2021-2022年高三数学考前最后一卷(文科)含解析

2021-2022年高三高考模拟最后一卷 数学文 含答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设全集{1,2,3,4,5},{2,4}UU MN MN ===，则N=( )A ． {1，4，5}B ．{1，3，5}C ．{1，2，3}D ．{2，3，4}2．已知复数z 满足为虚数单位），则复数所对应的点所在象限为 （ ）A ．第一象限B ． 第二象限C ． 第三象限D ．第四象限 3．“”是“”的（ ）A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充分且必要条件D ．既不充分也不必要条件4．给出以下四个说法：①绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的组距； ②在刻画回归模型的拟合效果时，相关指数的值越大，说明拟合的效果越好；③设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i=1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71说明若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kg ；④对分类变量与，若它们的随机变量的观测值越小，则判断“与有关系”的把握程度越大．其中正确的说法是 ( )A ．①④B ．②④C ．①③D ．②③5．已知双曲线的左右焦点分别为,在双曲线右支上存在一点满足且,那么双曲线的离心率是 （ ） A ． B ． C ． D ．6．对某小区100户居民的月均用水量进行统计,得到样本的频率分布直方图,则估计此样本的众数、中位数分别为 （ ） A ．,B ．,C ．,D ．,7. 一艘海轮从A 处出发,以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行,30分钟后 到达B 处,在C 处有一座灯塔,海轮在X 处观察灯塔,其方向是东偏南20°,在B 处观察 灯塔,其方向是北偏东65°,则 B ．C 两点间的距离是（ ） A ．海里 B ． 海里 C ．海里 D ．海里8. 如图是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边长为2；侧视图一直角三角形；俯视图为一直角梯形，且,则此几何体的体积是（ ）。

2021-2022学年江苏省无锡市江阴市2022届高三下学期最后一卷数学试题1. 已知集合，，则( )A. B. C. D.2. 已知复数z满足，则( )A. B. 3 C. D.3. 若，则的值是( )A. B. C. D.4. 八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹．八角星纹常绘于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈红色底衬，然后在上面绘并列的八角星形的单独纹样．八角星纹以白彩绘成，黑线勾边，中为方形或圆形，具有向四面八方扩张的感觉．八角星纹延续的时间较长，传播范围亦广，在长江以南的时间稍晚的崧泽文化的陶豆座上也屡见刻有八角大汶口文化八角星纹星纹．图2是图1抽象出来的图形，在图2中，圆中各个三角形为等腰直角三角形，中间阴影部分是正方形且边长为2，其中动点P在圆上，定点A、B所在位置如图所示，则最大值为( )A. 9B. 10C.D.5. 函数的图象大致为( )A. B. C. D.6.二项式的展开式中，含项的二项式系数为( )A. 84B. 56C. 35D. 217. 设，是椭圆的左右焦点，过的直线l交椭圆于A，B两点，则的最大值为( )A. 14B. 13C. 12D. 108. 已知，则a，b，c的大小为( )A. B. C. D.9. 关于曲线C：，下列说法正确的是( )A. 曲线C围成图形的面积为B. 曲线C所表示的图形有且仅有2条对称轴C. 曲线C所表示的图形是中心对称图形D. 曲线C是以为圆心，2为半径的圆10. 老杨每天17：00下班回家，通常步行5分钟后乘坐公交车再步行到家，公交车有A，B两条线路可以选择．乘坐线路A所需时间单位：分钟服从正态分布，下车后步行到家要5分钟；乘坐线路B所需时间单位：分钟服从正态分布，下车后步行到家要12分钟．下列说法从统计角度认为合理的是( )A. 若乘坐线路B，18：00前一定能到家B. 乘坐线路A和乘坐线路B在17：58前到家的可能性一样C. 乘坐线路B比乘坐线路A在17：54前到家的可能性更大D. 若乘坐线路A，则在17：48前到家的可能性超过11. 关于函数有下述四个结论，其中所有正确结论的选项是 ( )A. 是偶函数B. 的周期是C. 的最大值为2D. 在上有无数个零点12. 定义：在区间I上，若数是减函数，且是增函数，则称在区间I上是“弱减函数”，根据定义可得( )A. 在上是“弱减函数”B. 在上是“弱减函数”C. 若在上是“弱减函数”，则D. 若在上是“弱减函数”，则13. 已知随机事件M，N，，，，则的值为__________.14. 已知点在抛物线C：上，过其焦点F且倾斜角为的直线l与C交于M，N两点，则的面积为__________15. 甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次，已知甲和乙都没有得到冠军，并且乙不是第5名，则这5个人的名次排列情况共有__________种．16. “刺绣”是一门传统手工艺术，我国已有多种刺绣列入世界非遗文化遗产名录.有一种刺绣的图案由一笔画构成，很像汉字“回”，称为“回纹图”如右图某刺绣工在方格形布料上用单线针法绣回纹图，共进行了n次操作，每次操作在前一次基础上向外多绣一圈前三次操作之后的图案分别如下图若第k次操作之后图案所占面积为即最外围不封口的矩形面积，如，则至少操作__________次，不少于90；若每横向或纵向一个单位长度绣一针，称为“走一针”，如图①共走了5针，如图②共走了19针，如图③共走了41针，则其第n次操作之后的回纹图共走了__________针用n表示17. 已知在中，，求B的大小；在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出BC边上的中线的长度．①；②周长为；③面积为；18. 某地区2014至2020年生活垃圾无害化处理量单位：万吨如下表：年份2014201520162017201820192020年份代号x1234567生活垃圾无害化处理量y附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，求y关于x的线性回归方程；根据中的回归方程，分析过去七年该地区生活垃圾无害化处理的变化情况，并预测该地区2022年生活垃圾无害化处理量．19. 已知数列满足：求、、；将数列中下标为奇数的项依次取出，构成新数列，证明：是等差数列；设数列的前m项和为，求证：20. 某校积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，E、F、分别是正方形的三边、、的中点，先沿着虚线段FG将等腰直角三角形FDG裁掉，再将剩下的五边形ABCFG沿着线段EF折起，连接、就得到了一个“刍甍”如图若O是四边形EBCF对角线的交点，求证：平面若二面角的大小为，求直线AB与平面GCF所成角的正弦值.21.