第七章 多元随机过程的建模与谱估计
7.1 多元随机过程的表示
l 维平稳随机向量过程)(n Y 由l 个平稳随机过程构成
T l n y n y n y n Y )](,),(),([)(21 = (7-1)
其二阶特性由均值向量Y μ： {}T y y y Y l
n Y E ],,,[)(2
1
μμμμ
== (7-2)
和协方差矩阵()Y C m ：
{}()[()][()]T Y Y Y C m E Y n Y n m μμ=-+-111212122212()()
()()()
()()()
()l l l l l l y y y y y y y y y y y y y y y y y y C m C m C m C m C m C m C m C m C m ??
?
?
??
=?
???
????
(7-3) 决定，其中)(m C j i y y 是随机过程)(n y i 和)(n y j 的协方差，即
{}
()[()][()]i j i j y y i y j y C m E y n y n m μμ=-+-，l j l i ≤≤≤≤1,1
由于
)(m C j i y y ()i j y y R m =i j y y μμ+，l j l i ≤≤≤≤1,1
因此，协方差矩阵()Y C m 又可表示为
()Y C m ()T
Y Y Y
R m μμ=- (7-4) 其中，()Y R m 为l 维平稳随机向量过程)(n Y 的自相关矩阵。该矩阵中的第i 行第j 列元素是随机过程)(n y i 和)(n y j 的互相关函数)(m R j i y y ，即
()Y R m 1112121
22212()()
()()()()()()()l l l l l l y y y y y y y y y y y y y y y y y y l l
R m R m R m R m R m R m R m R m R m ???????=??
??
???? (7-5)
当)(n Y 的均值为零时，协方差矩阵)(m C Y 与互相关矩阵)(m R Y 相等。一般情况下，总是将随机向
量减去其均值向量估计，构成一个零均值的、新的随机向量。然后对新的随机向量进行各种分析。
举例，l 维白噪声向量)(n W 的二阶特征量为：
,0
0,()0,0W W W Q m C m m μ=?==?
≠?
其中W Q 为常数矩阵。若白噪声向量)(n W 的个分量互不相关，则其协方差矩阵W Q 是对角矩阵，即
12
22
2
[,,,]l
W w w w Q diag σσσ= (7-6) 互相关矩阵性质：
１）
()()T Y Y R m R m =- (7-7)
【证明：因为，{}
()()()i j y y i j R m E y n y n m =+{}
()()j i E y n y n m =-()j i y y R m =-，所以
(){()}{()}{()}()i j j i i j T T
Y y y l l y y l l y y l l Y R m R m R m R m R m ???==-=-=-
】
2）(0)Y R 是非负定的
【证明：用l 个不全为零的实数i a ，1,2,
,i l =，作随机过程
1
()()()l
T i i i z n a y n a Y n ===∑
[]12,,,T l a a a a =，则有
2(0){()}{()()}{()()}(0)0T T T T T z Y R E z n E a Y n Y n a a E Y n Y n a a R a ====≥
当且仅当()0Y n =时，(0)0z R =成立。】 7.2 向量过程的模型表示与谱
①向量过程的ＡＲ模型与功率谱
用l 维()AR p 过程模型描述的随机向量过程)(n Y 表示为
1()(1)()()p Y n A Y n A Y n p W n +-+
+-= (7-8)
其中i A （1,2,
,i p =）为l l ?阶参数矩阵，()W n 是l 维白噪声。
记
111(,)p p A p z I A z A z ---=++
+，111(,)[(,)]H p z A p z ---= (7-9)
则(7-8)式可改写为
1
(,)()()A p z Y n W n -= 或 1
()(,)()Y n H p z W n -= (7-10)
随机向量过程)(n Y 的功率谱密度函数矩阵为
1()[(,)]()(,)[(,)]()[(,)]j j j T j j j j T Y W W S e H p e S e H p e A p e S e A p e ωωωωωωω----== (7-11)
其中()j W S e ω=Γ是常数矩阵。当)(n W 的各分量互不相关时，()j W S e ω是对角矩阵，即
222
12()[,,
]
j W l S e diag ωσσσ= (7-12) ②向量过程的ARMA 模型与功率谱
用l 维(,)ARMA p q 过程模型描述的随机向量过程表示为
101()(1)()()(1)()p q Y n A Y n A Y n p B W n B W n B W n q +-+-=+-+- (7-13)
其中)(n Y 是l 维向量，)(n W 是l 维白噪声，,i j A B 为l l ?阶参数矩阵。
记
11111011111(,)(,)(,,)[(,)](,)p
p q
q A p z I A z A z B q z B B z B z H p q z A p z B q z ----------?=+++??=+++??=??
(7-14)
则(7-13)式可改写为
1
1
(,)()(,)()A p z Y n B q z W n --= 或 1
()(,,)()Y n H p q z W n -= (7-15) 向量过程)(n Y 的功率谱密度函数矩阵为 *
()[(,,)]()[(,,)]j j j j T Y W S e
H p q e S e H p q e ω
ω
ωω--=
1*
1
[(,)(,)]()[(,)(,
)]
j j j j j T
W
A p e
B q e
S
e
A p e
B q e ω
ω
ωω
ω------= 1
(,)(,)()(,)(,)j j j T
j T j W A p e B q e S e B q e
A p e ω
ω
ω
ω
ω----= (7-16)
其中()j W S e ω=Γ l l
R
?∈是白噪声的协方差矩阵。
显然，如果我们获得了过程模型参数及l 维白噪声的协方差矩阵Γ的估计，也就获得了过程功
率谱的估计。前面讨论的标量过程的AR 、ARMA 建模与谱估计可以推广到多变量过程。
7.3 向量AR 过程的建模
１．()AR p 过程的Y W -方程
对(7-8)式右乘()T
Y n m +并取期望，得
1{[()(1)()]()}{()()}T T p E Y n A Y n A Y n p Y n m E W n Y n m +-+
-+=+ (7-17)
因此，有
1()(1)()()T Y Y p Y WY R m A R m
A R m p R m +++++= (7-18) 由因果性质知，当m 小于零时，()Y n m +与()W n 无关；同时，考虑到()W n 的零均值特性，有
{}{}{()()}()()0T T E W n Y n m E W n E Y n m +=+=，0m < (7-19)
而当m 为零时，利用（7－8）和（7－19）有
{
}
1{()()}()()(1)()T
T p E W n Y n E W n W n AY
n A Y n p ??=-----??
{()()}T E W n W n =W Q = (7-20)
因此
,0
()0,0W WY Q m R m m =?=?
(7-21)
于是
1,0
()(1)()0,0
W
Y Y p Y Q m R m A R m A R m p m =?+++
++=?
111(0)(1)()(1)(0)(1)0()(1)(0)0
Y Y p Y W
Y Y p Y
Y
Y p Y R A R A R p Q R A R A R p R p A R p A R +++=??
-+++-=???
?-+-+++=? (7-23)
对(7-23)式求转置，并考虑到相关性质()()T
Y Y R m R m =-，则式(7-22)可改写为
111(0)(1)()(1)(0)(1)0
()(1)(0)0
Y Y p
Y p p T T T
T Y W
T T T
Y Y T T Y
Y Y R R A R p A Q R R A R p A R p R p A R A ?+++=?
?+++-=??
?
?+-++=?? (7-24) (7-24)为向量()AR p 过程Y W -方程，令
,(1)(1)(0)(1)()(1)(0)(1)(0)()(1)(0)Y Y Y Y
T T
Y T Y Y p Y Y Y l p l p R R R p R R R p R R p R p R +?+????-??=??
