安徽省合肥一中2020届高三最后一卷数学(文)试题 答案

合肥一中2024届高三最后一卷数学试题（考试时间：150分钟满分：120分）注意事项：1.答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名､准考证号和座位号后两位.2.答题时､每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答题时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整､笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上答题无效.4.考试结束，务必将答题卡和答题卷一并上交.第I 卷（选择题）一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量()()2,3,1,3a b ==-，则2a b -=（）A.2 B.3C.4D.5【答案】D 【解析】【分析】根据向量坐标进行线性运算，再由模长公式即可求解.【详解】()()()22,32,64,3,25a b a b -=--=--== ，故选：D.2.已知复数z 满足()1i 2i z ⋅+=-，则z =（）A.13i 22+B.13i 22-C.13i22-- D.13i22-+【答案】A 【解析】【分析】根据题设求出z ，从而求出z 的值.【详解】由题知，()()()()2i 1i 2i 13i 13i 1i 1i 1i 222z ----====-++-，所以13i 22z =+.故选：A.3.已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为3，焦距为，则该椭圆的方程为（）A.2213x y += B.2219x y +=C.22197x y += D.2213628x y +=【答案】C 【解析】【分析】根据离心率和焦距可得3a c =⎧⎪⎨=⎪⎩，进而可得2b ，即可得方程.【详解】由题意可知：232c a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，可得3a c =⎧⎪⎨=⎪⎩，则2927b =-=，所以该椭圆的方程为22197x y +=.故选：C.4.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3314,2S a ==，则4a =（）A.1B.23或-1 C.23-D.23-或1【答案】D 【解析】【分析】根据等比数列基本量的计算即可求解公比，进而可求解.【详解】依题意，10a ≠，因为314,S =2312a a q ==，12112(1),a a a q ∴+==+故2610q q --=，故12q =或1,3q =-当12q =时，431a a q ==；当1,3q =-4323a a q ==-；423a ∴=-或1.故选：D5.已知α为三角形的内角，且15cos 4α-=，则sin 2α=（）A.14-+ B.14 C.38- D.354-【答案】B 【解析】【分析】利用降幂公式得到答案.【详解】因为α为三角形的内角，15cos 4α=，所以sin 2α==154+===.故选：B6.甲乙丙丁戊5名同学坐成一排参加高考调研，若甲不在两端且甲乙不相邻的不同排列方式的个数为（）A.36种B.48种C.54种D.64种【答案】A 【解析】【分析】利用间接法，先考虑甲乙不相邻的不同排列方式数，再减去甲站在一端且甲乙不相邻的排列方式数，结合排列数运算求解.【详解】先考虑甲乙不相邻的不同排列方式数，再减去甲站在一端且甲乙不相邻的排列方式数，所以总数为3211334233A A A A A 36-=种，故选：A.7.已知四棱锥P ABCD -的各顶点在同一球面上，若2224AD AB BC CD ====，PAB 为正三角形，且面PAB ⊥面ABCD ，则该球的表面积为（）A.13π3B.16πC.52π3D.20π【答案】C 【解析】【分析】作辅助线，找到球心的位置，证明O 到四棱锥所有顶点距离相等；根据勾股定理，求出球的半径，进而求出球的表面积.【详解】如图，取AD 的中点E ，取AB 的中点G ，连接EG 、PG ，在线段PG 上取一点F ，使13FG PG =，过点E 作平面ABCD 的垂线OE ，使OE FG =，连接OF ，易知四边形ABCD 是等腰梯形，ABE 、BCE 、CDE 均为等边三角形，所以2AE BE CE DE ====，因为OE ⊥平面ABCD ，所以90OEA OEB OEC OED ∠=∠=∠=∠=︒，所以OA OB OC OD ===，因为PAB 为正三角形，G 为AB 的中点，所以PG AB ⊥，又因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，PG ⊂平面PAB ，所以PG ⊥平面ABCD ，因为OE ⊥平面ABCD ，所以//PG OE ，即//FG OE又因为OE FG =，所以四边形OEGF 为平行四边形，所以//OF EG ，因为ABE 为正三角形，G 为AB 的中点，所以EG AB ⊥，又因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，EG ⊂平面ABCD ，所以EG ⊥平面PAB ，所以OF ⊥平面PAB ，又因为F 是ABP 的外心，所以FA FB FP ==，所以OA OB OP ==，所以O 即为四棱锥外接球的球心，因为1333OE FG PG ===，2AE =，所以393R OA ====所以2239524π4π)π33S R ==⋅=，故选：C.8.过()0,M p 且倾斜角为π,π2αα⎛⎫⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的直线l 与曲线2:2C x py =交于,A B 两点，分别过,A B 作曲线C 的两条切线12,l l ，若12,l l 交于N ，若直线MN 的倾斜角为β.则()tan αβ-的最小值为（）A.2B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】首先画出平面图形，求出tan tan 2k k αβ'⋅=⋅=-的结论，再利用两角和与差的正切公式以及前面的结论将()tan αβ-化简为()2k k ⎛⎫-+-⎪⎝⎭的形式，由基本不等式即可求得最值.【详解】如图，设()00,N x y ，1122(,),(,)A x y B x y ，由于曲线2:2x C y p=，则x y p '=，所以在A 点的切线方程为111()x y y x x p-=-，同理在B 点的切线方程为222()x y y x x p-=-，由于N 点是两切线的交点，所以1010120202()()x y y x x px y y x x p⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，则AB l 为()000000()2xx xy y x x y y y x x p y y p p-=-⇒-=-⇒=+，且过()0,M p ，0y p ∴=-且0tan x k p α==，设2tan ,2p k k k x β''==-∴⋅=-，()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-∴-=+()21k k k k k k -⎛⎫==-+-≥ ⎪+⋅⎝⎭''当且仅当k =时“=”成立，故选：C.二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.下表是某人上班的年收入（单位：万元）与上班年份的一组数据：年份x 1234567收入y2.93.33.64.44.85.25.9则下列命题正确的有（）A.年收入的均值为4.3B.年收入的方差为1.2C.年收入的上四分位数为5D.若y 与x 可用回归直线方程0.5ˆˆyx a =+来模拟，则ˆ 2.3a =【答案】AD 【解析】【分析】对于A ：根据平均数定义运算求解；对于B ：根据方差公式分析求解；对于C ：根据百分位数的定义分析求解；对于D ：根据线性回归方程必过样本中心点分析求解.【详解】对于选项A ：由题意可得：年收入的均值 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.94.37y ++++++==，故A正确；对于选项B ：由题意可得：年份x 1234567收入y2.93.3 3.64.4 4.85.2 5.9()2y y - 1.9610.490.010.250.812.56所以年收入的方差21.9610.490.010.250.812.567.081.277s ++++++==≠，故В错误；对于选项C ：因为70.75 5.25⨯=，所以年收入的上四分位数为第6个数据，是5.2，故C 错误；对于选项D ：因为年份的平均数123456747++++++==x ，即样本中心点为()4,4.3，所以0.5 4.30.523ˆ4.ay x =-=-⨯=，故D 正确；故选：AD.10.已知函数()2cos sin f x x x x ωωω=-(0)>ω，则下列命题正确的有（）A.当2ω=时，5π24x =是()y f x =的一条对称轴B.若()()122f x f x -=，且12minπx x -=，则12ω=C.存在()0,1ω∈，使得()f x 的图象向左平移π6个单位得到的函数为偶函数D.若()f x 在[]0,π上恰有5个零点，则ω的范围为72,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】BD 【解析】【分析】首先对函数表达式进行化简，A 选项，将2ω=，5π24x =代入发现此处有对称中心，没有对称轴；B 选项，由题设知，π为半个周期；C 选项，对函数进行平移变换，再判断奇偶性；D 选项，求出π26x ω+的范围，再确定区间右端点π2π6ω+的范围，从而求出ω的范围.【详解】()31cos 2311π1sin2=cos 2=sin 22222262x f x x x x x ωωωωω-⎛⎫=-+-+-⎪⎝⎭对于A ，当2ω=时，()π1sin 462f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，所以55ππ11πsin 246622f ⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以5π24x =不是()y f x =的一条对称轴，故A 错误；对于B ，由题意知，2πT =，所以22π2πω=，又因为0ω>，所以12ω=，故B 正确；对于C ，()f x 向左平移π6个单位后，得到()ππ1ππ1sin 2sin 2662362g x x x ωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++-=++- ⎪ ⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦，假设()g x 为偶函数，则ππππ362k ω+=+，Z k ∈，解得13k ω=+，Zk ∈而(0,1)ω∈，所以假设不成立，故C 错误；对于D ，[]0,πx ∈时，πππ2,2π666x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，令()π1=sin 2062f x x ω⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，则π1sin 262x ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为()f x 在[]0,π上恰有5个零点，所以π25π29π2π,666ω⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，解得72,3ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，故D 正确.故选：BD.11.已知函数()()e ,ln xf xg x x ==-，则下列命题正确的有（）A.若()g x ax ≥恒成立，则1a e≤-B.若()y f x =与1y ax =-相切，则2ea =C.存在实数a 使得()y f x ax =-和()y g x ax =+有相同的最小值D.存在实数a 使得方程()f x x a -=与()x g x a +=有相同的根且所有的根构成等差数列【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ：原题意等价于ln xa x ≤-在()0,∞+内恒成立，令()ln ,0x h x x x=->，利用导数求其最值，结合恒成立问题分析求解；对于B ：对()y f x =求得，结合导数的几何意义列式分析可得()1ln 1a a -=-，代入2e a =检验即可；对于C ：取1a =，利用导数求最值，进而分析判断；对于D ：结合选项C 可知：()(),h x x ϕ的图象，设交点为()(),M m h m ，结合图象分析可知从左到右的三个交点的横坐标依次为ln ,,e m m m ，进而可得结果.【详解】对于选项A ，若()g x ax ≥，则ln x ax -≥，且0x >，可得ln xa x≤-，可知原题意等价于ln xa x≤-在()0,∞+内恒成立，令()ln ,0x h x x x =->，则()2ln 1x h x x ='-，令()0h x '>，解得0e x <<；令()0h x '<，解得e x >；可知()y h x =在()0,e 内单调递减，在()e,∞+内单调递增，则()()1e eh x h ≤=-，所以1a e≤-，故A 正确；对于选项B ：因为()e xf x =，则()e xf x '=，设切点为()00,ex P x ，则切线斜率()0=ex k f x '=，可得切线方程为()000ee x x y x x -=-，即()000e e 1x x y x x =+-，由题意可得()000e e 11xx a x ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩，整理得()1ln 1a a -=-，显然2e a =不满足上式，故B 错误；对于选项C ：例如1a =，构建()()e xh x f x x x =-=-，则()e 1xh x '=-，令()0h x '>，解得0x >；令()0h x '<，解得0x <；可知()y h x =在(),0∞-内单调递减，在()0,∞+内单调递增，可知()y h x =的最小值为()01h =；构建()()ln ,0x g x x x x x ϕ=+=-+>，则()111x x x xϕ-=-+='，令()0x ϕ'>，解得1x >；令()0x ϕ'<，解得01x <<；可知()y x ϕ=在()0,1内单调递减，在()1,∞+内单调递增，可知()y x ϕ=的最小值为()11G =，可知()y f x ax =-和()y g x ax =+有相同的最小值1，故C 正确；对于选项D ：结合选项C 可知：()(),h x x ϕ的图象大致如下：设交点为()(),M m h m ，易知01m <<，由图象可知：当直线y a =与曲线()y h x =和曲线()y x ϕ=共有三个不同的交点时，直线y a =必经过点()(),M m h m ，即()a h m =.因为()()h m m ϕ=，所以e ln m m m m -=-，即e 2ln 0m m m -+=.令()()()h x x a h m ϕ===，得e ln e x m x x x m -=-=-，解得x m =或e m x =，由01m <<得1e m m <<.所以当直线y a =与曲线()y h x =和()y x ϕ=共有三个不同的交点时，从左到右的三个交点的横坐标依次为ln ,,e m m m .因为e 2ln 0m m m -+=，即e ln 2m m m +=，所以ln ,,e m m m 成等差数列，故D 正确；故选：ACD.【点睛】关键点点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；（2）求导数，得单调区间和极值点；（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x 轴的交点情况进而求解．第Ⅱ卷（非选择题）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合{}220A x x x =∈--≤N∣，集合(){}22210B x x a x a a =-+++=∣，若B A ⊆，则=a __________.【答案】0或1【解析】【分析】根据题意先求集合,A B ，结合包含关系分析求解.【详解】由题意可知：{}{}{}220120,1,2A x x x x x =∈--≤=∈-≤≤=NN ∣∣，(){}{}22210,1B x x a x a a a a =-+++==+∣，因为B A ⊆，可知{}0,1B =或{}1,2B =，可得0a =或1a =.故答案为：0或1.13.过()1,2P 的直线l 被曲线2240x x y -+=所截得的线段长度为l 的方程为__________.【答案】1x =或34110x y +-=【解析】【分析】根据曲线的方程确定曲线为圆，再根据直线与圆的位置，分2种情况讨论：①当直线的斜率不存在，②当直线的斜率存在时，每种情况下先设出直线的方程，利用直线被圆所截得的线段长度，求解直线的方程可得出答案.【详解】由曲线2240x x y -+=知，该曲线为圆()2224x y -+=且圆心为()2,0，半径为2r =.当直线斜率不存在时，直线方程为1x =，此时圆心到直线的距离为1d =.根据垂径定理，直线截圆所得线段长为：l ==，满足题意.当直线的斜率存在时，设直线方程为：()12y k x =-+，即20kx y k --+=圆心到直线的距离为d =，当直线截圆所得线段长度l =根据垂径定理2222l d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭可得，22222⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，解得34k =-此时直线方程为34110x y +-=.故答案为：1x =或34110x y +-=.14.在ABC 中，设,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且,tan sin sin b c A B C ≠=+，则以下结论正确的有__________.①20,11a b c ⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪+⎝⎭；②211a b c ⎛⎫∈ +⎝⎭；③2b c a +⎫∈⎪⎭；④2b c a ⎛+∈ ⎝；⑤a ∞⎫∈+⎪⎪⎭.【答案】⑤【解析】【分析】依题意可得sin sin sin cos A B C A =+，利用正弦定理将角化边得到cos ab c A=+，将上式两边平方，再由余弦定理得到2220cos a b c A+-=，最后由余弦定理及基本不等式计算可得.【详解】因为tan sin sin A B C =+，即sin sin sin cos AB C A=+，由正弦定理可得cos ab c A=+，所以22222cos a b c bc A=++，又2222cos bc A b c a +-=，所以()()22222222cos 2cos cos cos a b c A bc A b c A b c a A=++=+++-，所以()2221cos 0cos a b c A A ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭，因为()0,πA ∈，所以()cos 1,1A ∈-，则1cos 0A +≠，所以2220cos a b c A+-=，()222cos a b c A =+，又b c ≠，所以222b c bc +>，所以()222222cos 2cos a b cA bc A bc a =+>=+-，所以2222b c a +>，则a >a ∞⎫∈+⎪⎪⎭.故答案为：⑤【点睛】关键点点睛：本题关键是余弦定理的灵活应用，第一次得到2220cos a b c A+-=，再由基本不等式得到()222222cos 2cos a b cA bc A bc a =+>=+-.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,P 是线段1AB 上的动点.（1）求证：平面11BDD B ⊥平面11A BC ；（2）1PB 与平面11A BC 所成的角的正弦值为3，求PB 的长.【答案】（1）证明见解析（2）PB =【解析】【分析】（1）根据题意可得111A C DD ⊥，1111AC B D ⊥，进而可证11A C ⊥平面11BDD B ，即可得结果；（2）设1B 在平面11A BC 上的射影点为E ，连接1,EP EB ，利用等体积法可得13EB =，结合线面夹角可得13EB =，进而可得结果.【小问1详解】因为1DD ⊥平面1111D C B A ，且11AC ⊂平面1111D C B A ，可得111AC DD ⊥，四边形1111D C B A 为正方形，则1111AC B D ⊥，且111111,B D DD D B D ⋂=，1DD ⊂平面11BDD B ，可得11A C ⊥平面11BDD B ，且11AC ⊂平面11A BC ，所以平面11BDD B ⊥平面11A BC .【小问2详解】设1B 在平面11A BC 上的射影点为E ，连接1,EP EB，可知11A BC V是以边长为1134A BC S =⨯=V ，因为111111B A BC B A B C V V --=，即1111222332EB ⨯=⨯⨯⨯⨯，解得1233EB =，设1PB 与平面11A BC 所成的角的大小为θ，则111233sin 3EB PB PB θ===，可得1PB =，在1BPB △中，由余弦定理得，222111π2cos 4PB BB PB BB PB =+-⨯⨯，即224PB =+-，解得PB =.16.甲和乙进行中国象棋比赛，每局甲赢的概率为0.8，甲输的概率为0.2，且每局比赛相互独立.（1）若比赛采取三局两胜制，且乙已经赢得比赛，则比赛需要的局数X 的数学期望()E X 为多少？（保留小数点后一位）（2）由于甲､乙实力悬殊，乙提出“甲赢5局之前乙赢2局，则乙胜”，求乙胜的概率.【答案】（1）2.6（2）0.34464【解析】【分析】（1）分析可知X 的可能取值为2，3，结合条件概率求()()2,3P X P X ==，进而可得期望；（2）根据题意分析乙胜的情况，结合独立事件概率乘法公式分析求解.【小问1详解】记“乙已经赢得比赛”为事件A ，则()120.20.2C 0.20.80.20.104P A =⨯+⨯⨯⨯=，由题意可知：X 的可能取值为2，3，则有：()()12C 0.20.20.80.20.2582,30.104130.10413P X P X ⨯⨯⨯⨯======，所以X 的数学期望()583423 2.6131313E X =⨯+⨯=≈.【小问2详解】由题意可知：每局乙赢的概率00.2p =，则()()()()2321110200030004000C 1C 1C 1P A p p p p p p p p p p ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+-+-+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦()415000C 1p p p ⎡⎤+-⎣⎦()()()()234200000121314151p p p p p ⎡⎤=+-+-+-+-⎣⎦()()()()()22340.21210.2310.2410.2510.2⎡⎤=+-+-+-+-⎣⎦0.048.6160.34464=⨯=，所以乙胜的概率0.34464.17.()()ex af x a -=∈R .（1）若()f x 的图象在点()()00,A x f x 处的切线经过原点，求0x ；（2）对任意的[)0,x ∈+∞，有()sin f x x ≥，求a 的取值范围.