下载文档原格式
编号：009 课题:§9.4 向量的应用目标要求1、理解并掌握向量方法解决平面几何问题以及物理问题．2、理解并掌握向量在平面几何证明问题中的应用．3、理解并掌握向量在平面几何计算问题中的应用．4、理解并掌握向量在物理中的应用.学科素养目标向量注重“形”，是几何学的基础，广泛应用于实际生活和生产中.通过数形结合，了解向量知识在高中阶段的作用．重点难点重点：向量在平面几何计算问题中的应用； 难点：向量在物理中的应用．教学过程基础知识点1.用向量方法解决平面几何问题 (1)“三步曲”:①建立平面几何与向量的联系,用____________表示问题中涉及的几何元素,将平面几 何问题转化为_________________;②通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如__________、___________等问题; ③把运算结果“翻译”成_______________.(2)本质:向量具有明确的几何背景(即有向线段),利用向量解决平面几何问题.(3)应用(其中1122(,),(,)a x y b x y ==):①证明线段平行或点共线问题,常用向量共线定理:1221//(0)0a b a b b a x y x y λ⇔=≠⇔=-=; ②证明垂直问题,常用数量积的运算性质:121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=; ③求夹角问题,用夹角公式:121222221122cos x a b a bx y x yθ⋅==+⋅+θ为a 与b 的夹角);④计算线段长度,常用模长公式:222121()()AB AB x x y y ==-+-【思考】 联系向量的两种表示方法(几何表示和坐标表示),想一想利用向量解决平面几何问题有哪些思路?【课前小题演练】题1．已知两个力F 1，F 2的夹角为90°，它们的合力大小为10 N ，合力与F 1的夹角为60°，那么F 1的大小为( )A ．5 3 NB ．5 NC ．10 ND ．5 2 N题2．已知A ，B ，C ，D 四点的坐标分别是(1，0)，(4，3)，(2，4)，(0，2)，则此四边形为( ) A ．梯形 B ．菱形 C ．矩形 D ．正方形题3．已知四边形ABCD 的三个顶点A(0，2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且BC → ＝2AD →，则顶点D 的坐标为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，72B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12 C ．(3，2) D ．(1，3)题4．某人从点O 向正东走30 m 到达点A ，再向正北走30 3 m 到达点B ，则此人的位移的大小是________m ，方向是北偏东________．题5．如图，正方形ABCD 的边长为a ，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，AF 与DE 交于点M.求∠EMF.【当堂巩固训练】题6．在四边形ABCD 中，若AC → ＝(1，2)，BD →＝(－4，2)，则该四边形的面积为( ) A ． 5 B ．2 5 C ．5 D ．10题7．一条河的宽度为d ，水流的速度为v 2，一船从岸边A 处出发，垂直于河岸线航行到河的正对岸的B 处，船在静水中的速度是v 1，则在航行过程中，船的实际速度的大小为( ) A ．|v 1|B ．|v 1|2＋|v 2|2C ．|v 1|2－|v 2|2D ．|v 1|－|v 2|题8．若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足|OB → －OC → |＝|OB → ＋OC → －2OA →|，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形题9．若O 是△ABC 内一点，OA → ＋OB → ＋OC →＝0，则O 为△ABC 的( ) A ．内心 B ．外心 C ．垂心 D ．重心题10．用两条成60°的绳索拉船，每条绳的拉力大小是12 N ，则合力的大小约为(精确到0.1 N)( ) A ．20.6 N B ．18.8 N C ．20.8 N D ．36.8 N题11．在平面直角坐标系中，力F ＝(2，3)作用一物体，使物体从点A(2，0)移动到点B(4，0)，则力F 对物体做的功为________．题12．正方形OABC 的边长为1，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，则cos ∠DOE＝________．题13．河水的流速为5 m/s ，若一艘小船沿垂直于河岸方向以12 m/s 的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为______m/s.题14．如图所示，两根绳子把质量为1 kg 的物体吊在水平杆AB 上(绳子的质量忽略不计，g ＝10 m/s 2)，绳子在A ，B 处与铅垂方向的夹角分别为30°，60°，则绳子AC 和BC 的拉力大小分别为______，________．题15．已知在Rt△ABC 中，∠C＝90°，设AC ＝m ，BC ＝n.