的角为定值【答案】D 【解析】 【分析】A .通过线面的垂直关系可证真假;B .根据线面平行可证真假;C .根据三棱锥的体积计算的公式可证真假;D .根据列举特殊情况可证真假. 【详解】A .因为11,,AC BD AC DD DD BD D ⊥⊥=I ,所以AC ⊥平面11BDDB , 又因为BE ⊂平面11BDD B ,所以AC BE ⊥,故正确;B .因为11//D B DB ,所以//EF DB ,且EF ⊂/平面ABCD ,DB ⊂平面ABCD , 所以//EF 平面ABCD ,故正确;C .因为11224BEF S EF BB =⨯⨯=V 为定值,A 到平面11BDD B 的距离为1222h AC ==, 所以11312A BEF BEF V S h -=⋅⋅=V 为定值,故正确; D .当1111AC B D E =I ,AC BD G ⋂=,取F 为1B ,如下图所示:因为//BF EG ,所以异面直线,AE BF 所成角为AEG ∠,且222tan 12AG AEG GE ∠===, 当1111AC B D F =I ,AC BD G ⋂=,取E 为1D ,如下图所示:因为11//,D F GB D F GB =,所以四边形1D GBF 是平行四边形,所以1//BF D G ,所以异面直线,AE BF 所成角为AEG ∠,且tan AGAEG GE∠===由此可知:异面直线,AE BF 所成角不是定值,故错误. 故选:D. 【点睛】本题考查立体几何中的综合应用,涉及到线面垂直与线面平行的证明、异面直线所成角以及三棱锥体积的计算,难度较难.注意求解异面直线所成角时,将直线平移至同一平面内.10.已知0x >,a x =,22xb x =-,ln(1)c x =+,则( )A .c b a <<B .b a c <<C .c a b <<D .b c a <<【答案】D 【解析】 【分析】令2()ln(1)2x f x x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭,求()f x ',利用导数判断函数为单调递增,从而可得2ln(1)2xx x +>-,设()()ln 1g x x x =+-,利用导数证出()g x 为单调递减函数,从而证出0,ln(1)x x x ∀>+<,即可得到答案. 【详解】0x >时,22x x x >-令2()ln(1)2x f x x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭,求导21()111x f x x x x '=-+=++ 0x ∀>,()0f x '>,故()f x 单调递增:()(0)0f x f >=∴2ln(1)2x x x +>-,当0x >,设()()ln 1g x x x =+-,()11011x g x x x-'∴=-=<++ , 又()00g =Q ,()()ln 10g x x x ∴=+-<,即0,ln(1)x x x ∀>+<,故2ln(1)2x x x x >+>-. 故选:D 【点睛】本题考查了作差法比较大小,考查了构造函数法,利用导数判断式子的大小,属于中档题.11.赵爽是我国古代数学家、天文学家,大约公元222年,赵爽为《周髀算经》一书作序时,介绍了“勾股圆方图”,又称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的,如图(1)),类比“赵爽弦图”,可类似地构造如图(2)所示的图形,它是由6个全等的三角形与中间的一个小正六边形组成的一个大正六边形,设A F F A 2'''=,若在大正六边形中随机取一点,则此点取自小正六边形的概率为( )A 213B .413C .277D .47【答案】D 【解析】 【分析】设AF a '=,则2A F a ''=,小正六边形的边长为2A F a ''=,利用余弦定理可得大正六边形的边长为7AB a =,再利用面积之比可得结论.【详解】由题意,设AF a '=,则2A F a ''=,即小正六边形的边长为2A F a ''=, 所以,3FF a '=,3AF F π'∠=,在AF F '∆中,由余弦定理得2222cos AF AF FF AF FF AF F '''''=+-⋅⋅∠, 即()222323cos3AF a a a a π=+-⋅⋅,解得7AF a =,所以,大正六边形的边长为7AF a =,所以,小正六边形的面积为21132222236322S a a a a a =⨯⨯⨯⨯+⨯=, 大正六边形的面积为22132137727212S a a a a a =⨯⨯⨯⨯+⨯=, 所以,此点取自小正六边形的概率1247S P S ==. 故选:D. 【点睛】本题考查概率的求法,考查余弦定理、几何概型等基础知识,考查运算求解能力,属于基础题. 12.如图,在三棱锥S ABC -中,SA ⊥平面ABC ,AB BC ⊥,现从该三棱锥的4个表面中任选2个,则选取的2个表面互相垂直的概率为( )A .12B .14C .13D .23【答案】A 【解析】 【分析】根据线面垂直得面面垂直,已知SA ⊥平面ABC ,由AB BC ⊥,可得BC ⊥平面SAB ,这样可确定垂直平面的对数,再求出四个面中任选2个的方法数,从而可计算概率. 【详解】由已知SA ⊥平面ABC ,AB BC ⊥,可得SB BC ⊥,从该三棱锥的4个面中任选2个面共有246C =种不同的选法,而选取的2个表面互相垂直的有3种情况,故所求事件的概率为12. 故选:A . 【点睛】本题考查古典概型概率,解题关键是求出基本事件的个数. 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
2021年5月浙江省绍兴市嵊州市2021届高三下学期5月高考适应性考试数学试卷★祝考试顺利★(含答案)一、单选题(共10题;共40分)1.设集合M={x|−2<x<1},N={x|0<x<2},则M∪N=()A.(−2,0)B.(0,1)C.(0,2)D.(−2,2)【答案】 D【解析】【解答】由M=(−2,1),N=(0,2),则M∪N=(−2,2)故答案为:D.【分析】根据题意由并集的定义即可得出答案。
2.欧拉公式e ix=cos x+isin x(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里非常重要,被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知,e2i表示的复数在复平面中对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】 B【解析】【解答】由题意得,e2i=cos 2+isin 2,∴复数在复平面内对应的点为(cos 2,sin 2).,π),∵2∈(π2∴cos 2∈(-1,0),sin 2∈(0,1),∴e2i表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限,故答案为:B.【分析】由题意得e2i=cos2+isin2,得到复数在复平面内对应的点(cos2,sin2),即可作出解答.3.函数f(x)=sinx2x+2−x在区间[−π,π]上的图象大致为()A. B.C. D.【答案】 A【解析】【解答】∀x∈[−π,π],f(−x)=sin(−x)2−x+2−(−x)=−sinx2x+2−x=−f(x),则f(x)是奇函数,C,D是不正确的;0<x<π时,2x+2−x>0,sinx>0,即f(x)>0,B是不正确的,A符合要求.故答案为:A【分析】根据题意首先求出函数的定义域再由奇函数的定义f(-x)=-f(x)即可判断出该函数为奇函数,由奇函数图象的性质得出图像关于原点对称由此排除C、D,再由特殊点法代入数值验证即可排除选项B,由此得到答案。