如图，，是双曲线的左右顶点，，是该双曲线上关于x轴对称的两点，直线与的交点为求点E的轨迹的方程；设点，过点Q两条直线分别与轨迹交于点A，C和B，D .若，求直线AB的斜率．22. 已知函数，其中，为的导函数，设，且恒成立.求m的取值范围；设函数的零点为，函数的极小值点为，求证：答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查集合的交集运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题．化简集合A，B进而可求出结果．【解答】解：因为，，所以故选2.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查复数的四则运算，共轭复数的概念，复数的模，属于基础题.先由复数的运算得出，再得出z，根据复数模的公式可得结果．【解答】解：由，，所以则故选3.【答案】A【解析】【分析】本题考查三角函数的化简求值，诱导公式及二倍角公式的应用，属于基础题．由已知直接利用诱导公式及二倍角的余弦公式求解．【解答】解：，故选4.【答案】C【解析】【分析】由题意可得，，，，设，的夹角为，，的夹角为，则，分P在所对的优弧上和P在所对的劣弧上两种情况计算即可得答案.本题考查向量的数量积，解题中需要理清思路，属于中档题.【解答】解：如图所示，连接OA，OB，因为中间阴影部分是正方形且边长为2，可得在中由余弦定理可得，所以，设，的夹角为，，的夹角为，，，当P在所对的优弧上时，，所以，，所以，其中所以最大值为，当P在所对的劣弧上时，，所以，，所以，其中所以最大值为，综上所述，最大值为，5.【答案】C【解析】【分析】本题考查函数图像的应用，属于基础题.解决问题的关键是根据所给函数得到其为奇函数，结合的函数值及时，，排除选项即可.【解答】解：由题函数定义域关于原点对称，且，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，排除B；当时，，，排除D；当时，，排除故选6.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，属于基础题．利用二项式定理，再结合二项式系数的性质化简得到结果．【解答】解：因为的通项公式为，所以在的展开式中，含项的二项式系数为…故选7.【答案】A【解析】【分析】本题考查了椭圆的定义、标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．利用椭圆的定义可得：的周长为；若最小时，的值最大，解出即可得出的最大值．【解答】解：，，的周长为；若最小时，的值最大，又当轴时，最小，此时，故的最大值为故选8.【答案】C【解析】【分析】本题考查利用导数比较大小，利用函数的单调性比较大小，属于中档题.化简，构造函数，利用其单调性即可比较大小.【解答】解：，设，则，易知在上单调递减，所以，即故选9.【答案】AC【解析】【分析】本题考查曲线与方程，属于中档题.设是曲线C上任意一点，曲线C的方程为，根据x、y 的范围进一步确定曲线方程，结合图形即可确定.【解答】解：设是曲线C上任意一点，由于曲线C的方程为，所以当，时，曲线的方程为，即当，时，曲线的方程为，即当，时，曲线的方程为，即当，时，曲线的方程为，即，故曲线C的图形如图由图中实线部分及原点组成，所以曲线C关于x轴对称、关于y轴对称、关于原点对称.故B错误，C正确.由图可知，曲线C所围成的图形是由一个边长为的正方形和四个全等的半圆组合而成的，其中半圆的半径为，故曲线C所围成的图形的面积为，故A正确，D错误.故选10.【答案】BC【解析】【分析】本题考查正态曲线的性质和正态分布下的概率的实际应用，属于中档题.根据何时能到家是随机事件可判断A错误；设乘坐线路A所需时间为单位：分钟，则满足条件：，到家所需时间为分钟；乘坐线路B所需时间为单位：分钟，则满足条件：，到家所需时间为分钟通过计算乘坐线路A和乘坐线路B在相应时刻到家的概率可判断B，C，【解答】解：由已知，设乘坐线路A所需时间为单位：分钟，则满足条件：，到家所需时间为分钟，乘坐线路B所需时间为单位：分钟，则满足条件：，到家所需时间为分钟.对于A，若乘坐线路B，则到家所需时间大于17分钟，“前一定能到家”是随机事件，可能发生，也可能不发生，所以A错误；对于B，由，知，由，知，因为，，可见，所以乘坐线路A在前到家的可能性与乘坐线路B在前到家的可能性相同，所以B正确；对于C，由，知，由，知，因为，，可见，所以乘坐线路B比乘坐线路A在前到家的可能性更大，所以C正确；对于D，由，知：，因为，所以，所以D错误.故选11.【答案】ACD【解析】【分析】本题考查命题的真假判断，主要是考查余弦函数的图象和性质，考查奇偶性和单调性、函数零点的个数和最值的求法，考查运算能力和推理能力，属于中档题．先化简函数的解析式，再利用余弦函数的图象和性质，得出结论．【解答】解：，故为偶函数，故A正确；函数，是周期为的周期函数，故B错误；由函数，可得的最大值为2，故C正确；由于当时，，，有无数零点，故D正确.12.【答案】BCD【解析】【分析】本题考查函数中的新定义，考查利用导数研究函数的单调性，题目较难.求得，以及的导函数，利用导函数的符号变化研究其单调性，即可求得答案.【解答】解：对于A，，在上不是增函数，故其不是“弱减函数”，A错误，对于B，，，当时，，在单调递减，，，当时，，所以在上是增函数，故在上是“弱减函数”，B正确，对于C，，，令得，所以在单调递减，在单调递增，所以在上是“弱减函数”，故，C正确，对于D，，，由题意得在上恒成立，即在上恒成立，设，，令，，，则单调递减，，所以，单调递减，，所以，，在上恒成立，即在上恒成立，设，则，单调递增，所以，所以，综上，，D正确，故选13.【答案】【解析】【分析】本题考查条件概率，属于较易题.直接利用条件概率公式求解即可.【解答】解：已知随机事件，，，则，又，故故答案为：14.【答案】【解析】【分析】本题主要考查了抛物线的简单性质．属于中档题.抛物线的方程可求得焦点坐标，进而根据斜率表示出直线的方程，与抛物线的方程联立消去y，求出MN，再求出点到直线方程的距离，即可求解．【解答】解：因为点在抛物线上，所以，即抛物线上由题意可知过焦点的直线方程为，联立有，，因为直线l过抛物线的焦点F，所以，点到直线方程的距离，故的面积故答案为15.【答案】54【解析】【分析】本题考查排列的应用，涉及两个计数原理的应用，属于基础题.根据题意，分两种情况讨论：①、甲是最后一名，则乙可以为第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次，②、甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次，由加法原理计算可得答案.【解答】解：根据题意，甲乙都没有得到冠军，而乙不是最后一名，分两种情况讨论：①、甲是最后一名，则乙可以为第二、三、四名，即乙有3种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，有种情况，此时有种名次排列情况;②、甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，有种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，有种情况，此时有种名次排列情况;则一共有种不同的名次排列情况.16.