【答案】（1）1（2）πln2,42∞⎛⎤-+ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）求得()ex af x -'=，得到()00ex af x -='且()00ex af x -=，根据题意，列出方程，即可求解；（2）根据题意，转化为e sin 0x a x --≥在[)0,x ∈+∞恒成立，令()e sin x ag x x -=-，当0a ≤时，符合题意；若0a >，求得()ecos x ag x x --'=，令()()h x g x '=，利用导数求得()g x '的单调性，结合()π00,02g g ⎛⎫<> '⎪⎝⎭'，得到存在唯一的0π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '=，得出()g x 的单调性和极小值，进而求得a 的取值范围.【小问1详解】由函数()e x af x -=，可得()e x af x -'=，所以()00ex af x -='且()00ex af x -=，即切线的斜率为0e x a -，切点为()00e,x aA x -因为()f x 的图象在点()()00,A x f x 处的切线经过原点，可得000e 0ex a x ax ---=-，解得01x =.【小问2详解】任意的[)0,x ∈+∞，有()sin f x x ≥，即e sin 0x a x --≥在[)0,x ∈+∞恒成立，令()[)esi ,0,n x ag x x x -=∈-+∞，若0a ≤，则0x a -≥，可得e 1x a -≥，所以()e sin 1sin 0x ag x x x -=-≥-≥，符合题意；若0a >，可得()ecos x ag x x --'=，令()()h x g x '=，则()e sin x a h x x -+'=，当0πx ≤≤时，()0h x '>，()g x '在[]0,π递增，而()π2π0e 10,e02a ag g --⎛⎫=-<=> ⎪⎝⎭''，所以，存在唯一的[]0π0,0,π2x ⎛⎫∈⊆ ⎪⎝⎭，使得()000e cos 0x ag x x --'==，所以，当00x x <<时，()0g x '<，()g x 在()00,x 递减，当0πx x <<时，()0g x '>，()g x 在区间()0,πx 递增，故当0x x =，函数()g x 取得极小值()00000e sin cos sin 0x ag x x x x -=-=-≥，所以0π04x <≤，此时，00lncos x a x -=，可得00πlncos ln 42a x x =-≤-，即πln2042a <≤+；当πx >时，()πln 2142e sin e1e1e 10x x ax ag x x ---=-≥-≥-≥->，因而πln2042a <≤+，符合题意，综上所述，实数a 的取值范围是求πln2,42∞⎛⎤-+ ⎥⎝⎦.【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解；2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．18.已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的上焦点为(，下顶点为A，渐近线方程是y =，过20,3B ⎛⎫ ⎪⎝⎭点的直线交双曲线上支于,P Q 两点，,AP AQ 分别交直线23y =于,M N 两点，O 为坐标原点.（1）求C 的方程；（2）求证：,,,M N O A 四点共圆；（3）求（2）中的圆的半径r 的取值范围.【答案】（1）22142-=y x （2）证明见解析（3）5.3⎛ ⎝【解析】【分析】（1）根据题意得到关于,,a b c 的方程组，解出即可；（2）方法一：设直线2:3PQ y kx =+，联立双曲线方程得到韦达定理式，求出11836M x x y =+，22836N x x y =+，最后计算并证明出BO BA BM BN =即可；方法二：转化为证明出1OM AN k k =，同法一设线联立得到韦达定理式，再整体代入计算出1OM AN k k =即可；（3）设圆心为T ，计算出(),1T k -，根据r =k 的范围即可.【小问1详解】由题，222ac a b c b==+=，解得224,2a b ==，所以C 的方程为22142-=y x .【小问2详解】（方法一）设()()11222,,,,:3P x y Q x y PQ y kx =+，代入22142-=y x ，化简整理得()224322039k x kx -+-=，有()22212201632Δ420990k k k x x ⎧-≠⎪⎪⎛⎫=--->⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪>⎩，解得21629k <<，且()()1212222243243239,223292k k x x x x k k kk -+====----，112:2y AP y x x +=-，令23y =得11836M x x y =+，同理22836N x x y =+，()()1212121288643636922x x x x BM BN y y y y =⨯=++++()()()121221212126464864922939x x x x y y k x x k x x ==+++++()()()22223292641632846499399232k k k k k k -==⋅+⋅+--，22162339BO BA ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭，则BO BA BM BN =，所以,,,M N O A 四点共圆.（方法二）设,OM AN 的倾斜角分别为,αβ.由对称性，不妨设PQ 的斜率0k >，此时,αβ均为锐角，所以,,,M N O A 四点共圆πAOM ANM ∠∠⇔+=，ππ2αβ⎛⎫⇔++= ⎪⎝⎭ππ,,0,22αβαβ⎛⎫⇔+=∈ ⎪⎝⎭tan tan 1αβ⇔=1OM AN k k ⇔=设()()11222,,,,:3P x y Q x y PQ y kx =+，代入22142-=y x ，化简整理得()224322039k x kx -+-=，有()22212201632Δ420,990k k k x x ⎧-≠⎪⎪⎛⎫=--->⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪>⎩解得21629k <<，()()121222324,9232kx x x x k k =-+=---，112:2y AP y x x +=-，令23y =得11836M x x y =+，同理22836N x x y =+，121222,4OM AN AQ y y k k k x x ++===()21212121212121288864223339444OM ANkx kx k x x k x x y y k k x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭=⋅==()()()2222328464399232132492kk k k k k ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-+-+--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎣⎦所以,,,M N O A 四点共圆.【小问3详解】设圆心为T ，则1T y =-，121212124448823636333M N T x x x x x x x y y kx kx ⎛⎫⎪+==+=+ ⎪++ ⎪++⎝⎭()()()()()()221212221212223284822392324438643284643339399232kk kx x x x k k k k k x x k x x k k k k⋅+⋅++--==⋅=+++⋅+⋅+--，(),1T k ∴-，因为21629k <<，则5.3r ⎛= ⎝【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用设线法得到韦达定理式，然后利用四点共圆的充要条件代入计算证明即可，第三问的关键是得到圆心坐标，从而得到r =19.给定自然数n 且2n ≥，设12,,,n x x x 均为正数，1ni i x T ==∑（T 为常数），11n i ni i nx x T x T x -==--∑.如果函数()f x 在区间I 上恒有()0f x ''>，则称函数()f x 为凸函数.凸函数()f x 具有性质：()1111n n i i i i f x f x n n ==⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑.（1）判断()1xf x x=-，()0,1x ∈是否为凸函数，并证明；（2）设()1,2,,ii x y i n T == ，证明：111111n ny y n -≤---；（3）求nnx T x -的最小值.【答案】（1）()f x 在()0,1上为凸函数，证明见解析（2）证明见解析（3）()5128221nn --.【解析】【分析】（1）对()f x 求导之后，再求二阶导数，证明()0f x ''>即可得出结论；（2）根据凸函数的性质得，()11111111n n i i i i f y f y n n --==⎛⎫≥ ⎪--⎝⎭∑∑；将11n i n i i nx x T x T x -==--∑中的分子、分母同时除以T ，得到()111n ni i n y f y y -==-∑；加上1111n ni i n n i i y y y y -===-=-∑∑，利用以上条件得到一个关于n y 与n 的不等式，变形后即可得出结论.（3）设i i x y T=，将n n x T x -转化为1n n y y -，判断其单调性，将问题转化为求n y 的最小值；利用（2）的结论，求出n y 的最小值，代入1n ny y -即可得出答案.【小问1详解】()f x 在()0,1上为凸函数.证明：由题知，()22(1(1)())(11)x f x x x x ==-'----，所以()43(1)(11)2()2f x x x x =-'=--'，因为()0,1x ∈，所以10x ->，()0f x ''>，所以()f x 在()0,1上为凸函数.【小问2详解】证明：因为i i x y T =()1,2,,i n = ，所以11111n n n i i i i i i x T y x TT T =======∑∑∑，由题知11n i n i i n x x T x T x -==--∑，分子分母同时除以T ，得1111i n n i n i x x TT x x T T -==--∑，所以1111n i n i i n y y y y -==--∑，即()111n n i i n y f y y -==-∑，根据凸函数的性质得，()11111111n n i i i i f y f y n n --==⎛⎫≥ ⎪--⎝⎭∑∑，所以111111111111n i n i n n i i y y n n y y n -=-=-⋅≥----∑∑，又因为1111n n i i n n i i y y yy -===-=-∑∑，所以1(11111))111(11(11)n n n n n n y y y n n y n y y n ⋅---⋅≥=------⋅--，两边同时乘以n 1-，得(1)(111()1)n n n n y n y y n y --≥----，因为()1,2,,i x n T i <= ，所以(0,1)i i x y T =∈，又因为2n ≥，所以(1)(1011(1))n n n n y n y y n y --≥>----，两边同时取倒数，得11(11(1))1)(111n n n n n y n y y n y y n ----≤=-----，所以111111n n y y n -≤---，即111111n n y y n -≤---.【小问3详解】设i i x y T =()1,2,,i n = ，则n n x y T =，且()0,1n y ∈，所以11111n n n n n n n x x y T x T x y y T ===-----，随n y 增大而增大，由（2）知，111111n n y y n -≤---，所以()2111n n n n y y y n n y -⋅--≤--，所以()2(34)210n n y n n y n --+-≤-，当2n =时，120n y -+≤，12n y ≥，所以1111n n n x T x y =-≥--，当且仅当1212y y ==时，等号成立，当3n ≥时，()()3451283451282222n n n y n n ---+≤≤--，所以1n n n n x y T x y =≥--22(5128)(34)(24)4128n n n n nn n--++-+-=-+()22288(22412821n n n nn n n-+-+--==-+-，当且仅当()()121151281221nny ny y yn n n--=====---时，等号成立，当2n=时，最小值为1，满足上式，所以nnxT x-的最小值是()5128221nn--.【点睛】关键点点睛：第2问的关键是将条件中x转化为y，紧紧围绕凸函数的性质来做文章；第3问关键是将nnxT x-转化为1nnyy-，利用第2问的结论，求出ny的最小值.。

合肥一中2023届高三最后一卷数学参考答案1.解析：因为][0,2,2,0A B ⎡⎤==-⎣⎦所以{}(){}0,0R A B A B x Rx ⋂=⋂=∈≠∣ð.故选：C .2.解析：因为1z =+，所以1z =，故z 的虚部是.故选：A .3.解析：5x =，故0.155 5.75 6.5y =⨯+=，经计算可得被污损的数据为6.4，答案选B .4.解析：曲线1:sin 2cos22C y x x π⎛⎫=+=⎪⎝⎭，把1:cos2C y x =上各点的横坐标缩短到原来的23，纵坐标不变，可得cos3y x =的图象；再把得到的曲线向左平移18π个单位长度，可以得到曲线25:cos 3cos 366C y x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，故选：C.5.解析：设直线1y =与y 轴交点为M ，由对称性，易知MFA 为直角三角形，且1602AFM AFB ∠∠== ，2AF FM ∴=，即1212p +=，去绝对值，解得23p =或6,p =∴抛物线的准线方程为13y =-或3y =-.故选：C.6.解析：一方面，考虑{}Ω,,,a b c d =含有等可能的样本点，{}{}{},,,,,A a b B a c C a d ===.则()()()()()()11,24P A P B P C P AB P BC P AC ======，故,,A B C 两两独立，但()1148P ABC =≠，故此时，()()()()P ABC P A P B P C =不成立.另一方面，考虑{}Ω1,2,3,4,5,6,7,8=含有等可能的样本点，{}{}{}1,2,3,4,3,4,5,6,4,6,7,8A B C ===.则()()()()11,28P A P B P C P ABC ====()111822P AC =≠⨯，故,A C 不独立，也即,,A B C 两两独立不成立.综上，“,,A B C 两两独立”是“()()()()P ABC P A P B P C =”的既不充分也不必要条件.故选D.7.解析：作AQ 垂直下半平面于，作AH x ⊥轴于H ，连接,HQ QB .设11,,,(0)A m B m m m m ⎛⎫⎛⎫--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由题可知60AHQ ∠= ，则11,,22AH QH AQ m m m ===，两点间距离公式可得222144QB m m =+.22222144AB AQ QB m m =+=+≥，当且仅当22m =时，AB 取最小值2.故选A.8.解析：因为()1f x +为偶函数，所以()()11f x f x +=-+①，所以()f x 的图象关于直线1x =轴对称，因为()()11f x g x --=等价于()()11f x g x --=②，又()()31f x g x -+=③，②+③得()()132f x f x -+-=④，即()()132f x f x +++=，即()()22f x f x +=-，所以()()4f x f x +=，故()f x 的周期为4，又()()13g x f x =--，所以()g x 的周期也为4，故选项B 正确，①代入④得()()132f x f x ++-=，故()f x 的图象关于点()2,1中心对称，且()21f =，故选项A 正确，易得()()01,41f f ==，且()()132f f +=，故()()()()12344f f f f ++==，故20221()5054(1)(2)2021(1)i f i f f f ==⨯++=+∑，因为()1f 与()3f 值不确定，故选项C 错误，因为()()31f x g x -+=，所以()()()()()()10,30,013,211g g g f g f ===-=-，所以()()()()022130g g f f ⎡⎤+=-+=⎣⎦，故()()()()01230g g g g +++=，故2023()50600i g i ==⨯=∑，所以选项D 正确，故选C .9.解析：A.()()22AD AF AB AF ED =+=+，故A 错误；B.因为()()2,22||AB EA AB EA FA AB FA AB EB AB ⊥⋅+=⋅=⋅= ，故B 正确；C.()()11,22BC CD FE BC BC CD FE FE ⋅=⋅= ，又BC FE =，所以()()BC CD FE BC CD FE ⋅=⋅ ，故C正确；D.AE 在CB方向上的投影向量为()3322AE CB CB AE CB CB CB e CB CB⋅=⋅=-=，故D 错误.故选BC .10.解析：由切线长定理易得12l r r =+，A 正确.由勾股定理知()()222121212(2)4R r r r r r r =+--=，解得R =，B 正确.()()()222122222221212121212124422S R R R S r r r r r r r r l r r r r ππππ===+++++++.()()33212222222121212121212442331233R R V R R V r r r r r r r r h r r r r ππππ===++++++.所以1122,C S V S V =正确.1122212212122122231S r r r r S r r r r r r ==≤++++，当且仅当12r r =时等号成立，这与圆台的定义矛盾，故D 错误.综上，答案为ABC .11.解析：以BC 为x 轴，DA 为y 轴建系，则()(0,0,D A 可以求得动点M 的轨迹方程：22302x y y +-=.这是一个圆心在点0,4P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，半径为34的圆(不含原点)D A 项：()1,0B -，所以max 193||4BM BP r =+=.故A 错误B项：2222||1||11424CB MB MC MD MD ⎛⎫⋅=-=-≤-=- ⎪ ⎪⎝⎭ .故B 正确C 项：易知直线:10AB x y -+=，故1328ABM M AB S AB d -=≤.故C 错误D 项：易知cos MBC ∠取最小值，当且仅当MBC ∠取最大值，也即BM 与P 相切时.此时3tan 24MBC ∠=，故221tan 132cos 191tan2MBCMBC MBC ∠∠∠-==+.故D 正确.故选：BD.12.解析：由sin 0,cos 0x x >>得()f x 的定义域为2,2,2k k k Z πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，3,2x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭不在定义域内，故()()f x f x π+=不成立，易知()f x 的最小正周期为2π，故选项A 错误，又()22222cos log cos 2sin log sin 2f x x x x x f x π⎛⎫-=⋅+⋅=⎪⎝⎭，所以()f x 的图象关于直线4x π=对称，所以选项B 正确，因为()222222sin log sin cos log cos f x x x x x =⋅+⋅，设2sin t x =，所以函数转化为()()()()()()2222log 1log 1,0,1,log log 1g t t t t t t g t t t =⋅+-⋅-∈='--，所以()0g t '>得，()0g t '<得102t <<，所以()g t 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，故min 1()12g t g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，即min ()1f x =-，故选项C 正确，因为()g t 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，由2sin t x =，令210sin 2x <<得20sin 2x <<，又()f x 的定义域为2,2,2k k k Z πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，解得22,4k x k k Z πππ<<+∈，因为2sin t x =在2,24k k πππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()f x 的单调递减区间为2,2,4k k k Z πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，同理函数的递增区间为2,2,42k k k Z ππππ⎛⎫++∈⎪⎝⎭，所以选项D 正确，故选BCD.13.解析：因为22(1)y x =-'，所以曲线11xy x+=-在点()2,3-处的切线斜率为2，所以切线方程为()322y x +=-，即27y x =-，即270x y --=.14.解析：法1：()tan tan tan 1,tan tan tan tan 11tan tan αβαβαβαβαβ++==-∴+=-- .()()()cos sin 1tan tan tan tan 2cos cos βααβαβαβαβ--+∴=-++=.法2：（特殊值法）令38παβ==，易得答案.15.解析：0.255205.2550.250.0025510.0199=+++=+=- .16.解析：设双曲线的右焦点为2F ，根据双曲线方程知，2c =.直线过原点，由对称性，原点O 平分线段原点AB ，又原点O 平分线段2,FF ∴四边形2AFBF 为平行四边形.ABF 和2ABF 中，分别有中位线，,OP BF OQ AF ∥∥，,,OP OQ AF BF ⊥∴⊥∴ 四边形2AFBF 为矩形，2BFF ∴ 为直角三角形.不妨设B 在第一象限，设直线AB 倾斜角为2θ，则2,32ππθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，且OFB OBF ∠∠θ==，在Rt 2BFF中可得：22124cos 4sin ,2cos 2sin 4c a BF BF e a θθπθθθ∴=-=-∴===-⎛⎫- ⎪⎝⎭，2,,,3264ππππθθ⎡⎫⎡⎫∈∴∈⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭ ，易知()14f θπθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭在,64ππθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上为增函数，)11,4e ∞πθ∴=∈+⎛⎫- ⎪⎝⎭17.解析：（1）因为1cos 3B =，所以2222sin 1cos 2costan 222cos 2A CB AC B A C ++++=++()()1cos 1cos 21cos A C B A C -++=+++1cos 1cos 821cos 3B B B ++=+=-.