2021届浙江省绍兴市柯桥区高考数学适应性试卷(5月份)一、单选题(本大题共10小题,共40.0分)1.已知集合A={x|(x+2)(x−3)≤0,x∈Z},B={x|(x+1)(x−1)(x−3)=0},则A∩B=()A. {−1,1}B. {1,3}C. {−1,1,3}D. {−3,−1,1}2.如果复数2−bi1+2i的实部和虚部互为相反数,则实数b=()A. −23B. −34C. 34D. 233.已知命题p,q,则“p或q是真命题”是“¬p为假命题”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.直线2x−y+a=0与3x+y−3=0交于第一象限,当点P(x,y)在不等式组{2x−y+a≥0 3x+y−3≤0表示的区域上运动时,m=4x+3y的最大值为8,此时n=yx+3的最大值是()A. 14B. 32C. 43D. 345.已知一个实心铁质的几何体的正视图和侧视图是全等的正三角形,俯视图是半径为3的圆,将3个这样的几何体熔成一个实心正方体,则正方体的表面积为()A. 5433π2B. 5433πC. 54312π2D. 54312π6.已知函数f(x)=2−x+x,将f(x)的图象向右平移3个单位,得到函数g(x)的图象,则g(x)的解析式是()A. g(x)=2−x+3+x−3B. g(x)=2−x−3+x−3C. g(x)=2−x+3+x+3D. g(x)=2−x−3+x+37.若满足,满足,则等于()A. B. C. D.8.已知函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤π2)的图象如图所示,则φ等于()A. π3B. π12C. −π6D. −π49.过双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点F作圆x2+y2=a24的切线,切点为E,延长FE交双曲线右支点于P,若E为线段PF的中点,则双曲线的离心率为()A. √103B. √102C. √62D. √6310.已知等比数列{a n}是递增数列,S n是{a n}的前n项和,若a1,a3是方程x2−5x+4=0的两根,则S6的值为()A. 63B. −63C. −21D. 63或−21二、单空题(本大题共7小题,共36.0分)11.设a=∫ 0πsinxdx,则二项式(a√x−1√x)6的展开式中含有x2的项的系数为______ .12.设点P在以A为圆心,半径为1的圆弧BC⏜上运动(包含B、C两个端点),∠BAC=23π,且AP⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC⃗⃗⃗⃗⃗ ,x+y+xy的取值范围为______.13.已知函数f(x)=xx+2(x>0).如下定义一列函数:f1(x)=f(x),f2(x)=f(f1(x)),f3(x)= f(f2(x)),…,f n(x)=f(f n−1(x)),…,n∈N∗,那么由归纳推理可得函数f n(x)的解析式是f n(x)= ______ .14.如图,AB是圆O的直径,点C在圆O上,延长BC到D使BC=CD,过C作圆O的切线交AD于E.若AB=6,ED=2,则BC=________.15.若X~B(n,p),且EX=2,DX=23,则P(X=1)=______.16.定义在(0,+∞)上的单调函数f(x),对任意x∈(0,+∞),f[f(x)−log2x]=3成立,若方程f(x)−f′(x)=2的解在区间(k,k+1)(k∈Z)内,则k=______ .17.已知向量|a⃗|=4,|b⃗ |=3,且(a⃗+2b⃗ )⋅(a⃗−b⃗ )=4,则向量a⃗与向量b⃗ 的夹角为______.三、解答题(本大题共5小题,共74.0分)18.已知函数f(x)=2√3sinxcosx−2cos2x−1,(x∈R).(1)当x∈[0,π2]时,求函数f(x)的最小值和最大值;(2)设△ABC的内角A,B,C的对应边分别为a,b,c,且c=√3,f(C)=0,若向量m⃗⃗⃗ =(1,sinA)与向量n⃗=(2,sinB)共线,求a,b的值.19.如图,已知等腰梯形ABCD中,AD//BC,BC=2AD=2AB=4,将△ABD沿BD折到△A′BD的位置,使平面A′BD⊥平面CBD.(Ⅰ)求证:CD⊥A′B;(Ⅱ)试在线段A′C上确定一点P,使得三棱锥P−BDC的体积为4√39.20.记等差数列{a n}的前n项和为S n.(1)求证:数列{S nn}是等差数列;(2)若a1=1,且对任意正整数n,k(n>k),都有√S n+k+√S n−k=2√S n成立,求数列{a n}的通项公式;(3)记b n=a a n(a>0),求证:b1+b2+⋯+b nn ≤b1+b n2.21.已知椭圆的焦点坐标为F1(−1,0),F2(1,0),过F2垂直于长轴的直线交椭圆于A、B两点,且|AB|=3.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)过F1点作相互垂直的直线l1,l2,分别交椭圆于P1,P2,P3,P4试探究1|P1P2|+1|P3P4|是否为定值?并求当四边形P1P2P3P4的面积S最小时,直线l1,l2的方程.22.已知函数f(x)=cosx+ax2−1,a∈R.(1)当a=0时,求函数f(x)在x=π2处的切线方程;(2)当a=1时,求函数f(x)在[−π,π]上的最大值和最小值;(3)若对于任意的实数x恒有f(x)≥0,求实数a的取值范围.【答案与解析】1.答案:C解析:解:集合A ={x|(x +2)(x −3)≤0,x ∈Z}={−2,−1,0,1,2,3}, B ={x|(x +1)(x −1)(x −3)=0}={−1,1,3}, 则A ∩B ={−1,1,3}. 故选:C .求出两个集合,然后求解交集即可.本题考查集合的交集的求法,基本知识的考查.2.答案:A解析:解:由2−bi1+2i =(2−bi)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=(2−2b)−(b+4)i5=2−2b 5−b+45i ,又复数2−bi1+2i 的实部和虚部互为相反数,得2−2b −b −4=0,即b =−23. 故选:A .利用复数代数形式的乘除运算化简,由实部与虚部的和等于0求得b 的值. 本题考查复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题.3.答案:B解析:根据充分必要条件的定义以及符合命题的定义判断即可. 本题考查了充分必要条件,考查符合命题的判断,是一道基础题.解:由命题“p 或q 是真命题”,可以推出p 是真命题或q 是真命题,但推不出“¬p 为假命题”,所以不是充分条件,由命题“¬p 为假命题”,得p 是真命题,可以推出“p 或q 是真命题”,所以是必要条件. 故选B .4.答案:D解析:解:由直线2x −y +a =0与3x +y −3=0交于点A , 解方程组{2x −y +a =03x +y −3=0,得A(3−a 5,6+3a5),将直线4x +3y =0平移经过A 点时, m 取最大值,∴4×3−a 5+3×6+3a 5=6+a =8,得a =2.于是,点A 的坐标为(15,125),。
浙江省绍兴市2021届新高考适应性测试卷数学试题(3)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知双曲线221:110x y C m m +=-与双曲线222:14y C x -=有相同的渐近线,则双曲线1C 的离心率为( )A .54B .5CD 【答案】C【解析】【分析】由双曲线1C 与双曲线2C 有相同的渐近线,列出方程求出m 的值,即可求解双曲线的离心率,得到答案.【详解】 由双曲线221:110x y C m m +=-与双曲线222:14y C x -=有相同的渐近线,2=,解得2m =,此时双曲线221:128x y C -=,则曲线1C 的离心率为c e a ===C . 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用,其中解答中熟记双曲线的几何性质,准确运算是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.2.已知函数()f x 在R 上都存在导函数()f x ',对于任意的实数都有2()e ()x f x f x -=,当0x <时,()()0f x f x '+>,若e (21)(1)a f a f a +≥+,则实数a 的取值范围是( )A .20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B .2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C .[0,)+∞ D .(,0]-∞【答案】B【解析】【分析】 先构造函数,再利用函数奇偶性与单调性化简不等式,解得结果.【详解】令()()x g x e f x =,则当0x <时,()[()()]0xg x e f x f x ''=+>,又()()()()x x g x ef x e f xg x --=-==,所以()g x 为偶函数, 从而()()211a e f a f a +≥+等价于211(21)(1),(21)(1)a a ef a e f ag a g a +++≥++≥+, 因此22(|21|)(|1|),|21||1|,3200.3g a g a a a a a a -+≥-+-+≥-++≤∴-≤≤选B. 【点睛】 本题考查利用函数奇偶性与单调性求解不等式,考查综合分析求解能力,属中档题.3.