????-?? (7-25) 1(1)p T p T l p l
I A A +???????Θ=??
??????，(1)00W p l p l Q +???????Γ=??
???? (7-26) 则(7-24)式可改写为矩阵形式
,(0)Y p p p R Θ=Γ (7-27)
1．互相关矩阵,(0)Y p R 的性质：
1）,(0)Y p R 是非负定的，即,(0)0Y p R ≥；当()Y n 中不存在零分量时，,(0)Y p R 正定。
【证明：作随机过程
()()i
p
T i z k a Y k i ==
-∑
其中，,1,2,,,,T
i i i i n a a a a ??=??（0,1,
,i p =）是实数向量，,i j a （1,2,,j n =）不全为零。则
{}2
20,0()[()][()()]i i p p T T T
j i i j E z k E a Y k i E a Y k i Y k j a ==????=-=--????????
∑∑
{},0
,0
()()()i
i
p
p
T
T
T
j Y j i j i j a E Y k i Y
k j a a
R i j a ===
--=
-∑∑
010
1(0)
(1)()(1)(0)(1)()(1)
(0)Y Y Y Y Y Y T
T
T p p Y Y Y a R R R p a R R R p a a a a R p R p R --??
????
??-+??????=????????
?
?-??????
010
1(0)(1)()(1)(0)(1)()(1)
(0)T
T Y Y Y T
T
T
T Y Y Y p p Y Y Y a R R R p a R R R p a a a a R p R p R ??
?????
?-??
????=?????
???
??-????????
,(0)T Y p R φφ=0≥
其中
1T
T
T p a a a φ??=??
当()Y n 不存在零分量时，()z k 必定是非零的，{}
2
()E z k ,(0)T Y p R φφ=0>，,(0)Y p R 正定。
注：以下讨论的随机向量过程()Y n 均假设不含零分量。 】
2）递推性质。若记
(1)(2)()Y Y P Y R R R p ????
??∏=??????
1()p Y R p -∏??=???? (7-28) 则
,,1(0)(0)(0)T Y p
Y p P Y p R R R -??∏=??∏????
(7-29)
【根据矩阵中的各个子块()Y R i 的排列规律，显然。】 2．向量过程AR 建模的互相关矩阵法
p 阶最佳线性预测
1()(1)()p Y n A Y n A Y n p =---
-- (7-30)
使预测误差
1()()()()(1)()p p e n Y n Y n Y n A Y n A Y n p =-=+-+
+-
1
[][()(1)
()]T T T T p I A A Y n Y n Y n p =-- (7-31)
的互相关矩阵
{}
,()()
T e p p p Q E e n e n = 11{[()(1)()][()(1)()]}T p p E Y n A Y n A Y n p Y n A Y n A Y n p =+-+
-+-+
- (7-32)
最小。
记
()[()(1)
(T T T
T
p h n Y n Y n Y n p
=-
- (7-33) (1)1()l p p h n R +?∈。对(7-31)式作转置，并根据(7-26)式p Θ的定义和(7-33)式，(7-31)式可以改写为
()()T T
p p p e n h n =Θ (7-34)
而
(){[()()]}[()(1)()]()T T T T p p Y n E h n h n E Y n Y n Y n p Y n p ??
????
??=--????????
-????
,(0)
(1)()(1)(0)(1)(0)()(1)
(0)Y Y Y Y Y Y Y p Y Y Y R R R p R R R p R R p R p R --??
?
-+ ?
== ?
?
-??
(7-35) 将(7-34)式代入(7-32)式，并考虑到(7-35)式，得
,{()()}{[()][()]}T
T
T
T
e p p p p p p p Q E e n e n E h n h n ==ΘΘ
,{[()()]}(0)T T T
p p p p p Y p p E h n h n R =ΘΘ=ΘΘ (7-36)
令
1
2
T
Y p A A A θ??=?? (7-37)
将上式与(7-26)式比较，有
l p p I θ??
Θ=????
(7-38)
考虑到互相关矩阵,(0)Y p R 的性质2)，(7-36)式可以进一步改写为
,,1(0)(0)T
l Y p T
e p l p p P Y p I R Q I R θθ-??∏????=??????∏????
?? (7-39) 定理：l 维随机向量过程的p 阶最佳前向线性预测参数矩阵p θ满足
,1?(0)0Y p p P
R θ-+∏= (7-40) 并且，最佳前向线性预测误差的方差矩阵为
,??(0)T e p Y p p
Q R θ=+∏ (7-41) 【证明：由(7-39)式，得
,1,[(0)(0)]l T
T T Y p e p Y p
P p
p
p I Q R R θθθ-??
=+∏∏+????
,1(0)(0)T T T
Y p Y p P p p p p R R θθθθ-=+∏+∏+
1
1
,1,1,1(0)(0)[(0)](0)T T T T
Y p Y p Y p Y p P p P p p p p P R R R R θθθ-----=-∏∏+∏++∏+∏∏ (7-42)
令
1
,1(0)(0)T Y p p Y p P C R R --=-∏∏ (7-43)
则(7-42)式可以改写为
1
,1,1,1,[(0)](0)[(0)]T
T Y p Y p Y p e p p p p P p p P Q C R R R θθθ----=++∏+∏+∏
1
,1,1[(0)][(0)]T
T Y p Y p p p p p P C R R θθ---=++∏+∏
1
,1,1,1[(0)](0)[(0)]T T Y p Y p Y p p p p p P C R R R θθ----=++∏+∏
利用,1(0)Y p R -的对称性，上式可以进一步改写为
,e p Q =1,1,1
,1[(0)](0)[(0)]T
Y p Y p Y p p p P p P C R R
R θθ----++∏+∏ (7-44)
显然，(7-44)中第一项p C 与参数p θ无关，第二项是一个非负得二次型，当第二项为零时，,e p Q 达最小值，即(7-40)式成立。
由于,1(0)Y p R -是正定的，由(7-40)式得出最佳前向线性预测参数矩阵为
1
,1?(0)Y p p
P R θ--=-∏ (7-45) 此时，预测误差的方差矩阵
,?e p Q =1,1(0)(0)T Y p p Y p
P C R R --=-∏∏ (7-46) 将(7-45)式代入(7-46)式，即可得(7-41)式。
】
显然，合并(7-40)式和(7-41)式，有
,??(0)Y p p p
R Θ=Γ (7-47) 其中
??T T p p I θ??Θ=????
，,??00T
p e p Q ??Γ=?? (7-48) 结论：p 阶最佳线性预测参数满足p 阶多变量Y －K 方程．
在上述推导过程中，p 是任意的正整数。因此可以推断，随机向量过程()Y n 的1p +阶最佳线性预测参数满足1p +阶多变量Y －K 方程：
,11,111
?(0)0??(0)Y p p P T e p Y p p R Q R θθ+++++?+∏=?
??=+∏? (7-49)
根据(7-25))式，令
,()(1)(1)T
Y T Y P inv
T Y R p R p R ????-??∏=????????
1,()T Y p inv R p -??=??∏???? (7-50) 则
,(0)Y p R ,1,,(0)(0)Y p p inv T p inv Y R R -??
∏=??∏????
(7-51)
令
1
,111
1,112,11,122,,(0)
(0)[(0)(0)]Y
p Y p p inv T Y p Y p inv p inv G R G R G R R -------?=??
=∏??=-∏∏??
(7-52)
利用分块矩阵求逆公式可得
1
1,1,111222121222
,1,221222(0)(0)(0)T
Y p p inv Y p T T
p inv Y R G G G G G G R R G G G ----??∏??+-==????∏-??????