若D 为斜边AB 的中点，求证：CD ＝12 AB.题16．如图，用两根分别长5 2 米和10米的绳子，将100 N 的物体吊在水平屋顶AB 上，平衡后，G 点距屋顶距离恰好为5米，求A 处所受力的大小(绳子的重量忽略不计).【综合突破拔高】题17．坐标平面内一只小蚂蚁以速度v ＝(1，2)从点A(4，6)处移动到点B(7，12)处，其所用时间为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．8题18．已知△ABC 满足AB 2＝AB → ·AC → ＋BA → ·BC → ＋CA → ·CB → ，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形 D ．钝角三角形题19．在平面直角坐标系xOy 中，已知A(1，0)，B(0，1)，点C 在第一象限内，∠AOC＝π6 ，且OC ＝2.若OC → ＝λOA → ＋μOB →，则λ＋μ的值是( ) A ． 2 B ． 2 ＋1 C ． 3 D ． 3 ＋1题20．已知点O(0，0)，A(0，b)，B(a ，a 3).若△OAB 为直角三角形，则a 与b 的关系有可能是( ) A ．b ＝aB ．b ＝a 3＋1aC ．b ＝a 3－1aD ．b ＝a 3－1题21．如图，在△ABC 中，O 为BC 中点，若AB ＝1，AC ＝3，∠BAC＝60°，则 |OA →|＝______．题22．已知i ，j ，k 为共面的三个单位向量，且i⊥j，则(i ＋k)·(j＋k)的取值范围为______．题23．如图所示，在倾斜角为37°(sin 37°≈0.6)，高为2 m 的斜面上，质量为5 kg 的物体m 沿斜面下滑至底部，物体m 受到的摩擦力是它对斜面压力的0.5倍，则斜面对物体m 的支持力所做的功为________J ，重力所做的功为________J(g ＝ 9.8 m/s 2).题24．如图所示，已知O 为坐标原点，点A(3，0)，B(4，4)，C(2，1)，则AC 和OB 的交点P 的坐标为________．题25．一架飞机从A 地向北偏西60°方向飞行1 000 km 到达B 地，因大雾无法降落，故转向C 地飞行，若C 地在A 地的南偏西60°方向，并且A ，C 两地相距 2 000 km ，求飞机从B 地到C 地的位移．题26．求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值．编号：009 课题:§9.4 向量的应用目标要求1、理解并掌握向量方法解决平面几何问题以及物理问题．2、理解并掌握向量在平面几何证明问题中的应用．3、理解并掌握向量在平面几何计算问题中的应用．4、理解并掌握向量在物理中的应用.学科素养目标向量注重“形”，是几何学的基础，广泛应用于实际生活和生产中.通过数形结合，了解向量知识在高中阶段的作用．重点难点重点：向量在平面几何计算问题中的应用； 难点：向量在物理中的应用．教学过程基础知识点1．用向量方法解决平面几何问题①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； ②通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； ③把运算结果“翻译”成几何关系． 2．向量在物理中的应用(1)物理问题中常见的向量有力、速度、位移等． (2)向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解中． (3)动量mv 是向量的数乘运算． (4)功是力F 与位移s 的数量积． 【课前小题演练】题1．已知两个力F 1，F 2的夹角为90°，它们的合力大小为10 N ，合力与F 1的夹角为60°，那么F 1的大小为( )A ．5 3 NB ．5 NC ．10 ND ．5 2 N【解析】选B.如图可知|F 1|＝|F|cos 60°＝5(N).题2．已知A ，B ，C ，D 四点的坐标分别是(1，0)，(4，3)，(2，4)，(0，2)，则此四边形为( ) A ．梯形 B ．菱形 C ．矩形 D ．正方形【解析】选A.由题意得AB → ＝(3，3)，DC → ＝(2，2)，所以AB → ∥DC → ，|AB →|≠ |DC →|，所以四边形为梯形．题3．已知四边形ABCD 的三个顶点A(0，2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且BC → ＝2AD →，则顶点D 的坐标为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，72B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12 C ．(3，2) D ．(1，3)【解析】选A.设D(x ，y)，则BC → ＝(4，3)，AD → ＝(x ，y －2)，由BC → ＝2AD → 得⎩⎪⎨⎪⎧4＝2x 3＝2（y －2） ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝72．所以顶点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，72 .题4．