下列结论中正确的个数是( )①已知函数()f x 是一次函数,若数列{}n a 通项公式为()n a f n =,则该数列是等差数列;②若直线l 上有两个不同的点到平面α的距离相等,则//l α;③在ABC ∆中,“cos cos A B >”是“B A >”的必要不充分条件;④若0,0,24a b a b >>+=,则ab 的最大值为2.A .1B .2C .3D .0【答案】B【解析】【分析】根据等差数列的定义,线面关系,余弦函数以及基本不等式一一判断即可;【详解】解:①已知函数()f x 是一次函数,若数列{}n a 的通项公式为()n a f n =,可得1(n n a a k k +-=为一次项系数),则该数列是等差数列,故①正确;②若直线l 上有两个不同的点到平面α的距离相等,则l 与α可以相交或平行,故②错误;③在ABC ∆中,(),0,B A π∈,而余弦函数在区间()0,π上单调递减,故 “cos cos A B >”可得“B A >”,由“B A >”可得“cos cos A B >”,故“cos cos A B >”是“B A >”的充要条件,故③错误;④若0,0,24a b a b >>+=,则42a b =+≥2ab ≤,当且仅当22a b ==时取等号,故④正确;综上可得正确的有①④共2个;故选:B【点睛】本题考查命题的真假判断,主要是正弦定理的运用和等比数列的求和公式、等差数列的定义和不等式的性质,考查运算能力和推理能力,属于中档题.4.下列说法正确的是( )A .“若1a >,则21a >”的否命题是“若1a >,则21a ≤”B .“若22am bm <,则a b <”的逆命题为真命题C .0(0,)x ∃∈+∞,使0034x x >成立D .“若1sin 2α≠,则6πα≠”是真命题 【答案】D【解析】选项A ,否命题为“若1a ≤,则21a ≤”,故A 不正确.选项B ,逆命题为“若a b <,则22am bm <”,为假命题,故B 不正确.选项C ,由题意知对x ∀()0,∈+∞,都有34x x <,故C 不正确.选项D ,命题的逆否命题“若6πα=,则1sin 2α=”为真命题,故“若1sin 2α≠,则6πα≠”是真命题,所以D 正确.选D .5.设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,则下列命题正确的是( )A .若m n ⊥,//n α,则m α⊥B .若//m β,βα⊥,则m α⊥C .若m β⊥,n β⊥,n α⊥,则m α⊥D .若m n ⊥,n β⊥,βα⊥,则m α⊥【答案】C【解析】【分析】根据空间中直线与平面、平面与平面位置关系相关定理依次判断各个选项可得结果.【详解】对于A ,当m 为α内与n 垂直的直线时,不满足m α⊥,A 错误;对于B ,设l αβ=I ,则当m 为α内与l 平行的直线时,//m β,但m α⊂,B 错误;对于C ,由m β⊥,n β⊥知://m n ,又n α⊥,m α∴⊥,C 正确;对于D ,设l αβ=I ,则当m 为β内与l 平行的直线时,//m α,D 错误.故选:C .【点睛】本题考查立体几何中线面关系、面面关系有关命题的辨析,考查学生对于平行与垂直相关定理的掌握情况,属于基础题.6.若函数f(x)=13x 3+x 2-23在区间(a ,a +5)上存在最小值,则实数a 的取值范围是 A .[-5,0) B .(-5,0) C .[-3,0) D .(-3,0)【答案】C【解析】【分析】求函数导数,分析函数单调性得到函数的简图,得到a 满足的不等式组,从而得解.【详解】由题意,f′(x)=x 2+2x =x(x +2),故f(x)在(-∞,-2),(0,+∞)上是增函数,在(-2,0)上是减函数,作出其图象如图所示.令13x 3+x 2-23=-23,得x =0或x =-3, 则结合图象可知,3050a a -≤<⎧⎨+>⎩解得a ∈[-3,0), 故选C.【点睛】本题主要考查了利用函数导数研究函数的单调性,进而研究函数的最值,属于常考题型.7.若()*3n x n N x x ⎛∈ ⎝的展开式中含有常数项,且n 的最小值为a ,则22a aa x dx --=( ) A .36πB .812πC .252πD .25π【答案】C【解析】 ()*3x n n N x x ∈展开式的通项为 ()52133,0,1,,rn r n r r n r r r n n T C x C x r n x x ---+===L ,因为展开式中含有常数项,所以502n r -=,即25r n =为整数,故n 的最小值为1. 所以222252552a a x dx x dx π--⎰-=⎰-=.故选C 点睛:求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第1r +项,再由特定项的特点求出r 值即可.(2)已知展开式的某项,求特定项的系数.可由某项得出参数项,再由通项写出第1r +项,由特定项得出r 值,最后求出其参数.8.若(1+2ai)i =1-bi ,其中a ,b ∈R ,则|a +bi|=( ).A .12B .5C .52D .5 【答案】C 【解析】试题分析:由已知,-2a +i =1-bi ,根据复数相等的充要条件,有a =-12,b =-1 所以|a +bi|=2215()(1)22-+-=,选C 考点:复数的代数运算,复数相等的充要条件,复数的模9.下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案,形若铜钱,寓意富贵吉祥.在圆内随机取一点,则该点取自阴影区域内(阴影部分由四条四分之一圆弧围成)的概率是( )A .12B .13C .41π- D .42π-【答案】C【解析】令圆的半径为1,则()22'41S P S ππππ--===-,故选C . 10.已知双曲线),其右焦点F 的坐标为,点是第一象限内双曲线渐近线上的一点,为坐标原点,满足,线段交双曲线于点.若为的中点,则双曲线的离心率为( )A .B .2C .D .【答案】C【解析】【分析】计算得到,,代入双曲线化简得到答案.【详解】双曲线的一条渐近线方程为,是第一象限内双曲线渐近线上的一点,, 故,,故,代入双曲线化简得到:,故. 故选:.【点睛】本题考查了双曲线离心率,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.11.已知函数32,0()ln ,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩,则1(())f f e =( ) A .32 B .1 C .-1 D .0【答案】A【解析】【分析】由函数32,0()ln ,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩,求得11()ln 1f e e ==-,进而求得1(())f f e 的值,得到答案. 【详解】由题意函数32,0()ln ,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩, 则11()ln1f e e ==-,所以1313(())(1)2(1)2f f f e -=-=--=,故选A. 【点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题,其中解答中根据分段函数的解析式,代入求解是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.12.已知抛物线24y x =的焦点为F ,准线与x 轴的交点为K ,点P 为抛物线上任意一点KPF ∠的平分线与x 轴交于(,0)m ,则m 的最大值为( )A .322-B .33C .23D .22-【答案】A【解析】【分析】 211(1)4m mx x -=+++, 求出等式左边式子的范围,将等式右边代入,从而求解.【详解】解:由题意可得,焦点F (1,0),准线方程为x =−1,过点P 作PM 垂直于准线,M 为垂足,由抛物线的定义可得|PF|=|PM|=x +1,记∠KPF 的平分线与x 轴交于(m,0),(1m 1)H -<< 根据角平分线定理可得||||||=||||||PF PM FH PK PK KH =, 211(1)4m mx x -=+++, 当0x =时,0m =,当0x ≠21242(1)4112x x x x ⎫=⎪⎪++⎣⎭+++,211032221m m m-≤<⇒<≤-+ 综上:0322m ≤≤-故选:A .【点睛】本题主要考查抛物线的定义、性质的简单应用,直线的斜率公式、利用数形结合进行转化是解决本题的关键.考查学生的计算能力,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
鲁迅中学2021年一般高等学校招生适应性考试数 学(文科)本试题卷分选择题和非选择题两部份。
全卷共4页,选择题部份1至2页,非选择题部份3至4页。
总分值150分,考试时刻120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部份 (共50分)注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色笔迹的签字笔或钢笔别离填写在试卷和答题纸规定的位置上。
2.每题选出答案后,用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。
不能答在试题卷上。
