2020届安徽省合肥六中高三下学期高考冲刺最后一卷数学(文)试题(解析版)

安徽省合肥六中2020届高考数学最后一卷2 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 已知A ={x|x(1−x)>0}，B ={x|log 2x <0}，则A ∪B 等于( )A. (0,1)B. (0,2)C. (−∞,0)D. (−∞,0)∪(0,+∞) 2. 已知复数z =1−2i ，那么1z 的共轭复数为( )A. 15+25iB. −15−25iC. −15+25iD. 15−25i 3. 设a =(34)0.5，b =(43)0.4，c =log 34(log 34)，则( ) A. a <b <cB. a <c <bC. c <a <bD. c <b <a 4. 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 2017=S 2017=2017，则首项a 1=( )．A. −2014B. − 2015C. − 2016D. −2017 5. 如图，在四棱锥P −ABCD 中PA ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，E 为CD 中点，F 为PA 中点，且PA =AB =2.则三棱锥P −BEF 的体积为( )A. 13B. 23C. 43D. 26. 函数y =2sin(12x −π6)的周期是( )A. πB. 2πC. 4πD. 3π7. 函数y =(e x +e −x )sinx 的部分图象大致为( )A. B. C. D.8. 若点P 在抛物线y =x 2上，点Q(0,3)，则|PQ|的最小值是( )A. √132 B. √112 C. 3 D. √59. 若平面α与β的公共点多于两个，则( )A. α，β可能只有三个公共点B. α，β可能有无数个公共点，但这无数个公共点不在一条直线上C. α，β一定有无数个公共点D. 以上均不正确10.若从2个滨海城市和2个内陆城市中随机选取1个去旅游，那么恰好选1个滨海城市的概率是()A. 13B. 23C. 14D. 1211.已知函数f(x)=e2x−ax2+bx−1，其中a，b∈R，e为自然对数底数，若f(1)=0，f′(x)是f(x)的导函数，函数f′(x)在(0,1)内有两个零点，则a的取值范围是()A. (e2−3,e2+1)B. (e2,+∞)C. (−∞,2e2+2)D. (2e2−6,2e2+2)12.数列{a n}中，已知a61=2000，且a n+1=a n+n，则a1等于()A. 168B. 169C. 170D. 171二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量m⃗⃗⃗ =(1,2)，n⃗=(2,3)，则m⃗⃗⃗ 在n⃗方向上的投影为______．14.二项式(x2−2x)6的展开式中的常数项是_______．15.如图，从高为200√3米的气球(A)上测量铁桥(BC)的长，如果测得桥头B的俯角是60°，桥头C的俯角是30°，则桥BC长为______ 米．16.已知双曲线C的离心率为2，左右焦点分别为F1、F2，点A在C上，若|F1A|=2|F2A|，则cos∠AF2F1=______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.在△ABC中，A=π4，cosB=√1010．(1)求cos C；(2)设BC=√5，求△ABC的面积．18.现有A，B两个盒子，A盒中装有4个白球，2个黑球，B盒中装3个白球，3个黑球．(1)从A盒中有放回地抽取3个球，球恰有1个黑球的概率；(2)从A，B两个盒子中各随机抽取2个球，记“黑球的个数为X”，求X的分布列和数学期望E(X)．19.已知四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为菱形，且PD⊥底面ABCD，∠DAB=60°，E为AB的中点．(1)证明：DC⊥平面PDE；(2)若PD=√3AD，求面DEP与面BCP所成二面角的余弦值．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点A(2,0)，且离心率为√32．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设直线y=kx+√3与椭圆C交于M，N两点，若直线x=3上存在点P，使得四边形PAMN 是平行四边形，求k的值．21.设函数f(x)=(x−2)e x+12ax2−ax．(1)讨论f(x)的单调性；(2)设a=1，当x≥0时，f(x)≥kx−2，求k的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=t2 2y=2t(t为参数)，曲线C2的参数方程为{x=1+√2cosαy=1+√2sinα(α为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C1和C2的极坐标方程；(2)直线l的极坐标方程为θ=π3，直线l与曲线C1和C2分别交于不同于原点的A，B两点，求|AB|的值．23.已知f(x)=|x+3|+|x+a|(a∈R)．(1)当a=1时，解不等式f(x)>4；(2)若f(x)的最小值为6，求a的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：∵A ={x|x(1−x)>0}={x|0<x <1}，B ={x|log 2x <0}={x|0<x <1}，∴A ∪B ={x|0<x <1}=(0,1)．故选：A ．先分别求出集合A 和B ，由此能求出A ∪B ．本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2.答案：D解析：本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了共轭复数的求法，属于基础题．直接把复数z =1−2i 代入1z ，然后由复数代数形式的除法运算化简求值，则1z 的共轭复数可求． 解：由复数z =1−2i ，得1z =11−2i =1+2i (1−2i)(1+2i)=1+2i 5=15+25i ， 则1z 的共轭复数为15−25i ．故选D ．3.答案：C解析：解：∵a =(34)0.5∈(0,1)，b =(43)0.4>1，c =log 34(log 34)<0， ∴c <a <b ．故选：C ．利用指数与对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.答案：B解析：本题考查等差数列的求和，属于基础题．根据等差数列的求和公式即可求出．解：由等差数列前n 项和公式可得：S 2017=2017(a 1+a 2017)2=2017，所以a1=−2015．故选B．5.答案：B解析：求出S△PBF=12×PF×AB=1，E到平面PBF的距离AD=2，三棱锥P−BEF的体积V P−BEF=V E−PBF，由此能求出结果．本题考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．解：∵在四棱锥P−ABCD中PA⊥底面ABCD，四边形ABCD为正方形，E为CD中点，F为PA中点，且PA=AB=2．∴S△PBF=12×PF×AB=12×1×2=1，E到平面PBF的距离AD=2，∴三棱锥P−BEF的体积：V P−BEF=V E−PBF=13×S△PBF×AD=13×1×2=23．故选：B．6.答案：C解析：本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，属于基础题．根据已知直接利用三角函数的周期公式即可求值．解：∵y=2sin(12x−π6)，∴由三角函数的周期性及其求法可得：T=2π12=4π，故选C．7.答案：C解析：解：函数f(−x)=−(e x+e−x)sinx=−f(x)，图象是奇函数，图象关于原点对称，排除B，D，当x>0且x→0，f(x)>0，排除A，故选：C．先函数的奇偶性和对称性，然后利用极限思想进行排除即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和对称性的关系以及极限思想是解决本题的关键．8.答案：B解析：解：设P(x,y)，∵Q(0,3)，∴|PQ|=√x2+(y−3)2=√y2−5y+9=√(y−52)2+114≥√112，∴|PQ|的最小值是√112．故选：B．由已知条件，设P(x,y)，利用两点间距离公式，求出|PQ|，由此利用配方法能求出|PQ|的最小值．本题考查两点间距离公式，考查配方法的运用，考查学生的计算能力，比较基础．9.答案：C解析：【分析】本题考查面面之间的位置关系，属于基础题．【解答】解：若平面α与β的公共点多于两个，则平面α与β相交或重合，故C项正确．10.答案：D解析：本题考查概率的求法，注意等可能事件概率计算公式的合理运用，是基础题．先求出基本事件总数n=4，再求出恰好选1个海滨城市包含的基本事件个数m=2，由此能求出恰好选1个海滨城市的概率．【解答】解：从2个海滨城市和2个内陆城市中随机选1个去旅游，基本事件总数n=4恰好选1个海滨城市包含的基本事件个数m=2，恰好选1个海滨城市的概率是12.故选D.11.答案：A解析：。