【答案】6【解析】【分析】本题主要考查了探索规律，归纳推理，属于中档题.由给出的图形和数据计算，，所以至少操作6次，不少于90，由9，19，41得出操作数与n的关系.【解答】解：，，所以至少操作6次，不少于90，因为1次操作共走了针；2次操作共走了针；3次操作共走了针；所以第n次操作之后的回纹图共走了针．故答案为6；17.【答案】解：，由正弦定理可得，即，在中，，，即选①，由正弦定理可得，与已知条件矛盾，故不存在，选②周长为，，，，由正弦定理可得，即，外接圆的半径为，，，，即，，，存在且唯一确定，设BC的中点为D，，在中，运用余弦定理，，即，，边上的中线的长度为选③面积为，，，，解得，设BC的中点为D，，在中，由余弦定理可得，则【解析】本题主要考查分析法以及反证法证明等式与不等式的命题，考查基本方法分应用，注意命题的否定形式，是高考中常见的题型，属于中档题，只要学生认真审题，都能得分.本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．考查了学生对三角函数基础知识的综合运用，属于中档题．根据已知条件，运用正弦定理，即可求解；选①不满足正弦定理，不存在，选②周长为，结合已知条件，运用正弦定理可求三角形各边长度，在中，运用余弦定理，即可求解，选③面积为，通过三角形面积公式，可求得a的值，再结合余弦定理，即可求解．18.【答案】解：易知，，又，，所以，则，所以回归方程为；由回归方程可知，过去七年中，生活垃圾无害化处理量每年平均增长万吨，当时，，即2022年该地区生活垃圾无害化处理量约为万吨．【解析】本题主要考查线性回归方程的求解以及应用，根据数据求出相应的系数是解决本题的关键，考查学生的运算能力，属于中档题．求出，再求得回归方程中的系数后可得回归方程；由系数得变化情况，令可得估计值．19.【答案】解：由题意知：，，，，，证明：当n为奇数时，为偶数，，，，当时，是以为首项，2为公差的等差数列.证明：由知【解析】本题考查数列的递推关系及等差数列的判定，同时考查裂项相消法求和，属于一般题.利用递推关系求解即可;由递推关系求出，然后利用等差数列的定义求解即可;利用裂项的方法求出即可求解.20.【答案】证明：取线段CF中点H，连接，由图1可知，四边形EBCF是矩形，且是线段BF与CE的中点，且在图1中，且，所以在图2中，且四边形AOHG是平行四边形，由于平面平面平面解：由图1，折起后在图2中仍有即为二面角的平面角以E为坐标原点，分别为x轴和y轴正向建立空间直角坐标系如图，且设则，设平面GCF的一个法向量由得，取则于是平面GCF的一个法向量⟨⟩于是直线AB与平面GCF所成角的正弦值为【解析】本题主要考查线面平行，线面所成角，属于中档题.由已知可证利用线面平行的判定定理可得平面GCF；以E为坐标原点，分别为x轴和y轴正向建立空间直角坐标系，平面GCF 法向量与AB向量的数量积，得AB与平面GCF所成角的正弦值.21.【答案】解：由题知：，设，，则则直线的方程：，直线的方程：，两式相乘，得：，即所以点E的轨迹的方程为设，，，设，则，即代入椭圆方程，得：即，即①同理可得：②由②-①，得：，所以所以直线AB的斜率【解析】本题主要考查了圆锥曲线中的轨迹问题，直线与椭圆的位置关系，双曲线的几何性质，属于中档题.由题知：，设，，则写出直线和直线的方程即可求出交点E的轨迹的方程；设，，，由，得出代入椭圆方程，得①同理可得：②由②-①，即可写出直线AB的斜率.22.【答案】解：由题知，，，，由，得，所以函数在区间上单调递增，由，得，所以函数在区间上单调递减，故在处取得最小值，且，由于恒成立，所以，解得，所以m的取值范围为证明：设，则，设，则，故函数在区间上单调递增，由知，，所以，，故存在，使得，所以当时，，，函数单调递减；当时，，，函数单调递增，所以是函数的极小值点，因此，即，由可知，当时，，即，整理得，所以，因此，即，所以函数在区间上单调递增，由于，即，即，所以，又函数在区间上单调递增，所以【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性、最值、极值，考查导数中恒成立问题，考查分析与计算能力，计算量大，属于难题.由题设知，，，求导，可得的最小值，即可求解；设，求导得设，再求导，结合，求得，判断函数的单调性以及与0的大小关系即可得到答案.。

江西省宜春市荷湖中学2021-2022学年高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（a﹣b）（sinA+sinB）=（c﹣b）sinC，若，则b2+c2的取值范围是（）A．（5，6] B．（3，5）C．（3，6] D．[5，6]参考答案：A【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】由已知利用正弦定理可得b2+c2﹣a2=bc．再利用余弦定理可得cosA，进而可求A，利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得b2+c2=4+2sin（2B﹣），利用B的范围，可求2B﹣的范围，利用正弦函数的图象和性质可求其范围．【解答】解：∵（a﹣b）（sinA+sinB）=（c﹣b）sinC，由正弦定理可得：（a﹣b）（a+b）=（c﹣b）c，化为b2+c2﹣a2=bc．由余弦定理可得：cosA===，∴A为锐角，可得A=，∵，∴由正弦定理可得：，∴可得：b2+c2=（2sinB）2+[2sin（﹣B）]2=3+2sin2B+sin2B=4+2sin（2B﹣），∵B∈（，），可得：2B﹣∈（，），∴sin（2B﹣）∈（，1]，可得：b2+c2=4+2sin（2B﹣）∈（5，6]．故选：A．2. 若数列{a n}满足，，则的值为（）A．2 B．-3 C．D．参考答案：B，，所以故数列是以4为周期的周期数列，故故选B.3. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是 ( )A． B． C． D．参考答案：A4. 若，则（）A. B. C. D.参考答案：A【分析】由，再由题中数据，即可得出结果．【详解】因为，所以，故选：A．【点睛】本题考查给值求值的问题，熟记诱导公式、同角三角函数基本关系、二倍角公式即可，属于基础题．5. 已知全集U=R，A={x|x2﹣4x+3≤0}，B={x|log3x≥1}，则A∩B=（）A．{3} B．{x|＜x≤1}C．{x|x＜1} D．{x|0＜x＜1}参考答案：A【考点】1E：交集及其运算．【分析】求出A，B中不等式的解集，找出A与B的交集即可．【解答】解：A={x|x2﹣4x+3≤0}={x|1≤x≤3}，B={x|log3x≥1}={x|x≥3}，则A∩B={3}，故选：A【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．6. 已知定义在上的函数满足下列三个条件：①对任意的都有，②对于任意的，都有，③的图象关于轴对称，则下列结论中，正确的是 ( )A． B．C． D．参考答案：B略7. 从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形的边长的概率为（）(A) (B) (C)(D)参考答案：C8. 函数的图象在点处的切线的倾斜角为(A) (B) (C) (D)参考答案：B函数的导数为，所以在点处的切线斜率，又，所以，选B.9. 设集合，集合，则等于A．B．C．D．参考答案：D,所以，选D.10. 已知两点M（-5，0）和N（5，0），若直线上存在点P, 使|PM|－|PN|=6，则称该直线为“R型直线”．给出下列直线：①y=x+l：②y=2；③y=x；④y= 2x +1，其中为“R型直线“的是A．①②B．①③C．①④D．③④参考答案：由题意可知，点的轨迹是在双曲线的右支上，其中，所以。

