成都石室中学高2021届高三下入学考试理科数学答案

成都石室中学2020-2021学年度下期高2021届入学考试理科综合能力测试本试卷分选择题和非选择题两部分。

第Ⅰ卷（选择题）1至21题，第Ⅱ卷（非选择题）22至38题。

试卷满分300分，考试时间150分钟。

注意事项：1. 答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。

2. 答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。

3. 答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4. 所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 N-14 O-16 Cl-35.5 Fe-56 Zn-65第Ⅰ卷（共126分）一、选择题：本题共13个小题，每小题6分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1下列关于教材实验的叙述，正确的是( )A.NaOH在每一琼脂块内扩散的速率不同，可以反映细胞的物质运输的效率不同B.探究培养液中酵母菌种群数量的变化的实验中，不需要重复实验，但要对照组C.土壤中小动物类群丰富度的研究，按预先确定的多度等级进行记名计算法统计D.落叶是在土壤微生物的作用下腐烂的，实验组土壤要灭菌处理，对照组不处理2.下列有关物质之间的比值与细胞代谢关系的叙述，正确的是( )A.在细胞衰老过程中，结合水/自由水的值将减小B.吞噬细胞摄取抗原的过程会导致ATP/ADP的瞬时值减小C.在剧烈运动过程中，肌细胞释放CO2量/吸收O2量的值将增大D.在适宜光照下，若减少CO2供应，则短时间内叶绿体中C3/C5的值将增大3.下图所示为外界O2进入肝细胞中被消耗的路径，下列相关叙述正确的是( )A.毛细血管壁细胞和肝细胞生活的液体环境相同B.外界O2被肝细胞消耗至少需要经过9层细胞膜B.O2跨膜运输时需要载体蛋白协助，但不耗能量D.线粒体中消耗O2的场所与产生H2O的场所不同4.关于植物生命活动调节，相关叙述错误的是( )A.在幼嫩的芽、叶和发育中的种子中，色氨酸在核糖体上完成脱水缩合转变成生长素B.在胚芽鞘、芽、幼叶和幼根中，生长素只能从形态学上端运输到形态学下端，而不能反过来运输C.生长素在植物体各器官中都有分布，但相对集中分布在生长旺盛的部分D.在植物的生长发育过程中，几乎所有生命活动都受到植物激素的调节5.将某一经3H充分标记DNA的蟾蜍精原细胞(染色体数为2n)置于不含3H的培养基中培养，该细胞经过两次连续分裂后形成4个大小相等的子细胞。

石室中学高2021届2020-2021学年度上期数学入学考试参考答案（文科）13. y = 14.315． (-∞，1)(0-⋃，1) 16.①②④17.（Ⅰ）0r r <．......................4分（Ⅱ）由题中数据可得：42421111110,744242i i i i x x y y ======∑∑，................6分 所以.............8分又因为，所以，，所以，................10分将代入，得81.5y =，所以估计B 同学的物理成绩为81.5分．....................12分18．（1）当1a =时，函数32()41f x x x x =+++2()324f x x x '=++(2)20f '∴=即切线的斜率20k =..................2分(2)21f =∴切线方程为20(2)21x y -=-即切线为：20190x y --=..................4分（2）2()324f x x ax '=++对称轴为03ax =->..................5分 ○1当24480a ∆=-≤时，即0a -≤<，()0f x '>()()4242114235035042110748470iii ii i x x y y x y x y ==--=-⋅=-⨯⨯=∑∑()422116940i i x x =-=∑()()()1211698470ˆ00.54niii ni i x x y y bx x ==--===-∑∑740.511019a y bx =-=-⨯=0.519y x =+125x =()f x 在(0,)+∞上单调递增；.................8分○2当24480a ∆=->时，即a <-，又 (0)40f '=>令2()3240f x x ax '=++=，则1x =，2x =当206a x -<<或26x ->时，()0f x '>；x <<()0f x '<；()f x 在2(0,6a -，2()6a -+∞上单调递增；()f x 在上单调递减. .................12分19.（1）设AC 与BD 相交于点O ，连接FO ，∵四边形ABCD 为菱形，∴AC BD ⊥，且O 为AC 中点， ∵FA FC =，∴AC FO ⊥,又FO BD O =，∴AC ⊥平面BDEF .…………………5分（2）∵四边形BDEF 为菱形，且60DBF ∠=︒，∴DBF ∆为等边三角形， ∵O 为BD 中点，∴FO BD ⊥，又AC FO ⊥，∴FO ⊥平面ABCD…………………7分2,60AB AD DAB ==∠=2BD BF ∴==由60DBF ∠=︒∴F 到面ABCD 的距离为FO =9分,EF BD BD ⊂面ABCD ，EF ⊄面ABCD EF ∴面ABCDE ∴到面ABCD 的距离等于F 到面ABCD………………10分1222sin 23ADCSπ=⨯⨯⨯= 113A EDC E ADC ADCV V SFO --∴==⨯⨯=…………………12分20．（1，可得c e a == 由短轴长为2，可得1b =， …………1分 又2221a c b -==，解得2a =，c =，则椭圆的方程为2214x y +=； …………4分（2）当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y kx m =+，由2244y kx m x y =+⎧⎨+=⎩可得222(14)8440k x kmx m +++-=，…………5分 因为直线l 与椭圆C 有且只有一个交点，所以△2221(8)4(14)(44)0km k m =-+-=，即2214m k =+，…………6分 由方程组225y kx mx y =+⎧⎨+=⎩可得222(1)250k x kmx m +++-=， 则△2222(2)4(14)(5)0km k m =-+->，设11(P x ，1)y ，22(P x ，2)y ，则12221kmx x k +=-+，212251m x x k -=+，…………7分 设直线1OP ，2OP 的斜率为1k ，2k ，所以222212121212122121212()()()55y y kx m kx m k x x km x x m m k k k x x x x x x m +++++-====-，…………9分 将2214m k =+代入上式，可得212211444k k k k -+===--，…………10分当直线l 的斜率不存在时，由题意可得l 的方程为2x =±，此时圆225x y +=与l 的交点为1P ，2P 也满足1214k k =-，…………11分综上可得直线l 与圆的交点1P ，2P 满足斜率之积12k k 为定值14-．…………12分21．（Ⅰ）当13a =时，()ln 113x f x x =+-，()'233x f x x -=， 所以()f x 在[],3e 单减，在23,e ⎡⎤⎣⎦单增，…………2分()123f e e =-，()22113f e e =-，()()2f e f e <所以ln32()(3)3min f x f -==，2max 211()()3f x f e e ==-．…………5分 （Ⅱ）依题意，． 则，令，，，所以在上是单调增函数．要使得在上存在极值，则须满足即 所以，，即．…………8分所以1111ln 1ln 1a e a a a a a a a a--+-->++--=+- 当0a >时，令，()1g ln 1a a a =+-，()'21a g a a-=，所以()()10g a g ≥= 所以，．…………11分 即，所以．…………12分22．（Ⅰ）由曲线2C 的参数方程2cos (22sin x y φϕφ=⎧⎨=-+⎩为参数）．可得曲线2C 的普通方程为22(2)4x y ++=． 将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入上式，得4sin ρθ=-．()11ln 1ln 1xx g x e a x e a x x x ⎛⎫=+-+-=-+ ⎪⎝⎭0a x e -<<()x xa xe a g x e x x-'=-=()x t x xe a =-()0,a x e -∈()(1)0xt x e x '=+>()t x ()0,ae-()g x ()0,ae-()()00,0,a t t e -⎧<⎪⎨>⎪⎩0,0,aa e a e e a -->⎧⎪⎨⋅->⎪⎩0aaee a -->>ln e e a a -->ln a e a a ->+0a >1ln 10a a+-≥110a e a a --+-->11a e a a --+>+所以2C 的极坐标方程为4sin ρθ=-． …………4分 （Ⅱ）设A 点的极坐标为1(ρ，)α，B 点的极坐标为2(,)3πρα-，则12sin ρα=，24sin()3πρα=--， …………6分于是AOB ∆的面积12113sin (2sin )[4sin()]23sin sin()3sin(2)232336S ππππρρααααα==--=--=+…………9分当6πα=时，S ．所以AOB ∆．…………10分。

考点48 逻辑联结词及数学归纳法一．简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词． (2)命题p 且q 、p 或q 、非p 的真假判断二．量词2.全称量词和存在量词(1)全称量词：“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，用符号“∀”表示． (2)存在量词：“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，用符号“∃”表示．3．全称命题、存在性命题及含一个量词的命题的否定三．数学归纳法1．由一系列有限的特殊现象得出一般性的结论的推理方法，通常叫做归纳法． 2．用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，其步骤如下： (1)归纳奠基：证明取第一个自然数n 0时命题成立；(2)归纳递推：假设n ＝k (k ∈N *，k ≥n 0)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时，命题成立； (3)由(1)(2)得出结论．知识理解考向一 命题的否定【例1】（2021·四川成都市·高三二模（理））命题“0x ∀>，210x x ++>”的否定为（ ）A ．00x ∃≤，20010x x ++≤ B ．0x ∀≤，210x x ++≤ C ．00x ∃>，20010x x ++≤D ．0x ∀>，210x x ++≤【答案】C【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“0x ∀>，210x x ++>”的否定是：00x ∃>，20010x x ++≤．故选：C ．【举一反三】1．（2021·全国高三月考（理））命题“0x R ∃∈，002ln 0x x +≤”的否定是（ ） A ．x R ∀∈，2ln 0x x+≥ B ．x R ∀∈，2ln 0x x+> C ．0x R ∃∈，002ln 0x x +≥ D ．0002,0x R lnx x ∃∈+> 【答案】B【解析】命题“0x R ∃∈，002ln 0x x +≤”为特称命题，该命题的否定为“x R ∀∈，2ln 0x x+>”. 故选：B.2．（2021·湖南岳阳市）命题“()1,x ∀∈+∞，21x e x ≥+”的否定是（ ） A ．()1,x ∃∈+∞，21x e x ≥+ B ．()1,x ∀∈+∞，21x e x <+ C ．()1,x ∃∈+∞，21x e x <+ D ．()1,x ∀∈+∞，21x e x ≥+【答案】C【解析】命题“()1,x ∀∈+∞，21x e x ≥+”为全称命题，该命题的否定为“()1,x ∃∈+∞，21x e x <+”. 故选：C.考向分析3．（2021·泰州市第二中学）巳知命题p ：0x ∃>，10x e x --≤，则命题p 的否定为（ ） A ．0x ∀≤，10x e x --＞ B ．0x ∀>，10x e x --> C ．0x ∃>，10x e x --≥ D ．0x ∃≤，10x e x --＞【答案】B【解析】命题p ：0x ∃>，10x e x --≤，则命题p 的否定为0x ∀>，10x e x -->. 故选：B考向二 逻辑连接词求参数【例2】（2021·全国高三专题练习）若命题“200[1,2],2x x a ∃∈--+”是假命题，则实数a 的范围是（ ） A ．2a > B ．2a C ．2a >- D ．2a -【答案】A【解析】若命题“200[1,2],2x x a ∃∈--+”是假命题，则命题“2[1,2],2x x a ∀∈--+<”是真命题， 当0x =时，()2max22x -+=，所以2a >.故选：A. 【举一反三】1．（2021·天水市第一中学高三月考（理））已知命题():1,3p x ∃∈-，220x a --≤.若p 为假命题，则a 的取值范围为（ ） A ．(),2-∞- B ．(),1-∞-C ．(),7-∞D ．(),0-∞【答案】A 【解析】p 为假命题，∴():1,3p x ⌝∀∈-，220x a -->为真命题，故22a x <-恒成立，22y x =-在()1,3x ∈-的最小值为2-，∴2a <-. 故选：A.2．（2020·北京人大附中高三月考）若命题“x R ∃∈，使得2210ax x ++＜成立”为假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[1，+∞) B ．[0，+∞)C ．(-∞，1)D ．(-∞，0]【答案】A 【解析】命题“x R ∃∈，使得2210ax x ++＜成立”为假命题, 则它的否定命题: “x R ∀∈，2210ax x ++≥”为真命题所以0440a a >⎧⎨∆=-≤⎩ 解得1a ≥，所以实数a 的取值范围是[1,)+∞ 故选：A.3．（2020·江西高三期中（文））存在[1,1]x ∈-，使得230x mx m +-≥，则m 的最大值为（ ） A ．1 B ．14C ．12D ．-1【答案】C【解析】由不等式230x mx m +-≥，可化为23x m x≤-，设()[]2,1,13x f x x x=∈--，则()()()2226(6)33x x x x f x x x ---'==--，当[1,0)x ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当(0,1]x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，又由()11(1),142f f -==，所以函数()f x 的最大值为()112f =， 要使得存在[1,1]x ∈-，使得230x mx m +-≥，则12m ≤，则m 的最大值为12. 故选：C.考向三 数学归纳法【例3-1】（2020·全国高三专题练习（理））用数学归纳法证明不等式“1＋12＋13＋…＋121n -＜n (n ∴N *，n ≥2)”时，由n ＝k (k ≥2)时不等式成立，推证n ＝k ＋1时，左边应增加的项数是（ ） A ．2k －1 B ．2k －1 C ．2k D ．2k ＋1【答案】C【解析】n k =时，左边=1111 (2321)k ++++-，而n ＝k ＋1时，左边＝11111111 (232122121)k k k k +++++++++-+-，增加了1111 (22121)k k k +++++-，共(2k ＋1－1)－(2k －1)＝2k 项， 故选：C.【例3-2】．（2020·全国高三专题练习）设等比数列{}n a 满足113,34n n a a a n +==-. （1）计算23,a a ，猜想{}n a 的通项公式并加以证明； （2）求数列{}2nn a 的前n 项和n S .【答案】（1）25a =，37a =，21n a n =+，证明见解析；（2）1(21)22n n S n +=-+. 【解析】（1）由题意，等比数列{}n a 满足113,34n n a a a n +==-， 可得21345a a =-= ，323427a a =-⨯=，，猜想{}n a 的通项公式为21n a n =+，证明如下：（数学归纳法）当1,2,3n =时，显然成立； ∴ 假设n k =时，即21k a k =+成立；其中*(N )k ∈， 由134k k a a k +=-3(21)4k k =+-2(1)1k =++ ∴故假设成立，综上（1）（2），数列{}n a 的通项公式21n a n =+*()n N ∈.（2）令2(21)2n nn n b a n ==+，则前项和1212...3252...(21)2n n n S b b b n =+++=⨯+⨯+++ ∴由∴两边同乘以2得：23123252...(21)2(21)2n n n S n n +=⨯+⨯++-++ ∴由∴-∴的322112(12)3222...2(21)26(21)212n n n n n S n n -++--=⨯+⨯++-+=+-+-， 化简得1(21)22n n S n +=-+. 【举一反三】1．（2020·全国高三专题练习（理））用数学归纳法证明等式123(21)(1)(21)n n n +++++=++时，从n k=到1n k =+等式左边需增添的项是（ ） A ．22k + B ．[]2(1)1k ++ C ．[(22)(23)]k k +++ D ．[][](1)12(1)1k k ++++ 【答案】C【解析】当n k =时，左边123(21)k =+++++，共21k +个连续自然数相加，当1n k =+时，左边123(21)(22)(23)k k k =+++++++++，所以从n k =到1n k =+，等式左边需增添的项是[(22)(23)]k k +++. 故选：C.2．（2021·全国高三专题练习）设集合T n ＝{1，2，3，…，n }（其中n ≥3，n ∴N *），将T n 的所有3元子集（含有3个元素的子集）中的最小元素的和记为S n ． （1）求S 3，S 4，S 5的值； （2）试求S n 的表达式．【答案】（1）S 3＝1，S 4＝5，S 5＝15；（2）41n C + .【解析】（1）当n ＝3时，T 3＝{1，2，3}，3元子集有：{1，2，3}，∴S 3＝1；当n ＝4时，T 4＝{1，2，3，4}，3元子集有：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，∴S 4＝1×3+2＝5；当n ＝5时，T 5＝{1，2，3，4，5}，3元子集有：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，3，4}，{1，3，5}，{1，4，5}，{2，3，4}，{2，3，5}，{2，4，5}，{3，4，5}，222543212315S C C C ∴=⨯+⨯+⨯=．（2）由S 3＝1，S 4＝5，S 5＝15，S 6＝35…归纳猜想出41n n S C +=（n ≥3）．下面用数学归纳法证明猜想：∴当n ＝3时，S 3＝1＝44C ，结论成立；∴假设n ＝k （k ≥3，k ∴N *）时，结论成立，即S k ＝41k C +，则当n ＝k +1时，T k +1＝{1，2，3，4，…，k ，k +1}，()()1111111232123...21k k k k k S S C C C k C k C +---⎡⎤=+++++-+-⎣⎦()()()(){}411111122112...21k k k C k C k C k k C k k C +--=+-+-++--+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()(){}4111111111211231...23...1k k k C k C C C C C C k C +--⎡⎤=++++-++++-⎣⎦ ()422311k k k k C kC kC C ++⎡⎤=+--⎣⎦ ()4341111k k k C C C ++++=+=∴当n ＝k +1时，结论成立． 综上：由∴∴可得()413n n S C n +=≥．1．（2021·涡阳县育萃高级中学）已知命题:p x R ∀∈，2104x x -+，则p ⌝（ ） A ．21,04x x x ∃∈-+R B ．21,04x x x ∃∈-+>R C ．21,04x x x ∀∈-+>R D ．21,04x x x ∀∈-+<R 【答案】B【解析】命题p 为全称命题，根据全称命题的否定为特称命题，可得：p ⌝： 21,04x x x ∃∈-+>R 故选：B2．（2021·漠河市高级中学高三月考（文））下列说法正确的是（ ） A ．若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题B ．命题“若cos cos x y ≠，则x y ≠”的否命题是“若cos cos x y =，则x y ≠”C ．“0x <”是“20x x ->”的充要条件强化练习D ．若p ：x ∀∈R ，2320x x --<，则p ⌝：0x ∃∈R ，200320x x --.【答案】D【解析】对于A 选项，若p q ∨为真命题，可能p 真q 假，则p q ∧为假，故A 选项错误.对于B 选项，命题“若cos cos x y ≠，则x y ≠”的否命题是“若cos cos x y =，则x y =”，故B 选项错误. 对于C 选项，当2x =时，20x x ->，所以“0x <”不是“20x x ->”的充要条件，C 选项错误. 根据全称量词命题的否定的知识可知，D 选项正确. 故选：D3．（2021·全国高三专题练习）下列关于命题的说法中正确的是（ ）∴对于命题P ：x R ∃∈，使得210x x ++<，则:P x R ⌝∀∈，均有210x x ++≥ ∴“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件∴命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题是“若1x ≠，则2320x x -+≠” ∴若p q ∧为假命题，则p ､q 均为假命题 A ．∴∴∴ B ．∴∴∴ C ．∴∴∴∴ D ．∴∴【答案】A【解析】∴对于命题:p x R ∃∈，使得210x x ++<，则:p x R ⌝∀∈均有210x x ++，故∴正确；∴由“1x =”可推得“2320x x -+=”，反之由“2320x x -+=”可能推出2x =，则“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件，故∴正确；∴命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题是“若1x ≠，则2320x x -+≠”，故∴正确； ∴若p q ∧为假命题，则p ，q 至少有一个为假命题，故∴错误． 则正确的命题的有∴∴∴． 故选：A4．（2021·河南高三其他模拟（文））命题:p “0,2sin 0x x x ∀≥-≥”的否定为（ ）A ．0,2sin 0x x x ∀≥-<B ．0,2sin 0x x x ∀<-<C ．0000,2sin 0xx x ∃≥-< D ．0000,2sin 0xx x ∃<-<【答案】C【解析】命题:p “0,2sin 0xx x ∀≥-≥”是全称命题，又全称命题的否定是特称命题，故“0x ∀≥，2sin 0x x -≥”的否定是“0000,2sin 0xx x ∃≥-<”.故选：C.5．（2021·山东菏泽市·高三一模）命题“2,0∈≥∀x R x ”的否定是（ ）A ．2,0x R x ∃∈≥B ．2,0x R x ∀∈<C ．2,0x R x ∃∈<D ．2,0x R x ∃∈≤【答案】C【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题：x R ∀∈，20x ≥的否定是：x R ∃∈，20x <.故选：C6．（2021·四川成都市·石室中学高三月考（理））设命题:0p x ∀≤x =-，则p ⌝为（ ） A ．0x ∀≤x ≠- B ．00x ∃≤0x =- C ．0x ∀>x =- D ．00x ∃≤0x ≠-【答案】D【解析】命题p 为全称命题，该命题的否定为0:0p x ⌝∃≤0x ≠-. 故选：D.7．（2020·湖北武汉市·华中师大一附中高三期中）“0m >”是“x R ∃∈，2(1)2(1)30m x m x -+-+≤是假命题”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题意，命题“x R ∃∈，2(1)2(1)30m x m x -+-+≤是假命题” 可得命题“x R ∀∈，2(1)2(1)30m x m x -+-+>是真命题” 当10m -=时，即1m =时，不等式30>恒成立；当10m -≠时，即1m ≠时，则满足()()210214130m m m ->⎧⎪⎨⎡⎤---⨯<⎪⎣⎦⎩，解得14m <<，综上可得，实数14m ≤<，即命题“x R ∃∈，2(1)2(1)30m x m x -+-+≤是假命题”时，实数m 的取值范围是[1,4)，又由“0m >”是“14m ≤<”的必要不充分条件，所以“0m >”是“x R ∃∈，2(1)2(1)30m x m x -+-+≤是假命题”的必要不充分条件， 故选：B.8．（2021·全国高三专题练习）若命题“∀[]1,4x ∈时，240x x m --≠”是假命题，则m 的取值范围（ ） A ．[4,3]-- B ．()-∞,-4 C ．[4,)-+∞ D ．[4,0]-【答案】D【解析】若命题“[1x ∀∈，4]时，240x x m --≠”是假命题， 则命题“[1x ∃∈，4]时，240x x m --=”是真命题, 则24m x x =-，设22()4(2)4f x x x x =-=--， 当14x 时，4()0f x -,则40m -. 故选：D ．9．（2020·江苏海门市·高三月考）命题“[]21220x x a ∀∈-≤，，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）A ．2a ≤B ．2a ≥C ．4a ≤D ．4a ≥【答案】D【解析】“[]21220x x a ∀∈-≤，，”为真命题，可得2a ≥，因为[)[)4,2,+∞⊂+∞ ， 故选:D .10．（2021·全国高三专题练习）已知命题“02x ∃>，20040ax ax --<”是假命题，则a 的取值范围是（ ）A ．[)2,+∞B ．()2,+∞C ．(],2-∞D ．(),2-∞【答案】A【解析】因为命题“02x ∃>，20040ax ax --<”是假命题，所以240ax ax --≥对2x >恒成立， 所以()242a x x x≥>-恒成立．因为2x >， 所以22x x ->，则242x x<-， 故2a ≥． 故选：A11．（2020·全国高三专题练习）用数学归纳法证明“(1)(2)()213(21)nn n n n n ++⋅⋅⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-”，从“k到1k +”左端需增乘的代数式为（ ） A ．21k + B ．2(21)k +C ．211k k ++ D ．231k k ++ 【答案】B【解析】当n k =时，等式的左边(1)(2)()k k k k =++⋅⋅⋅⋅⋅+，当1n k =+时，等式的左边(11)(12)()(1)(2)k k k k k k k k =++++⋅⋅⋅⋅⋅+++++， 所以当从“k 到1k +”左端增乘的代数式为(1)(2)2(21)1k k k k k k ++++=++.故选：B.12．（多选）（2021·恩施市第一中学）下列命题正确的有（ ） A ．命题“x R ∀∈，20x ≥”的否定是“x R ∃∈，20x <”． B ．函数()cos f x x =向右平移2π个单位得到函数解析式为()sin g x x =． C ．函数()21f x x =-的零点为()1,0-，()1,0．D ．1弧度角表示：在任意圆中，等于半径长的弦所对的圆心角． 【答案】AB【解析】对A ，根据全称命题的否定性质，A 为正确的； 对B ，()cos f x x =向右平移2π个单位得到函数()cos()sin 2g x x x π=-=；对C ，函数零点是数而不是点，故C 错误；对D ，1弧度角表示为在任意圆中，等于半径长的弧所对的圆心角，故D 错误； 故选：AB.13．（多选）（2021·全国高三专题练习）下列命题中正确的是（ ） A ．(0,)x ∃∈+∞，23x x >B ．(0,1)x ∃∈，23log log x x <C ．(0,)x ∀∈+∞，121()log 2xx >D ．1(0,)3x ∀∈，131()log 2xx < 【答案】BD【解析】对于选项A ：当0x >时，22133xx x ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，所以23x x <恒成立，故选项A 不正确；对于选项B ：当(0,1)x ∈时，23log lg lg 3lg 31log lg 2lg lg 2x x x x =⨯=>，且3log 0x <，所以23log log x x <，故选项B 正确；对于选项C ：当12x =时，1211()()222x ==，11221log log 12x ==，则121log ()2x x >，故选项C 不正确； 对于选项D ：当13x =时，131log 13=，由对数函数和指数函数的性质可知，当1(0,)3x ∈时，131()1log 2x x <<，故选项D 正确； 故选：BD14．（多选）（2021·全国高三专题练习）若01,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得200210x x λ-+<成立是假命题，则实数λ可能取值是（ ） A ．32B．C ．3 D ．92【答案】AB【解析】由条件可知1,22x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2210x x λ-+≥是真命题， 即22112x x x xλ+≤=+，即min 112,,22x x x λ⎛⎫⎡⎤≤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，设()112,22f x x x x ⎡⎤=+≥=∈⎢⎥⎣⎦等号成立的条件是112,222x x x ⎡⎤=⇒=∈⎢⎥⎣⎦，所以()f x的最小值是即λ≤AB. 故选：AB15．（2021·江西高三其他模拟（文））已知命题“存在x ∈R ，使220ax x -+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】18a >【解析】因为命题“存在x ∈R ，使220ax x -+≤”是假命题， 所以命题“R x ∀∈，使得220ax x -+>”是真命题，当0a =时，得2x <，故命题“R x ∀∈，使得220ax x -+>”是假命题，不合题意；当0a ≠时，得0180a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得18a >.故答案为：18a >16．（2021·全国高三专题练习）若“存在x ∴[﹣1，1]，3210x x a ⋅++>成立”为真命题，则a 的取值范围是___．【答案】9(,)2-+∞【解析】存在x ∴[﹣1，1]，3210xxa ⋅++>成立，即213x xa +-<在[1,1]x ∈-上有解， 设2121()333x xx xf x +⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，[1,1]x ∈-， 易得y ＝f (x )在[﹣1，1]为减函数， 所以()[(1),(1)]f x f f ∈-，即213()3332f x +≤≤+，即91()2f x ≤≤， 即92a -<，所以92a >-， 故答案为：9(,)2-+∞．17．（2020·江西高三其他模拟（文））若命题:p x R ∃∈，210x mx -+<为假命题，则m 的取值范围是______． 【答案】[]22-,【解析】命题:p x R ∃∈，210x mx -+<为假命题，p ∴⌝：x R ∀∈，210x mx -+≥为真命题，则240m ∆=-≤，解得22m -≤≤，即m 的取值范围是[]22-,. 故答案为：[]22-,. 18．（2020·北京密云区·高三期中）若“01x ∃>，使得11x a x +<-.”为假命题，则实数a 的最大值为___________. 【答案】3【解析】由“∴x 0>1，使得11x a x +<-.”为假命题，可知，“11,1x x a x ∀>+≥-”为真命题， 11a x x ∴≤+-恒成立，由11111311x x x x +=-++≥=--，当且仅当2x =时取等号， 即a 的最大值为3. 故答案为：3.19．（2021·湖南永州市·高三二模）若对[]1,2x ∀∈，都有20ax x -≤，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】解：因为[]1,2x ∀∈，都有20ax x -≤，所以[]1,2x ∀∈，都有1a x≤，令()1g x x =，[]1,2x ∈，因为()1g x x=，在[]1,2x ∈上单调递减，所以()()min 122g x g ==，所以12a ≤，即实数a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；故答案为：1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦20．（2020·全国高三月考（文））已知命题():0,p x ∀∈+∞，2230x mx -+>，命题:q m a <；若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为______.【答案】()+∞【解析】设命题():0,p x ∀∈+∞，2230x mx -+>成立对应的m 的范围为集合A ，{}|B m m a =<若()0,x ∀∈+∞，223x mx +>，则32x m x +>，所以min 32m x x ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭而32x x +≥32x x =，即x =时等号成立，所以min32x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭m <{|A m m =<，因为p 是q 的充分不必要条件，所以A B，所以a > 即实数a的取值范围为()+∞.故选答案为：()+∞21．（2020·凌海市第二高级中学高三月考）命题“2,1x R x t ∀∈>+”为真命题，则实数t 的取值范围是__________. 【答案】(),1-∞- 【解析】命题“2,1x R x t ∀∈>+”为真命题，且20x ≥，10t ∴+<，则1t <-，故实数t 的取值范围是(),1-∞-.故答案为：(),1-∞-.22．（2020·上海徐汇区·高三一模）用数学归纳法证明()2511222n n N -*++++∈能被31整除时，从k 到1k +添加的项数共有__________________项（填多少项即可）． 【答案】5【解析】当n k =时，原式为：251122...2k -++++，当1n k =+时，原式为251551525354122...222222k k k k k k -+++++++++++++， 比较后可知多了55152535422222k k k k k ++++++++，共5项. 故答案为：523．（2020·浙江高三其他模拟）用数学归纳法证明：111111111234212122n n n n n-+-++-=+++-++，第一步应验证的等式是__________；从“n k =”到“1n k =+”左边需增加的等式是_________.【答案】11122-=()()1121121k k -+-+ 【解析】当1n =时，应当验证的第一个式子是11122-=，从“n k =”到“1n k =+”左边需增加的式子是()()1121121k k -+-+24．（2021·全国高三专题练习）设数列{}n a 满足11a =，12(23)n n a a n +=--. （1）计算2a ，3a .猜想{}n a 的通项公式并利用数学归纳法加以证明； （2）记2n nn b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】（1）23a =，35a =，21n a n =-；证明见解析；（2）1(23)26n n S n +=-⨯+.【解析】（1）由题意可得2121213a a =+=+=，3221615a a =-=-=， 由数列{}n a 的前三项可猜想数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列， 即21n a n =-， 证明如下：当1n =时，12111a =⨯-=成立； 假设n k =时，21k a k =-成立.那么1n k =+时，12(23)2(21)(23)212(1)1k k a a k k k k k +=--=---=+=+-也成立. 则对任意的*n ∈N ，都有21n a n =-成立；（2）因为(21)2n n b n =-.∴23123252(21)2n n S n =⨯+⨯+⨯++-⨯，∴ 23412123252(21)2n n S n +=⨯+⨯+⨯++-⨯，∴∴-∴得：2341222222222(21)2n n n S n +-=+⨯+⨯+⨯++⨯--⨯()211122122(21)26(23)212n n n n n -++⨯-=+--⨯=---⨯-.∴1(23)26n n S n +=-⨯+.25．（2020·全国高三专题练习）已知数列{}n a 满足：11a =，点()()*1,n n a a n +∈N 在直线21y x =+上.（1）求2a ，3a ，4a 的值，并猜想数列{}n a 的通项公式； （2）用数学归纳法证明（1）中你的猜想.【答案】（1）2343,7,15a a a ===，21n n a =-；（2）证明见解析.【解析】（1）因为点()()*1,n n a a n N +∈在直线21y x =+上所以121n n a a +=+， 因为11a =，故22113a =⨯+=，32317a =⨯+=， 427115a =⨯+=，由上述结果，猜想：21nn a =-.（2）1︒，当1n =时，1211a =-=成立，2︒，假设当()1,n k k k N =≥∈时，21kk a =-成立，那么，当1n k =+时，()1121221121kk k k a a ++=+=-+=-成立，由1︒，2︒可得21nn a =-.26．（2020·黑龙江哈尔滨市·高三月考（理））已知数列{}n a 满足1a m =，2n a ≠，11210n n n a a a ++-⋅-=. （1）求2a ，3a ，4a ；（2）猜想{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明. 【答案】（1）212a m =-，3232m a m -=-，43243ma m-=-；（2）()()()121n n n m a n n m ---=--；证明见解析.【解析】1）因为11210n n n a a a ++-⋅-=，2n a ≠，所以112n na a +=-，又因为1a m = 211122a a m ==--，3212232m a a m -==--，43132243ma a m-==-- （2）()()()121n n n ma n n m---=--证明：1n =时，()1011ma m --==，结论成立 假设n k =时，结论成立，即()()()121k k k ma k k m---=--当1n k =+时：()()()()()()()()()11111122211221211k kk k m a k k m k k m k k m a k km k k m k k m+--====-------+--+------ 结论成立.综上，数列通项为()()()121n n n m a n n m---=-- 27（2020·云南师大附中高三月考（理））设数列{}n a 满足11a =，23a =，当()11112n n n n n a a a n a a -+-+=+++.（1）计算3a ，4a ，猜想{}n a 的通项公式，并加以证明. （2）求证：()()()2221244474111n a a a +++<+++. 【答案】（1）35a =，47a =，21n a n =-，证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】（1）解：由11a =，23a =， 所以()123121225a a a a a +=++=+，()234231327a a a a a +=++=+. 猜想：21n a n =-，证明：当2n =时，由11a =，23a =，故成立；假设n k =（2k ≥）时成立，即21k a k =-， 所以()()1111221211k k k k k a a a k k k a a -+-+=++=+=+-+，即当1n k =+时成立，综上所述，21n a n =-. （2）证明：由（1）知，()22411n n a =+， 所以()()()22212444111n a a a ++++++22222211111111221311n n =+++<++++--- ()()1111132411n n =++++⨯⨯-+111111111111232435211n n n n ⎛⎫=+-+-+-++-+- ⎪--+⎝⎭11117112214n n ⎛⎫=++--< ⎪+⎝⎭，证毕.。