（2）因为ABC S =1122sin 223ac B ac =⋅=，所以6ac =再由余弦定理知，2222cos b a c ac B =+-，即222614263c c ⎛⎫=+-⨯⨯ ⎪⎝⎭，也即4220360c c -+=，解得c =c =.18.解析：（1）因为21342n n n n S S S a +++=-，所以()21132n n n n n S S S S a +++-=--，即2132n n na a a ++=-所以()()()()()()21111111223222220n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a ++++++++---=----=---=（为常数）所以数列{}12n n a a +-是等差数列.（2）由（1）知121221n n a a a a +-=-=，即121n n a a +=+.也即()1121n n a a ++=+，又112a +=，所以11222n n n a -+=⋅=..所以()()()()1222112122121n n n n n n n b n n n n n n a +⎡⎤++===-⎢+⋅+⋅++⎢⎥⎣⎦.∴数列{}n b 的前n 项和()12231111111212222232212n n n T n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()1111121121212n n n n +⎡⎤=-=-⎢⎥⋅+⋅+⋅⎢⎥⎣⎦19.（1）补全四面体PQRS 如图，即证：PQ SR ⊥取SR 的中点M ，正四面体中各个面均为正三角形，故,PM SR QM SR ⊥⊥，又PM QM M ⋂=，所以SR ⊥面PQM .又PQ ⊂面PQM ，所以PQ SR ⊥.（2）在QSR 的中心建系如图：则()(33,,,0,,02222S P R Q ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1,0,,,33623A C ⎛⎛- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，31,,022K ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，.设面ACK 的法向量为(),,n x y z = ，则00n AC n AK ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，解得()n =- ，又33,,22PQ ⎛=- ⎝ ，所以22sin cos ,11n PQ θ== .20.解析：（1）设事件A 为“小周在这三个月集齐三款模型”，则()3333111034500A P A ⎛⎫== ⎪⎝⎭.（2）1,2,,12X = ，由题意得()()1911,2,,111010k P X k k -⎛⎫=== ⎪⎝⎭ ，()1191210P X ⎛⎫== ⎪⎝⎭11111199()12101010k k k E X -=⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑，错位相减求得最后结果为()11910910E X ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭.21.解析：（1）将()1,1M 代入，可以求得243b =.联立22314410x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩，得24610x x --=.设()()1122,,,A x y B x y ，则12262AB x =-=，又易知点M 到直线l的距离为2，故ABM的面积4ABM S = ..（2）设()()1122,,,A x y B x y ，联立22314410x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩得()223230t y ty +--=，则1221222333t y y t y y t ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，11sin ,sin 22ABM PQM S AM BM AMB S PM QM PMQ ∠∠== ，又sin sin PMQ AMB∠∠=所以5PQM ABM S S = 等价于5PM QM AM BM =，也即5QM AM BMPM=5QM AMBMPM =即1251313x x -=-，也即129115x x --=，也即1295ty ty --=，也即223935t t =+，解得322t =±.22.解析：（1）()ln f x x ax =-'在()0,∞+上有两个变号零点，即ln xa x=有两个不等实根，设()()2ln 1ln ,x x g x g x x x-'==，故()g x 在()0,e 上单调递增，在(),e ∞+上单调递减，所以max 1()g x e=，且()10g =，又(),0x g x ∞+→+→，故10a e<<，且121x e x <<<，所以()2111111ln 12f x x x ax x =--+，又11ln x a x =，所以()21111111111ln 11ln 1ln 122x f x x x x x x x x x =-⋅⋅-+=-+，设()()1ln 1,1,2h x x x x x e =-+∈，所以()()1ln 102h x x =-<'，所以()h x 在()1,e 上单调递减，所以()1,02e h x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，所以()11,02e f x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.（2）法一：ln 0x ax -=的两个实根12,x x ，所以1122ln ,ln x ax x ax ==，所以()2121ln ln x x a x x -=-，得：2121ln ln x x a x x -=-，设21x t x =，又1202x x <<，所以2t >，要证：2128x x <，即证：123ln2ln 2ln x x +<，即证：123ln22ax ax +<，即证：()2123ln2a x x ->，即证：()212121ln ln 23ln2x x x x x x -->-，即证：2211212ln 3ln2x x xx x x -⋅>-，即证：22121121ln 3ln21x x x x x x -⋅>-，即证：21ln 3ln21t t t -⋅>-，设()()212ln 321ln ,(2),,(2)1(1)t t t t t t t t t t t ϕϕ+---=⋅>-'=>-，设()()()()222111112ln 3,(2),20t t F t t t t F t tt t t+-=+-->=--=>'，所以()F t 在()2,∞+上单调递增，所以()()32ln202F t F >=->，所以()0t ϕ'>，所以()t ϕ在()2,∞+上单调递增，所以()()23ln2t ϕϕ>=，所以21ln 3ln21t t t -⋅>-，所以2128x x <成立.法二：ln 0x ax -=的两个实根12,x x ，所以1122ln ,ln x ax x ax ==，所以2211ln ln x x x x =，设21x t x =，又1202x x <<，所以2t >，.由2211ln ln x x x x =可得：12ln ln ln ,ln 11t t tx x t t ==--，.要证：2128x x <，即证：123ln2ln 2ln x x +<，即证：ln 2ln 3ln211t t t t t +<--，即证：21ln 3ln21t t t -⋅>-设()()212ln 321ln ,(2),,(2)1(1)t t t t t t t t t t t ϕϕ+---=⋅>-'=>-，设()()()()222111112ln 3,(2),20t t F t t t t F t tt t t+-=+-->=--=>'，所以()F t 在()2,∞+上单调递增，所以()()32ln202F t F >=->，所以()0t ϕ'>，所以()t ϕ在()2,∞+上单调递增，所以()()23ln2t ϕϕ>=，所以21ln 3ln21t t t -⋅>-，所以2128x x <成立.法三：由（1）知：10a e<<，且121x e x <<<，()ln xg x x=在()0,e 上单调递增，在(),e ∞+上单调递减，又1122x x x <<，且()()12g x g x a ==，所以()()()2112g x g x g x =<，所以1111ln ln22x x x x <，所以211ln ln2x x <，所以2112x x <，所以112x <<，又()ln222g =，所以ln202a <<，又ln2ln424=，即()()24g g =，所以24x >，因为122x x <，所以212284x x x <<，故2128x x <.。

2020届安徽省合肥市第一中学高三下学期最后一卷数学（文）试题一、单选题1．记全集U =R ，集合{}2|16A x x =≥，集合{}|22xB x =≥，则()UA B =（ ）A ．[)4,+∞B ．(]1,4C ．[)1,4D ．()1,4【答案】C【解析】求得集合{|4A x x =≤-或4}x ≥，{|1}B x x =≥，求得{|44}UA x x =-<<，再结合集合的交集运算，即可求解.【详解】由题意，全集U =R ，集合{}2|16{|4A x x x x =≥=≤-或4}x ≥， 集合{}|22{|1}xB x x x =≥=≥， 所以{|44}UA x x =-<<，所以()[){|14}1,4U AB x x =≤<=.故选：C . 【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中正确求解集合,A B ，再结合集合的补集和交集的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 2．若复数z 的共轭复数满足()112i z i -=-+，则z =（ ）A ．B ．32C D ．12【答案】C【解析】根据复数的乘法、除法运算求出z ，再由复数的模的求法即可求出z 【详解】由题意()112i z i -=-+， 所以()()()()1211231112i i i iz i i i -++-+-+===--+，所以22311022z z ⎛⎫⎛⎫==-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：C 【点睛】本题主要考查复数的乘法、除法运算，考查复数的模的求法以及复数与共轭复数的模相等，属于基础题.3．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为5，2，则输出的n 等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【详解】当1n =时，1542a b ==，，满足进行循环的条件； 当2n =时，45,84a b == 满足进行循环的条件； 当3n =时，135,168a b ==满足进行循环的条件； 当4n =时，405,3216a b ==不满足进行循环的条件， 故输出的n 值为4. 故选：C ． 【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．4．从区间[0，1]内随机抽取2n 个数1x ，2x ，…n x ，1y ，.. ，n y 构成n 个数对(1x ，1y )，…，(n x ，n y )，其中两数的平方和不小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到圆周率π的近似值为( ) A ．m nB ．4mnC ．n mn- D ．4()n m n- 【答案】D【解析】以面积为测度，建立方程，即可求出圆周率π的近似值． 【详解】由题意，从区间[0，1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ），对应的区域的面积为12．而两数的平方和不小于1，对应的区域的面积为1-14π•12， ∴2211141m n π-⋅==1-21π41， ∴π()4n m n-=．故选D ．【点睛】本题考查了几何概型的应用，几何概型的概率的值是通过长度、面积和体积的比值得到，本题属于基础题．5．已知x ，y 满足不等式组2402030x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≤⎩，则yz x =的最大值为（ ）A ．0B ．35C ．53D ．6【答案】D【解析】画出约束条件的可行域,利用目标函数的几何意义,求出最优解,然后求解目标函数的最大值即可. 【详解】由x ，y 满足不等式组2402030x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≤⎩，作出可行域如图，由可行域可知()5,3A ，()2,0B ，1,32C ⎛⎫⎪⎝⎭， y z x =可以看作是可行域内的点和点()0,0的最大值，显然在1,32C ⎛⎫⎪⎝⎭处都最大值6， 故选：D ．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解分式型目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题． 6．已知235log log log 0x y z ==<，则2x 、3y、5z 的大小排序为A ．235x y z<<B ．325y x z <<C ．523z x y <<D ．532z y x<<【答案】A【解析】x y z ，， 为正实数，且235log log log 0x y z ==<，111235235k k k x y z---∴===，，， 可得：1112352131,51k k k x y z，．---=>=>=> 即10k -> 因为函数1kf x x -=（） 单调递增，∴235x y z<<.故选A.7．正方体1111ABCD A B C D -棱长为1，点,M N 分别是棱1,BC CC 的中点，动点P 在正方形11BCC B （包括边界）内运动，且1//PA 面AMN ，则1PA 的长度范围为（ ）A ．51,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．325,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．323,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】取11B C 的中点E ，1BB 的中点F ，EF 中点O ，根据面面平行的判定可证得平面//AMN 平面1A EF ，由此可确定P 点轨迹为EF ，进而确定1PA 取得最大值和最小值时P 的位置，进而得到所求取值范围. 【详解】取11B C 的中点E ，1BB 的中点F ，连结1A E ，1A F ，EF ， 取EF 中点O ，连结1A O ，点,M N 分别是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中棱1,BC CC 的中点，1//AM A E ∴，//MN EF ，AMMN M =，1A E EF E ⋂=，,AM MN ⊂平面AMN ，1,A E EF ⊂平面1A EF ，∴平面//AMN 平面1A EF ，动点P 在正方形11BCC B （包括边界）内运动，且1//PA 面AMN ，∴点P 的轨迹是线段EF ，221115122A E A F ⎛⎫==+=⎪⎝⎭，22121122EF =+=， 1AO EF ∴⊥，∴当P 与O 重合时，1PA 的长度取最小值1A O ，14AO ==， 当P 与E （或F ）重合时，1PA 的长度取最大值1A E 或1A F ，112A E A F ==． 1PA ∴的长度范围为⎣⎦． 故选：B ． 【点睛】本题考查立体几何中动点轨迹问题的求解，关键是能够通过面面平行关系确定动点所形成的轨迹，进而通过轨迹确定最值点.8．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的离心率3e =，过焦点F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为M ，直线MF 交另一条渐近线于N ，则MF NF=（ ）A ．2B ．12CD【答案】B【解析】画出图象，利用已知条件、双曲线的几何性质和点到直线的距离公式，即可求解． 【详解】解:由题意双曲线的离心率为：3e =，可得3c a =22243a b a +=，所以b a =y x =，如图：30MOF ∠=︒，(),0F c 则MF b==，OM a=，所以MN =，所以，31323333aMF bNF a ba a===--．故选：B【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，着重考查了转化思想，数形结合思想，以及推理与计算能力．9．已知函数()()sinf x A x=+ωϕ，π0,0,2Aωϕ⎛⎫>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则使()2f a x++()0f x-=成立的a的最小正值为（）A．π6B．π4C．5π12D．π2【答案】C【解析】首先由图象先求函数的解析式，由关系式()2f a x++()0f x-=可知，函数关于(),0a对称，再由函数解析式求函数的对称中心.【详解】由()()20f a x f x++-=，得()()2f a x f x+=--，得函数关于(),0a对称，由图象知2A=，()02sin1fϕ==，得1sin2ϕ=，得π6ϕ=，则()π2sin6f x xω⎛⎫=+⎪⎝⎭，由五点对应法得11ππ2π126ω+=，得2ω=， 则()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 由π2π6x k +=，得ππ212k x =-， 即函数的对称中心为ππ,0212k ⎛⎫-⎪⎝⎭， 当0x >时，当1k =时，x 为最小值， 此时5π12x =，即此时5π12a =． 故选：C 【点睛】本题考查三角函数的图象和性质，解析式，重点考查分析图象的能力，属于基础题型，本题的关键是求函数的解析式.10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，22n n S a =-，若存在两项,n m a a ，使得64n m a a ⋅=，则12m n+的最小值为（ ）A ．123+B ．1C ．3+D ．75【答案】B【解析】运用数列的递推式和等比数列的定义、通项公式可得a n ＝2n ．求得m +n ＝6，1216m n +=（m +n ）（12m n +）16=（32n m m n ++），运用基本不等式，检验等号成立的条件，即可得到所求最小值． 【详解】S n ＝2a n ﹣2，可得a 1＝S 1＝2a 1﹣2，即a 1＝2， n ≥2时，S n ﹣1＝2a n ﹣1﹣2，又S n ＝2a n ﹣2， 相减可得a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝2a n ﹣2a n ﹣1，即a n ＝2a n ﹣1， {a n }是首项为2，公比为2的等比数列． 所以a n ＝2n ．a m a n ＝64，即2m •2n ＝64， 得m +n ＝6，所以1216m n +=（m +n ）（12m n +）16=（32n m m n ++）16≥（），当且仅当2n m m n=时取等号，即为m 6=，n 12=-因为m 、n 取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则1216m n +＞（，验证可得，当m ＝2，n ＝4，或m ＝3，n ＝3，，12m n+取得最小值为1．故选：B ． 【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式和等比数列的定义、通项公式，考查基本不等式的运用，注意检验等号成立的条件，考查化简运算能力，属于中档题． 11．已知函数()1e xf x -=，()1ln 22xg x =+，若()()f a g b =成立，则b a -的最小值为（ ） A ．1ln 22-B ．1ln 22+C ．1ln2+D ．1ln2-【答案】C【解析】首先根据()()y f a g b ==，先求,a b ，再表示122ln 1y b a e y --=--，通过设函数()122ln 1x h x e x -=--，0x >，利用导数求函数的最小值.【详解】 设1a y e-=，则1ln a y =+，1ln 22by =+，则122y b e -=， 则122ln 1y b a e y --=--，令()122ln 1x h x ex -=--，0x >，则()1212x h x e x-'=-，∴()h x '递增， ∴12x =时，()0h x '=， ∴()h x '有唯一零点， ∴12x =时，()h x 取最小值， 即b a -取最小值，11ln 22h ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 故选：C 【点睛】本题考查导数与函数的最值，通过构造函数求函数的最值，重点考查转化与化归的思想，计算能力，属于中档题型.12．已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，1AB =，以M 为圆心的圆过A ，B 两点，且与直线210y -=相切，若存在定点P ，使得当A 运动时，MA MP -为定值，则点P 的坐标为（ ） A ．104⎛⎫ ⎪⎝⎭， B ．102⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．14⎛⎫- ⎪⎝⎭0，D ．102，⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】设M 的坐标为（x ，y ），然后根据条件得到圆心M 的轨迹方程为x 2＝﹣y ，把|MA |﹣|MP |转化后再由抛物线的定义求解点P 的坐标． 【详解】解：∵线段AB 为⊙M 的一条弦O 是弦AB 的中点，∴圆心M 在线段AB 的中垂线上， 设点M 的坐标为（x ，y ），则|OM |2+|OA |2＝|MA |2， ∵⊙M 与直线2y ﹣1＝0相切，∴|MA |＝|y 12-|， ∴|y 12-|2＝|OM |2+|OA |2＝x 2+y 214+， 整理得x 2＝﹣y ， ∴M 的轨迹是以F （0，14-）为焦点，y 14=为准线的抛物线， ∴|MA |﹣|MP |＝|y 12-|﹣|MP | ＝|y 14-|﹣|MP |14+=|MF |﹣|MP |14+， ∴当|MA |﹣|MP |为定值时，则点P 与点F 重合，即P 的坐标为（0，14-）， ∴存在定点P （0，14-）使得当A 运动时，|MA |﹣|MP |为定值． 故选：C. 【点睛】本题主要考查了点轨迹方程的求解，抛物线的定义，属于一般题.二、填空题13．设向量a ，b 不平行，向量a b λ+与2a b +平行，则实数λ=_________． 【答案】12【解析】因为向量a b λ+与2a b +平行，所以2a b k a b λ+=+（），则{12,k k λ==，所以12λ=．【考点】向量共线．14．若圆()()22341x y -+-=上存在两点A 、B ，使得60APB ∠=︒，P 为圆外一动点，则P 点到原点距离的最小值为__________． 【答案】3【解析】首先由条件求出点P 的轨迹，再求两点间距离的最小值. 【详解】对于点P ，若圆上存在两点A ，B 使得60APB ∠=︒， 只需由点P 引圆的两条切线所夹的角不小于60︒即可， 当正好是60︒时，圆心到点P 的距离2d =，故动点P 在以()3,4为圆心，半径为1与2的圆环内运动， 由()3,4到原点的距离为5，所以P 点到原点距离的最小值为523-= 故答案为：3 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，重点考查转化与化归，临界思想，属于中档题型，本题大概重点是求出点P 的轨迹.15．