(7-53) 并且由(7-52)和(7-45)式，得
1,112,,?(0)T T T Y p p p inv
p p inv p G R θ--∏=∏∏=-∏ (7-54) 于是，由(7-41)
记
1
11111222121222221222122212222222122222(1)(1)(1)(1)p
p
p p p T p p
T p p Y T
p Y T p p Y T p Y T p p T
p G G G G G G R p G G G R p G G G G R p G G R p G G G θθθθθθ+++=-Ξ???-?∏-???∏+??+=????∏-?+????
??+??Ξ?+??+?
?=??-?Ξ?-?+????
+??Ξ?Θ?
?=??-?Ξ?Θ??
(7-47) 记
110p p p l l θθθ++???=+?????
，11p T T
p p ψ++=Ξ?Θ (7-48)
[,1
1
12(0)Y p p G R
--=?Ξ
而根据(7-49)、(7-46)式
┌ ┐ ┌ ┐ │Ｄ12 (p)Ｄ22 (p)ΨT (p+1)│ │Ｄ12 (p)│
△θ^p+1 ＝│ │＝│ │Ｄ22 (p)ΨT (p+1) (36) │ －Ｄ22 (p)ΨT (p+1) │ │ －Ｉ │ └ ┘ └ ┘
【证明：当ｍ＝１时，Ｄ22 (p)＝Ｄf -1 (p)，Ｄ22 (p)ΨT (p+1)＝－ρ(p+1)， Ｄ12 (p)＝－θ^p,inv ，△θ^p+1 ＝ρ(p+1)Ａ^p,inv 】 并且，预测方差
Ｑ^(p+1)＝Ｒy (0)＋ΠT (p+1)θ^p+1
＝Ｒy (0)＋ΠT (p)θ^p ＋ΠT (p+1)△θ^p+1 (37) ＝Ｑ^(p)＋ΠT (p+1)△θ^p+1 而根据(33)式
┌ ┐ │ Ｄ12 (p) │
ΠT (p+1)△θ^p+1 ＝（ΠT (p) Ｒy (p+1)）│ │Ｄ22 (p)ΨT (p+1) │ －Ｉm │ └ ┘ ＝（ΠT (p)Ｄ12(p)－Ｒy (p+1)）Ｄ22 (p)ΨT (p+1) ＝－（θ^p T Ξ(p)＋Ｒy (p+1)）Ｄ22 (p)ΨT (p+1)
＝－Θ^p T Ξ(p+1)Ｄ22 (p)ΨT (p+1)
＝－Ψ(p+1)Ｄ22 (p)ΨT (p+1) (38) 因此
Ｑ^(p+1)＝Ｑ^(p)－Ψ(p+1)Ｄ22 (p)ΨT (p+1)≤Ｑ^(p) (39) 实际应用中，互相关函数Ｒy (p)的估计由下式计算 １ N-n
Ｒ^y (n)＝─ ∑ （Ｙ(i)ＹT (i+n)），ｎ＝１，２，···，ｐ (40) Ｎ i=0
《应用随机过程》课程教学大纲 课程代码：090541007 课程英文名称：Applications Stochastic Processes 课程总学时：40 讲课：40 实验：0 上机：0 适用专业：应用统计学 大纲编写（修订）时间：2017.6 一、大纲使用说明 （一）课程的地位及教学目标 随机过程是现代概率论的一个重要的组成部分，其理论产生于上世纪初期，主要是由物理学、生物学、通讯与控制、管理科学等方面的需求而发展起来的。它是研究事物的随机现象随时间变化而产生的情况和相互作用所产生规律的学科。随机过程的理论为许多物理、生物等现象提供诸多数学模型，同时为研究这类现象提供了数学手段。本课程为统计学专业的专业课程，通过本课程的学习，掌握随机过程的基本概念、基本理论、内容和基本方法，了解随机过程的重要应用，为后继课程学习提供知识准备，另一方面，随机过程的发展也是人们认识客观世界的一个重要组成部分，它有助于学生辩证唯物主义世界观的培养。 （二）知识、能力及技能方面的基本要求 1.基本知识：通过本科程的学习，使学生掌握，要求学生掌握随机过程的基本概念、二阶矩过程的均方微积分、马尔可夫过程的基本理论、平稳过程的基本理论、鞅和鞅表示、维纳过程、Ito定理、随机微分方程等理论和方法。 2.基本能力：通过本课程的学习，使学生能较深刻地理解随机过程的基本理论、思想和方法，并能应用其解决实践中遇到的随机问题，从而提高学生的数学素质，加强学生开展科研工作和解决实际问题的能力。 3.基本技能：掌握建立随机数学模型、分析和解决问题方面的技能，为进一步自学有关专业应用理论课程作好准备。 （三）实施说明 本大纲是根据沈阳理工大学关于制订本科教学大纲的原则意见专门制订的。在制订过 程中参考了其他学校相关专业应用随机过程教学大纲。 本课程思维方式独特，还需要学生有较高的微积分基础，教学中应注意概率意义的解 释和学生基础情况的把握，处理好抽象与具体，偶然与必然、一维与多维，理论与实践的关系。本课程内容分概率论与数理统计两部分，在教学中应充分注意两者之间的联系，重视基本概念，讲清统计思想。 （四）对先修课的要求 本课的先修课程：数学分析，高等代数，概率论。 （五）对习题课的要求 由于本课程内容多学时少，习题课在大纲中未作安排，建议教师授课过程中灵活掌 握；对于学生作业中存在的问题，建议通过课前和课后答疑解决。通过习题课归纳总结章节知识解决重点难点内容。 （六）课程考核方式 1.考核方式：考试 2.考核目标：在考核学生基本知识、基本原理和方法的基础上，重点考核学生解决实际问题的能力。 3.成绩构成：本课程的总成绩主要由两部分组成：平时成绩20-30％；期末成绩70-80％; 平时成绩构成：出勤，测验，作业。其中测验为开卷，随堂测验。
第3章 平稳随机过程的谱分析 付里叶变换是处理确定性信号的有效工具，它信号的频域内分析处理信号，常常使分析工作大为简化。 对于随机信号，是否也可以应用频域分析方法？付里叶变换是否可引入随机信号中？ 3.1 随机过程的谱分析 3.1.1 回顾：确定性信号的谱分析 )(t f 是非周期实函数， )(t f 的付里叶变换存在的充要条件是： 1．)(t f 在),(∞-∞上满足狄利赫利条件； 2．)(t f 绝对可积： +∞
3.1.2 随机过程的功率谱密度 一、样本函数的平均功率 问题1：由于付里叶变换是针对确定性函数进行的，在处理随机过程)(t X 时，取 )(t X 的一个样本函数)(t x （在曲线族中取某一曲线）来进行付里叶分 析。 问题2：随机过程)(t X 的样本函数)(t x 一般不满足付里叶变换的条件，它的总能 量是无限的，需考虑平均功率。 若随机过程)(t X 的样本函数)(t x 满足 +∞<=? -∞→T T T dt t x T W 2 )(21 lim W 称为样本函数)(t x 的平均功率。 对于平稳过程，其样本函数的平均功率是有限的。 二、截取函数 对于)(t X 的一个样本函数)(t x ，在)(t x 中截取长为T 2的一段，记为)(t x T ， 它满足： ???? ?≥<=T t T t t x t x T 0 ) ()( 称)(t x T 为)(t x 的截取函数。 三、截取函数的付里叶变换 0>T ，取定后，)(t x T 的付里叶变换一定存在： ??--+∞ ∞--==T T t j t j T T dt e t x dt e t x X ωωω)()()( 其付里叶逆变换为： ? +∞ ∞ -= ωωπ ωd e X t x t j T T )(21 )( 其帕塞瓦（Parseval ）等式为 ? ? ? +∞ ∞ --+∞ ∞ -= =ωωπ d X dt t x dt t x T T T T 2 2 2 )(21 )()(
第二章平稳随机过程的谱分析 本章要解决的问题： ●随机信号是否也可以应用频域分析方法? ●傅里叶变换能否应用于随机信号？ ●相关函数与功率谱的关系 ●功率谱的应用 ●采样定理 ●白噪声的定义 2.1 随机过程的谱分析 2.1.1 预备知识 1、付氏变换: 对于一个确定性时间信号x(t)，设x(t)是时间t的非周期实函数，且x(t) 满足狄利赫利条件（有限个极值，有限个断点，断点为有限值）且绝对可积，能量有限，则x(t)傅里叶变换存在。即： 满足上述三个条件的x(t)的傅里叶变换为：
