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无约束优化方法---鲍威尔方法本实验用鲍威尔方法求函数f(x)=(x1-5)2+(x2-6)2 的最优解。
一、简述鲍威尔法的基本原理从任选的初始点x⑴o出发，先按坐标轮换法的搜索方向依次沿e1.e2.e3进行一维搜索，得各自方向的一维极小点x⑴ x⑵ x⑶.连接初始点xo⑴和最末一个一维极小点x3⑴,产生一个新的矢量 S1=x3⑴-xo⑴再沿此方向作一维搜索，得该方向上的一维极小点x⑴.从xo⑴出发知道获得x⑴点的搜索过程称为一环。
S1是该环中产生的一个新方向，称为新生方向。
接着，以第一环迭代的终点x⑴作为第二环迭代的起点xo⑵,即 Xo⑵←x⑴弃去第一环方向组中的第一个方向e1，将第一环新生方向S1补在最后，构成第二环的基本搜索方向组e2,e3,S1，依次沿这些方向求得一维极小点x1⑵,x2⑵,x3⑵.连接Xo⑵与x3⑵,又得第二环的新生方向S2=x3⑵-xo⑵沿S2作一维搜索所得的极小点x⑵即为第二环的最终迭代点二、鲍威尔法的程序#include "stdafx.h" /* 文件包含*/#include <math.h>#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#define MAXN 10#define sqr(x) ((x)*(x))double xkk[MAXN],xk[MAXN],sk[MAXN];int N,type,nt,et; //N--变量个数，type=0,1,2,3 nt,et--不等式、等式约束个数double rk;double funt(double *x,double *g,double *h){g[0]=x[0]; g[1]=x[1]-1; g[2]=11-x[0]-x[1];return sqr(x[0]-8)+sqr(x[1]-8);}double F(double *x){double f1,f2,ff,fx,g[MAXN],h[MAXN];int i;fx=funt(x,g,h);f1=f2=0.0;if(type==0 || type==2)for(i=0; i<nt; i++) f1+=(fabs(g[i])>1.0e-15)?1.0/g[i]:1.0e15;else for(i=0; i<nt; i++) f1+=(g[i]>0)?0:g[i]*g[i];for(i=0; i<et; i++) f2+=h[i]*h[i];if(type==0 || type==2)ff=fx+rk*f1+f2/sqrt(rk);else ff=fx+rk*(f1+f2);return ff;}double f(double x){int i;for (i=0; i<N; i++) xkk[i]=xk[i]+x*sk[i];return F(xkk);}void find_ab(double x0,double h0,double *a,double *b) {double h,x1,y1,x2,y2,x3,y3;h=h0;x1=x0; y1=f(x1); x2=x1+h; y2=f(x2);if (y2>=y1) {h=-h0; x3=x1; y3=y1;x1=x2; y1=y2; x2=x3; y2=y3;}for (;;) {h*=2.0; x3=x2+h; y3=f(x3);if (y2<y3) break;x1=x2; y1=y2; x2=x3; y2=y3;}if (h>0) {*a=x1; *b=x3;}else {*a=x3; *b=x1;}}void search_gold(double a,double b,double e,double *x,double *y) {double x1,x2,y1,y2;x1=a+0.382*(b-a); y1=f(x1);x2=a+0.618*(b-a); y2=f(x2);do {if (y1<y2) {b=x2; x2=x1; y2=y1;x1=a+0.382*(b-a); y1=f(x1);} else {a=x1; x1=x2; y1=y2;x2=a+0.618*(b-a); y2=f(x2);}} while ((b-a)>e);*x=0.5*(a+b); *y=f(*x);}double nc_powell(double *x0,double e1,double e2){int i,j,k=1,m;double a,b,ax,ay,d;doubless[MAXN][MAXN],s1[MAXN],ff[MAXN],x[MAXN],xn[MAXN],xn 1[MAXN],f0,f1,f2,f3;for (i=0; i<N; i++) for (j=0; j<N; j++) if (j==i) ss[i][j]=1; else