石室中学高2021届2020-2021学年度上期入学考试理科数学试卷一、选择题（共12小题；共60分）1.已知集合(){}(){},0,,R ,,+10,,R A x y x y x y B x y x y x y =+=∈=-=∈，则集合A B 的元素个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 2．i 为虚数单位， 512iz i=+， 则z 的共轭复数为 （ ） A. 2i - B ．2i + C. 2i -- D ．2i -+3．石室中学为了解1 000名学生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些学生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则以下4名学生中被抽到的是（ ） A ．8号学生 B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生4．函数2()ln 1f x x x=-+的零点所在的大致区间是（ ） A ．(1,2) B ．(2,)e C ．(,3)e D ．(3,)+∞5．已知向量(1)a m =，，(32)b m =-，，则3m =是a //b 的（ ）A ．充要条件B ．既不充分也不必要条件C ．必要不充分条件D ．充分不必要条件6 ．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若a =2b =，60A =︒，则B 为（ ） A ．60°B ．60°或120°C ．30°D ．30°或150°7．下列函数中，既是奇函数又在(0,)+∞单调递减的函数是（ ）A ．22x x y -=-B ．tan y x x =C ．sin y x x =-D ．12y x x=- 8．抛物线2:4C y x =的焦点为F ，其准线l 与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，当2MA MF=AMF ∆的面积为（ ）A ．1B 2C ．2D ．229. 如图是用模拟方法估计圆周率π的程序框图，P 表示估计结果， 则图中空白框内应填入（ ） A ．1000N P =B ．41000N P =C ．1000M P =D ．41000MP = 10. 已知235log log log 1x y z ==<-，则2,3,5x y z 的大小关系为（ ） A ．235x y z <<B ．325y x z <<C ．523z x y <<D ．532z y x <<11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球表面积为（ ） A ．11πB ．143πC ．283πD ．16π12.已知a 为常数，函数()212e 1+2xf x ax ax a =--+有两个极值点x 1，x 2(x 1＜x 2)，则下列结论正确的是（ ）A ．0a < B. 01a << C ．()15f x > D ．()23f x > 二、填空题（共4小题；共20分）13.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为_______________14.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为___________钱. 15．已知()f x 是定义域为R 的奇函数，()f x '是()f x 的导函数，(1)0f -=，当0x >时，()3()0xf x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 的取值集合是___________．16.已知棱长为1的正方体，过对角线作平面交棱于点E ，交棱于点F ，则：①平面分正方体所得两部分的体积相等；②四边形一定是平行四边形；③平面与平面不可能垂直； ④四边形其中所有正确结论的序号为_______三、解答题（共6小题；共70分）17. (本题满分12分)石室中学高三学生摸底考试后，从全体考生中随机抽取44名，获取他们本次考试的数学成绩(x )和物理成绩(y )，绘制成如图散点图：根据散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，但图中有两个异常点,A B ．经调查得知，A 考生由于重感冒导致物理考试发挥失常，B 考生因故未能参加物理考试．为了使分析结果更科学准确，剔除这两组数据后，对剩下的数据作处理，得到一些统计的值：4242421114620,3108,350350,i i i i i i i x y x y ======∑∑∑()422116940,i i x x =∑-=()42215250,i i y y =∑-=其中,i i x y 分别表示这42名同学的数学成绩、物理成绩，1,2,3,,42i =，y 与x 的相关系数0.82r =．1111ABCD A B C D -1BD α1AA 1CC α1BFD E α1DBB 1BFDE（Ⅰ）若不剔除,A B 两名考生的数据，用44组数据作回归分析，设此时y 与x 的相关系数为0r ．试判断0r 与r 的大小关系（不必说理由）；（Ⅱ）求y 关于x 的线性回归方程，并估计如果B 考生参加了这次物理考试（已知B 考生的数学成绩为125分），物理成绩是多少？附：回归方程y a bx =+中, 1122211()()=()n niii ii i nniii i x x y y x y nx ya y bx x x xn b x====---==---∑∑∑∑，18．已知三次函数32()41f x x ax x =+++(a 为常数). （1）当1a =时，求函数()f x 在2x =处的切线方程； （2）若0a <，讨论函数()f x 在()0,x ∈+∞的单调性.19.如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，FA FC =，且60DAB DBF ∠=∠=︒． （1）求证：AC ⊥平面BDEF ；（2）求直线AD 与平面AEF 所成角的正弦值．20．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>3，短轴长为2，直线l 与椭圆有且只有一个公共点． （1）求椭圆的方程；（2）是否存在以原点O 为圆心的圆满足：此圆与直线l 相交于P ，Q 两点（两点均不在坐标轴上），且OP ，OQ 的斜率之积为定值，若存在，求出此定值和圆的方程；若不存在，请说明理由．21．已知函数()1ln 1f x a x x=+-，其中常数a ∈R ，自然常数 2.71828e ≈. （Ⅰ）当实数13a =时，求()f x 在区间2,e e ⎡⎤⎣⎦上的最值； （Ⅱ）设函数()()1xg x e f x x=+-在区间()0,a e -上存在极值，求证：11a a e a --+>+.22．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线1C 的极坐标方程为2sin ρθ=，曲线2C 的参数方程为2cos (22sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=-+⎩为参数）．（Ⅰ）写出2C 的极坐标方程；（Ⅱ）过原点O 的射线与1C 的异于极点的交点为A ，(0)3xOA παα∠=<<，B 为2C 上的一点，且3AOB π∠=，求AOB ∆面积的最大值．石室中学高2021届2020-2021学年度上期数学入学考试参考答案（理科）13. y = 14.315． (-∞，1)(0-⋃，1) 16.①②④17.（Ⅰ）0r r <．......................4分（Ⅱ）由题中数据可得：42421111110,744242i i i i x x y y ======∑∑，................6分 所以.............8分又因为，所以，，所以，................10分将代入，得81.5y =，所以估计B 同学的物理成绩为81.5分．....................12分18．（1）当1a =时，函数32()41f x x x x =+++2()324f x x x '=++(2)20f '∴=即切线的斜率20k =..................2分 (2)21f =∴切线方程为20(2)21x y -=-即切线为：20190x y --=..................4分（2）2()324f x x ax '=++对称轴为03ax =->..................5分 ()()4242114235035042110748470iii ii i x x y y x y x y ==--=-⋅=-⨯⨯=∑∑()422116940ii x x =-=∑()()()1211698470ˆ00.54niii ni i x x y y bx x ==--===-∑∑740.511019a y bx =-=-⨯=0.519y x =+125x =○1当24480a ∆=-≤时，即0a -≤<，()0f x '> ()f x 在(0,)+∞上单调递增；.................8分○2当24480a ∆=->时，即a <-，又 (0)40f '=>令2()3240f x x ax '=++=，则1x =，2x =当0x <<或x >()0f x '>；x <<()0f x '<；()f x 在2(0,6a -，2(,)6a -++∞上单调递增；()f x 在22(,66a ---上单调递减. .................12分19.（1）设AC 与BD 相交于点O ，连接FO ，∵四边形ABCD 为菱形，∴AC BD ⊥，且O 为AC 中点， ∵FA FC =，∴AC FO ⊥,又FO BD O =，∴AC ⊥平面BDEF .…………………5分（2）连接DF ，∵四边形BDEF 为菱形，且60DBF ∠=︒，∴DBF ∆为等边三角形， ∵O 为BD 中点，∴FO BD ⊥，又AC FO ⊥，∴FO ⊥平面ABCD .∵,,OA OB OF 两两垂直，∴建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示，………7分 设2AB =，∵四边形ABCD 为菱形， 60DAB ∠=︒，∴∵DBF ∆为等边三角形，∴,DB EFDB EF =∴(()(,3,0,3,0,2,0AF AD EF =-=-=设平面AEF 的法向量为(),,n x y z =，则320AF n x EF n y ⎧⋅=-+⎪⎨⋅==⎪⎩取1x =，得()1,0,1n =.设直线AD 与平面AEF 所成角为θ，………10分6,4AD n AD n ADn⋅==⋅分20．解：（1，可得c e a== 由短轴长为2，可得1b =， …………1分 又2221a c b -==，解得2a =，c ， 则椭圆的方程为2214x y +=； …………4分（2）存在符合条件的圆，此圆的方程为225x y +=． 证明如下：假设存在符合条件的圆， 设此圆的方程为222(0)x y r r +=>，当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y kx m =+， 由2244y kx mx y =+⎧⎨+=⎩可得222(14)8440k x kmx m +++-=，…………5分 因为直线l 与椭圆C 有且只有一个交点，所以△2221(8)4(14)(44)0km k m =-+-=，即2214m k =+，…………6分由方程组222y kx m x y r=+⎧⎨+=⎩可得2222(1)20k x kmx m r +++-=，则△22222(2)4(14)()0km k m r =-+->，设11(P x ，1)y ，22(P x ，2)y ，则12221km x x k +=-+，221221m r x x k -=+，…………7分 设直线1OP ，2OP 的斜率为1k ，2k ， 所以222222222221212121212222212121222()()()111m r kmk km m y y kx m kx m k x x km x x m m r k k k k k m r x x x x x x m r k --+++++++-++=====--+ (9)分将2214m k =+代入上式，可得2222122222(4)1(4)14(1)r k r k k k m r k r -+-+==-+-，…………10分要使12k k 为定值，则224141r r-=-，即25r =，验证符合题意． 所以当圆的方程为225x y +=时，圆与l 的交点1P ，2P 满足12k k 为定值14-，…………11分 当直线l 的斜率不存在时，由题意可得l 的方程为2x =±，此时圆225x y +=与l 的交点为1P ，2P 也满足1214k k =-，综上可得当圆的方程为225x y +=时，直线l 与圆的交点1P ，2P 满足斜率之积12k k 为定值14-．……12分21．（Ⅰ）当13a =时，()ln 113x f x x =+-，()'233x f x x-=， 所以()f x 在[],3e 单减，在23,e ⎡⎤⎣⎦单增，…………2分()123f e e =-，()22113f e e =-，()()2f e f e <所以ln32()(3)3min f x f -==，2max 211()()3f x f e e ==-．…………5分 （Ⅱ）依题意，． 则，令，，，()11ln 1ln 1xx g x e a x e a x x x ⎛⎫=+-+-=-+ ⎪⎝⎭0a x e -<<()x xa xe a g x e x x-'=-=()x t x xe a =-()0,a x e -∈()(1)0xt x e x '=+>所以在上是单调增函数．要使得在上存在极值，则须满足即所以，，即．…………8分所以1111ln 1ln 1aea a a a a a a a--+-->++--=+- 当0a >时，令，()1g ln 1a a a =+-，()'21a g a a-=，所以()()10g a g ≥= 所以，．…………11分 即，所以．…………12分22．（Ⅰ）由曲线2C 的参数方程2cos (22sin x y φϕφ=⎧⎨=-+⎩为参数）． 可得曲线2C 的普通方程为22(2)4x y ++=． 将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入上式，得4sin ρθ=-． 所以2C 的极坐标方程为4sin ρθ=-． …………4分（Ⅱ）设A 点的极坐标为1(ρ，)α，B 点的极坐标为2(,)3πρα-，则12sin ρα=，24sin()3πρα=--， …………6分于是AOB ∆的面积()t x ()0,ae-()g x ()0,ae-()()00,0,a t t e -⎧<⎪⎨>⎪⎩0,0,a a e a e e a -->⎧⎪⎨⋅->⎪⎩0aae e a -->>ln e e a a -->ln a e a a ->+0a >1ln 10a a+-≥110a e a a --+-->11a e a a --+>+2021届高三数学一轮复习坚持就是胜利！12113sin (2sin )[4sin()]23sin sin()3sin(2)232336S ππππρρααααα==--=--=+ …………9分当6πα=时，S 取得最大值2． 所以AOB ∆．…………10分。