其反变换为： 2、帕赛瓦等式 由上面式子可以得到： ——称为非周期性时间函数的帕塞瓦(Parseval)等式。 物理意义：若x(t)表示的是电压(或电流)，则上式左边代表x(t)在时间(-∞,∞)区间的总能量（单位阻抗）。因此，等式右边的被积函数 2 )(ωX X 表示了信号x(t)能量按频率分布的情况，故称2 )(ωX X 为 能量谱密度。 2.1.2、随机过程的功率谱密度 一个信号的付氏变换是否存在，需要满足三个条件，那么随机信号是否满足这三个条件从而存在付氏变换呢？ 随机信号持续时间无限长，因此，对于非0的样本函数，它的能量
一般也是无限的，因此，其付氏变换不存在。 但是注意到它的平均功率是有限的，在特定的条件下，仍然可以利用博里叶变换这一工具。 为了将傅里叶变换方法应用于随机过程，必须对过程的样本函数做某些限制，最简单的一种方法是应用截取函数。 x(t): 截取函数T 图2.1 x(t)及其截取函数 x(t)满足绝对可积条件。因此，当x(t)为有限值时，裁取函数T x(t)的傅里叶变换存在，有 T x(t)也应满足帕塞瓦等式，即：（注意积分区间和表达很明显，T 式的变化）
随机过程在信息与通信工程领域中的应用 随机过程在信息为通信工程领域小的应用 姓名：马远美学号：1120110202专业：信息与通信工程信息科学技术学院 内容摘耍 信息为通信工程中存在大量的随机现象和随机问题。如:信源是随机过程;信道不仅对随机过程进行了变换，而R会叠加随机噪声; 从蒂加了噪声和进行了变换之后的接收信号屮将所需要的信号进行恢复;多个业务请求要共亨一个资源的排队问题等等。随机过程理论在信息与通信工程领域中已经得到了广泛的应川。本文主要研究了随机过程屮的泊松过程、马尔可夫过程以及平稳过程在信息与通信工程屮的应用。 关键词:通信与信息工程；泊松过程；马尔可夫过程；平稳过程 ABSTRACT There are a lot of random phenomena and random problems in Communication and Tnfonnation Engineering, such as: the sigrml source is a random process; channcl is not only a transformation of random process, but also superimposed random noise; the received signal which is the superposition of the
noise and after the transformation will be needed to restore the signal; queuing problems that multiple service request to share a resource. Stochastic process theory has been widely used in the field of Informati on and Comm uni cati on En gineer ing. This thesis studies the stochastic process of Poisson process, Markov processes and stationary processes in Conimunication and Information Engineering. Keywords: Communi cati on and Tnformati on Engi neering; Poisson process; Markov process; stationary process 1.信息和通信系统中的随机问题 信息和通信系统是一个产生、传输或处由电于信息的系统?在信息与通信工程中，存在人量的随机对象和相应的随机问题.卜-面我们就一些典型的例子加以说明［2］。 1.1信源和随机信号信源是指一?个能产生信号的随机系统, 其输出可以是一个离散值的随机过程，或者一个连续值的随机过程。离散值的随机过程称为数字随机信号，二进制数字信号是最常见的数字随机信号;连续值的随机过程称为模拟随机信号。如一个打字机町以输出一个数字随机信号,一个麦克风可以输Hl模拟随机信号。在信息和通信系统屮，通常用具有随机信号波形的电压和电流表示一个随机信号。 1. 2信道模型信道是指信号传输的物理介质,可以是电缆、不 同波长的电磁波等等。当随机信号通过信道以后，除了对信号进行了一个一般来说是线性的变换外，往往还要加上一个不可预测的干扰, 这种干扰被称为噪声。噪声的形成原因有许多；-?般有三类：人为噪声、自然噪声和内部噪声。人为噪声來源于和传输信号无关的英他信号源,如外台信号、开关接触噪声、工业的点火辐射和荧光灯干扰等; 自然噪声指自然界存在的各种电磁波源，如闪电和宇宙噪声等；内部噪声指系统设备木身产生的各种噪声；噪声也是一个随机过程，在没有信号传输时，我们也可以接收到一个随机波形，所有这些可能的随机波形的全体是噪声随机过程。在有信号传输时，这些随机噪声就叠加在随机信号上，成为信号接收的干扰。
谱让人联想到的Fourier变换，是一个时间平均（time average）概念，对能量就是能量谱，对功率就是功率谱。 功率谱的概念是针对功率有限信号的，所表现的是单位频带内信号功率随频率的变化情况。保留了频谱的幅度信息，但是丢掉了相位信息，所以频谱不同的信号其功率谱是可能相同的。 有两点需要注意： 1. 功率谱是随机过程的统计平均概念，平稳随机过程的功率谱是一个确定函数；而频谱是随机过程样本的Fourier变换，对于一个随机过程而言，频谱也是一个“随机过程”。（随机的频域序列） 2. 功率概念和幅度概念的差别。此外，只能对宽平稳的各态历经的二阶矩过程谈功率谱，其存在性取决于二阶矩是否存在并且二阶矩的Fourier变换收敛；而频谱的存在性仅仅取决于该随机过程的该样本的Fourier变换是否收敛。 频谱分析： 对动态信号在频率域内进行分析，分析的结果是以频率为坐标的各种物理量的谱线和曲线，可得到各种幅值以频率为变量的频谱函数F(ω)。频谱分析中可求得幅值谱、相位谱、功率谱和各种谱密度等等。频谱分析过程较为复杂，它是以傅里叶级数和傅里叶积分为基础的。 功率谱密度： 功率谱密度（PSD），它定义了信号或者时间序列的功率如何随频率分布。这里功率可能是实际物理上的功率，或者更经常便于表示抽象的信号被定义为信号数值的平方，也就是当信号的负载为1欧姆(ohm)时的实际功率。
由于平均值不为零的信号不是平方可积的，所以在这种情况下就没有傅里叶变换。维纳-辛钦定理（Wiener-Khinchin theorem）提供了一个简单的替换方法，如果信号可以看作是平稳随机过程，那么功率谱密度就是信号自相关函数的傅里叶变换。 信号的功率谱密度当且仅当信号是广义的平稳过程的时候才存在。如果信号不是平稳过程，那么自相关函数一定是两个变量的函数，这样就不存在功率谱密度，但是可以使用类似的技术估计时变谱密度。 随机信号是时域无限信号，不具备可积分条件，因此不能直接进行傅氏变换。一般用具有统计特性的功率谱来作为谱分析的依据。 功率谱与自相关函数是一个傅氏变换对。 功率谱具有单位频率的平均功率量纲。所以标准叫法是功率谱密度。从名字分解来看就是说，观察对象是功率，观察域是谱域。 通过功率谱密度函数，可以看出随机信号的能量随着频率的分布情况。像白噪声就是平行于一条直线。 一般我们讲的功率谱密度都是针对平稳随机过程的，由于平稳随机过程的样本函数一般不是绝对可积的，因此不能直接对它进行傅立叶分析。可以有三种办法来重新定义谱密度，来克服上述困难。 1. 用相关函数的傅立叶变换来定义谱密度； 2. 用随机过程的有限时间傅立叶变换来定义谱密度； 3. 用平稳随机过程的谱分解来定义谱密度。 三种定义方式对应于不同的用处，首先第一种方式前提是平稳随机过程不包含周