2021-2022年高三模拟考试最后一卷（数学）一、选择题：本大题共10小题；每小题5分．共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A B y x y x A ==+=∈{}{|}01122，，，，则A 与B 的关系为 A.B.C.D.2.在抽查某产品尺寸过程中,将其尺寸分成若干组,是其中的一组,已知该组的频率为,该组上的直方图的高为,则等于 A. B. C. D.3.若均为非负整数，在做的加法时各位均不进位（例如:134＋3802＝3936），则称为“简单的”有序对，而称为有序数对 的值，那么值为1942的“简单的”有序对的个数是A. 20B. 16C. 150D. 3004.设,则以下不等式中不恒成立的是 A. B. C. D.5.若数列中，，且对任意的正整数、都有，则 A. B. C. D.6.定义在上的函数即是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，，则 的解为 A. B. 522()66x k x k k Z ππππ=+=+∈或 C. D. 5()66x k x k k Z ππππ=+=+∈或 7.过正三棱锥侧棱与底面中心作截面，已知截面是等腰三角形，则侧面和底面所成角的余弦值为 A. B. C. 或 D. 或 8.已知为的边的中点，所在平面内有一点，满足 ，设则的值为A. 2B. 1C.D.9.点到点及直线的距离都相等,如果这样的点恰好只有一个,那么的值是A. B. C. 0 D.10.一次研究性课堂上，老师给出函数，四位同学甲、乙、丙、丁在研究此函数时分别给出命题：甲：函数f (x )的值域为（－1，1）； 乙：若x 1≠x 2，则一定有f (x 1)≠f (x 2)； 丙：函数在上不单调；丁：若规定||1)()),(()(),()(11x n xx f x f f x f x f x f n n n +===-则对任意恒成立. 你认为上述三个命题中正确的个数有A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11.若的展开式中的系数是,则实数的值是 . 12.双曲线的离心率,则的取值范围是____________.13.已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 边长为1，高AA 1=，它的八个顶点都在同一球面上，则A ，B 两点的球面距离为 . 14.在中，已知，，，则的面积为___________.15.已知函数的图象如图，则满足 的的取值范围为 _______.16.数列中，如果存在非零常数，使得对于任意的非零自然数均成立，那么就称数列为周期数列，其中叫做数列的周期。

2021-2022高考数学模拟试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}2|2150A x x x =-->，{}|07B x x =<<，则()R A B 等于( )A ．[)5,7-B ．[)3,7-C ．()3,7-D ．()5,7-2．已知函数f (x )＝223,1ln ,1x x x x x ⎧--+≤⎨>⎩,若关于x 的方程f (x )＝kx －12恰有4个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是( ) A ．1,e 2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．1,2e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1,2e e ⎛⎤ ⎥ ⎝⎦D ．1,2e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 3．若x yi +(,)x y ∈R 与31i i +-互为共轭复数，则x y +=（ ） A ．0B ．3C ．－1D ．4 4．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为A ．B ．C ．D ．5．已知α是第二象限的角，3tan()4πα+=-，则sin 2α=( ) A ．1225 B ．1225- C ．2425 D ．2425- 6．如图是二次函数2()f x x bx a =-+的部分图象，则函数()ln ()g x a x f x '=+的零点所在的区间是（ ）A ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(1,2)D ．(2,3)7．若23455012345(21)(21)(21)(21)(21)a a x a x a x a x a x x +-+-+-+-+-=，则2a 的值为（ ）A ．54B ．58C ．516D ．5328．设10(){2,0x x f x x ≥=<，则((2))f f -=（ ） A ．1- B ．14 C ．12 D ．329．设22(1)1z i i=+++（i 是虚数单位），则||z =（ ） AB ．1C ．2 D10．已知函数()2x f x x a =+⋅，()ln 42x g x x a -=-⋅，若存在实数0x ，使()()005f x g x -=成立，则正数a 的取值范围为（ ）A ．(]01，B ．(]04，C ．[)1+∞，D ．(]0,ln2 11．设双曲线221x y a b+=的一条渐近线为2y x =-，且一个焦点与抛物线24x y =的焦点相同，则此双曲线的方程为（ ）A ．225514x y -=B ．225514y x -=C ．225514y x -=D ．225514x y -= 12．设ln 2m =，lg 2n =，则（ ）A ．m n mn m n ->>+B ．m n m n mn ->+>C ．m n mn m n +>>-D ．m n m n mn +>->二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）. 1．设集合,,则下列结论正确的是（）A． B． C． D．2. 已知为虚数单位,则复数所对应的点在（）A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3．已知函数，则的值为（）A． B． C． D．4．已知向量，满足，，则（）A． B．C． D．5．下列函数中，最小正周期为，且图象关于直线对称的是A． B．C． D．6．运行如图所示的程序框图，则输出的值为A. B. C. D.7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．