某人从点O 向正东走30 m 到达点A ，再向正北走30 3 m 到达点B ，则此人的位移的大小是________m ，方向是北偏东________． 【解析】如图所示，此人的位移是OB → ＝OA → ＋AB → ，且OA → ⊥AB → ， 则|OB → |＝|OA →|2＋|AB →|2＝60(m)，tan ∠BOA＝|AB →||OA →|＝ 3 ，所以∠BOA＝60°.所以OB →方向为北偏东30°. 答案：60 30°题5．如图，正方形ABCD 的边长为a ，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，AF 与DE 交于点M.求∠EMF.【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，因为正方形ABCD 的边长为a ， 所以A(0，0)，D(0，a)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0 ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 2 ，AF → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 2 ，DE → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－a ，因为AF → ·DE → ＝a22 －a 22 ＝0，所以AF → ⊥DE →， 即AF⊥DE. 所以∠EMF＝90°. 【当堂巩固训练】题6．在四边形ABCD 中，若AC → ＝(1，2)，BD →＝(－4，2)，则该四边形的面积为( ) A ． 5 B ．2 5 C ．5 D ．10 【解析】选C.因为AC → ·BD →＝0，所以AC⊥BD.所以四边形ABCD 的面积S ＝12 |AC → ||BD →|＝12× 5 ×2 5 ＝5.题7．一条河的宽度为d ，水流的速度为v 2，一船从岸边A 处出发，垂直于河岸线航行到河的正对岸的B 处，船在静水中的速度是v 1，则在航行过程中，船的实际速度的大小为( ) A ．|v 1|B ．|v 1|2＋|v 2|2C ．|v 1|2－|v 2|2D ．|v 1|－|v 2|【解析】选C.画出船过河的简图(图略)可知，实际速度是v 1与v 2的和，由勾股定理知选C.题8．若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足|OB → －OC → |＝|OB → ＋OC → －2OA →|，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形【解析】选B.因为|OB → －OC → |＝|CB → |＝|AB → －AC → |，|OB → ＋OC → －2OA → |＝|AB → ＋AC → |，所以|AB → －AC →|＝|AB → ＋AC → |，则AB → ·AC →＝0，所以∠BAC＝90°， 即△ABC 是直角三角形．题9．若O 是△ABC 内一点，OA → ＋OB → ＋OC →＝0，则O 为△ABC 的( ) A ．内心 B ．外心 C ．垂心 D ．重心 【解析】选D.如图，取AB 的中点E ，连接OE ，则OA → ＋OB → ＝2OE → .又OA → ＋OB → ＋OC →＝0， 所以OC → ＝－2OE →.又O 为公共点， 所以O ，C ，E 三点共线，且|OC → |＝2|OE →|. 所以O 为△ABC 的重心．题10．用两条成60°的绳索拉船，每条绳的拉力大小是12 N ，则合力的大小约为(精确到0.1 N)( ) A ．20.6 N B ．18.8 N C ．20.8 N D ．36.8 N【解析】选C.设两条绳索的拉力F 1，F 2的合力为F 合．如图所示，则|AB → |＝| AD → |＝12，F 合＝AC →，连接BD 交AC 于M ，∠BAM＝30°，所以|F 合|＝ 2|AM →|＝2×12cos 30°＝12 3 ≈20.8(N).题11．在平面直角坐标系中，力F ＝(2，3)作用一物体，使物体从点A(2，0)移动到点B(4，0)，则力F 对物体做的功为________．【解析】根据题意，力F 对物体做的功为W ＝F·AB →＝(2，3)·(4－2，0－0)＝2×2＋3×0＝4. 答案：4题12．正方形OABC 的边长为1，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，则cos ∠DOE＝________． 【解析】以OA ，OC 所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示，由题意知：OD → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12 ，OE → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 ，故cos ∠DOE＝OD →·OE →|OD →||OE →| ＝1×12＋12×152×52 ＝45 .答案：45题13．河水的流速为5 m/s ，若一艘小船沿垂直于河岸方向以12 m/s 的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为______m/s.