应用随机过程——马尔可夫过程的应用 李文雯，黄静冉，李鑫，苏建武 （国防科学技术大学电子科学与工程学院，湖南，长沙，410072） 摘要：现实生活中，语音处理、人脸识别以及股市走势预测等实际问题都具有马尔可夫性，即未来的走势 和演变仅仅与当前的状态有关而不受过去状态的影响。本文运用这一性质建立了以上三个问题的马尔可夫 链模型并做出了相应分析。 Abstract: In practical, phonetic processing, face recognition and the prediction of trend in stock market all have the MarKov property, that is, the evolvement and trend in the future are just in relationship with present state but not influenced by the past. In this article, we use the property setting up MarKov chain models of the three problems mentioned above and make some corresponding analysis. 关键词：马尔可夫过程语音处理人脸识别股市走势预测 Keyword: MarKov Process Phonetic processing Face recognition Prediction of trend in stock market 一、引言 马尔科夫过程(MarKov Process)是一个典型的随机过程。设X(t)是一随机过程，当过程 在时刻t0所处的状态为已知时，时刻t(t>t0)所处的状态与过程在t0时刻之前的状态无关， 这个特性成为无后效性。无后效的随机过程称为马尔科夫过程。我们称时间离散、状态离散 的马尔科夫过程为马尔科夫链。马尔科夫链中，各个时刻的状态的转变由一个状态转移的概 率矩阵控制。我们将采用马尔可夫链建模的方法，就马尔可夫模型在语音处理、人脸识别以 及股市走势预测等几个方面的应用进行探讨。 二、马尔可夫过程的应用举例 1、股票市场走势预测 对一支股票来说，令x(n)表示该股票在第n天的收盘价，x(n)是一个随机变量，(x(n)， n≥0)是一个参数离散的随机过程。假设股票价格具有无后效性与时问齐次性，这样一来我 们就可以用马尔可夫过程的研究方法预测未来某交易日收盘价格落在每个区间的概率。 以某股份18个收盘交易日的收盘价格为资料 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 收盘价12.99 13.15 13.78 13.83 12.54 13 13.2 12.96 12.6 序号10 11 12 13 14 15 16 17 18 收盘价13.7 13.58 13.58 13.58 13.49 13.7 14.03 13.77 13.82 这组数据中的最大值为14.03，最小值为12.54，因此可以将这个取值范围划分为 [12.54,12.9125],[12.9125,13.285],[13.285,13.6575],[13.6575,14.03]。故将观测数据划分如下： 价格状态 A B C D 价格区间 [12.54,12.9125] [12.9125,13.285][13.285,13.6575][13.6575,14.03] 频数 2 5 4 7 根据以上的状态划分，可以对状态转移的情况进行统计如下：
平稳随机过程 ?严格平稳随机过程 ?广义平稳随机过程 ?平稳随机过程自相关函数性质?各态历经过程
1. 严格平稳（Strict Sense Stationary, SSS)随机过程定义: 随机过程X (t )的任意N 维统计特性与时间起点无关。 1111(,,,,,)(,,,,,) X N N X N N p x x t t t t p x x t t +?+?=如果X (t ) 是严格平稳的,则与t 无关。 (,)()X X p x t p x =即X(t)与X(t+?t)具有相同的统计特性。
二维概率密度 只依赖于τ，与t 1和t 2的具体取值无关。 12121212121221212 (,,,)(,,,) (,,,0)(,,) X X X X p x x t t p x x t t t t p x x t t t t p x x t t =+?+?=-?=-=ττ=-
如果X (t )是严格平稳随机过程, 则 121212121212 (,)(,,,)() X X X R t t x x p x x t t dx dx R t t ∞ -∞ ==ττ=-?()()X X X m t xp x dx m ∞ -∞==?22 2()()()X X X X t x m p x dx ∞ -∞σ=-=σ ?
100200300400500 -4-3-2-101234Stationay Gaussian Noise 0100200300400500 -4 -3 -2-101234Non-stationay Gaussian Noise
随机过程分析 摘要随着科学的发展，数学在我们日常的通信体系中有着越来越重的地位，因为在科学研究中，只有借助于数学才能精确地描述一个现象的不同量之间的关系,从最简单的加减乘除，到复杂的建模思想等等。其中，随机过程作为数学的一个重要分支，更是在整个通信过程中发挥着不可小觑的作用。如何全面的对随机信号进行系统和理论的分析是现在通信的关键，也是今后通信业能否取得巨大进步的关键。 关键字通信系统随机过程噪声 通信中很多需要进行分析的信号都是随机信号。随机变量、随机过程是随机分析的两个基本概念。实际上很多通信中需要处理或者需要分析的信号都可以看成是一个随机变量，利用在系统中每次需要传送的信源数据流，就可以看成是一个随机变量。例如，在一定时间内电话交换台收到的呼叫次数是一个随机变量。也就是说把随某个参量而变化的随机变量统称为随机函数；把以时间t为参变量的随机函数称为随机过程。随机过程包括随机信号和随进噪声。如果信号的某个或某几个参数不能预知或不能完全预知，这种信号就称为随机信号；在通信系统中不能预测的噪声就称为随机噪声。下面对随机过程进行分析。 一、随机过程的统计特性 1、数学期望:表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心， 即均值
?∞ ∞-==11);()]([)(dx t x xp t X E t a 2、方差:表示随机过程在时刻t 对于均值a(t)的偏离程度。 即均方值与均值平方之差。 {}?∞ ∞ --=-=-==112222);()]([)]()([))](()([)]([)(dx t x p t a x t a t X E t X E t X E t X D t δ 3、自协方差函数和相关函数: 衡量随机过程任意两个时刻上获得的随机变量的统计相关特性时，常用协方差函数和相关函数来表示。 （1）自协方差函数定义 {} )]()()][()([);(221121t a t X t a t X E t t C x --=??∞∞-∞ ∞---=2121212211),;,()]()][([dx dx t t x x p t a x t a x 式中t1与t2是任意的两个时刻；a (t1)与a(t2)为在t1及t2得到的数学期望； 用途：用协方差来判断同一随机过程的两个变量是否相关。 （2）自相关函数 ??∞∞-∞ ∞-==2121212212121),;,()]()([),(dx dx t t x x p x x t X t X E t t R X 用途：a 用来判断广义平稳； b 用来求解随机过程的功率谱密度及平均功率。 二、平稳随机过程 1、定义（广义与狭义）： 则称X(t)是平稳随机过程。该平稳称为严格平稳，狭义平稳或严平稳。
