随机过程复习提纲汇总

第一章 随机过程的基本概念一、随机过程的定义例1：医院登记新生儿性别，0表示男，1表示女,X n 表示第n 次登记的数字,得到一个序列X 1 ， X 2 ， ···,记为{X n ，n=1,2, ···},则X n 是随机变量，而{X n ,n=1,2, ···｝是随机过程。

例2：在地震预报中，若每半年统计一次发生在某区域的地震的最大震级。

令X n 表示第n 次统计所得的值，则X n 是随机变量。

为了预测该区域未来地震的强度，我们就要研究随机过程｛X n ，n=1，2, ···}的统计规律性. 例3：一个醉汉在路上行走，以概率p 前进一步，以概率1—p 后退一步（假设步长相同）。

以X(t)记他t 时刻在路上的位置，则｛X(t), t ≥0}就是（直线上的)随机游动。

例4:乘客到火车站买票，当所有售票窗口都在忙碌时，来到的乘客就要排队等候。

乘客的到来和每个乘客所需的服务时间都是随机的，所以如果用X （t)表示t 时刻的队长，用Y （t)表示t 时刻到来的顾客所需等待的时间，则{X （t ）, t ∈T ｝和｛Y （t)， t ∈T ｝都是随机过程。

定义：设给定参数集合T ，若对每个t ∈T, X(t ）是概率空间),,(P ℑΩ上的随机变量，则称｛X(t)， t ∈T}为随机过程，其中T 为指标集或参数集.E X t →Ω:)(ω，E 称为状态空间，即X(t ）的所有可能状态构成的集合。

例1：E 为{0，1｝ 例2：E 为[0, 10]例3：E 为},2,2,1,1,0{ -- 例4：E 都为),0[∞+注:（1）根据状态空间E 的不同，过程可分为连续状态和离散状态,例1，例3为离散状态,其他为连续状态。

（2）参数集T 通常代表时间，当T 取R ， R +, [a,b]时，称｛X(t), t ∈T ｝为连续参数的随机过程；当T 取Z, Z +时，称｛X(t ）， t ∈T}为离散参数的随机过程。

第一章随机过程 的基本概念与基本类型 一．随机变量及其分布X ，分布函数 F (x) P(X x) 1．随机变量 离散型随机变量 X 的概率分布用分布列 p P(X x k ) F(x)p kf (t)dt分布函数kxX 的概率分布用概率密度 f (x)F(x)分布函数连续型随机变量 2．n 维随机变量 X (X ,X , , X ) 1 2 n F(x) F(x ,x , ,x ) P(X x , X 2 x , , X n x n ,)其联合分布函数 1 2 n 1 1 2 离散型联合分布列连续型联合概率密度３．随机变量 的数字特征 数学期望：离散型随机变量 XEX x p kkXEX xf (x)dx连续型随机变量2DX E(X EX) 2 EX (EX) 2方差：反映随机变量取值 的离散程度协方差（两个随机变量 X ,Y ）：B E[( X EX)(Y EY)] E(XY) EX EYXYB XY相关系数（两个随机变量X,Y ）：0，则称 X ,Y 不相关。

若XYDX DY独立不相关itXg(t) E(e )itxe p k 连续 g(t)ke itxf (x)dx４．特征函数离散 g(t) 重要性质： g(0) 1，g(t) 1 g( t) g(t)，， g (0) i EX kk k５．常见随机变量 的分布列或概率密度、期望、方差 ０－１分布 二项分布P( X 1) p,P( X 0) qEX pDX pqP(X k) C p q n kk kEX npDX n p qnk泊松分布P( X k) ek!EXDX均匀分布略( x a)21 2N(a, ) f (x)222EX a正态分布eDX2xe ,x 0 0, x 011指数分布f (x)EXDX2X (X ,X , ,X ) 的联合概率密度 X ~ N(a, B) ６．Ｎ维正态随机变量1 2 n11 2T 1(x a) B (x a)}f (x , x , , x n ) exp{ 11 2n 2(2 ) | B |2a (a ,a , ,a )， x (x , x , ,x )， B (b ) 正定协方差阵 1 2 n 1 2 n ij n n二．随机过程 的基本概念 １．随机过程 的一般定义设 ( , P)是概率空间， T 是给定 的参数集，若对每个 t T ，都有一个随机变量 X 与之对应， X(t,e),t T ( , 是P)上 的随机过程。