如图，在正四棱锥P ABCD -中，PO ⊥面ABCD 且22AB =，设点M ，N 分别为线段PD ，PO 上的动点，已知当AN MN +取得最小值时，动点M 恰为PD 的中点，则该四棱锥的外接球的表面积为__________．【答案】64π3【解析】如图，在PC 上取点M '，使得PM PM '=，求出4PA AC ==，PO =，解方程()224r r =+得该四棱锥的外接球的半径，即得该四棱锥的外接球的表面积. 【详解】如图，在PC 上取点M '，使得PM PM '=， ∵顶点P 在底面的投影O 恰为正方形ABCD 的中心， ∴POC POD POA POB ≌≌≌， ∴PA PB PC PD ===， ∴MN MN '=，∴||||||||AN MN AN NM '+=+， ∴当AM PC '⊥时AM '最小， ∵M 为PD 的中点， ∴M '为PC 的中点， ∴4PA AC ==，∴PO =，又∵顶点P 在底面的投影O 恰为正方形ABCD 的中心， ∴外接球的球心在PO 上，设外接球的半径为r ，则()224r r =+．解得r =． 故外接球的表面积为264π4π3r =． 故答案为：64π3．【点睛】本题主要考查几何体的外接球问题，考查几何体的表面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.16．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若存在实数A ，使得对于任意的*n ∈N ，都有n S A <，则称数列{}n a 为“T 数列”．则以下{}n a 为“T 数列”的是__________．①若{}n a 是等差数列，且10a >，公差0d <； ②若{}n a 是等比数列，且公比q 满足1q <； ③若()212n nn a n n +=+；④若11a =，()210nn n a a ++-=． 【答案】②③【解析】根据“T 数列”的定义，分别判断四个数列是否满足存在实数A ，使得对任意的*n ∈N ，都有n S A <，从而可选出答案. 【详解】①若{}n a 是等差数列，且10a >，公差0d <， 则2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， 当n →+∞时，n S →+∞， 所以数列{}n a 不是“T 数列”；②若{}n a 是等比数列，且公比q 满足1q <，所以()11111112111111n n n n a q a a q a a q a S qq q q q q-==-≤+<------， 所以数列{}n a 是“T 数列”； ③若()()121112212n n n n n a n n n n ++==-+⋅+⋅，所以()1223111111112222232212n n n S n n +=-+-++-⨯⨯⨯⨯⋅+⋅ ()11112122n n +=-<+⋅， 则数列{}n a 是“T 数列”；④在数列{}n a 中，11a =，()210nn n a a ++-=，当n 是奇数时，20n na a +-=，数列{}n a 中奇数项构成常数列，且各项均为1； 当n 是偶数时，20nna a ，即任意两个连续偶项和为0，显然当n →+∞时，n S →+∞， 所以数列{}n a 不是“T 数列”； 故答案为：②③． 【点睛】本题考查数列新定义，考查等差数列、等比数列的前n 项和公式的应用，考查裂项相消求和法的运用，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.三、解答题17．已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且99cos c a b A -=. （1）求cos B ；（2）若角B 的平分线与AC 交于点D ，且1BD =，求11a c+的值. 【答案】(1)19；. 【解析】【详解】试题分析：()1方法一：根据余弦定理可得222992b c a c a b bc+--=⋅，化简求出结果即可；方法二：利用正弦定理得99sinC sinA sinBcosA -=，化简即可求得结果()2先求出23sin ABD ∠=，利用面积法，12S S S +=，结合面积公式求出结果 解析：（1）方法一：由99cos c a b A -=及余弦定理得222992b c a c a b bc +--=⋅，整理得22229a c b ac +-=，所以2221cos 29a cb B ac +-==.方法二：由99cos c a b A -=及正弦定理得9sin 9sin cos sinC A B A -=， 又()sinC sin A B sinAcosB cosAsinB =+=+， 所以1909sinAcosB sinA cosB -=⇒=. （2）由（1）可知21cos cos212sin 9ABC ABD ABD ∠=∠=-∠=，且sin 0ABD ∠>，所以2sin 3ABD ∠=， 同理可得2sin 3CBD ∠=，设,,ABC ABD CBD 的面积分别为12,,S S S ，则22111125sin 1cos 12229S ac ABC ac ABC ac ac ⎛⎫=∠=-∠=-= ⎪⎝⎭， 111sin 23S c BD ABD c =⋅∠=，211sin 23S a BD CBD a =⋅∠=，由12S S S +=得112533c a ac +=，所以1125a c +=. 18．某公司为了提高职工的健身意识，鼓励大家加入健步运动，要求200名职工每天晚上9:30上传手机计步截图，对于步数超过10000的予以奖励.图1为甲乙两名职工在某一星期内的运动步数统计图，图2为根据这星期内某一天全体职工的运动步数做出的频率分布直方图.（1）在这一周内任选两天检查，求甲乙两人两天全部获奖的概率；（2）请根据频率分布直方图，求出该天运动步数不少于15000的人数，并估计全体职工在该天的平均步数；（3）如果当天甲的排名为第130名，乙的排名为第40名，试判断做出的是星期几的频率分布直方图.【答案】（1）27，（2）80人，13.25千步，（3）星期二【解析】（1）根据统计图统计出甲乙两人合格的天数，再计算全部获奖概率； （2）根据频率分布直方图求出人数及平均步数；（3）根据频率分布直方图计算出甲乙的步数从而判断出星期几． 【详解】（1）由统计图可知甲乙两人步数超过10000的有星期一、星期二、星期五、星期天设事件A 为甲乙两人两天全部获奖，则24272()7C P A C ==（2）由图可知()0.020.030.040.0651m ++++⨯=，解得0.05m = 所以该天运动步数不少于15000的人数为()0.050.03520080+⨯⨯=（人） 全体职工在该天的平均步数为：2.50.1+7.50.2+12.50.317.50.2522.50.1513.25⨯⨯⨯+⨯+⨯=（千步）（3）因为402000.2,1302000.65÷=÷= 假设甲的步数为x 千步，乙的步数为y 千步 由频率分布直方图可得：10.650.3(10)0.06x --=-⨯，解得656x =0.20.15(20)0.05y -=-⨯，解得19y =所以可得出的是星期二的频率分布直方图. 【点睛】本题考查利用频率分布直方图来求平均数和概率，要注意计算的准确性，较简单. 19．如图，三棱柱111ABC A B C -中，平面11ACC A ⊥平面ABC ，1AA AC =，90ACB ∠=︒.（1）求证：平面11AB C ⊥平面11A B C ；（2）若160A AC ∠=︒，22AC CB ==，求四棱锥11A BCC B -的体积. 【答案】（1）见解析；（223【解析】（1）根据面面垂直性质可证得BC ⊥平面11ACC A ，从而可得1BC A C ⊥，利用平行关系可得111AC B C ⊥；根据四边形11ACC A 是菱形，可得11A C AC ⊥；根据线面垂直判定定理可得1A C ⊥平面11AB C ，根据面面垂直判定定理可证得结论；（2）由图形可知11111122A BCC B A CC B B ACC V V V ---==，可利用三棱锥体积公式求得11B ACC V -，代入可求得结果. 【详解】 （1）平面11ACC A ⊥平面ABC ，平面11ACC A 平面ABC AC =，BC ⊂平面ABC ，90ACB ∠= BC ∴⊥平面11ACC A1A C ⊂平面11ACC A 1BC AC ∴⊥ 11//B C BC 111AC B C ∴⊥ 四边形11ACC A 是平行四边形，且1AA AC = ∴四边形11ACC A 是菱形11AC AC ∴⊥ 1111AC B C C = 1A C ∴⊥平面11AB C又1AC ⊂平面11A B C ∴平面11AB C ⊥平面11A B C （2）四边形11ACC A 是菱形，160A AC ∠=，2AC =1122sin 6032ACC S ∆∴=⨯⨯⨯=11//B C BC ，11B C BC =，BC ⊥平面11ACC A ，1BC =11111111333B ACC ACC V S B C -∆∴=⨯⨯==，111111223A BCCB A CC B B ACC V V V ---∴===即四棱锥11A BCC B -【点睛】本题考查面面垂直关系的证明、四棱锥体积的求解问题，涉及到面面垂直判定定理和性质定理、线面垂直判定定理和性质定理、棱锥体积公式、体积桥求解体积的问题，属于常规题型.20．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的左焦点为(2,0)F -，离心率为3．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设O 为坐标原点，T 为直线3x =-上一点，过F 作TF 的垂线交椭圆于P ，Q ．当四边形OPTQ 是平行四边形时，求四边形OPTQ 的面积．【答案】(1)22162x y +=；（2）【解析】【详解】试题分析：（1）由已知得：c a =2c =，所以a =再由222a b c =+可得b ，从而得椭圆的标准方程. 椭圆方程化为2236x y +=.设PQ 的方程为2x my =-，代入椭圆方程得：22(3)420m y my +--=.面积121222OPTQ OPQ S S OF y y ==⨯⋅-，而12y y -==所以只要求出m 的值即可得面积.因为四边形OPTQ 是平行四边形，所以OP QT =，即1122(,)(3,)x y x m y =---.再结合韦达定理即可得m 的值.试题解析：（1）由已知得：c a =2c =，所以a =又由222a b c =+，解得b =22162x y +=.（2）椭圆方程化为2236x y +=.设T 点的坐标为(3,)m -，则直线TF 的斜率03(2)TF m k m -==----.当0m ≠时，直线PQ 的斜率1PQ k m=，直线PQ 的方程是2x my =- 当0m =时，直线PQ 的方程是2x =-，也符合2x my =-的形式. 将2x my =-代入椭圆方程得：22(3)420m y my +--=. 其判别式22168(3)0m m ∆=++>. 设1122(,),(,)P x y Q x y ， 则121212122224212,,()4333m y y y y x x m y y m m m --+==+=+-=+++. 因为四边形OPTQ 是平行四边形，所以OP QT =，即1122(,)(3,)x y x m y =---.所以1221221233{43x x m my y mm -+==-++==+，解得1m =±.此时四边形OPTQ 的面积121222OPTQ OPQ S S OF y y ==⨯⋅-==【考点定位】1、直线及椭圆的方程；2、直线与圆锥曲线的位置关系；3、三角形的面积.21．已知函数()()()2ln 11af x x a x a=++>+． （1）()f x 的导函数记作f x ，且fx 在()1,-+∞上有两不等零点，求a 的取值范围；（2）若()f x 存在两个极值点，记作1x ，2x ，求证：()()124f x f x +>． 【答案】（1）1,2；（2）证明见解析． 【解析】（1）先求fx ，令0f x ，转化为二次方程根的分布问题，结合二次函数的性质即可得出结论；（2）由（1）知，12a <<，1x ，2x 是0fx的两个不同实根，由韦达定理可得1x ，2x 的关系式，把要证明的结论()()124f x f x +>等价化简变形后换元转化为证明不等式()22ln 1201a a -+->-，构造函数()22ln 2g t t t=+-，利用导数判断单调性即可证明结论成立. 【详解】解：（1）()()()()()22221211x a a af x x x a x x a +-=-=+'+++，1x >-， ()()()()22201x a a f x x x a +-==++'，令()()22h x x a a =+-．由题意，()0{10h ∆>->，解得：12a <<.所以a 的取值范围为1,2． （2）由（1）知，12a <<， 由()()()()22201x a a f x x x a +-==++'，即()220x a a +-=，得()12120{2x x x x a a +==-，()()()()12121222ln 11a af x f x x x a x a x ⎡⎤+=++++⎣⎦++ ()()()1212122121222ln 1a x x a x x x x x x a x x a ++=++++++()()2224ln 12a a a a a =-+-+()22ln 121a a ⎡⎤=-++⎣⎦-，要证明()()124f x f x +>，则只需证明()22ln 1201a a -+->-， 令1a t -=，由()1,2a ∈可得()0,1t ∈， 当()0,1t ∈时，()22ln 2g t t t =+-，()()2210t g t t-'=<， 所以g t 在0,1上是减函数，所以()()10g t g >=，适合题意. 综上，()()124f x f x +>． 【点睛】本题考查函数的零点分布和极值不等式证明，关键在于等价变形转化为常见的问题，属于难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos 1sin x r y r ϕϕ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（0r >，ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的坐标方程为sin 13πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，若直线l 与曲线C 相切. （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）在曲线C 上取两点M 、N 于原点O 构成MON ∆，且满足6MON π∠=，求面积MON ∆的最大值.【答案】（1）4sin 3πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； （2）2.【解析】（1）求出直线l 的直角坐标方程为y =+2，曲线C ，1），半径为r 的圆，直线l 与曲线C 相切，求出r ＝2，曲线C 的普通方程为（x 2+（y ﹣1）2＝4，由此能求出曲线C 的极坐标方程．（2）设M （ρ1，θ），N （ρ2，6πθ+），（ρ1＞0，ρ2＞0），由126MON S OM ON sin π==2sin （23πθ+）MON 面积的最大值．【详解】（1）由题意可知将直线l 的直角坐标方程为2y =+，曲线C 是圆心为)，半径为r 的圆，直线l 与曲线C 相切，可得：2r ==；可知曲线C 的方程为(()2214x y +-=，∴曲线C 的极坐标方程为2cos 2sin 0ρθρθ--=，即4sin 3πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （2）由（1）不妨设()1,M ρθ，2,6N πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，()120,0ρρ>>21211sin ?4sin ?sin 2sin cos 26432MON S OM ON πππρρθθθθθ∆⎛⎫⎛⎫===++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin22sin 23πθθθ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭当12πθ=时，2MON S ∆≤MON ∴∆面积的最大值为2+.【点睛】本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查三角形的面积的最大值的求法，考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．23．已如函数()()2,f x x ax b a b =++∈R ． （1）2a =，0b =，解不等式()4f x x >-；（2）m ，n 是()f x 的两个零点，若1a b +<，求证：1m <，1n <．【答案】（1）{4x x <-或1}x >；（2）证明见解析．【解析】（1）由条件可知不等式等价于224x x x +>-，根据公式去绝对值解不等式；（2）根据韦达定理表示,m n a mn b +=-=，代入1a b +<后，利用含绝对值三角不等式变形证明不等式.【详解】（1）当2a =，0b =时，224x x x +>-⇔22242x x x x x --<-<+， 222424x x x x x x⎧--<-⎨+>-⎩ 不等式的解集为{}41x x x <->或． （2）依题意得m n a mn b +=-⎧⎨=⎩， ∴m n a +=，mn b =．∵1a b +<，∴1m n mn ++<．又∵m n m n -≤+， ∴10m n mn -+-<，()()110m n -+<． ∴1m <． 同理可证，1n <．【点睛】本题考查解含绝对值不等式，含绝对值三角不等式的应用，重点考查转化与化归的思想，计算能力，属于中档题型.。

安徽省名校联盟2020年高考最后一卷：数学（文）试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．《九章算术》卷第六《均输》中，有问题“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升．问中间．．二节欲均容，各多少？”其中“欲均容”的意思是：使容量变化均匀，即由下往上均匀变小．在这个问题中的中间．．两节容量和是（）A．61 1 66升B．2升C．3222升D．3升2．以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（）A．201520172⨯B．201420172⨯C．201520162⨯D．201420162⨯3．下列命题中，真命题的是（）A．0,0xx R e∃∈≤B．2,2xx R x∀∈>C．0a b+=的充要条件是1ab=-D．若,x y R∈，且2x y+>，则,x y中至少有一个大于14．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它由四个全等的直角三角形围成，其中3sin5BAC∠=，现将每个直角三角形的较长的直角边分别向外延长一倍，得到如图的数学风车，若在该数学风车内随机取一点，则该点恰好取自“赵爽弦图”外面（图中阴影部分）的概率为（）A．2543B．1843C．2549D．24495．设x，y满足约束条件239030x yx yy-+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y=+的最大值是（）A．92-B．3C．6D．86．若函数()(0x xf x a a a-=->且1)a≠在R上为减函数，则函数log(||1)ay x=-的图象可以是( ) A．B．C．D．7．将函数()()sin08,2f x xπωϕωϕ⎛⎫=+<<<⎪⎝⎭的图象向左平移1148π个单位后得到函数()g x的图象，且函数()f x满足31121616f fππ⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列命题中正确的是（）A．函数()g x图象的两条相邻对称轴之间距离为2πB．函数()g x图象关于点5,024π⎛⎫⎪⎝⎭对称C．函数()g x图象关于直线712xπ=对称D．函数()g x在区间50,24π⎛⎫⎪⎝⎭内为单调递减函数8．如图，在平面直角坐标系xOy中，质点M N，间隔3分钟先后从点P，绕原点按逆时针方向作角速度为6π弧度/分钟的匀速圆周运动，则M与N的纵坐标之差第4次达到最大值时，N运动的时间为（）A．37.5分钟 B．40.5分钟 C．49.5分钟 D．52.5分钟9．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，满足132a =，1233(*)n n a S n N ++=∈，若2n nS M S +≤对任意的*n N ∈恒成立，则实数M 的最小值为（ ）A ．22B ．176C ．4112 D ．410．已知平面向量，满足，，且，则向量，的夹角为（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知111,2,,3,23a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，若()a f x x =为奇函数，且在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的值是( ) A ．1,3-B ．1,33C ．11,,33-D ．11,,33212．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按31天算，记该女子一个月中的第n 天所织布的尺数为na ，则132931242830a a a a a a a a ++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++的值为（ ）A ．165 B ．1615 C ．1629 D ．1631二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