96 B． C． D．8．已知直线的方程为，且，则直线的斜率不小于的概率为（）A． B． C． D．9. 已知，满足约束条件1,1,49,3,xyx yx y≥⎧⎪≥-⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩，若目标函数的最大值为1，则的值是（）是否开始输出结束A． B．1 C．2 D．510. 已知半径为1的圆是半径为的球的一个截面，若球面上任一点到圆面的距离的最大值为，则球的表面积为（）A． B． C． D．11．已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，为坐标原点，若，且，则该椭圆的离心率为（）A． B． C． D．12. 已知函数（）．若存在，使得＞－，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题－24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).13. 已知，，那么．14．已知圆O的方程是x2＋y2－8x－2y＋10＝0，过点M(3,0)的最短弦所在的直线方程是．15. 已知函数e,0()()31,0x a xf x ax x⎧+≤=∈⎨->⎩R,若函数在R上有两个零点,则的取值范围是．16．已知函数定义在上的奇函数，当时，，给出下列命题：①当时，②函数有个零点④，都有，其中正确的命题是_________．三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17.（本小题满分12分）已知等差数列中公差，有，且成等比数列.(1) 求的通项公式与前项和公式；(2) 令，求数列的前项和.18.（本小题满分12分）xx“双十一”当天，甲、乙两大电商进行了打折促销活动，某公司分别调查了当天在甲、乙电商购物的1000名消费者的消费金额，得到了消费金额的频数分布表如下：甲电商：元）频数50200350300100乙电商：消费金额（单位：千元）频数250300150100200（Ⅰ）根据频数分布表，完成下列频率分布直方图，并根据频率分布直方图比较消费者在甲、乙电商消费金额的中位数的大小以及方差的大小（其中方差大小给出判断即可，不必说明理由）；（Ⅱ）运用分层抽样分别从甲、乙1000名消费者中各自抽出20人放在一起，在抽出的40人中，从消费金额不小于4千元的人中任取2人，求这2人恰好是来自不同电商消费者的概率.19.（本小题满分12分）如图所示的几何体中,四边形ABCD 是等腰梯形,AB //CD , ,若（1）求证：（2）求三棱锥的体积．20. （本大题满分12分）已知椭圆的左顶点为,点,为坐标原点．（1）设是椭圆上任意一点,,求的取值范围；（2）设是椭圆上的两个动点,满足,试探究的面积是否为定值,说明理由．21. （本大题满分12分）已知函数21()ln (R)2f x x a x b a =-+∈． （1）若曲线在处的切线的方程为,求实数,的值；（2）若,对任意,不等式121211|()()|||f x f x mx x-≤-恒成立,求的最小值．请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本题满分10分）选修：几何证明选讲如图，内接于，为其直径，于延长后交于，连接并延长交过点的直线于，且平分．（I）求证：是的切线；（II）若，求的值．23. （本题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为，曲线的参数方程为.（为参数）（I）写出直线与曲线的直角坐标方程；（II）过点且平行于直线的直线与曲线交于两点，若，求点轨迹的直角坐标方程.24. （本题满分10分）选修4－5：不等式选讲设函数的最大值为.（I ）求；（II ）若()222,b,c 0,,a 2a b c m ∈+∞++=，求的最大值.“时不我待，只争朝夕” 高三模拟考试数学（文科）答案 1-6CACABA 7-12CCBBCC 13.； 14.； 15. 16.③④17.【命题意图】本题考查等差数列通项及前n 项和的求法,裂项求和的方法,意在考查分析问题、解决问题的能力、基本运算能力．【解析】（1）依题意得,,是公差为4的等差数列,∴,即∴34)1(1-=-+=n d n a a n ,（6分）（2）由（1）知,则∴)1(4)11131212111(41+=+-++-+-=n n n n T n（12分） 18. 【命题意图】本题考查频率分布直方图、中位数、方差、分层抽样和古典概型等基础知识，意在考查统计思想和基本运算能力．【解析】（Ⅰ）频率分布直方图如下图所示，))甲的中位数在区间内，乙的中位数在区间内，所以甲的中位数大. ……6分（Ⅱ）运用分层抽样分别从甲的1000名消费者中抽出20人，消费金额不小于4千元的人数为2人，记作；运用分层抽样分别从乙的1000名消费者中抽出20人，消费金额不小于4千元的人数为4人，记作.在这六人中任意抽取两人，所得基本事件空间为：{,1,2,3,4,1,2,3,4,12,13,14,23,24,34}ab a a a a b b b bΩ=，共计15个元素.把两人恰好是来自不同电商消费者这个事件记作，则{1,2,3,4,1,2,3,4}A a a a a b b b b=，共计8个元素.∴.……12分19.【命题意图】本题主要考查空间中线面位置关系的判断与证明及几何体体积的计算．意在考查逻辑推理能力及空间想象能力.20.【命题意图】本题以椭圆为载体考查圆锥曲线中的基础知识,意在运算能力及分析问题解决问题的能力,同时考查函数思想与方程思想的应用.【解析】（1）, 设,则()()6,2,QS QR x y x y ⋅=-----()()()()22626214x x x y x x =-++=-++-∴ 当时,最大值为；当时,最小值为；即的取值范围为（4分）21.【命题意图】本题主要考查导数的几何意义及导数的应用,同时考查转化与化归思想的应用.【解析】（1）∵,∴,∵曲线在处的切线的方程为,∴,,∴,,∴,．（3分）（2）因为, ,所以,故函数在上单调递增,不妨设,则121211|()()|||f x f x m x x -≤-, 可化为,设21()()ln 2m m h x f x x a x b x x =+=-++,则． 所以为上的减函数,即在上恒成立,等价于在上恒成立,即在上恒成立,又,所以,所以,而函数在上是增函数,所以（当且仅当,时等号成立）．所以．即的最小值为．(12分)22.【命题意图】本题考查圆的性质、相似三角形等基础知识，意在考查逻辑推理能力．（II ），则12245,,55AC BC AB CH CD AB ====，，因为是的切线，所以，所以，所以，……10分23. 【命题意图】本题考查直线极坐标方程和直角坐标方程的转化、椭圆的参数方程和普通方程的转化、直线参数方程的意义等基础知识，意在考查转化和化归、运算求解、数形结合思想的运用．【解析】（I）直线，曲线.……5分24. 【命题意图】本题考查零点分段法和基本不等式等基础知识，意在考查基本运算能力．【解析】（I ）当时，；当时，；当时，，故当时，取得最大值.……5分（II ）因为()()()22222222222a b c a b b c ab bc ab bc ++=+++≥+=+， 当且仅当时取等号，此时，取得最大值1. ……10分27816 6CA8 沨27370 6AEA 櫪/23436 5B8C 完25499 639B 掛31666 7BB2 箲535407 8A4F 詏€30411 76CB 盋34067 8513 蔓r36215 8D77 起539425 9A01 騁。