安徽省合肥市第六中学2024届高三最后一卷数学试题一、单选题1．设全集U =R ．集合{}2M x x =<，{}23N x x =-<<，则{}3x x ≥=（ ） A ．()U M N U ðB ．()U N M U ðC ．()U M N ⋂ðD ．()U M N ⋃ð2．已知复数z 满足2i z z -=+，则z =（ ）A ．3i 4+B ．3i 4-+C ．3i 4-D ．3i 4--3．已知向量(2,)a t =r ，(1,2)b =r ，若当1=t t 时，a b a b ⋅=⋅r r r r ，当2=t t 时，a b ⊥r r ，则（ ） A ．14t =-，21t =- B ．14t =-，21t = C ．14t =，21t =-D ．14t =，21t =4．已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，记a f =⎝⎭，b f =⎝⎭，c f =⎝⎭，则（ ） A ．b a c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．c a b >>5．记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b =，cos cos cos B A C b a c+=+，2AM MC =u u u ur u u u u r ，则BM u u u u r可能是（ ）A ．12B ．23C ．1D ．26．已知椭圆1C ：2221(1)x y m m +=>与双曲线2C ：2221(0)x y n n +=>的焦点重合，1e ，2e 分别为1C ，2C 的离心率，则（ ） A ．122e e >B ．122>+e eC ．1202e e <<D ．1202e e <+<7．已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，12da ≥，数列{}nb 满足2n n S b n=，则下列等式不可能．．．成立的是（ ） A ．2428b b b = B ．4262b b b =+C ．4262a a a =+D ．2428a a a =8．已知两个不同的圆1C ，2C 均过定点(,)A a b ，且圆1C ，2C 均与x 轴、y 轴相切，则圆1C 与圆2C 的半径之积为（ ） A ．abB ．2abC ．22a b +D ．222a b +二、多选题9．近年来，合肥汽车产业处在高速发展阶段，新能源赛道尤为突出，被工业和信息化部批准为全国唯一新能源汽车产业链供应链生态体系建设试点市．某专业机构评定新能源汽车品质优秀的一个指标为“某地区连续14天每天发生故障的车辆不超过7台”．根据该地区过去14天甲、乙、丙、丁四种品牌新能源车辆故障数据，可知一定符合该品质优秀指标的是（ ） A ．甲品牌：平均数为4，极差为4 B ．乙品牌：平均数为1，标准差大于0 C ．丙品牌：平均数为2，方差为2D ．丁品牌：中位数为2，众数为310．已知指数函数()f x ，()g x ，()h x 的底数分别为a ，b ，c ，则下列说法正确的是（ ）A ．当1ab =时，函数()()()x f x g x ϕ=+无极值点B ．在指数衰减模型()y kf x =中，设原有量为(0)k k >，经过x 次衰减，该量衰减到y ，则每次衰减率为1a -C ．若a ，b ，c 是三角形的三边长，则R x ∃∈，使得()f x ，()g x ，()h x 不能构成一个三角形的三边长D ．若a ，b ，c 是三角形的三边长，且c 所对的内角是该三角形的最大内角，则(,1)x ∀∈-∞，()()()0f x g x h x +->11．记正四棱柱1111ABCD A B C D -为Ω，截面τ将正四棱柱Ω分成两部分，点E ，F ，G ，H分别在棱1AA ，1BB ，1CC ，1DD 上，且EF τ⊂，GH τ⊂，记AE a =u u u r ，BF b =u u u r ，CG c =u u u r，DH d =u u u u r，则下列说法正确的是（ ）A ．四边形EFGH 为矩形B ．a d b c -=-C ．若截面τ是有一个角为60︒的菱形1AFC H ，则截面τ与ΩD ．若Ω的侧棱长为3，设a ，b ，c ∈N ，则在确定的空间直角坐标系中，不同的点(,,)M a b c 共42个三、填空题12．从5男2女共7名志愿者中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人，组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有种不同的选法．（用数字作答）13．已知四面体ABCD 的体积是V ，棱AB 的长是c ，ABC V 和ABD △的面积分别是1S 和2S ．设平面ABC 和平面ABD 的夹角为α，若sin cV α=，则12S S =．14．在平面直角坐标系中，已知动点A 和C ，定点(3,0)B 和(2,2)M ，若6BC =，且ABC V 的周长恒为16，则AB AM +的最小值为．四、解答题15．某商场零食区改造．如图，原零食区是区域ODBC ，改造时可利用部分为扇形区域OAD ，已知π2OCB COA ∠=∠=，OC =10BC =米，区域OBC 为三角形，区域OAB 是以OA 为半径的扇形，且π6AOD ∠=．(1)若需在区域OABC 外轮廓地面贴广告带，求广告带的总长度；(2)在区域OAD 中，设置矩形区域HGIF 作为促销展示区，求促销展示区的面积S 的最大值． 16．春夏之交因昼夜温差大，细菌、病毒等活跃，是流感高发季节．某校高二年级某组团统计了流感暴发前的半个月与流感暴发后的半个月的学生请假情况，得到如下数据：(1)完成22⨯列联表，并依据0.001α=的独立性检验，判断能否认为流感暴发对请假的同学中发烧的人数有影响．(2)后经过了解，在全校因发烧请假的同学中男生占比为40%，且20%的因发烧请假的男生需要输液治疗，30%的因发烧请假的女生需要输液治疗．学校随机选择一名因发烧请假在医院输液的同学进行慰问，求这名同学是女生的概率．附：22()n ad bc χ-=．17．图1为一种卫星信号接收器，该接收器的曲面与其轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该接收器的口径AB =2MO =，信号处理中心F 位于抛物线的焦点处，以顶点O 为坐标原点，以直线OF 为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系xOy ．(1)求该抛物线的方程；(2)设Q 是该抛物线的准线与x 轴的交点，直线l 过点Q ，且与抛物线交于R ，S 两点，若线段RS 上有一点P ，满足RP RQ PSQS=，求点P 的轨迹方程．18．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AD =，12AA AB ==，M 为棱1DD 的中点．(1)若Р是线段BM 上的动点，试探究：11A M A P ⋅u u u u r u u u r是否为定值？若是，求出该定值；否则，请说明理由．(2)过1A M 作该长方体外接球的截面，求截面面积的取值范围． 19．已知函数6()(12ln )4(R)f x a x x a =-+∈． (1)讨论()f x 的单调性；(2)若1x ，()212x x x ≠为函数221()ln g x kx x x=+-的两个零点，求证：()441212e x x >．。