合肥2024届高三“最后一卷”数学试题（答案在最后）注意事项：1．本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．.．4．本卷命题范围：高考范围.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合2{|1,N}A x x x =≤∈，{}|=>B x x a ，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是（）A.(],0-∞ B.(),0∞- C.()1,+∞ D.[)1,+∞【答案】B 【解析】【分析】根据几集合中的元素化简集合A ，再根据集合间的关系即可得实数a 的取值范围.【详解】因为集合{}2{|1,N}0,1A x x x =≤∈=，{}|=>B x x a ，若A B ⊆，则a<0，故实数a 的取值范围是(),0∞-.故选：B.2.某校运动会，一位射击运动员10次射击射中的环数依次为：7，7，10，9，7，6，9，10，7，8．则下列说法错误的是（）A.这组数据的平均数为8B.这组数据的众数为7C.这组数据的极差为4D.这组数据的第80百分位数为9【答案】D 【解析】【分析】利用众数、中位数、极差、百分位数的定义，根据条件逐一对各个选项分析判断即可得出结果.【详解】这组数据的平均数为771097691078810+++++++++=，故A 正确；这组数据的众数为7，故B 正确；这组数据的极差为1064-=，故C 正确；将这组数据按照从小到大的顺序排列为6,7,7,7,7,8,9,9,10,10，因为80%108⨯=，所以这组数据的第80百分位数为9109.52+=，故D 错误.故选：D .3.若x ，R y ∈，则“112222xyx y ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”是“ln()0x y ->”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】等价变形112222x yxy⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后构造函数得出x y >，解不等式ln()0x y ->得1->x y ，再利用充分条件和必要条件的定义，即可得解.【详解】设命题p ：112222x yx y ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，命题q ：ln()0x y ->对于命题p ，因为112222xyxy⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，112222xyx y ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，构造函数()122xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，易知()f x 在R 上为增函数，所以x y >；对于命题q ，因为ln()0x y ->，所以1->x y ，即1x y >+；所以p q ⇒为假命题，q p ⇒为真命题；所以p 是q 的必要不充分条件;故选：B.4.已知点P 在圆221x y +=上运动，点,F A 为椭圆22184x y+=的右焦点与上顶点，则PFA ∠最小值为（）A.15︒B.30︒C.45︒D.75︒【答案】A【分析】由题意知(2,0),(0,2)F A ，且圆在椭圆内，则确定FP 与圆相切时PFA ∠取得最小值，即可求解.【详解】由题意知，(2,0),(0,2)F A ，且圆在椭圆内，当FP 与圆相切时，PFA ∠取得最小值，此时30,45OFP OFA ︒︒∠=∠=，所以453015PFA OFA OFP ︒︒︒∠=∠-∠=-=，所以PFA ∠的最小值为15︒.故选：A5.球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆面叫做球冠的底，垂直于圆面的直径被截得的一段叫做球冠的高．球冠也可看作圆弧绕过它的一个端点的直径旋转一周所成的曲面．假设球面对应球的半径是R ，球冠的高是h ，那么球冠的表面积公式为2πS Rh =．据中国载人航天工程办公室消息，北京时间2023年12月21日21时35分，经过约7.5小时的出舱活动，航天员汤洪波、唐胜杰已安全返回天和核心舱，神舟十七号航天员乘组第一次出舱活动取得圆满成功．若航天员汤洪波出仓后站在机械臂上，以背后的地球为背景，如图所示，面向镜头招手致意，此时汤洪波距离地球表面约为400km （图中的点A 处），设地球半径约为R km ，则此时汤洪波回望地球时所能看到的地球的表面积为（）A.22100π400R km R + B.22200π400R km R + C.22400π400R km R + D.22800π400R km R +【答案】D【分析】由题意可得2400R OO R '=+，结合公式2πS Rh =计算即可求解.【详解】如图，400AB =km ，由~OO C OCA ' ，得OO OCOC OA='，又OC R =，则2(400)R OO OA OO R ''=⋅=+，得2400R OO R '=+，所以222400800π2π2π()2π()2π400400400R R S Rh R R OO R R R R R R '==-=-=⋅+++（2km ）.即此时汤洪波回望地球时所能看到的地球的表面积为2800π400R R +（2km ）.故选：D6.已知()()()cos 10cos 50cos 50ααα-+︒︒-︒=+，则tan α=（）A.33B.33-C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据两角和差的余弦公式化简，再根据506010︒=︒-︒结合两角差的余弦公式化简即可得解.【详解】由()()()cos 10cos 50cos 50ααα-+︒︒-︒=+，得cos10cos sin10sin 2cos50cos ααα︒+︒=︒，故sin10sin 2cos50cos cos10cos ααα︒=︒-︒所以2cos50cos10tan sin10α︒-︒=︒()2cos 6010cos10sin10︒-︒-︒=︒cos10cos10sin10︒︒-︒==︒.7.已知数列{}n a 各项为正数，{}n b 满足21n n n a b b +=，112n n n a a b +++=，若12a =，11b =，则122024111a a a +++= （）A.10121013B.10111012C.20242025D.20232024【答案】C 【解析】【分析】由21n n n a b b +=，得n a =，再结合112n n n a a b +++==，进而可得数列是等差数列，即可求出{}nb 的通项，从而可求出数列{}na 的通项，再利用裂项相消法求解即可.【详解】因为0n a >，21n n n a b b +=，所以n a =，因为112n n n a a b +++=，所以0n b >12n b ++=，=，所以数列是等差数列，又12a =，11b =，所以24b =，所以数列1=，首项为1=，n =，所以2n b n =，所以()1n a n n ==+，则()111111n a n n n n ==-++，所以1220241111111112024112232024202520252025a a a +++=-+-++-=-= .故选：C.8.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，1(,0)F c -、2(,0)F c 分别为左、右焦点，若双曲线右支上有一点P 使得线段1PF 与y 轴交于点E ，2PO PF =，线段2EF 的中点H 满足120F H PF ⋅=uuu r uuu r ，则双曲线的离心率为（）A.2B.2C.7+D.7-【答案】A 【解析】【分析】由2PO PF =，设0(,)2cP y ，表示出1PF 的方程求得02(0,)3y E ，则0(,)23y c H ，由120F H PF ⋅=uuu r uuu r 表示出P 的坐标，代入双曲线方程，整理计算即可求解.【详解】由2PO PF =，得P 的横坐标为2c ，设0(,)2cP y ，则直线1PF 的方程为02()3y y x c c =+，令0x =，得023y y =，即02(0,)3yE ，所以线段2EF 的中点0(,)23y c H ，则01203(,),(,)232y c cF H PF y ==- ，由120F H PF ⋅=uuu r uuu r ，得2200033(,)(,)023243y y c c c y ⋅-=-=，则032cy =±，即3(,22c cP ±，代入双曲线方程得22229144c c a b -=，即222229144()c c a c a -=-，整理得421440e e -+=，由1e >，解得32102e +=.故选：A【点睛】思路点睛：解答本题的思路是根据点P 的坐标表示出点E 的坐标，由中点坐标公式表示出点H 的坐标，结合平面向量数量积的坐标表示求得3(,)22c cP ±，代入双曲线方程计算即可.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数z ，1z ，2z ，下列结论正确的有（）A.若复数z 满足1R z∈，则R z ∈B.若12z z ≠，z 满足12zz zz =，则0z =C.若1212z z z z +=-，则120z z ⋅=D.若复数z 满足228z z ++-=，则z 在复平面内所对应点的轨迹是椭圆【答案】ABD 【解析】【分析】A 根据z R ∈的条件，得出0b =可以判断；B 根据复数相等的充要条件即可求解；C 举反例可求解；D 令z i x y =+，再结合椭圆的定义可以求解.【详解】对于A 选项，令i z a b =+，()()22222211i i i i i i a b a b a b z a b a b a b a b a b a b --====-++-+++因为1R z ∈，所以220b a b -=+，即0b =，所以R z ∈，故A 正确；对于B 选项，令111222i,i,i z a b z x y z x y =+=+=+，因为12z z ≠，所以12x x ≠或22y y ≠，()()()1111111i i i zz a b x y ax by ay bx =++=-++；()()()2222222i i i zz a b x y ax by ay bx =++=-++；因为12zz zz =，所以11221122ax by ax by ay bx ay bx -=-⎧⎨+=+⎩，因为12x x ≠或22y y ≠，所以0a b ==，所以0z =，故B 正确；对于C 选项，令12i z z ==1，，易知1212z z z z +=-，所以12i 0z z ⋅=≠，故C 错误；对于D 选项，令i z x y =+，因为228z z ++-=，84=>，由椭圆定义可得z 在复平面内所对应点的轨迹是椭圆，故D 正确，故选：ABD.10.群论，是代数学的分支学科，在抽象代数中．有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一般一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明．群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G 是一个非空集合，“．”是G 上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件：①对所有的a 、b G ∈，有a b G ⋅∈；②a ∀、b 、c G ∈，有()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅；③e G ∃∈，使得a G ∀∈，有e a a e a ⋅=⋅=，e 称为单位元；④a G ∀∈，b G ∃∈，使a b b a e ⋅=⋅=，称a 与b 互为逆元．则称G 关于“·”构成一个群．则下列说法正确的有（）A.{}1,1G =-关于数的乘法构成群B.自然数集N 关于数的加法构成群C.实数集R 关于数的乘法构成群D.{},Z G a b a b =+∈关于数的加法构成群【答案】AD 【解析】【分析】根据“⋅”运算的定义，结合集合中元素与集合的关系判断，对每个选项逐一判断即要可．【详解】对于A 选项，对所有的a 、b G ∈，有a b G ⋅∈，且满足①乘法结合律；②1e G ∃=∈，使得a G ∀∈，有11a a a ⋅=⋅=；③a G ∀∈，a G ∃∈，有1a a a a ⋅=⋅=，故A 正确；对于B 选项，①自然数满足加法结合律；②0N e ∃=∈，使得N a ∀∈，有00a a a +=+=；但是对于0N ∈，1N ∈，不存在N b ∈，使110b b +=+=，故B 错误；对于C 选项，对所有的a 、R b ∈，有R a b ⋅∈，①实数满足加法结合律；②1R e ∃=∈，使得R a ∀∈，有11a a a ⋅=⋅=；但对于1R ∈，0R ∈，不存在R b ∈，使001b b ⋅=⋅=，故C 错误；对于D 选项，对所有的a 、b G ∈，可设a x =+，b s =+，(x ，y ，s ，Z)t ∈，则())a b x s y t G +=+++∈，①G 满足加法结合律，即a ∀、b 、c G ∈，有()()++=++a b c a b c ；②0e G ∃=∈，使得a G ∀∈，有e a a e a +=+=；③a G ∀∈，设a x =+，x ，Z y ∈，b x G ∃=--∈，使a b b a e +=+=，故D 正确．故选：AD ．11.已知函数()f x ，对任意的,(,0)(0,)x y ∈-∞+∞ 都有()()()f x f y f xy y x =+，且()1e ef =（其中e 为自然对数的底数），则（）A.()10f -=B.1e e f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C.()f x 是偶函数D.e x =是()f x 的极小值点【答案】AB 【解析】【分析】由题意，合理巧妙赋值，即可判断ABC ；根据()()()xyf xy xf x yf y =+构造函数()ln xf x x =，利用导数研究()f x 的性质即可判断D.【详解】A ：令1x y ==，得(1)(1)(1)f f f =+，解得(1)0f =，令1x y ==-，得(1)(1)(1)f f f =----，解得(1)0f -=，故A 正确；B ：令1e,ex y ==，得1((e)e (1)1e ef f f =+，又1(e)e f =，所以1()e ef =-，故B 正确；C ：令1y =-，得()(1)()()1f x f f x f x x--=+=--，所以()f x 为奇函数，故C 错误；D ：由()()()f x f y f xy y x=+，得()()()xyf xy xf x yf y =+，设函数()ln xf x x =，则ln ,0ln ()ln(),0xx x xf x x x x x⎧>⎪⎪==⎨-⎪<⎪⎩，当0x >时，21ln ()xf x x-'=，令()00e,()0e f x x f x x ''>⇒<<<⇒>，所以()f x 在(0,e)上单调递增，在(e,)+∞上单调递减，所以e x =是()f x 的极大值点，故D 错误.故选：AB【点睛】关键点点睛：本题考查构造函数，利用导数判断函数的单调，本题的关键是：根据()()()xyf xy xf x yf y =+，构造函数()ln xf x x =.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量()2,3a =-r ，()1,2b =- ，若()a b a λ+⊥，则λ=______．【答案】813【解析】【分析】根据平面向量数量积的坐标运算与向量垂直的坐标运算列方程求解即可.【详解】因为()2,3a =-r，()1,2b =- ，由()a b a λ+⊥ 可得()()()()()()21,322,32213321380a b a λλλλλλ+⋅=--+⋅-=-+-⨯-+=-=，解得813λ=.故答案为：813.13.除数函数（divisor function ）()()*Ny d n n =∈的函数值等于n 的正因数的个数，例如，()11d =，()43d =．则()2160d =______．【答案】40【解析】【分析】根据定义写出2160的质数因数，即可得解.【详解】因为432160235=⨯⨯，它的因数形如235i j k ⨯⨯，其中{}{}{}0,1,2,3,4,0,1,2,3,0,1i j k ∈∈∈，所以不同的因数有54240⨯⨯=个，即()216040d =.故答案为：40.14.已知函数()21x f x x+=，若()()ln f x f a x >对任意()2e,e x ∈恒成立，则正数a 的取值范围为______．【答案】1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】一方面，通过题设条件可以证明1e e a ≤≤；另一方面，在1e ea ≤≤的情况下又可证明题设条件成立，这就得到了a 的取值范围是1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【详解】一方面，如果对任意()2e,ex ∈有()()ln f x f a x >：设()()()ln g x f x f a x =-，则对任意()2e,ex ∈有()0g x >，从而由()2e 1e,e +∈知()e 10g +>.假设()e 0g <，则由零点存在定理知存在()e,e 1t ∈+使得()0g t =.但由()()2e,e 1e,et ∈+⊆又有()0g t >，矛盾，所以()e 0g ≥.代入得到()()e 0f f a -≥，从而22e 11e a a++≥，解之，得到1e e a ≤≤；另一方面，如果1e ea ≤≤：设()ln h x x x =，则()ln 1h x x ='+.从而当10e x <<时()0h x '<，当1e x >时()0h x '>.所以()h x 在10,e⎛⎤ ⎥⎝⎦上递减，在1e ,⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上递增.当()2e,e x ∈时，有11111ln e ln e ln e e e e e a x x x x h x h x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤=-⋅=-⋅<-⋅=-⋅-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且()()111111ln ln ln e e e e e e e a x x x x h x h x x x x x≥=⋅=⋅>⋅=⋅=.所以1ln a x x x <<，这就意味着()1ln ln 0a x x a x x ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，展开即()21ln 1ln a x a x x x ⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭，此即()2ln 11ln a x x x a x++>，故()()ln f x f a x >.综上，a 的取值范围是1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】方法点睛：分类讨论是求取值范围的典型方法.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -各棱长均为2，π3BAD ∠=，O 是线段BD 的中点．（1）求点O 到平面11AC D 的距离；（2）求直线AB 与平面11AC D 所成角的正弦值．【答案】（1）255（2）55【解析】【分析】（1）连接AC ，11B D 交11A C 于点1O ，连接1OO ，以点O 为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可；（2）利用向量法求解即可.【小问1详解】连接AC ，由题意，点O 为,AC BD 的交点，连接11B D 交11A C 于点1O ，连接1OO ，则1OO ⊥平面ABCD ，因为四边形ABCD 为菱形，则AC BD ⊥，如图，以点O 为原点，建立空间直角坐标系，在ABD △中，π3BAD ∠=，则ABD △为等边三角形，则2,3BD AC ==则()()()()110,0,0,1,0,0,0,3,2,0,3,2O D A C -，故()()()1111,0,0,0,3,0,1,3,2OD A C DA =-==-，设平面11AC D 的法向量为(),,n x y z = ，则有11130320n A C n DA x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，可取()2,0,1n =- ，则点O 到平面11AC D 的距离为555OD n n ⋅== ；【小问2详解】()()0,3,0,1,0,0A B ，故()3,0AB =，则cos,5n ABn ABn AB⋅===，即直线AB与平面11AC D．16.已知函数()π2π1sin sin332f x x x⎛⎫⎛⎫=+⋅+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，角A为△ABC的内角，且()0f A=．（1）求角A的大小；（2）如图，若角A为锐角，3AB=，且△ABC的面积SE、F为边AB上的三等分点，点D为边AC的中点，连接DF和EC交于点M，求线段AM的长．【答案】（1）π6A=或5π6A=（2）73【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换化简，再根据()0f A=即可得解；（2）先根据三角形的面积公式求出边c，再将AM用,AF AC表示，结合数量积的运算律即可得解.【小问1详解】()π2π1sin sin332f x x x⎛⎫⎛⎫=+⋅+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13131sin cos sin22222x x x x⎛⎫⎛⎫=+-+-⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭22311cos sin442x x=--21sin4x=-，则()21sin 04f A A =-=，因为()0,πA ∈，所以sin 0A >，所以1sin 2A =，所以π6A =或5π6A =；【小问2详解】若角A 为锐角，则π6A =，设角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，则13sin 244S bc A b ===，所以b =如图，连接CF ，因为点E 、F 为边AB 上的三等分点，所以E 为AF的中点，因为点D 为边AC 的中点，所以点M 为ACF △的重心，则()222112333233CM CE AE AC AF AC AF AC ⎛⎫==-=-=- ⎪⎝⎭，所以()13AM AC CM AF AC =+=+，又2,AF AC ==，所以73AM ==== ，即线段AM 的长为73．17.混养不仅能够提高水产养殖的收益，还可以降低单一放养的病害风险，提高养殖效益．某鱼塘中有A 、B 两种鱼苗．为了调查这两种鱼苗的所占比例，设计了如下方案：①在该鱼塘中捕捉50条鱼苗，统计其中鱼苗A 的数目，以此作为一次试验的结果；②在每一次试验结束后将鱼苗放回鱼塘，重复进行这个试验n次（其中*n ∈N ），记第i 次试验中鱼苗A 的数目为随机变量)i 1,2,(,X n =⋯；③记随机变量11ni i X X n ==∑，利用X 的期望()E X 和方差()D X 进行估算．设该鱼塘中鱼苗A 的数目为M ，鱼苗B 的数目为N ，其中M N <，每一次试验都相互独立．．．．．．．．．．．（1）在第一次试验中，若捕捉的50条鱼苗中鱼苗A 的数目有20条，记录员逐个不放回的记录鱼苗的种类，求第一次记录的是鱼苗A 的条件下，第二次记录的仍是鱼苗A 的概率；（2）已知()()()i j i j E X X E X E X +=+，()()()i j i j D X X D X D X +=+，（i ）证明：()()1E X E X =，()()11D X D X n=；（ii ）试验结束后，记i X 的实际取值分别为()1,2,,i x i n = ，平均值和方差分别记为x 、2s ，已知其方差2758s n=．请用x 和2s 分别代替()E X 和()D X ，估算M N 和x ．【答案】（1）1949（2）（i ）证明见解析，（ii ）13M N =，252x =【解析】【分析】（1）设事件M ：“第一次记录的是鱼苗A “，事件N ：“第二次记录的是鱼苗A ”，然后根据题意求出()P M 和()P MN ，再利用条件概率公式即可求得所求概率；（2）（i ）由题意可得，(1i X i =，2，L ，)n 都近似服从完全相同的二项分布，则12()()()n E X E X E X === ，12()()()n D X D X D X === ，然后利用期望和方差的公式计算即可得证；（ii ）由（i ）可知1~(50,)M X B M N +，则1X 的均值150()M E X M N =+，1X 的方差1()50M ND X M N M N=⨯⋅++，然后结合题意即可求解．【小问1详解】设事件M ：“第一次记录的是鱼苗A “，事件N ：“第二次记录的是鱼苗A ”，由题意可得，120150C 2()C 5P M ==，220250C 38()C 245P MN ==，所以5()938242519(|)()4P MN P N M P M ===；【小问2详解】（i ）证明：由题可得，(1i X i =，2，L ，)n 都近似服从完全相同的二项分布，则12()()()n E X E X E X === ，12()()()n D X D X D X === ，11111111()()()()()()n nn i i i i i i i E X E x E X E X nE X E X n n n n=======⨯=∑∑∑，1122211111111()()()()()()n nn i i i i i i D X D X D X D X nD X D X n n n n n ========∑∑∑，所以1()()E X E X =，11()()D X D X n=；（i i ）解：由（i ）可知1~(50,)M X B M N +，则1X 的均值150()ME X M N=+，1X 的方差1()50M N D X M N M N=⨯⨯++，所以25075()()8MN D X n M N n ==+，解得13M N =或3MN=，又0M N ≤<，则01MN≤<，所以13M N =，15025()()2M x E X E X M N ====+．