ss[i][j]=0;for (;;) {for (j=0; j<N; j++) xk[j]=x0[j];for (i=0; i<N; i++) {for (j=0; j<N; j++) sk[j]=ss[i][j];find_ab(0,1,&a,&b);search_gold(a,b,e2,&ax,&ay);for (j=0; j<N; j++) xk[j]=xkk[j];ff[i]=F(xk);}for (j=0; j<N; j++) xn[j] = xkk[j];for (j=0; j<N; j++) { sk[j]=xkk[j]-x0[j]; s1[j]=sk[j];}find_ab(0,1,&a,&b);search_gold(a,b,e2,&ax,&ay);for (j=0; j<N; j++) x[j]=xkk[j];d=0;for (j=0; j<N; j++) d+=(x[j]-x0[j])*(x[j]-x0[j]);d=sqrt(d);printf("k=%d;",k);for (j=0; j<N; j++) printf("x[%d]=%lf;",j+1,x0[j]);printf("d=%lf\n",d);if (d<=e1) {for (j=0; j<N; j++) x0[j]=x[j];break;}f0=F(x0);d=f0-ff[0]; m=0;for (j=1; j<N; j++) if (d<ff[j-1]-ff[j]) {m=j; d=ff[j-1]-ff[j];} for (j=0; j<N; j++) xn1[j]=2*xn[j]-x0[j];f1=F(x0); f2=F(xn); f3=F(xn1);if (0.5*(f1-2*f2+f3)>=d) {if (f2<f3) for (j=0; j<N; j++) x0[j]=xn[j];else for (j=0; j<N; j++) x0[j]=xn1[j];} else {for (i=m+1; i<N; i++) for (j=0; j<N; j++) ss[i-1][j]=ss[i][j];for (j=0; j<N; j++) ss[N-1][j]=s1[j];for (j=0; j<N; j++) x0[j]=x[j];}k++;}for (j=0; j<N; j++) x0[j]=xkk[j];return F(xkk);}main(){double fk,fkk,ck,d1,d2,e1,e2;double g[MAXN],h[MAXN],x1[MAXN],x0[MAXN];int i;N=2;nt=3;et=0;type=1;e1=0.0001;e2=0.0001;rk=0.001; ck=2;x0[0]=8; x0[1]=8;printf("=========\n");fk = nc_powell(x0,0.01,0.001);for(i=0; i<N; i++) x1[i]=x0[i];printf("rk=%lf\n",rk);for (i=0; i<N; i++) printf("x[%d]=%lf;",i+1,x0[i]);printf("%lf\n",fk);for(;;) {rk*=ck;fkk = nc_powell(x0,0.01,0.005);printf("rk=%lf\n",rk);for (i=0; i<N; i++) printf("x[%d]=%lf;",i+1,x0[i]); printf("%lf\n",fkk);d1=0; for(i=0; i<N; i++) d1+=(x1[i]-x0[i])*(x1[i]-x0[i]); d1=sqrt(d1);d2=fabs((fkk-fk)/fk);printf("d1=%lf d2=%lf\n",d1,d2);if(d1<=e1 || d2<=e2) break;for(i=0; i<N; i++) x1[i]=x0[i];fk=fkk;}fk=funt(x0,g,h);printf("**********************\n");for (i=0; i<N; i++) printf("x[%d]=%lf;",i+1,x0[i]);printf("F* = %lf\n",fk);for (i=0; i<nt; i++) printf("g[%d]=%lf;",i+1,g [i]); return 1;}。
机械优化设计鲍威尔法编程鲍威尔法（Powell's method）是一种常用于机械优化设计的迭代算法，它基于步长的方向进行，进而找到局部或全局最优解。
该算法主要用于解决无约束优化问题，即不涉及约束条件的优化设计。
下面将详细介绍鲍威尔法的编程实现。
鲍威尔法的基本思路是在迭代过程中通过多次步长方向，找到全局最优解。
具体步骤如下：1.初始化：设置初始点x0和迭代次数k=0。