2020届安徽省“皖江名校”高三下学期决战高考最后一卷数学（文）试题一、单选题1．i 是虚数单位，复数313ii+=-（ ） A ．1 B ．iC ．-1D ．i -【答案】B【解析】根据复数运算的除法运算法则，分子分母同乘以1+3i ，进行运算. 【详解】23(3)(13)39313(13)(1+3)10i i i i i i i i i i ++⋅++++===--⋅,故本题选B. 【点睛】本题考查了复数的除法运算，掌握运算法则是关键.本题还有一种巧解方法是3(31)1313i i i i i i+-+==--. 2．设集合{0,1,2,3,4}U =，{0,1,2,3}A =，{1,2,4}B =，则()U A B ⋂=（ ） A ．{0,3} B ．{1,3} C ．{1} D ．{0}【答案】A【解析】求出B 的补集后可得()U A B .【详解】因为集合{0,1,2,3,4}U =，{0,1,2,3}A =，{1,2,4}B =， 所以{}0,3UB =，故{}03(,)U A B ⋂=， 故选：A ． 【点睛】本题考查集合的补集与交集，此类问题依据定义计算即可，本题属于基础题． 3．已知,R αβ∈，且0αβ>>，则（ ） A ．tan tan 0αβ-> B ．ln ln 0αβ-> C ．tan tan 0αβ+>D ．ln ln 0αβ+>【解析】由于正切函数在R 上不是单调函数，所以当0αβ>>时，无法比较tan ,tan αβ的大小，而ln y x =在()0,∞+内是增函数，所以可以比较ln ,ln αβ的大小 【详解】解：∵ln y x =在()0,∞+内是增函数，0αβ>> ∴ln ln αβ>， ∴ln ln 0αβ->． 故选：B ． 【点睛】此题考查了利用函数的单调性比较大小，熟记基本函数的单调性是解此题的关键，属于基础题.4．将()y f x =的图象向右平移π3个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到πy sin x 6⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，则()f x (= ) A ．cos2x B ．1sinx 2C ．1πcos x 26⎛⎫+⎪⎝⎭D ．πsin 2x 6⎛⎫+⎪⎝⎭【答案】A【解析】由三角函数图象的平移变换及伸缩变换可得：将πy sin x 6⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象所有点的横坐标缩短到原来的12倍，再把所得图象向左平移π3个单位，即可得到()f x 的图象，得解． 【详解】解：将πy sin x 6⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象所有点的横坐标缩短到原来的12倍得到πy sin 2x 6⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再把所得图象向左平移π3个单位，得到()ππf x sin 2x cos2x 36⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故选A ．本题主要考查了三角函数图象的平移变换及伸缩变换，属于简单题．5．函数23ln ||()sin x x f x x x+=+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据函数的解析式求出函数定义域，利用定义法判断函数的奇偶性，以及根据函数的变化趋势，利用特殊值法进行排除，即可得出正确答案. 【详解】解：由题可知，23ln ||()sin x x f x x x+=+，∵3sin 0x x +≠，∴0x ≠，故排除A ；∵()()()()2233ln ||ln ||()sin sin x x x x f x f x x x x x -+-+-===----+-， ∴()f x 为奇函数，故排除D ；∵223333333333ln||3sin s1111()0i1111ne e efee e e e⎛⎫⎛⎫+-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎝=⎝⎭⎭<⎭，故排除B.故选：C.【点睛】本题考查函数图象的识别，关键是利用定义法判断函数的奇偶性和观察函数的变化趋势，利用特殊值法进行排除，属于基础题.6．据国家统计局发布的数据，2019年11月全国CPI（居民消费价格指数），同比上涨4.5%，CPI上涨的主要因素是猪肉价格的上涨，猪肉加上其他畜肉影响CPI上涨3.27个百分点.下图是2019年11月CPI一篮子商品权重，根据该图，下列结论错误的是（）A．猪肉在CPI一篮子商品中所占权重约为2.5%B．CPI—篮子商品中所占权重最大的是居住C．猪肉与其他畜肉在CPI一篮子商品中所占权重约为0.18%D．CPI一篮子商品中吃穿住所占权重超过50%【答案】C【解析】根据图中的数据可判断出每个选项的正误.【详解】猪肉在CPI一篮子商品中所占权重约为2.5%，选项A正确；CPI一篮子商品中，居住所占权重为23.0%，最大，选项B正确；猪肉与其他畜肉在CPI一篮子商品中所占权重约为4.6%，选项C错误，故选C；吃穿住所占权重为19.9 %8.0 %23.0 %50.9 %50 %++=>，选项D正确.故选：C【点睛】本题考查的是学生读图的能力，较简单.7．已知P为椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>上任意一点，F为椭圆C的右焦点，则以PF为直径的圆与以椭圆C 的长轴为直径的圆的公切线的条数为（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】D【解析】设椭圆左右顶点分别为1A ，2A ，左焦点为1F ，线段PF 的中点为M ，连接1PF ，OM ，然后得到在1FPF 中，中位线112||||||||222a PF PF OM PF a -===-即可. 【详解】如图，设椭圆左右顶点分别为1A ，2A ，左焦点为1F ，线段PF 的中点为M ，连接1PF ，OM ，则O 为以长轴为直径的圆的圆心，M 为以PF 为直径的圆的圆心， 在1FPF 中，中位线112||||||||222a PF PF OM PF a -===-， 即OM 为半径之差，两圆相内切，因而只有1条公切线. 故选：D 【点睛】本题考查的是椭圆定义的应用以及圆与圆的位置关系，考查了学生对基础知识的掌握情况，属于中档题.8．不共线向量a ，b 满足2a b =，且2b a b =⋅，则a 与b a -的夹角为（ ） A ．30° B ．60°C ．120°D ．150°【答案】D【解析】由2b a b =⋅，得出,a b 夹角，进而求出a 与b a -的夹角，利用几何意义构造三角形，解三角形． 【详解】由已知得：2b a b =⋅， ∴()0b b a ⋅-=，如图，令OA a =，OB b =，则BA a b =-，AB b a =- ∵()0b b a ⋅-=，∴BA OB ⊥，又∵2a b =，∴30OAB ∠=︒，故a 与b a -的夹角150︒． 故选：D. 【点睛】本题考查利用向量的线性运算的几何意义及向量数量积运算求夹角，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意借助图形的直观性.9．在ABC 中，:p ABC 是锐角三角形，:sin cos q A C >，则p 是q 的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据题意，分别判断充分性和必要性，由因为ABC 是锐角三角形，得2A C π+>，进而得出022A C ππ>>->，推出sin cos A C >，可证出充分性成立；取90A =︒，30B =︒时，满足sin cos A C >，但ABC 是直角三角形，可证出必要性不成立，即可得出答案. 