2021-2022学年山东省淄博市北中学高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 方程的解得个数是（）A. 2B. 4C. 6D. 8参考答案：C2. 直线l过抛物线y2=4x的焦点F，交抛物线于A，B两点，且点B在x轴下方，若直线l的倾斜角θ≤，则|FB|的取值范围是( )A．（1，4+2] B．（1，3+2] C．（2，4+2] D．（2，6+2]参考答案：A考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：如图所示，抛物线y2=4x的焦点F（1，0）．当θ=时，直线l的斜率k=﹣1，直线l的方程为y=﹣（x﹣1），与抛物线方程联立可得x2﹣6x+1=0，解得x=3±2，取x=3+2，可得|FB|的最大值为3+2+1．由于直线l的倾斜角θ≤，即可得出|FB|的取值范围．解答：解：如图所示，抛物线y2=4x的焦点F（1，0）．当θ=时，直线l的斜率k=﹣1，直线l的方程为y=﹣（x﹣1），联立，化为x2﹣6x+1=0，解得x=3±2，取x=3+2，可得|FB|的最大值为3+2+1=4+2．∵直线l的倾斜角θ≤，∴|FB|的取值范围是（1，4+2]．故选：A．点评：本题考查了直线与抛物线相交问题、焦点弦长问题，考查了计算能力，属于基础题．3. 等差数列中，如果，，则数列前9项的和为A. 297B. 144C. 99D. 66参考答案：C由，得。

由，德。

所以，选C.4. 若关于x的方程恒有实数解，则实数m的取值范围是（）A.［-1，+］B.［-1,8］C.［0,5］ D.［0,8］参考答案：D略5. （5分）若||=2sin15°，||=4cos15°，与的夹角为30°，则?的值是（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】：平面向量数量积的运算．【专题】：计算题；平面向量及应用．【分析】：根据向量数量积的定义，结合二倍角的正弦公式化简，得?=2sin60°，再根据特殊角的三角函数值，得到本题答案．解：根据向量数量积的定义，得?=||?||cosθ，其中θ为与的夹角∵||=2sin15°，||=4cos15°，θ为30°，∴?=2sin15°?4cos15°?cos30°=4（2sin15°cos15°）cos30°=4sin30°cos30°=2sin60°=故选B【点评】：本题以向量数量积的计算为载体，着重考查了二倍角的正弦公式、特殊角的三角函数值和平面向量数量积公式等知识，属于基础题．6. 设，，若，则的最小值为( )A． B．6 C． D．参考答案：A7. 已知a=logπ3，b=20.5，，则a，b，c大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a参考答案：B【考点】对数值大小的比较．【专题】计算题．【分析】利用对数函数与指数函数的性质，将a、b、c与0与1进行比较即可．【解答】解：∵0＜a=logπ3＜1，b=20.5＞1，c=＜0，∴b＞a＞c．故选B．【点评】本题考查对数值大小的比较，着重考查对数函数与指数函数的性质，属于基础题．8. 某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是A． B．C．D．参考答案：A9. 已知实数满足，则目标函数的最大值为（）A． B． C．D．参考答案：B略10. 已知函数在上是减函数，则的取值范围是（）A B C D参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数的最大值是参考答案：略12. （4分）直线mx+（m﹣1）y+5=0与（m+2）x+my﹣1=0垂直则m= ．参考答案：0或﹣【考点】：直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】：直线与圆．【分析】：对m分类讨论，利用两条直线相互垂直与斜率之间的关系即可得出．解：当m=0时，两条直线分别化为：﹣y+5=0，2x﹣1=0，此时两条直线相互垂直，因此m=0；当m=1时，两条直线分别化为：x+5=0，3x+y﹣1=0，此时两条直线不垂直，舍去；当m≠0，1时，由两条直线相互垂直，可得=﹣1，解得m=﹣．综上可得：m=0或﹣．故答案为：0或﹣．【点评】： 本题考查了分类讨论、两条直线相互垂直与斜率之间的关系，属于基础题．13. 若圆锥底面半径为1，高为2，则圆锥的侧面积为 ▲ ．参考答案：略14. 已知满足约束条件则的最大值为．参考答案：作出不等式组对应的可行域，由得，平移直线，由图象可知当直线经过点B 时，直线的截距最大，此时最大。

2021-2022年高三最后一卷数学试题（解析版）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．已知集合{0,2,4},{|2,}M N x x a a M ===∈，则集合{0，4}．解：由题意有，，∴．2．已知，复数的实部为，虚部为1，则的取值范围是． 解：由题意有，，又，∴．3．已知向量()0,1,(1,3),(,)OA OB OC m m ===，若，则实数= -1 ． 解：由题设有，，∴，∴．４．已知双曲线的实轴长为2，离心率为2，则双曲线的焦点坐标是．解：∵，∴，又，∴，∴双曲线的焦点坐标是．５．某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为．解：因甲、乙、丙三名学生在两个食堂中选一个用餐，共有种，又甲、乙、丙三名学生在同一个食堂用餐有2种，∴所求概率为．６．某校为了解高三同学暑假期间学习情况，抽查了100名同学，统计他们每天平均学习时间,绘成频率分布直方图（如图）．则这100名同学中学习时间在6~8小时 内的人数为 _30_．解：由直方图有，学习时间在6~8小时内的频率为1(0.040.120.140.05)20.3-+++⨯=，∴100名同学中学习时间在6~8小时内的人数为． ７．设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )=+2x +m (m 为常数)，则f (1)=． 解：∵，∴，∴，∴， 故f (1)．８．如果执行右面的程序框图，那么输出的为．解：由流程图可得，；；；；∴输出的S 呈周期出现，且周期为4，因，故输出的．９．设是两条不同的直线，是两个不重合的平面， 给定下列四个命题，其中为真命题的序号是 ②③ ． ①；②；③；④////m n m n αβαβ⊂⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭解：【解析】①错误，m 与 有可能斜交；②正确；③正确；④错误，m 与n 可能异面． 10．已知直线与圆交于、两点，且向量、满足，其中为坐标原点，则实数的值为．解：∵,∴,∴是等腰直角三角形，∴点O 到直线AB 的距离为，即，∴． 11．设函数，曲线在点A 处的切线方程为 ，则曲线在点B 处切线的方程为．