2.计算方向：选择一个初始的方向d0和步长α，并将d0归一化为单位向量。
3. 求解新的迭代点：通过计算当前点xk加上步长α乘以方向dk，得到新的迭代点xk+14. 更新方向：计算新的方向dk+15. 判断是否达到终止条件：如果达到了终止条件，则输出当前点xk+1为最优解；否则，令k=k+1，返回第3步继续进行迭代。
下面给出一个使用Python编程实现鲍威尔法的示例代码：```pythonimport numpy as npdef powell_method(f, x0, alpha, eps, max_iter):#初始化x=x0d = np.eye(len(x0))k=0while k < max_iter:#计算方向和步长g=f(x)d_norm = np.linalg.norm(d, axis=0) d = d / d_normalpha = alpha / d_norm#求解新的迭代点x_new = x + alpha * d#更新方向g_new = f(x_new)delta = g_new - gd = np.roll(d, -1, axis=0)d[-1] = (x_new - x) / alpha#判断终止条件if np.linalg.norm(delta) < eps: return x_new#更新迭代点x = x_newk+=1return x#示例函数，目标是求解f(x)=(x[0]-1)^2+(x[1]-2)^2 def f(x):return (x[0] - 1) ** 2 + (x[1] - 2) ** 2#设置初始点、步长、终止条件和最大迭代次数x0 = np.array([0.0, 0.0])alpha = 0.1eps = 1e-6max_iter = 100#调用鲍威尔法进行优化设计x_opt = powell_method(f, x0, alpha, eps, max_iter) #输出最优解print("Optimal solution: ", x_opt)print("Optimal value: ", f(x_opt))```在上述代码中，目标函数f(x)为示例函数，可以根据具体的优化设计问题进行修改。
鲍威尔法的基本原理在数学优化领域，鲍威尔法（Powell's Method）是一种求解无约束优化问题的重要方法。
它以其独特的思路和有效的性能，在众多优化算法中占据了一席之地。
要理解鲍威尔法，首先得清楚什么是无约束优化问题。
简单来说，就是在没有任何限制条件的情况下，寻找一个函数的最小值或最大值。
比如说，我们有一个函数 f(x)，目标就是找到那个能让 f(x)取到最小或最大的 x 值。
鲍威尔法的核心思想在于通过一系列的线性搜索来逐步逼近最优解。
它不是一下子就找到最终的答案，而是一步一步地靠近。
具体来看，鲍威尔法从一个初始点开始。
这个初始点可以是随意选择的，但通常会根据问题的特点和一些先验知识来进行合理的设定。
然后，它会沿着一组给定的方向进行搜索。
这些方向是怎么来的呢？一开始，鲍威尔法会选择一组固定的线性无关的方向。
比如说，在二维空间中，可能就是 x 轴和 y 轴的方向；在三维空间中，可能就是 x、y、z 轴的方向。
随着算法的进行，这些方向会不断地更新和优化。
在每次的迭代中，鲍威尔法会沿着当前的方向进行线性搜索，找到函数值下降最快的点。
这个过程就像是在黑暗中摸索，沿着一个方向走，看看哪里更低。
当完成一轮沿着所有给定方向的搜索后，鲍威尔法会根据这一轮搜索的结果来更新方向。
它会把这一轮中函数值下降最多的方向保留下来，然后用新产生的方向替换掉原来的某个方向。
新产生的方向是通过把这一轮搜索的起点和终点连接起来得到的。
这样做的目的是为了让新的方向更能反映函数的特性，从而更有效地引导搜索朝着最优解的方向前进。
比如说，如果在一轮搜索中，沿着某个方向函数值下降得特别多，那么这个方向就被认为是比较好的方向，会被保留。
而新产生的方向则是基于这一轮搜索的整体效果，希望能够捕捉到函数的变化趋势，更好地指导下一轮的搜索。
鲍威尔法的一个重要特点是它不需要计算目标函数的导数。
这在一些情况下是非常有用的，因为计算导数可能会很复杂，甚至有时候根本无法计算。
机械优化设计鲍威尔法
机械优化设计鲍威尔法（Powell method）是一种常用的非线性优化
算法，它以鲍威尔的名字命名，用于解决无约束非线性优化问题。
该方法
在各个领域都有广泛的应用，如工程优化设计、机器学习等。
下面将详细
介绍机械优化设计鲍威尔法的原理及应用。
鲍威尔法的具体步骤如下：
1.初始化参数：选择初始设计参数和方向。
2.寻找一维极小值点：沿着方向找到目标函数在该方向上的极小值点。
3.更新方向：通过比较前后两个极小值点的差异来更新方向。
4.迭代优化：重复步骤2和步骤3，直到达到指定的收敛条件。
鲍威尔法的优点是收敛速度较快、计算量较小，同时可以处理非线性
的优化问题。