参考公式: 球的表面积公式柱体的体积公式S =4πR 2V =Sh球的体积公式其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高 V =34πR 3台体的体积公式其中R 表示球的半径 V =31h (S 1+21S S +S 2)锥体的体积公式其中S 1, S 2别离表示台体的上、下底面积,V =31Shh 表示台体的高其中S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高 如果事件A ,B 互斥,那么P (A +B )=P (A )+P (B ) 选择题部份(共50分)一.选择题:本大题共10小题,每题5分,共50分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求.1.设全集R U =,集合}31|{},20|{≤≤=≤≤=y y B x x A ,那么B A C U ⋂)(=A. (]3,2B.(]()+∞∞-,21,C.[)2,1D.()[)+∞∞-,10,2.同时抛掷两枚质地均匀的骰子,那么显现向上面的点数之和不小于8的概率是A .31B .125 C .21 D .127 3.已知11xi yi=-+,其中,,x y R i ∈为虚数单位,那么=+yi xA . 1+2iB . 1-2iC .2+iD .2-i4.关于函数y =f (x ),x ∈R ,“y =|f (x )|的图象关于y 轴对称”是“y =f (x )是奇函数”的A .充分没必要要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也没必要要条件5.设,,αβγ是三个互不重合的平面,m ,n 是两条不重合的直线,那么以下命题中正确的选项是 A .假设,,a αββγγ⊥⊥⊥则 B .假设//,,//,//m m m αββαβ⊄则C .假设,,//m m αβαβ⊥⊥则D .假设//,//,,m a n a m n ββ⊥⊥则6.将函数x y 2sin =的图象向左平移4π个单位,所得图象对应函数的一个单调递增区间是 A. ]2,0[π B. ],2[ππ C. ]43,4[ππ D. ]4,4[ππ-7.已知点P (3,3),Q (3,-3),O 为坐标原点,动点M (x , y )知足||12||12OP OM OQ OM ⎧⋅≤⎪⎨⋅≤⎪⎩,那么点M 所组成的平面区域的面积是 (A )12(B )16(C )32(D )64图象为9. 设双曲线2222:1(0)x y C a b a b-=>>的右核心为F ,左右极点别离为12,A A ,过F 且与双曲线C 的一条渐近线平行的直线l 与另一条渐近线相交于P ,假设P 恰好在以12A A 为直径的圆上,那么双曲线的离心率为 A .2 B . 22C . 3D .3210.已知正实数a ,b 知足12=+b a ,那么ab b a 1422++的最小值为 A .27B .4C .36161D .217 非选择题部份(共100分)二、填空题:本大题共7小题,每题4分,共28分,把答案填在题中横线上.11. 为了了解某学校2000名高中男生的躯体发育情形,抽查了该校100名高中男生的体重情形.依照所得数据画出样本的频率散布直方图,据此估量该校高中男生体重在70~78kg 的人数为_______人;12.若3sin cos 0αα+=,那么21cos sin 2αα+的值为_13.执行如下图的程序框图,那么输出的k 值是 .14. 某几何体的三视图如下图,依照图中标出的数据,那么那个几何体的体积为 _ .15.关于正项数列{}n a ,定义nn na a a a nH +⋯+++=32132为{}n a 的“给力”值,现知数列{}n a 的“给力”值为1n H n=,那么数列{}n a 的通项公式为n a = .16.锐角ABC ∆的三边c b a ,,和面积S 知足条件22()4c a b S k--=,又角C 既不是ABC ∆的最大角也不是ABC ∆的最小角,那么实数k 的取值范围是 .17.已知点)0,3(-A 和圆O :922=+y x ,AB 是圆O 的直径,M 和N 是AB 的三等分点,P (异于B A ,)是圆O 上的动点,AB PD ⊥于D ,)0(>=λλED PE ,直线PA 与BE 交于C ,那么当=λ 时,||||CN CM +为定值.三、解答题: 本大题共5小题, 共72分.解许诺写出文字说明、 证明进程或演算步骤. 18. (此题总分值14分)已知函数()21)cos sin 3(cos +-=x x x x f ωωω的周期为π2. (Ⅰ)求ω的值;否是78组距重量(kg )0.070.04747066625458第11题图(Ⅱ)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边别离是,,a b c ,且知足a c A b 32cos 2-=,求)(B f 的值. 19.(此题总分值14分)设公比大于零的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且11=a ,245S S =,数列{}n b 的前n 项和为n T ,知足11=b ,n n b n T 2=,*∈N n .(Ⅰ)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式;(Ⅱ)设))(1(λ-+=n n n nb S C ,假设数列{}n C 是单调递减数列,求实数λ的取值范围. 20.(此题总分值14分)在正ABC ∆中,点P F E ,,别离是BC AC AB 、、边上的点,且21::::===PB CP FA CF EB AE ,将AEF ∆沿EF 折起到EF A 1∆的位置,使二面角B EF A --1成直二面角,连结P A B A 11、(如图)(Ⅰ)求证:BEP E A 平面⊥1;(Ⅱ)求直线E A 1与平面BP A 1所成角的大小.21.(此题总分值15分)已知函数()ax x x f +=331,()a x x g --=2 (a ∈R). (Ⅰ)若函数()()x g x f x F -=)(在[)+∞∈,1x 上单调递增,求a 的最小值;(Ⅱ)若函数()()x g x f x G +=)(的图象与x 轴有且只有一个交点,求a 的取值范围. 22.(此题总分值15分)已知抛物线22(0)y px p =>的核心为F ,点P 是抛物线上的一点,且其纵坐标为4,4PF =. (Ⅰ)求抛物线的方程;(Ⅱ)设点1122(,),(,)(0,1,2)i A x y B x y y i ≤=是抛物线上的两点,APB ∠的角平分线与x 轴垂直,求PAB ∆的面积最大时直线AB 的方程.参考答案(文)一、选择题:本大题共10小题,每题5分,共50分。
浙江省绍兴市2021届新高考数学模拟试题(1)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.在棱长均相等的正三棱柱111ABC A B C =中,D 为1BB 的中点,F 在1AC 上,且1DF AC ⊥,则下述结论:①1AC BC ⊥;②1AF FC =;③平面1DAC ⊥平面11ACC A :④异面直线1AC 与CD 所成角为60︒其中正确命题的个数为( )A .1B .2C .3D .4【答案】B 【解析】 【分析】设出棱长,通过直线与直线的垂直判断直线与直线的平行,推出①的正误;判断F 是1AC 的中点推出②正的误;利用直线与平面垂直推出平面与平面垂直推出③正的误;建立空间直角坐标系求出异面直线1AC 与CD 所成角判断④的正误.【详解】解:不妨设棱长为:2,对于①连结1AB ,则1122AB AC ==1190AC B ∴∠≠︒即1AC 与11B C 不垂直,又11//BC B C ,∴①不正确;对于②,连结AD ,1DC ,在1ADC ∆中,15AD DC ==而1DF AC ⊥,F ∴是1AC 的中点,所以1AF FC =,∴②正确;对于③由②可知,在1ADC ∆中,3DF =,连结CF ,易知2CF =Rt CBD ∆中,5CD =,222DF CF CD ∴+=,即DF CF ⊥,又1DF AC ⊥,DF ⊥∴面11ACC A ,∴平面1DAC ⊥平面11ACC A ,∴③正确; 以1A 为坐标原点,平面111A B C 上过1A 点垂直于11A C 的直线为x 轴,11A C 所在的直线为y 轴,1A A 所在的直线为z 轴,建立如图所示的直角坐标系;()10,0,0A , )13,1,0B ,()10,2,0C , ()0,0,2A , ()0,2,2C , )3,1,1D;()10,2,2AC =-u u u u r, ()3,1,1CD =--u u u r ;异面直线1AC 与CD 所成角为θ,11cos 0||||AC CD AC CD θ==u u u u r u u u r g u u u ur u u u r ,故90θ=︒.④不正确. 故选:B .【点睛】本题考查命题的真假的判断,棱锥的结构特征,直线与平面垂直,直线与直线的位置关系的应用,考查空间想象能力以及逻辑推理能力.2.一袋中装有5个红球和3个黑球(除颜色外无区别),任取3球,记其中黑球数为X ,则()E X 为( ) A .98B .78C .12D .6256【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知,随机变量X 的可能取值有0、1、2、3,计算出随机变量X 在不同取值下的概率,进而可求得随机变量X 的数学期望值. 