【详解】解：充分性：因为ABC 是锐角三角形，则2A C π+>， 2A C π∴>-，则022A C ππ>>->，∴sin()sin 2C A π>-，即sin cos A C >，故充分性成立；必要性：当90A =︒，30B =︒时，sin cos A C >， 但ABC 是直角三角形，故必要性不成立，∴p 是q 的充分不必要条件. 故选：B . 【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判断，还涉及三角函数的应用，考查分析推理能力. 10．如下图所示的程序框图，输出的结果为（ ）A ．10921⨯+B ．101021⨯+C ．9921⨯+D ．91021⨯+【答案】A【解析】根据程序框图知9810292221S =⨯+⨯++⨯+，运用错位相减法可得选项. 【详解】据题意9810292221S =⨯+⨯++⨯+，10922102922212S =⨯+⨯++⨯+⨯，两式错位相减，109810102(222)1921S =⨯-+++-=⨯+，故选：A. 【点睛】本题考查程序框图，注意理解程序框图的执行条件和意义，属于基础题.11．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos 2cos b C c B =，4c =，且ABC 的面积为B =（ ） A ．π6B ．π4C ．π6或π3D ．π4或π2【答案】C【解析】由正弦定理和三角形的面积公式可得，sin 22B =，进而可得结果. 【详解】sin sin()sin sin cos cos sin =+⇒=+A B C A B C B C由正弦定理可得：cos cos a b C c B =+，∴3cos 12cos a c B B ==，1sin 24sin cos 12sin 22ABCSac B B B B ==⋅==∴sin 2B =， ∵202()，π∈B ，∴23π=B 或223π=B ， ∴6B π=或3B π=.故选：C 【点睛】本题考查了正弦定理和三角形的面积公式，考查了计算能力和逻辑推理能力，属于一般题目.12．三棱椎S -ABC 的底面ABC 是等腰直角三角形，90ABC ∠=︒，且SA SC AC ===，SB =S -ABC 外接球表面积为（ ）A ．2πB ．3πC ．4πD ．6π【答案】B【解析】依题意将三棱锥放到棱长为1的正方体中，则正方体的体对角线即外接球的直径，再根据球的表面积公式计算可得； 【详解】解：由题意知，可以把三棱锥S -ABC 按如图所示的位置放到棱长为1的正方体中，则正方体的体对角线长为l =∴三棱椎S-ABC外接球表面积为234π()3π2=.故选：B【点睛】本题考查多面体的外接球，属于中档题.二、填空题13．已知命题:0,,sin02p x x xπ⎛⎫∀∈-≥⎪⎝⎭，则p⌝为________.【答案】0000,,sin02x x xπ⎛⎫∃∈-<⎪⎝⎭【解析】根据全称命题的否定是特称命题，直接可得结果.【详解】由题可知：命题:0,,sin02p x x xπ⎛⎫∀∈-≥⎪⎝⎭根据全称命题的否定是特称命题所以p⌝：0000,,sin02x x xπ⎛⎫∃∈-<⎪⎝⎭故答案为：0000,,sin02x x xπ⎛⎫∃∈-<⎪⎝⎭【点睛】本题考查全称命题的否定，属基础题.14．已知实数x，y满足33030x yx yx+-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则目标函数3z x y=+取得最小值时，x的取值范围是________．【答案】[]0,3【解析】由约束条件画出可行域，可知目标直线133zy x=-+在y轴的纵截距最小时，z取得最小值，当目标直线133zy x=-+与直线330x y+-=重合时，z取得最小值时，即可得出x的取值范围.【详解】解：由于实数x，y满足33030x yx yx+-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，画出可行域如图所示，其中目标函数3z x y=+，即133zy x=-+，当目标直线133zy x=-+在y轴的纵截距最小时，z取得最小值，由图可知，目标直线133zy x=-+与直线330x y+-=平行，所以当目标直线133zy x=-+与直线330x y+-=重合时，z取得最小值时，则x的取值范围是[]0,3.故答案为：[]0,3.【点睛】本题考查简单线性规划中目标函数的最值问题，关键是画出可行域，利用目标函数的几何意义进行求值，考查数形结合思想.15．已知F是双曲线22:154x yC-=的一个焦点，点P在双曲线C的渐近线上，O为坐标原点，若||||OP OF=，则OPF△的面积为____________.【答案】3【解析】计算双曲线的渐近线，设出点P 的坐标，根据||||OP OF =和点P 在双曲线C 的渐近线上列方程组，计算PFO △的面积即可. 【详解】解：222225,4,9,3a b c a b c ===+==，不妨设F 为右焦点，设()00,P x y 在第一象限且在直线5y x =上，所以005y x =①，依题意，||||3OP OF ==3=②解①②得02y =， 从而OPF △的面积为01132322OF y ⨯⨯=⨯⨯= 故答案为：3. 【点睛】本题考查了双曲线的渐近线，三角形面积，意在考查学生的计算能力，基础题. 16．近日，教育部对外公布普通高中课程方案和语文等学科课程标准（2017年版2020年修订），方案显示，普通高中应增设劳动课程，共6个学分，为必修，其中包括志愿服务，某教育主管部门特为此举办了一次有关劳动教育方面的知识测验后，甲，乙，丙三人对成绩进行预测. 甲：我的成绩比乙高；乙：丙的成绩比我和甲的都高； 丙：我的成绩比乙高，成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为__________. 【答案】甲、乙、丙【解析】三人按成绩由高到低的次序共有六种，根据已知排除五种情况，从而可得结果 【详解】若结果为甲、丙、乙，则甲、乙的判断正确，不符合题意；若结果为丙、甲、乙，则甲、乙、丙三人的判断都正确，不符合题意； 若结果为丙、乙、甲，则乙、丙的判断正确，不符合题意；若结果为乙、甲、丙或乙、丙、甲，则甲、乙、丙三人的判断都错误，都不符合题意. 所以三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙， 故答案为：甲、乙、丙.【点睛】本题主要考查推理案例，属于中档题.推理案例的题型是高考命题的热点，由于条件较多，做题时往往感到不知从哪里找到突破点，解答这类问题，一定要仔细阅读题文，逐条分析所给条件，并将其引伸，找到各条件的融汇之处和矛盾之处，多次应用假设、排除、验证，清理出有用“线索”，找准突破点，从而使问题得以解决.三、解答题17．已知数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 满足2n an b =，若132b =，216b =.（1）求数列{}n a 和数列{}n b 的通项公式；（2）设数列{}(0)n tb t >前n 项积为n S ，若当且仅当6n =时，n S 取得最大值，求实数t 的取值范围.【答案】（1）6n a n =-，62nn b -=；（2）{}12t t |<<.【解析】（1）通过2n a n b =，132b =，216b =，求出15a =，24a =，进而可得通项公式.（2）由6n =时，n S 取得最大值，可得65667711S S tb S S tb >>⎧⎧⇒⎨⎨><⎩⎩，进而可得结果.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d .∵2n an b =，132b =，216b =，∴1232a =，2216a =，得15a =，24a =，1d =-∴6n a n =-，62nn b -=.（2）∵62nn b -=，∴62nn tb t -=⋅.∴数列{}n tb 是等比数列.∵当且仅当6n =时，n S 取得最大值∴65667711S S tb S S tb >>⎧⎧⇒⎨⎨><⎩⎩，∴1112t t >⎧⎪⎨<⎪⎩，∴12t <<∴实数t 的取值范围{}12t t |<<. 