随机过程复习提纲2017第⼀章1. 简述样本空间、基本事件、事件、随机事件、事件域的概念。

2. 设概率空间(,,)F P Ω，,A B F ∈（随机试验中两个随机事件A 、B ），()0P A >，B 1,B 2,…,B n 为Ω的⼀个分割，请写出：（1）事件A 出现条件下事件B 出现的概率公式P(B |A )；（2）事件A 、B 同时发⽣的乘法公式P (AB )；（3）事件A 的全概率公式P (A )；（4）P (B i |A )的贝叶斯公式。

3. 某化验室检测某种疾病的⾎液检查,当确实有病时的有效率是95%.可是,该检测也在1%的健康⼈中产⽣“假阳性”结果(即⼀个健康⼈去检查, 检测结果为阳性的概率是0.01).如果总体⼈群中有0.5%真有此病,问已知某⼈检测结果为阳性时,他有病的概率是多少?4. 假设离散随机变量X 的分布律为：p(1)=1/2，p(2)=1/3， p(3)=1/6，请写出关于X 的累积分布函数F(x)。

5. 设⼆维随机变量X 、Y 的联合分布函数为,(,)X Y F x y ，请分别写出关于X 和关于Y 的边缘分布函数和边缘PDF ，并写出(,)XY f x y 、|(|)Y X f y x 和()X f x 三者关系式。

6. 随机变量X ，Y 的联合概率密度函数为|| (,0)(,)0, y XY Ae y x x y f x y ，其它-?>-∞<<∞>=??求：常数A 、边缘概率密度函数()X f x ，()Y f y 和条件概率密度函数|(|)Y X f y x ，|(|)X Y f x y ，判断是否统计独⽴。

7. 随机变量Y =sin X , X 为（-π，π）均匀分布，1()2X f x π=,求)(y f Y 。

8. 已知随机变量X 1，X 2的联合PDF 为1212(,)X X f x x ，试借助⼆维随机变量函数的分布来求随机变量Y=X 1-X 2的PDF 。

第一章：1． 填空若X 1,X 2,…,X n 是相互独立的随机变量,且g i (t)是X i 的特征函数,i=1,2,…,n)则X=X 1+X 2+…X n 的特征函数g(t)= ＿g 1(t) g 2(t)…g n (t) 2.设P(S)是X 的母函数，试证: (1)若E(X)存在，则EX=P ′(1)(2)若D(X)存在，则 DX = P"(1)+ P ′(1)-[ P ′(1)]2 证明:(1)因为p 〔s 〕=sp kk k∑∞=0，则p ′〔s 〕=skpk k k11-∞=∑，令s ↑1，得EX==∑∞=1k kkpp ′(1)。

〔2〕同理可证DX=p 〞(1)+ p ′(1) —[p ′(1)] 23.设X 服从B(n,p),求X 的特征函数g(t)与EX,EX 2,DX. 解：X 的分布列为P(X=k)=1k k n nC p q -,q=1-p ,k=0,1,2,...n,()00k n n n itk k k n k k it n k it g t e C p q C pe q pe q n n k k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--===+∑∑== 由性质得()()np itdtdi i EX t n q ep g=-=-==+0,()()()p nq e p dtdg i EX npq iti t n 2222"220+=-===+-()npq DX EX EX=-=224． 设X~N(0,1),求特征函数g(t).解dx xt g eitx ⎰∞+∞--=2221)(π由于e exx xix itx 2222=-，且〈+∞⎰∞+∞--dx xeitx 2221π，故由积分号下求导公式有⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-==-∞+∞-∞+∞--⎰⎰de e ixeg x i dx xt ixt itx 22'22221)(ππdx xt xi eeitx itx ⎰⎰∞+∞--∞+∞-∞+∞---=222222ππ)(t tg -=于是得微分方程g ’(t)+tg(t)=0 解得方程的通解为e Ctt g +-=22)(由于g(0)=1,所以C=0， 于是得X 的特征函数为ett g 22)(-=5． 设随机变量Y~N(μ，σ2)，求Y 的特征函数是g Y (t). 解：设X~N(0,1),则由例1.3知X 的特征函数ett g 22)(-=令Y=μσ+X ,则Y~N(μ，σ2)，由前面的命题知Y 的特征函数是()()eg e g tt t t i Xxi Y222σσμμ-==，6． 设X 1,X 2…X n 是相互独立的随机变量，且X i ~b(n i ,p),i=1,2,…n,则⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∑∑==n i i ni i p b Y n X 11,~证 因为X i ~b(n i ,p),所以其特征函数为()(),,...2,1,n i it nt X q e p g ii==+由特征函数的性质知，∑==ni i x Y 1的特征函数为()()()(),111∏++∏==∑====ni ni Yq e p q e p g g it n it nt X t ni iii再有唯一性定理知⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∑∑==ni i ni i p b Y n X 11,~7． 设X 1,X 2…X n 是相互独立的随机变量，且(),,...2,1,~n i iiX=λπ则⎪⎭⎫⎝⎛=∑∑==n i i ni i X Y 11~λπ证 因为(),~λπii X 所以其特征函数为()n i e t Xe g itii,...2,1,1==⎪⎭⎫⎝⎛-λ有特征函数的性质知，∑==ni i X Y 1的特征函数为()()e eg g ni iti iti ie et X t ni n i Y ∑====⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∏∏11111λλ再由唯一性定理知⎪⎭⎫⎝⎛=∑∑==n i i ni i X Y 11~λπ。

