第六讲 随机过程的遍历性

7
6,假设随机过程各态历经的意义 , 各态历经的意义 任何一个样本函数的特性都可以充分代表随机过程的 全部统计特性, 全部统计特性,简化研究过程和实际统计方法 在实际应用中,如果随机过程是平稳的,我们总是凭经验假 在实际应用中,如果随机过程是平稳的,我们总是凭经验假 设它是各态历经的. 设它是各态历经的. 实际中,在通信系统中, 实际中,在通信系统中,我们认为噪声和信号一般都是平 稳和各态历经的
自相关遍历性
1 T 2 x(t)x(t +T) = lim a cos(ωt +) cos(ωt +ωτ +)dt T →∞ 2 ∫ T T
= a2 cos(ω0τ ) / 2 = RX (τ )
11
各态历经性判别
X (t )
X (t )
t
t
(a)
(b)
12
7,用实验手段研究随机过程的统计特性
解: E[ X (t)] = E[Y ]
E[ X (t) X (t +τ )] = E[Y ]
2
平稳随机过程
1 T x(t) = lim ∫T ydt = y T →∞ 2 T
结论: 结论:一个随机变量一定不是各态历经的
10
例
判断
X (t) = Acos(ω0t + Φ)
是否具有遍历性,其中Φ均匀分布于(0, 是否具有遍历性,其中Φ均匀分布于(0,2π). (0 解,均值遍历性
统计实验分析的目的: 统计实验分析的目的: 序列( 从时间序列 实验数据)出发(一个实现), 从时间序列(实验数据)出发(一个实现), 估计它所代表的随机过程 它所代表的随机过程X 估计它所代表的随机过程X(t)的统计特性 统计实验分析的理论基础: 统计实验分析的理论基础: 待估计的量: 待估计的量: 均值,方差,相关函数,功率谱密度(频域特性),密度函数 均值,方差,相关函数,功率谱密度(频域特性),密度函数 ),
用法: 用法:sigma=std(x) 功能:返回 功能:返回X(n) 标准方差估计
15
自相关函数: 自相关函数:
(m) = 1 Rx N
N m 1 n=0
∑x
n+m n
x
有偏(渐进无偏),一致估计量 有偏(渐进无偏),一致估计量 ),
1 N m 1 Rx (m) = ∑ xn+mxn N m n=0
1 N Rx (m) = l i m ∑x(n)x(n + m) N→∞ N n=1
5
4,相关各态历经的条件和含义(重点) 相关各态历经的条件和含义(重点)
x(t)x(t + τ ) = X (t) X (t +τ ) = RX (t1, t2)= RX (τ )
条件1 的函数, 的函数, 条件1, RX (t1, t2) 不是 t1, t2的函数,而是 τ的函数, 即随机过程相关平稳 条件2 与样本函数无关, 条件2, X (t)X (t +τ ) 与样本函数无关, D{X (t) X (t +τ )} = 0
幅值的时间平均: 幅值的时间平均: 间平均
x + x + + xm xk (t) ≈ 1 2 m
平稳情况下, 平稳情况下,幅值的统计平均
E[ X (t)] =
i=1
∑xiP{X(t) = xi}
2
n
概率意义
广义各态历经性的定义 在相关理论的范围内讨论历经过程,即讨论两种时间平均: 在相关理论的范围内讨论历经过程,即讨论两种时间平均: 均值和自相关 1,均值各态历经性 均值各态历经性
P X (t) = E[ X (t)]
与取那条样本有关, 与取那条样本有关, 与时间无关
1 T X (t) = l i m X (t)dt T→∞ 2T T
是时间t的函数, 是时间t的函数,与 取那条样本无关
∫
代表随机信号的时间平均 代表随机信号的时间平均 随机信号
1 T x(t) = l i m x(t)dt T→∞ 2T T
E[ X (t)] = E[a cos(ωt + )] 2π 1 = a cos(ωt + ) d 0 2π =0
∫
T 1 x(t) = lim asin(ωt + ) T →∞2Tω T 1 = lim {asin(ωT + ) a sin(ωT + )} T →∞ 2Tω
≤ T →∞
lim
a =0 Tω
8
遍历性判断
从定义(重点 从定义 重点) 重点 从充分条件 若不含周期分量
l i mRX (τ ) = mX 2 T→ ∞
均值遍历性: 均值遍历性:
零均值平稳正态随机信号: 零均值平稳正态随机信号:
∫
∞
0
RX (τ )dτ < ∞
相关遍历性
9
例
判断随机过程X(t)=Y的遍历性, 判断随机过程X(t)=Y的遍历性, X(t)=Y的遍历性 其中Y是方差不为零的随机变量. 其中Y是方差不为零的随机变量.