【点睛】本题考查了等差等比数列的通项公式，考查了理解辨析能力和计算能力，属于基础题目. 18．如图所示，在矩形ABCD 中，22CD CB CE ==，将DAE △沿AE 折起至PAE △的位置，使得PA PB ⊥.（1）求证：PA BE ⊥；（2）若2CB =，求点C 到平面PAE 的距离. 【答案】（1）证明见解析；（2）2.【解析】（1）可证明PA ⊥平面PBE ，从而得到PA BE ⊥.（2）利用等积法可求点C 到平面P AE 的距离，或者取AB 中点为F ，过F 作//FG BE 交AE 于G ，连接FC ，可证FG ⊥平面PAE 及//CF 平面PAE ，从而可求C 到平面P AE 的距离. 【详解】（1）证明：在矩形ABCD 中，AD DC ⊥，PA PE ⊥， 又PA PB ⊥，PEPB P =，∴,PB PE ⊂平面PBE∴PA ⊥平面PBE ，∴PA BE ⊥（2）法一：设点C 到平面P AE 的距离为d . ∵224CD CB CE ===∴222222224AE BE AD DE CE BC CB AB +=+++== ∴AE BE ⊥，AEPA A =，,AE PA ⊂平面P AE ，∴BE ⊥平面PAE ，而BE ⊂平面PAE ，∴平面PAE ⊥平面ABCE . 过P 作PH 垂直AE 于点H ，因为平面PAE 平面ABCE AE =，PH ⊂平面PAE ，故PH ⊥平面ABCE.∵PA PE =，∴H 为AE 的中点∵2CB =，∴22AE BE ==，2PE AD CE ===， 而2PA =，所以2AH =，又12222ACES=⨯⨯=，∴122223P ACE V -=⨯⨯=. 又12222PAES=⨯⨯=，故122233C PAE P ACE V V d --=⨯⨯==， ∴2d =.法二：设点C 到平面P AE 的距离为d .∵224AB CD CB CE ====∴222222224AE BE AD DE CE BC CB AB +=+++== ∴AE BE ⊥，AEPA A =，,AE PA ⊂平面P AE ，∴BE ⊥平面PAE .取AB 中点为F ，过F 作//FG BE 交AE 于G ，连接FC ， ∴FG ⊥平面PAE .在四边形AFCE 中，//,EC AF EC AF =，故四边形AFCE 为平行四边形， 故//AE CF ，而AE ⊂平面PAE ，CF ⊄平面PAE ，故//CF 平面PAE ，故C 到平面PAE 等于F 到平面PAE 的距离. 故122d FG BE ===【点睛】线线垂直的判定可由线面垂直得到，也可以由两条线所成的角为2π得到，而线面垂直又可以由面面垂直得到，解题中注意三种垂直关系的转化. 点到平面的距离的计算可以利用面面垂直或线面垂直得到点到平面的距离，可以根据等积法把点到平面的距离归结为一个容易求得的几何体的体积.19．樱桃以富含维生素C 而闻名于世，是世界公认的“天然VC 之王”和“生命之果”.樱桃原产于热带美洲西印度群岛加勒比海地区，花期3-4月，果期5-6月.我国栽培樱桃始于19世纪70年代，现在南北各地均有栽培，共有近200个品种.某种植基地栽培了红灯、红密、黄蜜和龙冠四个品种的樱桃，去年该基地销售各品种樱桃的价格及日销售量的统计如下表：该基地通过网络平台和实体店进行“线上”和“线下”销售，基地对去年同一时间的20天，每天通过“线上”和“线下”销售的樱桃数量统计如下表：（1）估计该基地销售每千克樱桃的价格的平均值(精确到元)；（2）①分别计算未来某天内“线上”和“线下”樱桃销售量不小于150千克的概率； ②利用分层抽样的方法，从“线上”和“线下”单日销售量不少于150千克的日期内选出5天进行专项调研，再从这5天内随机选出3天，由当日的销售人员进行销售经验交流，计算至多有一天是“线下”的概率. 【答案】（1）18(元)；（2）①35；25；②710.【解析】（1）用总售价除以总销量，即可得出结果.（2）①由数据求出“线上”和“线下”单日销售量不少于150千克的天数，即可求出概率 .②利用分层抽样求出“线上”和“线下”的天数，在利用古典概型，求出概率即可. 【详解】（1）该基地销售每千克樱桃的价格的平均值为15501810018802070185********⨯+⨯+⨯+⨯≈+++(元)（2）“线上”单日销售量不少于150千克的天数为12天， “线下”单日销售量不少于150千克的天数为8天.①未来某天内“线上”樱桃销售量不小于150千克的概率为123205=， 未来某天内"线下"樱桃销售量不小于150千克的概率为82205=. ②因为51204，所以“线上”单日销售量不少于150千克的日期内选取11234⨯=天，别记为1a ，2a ，3a ，“线下”单日销售量不少于150千克的日期内选取1824⨯=天， 记为1b ，2b从这5天内随机选出3天，所有的情况为()()()()123121122113,,,,,,,,,,,a a a a a b a a b a b a()()()()()()123123223112212312,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a b a a b a a a b b a b b a b b ，共10种不同的情况，其中至多有一天是“线下”的情况有()()()()123121122113,,,,,,,,,,,a a a a a b a a b a b a()()()123123223,,,,,,,,a b a b a a b a a ，共7种不同的情况，所以至多有一天是“线下”的概率为710. 【点睛】本题考查了分层抽样和古典概型，考查了数据分析能力和计算能力，属于中档题目. 20．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，过F 点的直线l 交C 于A ，B （其中B 在y 轴右侧）两点，当直线l 平行于x 轴时，C 在点B 处的切线方程为y =（a -1）x -1. （1）求a 的值及抛物线C 的方程；（2）若直线m 与C 交于M ，N 两点，且6MN a =，当以MN 为直径的圆与抛物线C 的准线相切时，求直线m 的方程.【答案】（1）2a =；24x y =；（2）1y =+.【解析】（1）设(,)2pB p ，求出切线方程，即可求得结果. （2）设设:m y kx b =+，联立直线和抛物线的方程，由判别式和韦达定理可得216160k b ∆=+>，124x x k +=，124x x b ⋅=-，在利用圆的半径相等，即||62=MN 12=12++y y ，即可求出结果. 【详解】（1）由题可设(,)2p B p ，又x y p '=，故|1x pp y p ='==∴C 在点(,)2p B p 处的切线方程为2py x p -=-， 即2p y x =-对比()11y a x =--，∴11a -=，12p=， ∴2a p ==，抛物线C 的方程为24x y =；（2）由题意可知直线m 斜率存在，可设:m y kx b =+，由24x y y kx b⎧=⎨=+⎩，得2440x kx b --=， 则216160k b ∆=+>，设()()1122,,,M x y N x y ，则MN 中点1212(,)22x x y y P ++， 点P 到x 轴的距离为122y y + ∵124x x k +=，124x x b ⋅=-∴12||12MN x x =-==，圆的半径为6 ∴2291b k k=-+ ()21212112122k x x y y b k b +++=++=++229161=++=+k k解得22k =，k =此时1b =，216160k b ∆=+>成立，符合题意.故所求直线方程为1y =+. 【点睛】本题考查了导数的几何意义、直线与抛物线的位置关系，考查了计算能力和逻辑推理能力，属于中档题目.21．已知定义在[0,)+∞上的函数21()1xf x e =-，()2sin g x x x =-. （1）若()f x 的最大值为a ，()g x 的最小值为b ，比较a ，b 的大小； （2）证明：()()f x g x ≤.【答案】（1）a b >；（2）证明见解析.【解析】（1）()f x 在[0,)+∞上单调递减，()()max 00a f x f ===，对()g x 求导，讨论单调性，求出极小值也是最小值，进而得出结果.