【详解】由题意可知,随机变量X 的可能取值有0、1、2、3,则()353810056C P X C ===,()21533830156C C P X C ===,()12533815256C C P X C ===,()33381356C P X C ===. 因此,随机变量X 的数学期望为()103015190123565656568E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 故选:A. 【点睛】本题考查随机变量数学期望的计算,考查计算能力,属于基础题.3.如图,抛物线M :28y x =的焦点为F ,过点F 的直线l 与抛物线M 交于A ,B 两点,若直线l 与以F 为圆心,线段OF (O 为坐标原点)长为半径的圆交于C ,D 两点,则关于AC BD ⋅值的说法正确的是( )A .等于4B .大于4C .小于4D .不确定【答案】A 【解析】 【分析】利用F 的坐标为()2,0,设直线l 的方程为20x my --=,然后联立方程得282y xmy x ⎧=⎨=-⎩,最后利用韦达定理求解即可 【详解】据题意,得点F 的坐标为()2,0.设直线l 的方程为20x my --=,点A ,B 的坐标分别为()11,x y ,()22,x y .讨论:当0m =时,122x x ==;当0m ≠时,据282y x my x ⎧=⎨=-⎩,得()228440x m x -++=,所以124x x =,所以()()22AC BD AF BF ⋅=-⋅-()()121222224x x x x =+-⋅+-==. 【点睛】本题考查直线与抛物线的相交问题,解题核心在于联立直线与抛物线的方程,属于基础题 4.已知复数z 满足()14i z i -=,则z =( ) A .2B .2C .4D .3【答案】A 【解析】 【分析】由复数除法求出z ,再由模的定义计算出模. 【详解】44(1)22,221(1)(1)i i i z i z i i i +===-+=--+ 故选:A .【点睛】本题考查复数的除法法则,考查复数模的运算,属于基础题.5.袋中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个小球,从袋子中一次性摸出两个球,记下号码并放回,如果两个号码的和是3的倍数,则获奖,若有5人参与摸球,则恰好2人获奖的概率是( ) A .40243B .70243C .80243D .38243【答案】C 【解析】 【分析】先确定摸一次中奖的概率,5个人摸奖,相当于发生5次试验,根据每一次发生的概率,利用独立重复试验的公式得到结果. 【详解】从6个球中摸出2个,共有2615C =种结果,两个球的号码之和是3的倍数,共有(1,2),(1,5),(2,4),(3,6),(4,5)∴摸一次中奖的概率是51153=, 5个人摸奖,相当于发生5次试验,且每一次发生的概率是13, ∴有5人参与摸奖,恰好有2人获奖的概率是35222180()()33243C ⋅⋅=, 故选:C . 【点睛】本题主要考查了n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率,考查独立重复试验的概率,解题时主要是看清摸奖5次,相当于做了5次独立重复试验,利用公式做出结果,属于中档题.6.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、,圆222x y b +=与双曲线在第一象限内的交点为M ,若123MF MF =.则该双曲线的离心率为A .2B .3C D【答案】D 【解析】 【分析】本题首先可以通过题意画出图像并过M 点作12F F 垂线交12F F 于点H ,然后通过圆与双曲线的相关性质判断出三角形2OMF 的形状并求出高MH 的长度,MH 的长度即M 点纵坐标,然后将M 点纵坐标带入圆的方程即可得出M 点坐标,最后将M 点坐标带入双曲线方程即可得出结果。
2021年5月浙江省绍兴市柯桥区2021届高三下学期5月高考及选考科目适应性考试数学试卷★祝考试顺利★(含答案)一、单选题(共10题;共40分)1.已知集合A={x|x<0或x>2},B={x|1<x<4},则A∩B=()A.{x|0≤x<4}B.{x|1<x≤2} C.{x|1<x<4} D.{x|2<x<4}【答案】 D【考点】交集及其运算【解析】【解答】A∩B={x|2<x<4} .故答案为:D.【分析】根据交集定义运算即可。
2.已知复数z=a+i2−i∈R(其中a为实数,i为虚数单位),则a=()A.-2B.−12C.12D. 2【答案】 A【解析】【解答】解:复数z=a+i2−i =(a+i)(2+i)5=2a−1+(a+2)i5,z为实数,则a+2=0,解得:a=−2 . 故答案为:A【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,再由实部为0且虚部不为0列式求解.3.已知空间中两平面α,β,两直线m,l,且α∩β=m,l⊂β,则“ l⊥m”是“ l⊥α”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】 B【考点】直线与平面垂直的性质【解析】【解答】若α,β不垂直时,l⊥m无法得到l⊥α,充分性不成立;当l⊥α时,∵α∩β=m,∴m⊂α,由线面垂直性质知l⊥m,必要性成立;则“ l⊥m”是“ l⊥α”的必要不充分条件.故答案为:B.【分析】根据线面,面面的关系,判断即可.4.实数x,y满足{x−y≥0x+2y+3≤0,设z=x−2y的取值范围是()A.(−∞,1]B.[1,+∞)C.[3,+∞) D.(−∞,+∞)【答案】 B【考点】简单线性规划【解析】【解答】解:画出可行域如图(阴影部分):由z=x−2y得:y=12x−12z,平移直线y=12x−12z,当过A点时z有最小值,由{x−y≥0x+2y+3≤0解得:A(−1,−1),代入可得:z=x−2y=1,且z无最大值,所以z的取值范围为[1,+∞) .。
浙江省绍兴市2021届新高考第一次适应性考试数学试题一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.盒中装有形状、大小完全相同的5张“刮刮卡”,其中只有2张“刮刮卡”有奖,现甲从盒中随机取出2张,则至少有一张有奖的概率为( )A .12B .35C .710D .45【答案】C【解析】【分析】先计算出总的基本事件的个数,再计算出两张都没获奖的个数,根据古典概型的概率,求出两张都没有奖的概率,由对立事件的概率关系,即可求解.【详解】从5张“刮刮卡”中随机取出2张,共有2510C =种情况,2张均没有奖的情况有233C =(种),故所求概率为3711010-=. 故选:C.【点睛】本题考查古典概型的概率、对立事件的概率关系,意在考查数学建模、数学计算能力,属于基础题.2.若x 、y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩,则32z x y =+的最大值为( )A .5B .9C .6D .12【答案】C【解析】【分析】作出不等式组所表示的可行域,平移直线32z x y =+,找出直线在y 轴上的截距最大时对应的最优解,代入目标函数计算即可.【详解】 作出满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩的可行域如图阴影部分(包括边界)所示.由32z x y =+,得322z y x =-+,平移直线322z y x =-+,当直线322z y x =-+经过点()2,0时,该直线在y 轴上的截距最大,此时z 取最大值,即max 32206z =⨯+⨯=.故选:C.【点睛】本题考查简单的线性规划问题,考查线性目标函数的最值,一般利用平移直线的方法找到最优解,考查数形结合思想的应用,属于基础题.3.已知α,β表示两个不同的平面,l 为α内的一条直线,则“α∥β是“l ∥β”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析:利用面面平行和线面平行的定义和性质,结合充分条件和必要条件的定义进行判断. 解:根据题意,由于α,β表示两个不同的平面,l 为α内的一条直线,由于“α∥β,则根据面面平行的性质定理可知,则必然α中任何一条直线平行于另一个平面,条件可以推出结论,反之不成立,∴“α∥β是“l ∥β”的充分不必要条件.故选A .考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断;平面与平面平行的判定.4.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A .23B .13C .43D .56【答案】A【解析】【分析】利用已知条件画出几何体的直观图,然后求解几何体的体积.【详解】几何体的三视图的直观图如图所示,则该几何体的体积为:1211233⨯⨯⨯=. 故选:A .【点睛】 本题考查三视图求解几何体的体积,判断几何体的形状是解题的关键.5.