四川省成都市石室中学(文庙校区)2020-2021学年高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体最长的棱长为（）A. B. C. 6 D.参考答案：C由题可得立体图形：则,所以最长棱为6点睛：三视图还原为立体图形最好将其放在长方体中考虑，这样计算和检验都会比较方便，首先根据题目大致估计图形形状，然后将其准确的画出求解即可2. “数列为递增数列”的一个充分不必要条件是（）A．B．C．D．参考答案：D略3. 不等式3≤l5 - 2xl<9的解集是A．（一∞，-2)U(7,+co) B．C．[-2,1】U【4,7】 D．参考答案：D由得，或，即或，所以不等式的解集为，选D.4. 已知是定义在上的奇函数, 且,则函数的零点个数为（）A． B．C． D．参考答案：D考点：函数的图像和零点的计算．【易错点晴】分类整合思想是高考命题中最受青睐的数学思想,也解答许多数学问题的法宝,本题设置的目的是考查分类整合的数学思想和分析问题解决问题的能力以及运算求解能力.本题在解答时充分借助题设条件,先将函数的解析式表示出来,在分类求出方程的解析式,通过解方程确方程根的个数,从而使问题简捷获解.5. 设则的大小关系是（）A．B．C．D．参考答案：A略6. 执行如图所示的程序框图，如果输入n＝3，则输出的S＝（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】列出循环过程中与的数值,满足判断框的条件即可结束循环.【详解】判断前,第1次循环,,第2次循环,,第3次循环,,,此时,,满足判断框的条件,结束循环,输出结果:故选:B 【点睛】本题考查程序框图中的循环结构,考查裂项求和,难度较易.7. 已知四棱锥P﹣ABCD的顶点都在球O的球面上，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥底面ABCD，△PAD为正三角形，AB=2AD=4，则球O的表面积为（）A．B．C．24πD．参考答案：B【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】求出△PAD所在圆的半径，利用勾股定理求出球O的半径R，即可求出球O的表面积．【解答】解：令△PAD所在圆的圆心为O1，则圆O1的半径r=，因为平面PAD⊥底面ABCD，所以OO1=AB=2，所以球O的半径R==，所以球O的表面积=4πR2=．故选B．【点评】本题考查球O的表面积，考查学生的计算能力，比较基础．8. 已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）=1，且f（x）的导函数f′（x）＜，则f（x）＜+的解集为（）A．{x|﹣1＜x＜1} B．{x|＜﹣1} C．{x|x＜﹣1或x＞1} D．{x|x＞1}参考答案：D【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】根据条件，构造函数g（x）=f（x）﹣﹣，求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论．【解答】解：设g（x）=f（x）﹣﹣，则函数的g（x）的导数g′（x）=f′（x）﹣，∵f（x）的导函数f′（x）＜，∴g′（x）=f′（x）﹣＜0，则函数g（x）单调递减，∵f（1）=1，∴g（1）=f（1）﹣﹣=1﹣1=0，则不等式f（x）＜+，等价为g（x）＜0，即g（x）＜g（1），则x＞1，即f（x）＜+的解集{x|x＞1}，故选：D9. 的值为( )A． B．C．D．参考答案：B10. 在△ABC中，已知D是AB边上一点，若=2， =，则λ=（）A．B．C．﹣D．﹣参考答案：A【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】本题要求字母系数，办法是把表示出来，表示时所用的基底要和题目中所给的一致，即用和表示，画图观察，从要求向量的起点出发，沿着三角形的边走到终点，把求出的结果和给的条件比较，写出λ．【解答】解：在△ABC中，已知D是AB边上一点∵=2， =，∴=，∴λ=，故选A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 有一名同学在书写英文单词“error”时，只是记不清字母的顺序，那么他写错这个单词的概率是 .参考答案：【知识点】古典概型的概率求法. K2解析：五个位置的全排列为5！，其中三个r位置无论如何互换都正确，即在5！种排法中，有3！种正确排法，所以所求概率为：.【思路点拨】先求正确排法种数及所有排法种数，再用减法得所求概率.12. 过动点P作圆：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的切线PQ，其中Q为切点，若|PQ|=|PO|（O为坐标原点），则|PQ|的最小值是．参考答案：【考点】J3：轨迹方程；J7：圆的切线方程．【分析】根据题意，设P的坐标为（m，n），圆（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心为N，由圆的切线的性质可得|PN|2=|PQ|2+|NQ|2=|PQ|2+1，结合题意可得|PN|2=|PO|2+1，代入点的坐标可得（m﹣3）2+（n﹣4）2=m2+n2+1，变形可得：6m+8n=24，可得P的轨迹，分析可得|PQ|的最小值即点O到直线6x+8y=24的距离，由点到直线的距离公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，设P的坐标为（m，n），圆（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心为N，则N（3，4）PQ为圆（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的切线，则有|PN|2=|PQ|2+|NQ|2=|PQ|2+1，又由|PQ|=|PO|，则有|PN|2=|PO|2+1，即（m﹣3）2+（n﹣4）2=m2+n2+1，变形可得：6m+8n=24， 即P 在直线6x+8y=24上，则|PQ|的最小值即点O 到直线6x+8y=24的距离，且d==；即|PQ|的最小值是；故答案为：．13. 在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则＝________.参考答案：-1614. 已知，则的最小值是 ．参考答案：3215. 已知圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2=2，若等边△PAB 的一边AB 为圆C 的一条弦，则|PC|的最大值为 ．参考答案：2【考点】圆的标准方程．【专题】方程思想；综合法；直线与圆．【分析】得到圆心坐标和半径．等边△PAB 的一边AB 为圆C 的一条弦，可得|PC|的最大值为直径，即可得出结论．【解答】解：由圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2=2， ∴圆心坐标C （1，2），半径r=．∵等边△PAB 的一边AB 为圆C 的一条弦， ∴|PC|的最大值为直径2．故答案为：2．【点评】本题考查圆的方程，考查学生的计算能力，确定|PC|的最大值为直径是关键． 16. 已知双曲线经过点，其一条渐近线方程为y=2x ，则该双曲线的标准方程为 ．参考答案：﹣x 2=1【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线的渐近线方程，可以设其方程为x 2﹣=m ，又由其过点，将点的坐标代入方程计算可得m 的值，即可得其方程，最后将求得的方程化为标准方程即可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的一条渐近线方程为y=2x ，则可以设其方程为x 2﹣=m ，（m≠0），又由其经过点，则有1﹣=m ，解可得m=﹣1，则其方程为：x 2﹣=﹣1，其标准方程为：﹣x 2=1，故答案为：﹣x 2=1．【点评】本题考查双曲线的几何性质，注意最后的答案要检验其是否为标准方程的形式．17. 设函数,则, 方程的解集 ．参考答案：试题分析:因,故.由可得或,即或.故,应填答案.考点：分段函数的求值和指数对数方程的求解．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2021年四川省成都市石室中学高考数学模拟试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．在复平面内，复数z＝对应的点的坐标为（）A．（3，2）B．（2，3）C．（﹣2，3）D．（3，﹣2）2．已知集合A＝{x|y＝ln（﹣x2﹣3x+4）}，B＝{y|y＝2}，则A∪B＝（）A．（﹣4，4]B．（0，1）C．（﹣∞，4]D．（﹣4，+∞）3．设命题p：∀x≤0，＝﹣x，则￢p为（）A．∀x≤0，≠﹣x B．∃x0≤0，＝﹣x0C．∀x＞0，＝﹣x D．∃x0≤0，≠﹣x04．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝（弦+矢）×矢，弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差现有圆心角为，半径等于20米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（）（参考数据：π≈3.14，≈1.73）A．220平方米B．246平方米C．223平方米D．250平方米5．已知双曲线8x2﹣8y2＝﹣1有一个焦点在抛物线C：x2＝2py（p＞0）准线上，则p的值为（）A．2B．1C．D．6．已知正项递增等比数列{a n}的前n项和为S n，若a4+a7＝20，a4•a7＝64，则＝（）A．B．C．D．7．如图是用模拟方法估计圆周率π的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入（）A．P＝B．P＝C．P＝D．P＝8．已知sin（θ﹣）cos（π+θ）＝cos2θ，且sinθ≠0，则tan（θ+）的值为（）A．B．C．2﹣D．2+9．某柱体的正视图与侧视图是全等的正方形，俯视图是圆，记该柱体的表面积为S1，其内切球的表面积为S2，且S1＝λS2，则λ＝（）A．1B．C．D．10．已知AB是半径为2的圆M的一条直径，四边形ABCD是圆M内接四边形，∠CMD＝120°，若P在线段CD上（端点C、D除外）运动，则•的取值范围是（）A．（0，3）B．（1，3）C．[﹣3，0）D．（﹣3，3）11．已知椭圆C1：＝1（a＞b＞0），双曲线C2：﹣＝1，F1，F2分别为C2的左、右焦点，P为C1和C2在第一象限内的交点，若△PF1F2的内切圆的圆心的横坐标为2，C1和C2的离心率之积为，则该内切圆的半径为（）A．4﹣2B．4+2C．4﹣2D．4﹣212．已知函数f（x）＝+，若关于x的方程f2（x）﹣mf（x）+m2﹣1＝0恰好有4个不相等的实根，则m的取值范围是（）A．（1，+1）B．（0，+1）C．（1，）D．（0，）二、填空题（共4小题）.13．如图，动点P（x，y）在平行四边形ABCD内部（含边界）运动，则z＝2x﹣4y的最小值为．14．将6个相同的小球放入4个不同的盒子中，要求不出现空盒，共有种放法．（用数字作答）15．已知函数f（x）＝，若f（x）≥f（1）恒成立，则正实数a的取值范围是．16．已知f（x）＝m sinωx﹣cosωx（m＞0，ω＞0），g（x）＝e x，若对∀x1∈R，∃x2∈[0，ln2]，使得f（x1）≤g（x2）成立，若f（x）在区间[0，π]上的值域为[﹣1，]，则实数ω的最大值为．三、解答题(一）必考题:共60分17．已知数列{a n}，a1＝3，且对任意n∈N*，都有＝a n+1．（1）设b n＝a n+1﹣a n，判断数{b n}是否为等差数列或等比数列．（2）若a2＝5，c n＝，求数列{c n}的前2n项的和S2n．18．某房产中介公司对2018年成都市前几个月的二手房成交量进行统计，y表示2018年x 月该中介公司的二手房成交量，得到统计表格如下：x i12345678y i1214202224202630（1）通过散点图初步分析可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；（计算结果精确到0.01）；（2）该房产中介为增加业绩，决定针对二手房成交客户开展抽奖活动．若抽中“一等奖”获5千元奖金；抽中“二等奖”获3千元奖金；抽中“祝您平安”，则没有奖金．已知一次抽奖活动中获得“一等奖”的概率为，获得“二等奖”的概率为，现有甲、乙两个客户参与抽奖活动，假设他们是否中奖相互独立，求此二人所获奖金总额X（千元）的分布列及数学期望．参考数据：x i y i＝850，x i2＝204，y i2＝3776，≈4.58，≈5.57．参考公式：相关系数r＝19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是等边三角形，四边形ABCD是矩形，CD＝，F为棱PA上一点，且AF＝λAP（0＜λ＜1），M为AD的中点，四棱锥P﹣ABCD的体积为．（1）若λ＝，N是PB的中点，求证：平面MNF∥平面PCD，（2）是否存在λ，使得平面FMB与平面PAD所成的二面角余弦的绝对值为？20．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）上任意一点到其两个焦点F1，F2的距离之和等于2，焦距为2c，圆O：x2+y2＝c2，A1，A2是椭圆的左、右顶点，AB是圆O的任意一条直径，四边形A1AA2B面积的最大值为2．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，若直线l1：y＝kx+m（m≠0）与圆O相切，且与椭圆相交于M，N两点，直线l1与l2平行且与椭圆相切于P（O，P两点位于l1的同侧），求直线l1、l2距离d的取值范围．21．已知函数f（x）＝x2+mln（1﹣x），其中m∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）存在两个极值点x1，x2，且x1＜x2，证明：f（x1）+f（x2）＞﹣ln4．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系，曲线C的参数方程为，（θ为参数），P（x0，y0）是曲线C上的任意一点，动点Q（x，y）满足，记Q（x，y）轨迹为E，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极轴建立极坐标系，l的极坐标方程为θ＝（ρ∈R），A点的极坐标为（5，0）．（1）求E的普通方程；（2）若l与E交于M，N两点，求△AMN的面积；[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x|．（1）求不等式f（x﹣1）+f（2x﹣1）≤2x的解集；（2）若a＞0，b＞0，c＞0，且＝1，证明：f（x+a）+f（x﹣b﹣c）≥36．参考答案一、选择题（共12小题）.1．在复平面内，复数z＝对应的点的坐标为（）A．（3，2）B．（2，3）C．（﹣2，3）D．（3，﹣2）解：∵z＝＝，∴在复平面内，复数z＝对应的点的坐标为（3，﹣2）．故选：D．2．已知集合A＝{x|y＝ln（﹣x2﹣3x+4）}，B＝{y|y＝2}，则A∪B＝（）A．（﹣4，4]B．（0，1）C．（﹣∞，4]D．（﹣4，+∞）解：∵集合A＝{x|y＝ln（﹣x2﹣3x+4）}＝{x|﹣4＜x＜1}，B＝{y|y＝2}＝{x|0＜y≤4}，∴A∪B＝{x|﹣4＜x≤4}＝（﹣4，4]．故选：A．3．设命题p：∀x≤0，＝﹣x，则￢p为（）A．∀x≤0，≠﹣x B．∃x0≤0，＝﹣x0C．∀x＞0，＝﹣x D．∃x0≤0，≠﹣x0解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，即，∃x0≤0，≠﹣x0，故选：D．4．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝（弦+矢）×矢，弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差现有圆心角为，半径等于20米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（）（参考数据：π≈3.14，≈1.73）A．220平方米B．246平方米C．223平方米D．250平方米解：如图，由题意可得：∠AOB＝，OA＝20，在Rt△AOD中，可得：∠AOD＝，∠DAO＝，OD＝AO＝×20＝10，可得：矢＝20﹣10＝10，由AD＝AO•sin＝20×＝10，可得：弦＝2AD＝2×10＝20，所以：弧田面积＝（弦+矢）×矢＝（20+10）×10≈223平方米．故选：C．5．已知双曲线8x2﹣8y2＝﹣1有一个焦点在抛物线C：x2＝2py（p＞0）准线上，则p的值为（）A．2B．1C．D．解：双曲线8x2﹣8y2＝﹣1即为﹣＝1，∴c2＝+＝，∴c＝，∵抛物线C：x2＝2py（p＞0）准线为y＝﹣，∴﹣＝﹣，即p＝1，故选：B．6．已知正项递增等比数列{a n}的前n项和为S n，若a4+a7＝20，a4•a7＝64，则＝（）A．B．C．D．解：∵正项递增等比数列{a n}的前n项和为S n，a4+a7＝20，a4•a7＝64，∴a4，a7是一元二次方程x2﹣20x+64＝0的两个根，且a4＜a7，解方程x2﹣20x+64＝0，得a4＝4，a7＝16，∴，解得a1＝1，q3＝4，∴＝＝＝＝．故选：B．7．如图是用模拟方法估计圆周率π的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入（）A．P＝B．P＝C．P＝D．P＝解：随机输入X i∈（0，1），Y i∈（0，1），Z i∈（0，1），那么点P（X i，Y i，Z i）构成的区域为以1为边长的正方形，判断框内x2i+y2i+z2i≤1，若是，说说明点P（x i，y i，z i）在单位球内部（球）内，并累计记录点的个数M，若否，则说明点P（x i，y i）在单位圆内部（球）外，并累计记录点的个数N，第2个判断框i＞2000，是进入计算此时落在单位球内的点的个数为M，一共判断了2000个点，那么球的体积/正方体的体积＝，即＝，解得：π＝，（π的估计值），即执行框内计算的是P＝．故选：B．8．已知sin（θ﹣）cos（π+θ）＝cos2θ，且sinθ≠0，则tan（θ+）的值为（）A．B．C．2﹣D．2+解：∵sin（θ﹣）cos（π+θ）＝（sinθ﹣cosθ）•（﹣cosθ）＝cos2θ﹣sinθcosθ，∵cos2θ＝cos2θ﹣sin2θ，而已知sin（θ﹣）cos（π+θ）＝cos2θ，∴cos2θ﹣sinθcosθ＝cos2θ﹣sin2θ，即sinθcosθ＝sin2θ．∵sinθ≠0，∴tanθ＝2，则tan（θ+）＝＝＝2+，故选：D．9．某柱体的正视图与侧视图是全等的正方形，俯视图是圆，记该柱体的表面积为S1，其内切球的表面积为S2，且S1＝λS2，则λ＝（）A．1B．C．D．解：由题意知，该柱体是圆柱体，且底面圆的直径等于母线长，如图所示；设底面圆的半径为R，则圆柱的母线长为2R，内切球的半径也为R，则圆柱体的表面积为S1＝2πR2+2πR•2R＝6πR2，其内切球的表面积为S2＝4πR2，又S1＝λS2，则λ＝＝＝．故选：C．10．已知AB是半径为2的圆M的一条直径，四边形ABCD是圆M内接四边形，∠CMD＝120°，若P在线段CD上（端点C、D除外）运动，则•的取值范围是（）A．（0，3）B．（1，3）C．[﹣3，0）D．（﹣3，3）解：根据题意，建立平面直角坐标系，如图所示；不妨设CD∥AB，由AB＝4，∠CMD＝120°，得M（0，0），A（﹣2，0），B（2，0），C（，1），D（﹣，1），由P在线段CD上（端点C、D除外），可设P（x，1），其中x∈（﹣，）；则＝（﹣2﹣x，﹣1），＝（2﹣x，﹣1），所以•＝（﹣2﹣x）（2﹣x）+1＝x2﹣3；又x∈（﹣，），所以γx2﹣3∈[﹣3，0），即•的取值范围是[﹣3，0）．故选：C．11．已知椭圆C1：＝1（a＞b＞0），双曲线C2：﹣＝1，F1，F2分别为C2的左、右焦点，P为C1和C2在第一象限内的交点，若△PF1F2的内切圆的圆心的横坐标为2，C1和C2的离心率之积为，则该内切圆的半径为（）A．4﹣2B．4+2C．4﹣2D．4﹣2解：设△PF1F2的内切圆的圆心为I，且与PF1，PF2，F1F2的切点为M，N，K，可得|PM|＝|PN|，|F2N|＝|F2K|，|MF1|＝|F1K|，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|＝2b，即有|F1K|﹣|F2K|＝2b，又|F2K|+|F1K|＝2c，可得|F1K|＝c+b，可得内切圆的圆心I的横坐标为b＝2，C1和C2的离心率之积为，可得•＝，解得a＝4，可得椭圆方程为+＝1，即有|PF1|﹣|PF2|＝4，|PF1|+|PF2|＝8，解得|PF2|＝2，可得4﹣x P＝2，解得x P＝，P的纵坐标为，设内切圆的半径为r，可得r（|PF1|+|PF2|+|F1F2|）＝•4•，即r＝＝4﹣2．故选：A．12．已知函数f（x）＝+，若关于x的方程f2（x）﹣mf（x）+m2﹣1＝0恰好有4个不相等的实根，则m的取值范围是（）A．（1，+1）B．（0，+1）C．（1，）D．（0，）解：因为f（x）＝+，所以f′（x）＝，当0＜x＜1时，f′（x）＞0，当x＞1时，f′（x）＜0，即函数f（x）在（0，1）为增函数，在（1，+∞）为减函数，设t＝f（x），则关于x的方程f2（x）﹣mf（x）+m2﹣1＝0可化为t2﹣mt+m2﹣1＝0，设关于t的方程t2﹣mt+m2﹣1＝0有两根t＝t1，t＝t2，则关于x的方程f2（x）﹣mf（x）+m2﹣1＝0恰好有4个不相等的实根，等价于函数t＝f（x）的图象与直线t＝t1，t＝t2的交点个数为4个，函数t＝f（x）的图象与直线t＝t1，t＝t2位置关系如图，得：关于t的方程t2﹣mt+m2﹣1＝0有两不等实根，且t1，t2∈（0，），设g（t）＝t2﹣mt+m2﹣1，则有：，解得：1，故选：C．二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．如图，动点P（x，y）在平行四边形ABCD内部（含边界）运动，则z＝2x﹣4y的最小值为﹣12．解：由动点P（x，y）在平行四边形ABCD内部（含边界）运动，可行域如图，＝＝（1，0）+（﹣1，2）+（3，2）＝（2，4）．可得C（2，4）化目标函数z＝2x﹣4y的最小值为×2﹣4×4＝﹣12．故答案为：﹣12．14．将6个相同的小球放入4个不同的盒子中，要求不出现空盒，共有10种放法．（用数字作答）解：根据题意，将6个小球排成一排，排好后有5个可用的空位，在5个空位中任选3个，插入挡板，有C53＝10种情况，可以将6个小球分成4组，依次放入4个不同的盒子中即可，则有10种不同的放法；故答案为：10．15．已知函数f（x）＝，若f（x）≥f（1）恒成立，则正实数a的取值范围是（0，]．【解答】因为由f（x）≥f（1）恒成立，又f（1）＝0，故f（x）≥0恒成立．因为a＞0，故当x≥1时，f（x）＝alnx是增函数，所以f（x）≥f（1）＝0成立；当0≤x＜1时，恒成立，此时f′（x）＝x2﹣a，故f（x）在上单调递减，在（上单调递增，当a≥1时，f（x）在[0，1）上单调递减，故，解得；当0＜a＜1时，成立；综上可知，a的取值范围是．故答案为：（0，]．16．已知f（x）＝m sinωx﹣cosωx（m＞0，ω＞0），g（x）＝e x，若对∀x1∈R，∃x2∈[0，ln2]，使得f（x1）≤g（x2）成立，若f（x）在区间[0，π]上的值域为[﹣1，]，则实数ω的最大值为．解：已知f（x）＝m sinωx﹣cosωx＝sin（ωx+θ），其中tanθ＝；可得f（x）的最大值为，由g（x）＝e x在x∈[0，ln2]的最大值2，∴≤2，可得：0＜m≤．要使ω最大，周期T最小，那么x∈[0，π]上必然单调．∴．则ω≤2．根据区间[0，π]上的值域为[﹣1，]，可得（0＜m≤）∴m＝1，那么θ＝或，当θ＝时，则＝，k∈Z；∴ω＝．ω最大值为．当θ＝时则＝，k∈Z；∴ω＝﹣．可得ω最大值为．故答案为：．三、解答题(一）必考题:共60分17．已知数列{a n}，a1＝3，且对任意n∈N*，都有＝a n+1．（1）设b n＝a n+1﹣a n，判断数{b n}是否为等差数列或等比数列．（2）若a2＝5，c n＝，求数列{c n}的前2n项的和S2n．解：（1）数列{a n}，a1＝3，且对任意n∈N*，都有＝a n+1．所以：a n+2﹣a n+1＝a n+1﹣a n，所以：数列{a n}的公差为0时，b n+1＝b n＝0，所以：数列{b n}是等差数列，不是等比数列．当数列{a n}的公差不为0时，b n+1＝b n≠0，所以：数列{b n}既是等差数列，又是等比数列．（2）若a2＝5，由（1）知：a n+1﹣a n＝a2﹣a1＝2，所以：a n＝2n+1．则：，则：S2n＝S奇+S偶，＝（3+7+11+…+2n+1）+（42+44+…+42n），＝．18．某房产中介公司对2018年成都市前几个月的二手房成交量进行统计，y表示2018年x 月该中介公司的二手房成交量，得到统计表格如下：x i12345678y i1214202224202630（1）通过散点图初步分析可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；（计算结果精确到0.01）；（2）该房产中介为增加业绩，决定针对二手房成交客户开展抽奖活动．若抽中“一等奖”获5千元奖金；抽中“二等奖”获3千元奖金；抽中“祝您平安”，则没有奖金．已知一次抽奖活动中获得“一等奖”的概率为，获得“二等奖”的概率为，现有甲、乙两个客户参与抽奖活动，假设他们是否中奖相互独立，求此二人所获奖金总额X（千元）的分布列及数学期望．参考数据：x i y i＝850，x i2＝204，y i2＝3776，≈4.58，≈5.57．参考公式：相关系数r＝解：（1）由题意，计算＝4.5，＝21，又x i y i＝850，x i2＝204，y i2＝3776，≈4.58，≈5.57；所以相关系数r＝＝＝＝≈0.92；因为0.92非常趋近1，所以变量x、y线性相关性很强，可用线性回归模型拟合y与x的关系；（2）二人所获奖金总额X的所有可能取值有0，3，5，6，8，10千元，计算P（X＝0）＝×＝，P（X＝3）＝2××＝，P（X＝5）＝2××＝，P（X＝6）＝×＝，P（X＝8）＝2××＝，P（X＝10）＝×＝；所以随机变量X的分布列为：X0356810P数学期望为E（X）＝0×+3×+5×+6×+8×+10×＝5.5（千元）．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是等边三角形，四边形ABCD是矩形，CD＝，F为棱PA上一点，且AF＝λAP（0＜λ＜1），M为AD的中点，四棱锥P﹣ABCD的体积为．（1）若λ＝，N是PB的中点，求证：平面MNF∥平面PCD，（2）是否存在λ，使得平面FMB与平面PAD所成的二面角余弦的绝对值为？【解答】证明：（1）∵，∴F是A的中点，∵N是PB的中点，∴FN∥AB，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，故FN∥CD，∵CD⊂平面PCD，FN⊄平面PCD，∴FN∥平面PCD，FM∥DP，DP⊂平面PCD，FM⊄平面PCD，∴FM∥平面PCD，FM∩FN＝F，FM，FN⊂平面FMN，∴平面FMN∥平面PCD．解：（2）连结PM，过M作ME∥CD，交BC于E，由△PAD是等边三角形，得PM⊥AD，面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD＝AD，PM⊥AD，PM⊂面PAD，∴PM⊥平面ABCD，以M为原点，MA为x轴，ME为y轴，MP为z轴，建立空间直角坐标系，假设存在λ，满足题意，设，λ∈（0，1），则A（1，0，0），P（0，0，），B（1，，0），M（0，0，0），＝（1，，0），＝＝（﹣），则＝＝（1﹣），设面FMN的法向量＝（x，y，z），则，即，取y＝﹣，得＝（2，﹣，），取PAD的法向量＝（0，1，0），由题知|cos＜＞|＝＝＝，解得，∴存在λ＝，使得平面FMB与平面PAD所成的二面角余弦的绝对值为．20．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）上任意一点到其两个焦点F1，F2的距离之和等于2，焦距为2c，圆O：x2+y2＝c2，A1，A2是椭圆的左、右顶点，AB是圆O的任意一条直径，四边形A1AA2B面积的最大值为2．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，若直线l1：y＝kx+m（m≠0）与圆O相切，且与椭圆相交于M，N两点，直线l1与l2平行且与椭圆相切于P（O，P两点位于l1的同侧），求直线l1、l2距离d的取值范围．解：（1）椭圆C：＝1（a＞b＞0）中，2a＝2，解得a＝；又圆的直径AB⊥x轴时四边形A1AA2B的面积最大，最大为2ac＝2，解得c＝1，所以b2＝a2﹣c2＝4，所以椭圆C的方程为+＝1；（2）由直线l1：y＝kx+m（m≠0）与圆O相切，得＝1，即|m|＝；再设直线l2：y＝kx+n，联立，消去y得（5k2+4）x2+10knx+5n2﹣20＝0；所以△＝（10kn）2﹣4（5k2+4）（5n2﹣20）＝0，化简得n2＝5k2+4；因为d＝＝＝|1﹣|，且＝＝5﹣；由k2≥0，得0＜≤1，所以4≤＜5；由O、P两点位于l1的同侧，m、n异号，所以﹣＜≤﹣2；所以d＝1﹣∈[3，1+），即直线l1、l2距离d的取值范围是[3，1+）．21．已知函数f（x）＝x2+mln（1﹣x），其中m∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）存在两个极值点x1，x2，且x1＜x2，证明：f（x1）+f（x2）＞﹣ln4．解：（1）函数的定义域为（﹣∞，1），f′（x）＝x﹣＝，1﹣x＞0，令﹣x2+x﹣m＝0，判别式△＝1﹣4m，当△≤0，则f′（x）≤0恒成立，即f（x）在（﹣∞，1）上是减函数，当△＞0，即m＜时，由x2﹣x+m＝0，得x1＝，x2＝，若0＜m＜，则x1＜x2＜1，则当x＜x1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x1＜x＜x2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x2＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．若m≤0，则x1＜1≤x2，则x＜x1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，x1＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增综上m≤0时，f（x）的单调递减区间为（﹣∞，），单调递增区间为（，1）．0＜m＜时，f（x）的单调递减区间为（﹣∞，），（，1），单调递增区间为（，），m≥时，f（x）的单调递减区间为（﹣∞，1）．（2）函数的定义域为（﹣∞，1），f′（x）＝x﹣＝，若函数f（x）存在两个极值点x1，x2，且x1＜x2，∴f′（x）＝0在（﹣∞，1）上有两个不同的根x1，x2，设g（x）＝﹣x2+x﹣m，则，得0＜m＜，从而，且x1＜x2，得0＜x1＜，0＜x2＜，f（x1）+f（x2）＝x12+mln（1﹣x1）+x22+mln（1﹣x2）＝（x12+x22）+mln（1﹣x1）（1﹣x2）]＝[（x1+x2）2﹣2x1x2]+mln[（1﹣（x1+x2）+x1x2]＝（1﹣2m）+mlnm，构造函数h（x）＝xlnx﹣x+，0＜x＜，则h′（x）＝lnx＜0，即h（x）在0＜x＜上单调递减，∴h（x）＞h（）＝﹣ln4．即证．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系，曲线C的参数方程为，（θ为参数），P（x0，y0）是曲线C上的任意一点，动点Q（x，y）满足，记Q（x，y）轨迹为E，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极轴建立极坐标系，l的极坐标方程为θ＝（ρ∈R），A点的极坐标为（5，0）．（1）求E的普通方程；（2）若l与E交于M，N两点，求△AMN的面积；解：（1）由已知Q（x，y）满足及得，∴曲线E：x2+y2＝9，（2）由于l的极坐标方程为θ＝（ρ∈R），即为y＝x，A（5，0）∵|MN|＝6，d＝，S＝＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x|．（1）求不等式f（x﹣1）+f（2x﹣1）≤2x的解集；（2）若a＞0，b＞0，c＞0，且＝1，证明：f（x+a）+f（x﹣b﹣c）≥36．解：（1）f（x﹣1）+f（2x﹣1）＝|x﹣1|+|2x﹣1|，当x＞1时，|x﹣1|+|2x﹣1|＝3x﹣2≤2x，解得：x≤1，故1＜x≤2，当≤x≤1时，|x﹣1|+|2x﹣1|＝x≤2x，解得：x≥0，故≤x≤1，当x＜时，|x﹣1|+|2x﹣1|＝2﹣3x≤2x，解得：x≥，故≤x＜，综上，不等式的解集是{x|≤x≤2}；（2）由绝对值不等式的性质得：f（x+a）+f（x﹣b﹣c）＝|x+a|+|x﹣b﹣c|≥|x+a﹣x+b+c|＝a+b+c，∵a＞0，b＞0，c＞0，且＝1，∴a+b+c＝（a+b+c）（）＝1+4+9+++≥14+2+2+2＝36，当且仅当b＝2a，c＝3a时“＝”成立，故原命题成立．。