18.已知抛物线2:2y x Γ=，点000(,)(0)R x y y ≠在抛物线Γ上．（1）证明：以R 为切点的Γ的切线的斜率为1y ；（2）过Γ外一点A （不在x 轴上）作Γ的切线AB 、AC ，点B 、C 为切点，作平行于BC 的切线11B C （切点为D ），点1B 、1C 分别是与AB 、AC 的交点（如图）．（i ）若直线AD 与BC 的交点为E ，证明：D 是AE 的中点；（ii ）设三角形△ABC 面积为S ，若将由过Γ外一点的两条切线及第三条切线（平行于两切线切点的连线）围成的三角形叫做“切线三角形”，如11AB C △．再由点1B 、1C 确定的切线三角形221B B C △，133C B C △，并依这样的方法不断作1，2，4，…，12n -个切线三角形，证明：这些“切线三角形”的面积之和小于13S ．【答案】（1）证明过程见解析（2）（i ）证明过程见解析；（ii ）证明过程见解析【解析】【分析】（1）设出切线方程并和抛物线联立，再由方程有唯一解得到结论；（2）使用（1）的结论即可直接得到（i ）的结论；求出每次作的切线三角形的面积与前一次作的切线三角形的面积的比值，从而确定每个切线三角形的面积，然后即可证明（ii ）.【小问1详解】设()00y k x x y =-+是以R 为切点的Γ的切线，则0k ≠.由于该直线和Γ有唯一公共点()00,R x y ，故联立后的方程组()0022y k x x y y x⎧=-+⎨=⎩只有唯一解00x x y y =⎧⎨=⎩.从而将第一个方程代入第二个，得到的方程2002y y y x k -⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭只有唯一解0y y =.此方程展开即为2002220y y y x k k -+-=，从而002y y k=+，所以01k y =.【小问2详解】（i ）设211,2y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,2y C y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则12y y ≠.根据上一小问的结论，可知Γ在B 和C 处的切线分别是2112y y y x =+和2222y y y x =+.联立两直线解得121222y y x y y y ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，所以1212,22y y y y A +⎛⎫ ⎪⎝⎭.由于A 不在x 轴上，所以120y y +≠，故1112221212222B C BC y y k k y y y y -===+-，所以D 的纵坐标是122y y +，从而212121,222y y y y D ⎛⎫++⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.而1212,22y y y y A +⎛⎫⎪⎝⎭，A 在Γ外，D 在Γ上，所以直线AD 的方程是122y y y +=.这表明该直线通过BC 的中点221212,42y y y y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，所以直线AD 与BC 的交点E 就是BC 的中点，即221212,42y y y y E ⎛⎫++ ⎪⎝⎭.而1212,22y y y y A +⎛⎫ ⎪⎝⎭，2221212121124222y y y y y y ⎛⎫++⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故AE 的中点坐标为212121,222y y y y ⎛⎫++⎛⎫ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，这就是点D 的坐标，所以D 是AE 的中点.（ii ）由于D 是AE 的中点，11B C 和BC 平行，故11,B C 分别是,AB AC 的中点.所以()1121213,44y y y y y B ⎛⎫++⎪⎝⎭，()2121213,44y y y y y C ⎛⎫++ ⎪⎝⎭.首先有3322312121212121111224282ABC B C y y y y S AE y y y y y y y y ⎛⎫+⎛⎫=⋅-=-⋅-=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .从而3ABCS S ==，1131144AB C ABC S S == .而1212,22y y y y A +⎛⎫⎪⎝⎭，故根据点的一般性可知对Γ外的任意一点(),T x y ，该点确定的切线三角形的面积为314.再由()1121213,44y y y y y B ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，()2121213,44y y y y y C ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，可知1221133311114448B BC AB C S S ⎛ ==== ⎝，同理1331118C B C AB C S S = .这就表明，不断作11,2,4,...,2n -个切线三角形后，第()2,3,...,k k n =次作的所有切线三角形的面积均为任意一个第1k -次作的切线三角形的面积的18.而1114AB C S S =，所以第()1,2,...,k k n =次作的切线三角形的面积均为28k S .设所有切线三角形的面积之和为t S ，由于第()1,2,...,k k n =次作的切线三角形的个数为12k -，故11112221884k k nn nt k k kk k k S S S S -===⋅==⋅=⋅∑∑∑.从而2111 (44)4t n S S ⎛⎫=+++⎪⎝⎭，这就得到21444114...1 (44)444t nn S S S -⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭121111111 (44444)4t n n nS S S S S -⎛⎫⎛⎫<++++=++++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以3t S S <，即13t S S <，结论得证.【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于对抛物线性质的使用和探究.19.贝塞尔曲线（Be'zier curve ）是一种广泛应用于计算机图形学、动画制作、CAD 设计以及相关领域的数学曲线．它最早来源于Bernstein 多项式．引入多项式()C (1)niin ii n B x x x -=-(0,1,2,,)i n =L ，若()f x 是定义在[]0,1上的函数，称()0;()()nnn ii iB f x f Bx n ==∑，[0,1]x ∈为函数()f x 的n 次Bernstein 多项式．（1）求()202B x 在()0,1上取得最大值时x 的值；（2）当()f x x =时，先化简();n B f x，再求2n B f ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭的值；（3）设()00f =，()f x x 在()0,1内单调递增，求证：();n B f x x在()0,1内也单调递增．【答案】（1）110（2）();n B f x x =，22;n B f ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，进而可求出函数的单调区间，即可得解；（2）根据Bernstein 多项式及函数()f x 的n 次Bernstein 多项式的定义化简即可求出();n B f x ，再令2x =即可得解；（3）根据()00f =及函数()f x 的n 次Bernstein 多项式的定义求导并化简，再根据()f x x在()0,1内单调递增，可得11i i f f n n i i n n+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭>+，即可得出结论.【小问1详解】由题意()()182022220C 1B x x x =-，()0,1x ∈，则()()()()()()1817172022222020C 21181C 21110B x x x x x x x x '⎡⎤=---=⋅--⎣⎦令()()2020B x '=，得110x =，当1010x <<时，()()2020B x '>，当1110x <<时，()()2020B x '<，所以()202B x 在10,10⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,110⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以当110x =时，()202B x 在()0,1上取得最大值；【小问2详解】()()()0;;nn n i i n i B x x B B f x n x =⎛⎫== ⎪⎝⎭∑()()0!1!1!nn ii i i n x x n i n -==⋅--∑()()()()01!11!1!n n ii i n x x i n -=-=---∑()()()111!1!1!n n i i i n x x x i n i ---=-=---∑()()11101n n n i i x B x x x x x ---===+-=∑，所以2233;n B f ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭；【小问3详解】()()()200;1nn n nni i i i B f x i i x fB x f B x x x n n =='⎡⎤'⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑()()11120011C 1C 1n nn i n i i ii i n n i i i i i x n f f x x f x x xn n n -----==⎡⎤⎛+⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅----⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑由()00f =，上式()()11120111C 1C 1n nn i n i i ii in n i i i i i x n f f x x f x x x n n n -----==⎡⎤⎛+⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅----⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑()()1111111200111C 1C 1n n n i n i i ii i n n i i i i i x n f f x x f x x xn n n ------++-==⎡⎤⎛+⎫+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅----⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑()()()()()11101!1!11!1!1!1!n n i i i n i i n i x x n f f f i n i n n i n i n ----=⎡⎤-⎛+⎫+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑()()1110!1111!1!1n n i i i n i i i x x f f f i n i n n i n ----=⎡++⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑()()1110!11,0,1,,1!1!1n n i i i n ii i x x f f i n i n i i n n ----=⎡+⎤⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎢⎥--+⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑ ，而()f x x 在()0,1内单调递增，所以11i i f f n n i i n n+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭>+，所以11i i i f f i n n +⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，故();0n B f x x '⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以();n B f x x在()0,1内也单调递增．【点睛】关键点点睛：理解Bernstein 多项式及函数()f x 的n 次Bernstein 多项式的定义是解决本题的关键.。

合肥一中2024届高三最后一卷数学参考答案1 2 3 4 5 6 7 D A C D B A C 8 9 10 11 12 1314 C ADBDACD0或11x =或34110x y +−=（5）1．选D【答案解析】2(2,3)(2,6)(4,3),25a b a b −=−−=−−=，选D 2． 选A【答案解析】2131312222i z i z i i −==−=++，，∴选A 3．选C【答案解析】22223,9,927,197x y a a b c a =====−=+=，选C4．选D【答案解析】由3S =14，3a =2，12q ∴=或41,3q a =−∴=23−或1，∴选D 5．选B【答案解析】sin2α= B 6．选A【答案解析】先考虑甲乙不相邻的不同排列方式数，再减去甲站在一端且甲乙不相邻的排列方式数，所以总数为321133423336A A A A A −=种，选A7．选C.【答案解析】如图，2OE FG AE ===，222221323R OE AE ∴=+=+=， 25243S R ππ∴==，故选C. 8．选C【答案解析】如图设00(,)N x y ，则AB l 为00()x xp y y =+且过(0,)M p ，0y p ∴=−且， 又设'2tan pk x β==−，'2k k ∴=− ， tan tan tan()1tan tan αβαβαβ−∴−=+， 当且仅当k ==”成立，故选C 9. 选AD【答案解析】30.14.37y ==，A 正确； 21.9610.490.010.250.812.567.081.277s ++++++==≠，B 错误；70.75 5.25×=，所以上四分位数为5.2，C 错误； 0.5 4.30.54 2.3ay x =−=−×=，D 正确； 故选AD 10．选BD【答案解析】1()sin(2)62f x x πω=+− 对于A ，当2ω=时，1()sin(4)62f xx π=+−，51()242f π=−， 0tanx k pα==''2()()1k k k k k k−==−+−≥+524x π∴= 不是()y f x =的一条对称轴，对于B ，由题意知，2T π=，对于C ，11()sin(2())sin(2)662362g x x x ππωππωω=++−=++−， 若()g x 为偶函数，则362k ωππππ+=+，∴，矛盾对于D ，令t =2[,2]666x πππωωπ+∈+，由题意知，2529[,)66ππ∈7[2,)3ω∴∈故选BD11．选ACD 【答案解析】对于A ，由()g x ax ≥得，令，则'2ln 1()x h x x−= ∴ ()y h x =在(0,)e 单调递减，(,)e +∞单调递增，∴min 1()()a h x h e e≤==−对于B ，设切点为00(,)xP x e ，则切线方程为000()xxy e e x x −=−，即000(1)x x y e x e x =+−，又1y ax =−，000(1)1x x e ae x = ∴ −=− ，(1ln )1()a a ∴−=−∗ 2a e = 不满足式，∴B 错，对于C ，易知当1a =时()y f x ax =−和()y g x ax =+有相同最小值1，对于D ，令()()x h x f x x e x =−=−，令()()ln x g x x x x ϕ=+=−，则(),()h x x ϕ的图象大致如下：12ω∴=13k ω=+26πωπ+ln x a x ≤−ln ()x h x x =−()∗的设交点为(,())M m h m ，易知01m <<，由图象知，当直线y a =与曲线()y h x =和曲线()y x ϕ=共有三个不同的交点时，直线y a =必经过点(())M m h m ，，即().a h m =因为()()h m m ϕ=，所以ln m e m m m −=−，即2ln 0m e m m −+=.令()()()h x x a h m ϕ===，得x m ln e x x x e m −=−=−，解得m x m x e ==或.由01m <<得1m m e <<.所以当直线y a =与曲线()y h x =和()y x ϕ=共有三个不同的交点时， 从左到右的三个交点的横坐标依次为ln m ，m ，m e .因为2+ln =0m e m m −，即+ln =2m e m m ，所以ln m ，m ，m e 成等差数列， 故选ACD12．【答案解析】{0,1,2}A =，{,1}B a a =+，由B A ⊆得0a =或1a =13．【答案解析】当斜率不存在时1x =满足题意；当斜率存在时，设直线l ：2(1)y k x −=−，由题意知圆心到直线的距离为1得34k =−∴1x =或34110x y +−=14.【答案解析】222222222222222222222222222,2,cos cos ()cos 2cos ()cos ,cos ()(1cos )0,0,cos cos ()cos 2cos ,,2a a b c b c bc A A a b c A bc A b c A b c a Aa abc A b c A Aa b c A bc A b c a b c a a =+=++=++=+++−+−+=+−==+>=+−+>>15.【答案解析】（1）证明：由题，1DD ⊥面1111A B C D ，四边形1111A B C D 为正方形，所以1111111,A C B D A C DD ⊥⊥，而111111,B D DD D B D ∩=⊂面11BDD B ，1DD ⊂面11BDD B ，所以11AC ⊥面11BDD B ，而11AC ⊂面11A BC ，所以平面11BDD B ⊥平面11A BC .…………………………………………………………………………6分（2）设1B 在面11A BC 上的射影点为E ，连接1,EP EB ，11A BC S ∆=， 111111B A BC B A B C V V −−=，即1111222332EB ×=××××，得1EB =设1PB 与平面11A BC 所成的角的大小为θ，则11sin EB PB θ==，所以1PB =，在1BPB ∆中，由余弦定理得，2221112cos4PB BB PB BB PB π=+−××，即224PB =+−，解得PB =.…………………………………………13分16．【答案解析】（1）()0.20.20.20.80.20.80.20.20.104P A =×+××+××=， 所以()0.20.20.820.20.2()23 2.615 2.60.1040.104E X ××××=×+×≈≈.………………7分 （2）设00.2p =，则2112131402000300040005000223400000()[(1)][(1)][(1)][(1)][12(1)3(1)4(1)5(1)]0.048.6160.34464.P A p C p p p C p p p C p p p C p p p p p p p p =+−+−+−+−=+−+−+−+−=×=……………………………………………………………………………………………15分17. 【答案解析】（1）()x af x e −′=，所以00000()0x a x ae f x e x −−−′==−，所以01x =；………………5分（2）即()sin 00x aex x −−≥∀≥，令()sin x a g x e x −=−，若0a ≤，则0,1,()sin 1sin 0,x a x a x a e g x e x x −−−≥≥=−≥−≥合题；…………7分若0,()cos ,x a a g x e x −′>=− 令()(),h x g x ′=则()sin ,x a h x e x −′=+当0x π≤≤时，()0,()h x g x ′′>递增，而2(0)10,()0,2aag e g e ππ−−′′=−<=>所以，存在唯一的0(0,)[0,],2x ππ∈⊆使得000()cos 0,x a g x e x −′=−= 所以，当00x x <<时，()0,()g x g x ′<递减，当0x x π<<时，()0,()g x g x ′>递增，故00000()()sin cos sin 0,x ag x g x ex x x −==−=−≥极小所以00,4x π<≤此时，00ln cos ,x a x −=故00ln cos 4a x x π=−≤−即ln 2042a π<≤+； ……………………………………………………………………………………………11分当x π>时，ln 2142()sin 1110x x ax ag x e x eee π−−−−=−≥−≥−≥−>，因而ln 2042a π<≤+合题； 综上所述，a 的取值范围是求ln 2(,].42π−∞+………………………………………15分 18.【答案解析】（1）由题，222ac a b c b==+=，解得2242a b ==，，所以C 的方程为221.42y x −=…………………………………………………………4分（2）（方法一）设11222(,),(,),:3P x y Q x y PQ y kx =+，代入22142y x −=，化简整理得22432(2)039k x kx −+−=，有222122016324(2)0990k k k x x −≠∆=−−−>>，解得21629k <<， 112:2y AP yx x +=−，令23y =得11836M x x y =+，同理22836N x x y =+， 12121212121221212128864||||36369(2)(2)6464168649(2)(2)99()39x x x x BM BN y y y y x x x x y y k x x k x x =×=++++===+++++，2216||||(2),||||||||,339BO BA BO BA BM BN =×+==所以,,,M N O A 四点共圆.……………………………………………………………………………………12分（2）（方法二）设,OM AN 的倾斜角分别为,αβ.由对称性，不妨设PQ 的斜率0k >，此时,αβ均为锐角，所以,,,M N O A 四点共圆AOM ANM π⇔∠+∠=()2παβπ⇔++=,,(0,)22ππαβαβ⇔+=∈tan tan 1αβ⇔=1OM AN k k ⇔=设11222(,),(,),:3P x y Q x y PQ y kx =+，代入22142y x −=，化简整理得 22432(2)039k x kx −+−=，有222122016324(2)0990k k k x x −≠∆=−−−>>，解得21629k <<， 122329(2)x x k =−−，12243(2)kx x k +=−−， 112:2y AP yx x +=−，令23y =得11836M x x y =+，同理22836N x x y =+， 1124OM y k x +=，222AN AQy k k x +==， 1212121288()()223344OM AN kx kx y y k k x x x x ++++== 2121212864()3914k x x k x x x x +++==， 所以,,,M N O A 四点共圆.……………………………………………………………12分（3）设圆心为T ，则121212121212212121,444882363633382()438643()39T M N T y x x x x x x x y y kx kx kx x x x k k x x k x x =−+==+=+++++++=+++(,1),5(3T k r ∴−=…………………………………………………………17分19.【答案解析】（1）()2312(),()0,(0,1)(1)1f x f x x x x ′′′==>∈−−，所以()f x 在(0,1)上为凸函数.…………………………………………………………………………………………4分（2）(1,2,,)ii x y i n T == 为正数，11111n n n i i i i i i x y x T T ======∑∑∑,即11ni i y ==∑， 由11n i n i i n x x T x T x −==−−∑，得11,11inn i n i x x TT x x T T−==−−∑ 即1111n i ni i n y y y y −==−−∑，所以11111111111111()(1)()(1)111111111n in n n n ii n i i n n i i i n ii i y y y y n f y n f y n y y y n y n n −−−−=−====−−==≥−=−=−−−−−−−−∑∑∑∑∑， 01(1,2,,)i y i n <<= ，所以111111111nn n n n y y n y y y n −−−−≤=−−−−， 即111111n n y y n −≤−−−，所以111111n n y y n −≤−−−.……………………………10分（3）11111nn n n n n n x x y T x T x y y T===−−−−−关于n y 在(0,1)递增， 由（2）解得min ()3)n y n =≥；当2n =时，12n y ≥.所以min 3)n n x n T x=≥−；当2n =时也成立.当3n ≥时，当且仅当12111nn y y y y n −−=====− 时取“=”；当2n =时，当且仅当1212y y ==时取“=”. 所以n n x T x −分。