然而，该方法也存在一些不足之处，如可能陷入局部最优解、对初值敏感等。
机械优化设计鲍威尔法在工程领域中有广泛的应用。
例如，在机械结
构设计中，可以利用鲍威尔法来优化结构参数，以满足特定的性能指标。
在汽车工业中，可以使用鲍威尔法来优化车辆的燃油效率和性能。
在航空
航天领域，可以利用该方法来优化飞行器的飞行性能。
此外，该方法还可
以用于机器学习中的参数优化，如调整神经网络的权重和偏置等。
总之，机械优化设计鲍威尔法是一种常用的非线性优化算法，通过迭
代逼近最优解。
虽然该方法有一些不足之处，但在实际应用中具有广泛的
适用性，尤其在工程优化设计和机器学习等领域。
通过使用该方法，可以
优化设计参数，改进性能指标，提高工程效率和产品质量。
无约束优化搜索方法》上机实践报告1、写出所选择的无约束优化搜索算法的基本过程、原理（可附流程图说明）。
鲍威尔（Powell）法是直接利用函数值来构造共轭方向的一种方法在鲍威尔基本算法中，每一轮迭代都用连结始点和终点所产生出的搜索方向去替换原向量组中的第一个向量，而不管它的“好坏”，这是产生向量组线性相关的原因所在。
在改进的算法中首先判断原向量组是否需要替换。
如果需要替换，还要进一步判断原向量组中哪个向量最坏，然后再用新产生的向量替换这个最坏的向量，以保证逐次生成共轭方向。
2、程序计算结果分析：中间各步骤的结果分析及与理论计算结果分析对比。
算例:ff=x[0]*x[0]+2*x[1]*x[1]-4*x[0]-2*x[0]*x[1];（1）鲍威尔改进算法C++程序清单：#include "stdio.h"#include "stdlib.h"#include "math.h"double objf(double x[]){double ff;ff=x[0]*x[0]+2*x[1]*x[1]-4*x[0]-2*x[0]*x[1];return(ff);}void jtf(double x0[ ],double h0,double s[ ],int n,double a[ ],double b[ ]){int i;double *x[3],h,f1,f2,f3;for (i=0;i<3;i++)x[i]=(double *)malloc (n*sizeof(double));h=h0;for(i=0;i<n;i++)*(x[0]+i)=x0[i];f1=objf(x[0]);for(i=0;i<n;i++)*(x[1]+i)=*(x[0]+i)+h*s[i];f2=objf(x[1]);if(f2>=f1){h= -h0;for (i=0;i<n;i++)*(x[2]+i)=*(x[0]+i);f3=f1;for(i=0;i<n;i++){*(x[0]+i)= *(x[1]+i);*(x[1]+i)= *(x[2]+i);}f1=f2;f2=f3;}for(;;){h=2. *h;for(i=0;i<n;i++)*(x[2]+i)=* (x[1]+i) +h*s[i];f3= objf(x[2]);if(f2<f3)break;else{ for(i=0;i<n;i++){*(x[0]+i)= *(x[1]+i);*(x[1]+i)= *(x[2]+i);}f1=f2;f2=f3;}}if(h<0. )for(i=0;i<n;i++){a[i]=*(x[2]+i);b[i]=*(x[0]+i);}elsefor(i=0;i<n;i++){a[i]=*(x[0]+i);b[i]=*(x[2]+i);}for(i=0;i<3;i++)free(x[i]);}double gold(double a[],double b[],double eps,int n,double xx[]) {int i;double f1,f2,*x[2],ff,q,w;for(i=0;i<2;i++)x[i]=(double*)malloc (n*sizeof(double));for(i=0;i<n;i++){*(x[0]+i)=a[i]+0.618*(b[i]-a[i]);*(x[1]+i)=a[i]+0.382*(b[i]-a[i]);}f1=objf(x[0]);f2=objf(x[1]);do{if(f1>f2){for(i=0;i<n;i++){b[i]=*(x[0]+i);*(x[0]+i)=*(x[1]+i);}f1=f2;for(i=0;i<n;i++)*(x[1]+i)=a[i]+0.382*(b[i]-a[i]);f2=objf(x[1]);}else{for(i=0;i<n;i++){a[i]=*(x[1]+i);*(x[1]+i)=*(x[0]+i);}f2=f1;for(i=0;i<n;i++)*(x[0]+i)=a[i]+0.618*(b[i]-a[i]);f1=objf(x[0]);}q=0;for(i=0;i<n;i++)q=q+(b[i]-a[i])*(b[i]-a[i]);w=sqrt(q);}while(w>eps);for(i=0;i<n;i++)xx[i]=0.5*(a[i]+b[i]);ff=objf(xx);for(i=0;i<2;i++)free(x[i]);return(ff);}double