（2）对不等式进行转化可得2()()(12sin )1≤⇔+-≥x f x g x x x e ，构造函数，对函数求导，讨论单调性，进而求出最小值，进而证明结论正确. 【详解】（1）∵()f x 在[0,)+∞上单调递减，∴()()max 00a f x f ===，()12cos g x x '=- 当[0,π]x ∈时，()g x '有唯一零点3x π=(0,)3x π∈时，()0g x '<，(,)3x ππ∈时，()0g x '>，故在区间[0,]π内()g x 有极小值为()33g ππ=-当(,)x π∈+∞时，()23g x ππ>->-∴min ()3b g x π==，∴a b >.（2）∵221()()2sin 1(12sin )1x x f x g x x x x x e e≤⇔-≥-⇔+-≥ 令2()(12sin )xh x x x e =+-，2()(324sin 2cos )x h x x x x e '=+--再令()sin ,0F x x x x =-≥，则()1cos 0F x x '=-≥ ∴()sin F x x x =-在[0,)+∞上单调递增， ∴()()00F x F ≥=，即sin x x ≥，∴22sin x x ≥.又∵3223sin cos ()04x x x π--=-+>∴324sin 2cos 0x x x +-->， ∴2()(324sin 2cos )0xh x x x x e '=+-->∴()h x 在[0,)+∞上单调递增 ∴()()01h x h ≥=，故()()f x g x ≤. 【点睛】本题考查了导数的应用，考查了计算能力和逻辑推理能力，转化的数学思想和解决问题的能力，属于中档题目.22．数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，曲线22:8C x y x y +=+就是其中之一（如图）．（1）以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程； （2）求证：曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过4．【答案】（1）281cos sin ρθθ=-；（2）证明见解析.【解析】（1）利用cos x ρθ=，sin y ρθ=可得曲线C 的极坐标方程；（2）就cos 0θ≥、cos 0θ<分类讨论，再利用二倍角的正弦公式结合正弦函数的性质可得4ρ≤.也可以利用直角坐标方程结合基本不等式可得2216x y +≤，从而可证任意一点到原点的距离都不超过4. 【详解】（1）cos x ρθ=，sin y ρθ=代入方程228x y x y +=+，得28cos sin ρρθρθ=+，即：281cos sin ρθθ=-；（2）法一：极坐标方程： 当cos 0θ≥时，28161cos sin 2sin 2ρθθθ==--，因为2sin 21θ-≥，故216ρ≤即4ρ≤当cos 0θ<时，2816161cos sin 2sin 2ρθθθ==≤++，同理可证4ρ≤∴曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过4． 法二：直角坐标方程：由228x y x y +=+得，222282x y x y +++≤，解得2216x y +≤，∴曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过4． 【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，还考查了三角函数的性质、二倍角的正弦公式、基本不等式等，注意根据函数的特征选择合适的证明方法，本题属于中档题.23．已知函数()2f x a x x =---，24()(4)69g x x a =-+-． （1）当2a =时，求不等式()0f x ≥的解集；（2）设1()max{(),()}H x f x g x =，2()min{(),()}H x f x g x =，记1()H x 的最小值A ，2()H x 的最大值为B ，求A B -．（max{,}p q 表示p ，q 中的较大值，min{,}p q 表示p ，q 中的较小值．） 【答案】（1）[0,2]；（2）4-.【解析】（1）将函数()f x 中的绝对值去掉，然后再分段求解()0f x ≥即可；（2）根据题意作出两个函数的图像，根据题意可判断出图像实线部分为1()H x 的图像，虚线部分为2()H x 的图像，从而可以找到,A B 所对应的区间，从而求出,A B 的值. 【详解】解：（1）当2a =时，()2,00,0242,2x x f x x x x <⎧⎪=≤≤⎨⎪->⎩，当0x <时，由()0f x ≥得20≥x ，解得0x ≥，不符合题意，舍去 当02x ≤≤时，由()0f x ≥得00≥，所以02x ≤≤，当2x >时，由()0f x ≥得420-≥x ，解得2x ≤，不合题意，舍去， 所以不等式()0f x ≥的解集为[0,2]；（2）如图，作出函数(),()f x g x 的图像，则图像实线部分为1()H x 的图像，虚线部分为2()H x 的图像，当2x >时，令()()f x g x =，则24(2)(4)69a x x x a ---=-+-， 整理得(21)(4)0x x +-=， 因为2x >，所以4x =， 所以(4)6A f a ==-，当02x ≤≤时，令()()f x g x =，则242(4)69a x a -=-+-， 所以(1)(7)0x x --=，努力的你，未来可期!精品 因为02x ≤≤，所以1x =，所以(1)2B f a ==-，综上(4)6A f a ==-，(1)2B f a ==-，所以4A B -=-【点睛】此题考查求解绝对值不等式和解不等式，利用了数形结合的思想，考查了转化能力和计算能力，属于中档题.。

安徽省部分高中2025届高考冲刺押题（最后一卷）数学试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}2|3100M x x x =--<，{}29N x y x ==-，且M 、N 都是全集R （R 为实数集）的子集，则如图所示韦恩图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{}35x x <≤ B ．{3x x <-或}5x >C ．{}32x x -≤≤-D ．{}35x x -≤≤2．如图，用一边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为43π的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为（ ）A ．22B ．32C ．212+ D ．312+ 3．已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A ′O ′＝32，那么原△ABC 的面积是( )A 3B ．2C 3D 34．己知函数()()1,0,ln ,0,kx x f x x x ->⎧=⎨--<⎩若函数()f x 的图象上关于原点对称的点有2对，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(),0-∞B ．()0,1C ．()0,∞+D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭5．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点()1,2P ，则cos2θ=（ ） A ．35B ．45-C ．35D ．456．已知定义在R 上的偶函数()f x ，当0x ≥时，22()2xx x f x e +=-，设2(ln 2),(2),(ln )2a fb fc f ===，则（ ） A ．b a c >>B ．b a c >=C ．a c b =>D ．c a b >>7．已知三棱锥D ABC -的体积为2，ABC 是边长为2的等边三角形，且三棱锥D ABC -的外接球的球心O 恰好是CD 中点，则球O 的表面积为（ ） A ．523πB ．403πC ．253πD ．24π8．