解：由已知，而，所以，又，∴，∴曲线在点处切线的方程为，即． 12．若关于x 的不等式的解集中整数恰好有2个，则实数k 的取值范围是．解：因为不等式等价于，其中方程的，且有，故，不等式的解集为，又，则一定有1，2为所求的整数解集，所以，解得a 的范围为． 13．已知，C 是线段AB 上异于A ，B 的一点， 均为等边三角形，则的外 接圆的半径的最小值是．解：设则，在中，由余弦定理，知2222cos DE CD CE CD CE DCE =+-⋅∠222()393m n mn m n mn mn=+-=+-=-又当且仅当时，取“=”，所以，又的外接圆的半径2sin 2DE R DCE ==≥∠． ACDBE第13题14．已知等差数列的前n 项和为，若322(1)2010(1)1a a -+-=，320092009(1)2010(1)1a a -+-=-，则下列四个命题中真命题的序号为 ②③ ． ①； ②； ③； ④ 解：设，则由题设有，，∴，因是奇函数，且在R 上是单调增函数，∴，即， ∴1200920102010()20102a a S +==，∴②正确；又，由单调性得，即，同理有，，∴③正确；∵，若正确，则，这与矛盾，∴①不正确；若正确，则不可能，∴④不正确． 二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题14分）已知为坐标原点，2(2sin ,1),(1,cos 1)OA x OB x x ==-+，． （1）求的最小正周期；（2）将图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的两倍，再将所得图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数为，且()π2π5π,,,,6363παβ⎡⎤∈∈--⎢⎥⎣⎦，求的值．解：（1）由题设有，21()sin cos 2f x x x x =-+1sin(2)26x π+=+，∴函数的最小正周期为．（2）由题设有，又，即()()π3π4sin ,sin 3535+=+=-αβ，因为()π2π5π,,,,6363⎡⎤∈∈--⎢⎥⎣⎦παβ所以()ππππ,π,,03232⎡⎤+∈+∈-⎢⎥⎣⎦αβ，∴()()π4π3cos ,cos .3535+=-+=αβ ∴()()()ππsin sin 33⎡⎤-=+-+⎢⎥⎣⎦αβαβ()()()()ππππsin cos cos sin 3333=++-++αβαβ所以()22798cos2()12sin ()2.25625--=--=-⨯-=-αβαβ 16．（本小题14分）如图，四棱锥中，⊥底面，⊥．底面为梯形，，，，点在棱上，且． （1）求证：平面⊥平面；（2）求证：∥平面．P解析：（1）∵PA ⊥底面ABCD ，∴，又AB ⊥BC ，，∴⊥平面． 又平面，∴平面⊥平面．（2）∵PA ⊥底面ABCD ，∴AC 为PC 在平面ABCD 内的射影．又∵PC ⊥AD ，∴AC ⊥AD ． 在梯形中，由AB ⊥BC ，AB =BC ，得， ∴．又AC ⊥AD ，故为等腰直角三角形．∴)2DC AB ===．连接，交于点，则 在中，，∴ 又PD 平面EAC ，EM 平面EAC ，∴PD ∥平面EAC ．17．（本小题14分）为配合国庆黄金周，促进旅游经济的发展，某火车站在调查中发现：开始售票前，已有a 人在排队等候购票．开始售票后，排队的人数平均每分钟增b 人．假设每个窗口的售票速度为c 人/分钟，且当开放两个窗口时，25分钟后恰好不会出现排队现象（即排队的人刚好购完）；若同时开放三个窗口时，则15分钟后恰好不会出现排队现象． （1）若要求售票10分钟后不会出现排队现象，则至少需要同时开几个窗口？（2）若a =60，在只开一个窗口的情况下，试求第n （且）个购票者的等待时间关于的函数，并求出第几个购票者的等待时间最长？（注：购票者的等待时间指从开即始排队（售票开始前到达的人，从售票开始计时）到开始购票时止） 解：（1）设需同时开x 个窗口，则根据题意有，2550(1)1545(2)1010(3)a b c a b c a b cx +=⎧⎪+=⎨⎪+≤⎩由（1）（2）得，代入（3）得，，∴， 即至少同时开5个窗口才能满足要求． （2）由得，，设第个人的等待时间为，则由题意有，当时，；当时，设第个人是售票开始后第分钟来排队的，则，此时已有人购到票离开队伍，即实际排队的人数为，PA D BC E M∴，综上，关于的函数为**1,(60,)1.6119,(60118,)1.6n n n n N t n n n N -⎧≤∈⎪⎪=⎨-⎪<≤∈⎪⎩，∵当时，分钟，当时，分钟，∴第60个购票者的等待时间最长．18．（本小题16分）已知椭圆的左顶点为A ，左、右焦点分别为，且圆C：22360x y y +--=过两点．（1）求椭圆标准的方程；（2）设直线的倾斜角为α，直线的倾斜角为β，当β－α＝2π3时，证明：点P 在一定圆上；（3）设椭圆的上顶点为Q ，证明：+．解：（1）圆22360x y y ++--=与轴交点坐标为，，故，所以，∴椭圆方程是：． （2）设点P （x ，y ），因为（－3，0），（3，0），设点P （x ，y ），则＝tan β＝y x ＋3,＝tan α＝yx －3，因为β－α＝2π3，所以tan(β－α)＝－3．因为tan(β－α)＝tan β－tan α1＋tan αtan β＝－23yx 2＋y 2－3，所以－23y x 2＋y 2－3＝－3．化简得x 2＋y 2－2y ＝3．所以点P 在定圆x 2＋y 2-2y ＝3上．（3）∵PQ 2＝x 2＋(y －3)2＝x 2＋y 2－6y ＋9，因为x 2＋y 2＝3＋2y ，所以PQ 2＝12－4y ．又PF 12＝(x ＋3)2＋y 2＝2y ＋6＋23x ，PF 22＝(x －3)2＋y 2＝2y ＋6－23x ， ∴2P F 1×P F 2＝24(y ＋3)2－12x 2＝4(y ＋3)2－3x 2， 因为3x 2＝9－3y 2＋6y ，所以2 P F 1×P F 2＝44y 2，∵β＝α+2π3 > 2π3，又点P 在定圆x 2＋y 2－2y ＝3上，∴y ＜0，所以2 P F 1×P F 2＝－8y ，从而(P F 1+P F 2)2＝PF 12＋2 P F 1×P F 2＋PF 22＝4y ＋12－8y ＝12－4y ＝PQ 2． 所以PQ ＝PF 1＋PF 2． 19．（本小题16分）已知数列{a n }的通项公式为a n = 2⨯3n + 23n – 1(n ∈N *)． ⑴求数列{a n }的最大项；⑵设b n = a n + pa n– 2，求实常数p ，使得{b n }为等比数列；⑶设，问：数列{a n }中是否存在三项，，，使数列，，是等差数列？如果存在，求出这三项；如果不存在，说明理由．解：⑴由题意a n = 2 + 43n – 1,随着n 的增大而减小,所以{a n }中的最大项为a 1 = 4． ⑵b n = 2 + 43n – 1 + p 43n – 1 = (2 + p )(3n – 1) + 44 = (2 + p )3n + (2 – p )4，若{b n }为等比数列， 则b 2n +1 – b n b n +2= 0(n ∈N * )，所以 [(2 + p )3n +1 + ( 2 – p )]2 – [{2 + p )3n + (2 – p )][(2 + p )3n +2 + (2 – p )] = 0(n ∈N *)， 化简得(4 – p 2)(2·3n +1 – 3n +2 – 3n ) = 0即– (4 – p 2)·3n ·4 = 0,解得p = ±2． 