四川省成都市石室中学2020-2021学年高三上学期入学考数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题 1．若复数z 满足20171zi i=-，其中i 为虚数单位，则z =（ ） A ．1i -B ．1i +C ．1i --D ．1i -+2．已知集合(){}2ln 34A x y x x ==--+，{}222xB y y -==，则A B =（）A ．()0,1B ．(]4,4-C ．(],4-∞D ．()4,-+∞3．下列判断正确的是（）A ．命题“0x ∀>，201920190x +>”的否定是“00x ∃≤，020*******x +≤”B ．函数()f x =的最小值为2C ．“2x =”是“2x -=D ．若0a b ⋅<，则向量a 与b 夹角为钝角4．对于函数()44sin cos f x x x =-，下列结论不正确的是（）A ．在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上单调递增 B ．图像关于y 轴对称 C ．最小正周期为2πD ．值域为[]1,1-5．在如图的程序框图中，若输入m =77，n =33，则输出的n 的值是A ．3B ．7C ．11D ．336．某柱体的正视图与侧视图是全等的正方形，俯视图是圆，记该柱体的表面积为1S ，其内切球的表面积为2S ，且12S S λ=，则λ=（） A ．1B ．23C ．43D ．327．高三某6个班级从“照母山”等6个不同的景点中任意选取一个进行郊游活动，其中1班、2班不去同一景点且均不去“照母山”的不同的安排方式有多少种（ ） A ．2454C AB ．2456CC ．2454A AD ．2456A8．如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，2BE EA =，若3AB AC AD EC ⋅=⋅，则ABAC的值是（）A B ．2C D ．39．定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x -=，且1x 、[)21x ∈+∞,有()()12120x x f x f x ->-，若()()1g x f x =+，实数a 满足()()212log log 21g a g a g ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭则a 的最小值为（） A ．12B ．1C ．32D ．210．在平面区域2,20,0,x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩，内任取一点(,)P x y ，则存在α∈R ，使得点P 的坐标(,)x y满足(2)cos sin 0x y αα-+-=的概率为（ ） A ．3116π-B ．316π C ．434π- D ．116π-11．ABC 中，已知AB =BC =，7AC =，D 是边AC 上一点，将ABD △沿BD 折起，得到三棱锥A BCD -．若该三棱锥的顶点A 在底面BCD 的射影M 在线段BC 上，设BM x =，则x 的取值范围为（） A．(B．C．(D．(0,12．设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右顶点为A 、B ，P 是双曲线上不同于A 、B 的一点，设直线AP ，BP 的斜率分别为m 、n ，则当()4136ln ln 32a m nb mn mn ⎛⎫+-++ ⎪⎝⎭取得最小值时，双曲线C 的离心率为（） ABCD二、填空题13．若1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中第3项和第5项的二项式系数相等，则展开式中的常数项为________．14．已知圆()()222:42C x y r -+-=截y轴所得的弦长为过点()0,4且斜率为k 的直线l 与圆C 交于A 、B两点，若AB =k =________．15．已知抛物线24y x =的一条弦AB 经过焦点F ，O 为坐标原点，点M 在线段OB 上，且3OB OM =，点N 在射线OA 上，且3ON OA =，过M 、N 向抛物线的准线作垂线，垂足分别为C 、D ，则CD 的最小值为________．16．已知函数()()()12e e xf x m x x =----，若关于x 的不等式()0f x >有且只有一个正整数解，则实数m 的取值范围为________．三、解答题17．某高校在2021年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下表所示．（1）求频率分布表中n ，p 的值，并估计该组数据的中位数（保留l 位小数）； （2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试，则第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？（3）在（2）的前提下，学校决定从6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求第4组至少有1名学生被甲考官面试的概率．18．已知数列{}n a 和{}n b 满足11a =，10b =，1434n n n a a b +-=+，1434n n n b b a +-=-．（1）证明：{}n n a b +是等比数列，{}n n a b -是等差数列； （2）设12n n c a n =-+，求数列{}n n c ⋅的前n 项和n S ． 19．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD △是等边三角形，四边形ABCD 是矩形，CD =，F 为棱P A 上一点，且()01AF AP λλ=<<，M为AD 的中点，四棱锥P ABCD -的体积为3．（1）若12λ=，N 是PB 的中点，求证：平面//MNF 平面PCD ；（2）是否存在λ，使得平面FMB 与平面P AD ． 20．已知椭圆()2222C :10x y a b a b+=>>上任意一点到其两个焦点1F ，2F 的距离之和等于2c ，圆222:O x y c +=，1A ，2A 是椭圆的左、右顶点，AB 是圆O的任意一条直径，四边形12A AA B 面积的最大值为（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，若直线()1:0l y kx m m =+≠与圆O 相切，且与椭圆相交于M ，N 两点，直线2l 与1l 平行且与椭圆相切于P （O ，P 两点位于1l 的同侧），求直线1l ，2l 距离d 的取值范围．21．已知函数()ln m xf x x=，()()1g x n x =-+，其中0mn ≠． （1）若m n =，讨论()()()h x f x g x =+的单调区间；（2）若()()0f x g x +=的两根为1x ，2x ，且12x x >，证明：()121220g x x m x x ++<+． 22．在平面直角坐标系xoy ，曲线1:40C x y +-=，曲线2cos :1sin x C y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数），以坐标原点O 为 极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系. （1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程； （2）射线:0,02l a a πθρ⎛⎫=≥<< ⎪⎝⎭分别交1C ，2C 于M ，N 两点，求ON OM的最大值.参考答案1．A 【详解】 由2017i 1iz=-，得()()()50420174i 1i i i 1i 1z i =-=-=+，则1i z =-，故选A. 2．B 【分析】由二次不等式的解法可得：()4,1A =-，由指数函数的值域的求法可得：(]0,4B =， 再结合并集的运算可得：(]4,4A B =-，得解.【详解】解：解不等式2340x x --+>，解得41x -<<，即()4,1A =-， 又因为222x -≤，所以22024x -<≤，即(]0,4B =，即 (]4,4AB =-，故选B. 【点睛】本题考查了二次不等式的解法、指数函数的值域的求法及并集的运算，属基础题. 3．C 【解析】 【分析】由全称命题的否定为特称命题可得：命题的否定是“00x ∃>，020*******x +≤”，选项A 错误，由()g t 在[)3,+∞为增函数，即 min 10()3g t =，即B 错误；由根式方程的求法得“2x =”是“2x -=C 正确，由向量的夹角可得向量a 与b 夹角为钝角或平角，即D 错误，得解. 【详解】解：对于选项A ，命题“0x ∀>，201920190x +>”的否定是“00x ∃>，020*******x +≤”，即A 错误；对于选项B ，令t ，则3t ≥，则1()g t t t=+，3t ≥，又()g t 在[)3,+∞为增函数，即 min 10()(3)3g t g ==，即B 错误；对于选项C ，由“2x =”可得“2x -=由“2x -=220x x -=-=，解得“2x =”，即 “2x =”是“2x -=C 正确，对于选项D ，若0a b ⋅<，则向量a 与b 夹角为钝角或平角，即D 错误， 故选C. 【点睛】本题考查了全称命题的否定、均值不等式的应用、根式方程的求法及向量的夹角，属基础题. 4．C 【解析】 【分析】由2222sin cos 1,cos sin cos 2x x x x x +=-=，求得()f x =cos2x -，再利用()f x 的性质即可得解. 【详解】解：因为()44sin cos f x x x =-2222(sin cos )(sin cos )x x x x =-+22sin cos cos 2x x x =-=-，则函数是在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上单调递增的偶函数，且值域为[]1,1-，周期为22ππ=， 即选项,,A B D 正确，选项C 错误， 故选C. 【点睛】本题考察了三角恒等变换及函数()f x =cos2x -的性质，属基础题. 5．C 【解析】这个过程是7723311=⨯+，33311=⨯，故所求的最大公约数是11．6．D 【分析】由空间几何体的三视图可得此柱体为底面直径与高相等的圆柱， 设底面圆的半径为r ，则此柱体内切球的半径为r ，由圆柱体表面积及球的表面积公式可得：216S r π=，224S r π=，运算即可得解.【详解】解：由已知可得：此柱体为底面直径与高相等的圆柱， 设底面圆的半径为r ，则高为2r ,则22122(2)6S r r r r πππ=+⋅=，又此柱体内切球的半径为r ，则224S r π=，则21226342S r S r πλπ===， 故选D. 【点睛】本题考察了空间几何体的三视图、圆柱体表面积及球的表面积的运算，属中档题. 7．D 【解析】试题分析：1班、2班的安排方式有25A 种，剩余4个班的安排方式有46种，所以共有2456A 各安排方式，故选D ． 考点：计数原理． 8．A 【解析】 【分析】将AB ,AC 作为平面向量的一组基底，再利用平面向量基本定理可得AD EC ⋅=22111263AC AB AB AC -+,再由3AB AC AD EC ⋅=⋅运算即可得解. 【详解】解：因为在ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，2BE EA =，所以1()()2AD EC AB AC AC AE ⋅=+-=11()()23AB AC AC AB +-= 22111263AC AB AB AC -+, 又3AB AC AD EC ⋅=⋅，所以2211026AC AB -=，即3AB AC =, 故选A. 【点睛】本题考察了平面向量基本定理，属中档题. 9．A 【分析】由()()2f x f x -=，则函数()f x 的图像关于直线1x =对称，由1x 、[)21x ∈+∞,有()()12120x x f x f x ->-，即函数()f x 在[)1,+∞为增函数， 又()()1g x f x =+，则函数()g x 为偶函数，且在[)0,+∞为增函数， 再由()g x 的性质得不等式2log 1a ≤，求解即可. 【详解】解:由函数()f x 满足()()2f x f x -=，则函数()f x 的图像关于直线1x =对称， 又1x 、[)21x ∈+∞,有()()12120x x f x f x ->-，即函数()f x 在[)1,+∞为增函数，又()()1g x f x =+，则函数()g x 为偶函数，且在[)0,+∞为增函数，又()()212log log 21g a g a g ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭， 所以()()()222log log 2(log )21g a g a g a g +-=≤， 所以2log 1a ≤，即122a ≤≤， 则a 的最小值为12， 故选A.【点睛】本题考查了函数图像的对称性及函数的单调性，再利用对称性及函数的单调性求解不等式，属中档题. 10．A 【分析】先求出平面区域的面积，找到()2cos sin 0x y αα-+=的成立条件，利用几何概型的公式求解． 【详解】画出平面区域2,20,0,x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩图中OBA ∆边界及内部是所表示的平面区域，如下图所示：()2cos sin 0x y αα-+=)αϕ⇒+=≥它表示在已知平面区域内，圆心(2,0)的圆外（包括圆周），如上图所示：解方程组：22243(,)204333x x y B x y y ⎧=⎪+=⎧⎪⇒⇒⎨⎨-=⎩⎪=⎪⎩，01423AB y S OA B ∆=⨯⨯=，在已知平面区域内，圆心(2,0)的圆内（包括圆周）的面积为1S ，21453604S ππ⨯⨯==所求的概率13116OAB OAB S S P S π∆∆-==-，故本题选A ．【点睛】本题考查了几何概型,解决本题的关键是对存在R α∈，使得点P 的坐标(),x y 满足()2cos sin 0x y αα-+=，这句话的理解．11．B 【分析】根据题意可得：折叠前在图1中，AM BD ⊥，垂足为N ，在图1中过A 作1AM BC ⊥于1M ，运动点D ，可得当点D 与点C 无限接近时，折痕BD 接近BC ,此时M 无限接近1M ，1BM BM <，在图2中，由于AB 是Rt ABM ∆的斜边，所以BM AB <,即可得：1BM BM AB <<,再在ABC ∆由余弦定理求得60ABC ∠=，然后在1Rt ABM ∆中求得1BM =.【详解】解：因为将ABD △沿BD 折起，得到三棱锥A BCD -．且顶点A 在底面BCD 的射影M 在线段BC 上，所以在图2中，AM BCD ⊥平面,,MN AN 都与BD 垂直，因此折叠前在图1中，AM BD ⊥，垂足为N ，在图1中过A 作1AM BC ⊥于1M ， 运动点D ，可得当点D 与点C 无限接近时，折痕BD 接近BC ,此时M 无限接近1M ，所以1BM BM <，在图2中，由于AB 是Rt ABM ∆的斜边，BM 是直角边，所以BM AB <,因此可得：1BM BM AB <<,又因为AB =BC =，7AC =，所以1cos 2ABC ∠==，即60ABC ∠=，由此可得在1Rt ABM ∆中，1cos607BM AB ==BM << 又BM x =，则x的取值范围为，故选B.【点睛】本题考查了余弦定理及线面垂直，属综合性较强的题型. 12．D 【分析】由题意设出A,B 的坐标，代入双曲线方程，写出AP ，BP 的斜率分别为m 、n ， 求出mn ，代入()4136ln ln 32a m nb mn mn ⎛⎫+-++ ⎪⎝⎭，换元后利用导数求最值，求出取最小值的条件，再求得双曲线离心率即可. 【详解】解：设0,0(,)P x y ，又(,0),(,0)A a B a -, 则00y m x a =+，00y n x a=-， 所以200022000y y y mn x a x a x a =⋅=+--=22b a ， 所以()4136ln ln 32a m n b mn mn ⎛⎫+-++ ⎪⎝⎭=3246()()()3ln 3a a a a b b bb+--，设at b=，0t >， 则324()63ln 3g t t t t t =+--，则32'234263()642t t t g t t t t t -+-=+--==2(23)(21)t t t+-，当102t <<时，'()0g t <，当12t >时，'()0g t >， 则函数()g t 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭为减函数，在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭为增函数，即当12t =即12a b =，即c e a ===()g t 取最小值， 故选D. 【点睛】本题考查了利用导数求函数最值及双曲线离心率，属中档题. 13．20- 【分析】由已知可得2nC =4nC ,解得6n =，则有61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为1r T +=(1)r-r 6 C 62r x -,再令620r -=，解出r 代入运算即可得解. 【详解】解：由1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中第3项和第5项的二项式系数相等，即2n C =4n C ,解得6n =，则61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为1r T +=(1)r-r 6 C 62r x -,令620r -=，解得3,r =即展开式中的常数项为3(1)-36C =-20,故答案为：-20. 【点睛】本题考查了二项式定理、二项式系数及展开式常数项，属基础题.14．34【分析】由圆中弦长的运算可得：222418r =+=，4=，运算可得解.【详解】解：由题意有222418r =+=， 由已知可设直线方程l 为4y kx =+， 设圆心（4,2）到直线l 的距离为d ，则2218d =+， 即4d =，4=，解得34k =， 故答案为：34. 【点睛】本题考查了圆中弦长的运算及点到直线的距离公式，属中档题. 15．4 【分析】设直线AB 的方程为1x my =+，代入抛物线24y x =消x 得：2440y my --=，则CD =21133y y -=221123y y +，再利用基本不等式即可得解. 【详解】设直线AB 的方程为1x my =+，代入抛物线24y x =消x 得：2440y my --=，设112,2(,),()A x y B x y ，则12124,4y y m y y +==-，所以CD =21133y y -=221123y y+4≥=， 则CD 的最小值为4. 【点睛】本题考查了直线与抛物线的关系及基本不等式的应用，属中档题.16．32e ee m +<≤【分析】设()+()2e e x g x x =-，所以()'()1e ,xg x x =-当1x >时，'()0,g x >函数()g x 单调递增，当1x <时，',()0g x <函数()g x 单调递减，又关于x 的不等式()0f x >有且只有一个正整数解，则(1)y m x =-的图像在()y g x =图像的上方只有一个正整数值，分别作出()y g x =与(1)y m x =-的图像观察可得32(3)(2)m g e em g e ⎧≤=+⎨>=⎩，求解即可. 【详解】解：由不等式()0f x >，所以()()2e +1e xm x x ->-，设()+()2e e xg x x =-，所以()'()1e ,xg x x =-当1x >时，'()0,g x >函数()g x 单调递增，当1x <时，',()0g x <函数()g x 单调递减，所以()(1)0g x g ≥=，当x →+∞时，()g x →+∞，当x →-∞时，()g x e →，若关于x 的不等式()0f x >有且只有一个正整数解，则(1)y m x =-的图像在()y g x =图像的上方只有一个正整数值，分别作出()y g x =与(1)y m x =-的图像可知：32(3)(2)m g e em g e ⎧≤=+⎨>=⎩，即32e ee m +<≤.【点睛】本题考查了不等式与函数的关系，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题. 17．（1）35n =，0.300p =，中位数估计值为171.7（2）第3、4、5组每组各抽学生人数为3、2、1（3）35【解析】 【分析】（1）由频率分布表可得：35n =，0.300p =，由中位数的求法可得中位数估计值为171.7； （2）因为笔试成绩高的第3、4、5组的人数之比为3:2:1，由分层抽样的方法选6名学生，三个小组分别选的人数为3、2、1；（3）先列举出从6名学生中随机抽取2名学生的不同取法，再列举出第4组至少有1名学生被甲考官面试的取法，再结合古典概型的概率公式即可得解.【详解】解：（1）由已知：5302010100n ++++=，0.5000.3500.2000.100 1.000p ++++=，35n ∴=，0.300p =，中位数为0.11700.06+≈171.7， 即中位数估计值为171.7，（2）由已知，笔试成绩高的第3、4、5组的人数之比为3:2:1，现用分层抽样的方法选6名学生．故第3、4、5组每组各抽学生人数为3、2、1． （3）在（2）的前提下，记第3组的3名学生为1c ，2c ，3c ，第4组的2名学生为1d ，2d ，第5组的1名学生为1e ，且“第4组至少有1名学生被甲考官面试”为事件A ．则所有的基本事件有：()12,c c ，()13,c c ，()11,c d ，()12,c d ，()11,c e ，()23,c c ，()21,c d ，()22,c d ，()21,c e ，()31,c d ，()32,c d ，()31,c e ，()12,d d ，()11,d e ，()21,d e ，一共15种．A 事件有：()11,c d ，()12,c d ，()21,c d ，()22,c d ，()31,c d ，()32,c d ，()12,d d ，()11,d e ，()21,d e ，一共9种．()93155P A ∴==， 答：第4组至少有1名学生被甲考官面试的概率为35． 【点睛】本题考查了样本数据的中位数、分层抽样及古典概型的概率公式，属基础题.18．（1）证明见解析（2）()222n nn S +=-【分析】（1）由已知有{}n n a b +是首项为1，公比为12的等比数列，{}n n a b -是首项为1，公差为2的等差数列．即命题得证； (2)由1122n n a n =+-，得12n nc =，即2n n n n c ⋅=， 再利用错位相减法求和即可得解. 【详解】解：（1）由题设得()()1142n n n n a b a b +++=+，即()1112n n n n a b a b +++=+， 又因为111a b ，所以{}n n a b +是首项为1，公比为12的等比数列． 由题设得()()11448n n n n a b a b ++-=-+， 即112nn n n a b a b ．又因为111a b -=，所以{}n n a b -是首项为1，公差为2的等差数列． （2）由（1）知，112n n n a b -+=，21n n a b n ．所以()()111222n n n n n n a a b a b n =++-=+-⎡⎤⎣⎦， 所以1122n n n c a n =-+=．所以2n n nn c ⋅=， 则23123...2222n n nS =++++,① 则23411123 (22222)n n nS +=++++，② ①-②整理可得：()222n nn S +=-.【点睛】本题考查了等比数列的通项公式及错位相减法，属中档题. 19．（1）详见解析（2）存在12λ=，使得平面FMB 与平面P AD 所成的二面角余弦的绝对值【解析】 【分析】（1）由已知有//FN PCD 面，//FM PCD 面,即可证明//MNF 平面PCD ；（2）建立以M 为原点，MA 为x 轴，ME 为y 轴，MP 为z 轴建立空间直角坐标系M xyz -，则可得FMN的法向量为2,m ⎛= ⎝，取面PAD 的法向量()0,1,0n =，由向量的数量积公式计算可得解. 【详解】 解：（1）因为12λ=，所以F 是AP 的中点，又因为N 是PB 的中点，所以//FN AB ，由四边形ABCD 是矩形，得//AB CD ，故//FN CD ，////FN CD CD PCD FN PCD FN PCD ⎧⎪⊂⇒⎨⎪⊄⎩面面面 ////FN DP DP PCD FM PCD FM PCD ⎧⎪⊂⇒⎨⎪⊄⎩面面面 //////,FM PCD FN PCDFM FN F PCD FMN PCD FM FN FMN⎧⎪⎪⎨I =⇒⎪⎪⊂⎩面面面面面面； （2）连接PM ，过M 作//ME CD 交BC 于E ，由PAD △是等边三角形，得PM AD ⊥，PAD ABCD PAD ABCD ADPM ABCD PM AD PM PAD⊥⎧⎪I =⎪⇒⊥⎨⊥⎪⎪⊂⎩面面面面面面，以M 为原点，MA 为x 轴，ME 为y 轴，MP 为z 轴建立空间直角坐标系M xyz -，假设存在λ，满足题意，设AF AP λ=，()0,1λ∈，则()1,0,0A，(P，()B ，()0,0,0M，()1,MB =，(AF AP λλ==-，则()1MF MA AF λ=+=-， 设面FMN 的法向量为(),,m x y z =，所以()00010x m MF m MB x z λ⎧+=⎧⋅=⎪⇒⎨⎨⋅=-=⎩⎪⎩，取y =，得2,m ⎛= ⎝，取面PAD 的法向量()0,1,0n =，由题知：cos ,m n ==，解得12λ=，所以，存在12λ=，使得平面FMB 与平面PAD 所成的二面角余弦的绝对值为11【点睛】 本题考查了线线平行证明面面平行及已知二面角利用空间向量求参数的值，属综合性较强的题型.20．（1）22154x y +=（2）3,1⎡+⎣ 【分析】（1）由椭圆的定义知：2a =a ∴=AB x ⊥轴时四边形12A AA B 的面积最大，最大为2ac =1c =，即椭圆方程得解；（2）由直线()1:0l y kxm m =+≠与圆O 相切，可得m =，由椭圆与直线相切可得：2254n k =+，由两平行线的距离公式可得1n d m m n m ===--， 又22151n m k ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，则可得2n m <≤-，代入运算即可得解. 【详解】解：（1）由椭圆的定义知：2a=a =又当直径AB x ⊥轴时四边形12A AA B的面积最大，最大为2ac =1c =，2b =∴椭圆22:154x y C += （2）因为直线()1:0l y kx m m =+≠与圆O相切，1=m ∴=又设直线2:l y kx n =+，联立22154x y y kx n ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 有()22254105200k x knx n +++-= ()()()222104545200kn k n ∴∆=-+-=化简有2254n k =+因为1n d m m n m ===--， 又2222541511n k m k k +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，又20k ≥，21011k <≤+，245n m ⎛⎫∴≤< ⎪⎝⎭ 又由O ，P 两点位于1l 的同侧，m ，n异号，2n m<≤-13,1n d m ⎡∴=-∈⎣. 【点睛】 本题考察了椭圆方程的求法及点到线的距离公式，属中档题.21．（1）答案不唯一，具体见解析（2）详见解析【分析】（1）由已知可得：()()2221ln '11ln x m h x m x x x x-⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，则0m >()h x 的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞；0m <，()h x 的单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+∞．（2）依题意，()2111ln m x n x x =+①，同理，()2222ln m x n x x =+②，由①-②得，()()()221112212122ln 1x m n x x x x n x x x x x =+--=-++，要证()121220g x x m x x ++<+，即证：12112221ln 01x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭+>+，设令121x t x =>，构造函数()1ln 21t p t t t -=++，利用导数证明1t ∀>，()0p t >，即可得证．【详解】解：（1）由已知得()()()ln 1x h x f x g x m x x ⎛⎫=+=-- ⎪⎝⎭， 所以()()2221ln '11ln x m h x m x x x x-⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭， 当01x <<时，210x ->，ln 0x ->，21ln 0x x ∴-->；当1x >时，210x -<，ln 0x -<，21ln 0x x ∴--<．故若0m >，()h x 的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞；若0m <，()h x 的单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+∞．（2）依题意()111ln 1x m n x x =+，()2111ln m x n x x ∴=+①， 同理，()2222ln m x n x x =+②由①-②得，()()()221112212122ln 1x m n x x x x n x x x x x =+--=-++， ()()121212ln1x m x n x x x x ∴++=-，()()11212221ln 1x g x x n x x x m m x x +-++==-，要证()121220g x x m x x ++<+，即证122112ln 20x x x x x x +<-+， 即证：12112221ln 01x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭+>+， 令121x t x =>，即证()1ln 201t p t t t -=+>+，1t ∀>． ()()()()222114'011t p t t t t t -=-=>++， ()p t ∴在区间[)1,+∞上单调递增，即1t ∀>，()()10p t p >=．故原命题得证．【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调性及构造函数再利用导数求函数的最值，从而解决不等式恒成立问题，属综合性较强的题型.22．（1）cos sin 40ρθρθ+-=，2sin ρθ=；（2【解析】【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化；（2）利用三角函数关系式的恒等变换，变形成正弦型函数，进一步求出函数的最值．【详解】（1）因为 ，，， 所以 的极坐标方程为cos sin 40ρθρθ+-= ，因为 的普通方程为， 即 ，对应极坐标方程为． （2）因为射线:(0,0)2l πθαρα=≥<<，则()()12,,,M N ραρα ，则124,2sin sin cos ρρααα==+，所以()211sin sin cos 2OM ON ραααρ==+＝12444πα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ 又 ，32,444πππα⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， 所以当 242ππα-=，即38πα= 时，OM ON 取得最大值 14【点睛】 本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用．。