安徽省合肥市第一中学2020届高考数学冲刺最后1卷试题 文第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合2{|2},{|340}S x x T x x x =>-=+-≤，则()R C S T ⋃=（ ） A ．(,1]-∞ B ．(,4]-∞- C ．(2,1]- D ．[1,)+∞2.已知,a R i ∈是虚数单位，复数z 的共轭复数为z ，若3,4z a i z z =+⋅=，则a =（ ） A ．3 B ．3- C ．7或7- D ．1或1-3.阅读下面的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为24，则输出N 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34.设,a b r r 为向量，则“||||||a b a b ⋅=r rr r ”是“//a b r r ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C.充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件5.函数sin (1cos 2)y x x =+在区间[2,2]-内的图像大致为（ ）A ．B ．C. D ．6. 在正方形网格中，某四面体的三视图如图所示. 如果小正方形网格的边长为1，那么该四面体的体积是（ ）A ．643 B ．323C. 16 D ．32 7.观察下图：则第（ ）行的各数之和等于22017.A ．2010B ．2018 C. 1005 D ．10098.已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ⊥平面,,1,2ABC AB BC SA AB BC ⊥===则球O 的表面积等于（ ）A ．4πB ．3π C. 2π D ．π9.如图所示，点,A B 分别在x 轴与y 轴的正半轴上移动，且2AB =，若点A 从(3,0)移动到(2,0)，则AB 的中点D 经过的路程为（ ）A ．3π B ．4π C. 6πD ．12π10.设集合{(,)|||||1},{(,)|()()0},A x y x y B x y y x y x M A B =+≤=-+≤=⋂，若动点(,)P x y M ∈，则22(1)x y +-的取值范围是（ ）A ．110[2 B ．210[ C. 15[,]22D ．25]2 11.已知函数221,20(),0x x x x f x e x ⎧--+-≤<⎪=⎨≥⎪⎩，若函数()()g x f x ax a =-+存在零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．21[,]3e - B ．21(,][,)3e -∞-⋃+∞ C. 11[,]3e- D ．1(,][,)3e -∞-⋃+∞12.点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2y x =于,A B 两点，且||2||PA AB =，则称点P 为“δ点”.下列结论中正确的是（ ）A ．直线l 上的所有点都是“δ点”B ．直线l 上仅有有限个点是“δ点” C. 直线l 上的所有点都不是“δ点”D ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“δ点”第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 为了研究某班学生的脚长x (单位:厘米)和身高y （单位:厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为ˆˆˆybx a =+已知101011ˆ225,1600,4ii i i xy b =====∑∑.该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为．14.从区间[0,2]随机抽取2n 个数1212,,...,,,,...,n n x x x y y y ，构成n 个数对1122(,),(,),...,(,)n n x y x y x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 ．15.如图所示，B 地在A 地的正东方向4km 处，C 地在B 地的北偏东30o方向2km 处，河流的沿岸PQ （曲线）上任意一点到A 的距离比到B 的距离远2km .现要再曲线PQ 上任一处M 建一座码头，向,B C 两地转运货物.经测算，从M 到B 和M 到C 修建公路的费用均为a 万元/km ，那么修建这两条公路的总费用最低是 万元.16.已知数列{}n a 满足*113,(3)(6)18()n n a a a n N +=-+=∈，则11ni ia =∑的值是 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,abc ，已知2cos (cos cos )3B a B b A c +=. （1）求B ；（2）若,,a b c 成等差数列，且ABC ∆的周长为35，求ABC ∆的面积.18. 在如图所示的几何体ACBFE 中，,,AB BC AE EC D ==为AC 的中点，//EF DB . （1）求证：AC FB ⊥；（2）若,4,3,3,2AB BC AB AE BF BD EF ⊥====，求该几何体的体积.19. 某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题. 该企业为了检查生产该产品的甲、乙两条流水线的生产情况，随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取50件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值.若该项质量指标值落在(195,210]内，则为合格品，否则为不合格品.表 1是甲流水线样本的频数分布表，如图所示是乙流水线样本的频率分布直方图.表1 甲流水线样本的频数分布表质量指标值频数(190,195]2(195,200]13(200,205]23(205,210]8(210,215]4（1）若将频率视为概率，某个月内甲、乙两条流水线均生产了6万件产品，则甲、乙两条流水线分别生产出不合格品约多少件？（2）在甲流水线抽取的样本的不合格品中随机抽取两件，求两件不合格品的质量指标值均偏大的概率；列联表，并判断在犯错误概率不超过0.1的前提下能否认为（3）根据已知条件完成下面22“该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两条流水线的选择有关”？甲生产线乙生产线合计合格品不合格品合计附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++（其中n a b c d=+++为样本容量）2()P K k≥0.150.100.050.0250.0100.0050.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828 20. 如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为22，短轴长为42.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设A为椭圆C的左顶点，P为椭圆C上位于x轴上方的点，直线PA交y轴于点M，点N在y轴上，且0MF FN→→⋅=，设直线AN交椭圆C于另一点Q，求APQ∆的面积的最大值.21. 已知函数2()ln,()(1)f x x xg x xλ==-（λ为常数）.（1）若函数()y f x=与函数()y g x=在1x=处有相同的切线，求实数λ的值；（2）当1x≥时，()()f xg x≤，求实数λ的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线1C的参数方程为cos3xyαα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线1C 上的点按坐标变换323232x xy⎧'=+⎪⎨⎪'=+⎩得到曲线2C，以原点为极点、x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.（1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程； （2）若直线()3R πθρ=∈与曲线1C 交于,M N 两点，与曲线2C 交于,P Q 两点，求||||MN PQ 的值.23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()|||2|f x x a x =-++. （1）当1a =时，解不等式()4f x ≥；（2）00,()|21|x R f x a ∃∈≤+，求a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:ADCCB 6-10:BDADC 11、12：BA 二、填空题13. 166 14. 16m n 15. 2)a 16. 11(22)3n n +-- 三、解答题17.解：（1）已知2cos (cos cos )B a B b A +=，由正弦定理得2cos (sin cos sin cos )B A B B A C +=，即2cos sin(),B A B C ⋅+=cos B B ∴=Q 为ABC ∆的内角，6B π∴=.（2）,,a b c Q 成等差数列，2b a c ∴=+，又ABC ∆的周长为，即a b c b ++=∴=2222222cos ()(2,b a c ac B a c a c ac =+-=+-=+-ac ∴=111sin 15(2222ABC S ac B ∆∴==⨯⨯=. 18.（1）证明：//,EF BD EF ∴Q 与BD 确定平面EFBD .连接,,DE AE EC D =Q 的为AC的中点，DE AC ∴⊥.同理可得BD AC ⊥，又,BD DE D BD ⋂=⊂Q 平面,EFBD DE ⊂平面,EFBD AC ∴⊥平面,BDEF FB ⊂Q 平面,EFBD AC FB ∴⊥. （2）由（1）可知AC ⊥平面1,,3ABCEF A BDEF C BDEF BDEF BDEF V V V S AC --∴=+=⋅⋅,,4,AB BC AB BC AB BD AC =⊥=∴==Q3,1AE DE =∴==.在梯形BDEF 中，取BD 的中点M ，连接MF ，则//EF DM 且,EF DM =∴四边形FMDE 为平行四边形，//FM DE ∴且FM DE =.又222,BF BF FM BM ==+11,142232ABCEF BDEF FM BM S V ∴⊥=⨯⨯=∴=⨯⨯=梯形.19. （1）由甲、乙两条流水线各抽取的50件产品可得，甲流水线生产的不合格品有6件，则甲流水线生产的产品为不合格品的概率635025P ==甲，乙流水线生产的产品为不合格品的概率6(0.0160.32)525P =+⨯=乙.于是，若某个月内甲、乙两条流水线均生产了6万件产品，则甲、乙两条流水线生产的不合格品件数分别为360000720025⨯=（件），6600001440025⨯=（件）.（2）在甲流水线抽取的样本中，不合格品共有6件，其中质量指标值偏小的有2件，记为,A B ；质量指标值偏大的有4件，记为,,,C D E F ，则从中任选2件有,,,,,,,AB AC AD AE AF BC BD ,BE ,BF ,,CD CE,,,CF DE DF EF 共15种结果，其中质量指标值都偏大有6种结果.故所求概率为62155P ==. （3）22⨯列联表如下：则22100(4412386) 2.439 2.70650508218K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以在犯错误概率不超过0.1的前提下不能认为“该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两条流水线的选择有关”.20.解：（1）由题意得22222c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得4a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆C 的标准方程为221168x y +=. （2）由题可设直线PA 的方程为(4),0y k x k =+>，则(0,4)M k，又F 且0MF FN →→⋅=，所以MF FN ⊥，所以直线FN的方程为y x =-，则2(0,)N k-，联立22(4)216y k x x y =+⎧⎨+=⎩消去y 并整理得2222(12)1632160k x k x k +++-=，解得14x =-或2224812k x k -=+，则222488(,)1212k k P k k -++，直线AN 的方程为1(4)2y x k =-+，同理可得222848(,)1212k k Q k k --++，所以,P Q 关于原点对称，即PQ 过原点，所以APQ ∆的面积211632||212122P Q k S OA y y k k k=⋅-=⋅=≤++12k k =，即2k =时，等号成立，所以APQ ∆的面积的最大值为21.解：（1）由题意得()ln 1,()2f x x g x x λ''=+=，又(1)(1)0f g ==，且函数()y f x =与()y g x =在1x =处有相同的切线，(1)(1)f g ''∴=，则21λ=，即12λ=. （2）设2()ln (1)h x x x x λ=--，则()0h x ≤对[1,)x ∀∈+∞恒成立.()1ln 2h x x x λ'=+-Q ，且(1)0,(1)0h h '=∴≤，即1120,2λλ-≤∴≥.另一方面，当12λ≥时，记()()x h x ϕ'=，则112()2xx x xλϕλ-'=-=.当[1,)x ∈+∞时，()0,()x x ϕϕ'≤∴在[1,)+∞内为减函数，∴当[1,)x ∈+∞时，()(1)120x ϕϕλ≤=-≤，即()0,()h x h x '≤∴在[1,)+∞内为减函数，∴当[1,)x ∈+∞时，()(1)0h x h ≤=恒成立，符合题意.当12λ<时，①若0λ≤，则()1ln 20h x x x λ'=+-≥对[1,)x ∀∈+∞恒成立，()h x ∴在[1,)+∞内为增函数，∴当[1,)x ∈+∞时，()(1)0h x h ≥=恒成立，不符合题意.②若102λ<<，令()0x ϕ'>，则11,()2x x ϕλ<<∴在1(1,)2λ内为增函数，∴当1(1,)2x λ∈时，()(1)120x ϕϕλ>=->，即()0,()h x h x '>∴在1(1,)2λ内为增函数，∴当1(1,)2x λ∈时，()(1)0h x h >=，不符合题意，综上所述12λ≥.22.解：（1）已知曲线1C的参数方程为2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），消去参数α得22143x y +=.又cos ,sin ,x y ρθρθ==22223cos 4sin 12ρθρθ∴+=，即曲线1C 的极坐标方程为22(3sin )12ρθ+=.又由已知322x x y ⎧'=+⎪⎨⎪'=+⎩得2(32)x x y y ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=-⎪⎩代入22143x y +=得2(2)1,9y '-=∴曲线2C的直角坐标方程为22((2)9x y -+-=.（2）将3πθ=代入22(3sin )12ρθ+=，得216,||555MN ρρ=∴=±∴=.又直线的参数方程为122x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入22((2)9x y -+-=，整理得270t -+=，分别记,P Q 两点对应的参数为12,t t，则121212||4||||||57t t MN PQ t t PQ t t ⎧+=⎪=-==∴=⎨⋅=⎪⎩. 23.解：（1）当1a =时，()4f x ≥，即2214x x <-⎧⎨--≥⎩或2134x -≤≤⎧⎨≥⎩或1214x x >⎧⎨+≥⎩解得52x ≤-或x ∈∅或32x ≥，故此不等式的解集为53(,][,)22-∞-⋃+∞. （2）因为()|||2||()(2)||2|f x x a x x a x a =-++≥--+=+，因为0x R ∃∈，有0()|21|f x a ≤+成立，所以只需|2||21|a a +≤+，化简得210a -≥，解得1a ≤-或1a ≥，所以a 的取值范围为(,1][1,)-∞-⋃+∞.。

2020年安徽省合肥一中高考数学最后一卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．记全集U＝R，集合A＝{x|x2≥16}，集合B＝{x|2x≥2}，则（∁U A）∩B＝（）A．[4，+∞）B．（1，4]C．[1，4）D．（1，4）2．若复数z的共轭复数满足（1﹣i），则|z|＝（）A．B．C．D．3．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n＝（）A．5B．4C．3D．24．从区间[0，1]内随机抽取2n个数x1，x2，…x n，y1，…，y n构成n个数对（x1，y1），…，（x n，y n），其中两数的平方和不小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到圆周率π的近似值为（）A．B．C．D．5．已知x，y满足不等式组，则的最大值为（）A．0B．C．D．66．已知log2x＝log3y＝log5z＜0，则、、的大小排序为（）A．B．C．D．7．点M，N分别是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱BC，CC1的中点，动点P在正方形BCC1B1（包括边界）内运动，且PA1∥面AMN，则PA1的长度范围为（）A．B．C．D．8．已知双曲线C的离心率，过焦点F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为M，直线MF交另一条渐近线于N，则＝（）A．2B．C．D．9．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ），（A＞0，）的部分图象如图所示，则使f（2a+x）+f（﹣x）＝0成立的a的最小正值为（）A．B．C．D．10．已知数列{a n}的前n项和为S n，S n＝2a n﹣2，若存在两项a n，a m，使得a n•a m＝64，则的最小值为（）A．B．1C．3+2D．E．【无选项】111．已知函数f（x）＝e x﹣1，，若f（a）＝g（b）成立，则b﹣a的最小值为（）A．B．C．1+ln2D．1﹣ln212．已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝1，以M为圆心的圆过A，B两点，且与直线2y﹣1＝0相切，若存在定点P，使得当A运动时，|MA|﹣|MP|为定值，则点P的坐标为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设向量，不平行，向量与平行，则实数λ＝．14．若圆（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1上存在两点A、B，使得∠APB＝60°，P为圆外一动点，则P点到原点距离的最小值为．15．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，顶点P在底面的投影O恰为正方形ABCD的中心且，设点M，N分别为线段PD，PO上的动点，已知当AN+MN取得最小值时，动点M恰为PD的中点，则该四棱锥的外接球的表面积为．16．设数列{a n}的前n项和为S n，若存在实数A，使得对于任意的n∈N*，都有|S n|＜A，则称数列{a n}为“T数列”．则以下{a n}为“T数列”的是．①若{a n}是等差数列，且a1＞0，公差d＜0；②若{a n}是等比数列，且公比q满足|q|＜1；③若；④若a1＝1，．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且9c﹣a＝9b cos A．（1）求cos B；（2）若角B的平分线与AC交于点D，且BD＝1，求的值．18．某公司为了提高职工的健身意识，鼓励大家加入健步运动，要求200名职工每天晚上9：30上传手机计步截图，对于步数超过10000的予以奖励，图1为甲乙两名职工在某一星期内的运动步数统计图，图2为根据这星期内某一天全体职工的运动步数做出的频率分布直方图．（1）在这一周内任选两天检查，求甲乙两人两天全部获奖的概率（2）请根据频率分布直方图，求出该天运动步数不少于15000的人数，并估计全体职工在该天的平均步数；（3）如果当大甲的排名为第130名，乙的排名为第40名，试判断做出的是星期几的频率分布直方图．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面ACC1A1⊥平面ABC，AA1＝AC，∠ACB＝90°．（1）求证：平面AB1C1⊥平面A1B1C；（2）若∠A1AC＝60°，AC＝2CB＝2，求四棱锥A﹣BCC1B1的体积．20．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣2，0），离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，T为直线x＝﹣3上一点，过F作TF的垂线交椭圆于P、Q，当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积．