【解析】设小船在静水中的速度为v 1，河水的流速为v 2，v 1与v 2的合速度为v.因为为了使航向垂直河岸，船头必须斜向上游方向，即小船在静水中的速度v 1斜向上游方向，河水速度v 2平行于河岸，合速度v 指向对岸，所以静水速度|v 1|＝|v|2＋|v 2|2＝122＋52＝13(m/s). 答案：13题14．如图所示，两根绳子把质量为1 kg 的物体吊在水平杆AB 上(绳子的质量忽略不计，g ＝10 m/s 2)，绳子在A ，B 处与铅垂方向的夹角分别为30°，60°，则绳子AC 和BC 的拉力大小分别为______，________．【解析】设绳子AC 和BC 的拉力分别为f 1，f 2，物体的重力用f 表示，则|f|＝10 N ，f 1＋f 2＝－f ，如图，以C 为起点，CE → ＝－f 1，CF → ＝－f 2，CG →＝f ，则∠ECG＝30°，∠FCG＝60°，所以|CE → |＝|CG → |cos 30°＝10×32 ＝5 3 ，|CF →|＝|CG →|cos 60°＝10×12＝5，所以绳子AC 的拉力大小为5 3 N ，绳子BC 的拉力大小为5 N.答案：5 3 N 5 N题15．已知在Rt△ABC 中，∠C＝90°，设AC ＝m ，BC ＝n.若D 为斜边AB 的中点，求证：CD ＝12 AB.【证明】以C 为坐标原点，边CB ，CA 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，由题意得，A(0，m)，B(n ，0)，则AB →＝(n ，－m)， 因为D 为AB 的中点，所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2，m 2 ，CD → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2，m 2 . 所以|CD → |＝12 n 2＋m 2 ，|AB → |＝m 2＋n 2，所以|CD →|＝12 |AB → |，即CD ＝12AB.题16．如图，用两根分别长5 2 米和10米的绳子，将100 N 的物体吊在水平屋顶AB 上，平衡后，G 点距屋顶距离恰好为5米，求A 处所受力的大小(绳子的重量忽略不计).【解析】如图，由已知条件可知AG 与铅垂方向成45°角，BG 与铅垂方向成60°角．设A 处所受力为F a ，B 处所受力为F b ，物体的重力为G ， 因为∠EGC＝60°，∠EGD＝45°，则有|F a |cos 45°＋|F b |cos 60°＝|G|＝100，① 且|F a |sin 45°＝|F b |sin 60°，② 由①②解得|F a |＝150 2 －50 6 ，所以A 处所受力的大小为(150 2 －50 6 )N. 【综合突破拔高】题17．坐标平面内一只小蚂蚁以速度v ＝(1，2)从点A(4，6)处移动到点B(7，12)处，其所用时间为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．8【解析】选B.因为|v|＝12＋22 ＝ 5 ，|AB → |＝（7－4）2＋（12－6）2＝45 ， 所以时间t ＝455＝3. 题18．已知△ABC 满足A B 2＝AB → ·AC → ＋BA → ·BC → ＋CA → ·CB → ，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形 D ．钝角三角形【解析】选C.由题意得，AB → 2＝AB → ·AC → ＋AB → ·CB → ＋CA → ·CB → ＝AB → ·(AC → ＋CB → )＋CA → ·CB → ＝AB → 2＋CA → ·CB → ，所以CA → ·CB →＝0，所以CA → ⊥CB →，即CA⊥CB，所以△ABC 是直角三角形．题19．在平面直角坐标系xOy 中，已知A(1，0)，B(0，1)，点C 在第一象限内，∠AO C ＝π6 ，且OC ＝2.若OC → ＝λOA → ＋μOB →，则λ＋μ的值是( ) A ． 2 B ． 2 ＋1 C ． 3 D ． 3 ＋1【解析】选D.由题意，知OA → ＝(1，0)，OB → ＝(0，1).设C(x ，y)，则OC →＝(x ，y). 因为OC → ＝λOA → ＋μOB → ，所以(x ，y)＝λ(1，0)＋μ(0，1)＝(λ，μ).所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λ，y ＝μ.又因为∠AOC＝π6，OC ＝2，所以λ＝x ＝2cos π6 ＝ 3 ，μ＝y ＝2sin π6 ＝1，所以λ＋μ＝ 3 ＋1.题20．已知点O(0，0)，A(0，b)，B(a ，a 3).若△OAB 为直角三角形，则a 与b 的关系有可能是( ) A ．b ＝aB ．b ＝a 3＋1aC ．b ＝a 3－1aD ．b ＝a 3－1【解析】选B.由题意，知OA → ＝(0，b)，OB → ＝(a ，a 3)，AB → ＝(a ，a 3－b).因为△OAB 为直角三角形，所以①若OA → ⊥OB → ，则OA → ·OB → ＝0，即a 3b ＝0，当b ＝0时，点O 与点A 重合；当a ＝0时，点O 与点B 重合，故a 3b≠0，即OA 与OB 不垂直． ②若OA → ⊥AB → ，则OA → ·AB →＝0， 即b(a 3－b)＝0，又b≠0，故b ＝a 3.