设复数z 满足()117i z i +=-,则z 在复平面内的对应点位于( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限【答案】C【解析】 【分析】化简得到34z i =--,得到答案.【详解】 ()117i z i +=-,故()()()()1711768341112i i i i z i i i i -----====--++-,对应点在第三象限. 故选:C .【点睛】本题考查了复数的化简和对应象限,意在考查学生的计算能力.6.3本不同的语文书,2本不同的数学书,从中任意取出2本,取出的书恰好都是数学书的概率是()A.12B.14C.15D.110【答案】D【解析】【分析】把5本书编号,然后用列举法列出所有基本事件.计数后可求得概率.【详解】3本不同的语文书编号为,,A B C,2本不同的数学书编号为,a b,从中任意取出2本,所有的可能为:,,,,,,,,,AB AC Aa Ab BC Ba Bb Ca Cb ab共10个,恰好都是数学书的只有ab一种,∴所求概率为110P=.故选:D.【点睛】本题考查古典概型,解题方法是列举法,用列举法写出所有的基本事件,然后计数计算概率.7.已知x,y满足不等式224xyx y tx y≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩,且目标函数z=9x+6y最大值的变化范围[20,22],则t的取值范围()A.[2,4] B.[4,6] C.[5,8] D.[6,7] 【答案】B【解析】【分析】作出可行域,对t进行分类讨论分析目标函数的最大值,即可求解.【详解】画出不等式组24xyx y≥⎧⎪≥⎨⎪+=⎩所表示的可行域如图△AOB当t≤2时,可行域即为如图中的△OAM ,此时目标函数z =9x+6y 在A (2,0)取得最大值Z =18不符合题意t >2时可知目标函数Z =9x+6y 在224x y t x y +=⎧⎨+=⎩的交点(82433t t --,)处取得最大值,此时Z =t+16 由题意可得,20≤t+16≤22解可得4≤t≤6故选:B .【点睛】此题考查线性规划,根据可行域结合目标函数的最大值的取值范围求参数的取值范围,涉及分类讨论思想,关键在于熟练掌握截距型目标函数的最大值最优解的处理办法.8.2(1i i+=- ) A .132i + B .32i + C .32i - D .132i -+ 【答案】A【解析】【分析】 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.【详解】()()()()22122313131112222i i i i i i i i i i ++++++====+--+ 本题正确选项:A【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,是基础的计算题.9.已知函数()ln(1)f x x ax =+-,若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x =,则实数a 的取值为( )A .-2B .-1C .1D .2 【答案】B【解析】【分析】求出函数的导数,利用切线方程通过f′(0),求解即可;【详解】f (x )的定义域为(﹣1,+∞),因为f′(x )11x =-+a ,曲线y =f (x )在点(0,f (0))处的切线方程为y =2x , 可得1﹣a =2,解得a =﹣1,故选:B .【点睛】本题考查函数的导数的几何意义,切线方程的求法,考查计算能力.10.已知双曲线2222:1x y C a b-=(0a >,0b >),以点P (,0b )为圆心,a 为半径作圆P ,圆P 与双曲线C 的一条渐近线交于M ,N 两点,若90MPN ∠=︒,则C 的离心率为( )AB C D 【答案】A【解析】【分析】求出双曲线的一条渐近线方程,利用圆P 与双曲线C 的一条渐近线交于,M N 两点,且90MPN ∠=︒,列出方程,求解离心率. 【详解】 不妨设双曲线C 的一条渐近线0bx ay -=与圆P 交于,M N ,因为90MPN ∠=︒,所以圆心P 到0bx ay -=222b c ==,即2222c a -=,因为1c e a=>,所以解得e = 故选A .【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用,考查了转化思想以及计算能力,属于中档题.对于离心率求解问题,关键是建立关于,a c 的齐次方程,主要有两个思考方向,一方面,可以从几何的角度,结合曲线的几何性质以及题目中的几何关系建立方程;另一方面,可以从代数的角度,结合曲线方程的性质以及题目中的代数的关系建立方程.11.已知函数log ()a y x c =+(a ,c 是常数,其中0a >且1a ≠)的大致图象如图所示,下列关于a ,c 的表述正确的是( )A .1a >,1c >B .1a >,01c <<C .01a <<,1c >D .01a <<,01c <<【答案】D【解析】【分析】 根据指数函数的图象和特征以及图象的平移可得正确的选项.【详解】从题设中提供的图像可以看出()01,log 0,log 10a a a c c <<>+>,故得01,01c a <<<<,故选:D .【点睛】本题考查图象的平移以及指数函数的图象和特征,本题属于基础题.12.设i 是虚数单位,则()()2332i i +-=( )A .125i +B .66i -C .5iD .13【答案】A【解析】【分析】利用复数的乘法运算可求得结果.【详解】由复数的乘法法则得()()22332656125i i i i i +-=+-=+.【点睛】本题考查复数的乘法运算,考查计算能力,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.若实数满足不等式组则目标函数的最大值为__________.【答案】12【解析】【分析】画出约束条件的可行域,求出最优解,即可求解目标函数的最大值.【详解】根据约束条件画出可行域,如下图,由,解得目标函数,当过点时,有最大值,且最大值为.故答案为:.【点睛】本题考查线性规划的简单应用,属于基础题.14.六位同学坐在一排,现让六位同学重新坐,恰有两位同学坐自己原来的位置,则不同的坐法有________种(用数字回答).【答案】135【解析】【分析】根据题意先确定2个人位置不变,共有2615C 种选择,再确定4个人坐4个位置,但是不能坐原来的位置,计算得到答案.根据题意先确定2个人位置不变,共有2615C =种选择.再确定4个人坐4个位置,但是不能坐原来的位置,共有33119⨯⨯⨯=种选择,故不同的坐法有159135⨯=.故答案为:135.【点睛】本题考查了分步乘法原理,意在考查学生的计算能力和应用能力.15.()5232x x -的展开式中x 的系数为________.【答案】80.【解析】【分析】只需找到25(2)x -展开式中的4x 项的系数即可.【详解】 25(2)x -展开式的通项为52521552()(1)2r r r r r r r r T C x C x --+=-=-,令2r =,则2234435(1)280T C x x =-=,故()5232x x -的展开式中x 的系数为80.故答案为:80.【点睛】本题考查二项式定理的应用,涉及到展开式中的特殊项系数,考查学生的计算能力,是一道容易题. 16.双曲线2213y x -=的离心率为_________. 【答案】2【解析】221,32,2c a b c a b e a==∴=+===Q 三、解答题:共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为菱形,PA ⊥底面ABCD ,60BAD ︒∠=4AB =.(1)求证:BD ⊥平面PAC ;(2)若直线PC 与平面ABCD 所成的角为30︒,求平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)7【解析】【分析】 (1)由底面ABCD 为菱形,得BD AC ⊥,再由PA ⊥底面ABCD ,可得PA BD ⊥,结合线面垂直的判定可得BD ⊥平面PAC ;(2)以点A 为坐标原点,以,AD AP 所在直线及过点A 且垂直于平面PAD 的直线分别为,,x z y 轴建立空间直角坐标系A xyz -,分别求出平面PAB 与平面PCD 的一个法向量,由两法向量所成角的余弦值可得平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值.【详解】(1)证明:Q 底面ABCD 为菱形,BD AC ∴⊥,PA ⊥Q 底面ABCD ,BD ⊂平面ABCD ,PA BD ∴⊥又AC PA A ⋂=,,AC PA ⊂平面PAC ,BD ∴⊥平面PAC ;(2)解:AB AD =Q ,60BAD ︒∠=,ABD ∴V 为等边三角形,sin 60242AC AD ︒∴=⋅⋅==PA ⊥Q 底面ABCD ,PCA ∴∠是直线PC 与平面ABCD 所成的角为30︒,在Rt PAC △中,由tan PA PCA AC ∠===,解得4PA =. 