第一章：1． 填空若X 1,X 2,…,X n 是相互独立的随机变量,且g i (t)是X i 的特征函数,i=1,2,…,n)则X=X 1+X 2+…X n 的特征函数g(t)= ＿g 1(t) g 2(t)…g n (t) 2.设P(S)是X 的母函数，试证: (1)若E(X)存在，则EX=P ′(1)(2)若D(X)存在，则 DX = P"(1)+ P ′(1)-[ P ′(1)]2 证明:(1)因为p （s ）=sp kk k∑∞=0，则p ′（s ）=skpk k k11-∞=∑，令s ↑1，得EX==∑∞=1k kkpp ′(1)。

（2）同理可证DX=p 〞(1)+ p ′(1) —[p ′(1)] 2 3.设X 服从B(n,p),求X 的特征函数g(t)及EX,EX 2,DX. 解：X 的分布列为P(X=k)=1k k n nC p q -,q=1-p ,k=0,1,2,...n,()00k n n n itk k k n k k it n k it g t e C p q C pe q pe q n n k k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--===+∑∑== 由性质得()()np itdtdi i EX t n q ep g=-=-==+0,()()()p nq e p dtdg i EX npq iti t n 2222"220+=-===+-()npq DX EX EX=-=224． 设X~N(0,1),求特征函数g(t). 解dx xt g eitx ⎰∞+∞--=2221)(π由于e exx xix itx 2222=-，且〈+∞⎰∞+∞--dx xeitx 2221π，故由积分号下求导公式有⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-==-∞+∞-∞+∞--⎰⎰de e ixeg x i dx xt ixt itx 22'22221)(ππdx xtxi eeitx itx ⎰⎰∞+∞--∞+∞-∞+∞---=222222ππ)(t tg -=于是得微分方程g ’(t)+tg(t)=0 解得方程的通解为e Ctt g +-=22)(由于g(0)=1,所以C=0， 于是得X 的特征函数为ett g 22)(-=5． 设随机变量Y~N(μ，σ2)，求Y 的特征函数是g Y (t). 解：设X~N(0,1),则由例1.3知X 的特征函数ett g 22)(-=令Y=μσ+X ,则Y~N(μ，σ2)，由前面的命题知Y 的特征函数是()()eg e g tt t t i Xxi Y222σσμμ-==，6． 设X 1,X 2…X n 是相互独立的随机变量，且X i ~b(n i ,p),i=1,2,…n,则⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∑∑==n i i ni i p b Y n X 11,~证 因为X i ~b(n i ,p),所以其特征函数为()(),,...2,1,n i it nt X q e p g ii==+由特征函数的性质知，∑==ni i x Y 1的特征函数为()()()(),111∏++∏==∑====ni n i Y q e p q e p g g it n it n t X t ni iii再有唯一性定理知⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∑∑==n i i ni i p b Y n X 11,~7． 设X 1,X 2…X n 是相互独立的随机变量，且(),,...2,1,~n i ii X =λπ则⎪⎭⎫⎝⎛=∑∑==n i i ni i X Y 11~λπ证 因为(),~λπiiX所以其特征函数为()n i e t Xe g it ii,...2,1,1==⎪⎭⎫ ⎝⎛-λ有特征函数的性质知，∑==ni i X Y 1的特征函数为()()e eg g ni iti iti ie et X t ni n i Y ∑====⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∏∏11111λλ再由唯一性定理知⎪⎭⎫⎝⎛=∑∑==n i i ni i X Y 11~λπ。