基于随机过程的三国杀分析 张鹏缪雨壮洪杰 钟科杰许晨 2010-11-30
目录 1 课题背景 (4) 2 研究目的与报告结构 (4) 3 闪电命中概率 (5) 3.1 背景知识 (5) 3.2 建模场景 (5) 3.3 理论分析 (5) 3.4 仿真结果及讨论 (6) 4 司马懿对甄姬洛神技能的影响 (6) 4.1 背景知识 (6) 4.2 建模场景 (7) 4.3 理论分析 (7) 4.4 仿真结果及讨论 (8) 5 陆逊爆发力 (12) 5.1 背景知识 (12) 5.2 建模场景 (13) 5.3 理论分析 (13) 5.4 仿真结果及讨论 (15) 6 黄盖寿命及攻击力 (17) 6.1 背景知识 (17) 6.2 理论分析 (18) 6.3 仿真结果及讨论 (19) 6.4 补充拓展 (21) 7 郭嘉存活力 (24) 7.1 背景知识 (24) 7.2 建模场景 (25) 7.3 理论分析 (25) 7.4 仿真结果及讨论 (29) 8 周泰存活力 (31) 8.1 背景知识 (31) 8.2 建模场景 (32)
8.3 理论分析 (32) 8.4 仿真结果及讨论 (33) 9 黄月英爆发力 (35) 9.1 背景知识 (35) 9.2 建模场景 (35) 9.3 理论分析 (35) 9.4 仿真结果及讨论 (37) 10 总结 (38) 10.1 课题总结 (38) 10.2 学习感悟 (39) 11 成员分工情况 (39)
1 课题背景 随机过程，作为对一连串随机事件动态关系的定量描述，在自然科学、工程科学以及社会科学各领域具有重要应用。 数学上的随机过程是由实际随机过程概念引起的一种数学结构。人们研究这种过程，是因为它是实际随机过程的数学模型，或者是因为它的内在数学意义以及它在概率论领域之外的应用。随机过程的概念很广泛，因而随机过程的研究几乎包括概率论的全部。虽然不能给出一个有用而又狭窄的定义，但是概率论工作者在使用随机过程这个术语时，通常想到的是其随机变量具有某种有意义的相互关系的随机过程。由于这些过程类在数学上和非数学上的应用中十分重要，用这种理论工具，可以对常见的过程进行分析，进行一系列随机计算，从而可以将随机过程这一理论工具应用到实际中去，可以进行预测与决策，是相关数学模型的理论基础。 本课题选取三国杀桌牌游戏为研究对象，利用随机过程理论进行几个特定场景模式下的人物特性、角色相互关系的建模分析。正是由于摸牌结果的随机性、策略之间的牵制性，游戏过程往往涉及到随机概率、马尔可夫过程等概念；在研究某一问题的统计平均值时，又建模为随机变量的期望值求解。显然，基于随机过程的理论研究方法，可以得到一些三国杀游戏中的规律性认识。 2 研究目的与报告结构 将随机过程应用于对三国杀的建模分析，可以使我们在理解基本概念和方法的基础上，获得更灵活的对随机事件相互关系的探究；能够深刻体会随机过程在生活实际中的运用；并且，熟练掌握利用建模思想，解决问题的方法。当然，对于游戏的取胜功略方面，研究结果也将是颇有指导意义的。 下面的章节将分不同人物及场景来进行相关内容的阐述。其中，3~9节分别对闪电命中概率、司马懿对甄姬洛神技能的影响、陆逊爆发力、黄盖寿命及攻击力、郭嘉存活力、周泰存活力、黄月英爆发力几个问题进行了理论分析，并给出了仿真结果和必要的讨论。综合性的总结在第10节给出。第11节是小组内部成员的分工情况。
频谱分析（也称频率分析），是对动态信号在频率域内进行分析，分析的结果是以频率为坐标的各种物理量的谱线和曲线，可得到各种幅值以频率为变量的频谱函数F(ω)。频谱分析中可求得幅值谱、相位谱、功率谱和各种谱密度等等。频谱分析过程较为复杂，它是以傅里叶级数和傅里叶积分为基础的。 功率谱 频谱和功率谱有什么区别与联系？ 谱是个很不严格的东西，常常指信号的Fourier变换， 是一个时间平均（time average）概念 功率谱的概念是针对功率有限信号的(能量有限信号可用能量谱分析)，所表现的是单位频带内信号功率随频率的变换情况。保留频谱的幅度信息，但是丢掉了相位信息，所以频谱不同的信号其功率谱是可能相同的。有两个重要区别： 1。功率谱是随机过程的统计平均概念，平稳随机过程的功率谱是一个确定函数；而频谱是随机过程样本的Fourier变换，对于一个随机过程而言，频谱也是一个“随机过程”。（随机的频域序列） 2。功率概念和幅度概念的差别。此外，只能对宽平稳的各态历经的二阶矩过程谈功率谱，其存在性取决于二阶局是否存在并且二阶矩的Fourier变换收敛；而频谱的存在性仅仅取决于该随机过程的该样本的Fourier变换是否收敛。 功率谱是个什么概念？它有单位吗? 随机信号是时域无限信号，不具备可积分条件，因此不能直接进行傅氏变换。一般用具有统计特性的功率谱来作为谱分析的依据。功率谱与自相关函数是一个傅氏变换对。功率谱具有单位频率的平均功率量纲。所以标准叫法是功率谱密度。通过功率谱密度函数，可以看出随机信号的能量随着频率的分布情况。像白噪声就是平行于w轴，在w轴上方的一条直线。 功率谱密度，从名字分解来看就是说，观察对象是功率，观察域是谱域，通常指频域，密度，就是指观察对象在观察域上的分布情况。一般我们讲的功率谱密度都是针对平稳随机过程的，由于平稳随机过程的样本函数一般不是绝对可积的，因此不能直接对它进行傅立叶分析。可以有三种办法来重新定义谱密度，来克服上述困难。 一是用相关函数的傅立叶变换来定义谱密度；二是用随机过程的有限时间傅立叶变换来定义谱密度；三是用平稳随机过程的谱分解来定义谱密度。三种定义方式对应于不同的用处，首先第一种方式前提是平稳随机过程不包含周期分量并且均值为零，这样才能保证相关函数在时差趋向于无穷时衰减，所以lonelystar说的不全对，光靠相关函数解决不了许多问题，要求太严格了；对于第二种方式，虽然一个平稳随机过程在无限时间上不能进行傅立叶变换，但是对于有限区间，傅立叶变换总是存在的，可以先架构有限时间区间上的变换，在对时间区间取极限，这个定义方式就是当前快速傅立叶变换（FFT）估计谱密度的依据；第三种方式是根据维纳的广义谐和分析理论：Generalized harmonic analysis, Acta Math, 55(1930),117-258,利用傅立叶-斯蒂吉斯积分，对均方连续的零均值平稳随机过程进行重构，在依靠正交性来建立的。
平稳随机过程及其数字特征