如图,以点A 为坐标原点,以,AD AP 所在直线及过点A 且垂直于平面PAD 的直线分别为,,x z y 轴 建立空间直角坐标系A xyz -.则(0,0,4)P ,(0,0,0)A,2,()B ,(4,0,0)D,C .(0,0,4)PA ∴=-u u u r,4)PB =-u u u r ,(4,0,4)PD =-u u u r,4)PC =-u u u r .设平面PAB 与平面PCD 的一个法向量分别为(,,)m x y z =u r ,()111,,n x y z =r .由40240m PA z m PB x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩u u u v v u u u v v ,取1y =-,得1,0)m =-u r ;由1111162340440n PC x y z n PD x z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩u u u v v u u u v v ,取11y =-,得(3,1,3)n =-r . 27cos ,7||||m n m n m n ⋅∴<>==⋅u r ru r r u r r .∴平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值为277.【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定,考查空间想象能力与思维能力,训练了利用空间向量求解空间角,属于中档题.18.如图,设椭圆1C :22221(0)x y a b a b+=>>,长轴的右端点与抛物线2C :28y x =的焦点F 重合,且椭圆1C 的离心率是3.(Ⅰ)求椭圆1C 的标准方程;(Ⅱ)过F 作直线l 交抛物线2C 于A ,B 两点,过F 且与直线l 垂直的直线交椭圆1C 于另一点C ,求ABC ∆面积的最小值,以及取到最小值时直线l 的方程.【答案】(Ⅰ)2214x y +=;(Ⅱ)ABC ∆面积的最小值为9,522x y =±+.【解析】 【分析】(Ⅰ)由已知求出抛物线的焦点坐标即得椭圆中的a ,再由离心率可求得c ,从而得b 值,得标准方程; (Ⅱ)设直线l 方程为2x my =+,设1122(,),(,)A x y B x y ,把直线方程代入抛物线方程,化为y 的一元二次方程,由韦达定理得1212,y y y y +,由弦长公式得AB ,同理求得C 点的横坐标,于是可得FC ,将面积表示为参数的函数,利用导数可求得最大值. 【详解】(Ⅰ)∵椭圆1C :22221(0)x y a b a b+=>>,长轴的右端点与抛物线2C :28y x =的焦点F 重合,∴2a =,又∵椭圆1Cc =1b =, ∴椭圆1C 的标准方程为2214x y +=.(Ⅱ)过点()2,0F 的直线l 的方程设为2x my =+,设()11,A x y ,()22,B x y , 联立228x my y x=+⎧⎨=⎩得28160y my --=, ∴128y y m +=,1216y y =-, ∴()281AB m ==+.过F 且与直线l 垂直的直线设为()2y m x =--,联立()22214y m x x y ⎧=--⎪⎨+=⎪⎩得()222214161640m x m x m +-+-=, ∴2216214C m x m +=+,故()2224141C m x m -=+,∴2441C F CF x x m =-=+ ABC ∆面积()221611241m S AB CF m +=⋅=+t =,则()321643tS f t t ==-,()()()42221649'43t t f t t -=-, 令()'0f t =,则294t =,即2914m +=时,ABC ∆面积最小,即当m =时,ABC ∆面积的最小值为9,此时直线l的方程为22x y =±+. 【点睛】本题考查椭圆方程的求解,抛物线中弦长的求解,涉及三角形面积范围问题,利用导数求函数的最值问题,属综合困难题.19.已知函数()|||2|f x x a x =++-. (1)当1a =时,求不等式()7f x ≥的解集;(2)若()|4||2|f x x x a -++„的解集包含[]0,2,求a 的取值范围.【答案】(1)(,3][4,)-∞-+∞U ;(2)[22]-,. 【解析】 【分析】(1)对x 范围分类整理得:21,1()3,1221,2x x f x x x x -+-⎧⎪=-<<⎨⎪-⎩„…,分类解不等式()7f x ≥即可.(2)利用已知转化为“当[02]x ∈,时,|||2|2x a x a +-+„”恒成立,利用绝对值不等式的性质可得:|||2|||x a x a a +-+„,问题得解.【详解】当1a =时,21,1()3,1221,2x x f x x x x -+-⎧⎪=-<<⎨⎪-⎩„…,当1x ≤-时,由()7f x ≥得217x -+≥,解得3x ≤-; 当12x -<<时,()7f x ≥无解;当2x ≥时,由()7f x ≥得217x -≥,解得4x ≥, 所以()7f x ≥的解集为(,3][4,)-∞-+∞U(2)()|4||2|f x x x a -++„的解集包含[0]2,等价于|||2||4||2|x a x a x x +-+---„在[0]2,上恒成立,当[02]x ∈,时,|||2||4||2|2x a x a x x +-+---=„等价于max |(2|||)2x a a x ++-„恒成立, 而|||2||()(2)|||x a x a x a x a a +-++-+=„,∴2a ≤,故满足条件的a 的取值范围是[22]-,【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的解法,还考查了转化能力及绝对值不等式的性质,考查计算能力,属于中档题.20.如图,在四棱锥P ABCD -中, PA ⊥底面ABCD , AD AB ⊥,//AB DC , 2AD DC AP ===,1AB =,点E 为棱PC 的中点.(1)证明:BE DC ⊥:(2)求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值;(3)若F 为棱PC 上一点, 满足BF AC ⊥, 求二面角F AB P --的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)33(3310【解析】 【分析】(1)根据题意以 A 为坐标原点,建立空间直角坐标系,写出各个点的坐标,并表示出,D BE C u u u r u u u r,由空间向量数量积运算即可证明BE DC ⊥.(2)先求得平面PBD 的法向量,即可求得直线BE 与平面法向量夹角的余弦值,即为直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值;(3)由F 点在棱PC 上,设CF CP λ=u u u r u u u r ,再由BF BC CF =+u u u r u u u r u u u r,结合BF AC ⊥,由空间向量垂直的坐标关系求得λ的值.即可表示出BF u u u r.求得平面FBA 和平面ABP 的法向量,由空间向量数量积的运算求得两个平面夹角的余弦值,再根据二面角的平面角为锐角即可确定二面角F AB P --的余弦值. 【详解】(1)证明:∵PA ⊥底面 ABCD ,AD AB ⊥, 以 A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,∵2AD DC AP ===,1AB =,点 E 为棱 PC 的中点.∴()100B ,,,()220C ,,,()020D ,,,(0,0,2),(1,1,1)P E , (0,1,1),(2,0,0)BE DC ∴==u u u r u u u r,0BE DC ⋅=u u u r u u u rQ ,BE DC ∴⊥.(2)(1,2,0),(1,0,2)BD PB =-=-u u u r u u u r, 设平面PBD 的法向量为(),,m x y z =u r. 则00BD m PB m ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v,代入可得2020x y x z -+=⎧⎨-=⎩, 令1y =解得2,1x z ==,即()2,1,1m =u r,设直线BE 与平面PBD 所成角为α,由直线与平面夹角可知3sin cos ,62n BE n BE n BEα⋅=<>===⨯⋅r u u u r r u u u r r u u u r所以直线BE 与平面PBD 3(3)(1,2,0),(2,2,2),(2,2,0)BC CP AC ==--=u u u r u u u r u u u rQ ,由F 点在棱PC 上,设(2,2,2),(01)CF CP λλλλλ==--≤≤u u u r u u u r, 故(12,22,2)(01)BF BC CF λλλλ=+=--≤≤u u u r u u u r u u u r, 由BF AC ⊥,得2(12)2(22)0BF AC λλ⋅=-+-=u u u r u u u r,解得34λ=, 即113,,222BF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ,设平面FBA 的法向量为(,,)n a b c =r,由00n AB n BF ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ,得01130222a abc =⎧⎪⎨-++=⎪⎩, 令1c =,则(0,3,1)n =-r取平面ABP 的法向量(0,1,0)i =r,则二面角F AB P --的平面角α满足||310cos ||||10i n i n α⋅=--⋅r r r r ,由图可知,二面角F AB P --为锐二面角, 故二面角F AB P --的余弦值为310. 