已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，12a =，且139,,a a a 成等比数列，则8S =（ ） A ．56B ．72C ．88D ．409．如下的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为176，320，则输出的a 为（ ）A ．16B ．18C ．20D ．1510．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积为（ ）A ．8B ．83C ．822+D ．842+11．函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0>ω，2πϕ<）的图象如图，则此函数表达式为（ ）A ．()3sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()13sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．()3sin 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．()13sin 24πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭12．将一张边长为12cm 的纸片按如图(1)所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥模型，如图(2)放置，如果正四棱锥的主视图是正三角形，如图(3)所示，则正四棱锥的体积是( )A ．33263cm B ．36463cm C ．33223cm D ．36423cm 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020届安徽省合肥市第一中学高三下学期最后一卷数学（文）试题一、单选题1．记全集U =R ，集合{}2|16A x x =≥，集合{}|22xB x =≥，则()UA B =（ ）A ．[)4,+∞B ．(]1,4C ．[)1,4D ．()1,4【答案】C【解析】求得集合{|4A x x =≤-或4}x ≥，{|1}B x x =≥，求得{|44}UA x x =-<<，再结合集合的交集运算，即可求解.【详解】由题意，全集U =R ，集合{}2|16{|4A x x x x =≥=≤-或4}x ≥， 集合{}|22{|1}xB x x x =≥=≥， 所以{|44}UA x x =-<<，所以()[){|14}1,4U AB x x =≤<=.故选：C . 【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中正确求解集合,A B ，再结合集合的补集和交集的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 2．若复数z 的共轭复数满足()112i z i -=-+，则z =（ ）A ．B ．32C D ．12【答案】C【解析】根据复数的乘法、除法运算求出z ，再由复数的模的求法即可求出z 【详解】由题意()112i z i -=-+， 所以()()()()1211231112i i i iz i i i -++-+-+===--+，所以22311022z z ⎛⎫⎛⎫==-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：C 【点睛】本题主要考查复数的乘法、除法运算，考查复数的模的求法以及复数与共轭复数的模相等，属于基础题.3．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为5，2，则输出的n 等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【详解】当1n =时，1542a b ==，，满足进行循环的条件； 当2n =时，45,84a b == 满足进行循环的条件； 当3n =时，135,168a b ==满足进行循环的条件； 当4n =时，405,3216a b ==不满足进行循环的条件， 故输出的n 值为4. 故选：C ． 【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．4．从区间[0，1]内随机抽取2n 个数1x ，2x ，…n x ，1y ，.. ，n y 构成n 个数对(1x ，1y )，…，(n x ，n y )，其中两数的平方和不小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到圆周率π的近似值为( ) A ．m nB ．4mnC ．n mn- D ．4()n m n- 【答案】D【解析】以面积为测度，建立方程，即可求出圆周率π的近似值． 【详解】由题意，从区间[0，1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ），对应的区域的面积为12．而两数的平方和不小于1，对应的区域的面积为1-14π•12， ∴2211141m n π-⋅==1-21π41， ∴π()4n m n-=．故选D ．【点睛】本题考查了几何概型的应用，几何概型的概率的值是通过长度、面积和体积的比值得到，本题属于基础题．5．已知x ，y 满足不等式组2402030x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≤⎩，则yz x =的最大值为（ ）A ．0B ．35C ．53D ．6【答案】D【解析】画出约束条件的可行域,利用目标函数的几何意义,求出最优解,然后求解目标函数的最大值即可. 【详解】由x ，y 满足不等式组2402030x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≤⎩，作出可行域如图，由可行域可知()5,3A ，()2,0B ，1,32C ⎛⎫⎪⎝⎭， y z x =可以看作是可行域内的点和点()0,0的最大值，显然在1,32C ⎛⎫⎪⎝⎭处都最大值6， 故选：D ．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解分式型目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题． 6．已知235log log log 0x y z ==<，则2x 、3y、5z 的大小排序为A ．235x y z<<B ．325y x z <<C ．523z x y <<D ．532z y x<<【答案】A【解析】x y z ，， 为正实数，且235log log log 0x y z ==<，111235235k k k x y z---∴===，，， 可得：1112352131,51k k k x y z，．---=>=>=> 即10k -> 因为函数1kf x x -=（） 单调递增，∴235x y z<<.故选A.7．正方体1111ABCD A B C D -棱长为1，点,M N 分别是棱1,BC CC 的中点，动点P 在正方形11BCC B （包括边界）内运动，且1//PA 面AMN ，则1PA 的长度范围为（ ）A ．51,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．325,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．323,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】取11B C 的中点E ，1BB 的中点F ，EF 中点O ，根据面面平行的判定可证得平面//AMN 平面1A EF ，由此可确定P 点轨迹为EF ，进而确定1PA 取得最大值和最小值时P 的位置，进而得到所求取值范围. 