平稳随机过程 粗略的说——随机过程的统计特征不随时间的推移而变化。一.严平稳随机过程 1. 定义设有随机过程{ X(t) , t ∈T}，若对于任意n 和任意t1 因此：严平稳过程的二维数字特征仅是（时间差τ）的函数 综上所述：要按上述严平稳过程的定义来判断一个过程是否平稳?是很困难的。 a)：一般在实用中，只要产生随机过程的主要物理条件，在时间 进程中不变化。则此过程就可以认为是平稳的。 例如：在电子管中由器件的颗粒效应引起的“散弹噪声”，由于产生此噪声的主要物理条件与时间无关，所以此噪声可以认为是平稳过程。 12121212 12 1 21212 2 2 2 (,)(,;)() (,)()()(,;)()()(0)(0)[()] X X X X X X X X X X X X X X R t t x x f x x dx dx R C t t x m x m f x x dx dx C R m C R m D X t τττττσ=?==??==?=?==∫∫∫∫ ∞<)]([2 t X E b)：另一方面，对有些非平稳过程，可以根据需要，如果它在所观测的时间段内是平稳的，就可以视作这一时间段上的平稳过程来处理。即在观测的有限时间段内，认为是平稳过程。 因此，工程中平稳过程的定义如下： 二、宽平稳过程1、定义 若二阶矩过程( )X(t) 满足: E[X(t)]=m x ←常数 R x (t 1,t 2)=R x (τ) ←只与时间间隔(τ=t 2-t 1)有关 则称过程X(t)为“宽平稳随机过程”（广义平稳过程）。 可见：一个均方值有限的严平稳过程，一定是宽平稳过程。反之：一个宽平稳过程，则不一定是严平稳过程。 c)：一般在工程中，通常只在相关理论的范围内讨论过程的平稳问题。即：讨论与过程的一、二阶矩有关的问题。 Harbin Institute of Technology 课程设计（论文） 课程名称：应用随机过程 设计题目：建模 院系：电子与信息工程学院 班级：通信1班 设计者： 学号： 指导教师： 设计时间：2013-11-9 哈尔滨工业大学 线性模型 ——电力负荷时间序列建模 1电力系统负荷预测的意义 随着我国电力事业的发展，电网的管理日趋现代化，对电力系统负荷预测问题的研究也越来越引起人们的注意。电力负荷预测是电力系统调度、用电、计划、规划等管理部门的重要工作之一。提高负荷预测技术水平，有利于计划用电管理，有利于合理安排电网运行方式和机组检修计划，有利于节煤、节油和降低发电成本，有利于制定合理的电源建设规划，有利于提高电力系统的经济效益和社会效益。 电力负荷预测，为编制电力规划提供依据，是电网规划的基础，它规定了电力工业的发展水平、发展速度、源动力资源的需求量，电力工业发展的资金需求量，以及电力工业发展对人力资源的需求量。 因此，国内外许多专家和学者开始致力于现代负荷预测方法的研究，而时间序列模型在国际和国内的电力系统短期负荷预测中得到了广泛应用。 2 平稳时间序列及其随机线性模型 时间序列是指随时间改变而随机的变化的序列。时间序列分析分为时域分析和频域分析，前者是对时间序列在时间域上的各种平均值进行分析研究，后者是进行傅里叶变换以后在频率域进行谱分析。随着计算机技术的飞速发展，时域分析方法为人们所关注。本文所要研究的就是时域分析。 平稳时间序列是平稳序列，它满足期望为0，且任意两个时刻的相关函数与时间t 无关，仅与两个时刻的时间差相关。因为我们所掌握的为平稳时间序列的线性随机模型，而在实际中所遇到的一般都不是平稳时间序列，这就要对其进行相关的处理，使其变化为平稳序列。 均值为0且具有有理谱密度的平稳时间序列必可表示为下面三种形式中的一种（其中{,0,1,2,}t a t =±± 为白噪声）： （1）自回归模型——AR 模型 1122,0,1,2,t t t p t p t a t ωφωφωφω-------==±± AR （p ）模型由p ＋2参数来刻画; （2）滑动平均模型——MA 模型 1122,0,1,2,t t t t q t q a a a a t ωθθθ---=---=±± MA(q)模型由q ＋2参数刻画; （3）自回归滑动平均模型或混合模型——ARMA 模型 11221122, 0,1,2,,0,1,2,t t t p t p t t t q t q a a a a t t ωφωφωφωθθθ----------=---=±±=±± ARMA(p,q)混和模型由p ＋q ＋3参数刻画； 通过以上介绍可以看出我们可以把AR(p)和MA(q)模型看成APMA(p,q)的两种特例。 线性模型中有两个重要的参数：自相关函数k ρ和和偏相关函数kk φ。其中偏相关函数kk φ刻画了平稳序列任意一个长1k +的片段在中间量固定的条件下，两端的线性密切程度，而自相关函数k ρ也是刻画两端的线性密切程度，但并不需 功率谱密度谱是一种概率统计方法，是对随机变量均方值的量度。一般用于随机振动分析，连续瞬态响应只能通过概率分布函数进行描述，即出现某水平响应所对应的概率。 功率谱密度是结构在随机动态载荷激励下响应的统计结果，是一条功率谱密度值—频率值的关系曲线，其中功率谱密度可以是位移功率谱密度、速度功率谱密度、加速度功率谱密度、力功率谱密度等形式。数学上，功率谱密度值—频率值的关系曲线下的面积就是方差，即响应标准偏差的平方值。 谱是个很不严格的东西，常常指信号的Fourier变换，是一个时间平均（time average）概念功率谱的概念是针对功率有限信号的(能量有限信号可用能量谱分析)，所表现的是单位频带内信号功率随频率的变换情况。保留频谱的幅度信息，但是丢掉了相位信息，所以频谱不同的信号其功率谱是可能相同的。有两个重要区别：1。功率谱是随机过程的统计平均概念，平稳随机过程的功率谱是一个确定函数；而频谱是随机过程样本的Fourier变换，对于一个随机过程而言，频谱也是一个“随机过程”。（随机的频域序列）2。功率概念和幅度概念的差别。此外，只能对宽平稳的各态历经的二阶矩过程谈功率谱，其存在性取决于二阶局是否存在并且二阶矩的Fourier变换收敛；而频谱的存在性仅仅取决于该随机过程的该样本的Fourier变换是否收敛。热心网友回答提问者对于答案的评价：谢谢解答。 频谱分析（也称频率分析），是对动态信号在频率域内进行分析，分析的 结果是以频率为坐标的各种物理量的谱线和曲线，可得到各种幅值以频率为变 量的频谱函数F(ω)。频谱分析中可求得幅值谱、相位谱、功率谱和各种谱密 度等等。频谱分析过程较为复杂，它是以傅里叶级数和傅里叶积分为基础的。 功率谱是个什么概念？它有单位吗? 随机信号是时域无限信号，不具备可积分条件，因此不能直接进行傅氏变换。一般用具有统计特性的功率谱来作为谱分析的依据。功率谱与自相关函数是一个傅氏变换对。功率谱具有单位频率的平均功率量纲。所以标准叫法是功率谱密度。通过功率谱密度函数，可以看出随机信号的能量随着频率的分布情况。像白噪声就是平行于w轴，在w轴上方的一条直线。 功率谱密度，从名字分解来看就是说，观察对象是功率，观察域是谱域，通常指频域，密度，就是指观察对象在观察域上的分布情况。一般我们讲的功率谱密度都是针对平稳随机过程的，由于平稳随机过程的样本函数一般不是绝对可积的，因此不能直接对它进行傅立叶分析。可以有三种办法来重新定义谱密度，来克服上述困难。 一是用相关函数的傅立叶变换来定义谱密度；二是用随机过程的有限时间傅立叶变换来定义谱密度；三是用平稳随机过程的谱分解来定义谱密度。三种定义方式对应于不同的用处，首先第一种方式前提是平稳随机过程不包含周期分量并且均值为零，这样才能保证相关函数在时差趋向于无穷时衰减，所以lonelystar说的不全对，光靠相关函数解决不了许多问题，要求太严格了；对于第二种方式，虽然一个平稳随机过程在无限时间上不能进行傅立叶变换，但是对于有限区间，傅立叶变换总是存在的，可以先架构有限时间区间上的变换，在对时间区间取极限，这个定义方式就是当前快速傅立叶变换（FFT）估计谱密度的依据；第三种方式是根据维纳的广义谐和分析理论：Generalized harmonic analysis, Acta Math, 55(1930),117-258,利用傅立叶-斯蒂吉斯积分，对均方连续的零均值平稳随机过程进行重构，在依靠正交性来建立的。 另外，对于非平稳随机过程，也有三种谱密度建立方法，由于字数限制，功率谱密度的单位 随机过程——随机过程不随机 随机过程与概率论是相互依存的，前文介绍了概率论在通信中的应用，这里简要介绍一下通信中随机过程的应用。 