【点睛】本题考查了空间向量的综合应用,由空间向量证明线线垂直,求直线与平面夹角及平面与平面形成的二面角大小,计算量较大,属于中档题.21.在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是平行四边形,O 为其中心,PAD △为锐角三角形,且平面PAD ⊥底面ABCD ,E 为PD 的中点,CD DP ⊥.(1)求证:OE P 平面PAB ; (2)求证:CD PA ⊥.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【解析】 【分析】(1)通过证明//OE PB ,即可证明线面平行; (2)通过证明CD ⊥平面PAD ,即可证明线线垂直. 【详解】(1)连BD ,因为ABCD 为平行四边形,O 为其中心,所以,O 为BD 中点, 又因为E 为PD 中点,所以//OE PB ,又PB ⊂平面PAB ,OE ⊄平面PAB 所以,//OE 平面PAB ;(2)作PH AD ⊥于H 因为平面PAD ⊥平面ABCD , 平面PAD I 平面ABCD AD =PH AD ⊥,PH ⊂平面PAD , 所以,PH ⊥平面ABCD 又CD ⊂平面ABCD , 所以CD PH ⊥又CD PD ⊥,PD PH P ⋂=,PD ⊂平面PAD ,PH ⊂平面PAD 所以,CD ⊥平面PAD ,又PA ⊂平面PAD ,所以,CD PA ⊥. 【点睛】此题考查证明线面平行和线面垂直,通过线面垂直得线线垂直,关键在于熟练掌握相关判定定理,找出平行关系和垂直关系证明.22.在直角坐标系xOy 中,已知点()1,0P ,若以线段PQ 为直径的圆与y 轴相切. (1)求点Q 的轨迹C 的方程;(2)若C 上存在两动点A B ,(A ,B 在x 轴异侧)满足32⋅=u u u r u u u rOA OB ,且PAB △的周长为22AB +,求AB 的值.【答案】(1)24y x =;(2)48AB =【解析】 【分析】(1)设(),Q x y 122+=⨯x ,化简后可得轨迹C 的方程. (2)设直线:AB x my n =+,联立直线方程和抛物线方程后利用韦达定理化简32⋅=u u u r u u u rOA OB 并求得8n =,结合焦半径公式及弦长公式可求m 的值及AB 的长. 【详解】(1)设(),Q x y ,则圆心的坐标为1,22x y +⎛⎫⎪⎝⎭, 因为以线段PQ 为直径的圆与y 轴相切,122+=⨯x , 化简得C 的方程为24y x =.(2)由题意0AB k ≠,设直线:AB x my n =+, 联立24y x =得2440y my n --=,设()()1122,,A B x y x y , (其中120y y <) 所以124y y m +=,124y y n ⋅=-,且0n >,因为32⋅=u u u r u u u r OA OB ,所以22121212123216⋅=+=+=u u u r u u u r y y OA OB x x y y y y ,2432n n -=,所以()()840n n -+=,故8n =或4n =- (舍), 直线:8AB x my =+, 因为PAB ∆的周长为22AB + 所以22PA PB AB AB ++=+. 即2PA PB AB +=+,因为()21212218418PA PB x x m y y m +=++=++=+.又12AB y y =-==所以24182m +=,解得m =± 所以48AB ===.【点睛】本题考查曲线方程以及抛物线中的弦长计算,还涉及到向量的数量积.一般地,抛物线中的弦长问题,一般可通过联立方程组并消元得到关于x 或y 的一元二次方程,再把已知等式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式,该关系中含有1212,x x x x +或1212,y y y y +,最后利用韦达定理把关系式转化为某一个变量的方程.本题属于中档题.23.曲线1C 的参数方程为1cos 21122x y sin ϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(ϕ为参数),以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线2C 的极坐标方程为2cos 3sin ρθθ=.(1)求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程;(2)若直线:l y kx =与曲线1C ,2C 的交点分别为A 、B (A 、B 异于原点),当斜率k ∈时,求1OA OB+的最小值.【答案】(1)1C 的极坐标方程为sin ρθ=;曲线2C 的直角坐标方程23x y =.(2)3【解析】 【分析】(1)消去参数,可得曲线1C 的直角坐标方程220x y y +-=,再利用极坐标与直角坐标的互化,即可求解. (2)解法1:设直线l 的倾斜角为α,把直线l 的参数方程代入曲线1C 的普通坐标方程,求得2OA t =,再把直线l 的参数方程代入曲线2C 的普通坐标方程,得2OB t =,得出21cos sin 3sin OA OB ααα+=+,利用基本不等式,即可求解;解法2:设直线l 的极坐标方程为θα=,分别代入曲线1C ,2C 的极坐标方程,得sin OA α=,23sin cos OB αα=,得出21cos sin 3sin OA OB ααα+=+,即可基本不等式,即可求解. 【详解】(1) 由题曲线的参数方程为1cos 21122x y sin ϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(ϕ为参数),消去参数,可得曲线1C 的直角坐标方程为2211()24x y +-=,即220x y y +-=, 则曲线1C 的极坐标方程为2sin 0ρρθ-=,即sin ρθ=,又因为曲线2C 的极坐标方程为2cos 3sin ρθθ=,即22cos 3sin ρθρθ=,根据cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩,代入即可求解曲线2C 的直角坐标方程23x y =.(2)解法1:设直线l 的倾斜角为α,则直线l 的参数方程为cos x t y tsin αα=⎧⎨=⎩(α为参数,63ππα≤≤),把直线l 的参数方程代入曲线1C 的普通坐标方程得:2sin 0t t α-=, 解得10t =,2sin t α=,2sin OA t α∴==,把直线l 的参数方程代入曲线2C 的普通坐标方程得:22cos 3sin t t αα=, 解得10t =,223sin cos t αα=,223sin cos OB t αα∴==, 21cos sin 3sin OA OB ααα∴+=+11(2sin )3sin αα=+,[3k ∈Q ,即tan 3α∈,63ππα≤≤Q ,1sin 22α∴≤≤,12sin sin αα∴+≥=当且仅当12sin sin αα=,即sin 2α=时取等号,故1OA OB +. 解法2:设直线l 的极坐标方程为θα=(63ππα≤≤),代入曲线1C 的极坐标方程,得sin ρα=,sin OA ρα∴==, 把直线l 的参数方程代入曲线2C 的极坐标方程得:2cos 3sin ρθα=,23sin cos αρα∴=,即23sin cos OB αρα==,21cos sin 3sin OA OB ααα∴+=+11(2sin )3sin αα=+,曲线1C 的参k ∈Q ,即tan α∈,63ππα≤≤Q,1sin 2α∴≤≤12sin sin αα∴+≥=当且仅当12sin sin αα=,即sin 2α=时取等号,故1OA OB +的最小值为3. 【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程,以及极坐标方程与直角坐标方程点互化,以及直线参数方程的应用和极坐标方程的应用,其中解答中熟记互化公式,合理应用直线的参数方程中参数的几何意义是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.。