反之,当p = 2时,b n = 3n ,{b n }是等比数列;当p = – 2时,b n = 1,{b n }也是等比数列． 所以,当且仅当p = ±2时{b n }为等比数列． ⑶因为，，， 若存在三项，，，使数列，，是等差数列，则， 所以=， 化简得3(2331)1323np np m p m n m ----⨯--=+-⨯（*），因为，所以，， 所以，，（*）的 左边3(23331)3(31)0n p np n n p n ---≤⨯-⨯-=--<，右边13323130n mn m n m ---≥+⨯-⨯=+>，所以（*）式不可能成立，故数列{a n }中不存在三项，，，使数列，，是等差数列． 20．（本小题16分）已知二次函数g （x ）对任意实数x 都满足()()21121g x g x x x -+-=--，且．令()219()23ln (0,0)24f x g x mx m x m x =++-+>>．（1）求 g (x )的表达式；（2）若函数在上的最小值为0，求的值；（3）记函数22()[()1][(1)1]H x x x a x a x a =--⋅-+-+-，若函数有5个不同的零点，求实数的取值范围．解：（1）设，于是()()()()2211212212g x g x a x c x -+-=-+=--，所以又，则．所以．（2）()22219()23ln 3ln 24f x g x mx m x x mx m x=++-+=+-则222323(23)()()2m x mx m x m x m f x x m x x x +-+-'=+-==． 令，得（舍），． ①当>1时，∴当时, ． 令，得．②当时，≥0在上恒成立， 在上为增函数，当时, ． 令，得（舍）．综上所述，所求为． （3）记，，则据题意有有3个不同的实根， 有2个不同的实根， 且这5个实根两两不相等． （ⅰ）有2个不同的实根，只需满足1()1132a g a a ->⇒><-或； （ⅱ）有3个不同的实根，因221()34(3)()h x x ax a x a x a '=-+=--， 令，得或，当即时，在处取得极大值，而，不符合题意，舍； 当即时，不符合题意，舍； 当即时，在处取得极大值， ；所以；因为（ⅰ）（ⅱ）要同时满足，故． 下证：这5个实根两两不相等， 即证：不存在使得和同时成立； 若存在使得，得20000(1)0x a x ax x --++=（）， 当时，，不符合，舍去； 当时，既有 ①； 又由，即 ②； 联立①②式，可得；而当时，32()(1)(1)0H x x x x =----=没有5个不同的零点，故舍去，所以这5个实根两两不相等．综上，当时，函数有5个不同的零点．附加题部分21．【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1 几何证明选讲圆的两弦AB 、CD 交于点F ，从F 点引BC 的平行线和直线AD 交于P ，再从P 引这个圆的切线，切点是Q ． 求证：PF ＝PQ ．证明：因为A ，B ，C ，D 四点共圆，所以∠ADF ＝∠ABC ．因为PF ∥BC ，所以∠AFP ＝∠ABC ．所以∠AFP ＝∠FQP ． 又因为∠APF ＝∠FPA ， 所以△APF ∽△FPQ ．所以PF PA ＝PD PF ．所以PF 2＝PA ⋅PD ．因为PQ 与圆相切，所以PQ 2＝PA ⋅PD ． 所以PF 2＝PQ 2．所以PF ＝PQ ． B ．选修4—2 矩阵与变换已知矩阵的一个特征根为,属于它的一个特征向量． （1）求矩阵M ；（2）点P(1, 1)经过矩阵M 所对应的变换,得到点Q ，求点Q 的坐标． 解：由题知，=,即， ∴M=，∴，即点Q 的坐标(3,3)． C ．选修4—4 参数方程与极坐标以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴．已知点P 的直角坐标为(1，－5)，点M 的极坐标为(4，π2 )，若直线l 过点P ，且倾斜角为 ，圆C 以 M 为圆心、4为半径．（1）求直线l 关于的参数方程和圆C 的极坐标方程； （2）试判定直线l 和圆C 的位置关系．解：（1）直线l 的参数方程为1125x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，圆C 的极坐标方程为．（2）因为M (4，π2 )对应的直角坐标为（0，4），直线l 的普通方程为，∴圆心到直线l 的距离5d ==>， 所以直线l 与圆C 相离． D ．选修4—5 不等式证明选讲 已知实数满足，，求的取值范围．解：由柯西不等式，得2222111(236)()()236b c d b c d ++++++≥，即()2222236b c d b c d ++++≥．由条件，得， ==时等号成立，代入时，；时，，所以，的取值范围是．ABP C D F Q【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．如图，平面平面ABC ，是等腰直角三角形，AC =BC = 4，四边形ABDE 是直角梯形，BD ∥AE ，BDBA ，,O M CE AB 、分别为、的中点，求直线CD 和平面ODM 所成角的正弦值．解：∵，又∵面面，面面，，∴，∵BD ∥AE ，∴， …………2分如图所示，以C 为原点，分别以CA ，CB 为x ，y 轴，以过点C 且与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，∵，∴设各点坐标为，，， ，， 则，，， ，，设平面ODM 的法向量，则由 且可得令，则，，∴， 设直线CD 和平面ODM 所成角为，则(2,1,1)(0,4,2)sin cos ,|(2,1,1)||(0,4,2)|||||CD CD CD θ⋅⋅=<>==n n n ∴直线CD 和平面ODM 所成角的正弦值为．23．某单位举办xx 年上海世博会知识宣传活动，进行现场抽奖．盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝”（世博会吉祥物）图案；抽奖规则是：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖，否则，均为不获奖．卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行．（1）有三人参加抽奖，要使至少一人获奖的概率不低于，则“海宝”卡至少多少张？ （2）若有四张“海宝”卡，现有甲乙丙丁四人依次抽奖，用表示获奖的人数，求的分布列及的值．解：（1）记至少一人获奖事件为A ，则都不获奖的事件， 设“海宝”卡n 张，则任一人获奖的概率，所以， ， 由题意：所以至少7张“海宝”卡． （2）～的分布列为)4,3,2,1,0()5()1()(44===-k C k P kkkξ；AM BC OD E，．25479 6387 掇26818 68C2 棂33070 812E 脮25032 61C8 懈138959 982F 頯22076 563C 嘼29498 733A 猺336811 8FCB 迋L。