成都石室中学2021届高三下期入学考试理综参考答案1.D2.B3.B4.A5.C6.D7.B8.D9.C 10.C 11.D 12.A 13.C14.C 15.C 16.C 17 A 18.B 19.BC. 20.AC 21.BD22.答案 (1)5.90 (2)d 22gLt 2 (3)偏小 解析 (1)游标卡尺的读数为d ＝5 mm ＋18×120mm ＝5.90 mm ； (2)小滑块通过光电门时的速度为v ＝d t ，根据动能定理可得－μmgL ＝0－12m ⎝ ⎛⎭⎪⎫d t 2，解得μ＝d 22gLt2； (3)小滑块做匀减速直线运动，因为小滑块通过光电门的速度为其平均速度，即中间时刻的速度，此时挡光片中心已经通过光电门，相比中心通过光电门的速度偏小，根据－μmgL ＝0－12mv 2可得μ＝v 22gL，故测量值偏小．23.答案 (1)如图所示(2)R 5 1.80 0.50 (3)0.90解析 (1)实验小组将灵敏电流计G 与两个定值电阻组装，改装成一量程为0.6 A 的电流表，所以先将灵敏电流计G 与R 2串联，满偏电压为U g ＝I g (R 2＋R g )＝0.9 V ，再与R 1串联，电流量程为I ＝I g ＋U gR 1＝0.15 A ＋0.45 A ＝0.6 A ，电路图为 (2)根据欧姆定律R ＝U I 可知，接在电路中滑动变阻器最大值为R ＝1.700.05Ω＝34 Ω，滑动变阻器应该选用R 5；根据U ＝E －I (r ＋R A )，代入其中两组数据，可得1.70＝E －0.05(r ＋R A )，1.00＝E －0.4(r ＋R A )其中R A ＝R 1(R 2＋R g )(R 2＋R g )＋R 1＝1.5 Ω， 解得E ＝1.80 V ，r ＝0.50 Ω；(3)调节滑动变阻器阻值，当滑动变阻器的阻值为R 滑＝R A ＋r ＝2 Ω时，其在该电路中的功率最大，直流电压传感器的示数为U ＝ER 滑r ＋R A ＋R 滑＝0.90 V. 24. (1)由图像知t 1＝12 s 时的速度v 1＝9 m/s a ＝v 1－0t 1＝0.75 m/s 2。