③若OB → ⊥AB → ，则OB → ·AB → ＝0，即a 2＋a 3(a 3－b)＝0，又a≠0，故a 3＋1a －b ＝0，即b ＝a 3＋1a .故当△OAB 为直角三角形时，有b ＝a 3或b ＝a 3＋1a.只有B 符合题意．题21．如图，在△ABC 中，O 为BC 中点，若AB ＝1，AC ＝3，∠BAC＝60°，则 |OA →|＝______．【解析】根据题意，O 为BC 的中点，所以AO → ＝12 (AB → ＋AC → )，|OA → |2＝14 (AB → 2＋2AB → ·AC → ＋AC → 2)＝14 (12＋2×1×3×cos 60°＋32)＝134 ，所以|OA →|＝132. 答案：132题22．已知i ，j ，k 为共面的三个单位向量，且i⊥j，则(i ＋k)·(j＋k)的取值范围为______． 【解析】由i⊥j 得i·j＝0，又i ，j 为单位向量， 则|i ＋j|＝i 2＋j 2＋2i·j ＝ 2 ，则(i ＋k)·(j＋k)＝i·j＋(i ＋j)·k＋k 2＝(i ＋j)·k＋1＝|i ＋j|cos 〈i ＋j ，k 〉＋1＝2 cos 〈i ＋j ，k 〉＋1，由－1≤c os 〈i ＋j ，k 〉≤1，得(i ＋k)·(j＋k)的取值范围是[1－ 2 ，1＋ 2 ]. 答案：[1－ 2 ，1＋ 2 ]题23．如图所示，在倾斜角为37°(sin 37°≈0.6)，高为2 m 的斜面上，质量为5 kg 的物体m 沿斜面下滑至底部，物体m 受到的摩擦力是它对斜面压力的0.5倍，则斜面对物体m 的支持力所做的功为________J ，重力所做的功为________J(g ＝ 9.8 m/s 2).【解析】物体m 的位移大小为|s|＝2sin 37° ≈103 (m)，则支持力对物体m 所做的功为W 1＝F·s＝|F||s|cos90°＝0(J)；重力对物体m 所做的功为W 2＝G·s＝ |G||s|·sin 37°≈5×9.8×103 ×0.6＝98(J).答案：0 98题24．如图所示，已知O 为坐标原点，点A(3，0)，B(4，4)，C(2，1)，则AC 和OB 的交点P 的坐标为________．【解析】设OP → ＝tOB →＝t(4，4)＝(4t ，4t)，则AP → ＝OP → －OA → ＝(4t －3，4t)，AC →＝(2，1)－(3，0)＝(－1，1). 由AP → ，AC →共线，得(4t －3)×1－4t×(－1)＝0， 解得t ＝38 .所以OP → ＝(4t ，4t)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32 ， 所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32 .答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32 题25．一架飞机从A 地向北偏西60°方向飞行1 000 km 到达B 地，因大雾无法降落，故转向C 地飞行，若C 地在A 地的南偏西60°方向，并且A ，C 两地相距 2 000 km ，求飞机从B 地到C 地的位移．【解析】方法一：由题意得|AB →|＝1 000 km ， |AC →|＝2 000 km ，∠BAC＝60°，所以|BC → |2＝|AC → －AB → |2＝|AC → |2＋|AB → |2－2|AC → |·|AB → |·cos 60°＝2 0002＋ 1 0002－2×2 000×1 000×12＝3×106，所以|BC →|＝1 000 3 km ，所以|AB → |2＋|BC → |2＝|AC → |2，所以∠ABC＝90°. 取AC 的中点D ，由|AC → |＝2|AB →|且∠BAD＝60°， 知BD →的方向为正南方向，有∠ABD＝60°，于是∠DBC＝30°.所以飞机从B 地到C 地的位移的大小为1 000 3 km ，方向为南偏西30°. 方法二：建立如图所示的平面直角坐标系，并取a ＝500，则AB → ＝(2a cos 150°，2a sin 150°)＝(－ 3 a ，a)，AC →＝ (4a cos 210°，4a sin 210°)＝(－2 3 a ，－2a)， 所以BC → ＝(－ 3 a ，－3a)，|BC →|＝2 3 a ， 即|BC →|＝1 000 3 (km).又cos ∠ACB＝AC →·BC →|AC →||BC →| ＝6a 2＋6a 24a×23a ＝32 ，所以∠ACB＝30°.结合图形可知BC →的方向为南偏西30°，所以飞机从B 地到C 地的位移的大小为1 000 3 km ，方向为南偏西30°.题26．求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值．【解析】如图，分别以等腰直角三角形的两直角边所在的直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，设A(2a ，0)，B(0，2a)，则D(a ，0)，C(0，a)，所以AC → ＝(－2a ，a)，BD → ＝(a ，－2a)，不妨设AC → ，BD →的夹角为θ，则cos θ＝AC →·BD →|AC →||BD →|＝（－2a ，a ）·（a ，－2a ）5a ·5a＝－4a 25a 2 ＝－45.故所求钝角的余弦值为－45.。