oneoptim(double x0[],double s[],double h0,double epsg,int n,double x[]){double *a,*b,ff;a=(double *)malloc(n*sizeof(double));b=(double *)malloc(n*sizeof(double));jtf(x0,h0,s,n,a,b);ff=gold(a,b,epsg,n,x);free(a);free(b);return(ff);}double powell(double p[],double h0,double eps,double epsg,int n,double x[]){int i,j,m;double *xx[4],*ss,*s;double f,f0,f1,f2,f3,fx,dlt,df,sdx,q,d;ss=(double *)malloc(n*(n+1)*sizeof(double)); s=(double *)malloc(n*sizeof(double));for (i=0;i<n;i++){for (j=0;j<=n;j++)*(ss+i*(n+1)+j)=0;*(ss+i*(n+1)+i)=1;}for (i=0;i<4;i++)xx[i]=(double *)malloc(n*sizeof(double));for (i=0;i<n;i++)*(xx[0]+i)=p[i];for(;;){for (i=0;i<n;i++){*(xx[1]+i)=*(xx[0]+i);x[i]=*(xx[1]+i);}f0=f1=objf(x);dlt=-1;for (j=0;j<n;j++){for (i=0;i<n;i++){*(xx[0]+i)=x[i];*(s+i)=*(ss+i*(n+1)+j);}f=oneoptim(xx[0],s,h0,epsg,n,x);df=f0-f;if(df>dlt){dlt=df;m=j;}}sdx=0.;for (i=0;i<n;i++)sdx=sdx+fabs(x[i]-(*(xx[1]+i)));if(sdx<eps){free(ss);free(s);for (i=0;i<4;i++)free(xx[i]);return(f);}for (i=0;i<n;i++)*(xx[2]+i)=x[i];f2=f;for (i=0;i<n;i++){*(xx[3]+i)=2.*(*(xx[2]+i)-(*(xx[1]+i))); x[i]=*(xx[3]+i);}fx=objf(x);f3=fx;q=(f1-2*f2+f3)*(f1-f2-dlt)*(f1-f2-dlt); d=0.5*dlt*(f1-f3)*(f1-f3);if((f3<f1)||(q<d)){if(f2<=f3)for (i=0;i<n;i++)*(xx[0]+i)=*(xx[2]+i);elsefor (i=0;i<n;i++)*(xx[0]+i)=*(xx[3]+i);}else{for (i=0;i<n;i++){*(ss+(i+1)*(n+1))=x[i]-(*(xx[1]+i));*(s+i)=*(ss+(i+1)*(n+1));}f=oneoptim(xx[0],s,h0,epsg,n,x);for(i=0;i<n;i++)*(xx[0]+i)=x[i];for (j=m+1;j<=n;j++)for (i=0;i<n;i++)*(ss+i*(n+1)+j-1)=*(ss+i*(n+1)+j);}}}void main(){double p[]={1,1};double ff,x[2],x1,x2,f;ff=powell(p,0.3,0.001,0.0001,2,x);printf("shuchuzuiyoujie：\n");x1=x[1];x2=x[2];f=ff;printf("x1=%f,x2=%f,f=%f\n",x1,x2,f); getchar();}（2）运行结果为：算例1ff=x[0]*x[0]+x[1]*x[1]+x[0]+x[0]*x[1]输出结果：shuchuzuiyoujieú║x1=0.333246,x2=0.333246,f=-0.333333算例2ff=3*x[0]*x[0]+6*x[1]*x[1]+2*x[0]+(x[0]+5)*x[1]输出结果：shuchuzuiyoujieú║x1=-0.394357,x2=-0.394357,f=-1.253521感想本次上机让我感触颇多，让我学会了使用鲍威尔法进行无约束优化问题的分析，感谢老师对我的指导。