《概率统计与随机过程》知识总结第1章 随机事件及其概率一、随机事件与样本空间 1、随机试验我们将具有以下三个特征的试验称为随机试验，简称试验， （1）重复性：试验可以在相同的条件下重复进行；（2）多样性：试验的可能结果不止一个，并且一切可能的结果都已知； （3）随机性：在每次试验前，不能确定哪一个结果会出现。

随机试验一般用大写字母E 表示，随机试验中出现的各种可能结果称为试验的基本结果。

2、样本空间随机试验E 的所有可能结果组成的集合称为试验的样本空间，记为S ，样本空间中的元素，即E 的每个基本结果，称为样本点。

3、随机事件称随机试验E 的样本空间S 的子集为E 的随机事件，简称事件。

随机事件通常利用大写字母A 、B 、C 等来表示。

在一次试验中，当且仅当这一子集（事件）中的某个样本点出现时，称这一事件发生。

特别地，将只含有一个样本点的事件称为基本事件；样本空间S 包含所有的样本点，它在每次试验中都发生，称S 为必然事件；事件∅（S ∅⊂）不包含任何样本点，它在每次试验中都不发生，称∅为不可能事件。

4、随机事件间的关系及运算（1）包含关系：若B A ⊂，则称事件A 包含事件B ，也称事件B 含在事件A 中，它表示：若事件B 发生必导致事件A 发生。

（2）相等关系：若B A ⊂且A B ⊂，则称事件A 与事件B 相等，记为A B =。

（3）事件的和：称事件{|A B x x A ⋃=∈或}x B ∈为事件A 与事件B 的和事件。

事件A B ⋃发生意味着事件A 发生或事件B 发生，即事件A 与事件B 至少有一件发生。

类似地，称1n i i A =⋃为n 个事件12n A A A ⋯、、、的和事件，称1i i A ∞=⋃为可列个事件12 A A ⋯、、的和事件。

（4）事件的积：称事件{|A B x x A ⋂=∈且}x B ∈为事件A 与事件B 的积事件。

事件A B ⋂发生意味着事件A 发生且事件B 发生，即事件A 与事件B 都发生。

第一章 随机过程的基本概念与基本类型 一．随机变量及其分布1．随机变量X ， 分布函数)()(x X P x F ≤=离散型随机变量X 的概率分布用分布列 )(k k x X P p == 分布函数∑=kpx F )(连续型随机变量X 的概率分布用概率密度)(x f 分布函数⎰∞-=xdt t f x F )()(2．n 维随机变量),,,(21n X X X X =其联合分布函数),,,,(),,,()(221121n n n x X x X x X P x x x F x F ≤≤≤== 离散型 联合分布列 连续型 联合概率密度 ３．随机变量的数字特征数学期望：离散型随机变量X ∑=k kp xEX 连续型随机变量X ⎰∞∞-=dx x xf EX )(方差：222)()(EX EX EX X E DX -=-= 反映随机变量取值的离散程度 协方差（两个随机变量Y X ,）：EY EX XY E EY Y EX X E B XY ⋅-=--=)()])([( 相关系数（两个随机变量Y X ,）：DYDX B XY XY ⋅=ρ 若0=ρ，则称Y X ,不相关。

独立⇒不相关⇔0=ρ４．特征函数)()(itXeE t g = 离散 ∑=k itx p e t g k )( 连续 ⎰∞∞-=dx x f e t g itx )()(重要性质：1)0(=g ，1)(≤t g ，)()(t g t g =-，k k k EX i g =)0(５．常见随机变量的分布列或概率密度、期望、方差０－１分布 q X P p X P ====)0(,)1( p EX = pq DX =二项分布 kn k k n q p C k X P -==)( np EX = npq DX =泊松分布 !)(k ek X P kλλ-== λ=EX λ=DX 均匀分布略正态分布),(2σa N222)(21)(σσπa x ex f --=a EX = 2σ=DX指数分布 ⎩⎨⎧<≥=-0,00,)(x x e x f x λλ λ1=EX 21λ=DX６．Ｎ维正态随机变量),,,(21n X X X X =的联合概率密度),(~B a N X)}()(21ex p{||)2(1),,,(121221a x B a x B x x x f T nn ---=-π),,,(21n a a a a =，),,,(21n x x x x =，n n ij b B ⨯=)(正定协方差阵二．随机过程的基本概念 １．随机过程的一般定义设),(P Ω是概率空间，T 是给定的参数集，若对每个T t ∈，都有一个随机变量X 与之对应，则称随机变量族{}T t e t X ∈),,(是),(P Ω上的随机过程。