2021年四川省成都市石室蜀都中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知正项等比数列满足，与的等差中项为，则的值为（）A．4 B．2 C．D．参考答案：A2. 定义域为R的函数f(x)满足，则不等式的解为A. B. C.(1,+∞) D. (2,+∞)参考答案：C3. 设函数为定义在R上的奇函数，当时，（为常数），则（）A．3 B．1 C．D．参考答案：A4. 如果数列，，，…，，…是首项为，公比为的等比数列，则等于（）A． B． C． D．参考答案：A5. 已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0），过其左焦点F作x轴的垂线，交双曲线于A，B两点，若双曲线的右顶点在以AB为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，）B．（1，2）C．（，+∞）D．（2，+∞）参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【分析】由右顶点M在以AB为直径的圆的外，得|MF|＞|AF|，将其转化为关于a、b、c的式子，再结合平方关系和离心率的公式，化简整理得e2﹣e﹣2＜0，解之即可得到此双曲线的离心率e的取值范围．【解答】解：由于双曲线﹣=1（a＞0，b＞0），则直线AB方程为：x=﹣c，因此，设A（﹣c，y0），B（﹣c，﹣y0），∴=1，解之得y0=，得|AF|=，∵双曲线的右顶点M（a，0）在以AB为直径的圆外，∴|MF|＞|AF|，即a+c＞，将b2=c2﹣a2，并化简整理，得2a2+ac﹣c2＞0两边都除以a2，整理得e2﹣e﹣2＜0，∵e＞1，∴解之得1＜e＜2．故选：B．6. 设函数，若关于x的方程f(x)＋m＝0对任意的m(0，1)有三个不相等的实数根，则a的取值范围是A.(－∞，－2]B.[2，＋∞)C.[－2，2]D.(－∞，－2]∪[2，＋∞)参考答案：7. 已知奇函数f（x）满足f（x+1）=f（x-l），给出以下命题：①函数f（x）是周期为2的周期函数；②函数f（x）的图象关于直线x=1对称；③函数f（x）的图象关于点（k，0）（k∈Z）对称；④若函数f（x）是（0，1）上的增函数，则f（x）是（3，5）上的增函数，其中正确命题的是( )A．①③ B．②③ C．①③④ D．①②④参考答案：A略8. 一个几何体的三视图如图所示，该几何体的各个表面中，最大面的面积为A. B. C.2 D. 4参考答案：B9. 函数的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中m，n均大于0，则的最小值为（）A．2 B．4 C．8 D．16参考答案：C 10. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值为A.102B.410C.614D. 1638参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 下列结论：①若命题命题则命题是假命题；②已知直线则的充要条件是；③命题“若则”的逆否命题为：“若则”其中正确结论的序号是_____________.（把你认为正确结论的序号都填上）参考答案：(1)(3)略12. 动点P从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A出发，沿着棱运动到顶点C1后再到A，若运动中恰好经过6条不同的棱，称该路线为“最佳路线”，则“最佳路线”的条数为（用数字作答）．参考答案：18【考点】排列、组合的实际应用；棱柱的结构特征．【分析】根据分步计数和分类计数原理即可求出答案【解答】解：从A点出发有3种方法，（A1，B，D），假如选择了A1，则有2种选法（B1，D1）到C1，再从C1出发，若选择了（B1，或D1），则只有一种方法到A，若选择了C，则有2种方法到A，故“最佳路线”的条数为C31C21（1+2）=18种，故答案为：1813.设函数，若，则.参考答案：14. 已知直线和的夹角为，则的值为 .参考答案：或15. 若点为抛物线上一点，则抛物线焦点坐标为；点到抛物线的准线的距离为．参考答案：，略16. 若函数f（x）=（a＞0且a≠1）的值域是[4，+∞），则实数a的取值范围是．参考答案：（1，2]【考点】对数函数的单调性与特殊点．【分析】当x≤2时，满足f（x）≥4．当x＞2时，由f（x）=3+log a x≥4，即log a x≥1，故有log a2≥1，由此求得a的范围，综合可得结论．【解答】解：由于函数f（x）=（a＞0且a≠1）的值域是[4，+∞），故当x≤2时，满足f（x）=6﹣x≥4．当x＞2时，由f（x）=3+log a x≥4，∴log a x≥1，∴log a2≥1，∴1＜a≤2．综上可得，1＜a≤2，故答案为：（1，2]．17. 函数的最小正周期是__________．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2021年四川省成都市石室中学高考数学三诊试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.集合A={y|y=2x,x≤0}，B={−1,0，1，2}，则A∩B=()A. {1}B. {0}C. {1,2}D. {−1,0}2.设i为虚数单位，若复数z满足(2+i)z=5，则|z|=()A. 5B. √55C. √5D. 2√53.若实数x，y满足约束条件{x+y−3≤0x−y+1≥0y≥0，则z=x+2y的最大值为()A. −1B. 1C. 3D. 54.下列说法错误的是()A. “a>1”是“1a<1”的充分不必要条件B. 在回归直线ŷ=0.5x−85中，变量x=200时，变量y的值一定是15C. 命题p：∃x0∈R，x02+x0+1<0，则￢p：∀x∈R，x2+x+1≥0D. 若α∩β=1，m⊂α，n⊂β，α⊥β，m⊥l，则m⊥n5.多项式(x−2x)(1−x)4的展开式中含x2项的系数为()A. −2B. −4C. 2D. 46.已知函数f(x)=ae x+x2的图象在点M(1,f(1))处的切线方程是y=(2e+2)x+b，那么ab=()A. 2B. 1C. −1D. −27.已知函数f(x)=xsinx，则其大致图象是下列图中的()A.B.C.D.8. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，讲的是关于整除的问题(如7被3除余1：1被2除余1).现有这样一个整除问题：将1到100这100个正整数中能被2除余1且被3除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{a n }，则数列{a n }各项的和为( )A. 736B. 816C. 833D. 298009. 函数f(x)=sin(ωx +φ)(|φ|<π2)的图象如图所示，为了得到g(x)=sin3x 的图象，只需将f(x)的图象( )A. 向右平移π4个单位长度 B. 向左平移π4个单位长度 C. 向右平移π12个单位长度D. 向左平移π12个单位长度10. 《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥P −ABC为鳖臑，PA ⊥平面ABC ，PA =BC =4，AB =3，AB ⊥BC ，若三棱锥P −ABC 有一个内切球O ，则球O 的体积为( )A. A 9π2B. 9π4C. 9π16D. 9π11. 已知函数y =f(x −1)的图象关于x =1对称，满足f(2−x)=f(x)，且f(x)在(−1,0)上递减.若a =f(5−12)，b =f(−ln2)，c =f(log 318)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. a <c <bB. c <b <aC. a <b <cD. b <a <c12. 已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左，右焦点，过点F 1作斜率为√22的直线l 与双曲线的左，右两支分别交于M ，N 两点，以F 2为圆心的圆过M ，N ，则双曲线C 的离心率为( )A. √2B. √3C. 2D. √5二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 记S n 为递增等比数列{a n }的前n 项和，若a 1a 2a 3=8，a 4=a 3+4，则S 10的值为______ ．14. 已知向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=1，|b ⃗ |=2，且a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为π3，则向量a ⃗ −b ⃗ 与b ⃗ 的夹角为______ ．15. 已知直线经过抛物线y 2=2px(p >0)的焦点F ，并交抛物线于A ，B 两点，则|AF|=4，且在抛物线的准线上的一点C 满足CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则p = ______ ． 16. 函数f(x)的定义域为D ，若满足：(1)f(x)在D 内是单调函数；(2)存在[m 2,n2]⊆D ，使得f(x)在[m 2,n2]上的值域为[m,n]，那么就称函数f(x)为“梦想函数”．若函数f(x)=log a (a x +t)(a >0,a ≠1)是“梦想函数”，则t 的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，且满足c =acosB −√33bsinA ．(I)求角A 的大小；(Ⅱ)若c =2，△ABC 的面积为√32，D 为边BC 的中点，求AD 的长度．18. 在如图所示的圆柱O 1O 2中，AB 为圆O 1的直径，C ，D 是AB⏜的两个三等分点，EA ，FC ，GB 都是圆柱O 1O 2的母线． (1)求证：FO 1//平面ADE ；(2)若BC =FC =2，求二面角B −AF −C 的余弦值．19.2021年3⋅15期间，某家具城举办了一次家具有奖促销活动，消费每超过1万元(含1万元)，均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有10个形状与大小完全相同的小球(其中红球2个，白球1个，黑球7个)的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，则打5折；若摸出2个红球和1个黑球则打7折；若摸出1个白球2个黑球，则打9折：其余情况不打折.方案二：从装有10个形状与大小完全相同的小球(其中红球2个，黑球8个)的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减2000元．(1)若一位顾客消费了1万元，且选择抽奖方案一，试求该顾客享受7折优惠的概率；(2)若某顾客消费恰好满1万元，试从数学期望的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？20.已知椭圆M：x2a2+y2b2=1(a>b>0)离心率为√32，点P(√3,12)在椭圆M上．(1)求椭圆M的方程；(2)设O为坐标原点，A，B，C是椭圆M上不同的三点，且O为△ABC的重心，探究△ABC面积是否为定值，若是求出这个定值；若不是，说明理由．21.已知函数f(x)=2x−alnx+4a，(a∈R)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)令g(x)=f(x)−sinx，若存在x1，x2∈(0,+∞)，且x1≠x2时，g(x1)=g(x2)，证明：x1x2<a2．22.直线l：ρcos(θ−π6)=2，圆C：ρ=2sinθ.以极点O为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系xOy．(1)求直线l的直角坐标方程和圆C的参数方程；(2)已知点P在圆C上，点P到直线l和x轴的距离分别为d1，d2，求d1+d2的最大值．23.设函数f(x)=|3x−1|+|2x+2|的最小值M．(1)求M；(2)已知a、b、c均为正实数，且a+b+c=9M，求证：(24a −1)(24b−1)(24c−1)≥8．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵A ={y|y =2x ,x ≤0}={y|0<y ≤1}，B ={−1,0，1，2}， ∴A ∩B ={y|0<y ≤1}∩{−1,0，1，2}={1}． 故选：A ．求解指数函数的值域化简A ，再由交集运算得答案． 本题考查指数函数的值域，考查交集及其运算，是基础题．2.【答案】C【解析】解：∵复数z 满足(2+i)z =5， ∴z =52+i =5(2−i)(2+i)(2−i)=10−5i 4−i 2=2−i ．∴|z|=√4+1=√5． 故选：C ．利用复数的运算法则直接求解．本题考查复数的模的求法，考查复数的运算法则、复数的模等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】D【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立{x −y +1=0x +y −3=0，解得A(1,2)，由z =x +2y ，化为y =−x2+z2，由图可知，当直线y=−x2+z2过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为5．故选：D．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．4.【答案】B【解析】解：当a>1，可得1a <1，即为充分条件，当1a<1时，可得a>1或a<0，即为不必要条件，故A选项正确，当变量x=200时，回归直线ŷ=0.5x−85=0.5×100−85=15，说明y的值在15附近波动，故B选项错误，特称命题的否定为全称命题，故C选项正确，∵α∩β=1，m⊂α，m⊥l，∴m⊥β，∵n⊂β，∴m⊥n，故D选项正确．故选：B．当a>1，可得1a <1，即为充分条件，当1a<1时，可得a>1或a<0，即为充分不必要条件，即可判断A选项，根据回归直线的定义即可判断B选项，特称命题的否定为全称命题，故可判断C选项，根据空间线面关系，即可判断D选项．本题考查了命题的真假判断，命题的否定，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：多项式(x−2x)(1−x)4的展开式中含x2项的系数为C41⋅(−1)−2C43⋅(−1)3=−4+8=4，故选：D．由题意利用通项公式，求得(x−2x)(1−x)4的展开式中含x2项的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：f(x)=ae x+x2图象在(1,f(1))切线方程为y=(2e+2)x+b，由f(x)=ae x+x2，f′(x)=ae x+2x，f′(1)=ae+2=2e+2⇒a=2，f(1)=ae+1=2e+2+b⇒b=−1，ab=−2，故选：D．利用导数的几何意义、切点在曲线上、切点在切线上建立关于a，b的方程求解即可．本题考查导数的几何意义，考查在点切线的求法，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：∵f(−x)=−xsin(−x)=xsinx=f(x)，∴该函数为偶函数，故排除答案A，D，又∵f(3π2)=0而B选项中显然f(3π2)<0，因此排除B．故选：C．首先研究函数奇偶性排除选项A，D，接着利用特殊值的方法可以选择正确答案D．该道题目主要考察给定函数解析式，找函数图像，主要用到的方法有：判断奇偶性，代特殊值等方法．8.【答案】C【解析】解：“能被2除余1且被3除余1的数”即“被6除余1”，所有项为等差数列，通项为“a n=6n−5”，由题意知6n−5≤100，得n≤352，∴n≤17，a17=6×17−5=97，a1=1，∴S17=17(a1+a17)2=17(1+97)2=833．故选：C．“能被2除余1且被3除余1的数”即“被6除余1”，可建模为等差数列通项“a n= 6n−5”，可解决此题．本题考查等差数列通项公式及求和应用，考查数学运算能力及建模能力，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：由图象知函数的周期T=4(5π12−π4)=4×2π12=2π3，即2πω=2π3，得ω=3，则f(x)=sin(3x+φ)，由f(5π12)=sin(3×5π12+φ)=−1，得sin(5π4+φ)=−1，即5π4+φ=2kπ+3π2，得φ=2kπ+π4，k∈Z，∵|φ|<π2，∴当k=0时，φ=π4，即f(x)=sin(3x+π4)=sin3(x+π12)，为了得到g(x)=sin3x的图象，只需将f(x)的图象向右平移π12个单位长度，得到y=sin3(x−π12+π12)=sin3x，故选：C．根据图象求出ω和φ的值，结合三角函数的图象变换关系，进行判断即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，求出三角函数的解析式以及利用三角函数的图象变换关系是解决本题的关键．10.【答案】C【解析】解：由题意，将鳖臑补形为长方体，如图根据PA=BC=4，AB=3，AB⊥BC，可得△PAC的面积为10，△BAC的面积为6，△BPC的面积为10，，△BAP的面积为6，三棱锥P−ABC有一个内切球半径为r，可得V P−ABC=13r(S PAC+S ABC+S PBC+S PAB)即13×S ABC×AP=13r×32解得r=34，∴球O的体积V=43πr3=9π16．故选：C．将鳖臑补形为长方体，利用等体积法即可内切球的半径r，从而求解球O的体积．本题考查球的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．11.【答案】A【解析】解：由y=f(x−1)的图象关于x=1对称，可得f(x)是偶函数，即f(−x)=f(x)；∵f(2−x)=f(x)，即f(x+2)=f(−x)=f(x)，可得f(x)的周期T=2；f(x)在(−1,0)上递减，在(0,1)上递增．a=f(5−12)=f(√55)≈f(0.404)，b=f(−ln2)=f(ln2)≈f(0.69)，c=f(log318)=f(2+log32)=f(log32)≈f(0.63)，注：log32=lg2lg3=0.30.447≈0.63，则a<c<b．故选：A．由y=f(x−1)的图象关于x=1对称，可得f(x)是偶函数，f(2−x)=f(x)可得f(x)的周期T=2，f(x)在(−1,0)上递减．那么(0,1)上递增，只需比较√55，ln2和log32的大小即可得a，b，c的大小关系．本题考查了函数的性质和常见对数的估值计算．常见对数估值：lg2≈0.3，lg3≈0.477，ln2≈0.69.属于基础题．12.【答案】B【解析】解：取MN的中点P，因为以F2为圆心的圆过M，N，则MF2=NF2，连结F2P，则F2P⊥MN，设MF2=NF2=x，因为MF2−MF1=2a，则MF1=x−2a，又因为NF1−NF2=2a，则NF1=x+2a，所以MN=NF1−MF1=4a，则MP=NP=2a，故PF1=x，在Rt△F1F2P中，PF2=√4c2−x2，在Rt△MF2P中，PF2=√x2−4a2，所以√4c2−x2=√x2−4a2，解得x2=2a2+2c2，又直线的斜率为√22，则tan∠PF1F2=F2PF1P =√2b2√2a2+2c2=√22，所以c2−a2a2+c2=12，即c2=3a2，所以离心率e=ca=√3．故选：B．取MN的中点P，连结F2P，则F2P⊥MN，设MF2=NF2=x，利用双曲线的定义，结合勾股定理分别在Rt△F1F2P和Rt△MF2P中求出PF2，从而得到x2=2a2+2c2，再利用直线的斜率，列出等式，得到a，c的关系，即可得到答案．本题考查了双曲线的几何性质的理解和应用，解题的关键是寻找基本量a，b，c之间的等量关系，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．13.【答案】1023【解析】解：∵{a n}为等比数列，又∵a1a2a3=8，∴a23=8，a2=2，设等比数列{a n}的公比为q，∵a4=a3+4，∴a2q2=a2q+4，即2q2=2q+4，解得q=−1，q=2，∵{a n}为递增的等比数列，∴q=−1(舍去)，q=2，∵a2=2a1，∴a1=a22=22=1，运用等比数列前n项和公式S n=a1(1−q n)1−q =1−2101−2=1023．故答案为：1023．根据已知条件，可推得a1=1，q=2，运用等比数列的前n项和公式，即可求解．本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．14.【答案】150°【解析】解：向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=1，|b⃗ |=2，且a⃗与b⃗ 的夹角为π3，∴cos<(a⃗−b⃗ )，b⃗ >=(a⃗ −b⃗)⋅b⃗|a⃗ −b⃗|⋅|b⃗|=⃗ ⃗ 2√(a⃗−b⃗ )2⋅|b⃗ |=⃗ ⃗ ⃗ 2√a⃗2−2|a⃗|⋅|b⃗ |cos<a⃗,b⃗ >+b⃗ ⋅2=1×2×12−4√1−2×1×2×12+4⋅2=−√32．∴向量a⃗−b⃗ 与b⃗ 的夹角为150°．故答案为：150°．cos<(a⃗−b⃗ )，b⃗ >=(a⃗ −b⃗)⋅b⃗|a⃗ −b⃗|⋅|b⃗|，由此能求出向量a⃗−b⃗ 与b⃗ 的夹角．本题考查向量的夹角的求法，考查向量数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.【答案】2【解析】解：过A 作AD 垂直于准线于D ，过B 作BE 垂直于准线于E 点设准线与x 轴交于P ， 由抛物线的性质可得|AF|=|AD|=4， CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得|BC|=2|BF|=|BE|， 所以∠DCA =30°， 所以|AC|=2|AD|=8，|CF|=|AC|−|AF|=8−4=4， 所以|PF|=12|CF|=2=p ， 故答案为：2．由抛物线的性质及向量的关系可得|AC|与|AF|的关系，进而可得p 的值． 本题考查抛物线的性质及向量的运算，属于中档题．16.【答案】(−14,0)【解析】解：(1)设u(x)=a x +t ，则y =log a u ，当a >1时，u(x)=a x +t 为增函数，y =log a u 也是增函数，则y =log a (a x +t)为增函数，当0<a <1时，u(x)=a x +t 为减函数，y =log a u 也是减函数，则y =log a (a x +t)为增函数，综上可得：y =log a (a x +t)为增函数，即f(x)在D 内是单调函数． (2)∵f(x)是单调递增函数，∴若f(x)=log a (a x +t)为“梦想函数”，则有{f(m2)=log a (a m2+t)=m f(n2)=log a (a n 2+t)=n ，即方程a x2+t =a x 有两个不同的正数解， 即可得(a x2)2−a x2−t =0有两个不同的正数解， 则有{△=1+4t >0x 1+x 2=1>0x 1x 2=−t >0，即{t >−14t <0，可得−14<t <0， 即t 的取值范围为(−14,0)， 故答案为：(--14，0)．根据复合函数单调性的关系先判断函数f(x)是单调递增函数，然后根据值域关系建立方程，然后转化为方程根的个数问题即可．本题主要考查函数值域的应用，结合复合函数单调性之间的关系，转化为一元二次方程根的分布问题是解决本题的关键，是中档题．17.【答案】解：(I)因为c =acosB −√33bsinA ．由正弦定理可得，sinC =sinAcosB −√33sinBsinA ，即sin(A +B)=sinAcosB +sinBcosA =sinAcosB −√33sinBsinA ，因为sinB ≠0， 所以tanA =−√3， 因为A ∈(0,π)， 所以A =2π3，(II)因为S △ABC =12bcsinA =12×2b ×√32=√32，故b =1，由题意可得，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )， ∴|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=14(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=14[4+1+2×2×1×(−12)]=34， 故AD =√32．【解析】(I)由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求tan A ，进而可求A ； (2)由已知结合三角形的面积公式可求b ，然后结合向量的线性运算及向量的数量积的性质可求．本题主要考查了正弦定理，和差角公式在求解三角形中的应用及三角结合向量的综合应用，属于中档试题．18.【答案】(1)证明：连接O 1C ，因为EA ，FC ，都是圆柱O 1O 2的母线，所以AE//CF ，因为C ，D 是AB ⏜的两个三等分点，AB 为圆O 1的直径，所以AD//O 1C ，又因为AD ∩AE =A ，CF ∩O 1F =F ，所以平面AED//平面O 1CF ，又因为O 1F ⊂平面O 1CF ，所以FO 1//平面ADE ．(2)解：连接AC ，因为AB 为圆O 1的直径，所以AC ⊥BC ， 又因为CF ⊥平面ABC ，所以CF ⊥CB ，CF ⊥AC ， 所以CA 、CB 、CF 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意得各点坐标如下： C(0,0，0)，B(0,2，0)，F(0,0，2)，A(2√3,0，0)， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2√3,2，0)，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ (−2√3,0，2)， 设平面ABF 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， {AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =−2√3x +2y =0AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =−2√3x +2z =0，令x =1，则m ⃗⃗⃗ =(1,√3,√3)，平面ACF 的法向量为n⃗ =(0,1，0)， 所以二面角B −AF −C 的余弦值为|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√3√7⋅1=√217．【解析】(1)根据直线与平面平行的判定定理证明；(2)用向量数量积计算二面角的余弦值．本题考查了直线与平面的位置关系，考查了二面角的计算问题，属于中档题．19.【答案】解：(1)选择方案一，若享受到7折，则需要摸出2个红球和1个黑球，故该顾客享受7折优惠的概率为C 22C 71C 103=7120；(2)若选择方案一，设付款金额为X 元，则X 的可能取值为5000，7000，9000，10000， 所以P(X =5000)=C 22C 11C 103=1120，P(X =7000)=C 22C 71C 103=7120， P(X =9000)=C 11C 72C 103=740，P(X =10000)=1−1120−7120−740=91120，故E (X)=5000×1120+7000×7120+9000×740+10000×91120=288253≈9608.3元；若选择方案二，设摸到红球的个数为Y ，付款金额为Z ，则Z =10000−2000Y ， 由已知可得Y ～B(3,15)， 所以E(Y)=3×15=35，故E (Z)=E(10000−2000Y)=10000−2000E(Y)=8800元． 因为E(X)>E(Z)，故该顾客选择第二种抽奖方案更合算．【解析】(1)利用古典概型的概率公式求解即可；(2)先求出方案一的随机变量X 的可能取值，然后求出其对应的概率，列出分布列，由数学期望的计算公式求解，然后再利用方案二满足二项分布，由二项分布的数学期望公式求解，最后进行比较即可得到答案．本题考查了古典概型概率公式的应用，离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期望的求解与应用，二项分布数学期望公式的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)因为点P(√3,12)在椭圆M 上，则(√3)2a 2+(12)2b 2=1，又离心率为√32，则ca =√32，结合a 2=b 2+c 2，解得a 2=4，b 2=1， 所以椭圆M 的方程为x 24+y 2=1；(2)当直线AB 的斜率不存在时，则AB ⊥x 轴，点C 在x 轴上，|AB|=√3， 点C 到AB 的距离为3，故S △ABC =12|AB|⋅d =3√32； 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y =kx +m ，联立方程组{y =kx +mx 24+y 2=1，可得(4k 2+1)x 2+8kmy +4(m 2−1)=0， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则△=16(4k 2+1−m 2)>0，且x 1+x 2=−8km4k 2+1,x 1x 2=4m 2−44k 2+1，故y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2m =2m4k 2+1， 因为O 为△ABC 的重心，则OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=(8km 4k 2+1,−2m4k 2+1)， 故点C(8km 4k 2+1,−2m4k 2+1)在椭圆上， 则有(8km 4k 2+1)24+(−2m4k 2+1)2=1，整理可得4m 2=4k 2+1，所以|AB|=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+k 2⋅4√4k 2+1−m24k 2+1，又点O到直线AB的距离为d=√1+k2，所以S△ABC=3S△ABO=32|AB|d=6|m|√4k2+1−m24k2+1=6|m|√3m24m2=3√32．综上所述，△ABC面积为定值3√32．【解析】(1)利用点在椭圆上以及离心率结合a2=b2+c2，得到关于a，b，c的方程组，求出a，b的值，即可得到椭圆的标准方程；(2)先求出当直线AB斜率不存在时S△ABC的面积，当AB斜率存在时，设直线AB的方程，与椭圆方程联立，得到韦达定理，利用重心的性质求出点C的坐标，将点C代入椭圆方程得到k与m的关系，求出弦长|AB|以及O到直线AB的距离d，将△ABC的面积转化为△ABO表示，从而化简可得答案．本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆位置关系的应用，点到直线距离公式的运用，弦长公式的运用，重心性质的运用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题．21.【答案】解：(1)f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=2−ax =2x−ax，当a≤0时，f′(x)>0当a>0时，由f′(x)>0得x>a2，由f′(x)<0得0<x<a2，∴当a≤0时，f(x)在(0,+∞)上单调递增，当a>0时，f(x)在(0,a2)上单调递减，在(a2,+∞)单调递增．(2)证明：g(x)=2x−alnx−sinx+4a，∵g(x1)=g(x2)，∴2x1−alnx1−sinx1=2x2−alnx2−sinx2，∴a(lnx1−lnx2)=2(x1−x2)−(sinx1−sinx2)，令ℎ(x)=x−sinx，则ℎ′(x)=1−cosx≥0，∴ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增，不妨设x1>x2>0，∵ℎ(x1)>ℎ(x2)，∴x1−sinx1>x2−sinx2∴−(sinx1−sinx2)>x2−x1，∴2(x1−x2)−(sinx1−sinx2)>2(x1−x2)+(x2−x1)=x1−x2，∴a(lnx1−lnx2)>x1−x2，∴a>x1−x2lnx1−lnx2，下面证明x 1−x2lnx 1−lnx 2>√x 1x 2，令t =x 1x 2(t >1)，只需证t−1lnt >√t ，只需证√t lnt >0，设m(t)=√tlnt(t >1)，则m′(t)=√t−1)22t √t>0，∴m(t)在(1,+∞)递增，∴m(t)>m(1)=0， 即x 1−x 2lnx 1−lnx 2>√x 1x 2成立，∴a >√x 1x 2， 即x 1x 2<a 2．【解析】(1)求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可； (2)求出g(x)的解析式，根据g(x 1)=g(x 2)，得到a(lnx 1−lnx 2)=2(x 1−x 2)−(sinx 1−sinx 2)，令ℎ(x)=x −sinx ，结合函数的单调性求出a >x 1−x 2lnx 1−lnx 2，证明x 1−x 2lnx1−lnx 2>√x 1x 2成立即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，分类讨论思想，是难题．22.【答案】解：(1)由ρcos(θ−π6)=2，得12ρsinθ+√32ρcosθ=2， 又{x =ρcosθy =ρsinθ，代入可得直线l 的直角坐标方程为：12y +√32x =2，即为y +√3x =4； 由圆C ：ρ=2sinθ，得ρ2=2ρsinθ， 又x =ρcosθ，y =ρsinθ，ρ2=x 2+y 2， ∴圆C 直角坐标方程为：x 2+(y −1)2=1；由x 2+(y −1)2=1得，圆C 的参数方程为{x =cosαy =1+sinα(α为参数)； (2)设点P 坐标为(cosα,1+sinα)， 则d 1=√3cosα+1+sinα−4|√(√3)2+12=|√3cosα+sinα−3|2=12(3−√3cosα−sinα)，又d 2=1+sinα，那么d 1+d 2=52+12sinα−√32cosα=sin(α−π3)+52，当α=5π6时，d 1+d 2取得最大值72．【解析】(1)把直线l 的极坐标方程展开两角差的余弦，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得直线l 的直角坐标方程，把圆的参数方程变形，化为直角坐标方程，再由平方公第21页，共21页 式可得其参数方程；(2)设点P 坐标为(cosα,1+sinα)，由点到直线的距离公式可得d 1，再求出d 2，作和后利用三角函数求最值可得d 1+d 2的最大值．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，训练了利用三角函数求最值，是中档题．23.【答案】(1)解：f(x)=|3x −1|+|2x +2|={−5x −1,x <−1−x +3,−1≤x ≤135x +1,x >13，f(x)在(−∞,13]上单调递减，在[13,+∞)上单调递增，则f(x)的最小值为f(13)=−13+3=83，故M =83；(2)证明：a +b +c =9M =24，(24a −1)(24b −1)(24c −1)=(a +b +c a −1)(a +b +c b −1)(a +b +c c −1) =(b+c a )(a+c b )(a+b c )≥2√bc a ⋅2√ac b ⋅2√ab c =8abc abc =8．当且仅当a =b =c =8时等号成立．【解析】(1)写出分段函数解析式，由单调性求最小值，则M 可求；(2)由(1)可得M =83，代入a +b +c =9M =24，把24用a +b +c 代换，展开后利用基本不等式即可证明结论．本题考查分段函数最值的求法，考查不等式的证明，训练了基本不等式的应用，是中档题．。