第七讲
遍历随机过程
问题: 的各数字特征(集合平均), 问题:随机过程 X (t)的各数字特征(集合平均), 能否用任一条样本函数的特征(时间平均) 能否用任一条样本函数的特征(时间平均)来代替
1
在较长的时间T 在较长的时间T内观测 一个工作在稳定状态下 的接收机的输出电压: 的接收机的输出电压:
工作条件不变, 工作条件不变,对相同的接收机 同时观测其输出电压: 同时观测其输出电压:
6
5,各态历经性的定义
设X(t)是一个平稳随机过程,如果同时满足均值各态 X(t)是一个平稳随机过程, 是一个平稳随机过程 历经,相关各态历经,则称x 历经,相关各态历经,则称x(t)广义各态历经
x(t)
P = E[ X (t)] = mx
P x(t)x(t + τ ) = RX (t1, t2) = RX (τ )
1 N1|m| RXY (m) = ∑x(n) y(n + m) N | m| n=0
互相关函数: 互相关函数: xcorr() 用法: 用法:c = xcorr(x,y,'option') 功能:返回X(n) ,Y(n)互相关函数估计 功能:返回 互相关函数估计
17
Original Signal x1 4 2 0.5 0 -2 -4 0 0.5 1 t 1.5 2 -0.5 -0.2 Rx1(t) x1(t) 1
P X (t1) X (t2) = E[ X (t1) X (t2)]
其中
X (t1) X (t2 ) = X (t) X (t +τ ) 1 T = l i m ∫ X (t) X (t +τ )dt T →∞ 2 T T
1 T x(t)x(t +τ ) = l i m ∫ x(t)x(t +τ )dt T →∞ 2 T T
19
随机过程的概率密度估计 函数: 函数: ksdensity() 用法: 用法:[f,xi] = ksdensity(x) 功能:估计用矢量x表示的随机序列在x 处的概率密度f 功能:估计用矢量x表示的随机序列在xi处的概率密度f. 函数: 函数: hist() 用法: 用法:hist(y,x) 功能:画出用矢量y表示的随机序列的直方图,参数x 功能:画出用矢量y表示的随机序列的直方图,参数x表示 直方图 计算直方图划分的单元. 计算直方图划分的单元.
1 T E[ X (t)] = l i m x(t)dt T →∞ 2T T
∫
均值各态历经
任何一条样本函数所包含的取值状态与随机过程( 任何一条样本函数所包含的取值状态与随机过程(任意 时刻)所有的状态相同, 时刻)所有的状态相同,而且出现的频率与随机过程各 状态的概率相同
4
3,自相关各态历经性 自相关各态历经性
Autocorrelation
0
-0.1
0 t
0.1
0.2
Original Signal x 4 2 0 -2 -4 0 0.5 1 t 1.5 2 Rx(t) x(t) 1 0.5 0 -0.5 -1 -0.2
Autocorrelation
-0.1
0 t
0.1
0.2
18
协方差函数与互协方差函数: 协方差函数与互协方差函数: 函数: 函数: xcov() 用法: 用法:与自相关函数及互相关函数相同
∫
3
2,均值各态历经的条件和含义(重点) 均值各态历经的条件和含义(重点)
P x(t) = X (t) = E[X (t)] = mx
条件1 条件1,X(t)均值平稳 条件2 条件2,X(t)的时间平均与样本函数无关,即 X (t) 的时间平均与样本函数无关, 对各条样本函数的取值一样, { 对各条样本函数的取值一样, D X (t)} = 0
13
各态历经假设
随机过程的数字特征估计 均值: 无偏, 均值: 无偏,一致估计量
N1 1 X = m x(n) N n=0 =0
估计方法的好坏评判 估计量的期望: 估计量的期望:
无偏性 有偏性 渐进无偏
∑
均值函数: 均值函数:
mean()
用法: 用法:m=mean(x) 功能:返回X(n)均值估计 功能:返回 均值估计
自相关函数: 自相关函数: xcorr() 用法: 用法:c = xcorr(x,'option') 功能:返回 功能:返回X(n) 自相关函数估计 'biased' 'unbiased'
16
互相关函数: 互相关函数:
1 N1|m| RXY (m) = ∑x(n) y(n + m) N n=0
有偏(渐进无偏),一致估计量 有偏(渐进无偏),一致估计量 ),
估计量的方差: 估计量的方差:
方差越小越好 一致估计
14
方差: 方差:
有偏(渐进无偏), ),一致估计量 有偏(渐进无偏),一致估计量
N1 1 2 = σX [x(n) mX ]2 N n=0
∑
方差函数: 方差函数:
var()
用法: 用法:sigma2=var(x) 功能:返回 功能:返回X(n) 方差估计 标准方差函数: 标准方差函数: std()
如果一个平稳随机过程X(t),它的各种时间平均( 如果一个平稳随机过程X(t),它的各种时间平均(时 X(t) 各种时间平均 间足够长) 相应的统计平均以概率 以概率1 间足够长)与相应的统计平均以概率1相等 则称X(t)具有严格的各态历经性,或该过程为严各态 则称X(t)具有严格的各态历经性,或该过程为严各态 X(t)具有严格的各态历经性 历经过程
1 T RX (τ ) = l i m x(t +τ )x(t)dt T→∞ 2T T
∫
相关各态历经
任何一条样本函数都同样的经历了随机过程的各种二阶可能状态 任何一条样本函数都同样的经历了随机过程的各种二阶可能状态 同样的 相同, 在各条样本函数中可能状态 x(t)x(t + τ ) 相同,且以相同的概 率出现
Fra Baidu bibliotek
20
