现代控制理论第11章参数估计方法

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(11-8)
现代控制理论第11章参数估计方法
将式(11-8)代入式(11-6)得
E x a z m x a m zz 0
把上Hale Waihona Puke Baidu改写成
E x m x a z m z z m z m z 0
展开上式得
E x m x z m z m z E x m x a E z m z 2 a m z E z m z 0
一种最有效的状态估计方法，将在第十一章讨论这个问题。
现代控制理论第11章参数估计方法
人们希望估计出来的参数或状态愈接近真值愈好，因此提出了 最优估计问题。所谓最优估计，是指在某一确定的准则条件下， 从某种统计意义上来说，估计达到最优，显然，最优估计不是唯 一的，它随着准则不同而不同，因此在估计时，要恰当选择估计 准则。
。按照什么准则来估计这些参数呢？ 这将是第十章讨论的主要问题。
现代控制理论第11章参数估计方法
二、状态估计 设系统的状态方程和观测方程分别为
xtA txtB tutF tw t ztH txtvt
式中，x t 为状态变量，它是随时间而变的随机过程，u t 为控制 变量，w t 为系统噪声，v t 为测量噪声， z t 为观测值。现要根据 观测值来估计状态变量 x t ，这就是状态估计问题。卡尔曼滤波是
第十一章 参数估计方法
本章讨论参数估计准则和估计方法，根据对被估值统计特性的掌 握程度不同，可提出不同的估计准则。依据不同的准则，就有相应 的估计方法，即最小方差估计、线性最小方差估计、极大似然估计、 极大验后估计、最小二乘估计等，本章将对这些估计方法进步不同 程度的讨论。
现代控制理论第11章参数估计方法
在自动控制中，为了实现最优控制和自适应控制，遇到许多参 数估计或状态估计问题，促进了估计理论和估计方法的发展。另外， 由于电子计算机的迅猛发展和广泛使用，使得许多复杂的估计问题 的解决成为可能，这也促进了估计理论的发展。所以近二十多年来 最优估计理论及其应用得到迅速的发展。
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的条件来确定系数a 和b 。
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求式(11-5)对 a 和 b 的偏导数，令偏导数等于零，可求得 a 和 b 两个 系数。
J 2E
a
x az bz
0
(11-6)
J
a
2E
x az b
(11-7)
从式(11-7)可得
m xam zb0
式中 m x 和 m z 为z 和x 的数学期望，从此式可得
所以数学期望 m x 是x 的最小方差估计。
(11-3)
这种方法可以推广到多维随机变量的估值，这里不再叙述。
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二、线性最小方差估计
线性最小方差估计就是估计值为观测值的线性函数，估计误差 的方差为最小。在使用这种方法时，需要知道观测值和被估值的
一、二阶矩，即数学期望 E z 和 E x 、方差Varz和Varx及协方差 Covx，z和 Covz，x。
x x x ˆ x m x
E x E x R x ˆ E x m x m x m x 0
即
ExˆEx
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如果估值xˆ 的数学期望等于x 的数学期望，或者估计误差xˆ 的数学 期望为零，则最小方差估计是无偏的。因此x 的估计是无偏估计。
估计误差 xˆ 的方差为
E x m x 2 x m x 2p x d x x 2
式中h 1 t、 h 2 t、 、 h n t为已知的时间函数，一般是 的t 幂函数、指
数函数或正余弦函数等等。x1、 x2、、 xn为 n 个未知参数，它们不随时 间而变。
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根据 m 对观测值z i,t ii 1 ,2 ,,m ； m n 来估计未知参数 x1、 x2、、 xn
第三篇 最优估计理论
概述
在科学和技术领域中，经常遇到“估计”问题。所谓“估计”， 就是对受到随机干扰和随机测量误差作用的物理系统，按照某 种性能指标为最优的原则，从具有随机误差的测量数据中提取， 信息估计出系统的某些参数状态变量。这就提出了参数和状态 估计问题。这些被估参数或被估状态可统称为被估量。
第一节 最小方差估计与线性最小方差估计
一、最小方差估计
最小方差准则，要求误差的方差为最小，它是一种最古典的估计
方法，这呼估计方法需要知道被估随机变量x 的概率分布密度 p x 和数学期望E x 。这种苛刻的先验条件，使此方法在工程上的应用
受到很大限制。这里只以一维随机变量的估计为例，介绍最小方差 估计方法。
现代控制理论第11章参数估计方法
先讨论被估值x 和观测值z 都是一维随机变量的情况。线性最小 方差估计是把x 的估值xˆ 表示成z 的线性函数，即
xˆazb
(11-4)
式中a 和b 为两个待定常数。根据估计误差的方差
J E x x ˆ 2 E x a z b 2 m i n
(11-5)
一般，估计问题分两大类，即参数估计和状态估计。
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一、参数估计 参数估计属于曲线拟合问题。例如做完某项试验之后，得到若干
个观测值 z i 与相应时间 t i 的关系zi,tii 1 ,2 , ,m 。我们希望以一
条曲线来表示 z 和 t 的关系，设
z t x 1 h 1 t x 2 h 2 t x n h n t
J E x x ˆ2 E x 2 2 x ˆ E x x ˆ 2
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求上式对 xˆ 的偏导数，令偏导数等于零，得
J 2xˆ2Ex
xˆ
则 x 的最优估值为
x ˆE x xpxdxm x
(11-2)
因此x 的最小方差估值为 m x ，估计误差为
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设有一维随机变量x ，它的概率密度 p x 和常数期望Exmx，都
是已知的，求x 的估值xˆ 。评价估计优劣的准则是xˆ 与 x 的误差的方
差为最小，即
J ＝ E x x ˆ2 x x ˆ2 p x d x m in
(11-1)
将上式展开，得