成都石室中学2022-2023学年度下期高2023届入学考试理科数学（全卷满分150分，考试时间120分钟）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题每小题5分，共60分在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设(){}2log 1A x y x ==-，{}24B x x =≤，则A B ⋃=（）A ．[)2,-+∞B ．[)1,2C ．(]1,2D ．()1,+∞2．已知i 为虚数单位，复数z 满足()20231i i z +=，则复数z 在复平面上的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知()f x 为奇函数，当0x ≥时，()2e 1xf x x =-+，则当0x <时，()f x =（）A ．2e 1x x --+B ．2e 1x x --+-C ．2e 1x x ----D ．2e 1x x --++4．将函数()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象先向左平移4π，再将横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，所得图象对应的函数解析式为（）A ．()2sin 46g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()2sin 12g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()2sin 43g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．()2sin 6g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭5．给出下列命题：（1）设a ，b ，c 为实数，若22ac bc >，则a b >；（2）设0αβπ<<<，则αβ-的取值范围是(),ππ-；（3）当2x >时，12y x x =+-的最小值是4．其中真命题的个数是（）A ．3B ．2C ．1D ．06．“大衍数列”来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中华传统文化中的太极衍生原理．如图是求“大衍数列”前n 项和的程序框图．执行该程序框图，输入4m =，则输出的S =（）A ．6B ．14C ．26D ．447．已知函数()sin cos f x x a x =+的图象关于6x π=对称，且()085f x =，则02cos 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是（）A ．2425B ．2425-C ．725D ．725-8．在数学探究活动课中，小华进行了如下探究：如图1，水平放置的正方体容器中注入了一定量的水；现将该正方体容器其中一个顶点固定在地面上，使得DA ，DB ，DC 三条棱与水平面所成角均相等，此时水平面为HJK ，如图2所示．若在图2中23DH DA =，则在图1中EFEG=（）A ．49B ．481C ．427D ．8279．已知函数()()212ln 22f x x a x a x =+-+的极值点均不大于2，且在区间()1,3上有最小值，则实数a 的取值范围是（）A ．1,4ln 22⎛⎤-∞ ⎥-⎝⎦B ．(]1,1,24ln 22⎡⎫-∞⋃⎪⎢-⎣⎭C ．(),2-∞D ．(],1-∞10．小明与小红两位同学计划去养老院做义工．如图，小明在街道E 处，小红在街道F 处，养老院位于G 处，小明与小红到养老院都选择最短路径，两人约定在老年公寓门口汇合，事件A ：小明经过F ；事件B ：小明经过H ；事件C ：从F 到养老院两人的路径没有重叠部分（路口除外），则下面说法正确的个数是（）（1）()1835P A =；（2）()920P A B =；（3）()29P C A =．A ．3B ．2C ．1D ．011．已知1F ，2F 分别为双曲线C 的左、右焦点，点P 是右支上一点，且123F PF π∠=，设12PF F θ∠=，当双曲线C 的离心率范围为2⎛ ⎝时，θ的取值范围为（）A ．0,12π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．,123ππ⎛⎫⎪⎝⎭12．在ABC △中，()32BA BC AC +⊥ ，且对于t ∈R ，AB t AC - 的最小值为35BA，则cos ABC ∠=（）A ．34B ．35C ．45-D ．55-第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．抛物线22x y =的焦点到准线的距离是______．14．二项式13nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中所有二项式系数之和为64，则二项式的展开式中常数项为______．15．已知圆1C ：224240x y x y ++--=与圆2C ：226210x y x y +--+=，点A ，B 在圆2C 上，且AB =，线段AB 的中点为D ，O 为坐标原点，当OD 最大时，直线OD 被圆1C 截得的弦长为______．16．将闭区间[]0,1均分为三段，去掉中间的区间段12,33⎛⎫⎪⎝⎭，余下的区间段长度为1a ；再将余下的两个区间10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，余下的区间段长度为2a ．以此类推，不断地将余下各个区间均分为三段，并各自去掉中间的区间段．重复这一过程．记数列{}n a 表示第n 次操作后余下的区间段长度．（1）3a =______；（2）若n *∀∈N ，都有23n n a a λ≤恒成立，则实数λ的取值范围是______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且()212n n a S n *+⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭N ，数列{}n b 的前n 项积为n T ，满足()2n S n n T *=∈N ．（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设()()1111n n n n c b a a +=+++，求数列{}n c 的前n 项和n C ．18．（本小题满分12分）第二十二届世界杯足球赛已于2022年12月18日在卡塔尔落下帷幕，这是世界杯足球赛首次在中东国家举行．本届世界杯很可能是“绝代双骄”梅西、C 罗的绝唱，狂傲的青春也将被时间揽人温柔的怀抱，即将说再见时，才发现，那属于一代人的绝世风华，不会随年华逝去，只会在年华的飘零中不经意的想起．为了了解某校学生对足球运动的兴趣，在该校随机抽取了男生和女生各100名进行调查，得到如图所示的等高堆积条形图．（Ⅰ）完成2×2列联表，并回答能否有99%的把握认为“该校学生是否喜欢足球运动与性别有关”；喜欢足球运动不喜欢足球运动合计男生女生合计（Ⅱ）以样本的频率作为总体的概率，若从该校所有男生中随机抽取3人，抽到不喜欢足球运动的人数为X ，求X 的分布列和期望．附表：()20P K k ≥0.100.050.0250.0100k 2.7063.8415.0246.635其有，()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++．19．（本小题满分12分）多面体ABCDEF 如图所示，正方形ABCD 和直角梯形ACEF 所在的平面互相垂直，FA AC ⊥，2AB =，1EF FA ==．（Ⅰ）求证：平面BEF ⊥平面CDE ；（Ⅱ）求二面角C DE F --的正弦值．20．（本小题满分12分）已知椭圆C ：()22221x y a b a b +=>>0的离心率为32，且过点()2,1P ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线1l 为椭圆C 在点P 处的切线，21l l ∥，且直线2l 与椭圆C 交于A ，B 两点．（ⅰ）求直线1l 的方程；（ⅱ）点O 为坐标原点，当PAB △和AOB △面积之和取最大值时，求直线2l 的方程．21．（本小题满分12分）已知函数()()1e ln 1x f x a x x x -=--+-，0a ≥．（Ⅰ）求证：()f x 存在唯一零点；（Ⅱ）设()1e1x g x a x -=+-，若存在1x ，()20,x ∈+∞，使得()()()211g x g x f x =-，试比较11ln12x ++和2111x x --的大小．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，那么按所做的第一题计分．22．【选修4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在极坐标系Ox 中，若点A 为曲线l ：cos 233ππρθθ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭上一动点，点B 在射线AO 上，且满足16OA OB ⋅=，记动点B 的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）若过极点的直线1l 交曲线C 和曲线l 分别于P ，Q 两点，且线段PQ 的中点为M ，求OM 的最大值．23．【选修4-5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知函数()()1240f x ax x a =++->．（Ⅰ）若1a =，解不等式()9f x ≤；（Ⅱ）当0x >时，()4f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．成都石室中学2022-2023学年度上期高2023届入学考试理科数学参考答案答案及解析1．A 【解析】因为{}()101,A x x =->=+∞，[]2,2B =-，所以[)2,A B ⋃=-+∞．2．C 【解析】由()20231i i z +=，所以()()()2023i 1i i i 11i 1i 1i 1i 1i 22z ---====--+++-，所以z 在复平面上的点位于第三象限．3．B 【解析】当0x <时，0x ->，()()()22e1e 1xxf x f x x x --⎡⎤=--=---+=-+-⎣⎦．4．D 【解析】将函数()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向左平移4π后，所得图象对应的函数为2sin 22sin 2436y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦；再将横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，则()12sin 22sin 266g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=⋅+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．5．B 【解析】由题意，对于（1）中，若22ac bc >则()20ca b ->，所以（1）正确；对于（2）中，由0αβπ<<<，则αβ-的取值范围是(),0π-，所以（2）不正确；对于（3）中，当2x >时，1122422y x x x x =+=-++≥--，当且仅当3x =时取等，所以（3）正确．6．C 【解析】（1）1n =，0S =，4m =，n 是奇数，21102a -==，000S =+=，n m >否，2n =；（2）2n =，n 不是奇数，2222a ==，022S =+=，n m >否，3n =；（3）3n =，n是奇数，23142a -==，246S =+=，n m >否，4n =；（4）4n =，n 不是奇数，2482a ==，6814S =+=，n m >否，5n =；（5）5n =，n 是奇数，251122a -==，141226S =+=，n m >是，则输出26S =．7．D 【解析】因为()sin cos f x x a x =+的图象关于6x π=对称，所以()sin cos f x x a x =+在6x π=取得极值．又()cos sin f x x a x '=-，则0622a f π⎛⎫'=-= ⎪⎝⎭，则a =所以()00008sin 2sin 35f x x x x π⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，即04sin 35x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以20027cos 212sin 3325x x ππ⎛⎫⎛⎫+=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．8．B 【解析】DA ，DB ，DC 三条棱与水平面所成角均相等时，三棱锥D HJK -为正三棱锥．设正方体的棱长为3，则2DH DK DJ ===，所以11142223323D HJK DHJ V S DK -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△，则题图1中2433V EF =⋅=，则427EF =，所以481EF EG =．9．A 【解析】易知最小值只能在极小值处取得，()()()()()22213x x a af x x a x x x--'=+-+=<<，所以2a ≤．（1）当2a =时，()f x 在()1,3上单调递增，无最值；（2）当12a <<时，()f x 在()1,a 上单调递增，(),2a 上单调递减，()2,3上单调递增，()f x 在2x =取得极小值()2f ，又极小值必须为最小值，则()()12f f ≥，即1222ln 2242a a a --≥+⋅--，即114ln 22a <≤-；（3）当1a ≤时，()f x 在()1,2上单调递减，()2,3上单调递增，满足条件综上所述，14ln 22a ≤-．10．A 【解析】小明到养老院能选择的最短路径条数为37C 35=条；小明到F 的最短路径走法有24C 6=条，再从F 到养老院的最短路径有13C 3=条，即()1835P A =；小明从H 到养老院的最短路径有36C 20=条，即()2035P B =；从H 到F 的最短路径有13C 3=条，从F 到养老院的最短路径有3条，即()3393535P AB ⨯==，所以()()()920P AB P A B P B ==；又()62435335P AC ⨯==⨯，所以()()()29P AC P C A P A ==，故三个都正确．11．B 【解析】在12F PF △中，由1212122112sin 232sin sin sin sin 3F F F PF c ce a a PF PF PF F PF F πθθ∠=====-∠-∠⎛⎫+- ⎪⎝⎭12cos 6πθ=⋅⎛⎫+ ⎪⎝⎭．因为2e ⎛∈⎝，所以1cos ,622πθ⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以,643πππθ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以θ的取值范围为,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭．12．D 【解析】因为()32BA BC AC +⊥ ，所以()()()3232BA BC AC BA BC BC BA+⋅=+⋅-22223232cos 0BA BC BA BC c a a B =-++⋅=-++= ．又因为222cos 2a c b B ac +-=，所以22222322a c b c a ac ac +--=，故22255b a c =-，即22255b c a +=（1）．因为22222222cos AB t AC AB t AC t AB AC c b t tb A -=+-⋅=+- ，当22cos cos 2bc A c A t b b==时，2AB t AC - 取最小值，则22229cos 25c c A c -=，所以216cos 25A =，故4cos 5A =±，所以22222225245cos 2255b c b c b c a b A bc bc c ++-+-===⋅=，负值舍去，则2b c =，代入（1）式得a =，所以22225a c b csoB ac +-==-．13．1【解析】因为抛物线方程为22x y =，所以焦准距1p =．14．－540【解析】由二项式13nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中所有二项式系数之和为64，得264n =，即6n =．所以()()66621661C 3C 31kkk kk kk k T x x x ---+⎛⎫=⋅-=- ⎪⎝⎭．令620k -=，得3k =，所以二项式的展开式中常数项为()3633631C 540-⋅-⋅=-．15【解析】由题意可知，圆1C 的圆心为()12,1C -，半径13r =；圆2C 的圆心为()23,1C ，半径23r =．因为AB =，所以2C D =，即点D 在以2C为半径的圆上，故当点D 在线段2OC 的延长线上时，OD 最大，此时直线OD 的方程为30x y -=，则圆心()12,1C -到直线OD，故直线OD 被圆1C截得的弦长为2=16．（1）827（2）100,9⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（第1空2分，第2空3分）【解析】由题意可知，123a =，2212233a a ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，3322233a a ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，所以3827a =，所以数列{}n a 为首项123a =，公比23q =的等比数列，所以1123n n n a a q-⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭．因为n *∀∈N ，都有2223n n a λ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，所以3223n n λ-⎛⎫≥⋅ ⎪⎝⎭恒成立，只需22max23n n λ-⎡⎤⎛⎫≥⋅⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．记()3223n g n n -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，n *∈N ，显然()0g n >，所以()()()()1322322211213323n n n g n n g n n n +--⎛⎫+⋅ ⎪++⎝⎭==⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭．令()()11g n g n +≤，即()222113n n+≤，即2420n n --≥，解得2n ≥因为n *∈N ，所以n 可以取包含5以后的所有正整数，即当5n ≥且n *∈N 时，()3223n g n n -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭单调递减．又()4322324433g -⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭，()53221005539g -⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭．所以()()()()()12345g g g g g <<<<．综上所述，当5n =时，()10059g =最大，所以1009λ≥，所以实数λ的取值范围是100,9⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．17．解：（Ⅰ）在212n n a S +⎛⎫= ⎪⎝⎭中，令1n =，得21111112a S a a ⎛⎫+==⇒= ⎪⎝⎭．当2n ≥时，由22111122n n n n a a S S --⎛⎫++⎛⎫=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，于是有()()221111112022nn n n n n n n n a a a S S a a a a ----++⎛⎫⎛⎫=-=-⇒+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．因为数列{}n a 的各项均为正数，所以()()111120202n n n n n n n n a a a a a a a a ----+--=⇒--=⇒-=，则数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，所以有()11221n a n n =+-⋅=-，显然11a =适合，因此()21n a n n *=-∈N ．由222nS n n T ==，令1n =，得112b T ==；当2n ≥时，由()211122n n S n T ---==，得21122n a n nn n T b T --===，所以()212n n b n -*=∈N ．（Ⅱ）记()()1111n n n d a a +=++，数列{}n d 的前n 项和为n D ，所以()()()1111111122241n n n d a a n n n n +⎛⎫=== ⎪++++⎝⎭，则11111114223142n nD n n n ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-= ⎪++⎝⎭．由212n n b -=可知，数列{}n b 是以12b =为首项，4为公比的等比数列，则数列{}n b 的前n 项和为()()214241143n n --=-，故数列{}n c 的前n 项和()241344n n nC n -=++．18．解：（Ⅰ）完成2×2列联表：喜欢足球运动不喜欢足球运动合计男生6040100女生2080100合计801202002K 的观测值()22006080204033.33 6.63580120100100k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为“该校学生是否喜欢足球运动与性别有关”．（Ⅱ）由题意可知，从本校所有男生中随机抽取1人，抽到不喜欢足球运动的概率为25，所以随机变量23,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3，则有()333270C 5125P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，()21323541C 55125P X ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，()22323362C 55125P X ⎛⎫==⨯⨯=⎪⎝⎭，()333283C 5125P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，所以X 的分布列为：X 0123P2712554125361258125X 的期望()26355E X np ==⨯=．19．（Ⅰ）证明：如图，连接BD ，设AC 与BD 交于点O ，连接FO ，EO ．因为平面ABCD ⊥平面ACEF ，平面ABCD ⋂平面ACEF AC =，AF AC ⊥，AF ⊂平面ACEF ，所以AF ⊥平面ABCD ．因为四边形ABCD 的正方形，所以2BD AC ===．在直角梯形ACEF 中，EF AC ∥，O 为AC 的中点，则1AO EF ==，且AO EF ∥．又因为AF EF =，AF AC ⊥，所以四边形AFEO 是边长为1的正方形，所以AF EO ∥，且1EO AF ==，所以EO ⊥平面ABCD ．因为BD ⊂平面ABCD ，所以EO BD ⊥，则DE BE ===，所以222BE DE BD +=，所以BE DE ⊥．因为AF ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以AF AD ⊥，所以DF ==，所以222EF DE DF +=，所以DE EF ⊥．又因为BE EF E ⋂=，BE ，EF ⊂平面BEF ，所以DE ⊥平面BEF ．又因为DE ⊂平面CDE ，所以平面BEF ⊥平面CDE．（Ⅱ）解：以A 为坐标原点，AB ，AD ，AF 分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则)C，()D ，22,,122E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()0,0,1F ，得()CD = ，22,,122DE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()0,DF =．记平面CDE 的法向量为(),,m x y z =，所以00m CD m DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，则022022x y z ⎧=-+=⎪⎩，取y =，得()m =．同理可得，平面DEF的法向量(n =-，所以cos ,3m n m n m n ⋅===，所以二面角C DE F --的正弦值为33．20．解：（Ⅰ）由题意，得2232411c a b b ⎧==⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，则2282a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故椭圆C ：22182x y +=．（Ⅱ）（ⅰ）由题意可得，直线1l 的切线斜率一定存在．令直线1l ：()12y k x -=-，联立22182x y +=，整理得()()()2224181241280k x k k x k ++-+--=，所以()()()22226412441161640k k k k k ∆=--+--=，即()224410210k k k ++==+=，所以12k =-，故直线1l ：()1122y x -=--，即直线1l 240x y +-=．（ⅱ）由（ⅰ），设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB ：20x y m ++=，联立22182x y +=，整理得222280x mx m ++-=，且()2224886440m m m ∆=--=->，即44m -<<，所以12x x m +=-，21282m x x -=，则AB ==又点P 到直线AB ：20x y m ++=的距离1d =点O 到直线AB ：20x y m ++=的距离2d =所以()()12142PAB AOB S S AB d d m m +=⋅+=++△△．当40m -<<时，PAB AOB S S +=△△当04m <<时，)24PAB AOB S S m +=+=△△，令()()()22162f m m m =-+，则()()()()()()222222216428f m m m m m m m m '=-+++-=-++-，而280m m +-=在04m <<时有一根3312m =，故()f m 在3310,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在331,42⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，所以当3312m =时，PAB △和AOB △面积之和取最大值，此时直线2l的方程为1202x y ++=．21．（Ⅰ）证明：由题意，得()()11e11x f x a x -'=--+．记()()()11e 11x F x f x a x -'==--+，则()121e x F x a x-'=+．因为0a ≥时，()0F x '>恒成立，所以()()F x f x '=在()0,+∞上单调递增．因为()10f '=，所以()f x '在()0,1上恒小于0，在()1,+∞上恒大于0，所以()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增．因为()10f =，所以()f x 有唯一零点1x =．（Ⅱ）解：由()()()211g x g x f x =-，得21112ln e 1x x ax a x -+=+-．记()e xm x a x =+，故()()111ln m x m x -=．因为()e xm x a x =+在()0,+∞上单调递增，所以211ln x x -=．比较11ln 12x ++和2111x x --的大小，即比较11ln 12x ++和11ln 1x x -的大小．()111111111ln 11ln11ln 1ln 2112x x x x x x x x ++⎡⎤+-=-+--⎢⎥--⎣⎦．设()()11ln 1ln 2x h x x x x +=-+--，则()111ln 121x x h x x x +-'=++-+，()()2212111h x x x x ''=++++．因为()0h x ''>在()0,+∞上恒成立，所以()h x '在()0,+∞上单调递增，注意到()10h '=，所以()0h x '<的解集为()0,1，()0h x '>的解集为()1,+∞，所以()h x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，所以()()10h x h ≥=．因此，当11x >时，12111ln 121x x x +-+>-；当101x <<时，12111ln 121x x x +-+<-．22．解：（Ⅰ）当点B 在线段AO 上时．由6OA OB ⋅=，得4,3B π⎛⎫ ⎪⎝⎭或4,3B π⎛⎫- ⎪⎝⎭．当点B 不在线段AO 上时，设(),B ρθ，则16,A θπρ⎛⎫+⎪⎝⎭，所以()16cos 2θπρ+=，所以8cos ρθ=-．又33ππθπ-≤+≤，所以4233ππθ-≤≤-．综上所述，曲线C 的极坐标方程为8c 433os 2ρθππθ-≤⎛⎫=- ⎪⎝-⎭≤或43πρθ⎛⎫==± ⎪⎝⎭．（Ⅱ）若曲线C 为43πρθ⎛⎫==±⎪⎝⎭，此时点P ，Q 重合，不合题意．若曲线C 为428cos 33ππρθθ=--≤≤-⎛⎫ ⎪⎝⎭，设直线1l ：33ππθαα⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭．由cos 2θαρθ=⎧⎨=⎩，得2cos Q ρα=；由8cos θαρθ=⎧⎨=-⎩，得8cos P ρα=-．因为M 是线段PQ 的中点，所以14cos 2cos P Q M ρρραα+==-+．因为,33ππα⎡⎤∈-⎢⎣⎦，所以1cos ,12α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．记cos t α=，则1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．又14y t t =-+在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，[]3,0y ∈-，故当0α=时，OM 取最大值为3．23．解：（Ⅰ）若1a =，则()124f x x x =++-．当1x ≤-时，()339f x x =-+≤，则2x ≥-，所以21x -≤≤-；当12x -<<时，()59f x x =-+≤，则4x ≥-，所以12x -<<；当2x ≥时，()339f x x =-≤，则4x ≤，所以24x ≤≤．综上所述，()9f x ≤的解集为{}24x x -≤≤．（Ⅱ）因为0a >，0x >，所以当02x <<时，()()142254f x ax x a x =++-=-+≥恒成立，即()()0424f f ≥⎧⎪⎨≥⎪⎩，得32a ≥；当2x ≥时，()()124234f x ax x a x =++-=+-≥恒成立，即()24f ≥，得32a ≥．综上所述，实数a 的取值范围为3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．。