21．已知函数．（1）f（x）的导函数记作f'（x），且f'（x）在（﹣1，+∞）上有两不等根，求a的取值范围；（2）若f（x）存在两个极值点，记作x1，x2，求证：f（x1）+f（x2）＞4．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（r＞0，φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，若直线l与曲线C相切；（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）在曲线C上取两点M，N与原点O构成△MON，且满足，求面积△MON的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝x2+ax+b（a，b∈R）．（1）a＝2，b＝0，解不等式f（x）＞|4﹣x|；（2）m，n是f（x）的两个零点，若|a|+|b|＜1，求证：|m|＜1，|n|＜1．参考答案一、选择题（共12小题）.1．记全集U＝R，集合A＝{x|x2≥16}，集合B＝{x|2x≥2}，则（∁U A）∩B＝（）A．[4，+∞）B．（1，4]C．[1，4）D．（1，4）【分析】求出集合A，集合B，从而求出∁U A，由此能求出（∁U A）∩B．解：∵全集U＝R，集合A＝{x|x2≥16}＝{x|x≥4或x≤﹣4}，集合B＝{x|6x≥2}＝{x|x≥1}，∴（∁U A）∩B＝{x|1≤x＜4}＝[7，4）．故选：C．2．若复数z的共轭复数满足（1﹣i），则|z|＝（）A．B．C．D．【分析】把已知等式变形求得，再由，结合商的模等于模的商求解．解：由（1﹣i），得，则|z|＝||＝||＝．故选：B．3．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n＝（）A．5B．4C．3D．2【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：当n＝1时，a＝，b＝4，满足进行循环的条件，当n＝2时，a＝，b＝8满足进行循环的条件，当n＝4时，a＝，b＝32不满足进行循环的条件，故选：B．4．从区间[0，1]内随机抽取2n个数x1，x2，…x n，y1，…，y n构成n个数对（x1，y1），…，（x n，y n），其中两数的平方和不小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到圆周率π的近似值为（）A．B．C．D．【分析】以面积为测度，建立方程，即可求出圆周率π的近似值．解：由题意，两数的平方和小于1，对应的区域的面积为π•12，从区间[7，1】随机抽取2n个数x1，x2，…，x n，y6，y2，…，y n，∴＝故选：D．5．已知x，y满足不等式组，则的最大值为（）A．0B．C．D．6【分析】作出不等式组对应平面区域，利用z的几何意义即可得到结论．解：作出不等式组对应的平面区域如图：则则的几何意义为动点Q到原点连线的斜率，由图象可知当P位于A（，3）时，直线AP的斜率最大，故选：D．6．已知log2x＝log3y＝log5z＜0，则、、的大小排序为（）A．B．C．D．【分析】设k＝log2x＝log3y＝log5z＜0，0＜x，y，z＜1．x＝2k，y＝3k，z＝5k．可得＝21﹣k，＝31﹣k，＝51﹣k．由函数f（x）＝x1﹣k在（0，1）上单调递增，即可得出．解：设k＝log2x＝log3y＝log5z＜8，∴0＜x，y，z＜1．则＝27﹣k，＝31﹣k，＝58﹣k．∴21﹣k＜31﹣k＜51﹣k．故选：A．7．点M，N分别是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱BC，CC1的中点，动点P在正方形BCC1B1（包括边界）内运动，且PA1∥面AMN，则PA1的长度范围为（）A．B．C．D．【分析】取B1C1的中点E，BB1的中点F，连结A1E，A1F，EF，取EF中点O，连结A1O，推导出平面AMN∥平面A1EF，从而点P的轨迹是线段EF，由此能求出PA1的长度范围．解：取B1C1的中点E，BB1的中点F，连结A1E，A1F，EF，取EF中点O，连结A6O，∵点M，N分别是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱BC，CC1的中点，∵AM∩MN＝M，A1E∩EF＝E，∵动点P在正方形BCC1B7（包括边界）内运动，且PA1∥面AMN，∵A1E＝A1F＝＝，EF＝＝，∴当P与O重合时，PA1的长度取最小值：A1O＝＝，∴PA1的长度范围为[，]．故选：B．8．已知双曲线C的离心率，过焦点F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为M，直线MF交另一条渐近线于N，则＝（）A．2B．C．D．【分析】画出图形，利用已知条件转化求解即可．解：由题意双曲线的离心率为：，可得，可得，所以＝，渐近线方程为：y＝，如图：所以MN＝，故选：B．9．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ），（A＞0，）的部分图象如图所示，则使f（2a+x）+f（﹣x）＝0成立的a的最小正值为（）A．B．C．D．【分析】根据条件求出函数的解析式，由f（2a+x）+f（﹣x）＝0得f（2a+x）＝﹣f（﹣x），得函数关于（a，0）对称，利用三角函数的对称性进行求解即可．解：由f（2a+x）+f（﹣x）＝0得f（2a+x）＝﹣f（﹣x），得函数关于（a，0）对称，则f（x）＝2sin（ωx+），得ω＝7，由2x+＝kπ，得x＝﹣，即函数的对称中心为（﹣，0），即此时a＝，故选：C．10．已知数列{a n}的前n项和为S n，S n＝2a n﹣2，若存在两项a n，a m，使得a n•a m＝64，则的最小值为（）A．B．1C．3+2D．E．【无选项】1【分析】首先求出数列的通项公式，进一步利用基本不等式的应用求出结果．解：由S n＝2a n﹣2，当n≥2时，可得S n﹣5＝2a n﹣1﹣8，故（常数），所以，，但是mn都为整数解得当m＝n＝3时，最小值为1．故选：B．11．已知函数f（x）＝e x﹣1，，若f（a）＝g（b）成立，则b﹣a的最小值为（）A．B．C．1+ln2D．1﹣ln2【分析】求出b﹣a＝2﹣lny﹣1，根据函数的单调性求出b﹣a的最小值即可．解：设y＝e a﹣1，则a＝1+lny，则b＝2，则（b﹣a）′＝2﹣，∴y＝时，（b﹣a）′＝6，∴y＝时，b﹣a取最小值，故选：C．12．已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝1，以M为圆心的圆过A，B两点，且与直线2y﹣1＝0相切，若存在定点P，使得当A运动时，|MA|﹣|MP|为定值，则点P的坐标为（）A．B．C．D．【分析】设M的坐标为（x，y），然后根据条件得到圆心M的轨迹方程为x2＝﹣y，把|MA|﹣|MP|转化后再由抛物线的定义求解点P的坐标．解：∵线段AB为⊙M的一条弦O是弦AB的中点，∴圆心M在线段AB的中垂线上，设点M的坐标为（x，y），则|OM|2+|OA|2＝|MA|2，∴|y﹣|2＝|OM|7+|OA|2＝x2+y2+，∴M的轨迹是以F（7，﹣）为焦点，y＝为准线的抛物线，＝|y﹣|﹣|MP|+＝|MF|﹣|MP|+，∴存在定点P（0，﹣）使得当A运动时，|MA|﹣|MP|为定值．故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设向量，不平行，向量与平行，则实数λ＝．【分析】利用向量平行即共线的条件，列出关系式，利用向量相等解答．解：因为向量，不平行，向量与平行，所以＝μ（），所以，解得λ＝μ＝；故答案为：．14．若圆（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1上存在两点A、B，使得∠APB＝60°，P为圆外一动点，则P点到原点距离的最小值为5﹣2．【分析】根据题意，点P在以（3，4）为圆心，半径为（，2）的圆环内运动，求出P到原点的最小距离即可．解：对于点P，若圆上存在两点A，B使得∠APB＝60°，只需由点P引圆的两条切线所夹的角不小于60°即可，故动点P在以（3，4）为圆心，半径为（，2）的圆环内运动，故答案为：5﹣3．15．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，顶点P在底面的投影O恰为正方形ABCD的中心且，设点M，N分别为线段PD，PO上的动点，已知当AN+MN取得最小值时，动点M恰为PD的中点，则该四棱锥的外接球的表面积为．．【分析】将折线转化为直线外一点与直线上一点的连线段，求出侧棱的长度解：如图，在PC上取点M'，使得|PM'|＝|PM|∵顶点P在底面的投影O恰为正方形ABCD的中心，∴PA＝PB＝PC＝PD，∴AN+MN＝AN+NM'∵M为PD的中点，∴PA＝AC＝4又∵顶点P在底面的投影O恰为正方形ABCD的中心，设外接球的半径为r，则．解得．故答案为：．16．设数列{a n}的前n项和为S n，若存在实数A，使得对于任意的n∈N*，都有|S n|＜A，则称数列{a n}为“T数列”．则以下{a n}为“T数列”的是②③．①若{a n}是等差数列，且a1＞0，公差d＜0；②若{a n}是等比数列，且公比q满足|q|＜1；③若；④若a1＝1，．【分析】写出等差数列的前n项和结合“T数列”的定义判断①；写出等比数列的前n 项和结合“T数列”的定义判断②；利用裂项相消法求和判断③；由数列递推式分n为奇数与偶数判断数列的特性，再求前n项和判断④．解：①若{a n}是等差数列，且a1＞0，公差d＜0，则，当n→+∞时，|S n|→+∞，②若{a n}是等比数列，且公比q满足|q|＜1，∴数列{a n}是“T数列”；③若＝，∴|S n|＝|+…+|＝||＜，④若a1＝2，，当n为偶数时，有a n+2+a n＝3，即数列{a n}中任意两个连续偶数项的和为0．∴数列{a n}不是“T数列”．故答案为：②③．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且9c﹣a＝9b cos A．（1）求cos B；（2）若角B的平分线与AC交于点D，且BD＝1，求的值．【分析】（1）方法一：由已知利用余弦定理可求cos B的值；方法二：由已知及正弦定理，两角和的正弦函数公式，诱导公式，三角形内角和定理化简可求cos B的值．（2）由已知利用二倍角公式可求，，设△ABC，△ABD，△CBD的面积分别为S，S1，S2，利用三角形的面积公式，根据S1+S2＝S，化简可求．解：（1）方法一：由9c﹣a＝9b cos A，及余弦定理得：，整理得：，方法二：由9c﹣a＝9b cos A，及正弦定理得：9sin C﹣sin A＝9sin B cos A，所以：．所以：，设△ABC，△ABD，△CBD的面积分别为S，S1，S7，由S1+S2＝S，得：，所以：．18．某公司为了提高职工的健身意识，鼓励大家加入健步运动，要求200名职工每天晚上9：30上传手机计步截图，对于步数超过10000的予以奖励，图1为甲乙两名职工在某一星期内的运动步数统计图，图2为根据这星期内某一天全体职工的运动步数做出的频率分布直方图．（1）在这一周内任选两天检查，求甲乙两人两天全部获奖的概率（2）请根据频率分布直方图，求出该天运动步数不少于15000的人数，并估计全体职工在该天的平均步数；（3）如果当大甲的排名为第130名，乙的排名为第40名，试判断做出的是星期几的频率分布直方图．【分析】（1）根据统计图统计出甲乙两人合格的天数，再计算全部获奖概率；（2）根据频率分布直方图求出人数及平均步数；（3）根据频率分布直方图计算出甲乙的步数从而判断出星期几．解：（1）由统计图可知甲乙两人步数超过10000的有星期一、星期二、星期五、星期天设事件A为甲乙两人两天全部获奖，则P（A）＝∴（0.05+0.03）×5×200＝80（人），2.5×0.1+8.5×0.2+12.5×0.3+17.5×3.25+22.5×0.15＝13.25（千步）由频率分布直方图可得0.2﹣0.15＝（20﹣y）×3.05，∴y＝19．（1﹣0.65）﹣0.3＝（x﹣10）×3.06，∴x＝．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面ACC1A1⊥平面ABC，AA1＝AC，∠ACB＝90°．（1）求证：平面AB1C1⊥平面A1B1C；（2）若∠A1AC＝60°，AC＝2CB＝2，求四棱锥A﹣BCC1B1的体积．【分析】（1）推导出BC⊥平面ACC1A1，BC⊥A1C，A1C⊥B1C1．从而ACC1A1是菱形，A1C⊥AC1．进而A1C⊥平面AB1C1．由此能证明平面AB1C1⊥平面A1B1C．（2）由，能求出四棱锥A﹣BCC1B1的体积．【解答】证明：（1）因为平面ACC1A1⊥平面ABC，平面ACC1A1∩平面ABC＝AC，BC⊂平面ABC，∠ACB＝90°，因为A1C⊂平面ACC8A1，所以BC⊥A1C．因为ACC1A1是平行四边形，且AA5＝AC，所以ACC1A1是菱形，A1C⊥AC1．又A5C⊂平面A1B1C，所以平面AB1C1⊥平面A1B6C．所以，所以，即四棱锥A﹣BCC3B1的体积为．20．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣2，0），离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，T为直线x＝﹣3上一点，过F作TF的垂线交椭圆于P、Q，当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积．【分析】（Ⅰ）由题意可得，解出即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得F（﹣2，0），设T（﹣3，m），可得直线TF的斜率k TF＝﹣m，由于TF⊥PQ，可得直线PQ的方程为x＝my﹣2．设P（x1，y1），Q（x2，y2）．直线方程与椭圆方程可得根与系数的关系．由于四边形OPTQ是平行四边形，可得，即可解得m．此时四边形OPTQ的面积S＝．解：（Ⅰ）由题意可得，解得c＝2，a＝，b＝．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得F（﹣3，0），∵TF⊥PQ，可得直线PQ的方程为x＝my﹣2．联立，化为（m2+3）y2﹣4my﹣7＝0，∴x1+x2＝m（y1+y2）﹣4＝．∴，∴（x1，y1）＝（﹣3﹣x8，m﹣y2），此时四边形OPTQ的面积S＝═＝．21．已知函数．（1）f（x）的导函数记作f'（x），且f'（x）在（﹣1，+∞）上有两不等根，求a的取值范围；（2）若f（x）存在两个极值点，记作x1，x2，求证：f（x1）+f（x2）＞4．【分析】（1）求出函数的导数，结合函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可；（2）求出f（x1）+f（x2）的解析式，问题转化为证明ln（a﹣1）2+﹣2＞0，令a ﹣1＝t，由a∈（1，2）可得t∈（0，1），当t∈（0，1）时，g（t）＝2lnt+﹣2，根据函数的单调性证明即可．解：（1），x＞﹣1，，令h（x）＝x2+a（a﹣2）．由题意，，解得：7＜a＜2，（2）证明：由（1）知，a的取值范围是（1，2），即x2+a（a﹣2）＝6，得，＝＝，令a﹣1＝t，由a∈（1，2）可得t∈（0，2），所以g（t）在（0，1）上是减函数，综上，f（x1）+f（x2）＞4．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（r＞0，φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，若直线l与曲线C相切；（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）在曲线C上取两点M，N与原点O构成△MON，且满足，求面积△MON的最大值．【分析】（Ⅰ）求出直线l的直角坐标方程为y＝+2，曲线C是圆心为（，1），半径为r的圆，直线l与曲线C相切，求出r＝2，曲线C的普通方程为（x﹣）2+（y ﹣1）2＝4，由此能求出曲线C的极坐标方程．（Ⅱ）设M（ρ1，θ），N（ρ2，），（ρ1＞0，ρ2＞0），由＝2sin（2）+，由此能求出△MON面积的最大值．解：（Ⅰ）∵直线l的极坐标方程为，∴由题意可知直线l的直角坐标方程为y＝+2，可得r＝＝2，∴曲线C的普通方程为（x﹣）2+（y﹣1）7＝4，即．＝sin2θ+＝2sin（8）+，所以△MON面积的最大值为2+．一、选择题23．已知函数f（x）＝x2+ax+b（a，b∈R）．（1）a＝2，b＝0，解不等式f（x）＞|4﹣x|；（2）m，n是f（x）的两个零点，若|a|+|b|＜1，求证：|m|＜1，|n|＜1．【分析】（1）利用绝对值不等式的解法，可得不等式的解集；（2）由函数的零点与方程实数根的关系，以及根与系数的关系得出m+n＝﹣a，mn＝b；再利用绝对值与不等式证明出结论即可．解：（1）a＝2，b＝0，则f（x）＝x2+2x＞|4﹣x|，﹣x6﹣2x＜4﹣x＜x2+2x，解得不等式的解集为{x|x＜﹣4或x＞1}．∴|m+n|＝|a|，|mn|＝|b|．∴|m+n|+|mn|＜1．∴|m|﹣|n|+|mn|﹣1＜4，（|m|﹣1）（|n|+1）＜0．同理可证，|n|＜1．。

合肥市2020届高三调研性检测 数学试题(文科)参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.0 14.－2 15.1326 16.[]35-，三、解答题：17.(本小题满分10分)解：(Ⅰ)()1cos 22cos 222f x x x x =+-1sin 2cos 2sin 2226x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭. ∴ 函数()f x 的最小正周期T π=. …………………………5分 (Ⅱ)由222262k x k πππππ-≤+≤+(k Z ∈)，解得36k x k ππππ-≤≤+，∴函数()f x 的单调递增区间为36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(k Z ∈).∵[]0x π∈，∴ 所求单调递增区间是0 6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，和23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，. …………………………10分18.(本小题满分12分)解：(Ⅰ)茎叶图如右图所示，这10件作品成绩的平均数为657477909682728584958210x +++++++++==.………………5分(Ⅱ)得分在平均分以上的作品共有5件，分别记作a b c d e ，，，，，其中e 代表得分为96的作品.从中任意抽取2件，所有结果有},{b a ，},{c a ，},{d a ，},{e a ，},{c b ，},{d b ，},{e b ，},{d c ，},{e c ，},{e d 共10种情况，且每种结果出现的可能性相等，其中作品e 被取到的情况有4种，所以所求概率42105P ==. ……………………12分19.(本小题满分12分)解：(Ⅰ)证明：∵ 11122n n n a a +=+，∴ 11222n n n n a a ++-=.又∵ 112a =， ∴ 112=1a ⋅，∴ {}2n n a 是首项为1，公差为2的等差数列. ……………………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)知221nn a n =-，∴ ()1212nn a n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.∴()121111321222nn S n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()231111113212222n n S n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C D A C A C B A D D B A两式相减得：()231111111*********n n n S n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+++--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，∴()012111123121322222n nnn n S n -⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++--=-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦. …………………………12分20.(本小题满分12分)解:(Ⅰ)连接1AC 交1A C 于N ，连结MN . ∵1//BC 平面1A MC ，1BC ⊂平面1ABC ， 平面1ABC 平面1A MC MN =， ∴1//BC MN .由三棱柱111ABC A B C -知，四边形11ACC A 为平行四边形.∴N 为1AC 的中点.∴M 为AB 的中点，即AM BM =. …………………………5分 (Ⅱ)连接1,A B∵ABC ∆是等边三角形，1AB AA =，1160A AB A AC ∠=∠= ∴ABC ∆、1AA B ∆、1AA C ∆是全等的等边三角形由(Ⅰ)知：M 为AB 的中点，∴1A M AB CM AB ⊥⊥，. ∵1A M CM M = ，∴AB ⊥平面1A MC .设2AB a =，则112A M CM A C a ===，，∴1A MC ∆的面积为2122a ⋅==2a =，即2=AM ，∴1113A MC A A MC V S AM ∆⋅⋅=棱锥－＝，从而11116ABC A B C A A MC V V ⋅棱柱－棱锥－＝＝分21.(本小题满分12分)解：(Ⅰ)由P (0x ，4)是抛物线上一点得，1620=px ①.由四边形AFPN 的周长为16得：042162p p x ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，即60=+p x ②.由①②可解得：4=p 或2=p .∵2p >，∴4p =. …………………………5分(Ⅱ)设()()1122A x y B x y ，，，，直线AB 的方程为2x my =-，代入抛物线方程为()282y my =-得，28160y my -+=.由264640m ∆=->得，21m >，且1212816y y my y +=⎧⎨=⎩.∴()()()()()()()12211212121212121244240222222y my y my my y y y y yk k x x x x x x -+--++=+===------.…………………………12分22.(本小题满分10分)解：(Ⅰ) ()f x 的定义域是R ，且()x f x e m '=-. ①当0m ≤时，()0f x '>恒成立，()f x 在R 上单调递增；②当0m >时，令()0f x '>，则ln x m >，即函数()f x 的递增区间是()ln m +∞，. 同理，由()0f x '<得函数()f x 的递减区间是() ln m -∞，. …………………………5分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)知，当0m ≤时，函数)(x f 单调递增，与条件不符.当0m >时，函数)(x f 在()ln ,m +∞上单调递增，在)ln ,(m -∞上单调递减，A BC MA 1B 1C 1N∴)ln 1()(ln )(min m m m f x f -==. 由条件得，(1ln )0m m -<，解得m e >.又∵(0)10f =>，∴)(x f 在)ln ,0(m 上存在唯一零点，)ln 2(ln 2)ln 2(2m m m m m m m f -=-=.令m m m g ln 2)(-=，则()21g m m'=-， ∴当m e >时，)(m g 单调递增，()()0g m g e >>.∴2(2ln )2ln (2ln )0f m m m m m m m =-=->，即)(x f 在),(ln +∞m 上存在唯一零点. 综上得， m ＞e . …………………………12分。