通信过程中的随机过程极为常见，比如通信中经常用到的高斯白噪声就可以理解成一个随机对象。 通常人们研究的都是平稳随机过程，而在通信中的大部分随机过程也都是宽平稳随机过程。在移动通信过程中，无线信道衰落的建模、噪声的建模、掉话的建模都用到了随机过程。简单地说，随机过程可以理解为随机发生的过程。 注意：随机过程可以用一定的数学模型来描述，随机过程不随机。 马尔科夫链也属于随机过程的学科范畴，通过到达概率、状态概率与转移概率来分析的一种随机过程。 下面举几个通信过程中随机过程的例子。 1．泊松分布 泊松分布是一种离散的概率分布，其概率密度函数为： e ()! k p x k k λλ?==（其中k =0,1,2,3….） 在通信，特别是移动通信中，很多过程都可以看作是泊松过程，比如呼叫接入请求的到达概率和离开概率都可视为服从泊松分布。 注意：两个泊松过程的发生间隔是符合独立同分布指数的随机变量的。 2．指数分布 指数分布的分布函数： 1e ,0()0,0 x x F x x ???≥?=? 附件2 论文中英文摘要 作者姓名：葛颢 论文题目：随机过程在非平衡态统计物理和系统生物学建模中的应用 作者简介：葛颢，男，1981年10月出生，2000年9月至2004年7月在北京大学数学科学学院读本科，2004年9月继续在北京大学数学科学学院读研究生，一年后转博，师从钱敏教授攻读博士学位，于2008年7月获博士学位。 中文摘要 数学，自从诞生的那一刻开始，就和其它学科紧密结合，共同发展，硕果累累。特别是近些年来，随机过程，作为一种在二十世纪发展起来的数学理论，越来越深入的渗透到了诸如物理、化学、生物甚至经济学的领域，具有越来越重要的应用前景。当然，通过这种应用，随机过程理论本身也可以找到新的增长点，出现新的有意义的问题和崭新的思维。 本文一方面是把随机过程模型应用到近代非平衡态统计物理中，从定义到性质给出了一套相对完整的数学理论；另一方面是把随机过程模型应用到系统生物学中，详细总结了生物化学系统的随机建模方法，并深入探讨了酵母细胞环布尔网络模型、单分子酶动力学模型以及磷酸化去磷酸化生物开关模型的性质。 随机过程理论与统计物理理论的结合可以追述到1905年爱因斯坦基于平衡态热力学理论推导出布朗运动数学模型的时候，但是，有关随机过程的非平衡态热力学统计物理性质的研究却是近三十年左右才真正开始的事情。非平衡态统计物理中的熵产生概念是用来描述该非平衡定态距离平衡态远近的物理量，这和非平衡态统计物理中另一个宏观可逆性的概念相联系。一个宏观不可逆的定态系统必须具有正的熵产生，且非平衡。Nicolis和Prigogine把非平衡系统看作是一个具有正熵产生率的平稳开系统，它和周围的环境交换着物质和能量。Prigogine因为此项著名的工作获得了1977年诺贝尔化学奖。我们可以利用时齐马氏链和扩散过程为基础对非平衡定态和环流建立一个严格的数学模型。非平衡定态的数学理论已经被钱敏等研究了将近三十年。 与此同时，物理中的布朗马达现象(也被称作棘轮系统)也得到了物理学家和生物化学家的广泛关注。该现象描述的是在一个具有适当非对称性的系统中，噪声可以引起定向的净粒子流。物理学家习惯于应用非时齐的随机过程来描述这一现象，同样的这一类模型也出现在随机共振的模型中，即描述在一个非线性系统中很弱的周期信号可以被噪声放大的现象。在布朗马达和随机共振的现象中，噪声起到了建设性的作用，但是其模型的非时齐性会在其解的严格数学分析中引起很多困难。 以非时齐随机过程为模型来刻画定态附近的涨落以及两个定态之间的转移过程是近些年才开始的事情，对于它的研究还处于初级阶段，有着大量的工作需要做，特别是平衡态热力学及统计物理中有关热力学第一、二定律的表述应该如何推广过来仍然处于一个很朦胧的阶段。在这方面我们做了一系列的研究。 我们把前人关于时齐随机过程的非平衡态统计物理工作中的概念和结论推广到非时齐马氏链的情形，并引入了瞬时可逆性和瞬时熵产生率的概念，而且讨论了这二者之间的关系。同时，生灭链或扩散过程的旋转数对应于布朗马达模型中的平均粒子流，我们发现当该生灭马氏链瞬时可逆或周期可逆时，它的旋转数都等于零。因此，在我们的马氏链模型下，布朗 摘要 移动通信系统的性能主要受到无线信道的制约，无线信道不像有线信道那样固定并可预见，而是具有极度的随机性，从简单的视距传播，到遭遇各种复杂的地形、地物，甚至移动台的移动速度也会对信号电平的衰落产生影响。因此，要对无线信道进行控制和预测是非常困难的，即便这样，我们可以通过对针对信道的某一统计特性来建立信道模型，从而达到对信号发射和接受进行研究的目的。 关键字：瑞利分布无线信道移动通信 Abstract The performance of the mobile communication system by the constraints of the wireless channel, radio channel like cable channel as a fixed and predictable, but with extreme randomness, from simple line of sight transmission, to encounter a variety of complex topography, surface features, even the mobile station will speed the decline of the signal level impact. Therefore, to control and prediction of radio channel is very difficult, even so, we can address through the statistical properties of the channel to create a channel model, so as to achieve the signal transmitting and receiving research purposes. Key Word:Rayleigh Distribution Wireless Channel Mobile Communication 背景分析及意义： 移动通信系统的性能主要受到无线信道的制约，无线信道不像有线信道那样固定并可预见，而是具有极度的随机性，从简单的视距传播，到遭遇各种复杂的地形、地物，甚至移动台的移动速度也会对信号电平的衰落产生影响[1]。因此，要对无线信道进行控制和预测是非常困难的，即便这样，我们可以通过对针对信道的某一统计特性来建立信道模型，从而达到对信号发射和接受进行研究的目的。 在无线信道中，瑞利分布是一种很常见的信道模型。常用于描述平坦衰落信号保罗或独立多径分量接收包络统计时变特性的一种分布类型。所以本来就来简略分析下瑞利分布以及瑞利分布在无线信道中的应用。 瑞利分布介绍： 瑞利分布（Rayleigh Distribution ）:一个均值为2πσ，方差为2 22σπ??? ? ?-的平稳窄带高斯过程，其包络的一维分布是瑞利分布.其表达式及概率密度为： ()()()?????<≥???? ??-=0002exp 222x x x x x f σσ 当一个随机二维向量的两个分量呈独立的、有着相同的方差的正态分布时，这个向量的模呈瑞利分布。瑞利分布是最常见的用于描述平坦衰落信号接收包络或独立多径分量接受包络统计时变特性的一种分布类型。两个正交高斯噪声信号应用随机过程建模报告
功率谱密度
随机过程——随机过程不随机
随机过程在非平衡态统计物理和系统生物学建模中的应用
随机过程及应用论文
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