2021年四川省成都市青羊区石室中学高考数学适应性试卷（理科）（一）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合M={m|m=x|x|+y|y|+z|z|+xyz|xyz|,x、y、z为非零实数}，则M的子集个数是()A. 2B. 3C. 4D. 82.若复数z满足(1+i)⋅z=1−i2021，则其共轭复数z−的模为()A. 1B. −1C. √2D. √223.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中与MN最接近的是()(参考数据：lg3≈0.48)A. 1033B. 1053C. 1073D. 10934.设等比数列{a n}的公比为q，前n项的和为S n，则“q>0”是“S1⋅S3<S22”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有()A. (C261)2A104B. A262A104个C. (C261)2104个D. A262104个6.已知圆柱形石材，底面圆半径为5−12，高为log59，若此石材可加工成体积最大的球体，则此球表面积为()A. 45π B. 4π(log53)2 C. 4π(log59)2 D. 425π7.已知圆的半径为2，在圆C内随机取一点M，则过点M的所有弦的长度都大于2√3的概率为()A. 1πB. 34C. 14D. 128.已知函数f(x)=sinωx+√3cosωx(ω>0)的零点依次构成一个公差为π2的等差数列，把函数f(x)的图象沿x轴向右平移π6个单位，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)()A. 是偶函数B. 其图象关于直线x=π2对称C. 在[π4,π2]上是增函数D. 在区间[π6,2π3]上的值域为[−√3,2]9.在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对的边，若函数f(x)=13x3+bx2+(a2+c2−ac)x+1有极值点，则cos2B+cosB的取值范围是()A. [−98,0]B. [−98,0)C. (−98,0)D. [−98,12]10. 已知圆C 1：(x +2)2+y 2=1，C 2：(x −2)2+y 2=49，动圆C 满足与C 1外切且C 2与内切，若M 为C 1上的动点，且CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则|CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为( ) A. √2 B. √3C. 2D. √511. 设函数f(x)=e x+a +x ，g(x)=ln(x +3)−4e −x−a ，其中e 为自然对数的底数，若存在实数x 0，使得f(x 0)−g(x 0)=−x 022−2x 0成立，则实数a 值为( )A. −2+ln2B. 1+ln2C. −1−ln2D. 2+ln212. 已知棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1，棱DD 1中点为M ，动点P 、Q 、R 分别满足：点P 到异面直线BC 、C 1D 1的距离相等，点Q 使得异面直线A 1Q 、BC 所成角正弦值为定值√2121，点R 使得∠A 1RB =3π4.当动点P 、Q 两点恰好在正方体侧面CDD 1C 1内时，则多面体RMPC 1Q 体积最小值为( )A. 5√212 B. √24 C. √22 D. √26二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知方程(m −2)x 2+my 2=1表示双曲线，则m 的取值范围是______ ．14. 若(x −12x )n 的展开式只有第4项的二项式系数最大，则展开式中常数项为______ .(用数字作答) 15. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n,a n )在y =x 上，[x]表示不超过x 的最大整数，则[20212S 1+20212S 2+⋯+20212S 2021]= ______ ．16. 拿破仑定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个正三角形，则这三个正三角形的中心恰为另一个正三角形的顶点.”利用该定理可为任意形状的市区科学地确定新的发展中心区位置，合理组织人流、物流，使城市土地的利用率，建筑的使用效率达到最佳，因而在城市建设规划中具有很好的应用价值.如图，设△ABC 代表旧城区，新的城市发展中心O 1，O 2，O 3分别为正△ACD ，正△ABE ，正△BCF 的中心.现已知AB =2，∠ACB =30°，△O 1O 2O 3的面积为√3，则ABC 的面积为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分） 17. 在△ABC 中，2cos 2A−B 2cosB −sin(A −B)sinB +cos(A +C)=−35．(1)求cos A 的值；(2)若a =4√2，b =5，求BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 在BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影．18. 如图，在棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是B 1B ，BC 的中点．(1)证明：A 1E ，AB ，DF 三线共点；(2)线段CD 上是否存在一点G ，使得直线FG 与平面A 1EC 1，所成角的正弦值为√33，若存在，请旨出点G 的位置，并求二面角E −A 1C 1−G 的平面角的余弦值大小；若不存在，请说明理由．19.已知抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，P为C上的动点，Q为P在动直线y=t(t<0)上的投影、当△PQF为等边三角形时，其面积为4√3．(1)求C的方程；(2)设O为原点，过点P的直线1与C相切，且与椭圆x24+y22=1交于A，B两点，直线OQ与AB交于点M.试问：是否存在t，使得|AM|=|BM|恒成立？若存在，求t的值：若不存在，请说明理由．20.某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过1kg的包裹收费10元；重量超过1kg的包裹，除1kg收费10元之外，超过1kg的部分，每超出1kg(不足1kg，按1kg计算)需再收5元．该公司将最近承揽的100件包裹的重量统计如表：公司对近60天，每天揽件数量统计如表：以上数据已做近似处理，并将频率视为概率．(1)计算该公司未来3天内恰有2天揽件数在101～400之间的概率；(2)①估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；②公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用作其他费用．目前前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，工资100元．公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润更有利？21. 已知函数f(x)=xe x −ae 2x (a ∈R)在定义域内有两个不同的极值点．(1)求实数a 的取值范围；(2)若f(x)有两个不同的极值点x 1，x 2，且x 1<x 2，若不等式x 1+λx 2>0恒成立，求正实数λ的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =1+tcosαy =tsinα(t,α中的一个为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l ：ρsin(θ−π3)=1． (1)当t 为参数，α=π3时，判断曲线C 1与直线l 的位置关系；(2)当α为参数，t =2时，直线l 与曲线C 1交于不同的两点A ，B ，若P(0,2)，求1|PA|+1|PB|的值．23.已知a>0，b>0，且a+b=1．(1)求1a +2b的最小值；(2)证明：ab+2ba2+b2+1<√52．答案和解析1.【答案】D【解析】解：当x、y、z都是正数时，m=4；当x、y、z都是负数时，m=−4；当x、y、z中有一个是正数时，另外两个是负数或有两个是正数，另一个是负数时，m=0；故该集合中有3个元素，则其子集个数为23=8．故选：D．讨论x、y、z的符号，得到集合M的元素，然后根据子集的公式可得结论．本题主要考查了集合子集的概念，以及分类讨论的数学思想和运算求解的能力，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：由(1+i)⋅z=1−i2021=1−(i4)505⋅i=1−i，得z=1−i1+i =(1−i)2(1+i)(1−i)=−2i12+12=−i，∴|z−|=|z|=|i|=1．故选：A．利用虚数单位i的运算性质及复数代数形式的乘除运算化简z，再由|z−|=|z|求解．本题考查虚数单位i的运算性质，考查复数模的求法，是基础题．3.【答案】D【解析】【分析】本题考查指数形式与对数形式的互化，属于中档题．根据对数的性质：T=a log a T，可得：3=10lg3≈100.48，将M也化为10为底的指数形式，进而可得结果．【解答】解：由题意：M≈3361，N≈1080，根据对数性质有：3=10lg3≈100.48，∴M≈3361≈(100.48)361≈10173，∴M N≈101731080=1093．故选D ．4.【答案】C【解析】解：S 1=a 1，S 2=a 1(1+q)，S 3=a 1(1+q +q 2)，故S 22−S 1⋅S 3=a 12[(1+q)2−(1+q +q 2)]=a 12q ，因为在等比数列{a n }中，a 1≠0，故S 1⋅S 3<S 22⇔q >0，故选：C ．求出等比数列的和，作差，再根据充要条件的定义进行判断即可． 本题考查了充要条件的定义，等比数列求和，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：先从26个英文字母中选出2个英文字母的方法数为(C 261)2，后接4个数字组成的方法数为A 104 ∴由分步计数原理可得不相同的牌照号码共(C 261)2A 104个故选：A ．先求从26个英文字母中选出2个英文字母的方法数，再求出后接4个数字组成的方法数，由此可得结论． 本题考查排列知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：因为圆柱的底面圆半径为5−12，高为log 59，且log 59=2log 53， 又5−12=√5<12=log 5√5<log 53， 所以若此石材可加工成体积最大的球体，则此球的半径为5−12， 所以此球的表面积为S =4π⋅(√5)2=4π5．故选：A ．比较圆柱的底面圆半径和高的一半的大小，求出此石材可加工成体积最大的球体的半径，再求球的表面积．本题考查了圆柱的结构特征与球体的结构特征与应用问题，是基础题．7.【答案】C【解析】解：如图，要使过点M的所有弦都大于2√3，|OM|≤1，所以点M在以O为圆心，1为半径的圆的内部及圆周上，所以过点M的所有弦的长度都大于2√3的概率P=π4π=14．故选：C．由勾股定理及几何概型中的面积型可得：点M在以O为圆心，1为半径的圆的内部及圆周上，根据与面积有关的几何概率公式可求．本题考查了几何概型中的面积型，属基础题．8.【答案】D【解析】解：函数f(x)=sinωx+√3cosωx(ω>0)=2sin(ωx+π3)的零点依次构成一个公差为π2的等差数列，∴12⋅2πω=π2，∴ω=2，f(x)=2sin(2x+π3).把函数f(x)的图象沿x轴向右平移π6个单位，得到函数g(x)=2sin2x的图象，故g(x)是奇函数，故A错误；令x=π2，可得g(x)=0，故g(x)的图象关于点(π2,0)对称，故B错误；当x∈[π4,π2]，2x∈[π2,π]，g(x)是减函数，故C错误；当x∈[π6,2π3]，2x∈[π3,4π3]，g(x)∈[−√3,2]，故D正确，故选：D．由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，得出结论．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．9.【答案】B【解析】解：∵f(x)=13x 3+bx 2+(a 2+c 2−ac)x +1， ∴f′(x)=x 2+2bx +(a 2+c 2−ac)，又∵函数f(x)=13x 3+bx 2+(a 2+c 2−ac)x +1有极值点， ∴x 2+2bx +(a 2+c 2−ac)=0有两个不同的根， ∴△=(2b)2−4(a 2+c 2−ac)>0，即ac >a 2+c 2−b 2，即ac >2accosB ，即cosB <12， ∴−1<cosB <12，∴cos2B +cosB =2cos 2B +cosB −1=2(cosB +14)2−98∈[−98,0)， 故选：B ．先求导f′(x)=x 2+2bx +(a 2+c 2−ac)，从而化函数f(x)有极值点为x 2+2bx +(a 2+c 2−ac)=0有两个不同的根，从而再利用余弦定理求解cos B 的取值范围即可求得． 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是中档题．10.【答案】B【解析】解∵圆C 1的方程为：(x +2)2+y 2=1，∴圆C 1的圆心为(−2,0)，半径r 1=1，同理圆C 2的圆心为(2,0)，半径r 2=7， 设动圆C 的半径为R ，∵动圆C 满足与C 1外切且C 2与内切，∴|C 1C|=r 1+R =1+R ，|C 2C|=r 2−R =7−R ， 两式相加得|C 1C|+|C 2C|=1+7=8>4， ∴圆心C 在以C 1、C 2为焦点的椭圆上运动， 由2a =8，c =2，得a =4，b =√a 2−c 2=2√3， ∴椭圆方程为x 216+y 212=1，即动圆圆心C 的轨迹方程为：x 216+y 212=1， 如下图，∵M 为C 1上的动点，且CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴当|CC 1|最小时，|CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |最小， ∵|CC 1|最小值为a −c =2，∴|CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |最小值为√22−12=√3， 故选：B ．根据两圆相切的性质证出|C 1C|+|C 2C|=8>4，得到圆心C 在以C 1、C 2为焦点的椭圆上运动，可得动圆圆心C 的轨迹方程，再利用椭圆的性质和勾股定理即可求解．本题考查了圆的标准方程、圆与圆的位置关系，动点轨迹方程的求法，椭圆的性质，属于中档题．11.【答案】D【解析】解：函数g(x)的定义域是(−3,+∞)， 由题意当x 0>−3时，f(x 0)−g(x 0)=−x 022−2x 0成立，即e x 0+a +4ex 0+a =ln(x 0+3)−x 022−3x 0在x 0∈(−3,+∞)上成立，由e x 0+a +4ex 0+a ≥2√ex 0+a ⋅4ex 0+a =4，当且仅当e x 0+a =4e x 0+a 即x 0=ln2−a 时取“=”， 设g(x)=ln(x +3)−x 22−3x ，则g′(x)=−(x+2)(x+4)x+3，由g′(x)<0，解得：x >−2，由g′(x)>0，解得：−3<x <−2， 故g(x)在(−3,−2)递增，在(−2,+∞)递减， 故g(x)≤g(−2)=4， 要使得ex 0+a+4e x 0+a =ln(x 0+3)−x 022−3x 0在x 0∈(−3,+∞)上成立，则x 0=ln2−a =−2，故a =2+ln2， 故选：D ．求出e x 0+a +4e x 0+a ≥4，ln(x 0+3)−x022−3x 0≤4，得到关于a 的方程，求出a 的值即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用，基本不等式的性质以及转化思想，是中档题．12.【答案】A【解析】解：∵四边形CDD1C1中，点P到异面直线BC、C1D1的距离相等，且点P到直线C1D1的距离始终为CP，∴点P的轨迹为是以C为焦点，以x=−1为准线的抛物线，∵四边形CDD1C1中，点Q使得异面直线A1Q、BC所成角正弦值为定值√2121，即点Q使得异面直线A1Q、A1D1所成角正弦值为定值√2121，则其正切值为定值√510，而A1D1⊥PD1，∴在Rt△A1D1P中，D1PA1D1=√510，则D1P为定值√55，则点Q的轨迹是以D1为圆心，√55为半径的14圆，显然S MPC1Q =S△MC1Q+S△MC1P，而(S△MC1Q )min=12×√5×(2√5−√55)=12(当Q为过D1且垂直MC1的直线与圆的交点时)，(S△MC1P)min=1 2×√5×32√5=34(当P处切线//MC1时)，∴(S MPC1Q )min=12+34=54，而∠A1RB=3π4，A1B=2√2，则动点R的轨迹为以2为半径，A1B为弦所对的圆弧，则动点R到平面CDD1C1的距离的最小值为2−(2−√2)=√2，∴多面体RMPC1Q体积最小值为13×54×√2=5√212．故选：A．依题意，求得动点P及动点Q的轨迹，由此可求得△MC1Q，△MC1P面积的最小值，进而求得四边形MPC1Q 面积的最小值，而动点R到平面CDD1C1的距离的最小值为√2，再利用锥体的体积公式即可得解．本题考查立体几何与圆锥曲线的综合运用，涉及了动点的轨迹方程以及多面体体积的求法，考查直观想象及逻辑推理等数学素养，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于难题．13.【答案】(0,2)【解析】解：∵方程(m−2)x2+my2=1表示双曲线，∴(m−2)m<0，即0<m<2，∴m的取值范围是(0,2)．故答案为：(0,2)．由方程(m −2)x 2+my 2=1表示双曲线，可得(m −2)m <0，求解得答案． 本题考查双曲线的方程与几何性质，是基础题．14.【答案】−52【解析】解：∵二项式(x −12x )n 的展开式中只有第4项的二项式系数最大，∴n =6，则展开式中的通项公式为T r+1=C 6r⋅(−12)r ⋅(x)6−2r ． 令6−2r =0，求得r =3，故展开式中的常数项为C 63(−12)3=−52， 故答案为：−52．先求出n 的值，可得二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于0，求得r 的值，即可求得展开式中的常数项的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．15.【答案】2022【解析】解：∵点(n,a n )在y =x 上， ∴a n =n ， ∴S n =n(n+1)2，∴12S n=1n(n+1)=1n −1n+1，∴2021(12S 1+12S 2+⋯…+12S 2021)=2021×(1−12+12−13+⋯…+12021−12022)=2021×(1−12+12−13+⋯…+12021−12022)=2021×20212020=2022+12021，∴[20212S 1+20212S 2+⋯+20212S 2021]=[2022+12021]=2022，故答案为：2022．点(n,a n )在y =x 上，可得a n =n ，利用求和公式可得S n ，12S n，利用裂项求和方法可得：2021(12S 1+12S 2+⋯…+12S2021)，进而得出结论．本题考查了等差数列的通项公式及求和公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.【答案】2√33【解析】解：如图所示，连接CO1，CO2，由题意得：CO1=√33AC，CO2=√33BC，∠O2CB=30°，∠O1CA=30°，又∠ACB=30°，∴∠O1CO2=90°，又S△O1O2O3=√34O1O22=√3，∴O1O2=2，由勾股定理可得：CO12+CO22=O1O22，则(√33AC)2+(√33BC)2=O1O22，得AC2+BC2=12，由余弦定理可得：AB2=AC2+BC2−2AC⋅BC⋅cos30°又AB=2，解得AC⋅BC=8√33，∴S△ABC=12AC⋅BC⋅sin30°=2√33．故答案为：2√33．连接CO1，CO2，得CO1=√33AC，CO2=√33BC，∠O2CB=30°，∠O1CA=30°，进一步可得∠O1CO2=90°，利用勾股定理求得AC2+BC2=12，再由余弦定理AC⋅BC，则ABC的面积可求．本题考查三角形的解法，考查数形结合思想，考查余弦定理的应用，是中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)由2cos2A−B2cosB−sin(A−B)sinB+cos(A+C)=−35可得cos(A−B)cosB−sin(A−B)sin(A+c)=−35，可得cos(A−B)cosB−sin(A−B)sinB=−35，即cos(A−B+B)=−35，即cosA=−35，(Ⅱ)由正弦定理，asinA =bsinB，所以sinB=bsinAa=√22，由题意可知a>b，即A>B，所以B=π4，由余弦定理可知(4√2)2=52+c2−2×5c×(−35)．解得c =1，c =−7(舍去)．向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 在BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影：|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosB =ccosB =√22．【解析】(Ⅰ)由已知条件利用三角形的内角和以及两角差的余弦函数，求出A 的余弦值，然后求sin A 的值； (Ⅱ)利用a =4√2，b =5，结合正弦定理，求出B 的正弦函数，求出B 的值，利用余弦定理求出c 的大小． 本题考查两角和的余弦函数，正弦定理以及余弦定理同角三角函数的基本关系式等基本知识，考查计算能力转化思想．18.【答案】(1)证明：EF//A 1D 且EF ≠A 1D ，∴A 1E ，DF 共面．∴设A 1E⋂DF =P ，则P ∈A 1E ，而A 1E ⊂面AA 1B 1B ，∴P ∈面AA 1B 1B ；同理可得∴P ∈面ABCD ，∴点P 在面ABCD 与面AA 1B 1B 的公共直线AB 上， 即A 1E ，AB ，DF 三线共点．(2)解：根据题意可知，AA 1，AB ，AD 两两垂直，以AB 为x 轴，AD 为y 轴，AA 1为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系：A 1(0,0，2)，E(2,0，1)，C 1(2,2，2)，F(2,1，0)，故A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,−1)，A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,0)． 假设满足条件的点G 存在， 设G(a,2，0)，a ∈(0,2)， 则FG⃗⃗⃗⃗⃗ =(a −2,1,0)， 设平面A 1EC 1的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y,z)， 则由{m ⃗⃗⃗ ⊥A 1E⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ m⃗⃗⃗ ⊥A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 得，{2x −z =02x +2y =0 不妨取z =2，则x =1，y =−1．所以平面A 1EC 1的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(1,−1,2)， 设直线FG 与平面A 1EC 1的平面角为θ，则sinθ=|cos <m ⃗⃗⃗ ,FG ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|m ⃗⃗⃗ ⋅FG⃗⃗⃗⃗⃗|m ⃗⃗⃗ ||FG⃗⃗⃗⃗⃗ ||=√(a−2)2+12+02×√12+(−1)2+22=√33， 得a =1．GC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,2)设平面A 1GC 1的法向量为n ⃗ =(x,y,z)， 则{x +2z =02x +2y =0平面A 1GC 1的一个法向量为n ⃗ =(−2,2,1)|cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ ||=√6×3=√69，二面角E−A1C1−G 的平面角的余弦值√69．【解析】(1)证明P∈面AA1B1B；P∈面ABCD，点P在面ABCD与面AA1B1B的公共直线AB上，可得A1E，AB，DF三线共点．(2)以AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴建立如图所示的空间直角坐标系求出平面A1EC1的法向量，求出平面A1GC1的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角E−A1C1−G的平面角的余弦值即可．本题考查空间三线共点，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，转化三线以及计算能力，是中档题．19.【答案】解：(1)设P(x0,y0)，F(0,p2)，△PQF为等边三角形时，其面积为4√3，∴12⋅|PQ|2⋅sinπ3=4√3，解得|PQ|=4，∵Q为P在动直线y=t(t<0)上的投影，∴Q(x0,t)，当△PQF为等边三角形时，|PQ|=|PF|=|QF|，由抛物线的定义知，t=−p2，∴{y0+p2=4x02+p2=16x02=2py0，解得p=2．∴抛物线C的方程为x2=4y；(2)存在t，使得|AM|=|BM|，t=1．证明如下：设P(x0,y0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x02=4y0，Q(x0,t)，∵y=14x2，∴y′=12x，∴切线l：y−y0=12x0(x−x0)，即y=12x0x−y0，联立{y =12x 0x −y 0x 24+y 22=1，得(1+12x 02)x 2−2x 0y 0x +2y 02−4=0． ∴x 1+x 2=2x 0y 01+12x 02，则y 1+y 2=12x 0x 1−y 0+12x 0x 2−y 0=12x 0⋅2x 0y 01+12x 02−2y 0=4y 0x 02+2 ∵Q(x 0,t)，∴l OQ ：y =−tx 0x ，联立{y =−tx 0x y =12x 0x −y 0，得y M =−2y 0t x 02−2t ， ∵|AM|=|BM|，且A 、B 、M 共线，∴M 为AB 的中点， 则2y M =y 1+y 2，即−4y 0t x 02−2t =4y 0x 02+2，解得t =1．综上，存在t ，使得|AM|=|BM|，t =1．【解析】(1)根据正三角形得三角形的边长，再由抛物线的定义列方程组，解方程即可；(2)根据导数的几何意义得到直线l 的方程，联立直线与椭圆方程，利用根与系数的关系得M 的坐标，由|AM|=|BM|知M 为AB 的中点，再根据中点坐标公式列方程，解方程即可求得结果．本题考查抛物线方程的求法，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：(1)样本中包裹件数在101～400之间的天数为48，频率f =4860=45，故可估计概率为45，未来3天中，包裹件数在101～400之间的天数X 服从二项分布，即X ～B(3,45)，故所求概率为C 32×(45)2×15=48125； (2)①样本中快递费用及包裹件数如下表：故样本中每件快递收取的费用的平均值为10×43+15×30+20×15+25×8+30×4100=15(元)，故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为15元．②根据题意及(2)①，揽件数每增加1，可使前台工资和公司利润增加15×13=5(元)，将题目中的天数转化为频率，得若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，公司每日揽件数情况如下：故公司平均每日利润的期望值为260×5−3×100=1000(元)；若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下：故公司平均每日利润的期望值为235×5−2×100=975(元)因975<1000，故公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利．【解析】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法及应用，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．(1)样本中包裹件数在101～400之间的天数为48，频率f=4860=45，可估计概率为45，未来3天中，包裹件数在101～400之间的天数X服从二项分布X～B(3,45)，由此能求出该公司未来3天内恰有2天揽件数在101～400之间的概率．(2)①列表求出样本中快递费用及包裹件数，由此能求出样本中每件快递收取的费用的平均值．②揽件数每增加1，可使前台工资和公司利润增加5元，将题目中的天数转化为频率，得若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，公司平均每日利润的期望值为260×5−3×100=1000元；若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司平均每日利润的期望值为235×5−2×100=975元，从而公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利．21.【答案】解：(1)由题可知f′(x)=(x+1)e x−2ae2x=0有两个不等的实根，即x+1−2ae x=0有两个不等的实根，令2a=x+1e x =ℎ(x)，则ℎ′(x)=e x−(x+1)e x(e x)2=−xe x，∴当x∈(−∞,0)时，ℎ′(x)>0，当x∈(0,+∞)时，ℎ′(x)<0，∴ℎ(x)在(−∞,0)单调递增，在(0,+∞)单调递减，∴ℎ(x)max=ℎ(0)=1，又ℎ(−1)=0，x∈(−∞,−1)时，ℎ(x)<0，x∈(−1,+∞)时，ℎ(x)>0，∴2a∈(0,1)，即a∈(0,12)；(2)由(1)知，x1，x2是方程x+1e x=2a的两根，∴−1<x1<0<x2，则x1+λx2>0即为x2>−x1λ>0，∵ℎ(x)在(0,+∞)上单减，∴ℎ(x2)<ℎ(−x1λ)，又ℎ(x2)=ℎ(x1)，∴ℎ(x1)<ℎ(−x1λ)，即x1+1e x1<−x1λ+1ex1λ，两边取对数，并整理得，λln(x1+1)−λln(1−x1λ)−(1+λ)x1<0对一切x1∈(−1,0)恒成立，设F(x)=λln(x+1)−λln(1−xλ)−(1+λ)x,x∈(−1,0)，则F′(x)=λx+1+11−xλ−(1+λ)=(1+λ)(x+1−λ)x(x+1)(λ−x)当λ≥1时，F′(x)>0对x∈(−1,0)恒成立，∴F(x)在(−1,0)上单增，故F(x)<F(0)=0恒成立，符合题意；当0<λ<1时，λ−1∈(−1,0)，x∈(λ−1,0)时，F′(x)<0，∴F(x)在(λ−1,0)上单减，F(x)>F(0)=0，不合题意．综上，λ≥1．【解析】(1)问题可等价于x+1−2ae x=0有两个不等的实根，令2a=x+1e x=ℎ(x)，利用导数研究函数ℎ(x)的性质，可得2a∈(0,1)，由此求得实数a的取值范围；(2)显然，x1，x2是方程x+1e x =2a的两根，依题意，x2>−x1λ>0，则x1+1e x1<−x1λ+1ex1λ，两边取对数得到λln(x1+1)−λln(1−x1λ)−(1+λ)x1<0对一切x1∈(−1,0)恒成立，再构造函数F(x)=λln(x+1)−λln(1−xλ)−(1+λ)x,x ∈(−1,0)，分λ≥1及0<λ<1讨论得解．本题考查利用导数研究函数的极值及不等式的恒成立问题，考查函数与方程思想以及运算求解能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)当t 为参数，α=π3时，曲线C 1表示直线：y =√3(x −1)，由l ：ρsin(θ−π3)=1，得l ：12ρsinθ−√32ρcosθ=1，将x =ρcosθ，y =ρsinθ代入方程得y =√3x +2， 因为斜率相等，所以曲线C 1与直线l 平行；(2)当α为参数，t =2时，曲线C 1的参数方程{x =1+2cosαy =2sinα(α为参数)，消去参数得曲线C 1的普通方程(x −1)2+y 2=4， 易知直线过P(0,2)，故设直线l 的参数方程为{x =12ty =2+√32t(t 为参数)， 联立直线l 的参数方程与曲线C 1的普通方程，得t 2+(2√3−1)t +1=0， 设A ，B 对应的参数为t 1，t 2，则t 1+t 2=1−2√3,t 1t 2=1， 故1|PA|+1|PB|=1|t 1|+1|t 2|=|t 1|+|t 2||t 1t 2|=|t 1+t 2||t 1t 2|=2√3−1．【解析】(1)当t 为参数，α=π3时，化简曲线C 1表示直线：y =√3(x −1)，求出l ：ρsin(θ−π3)=1，即可y =√3x +2，推出结果．(2)求出曲线C 1的普通方程(x −1)2+y 2=4，联立直线l 的参数方程与曲线C 1的普通方程，利用参数的几何意义，转化求解即可．本题考查极坐标方程以及参数方程与普通方程的互化，考查转化思想以及计算能力，是中档题．23.【答案】解：(1)1a +2b =(a +b)(1a +2b )=3+2a b+ba≥3+2√2a b ⋅ba =3+2√2，当且仅当“b =√2a =2−√2”时取等号， 故1a +2b 的最小值为3+2√2； (2)证明：ab+2b a 2+b 2+1=ab+2b a 2+b 25+4b 25+1≤2√a 2⋅25+2√25⋅1=ab+2b2√5(ab+2b)=√52，当且仅当a=12,b=√52时取等号，此时a+b≠1．故ab+2ba2+b2+1<√52．【解析】本题主要考查基本不等式的运用，属于中档题．(1)利用基本不等式即可求得最小值；(2)关键是配凑系数，进而利用基本不等式得证．第21页，共21页。