【详解】取11B C 的中点E ，1BB 的中点F ，连结1A E ，1A F ，EF ， 取EF 中点O ，连结1A O ，点,M N 分别是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中棱1,BC CC 的中点，1//AM A E ∴，//MN EF ，AMMN M =，1A E EF E ⋂=，,AM MN ⊂平面AMN ，1,A E EF ⊂平面1A EF ，∴平面//AMN 平面1A EF ，动点P 在正方形11BCC B （包括边界）内运动，且1//PA 面AMN ，∴点P 的轨迹是线段EF ，221115122A E A F ⎛⎫==+=⎪⎝⎭，22121122EF =+=， 1AO EF ∴⊥，∴当P 与O 重合时，1PA 的长度取最小值1A O ，14AO ==， 当P 与E （或F ）重合时，1PA 的长度取最大值1A E 或1A F ，112A E A F ==． 1PA ∴的长度范围为⎣⎦． 故选：B ． 【点睛】本题考查立体几何中动点轨迹问题的求解，关键是能够通过面面平行关系确定动点所形成的轨迹，进而通过轨迹确定最值点.8．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的离心率3e =，过焦点F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为M ，直线MF 交另一条渐近线于N ，则MF NF=（ ）A ．2B ．12CD【答案】B【解析】画出图象，利用已知条件、双曲线的几何性质和点到直线的距离公式，即可求解． 【详解】解:由题意双曲线的离心率为：3e =，可得3c a =22243a b a +=，所以b a =y x =，如图：30MOF ∠=︒，(),0F c 则MF b==，OM a=，所以MN =，所以，31323333aMF bNF a ba a===--．故选：B【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，着重考查了转化思想，数形结合思想，以及推理与计算能力．9．已知函数()()sinf x A x=+ωϕ，π0,0,2Aωϕ⎛⎫>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则使()2f a x++()0f x-=成立的a的最小正值为（）A．π6B．π4C．5π12D．π2【答案】C【解析】首先由图象先求函数的解析式，由关系式()2f a x++()0f x-=可知，函数关于(),0a对称，再由函数解析式求函数的对称中心.【详解】由()()20f a x f x++-=，得()()2f a x f x+=--，得函数关于(),0a对称，由图象知2A=，()02sin1fϕ==，得1sin2ϕ=，得π6ϕ=，则()π2sin6f x xω⎛⎫=+⎪⎝⎭，由五点对应法得11ππ2π126ω+=，得2ω=， 则()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 由π2π6x k +=，得ππ212k x =-， 即函数的对称中心为ππ,0212k ⎛⎫-⎪⎝⎭， 当0x >时，当1k =时，x 为最小值， 此时5π12x =，即此时5π12a =． 故选：C 【点睛】本题考查三角函数的图象和性质，解析式，重点考查分析图象的能力，属于基础题型，本题的关键是求函数的解析式.10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，22n n S a =-，若存在两项,n m a a ，使得64n m a a ⋅=，则12m n+的最小值为（ ）A ．123+B ．1C ．3+D ．75【答案】B【解析】运用数列的递推式和等比数列的定义、通项公式可得a n ＝2n ．求得m +n ＝6，1216m n +=（m +n ）（12m n +）16=（32n m m n ++），运用基本不等式，检验等号成立的条件，即可得到所求最小值． 【详解】S n ＝2a n ﹣2，可得a 1＝S 1＝2a 1﹣2，即a 1＝2， n ≥2时，S n ﹣1＝2a n ﹣1﹣2，又S n ＝2a n ﹣2， 相减可得a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝2a n ﹣2a n ﹣1，即a n ＝2a n ﹣1， {a n }是首项为2，公比为2的等比数列． 所以a n ＝2n ．a m a n ＝64，即2m •2n ＝64， 得m +n ＝6，所以1216m n +=（m +n ）（12m n +）16=（32n m m n ++）16≥（），当且仅当2n m m n=时取等号，即为m 6=，n 12=-因为m 、n 取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则1216m n +＞（，验证可得，当m ＝2，n ＝4，或m ＝3，n ＝3，，12m n+取得最小值为1．故选：B ． 【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式和等比数列的定义、通项公式，考查基本不等式的运用，注意检验等号成立的条件，考查化简运算能力，属于中档题． 11．已知函数()1e xf x -=，()1ln 22xg x =+，若()()f a g b =成立，则b a -的最小值为（ ） A ．1ln 22-B ．1ln 22+C ．1ln2+D ．1ln2-【答案】C【解析】首先根据()()y f a g b ==，先求,a b ，再表示122ln 1y b a e y --=--，通过设函数()122ln 1x h x e x -=--，0x >，利用导数求函数的最小值.【详解】 设1a y e-=，则1ln a y =+，1ln 22by =+，则122y b e -=， 则122ln 1y b a e y --=--，令()122ln 1x h x ex -=--，0x >，则()1212x h x e x-'=-，∴()h x '递增， ∴12x =时，()0h x '=， ∴()h x '有唯一零点， ∴12x =时，()h x 取最小值， 即b a -取最小值，11ln 22h ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 故选：C 【点睛】本题考查导数与函数的最值，通过构造函数求函数的最值，重点考查转化与化归的思想，计算能力，属于中档题型.12．已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，1AB =，以M 为圆心的圆过A ，B 两点，且与直线210y -=相切，若存在定点P ，使得当A 运动时，MA MP -为定值，则点P 的坐标为（ ） A ．104⎛⎫ ⎪⎝⎭， B ．102⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．14⎛⎫- ⎪⎝⎭0，D ．102，⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】设M 的坐标为（x ，y ），然后根据条件得到圆心M 的轨迹方程为x 2＝﹣y ，把|MA |﹣|MP |转化后再由抛物线的定义求解点P 的坐标． 【详解】解：∵线段AB 为⊙M 的一条弦O 是弦AB 的中点，∴圆心M 在线段AB 的中垂线上， 设点M 的坐标为（x ，y ），则|OM |2+|OA |2＝|MA |2， ∵⊙M 与直线2y ﹣1＝0相切，∴|MA |＝|y 12-|， ∴|y 12-|2＝|OM |2+|OA |2＝x 2+y 214+， 整理得x 2＝﹣y ， ∴M 的轨迹是以F （0，14-）为焦点，y 14=为准线的抛物线， ∴|MA |﹣|MP |＝|y 12-|﹣|MP | ＝|y 14-|﹣|MP |14+=|MF |﹣|MP |14+， ∴当|MA |﹣|MP |为定值时，则点P 与点F 重合，即P 的坐标为（0，14-）， ∴存在定点P （0，14-）使得当A 运动时，|MA |﹣|MP |为定值． 故选：C. 【点睛】本题主要考查了点轨迹方程的求解，抛物线的定义，属于一般题.二、填空题13．设向量a ，b 不平行，向量a b λ+与2a b +平行，则实数λ=_________． 【答案】12【解析】因为向量a b λ+与2a b +平行，所以2a b k a b λ+=+（），则{12,k k λ==，所以12λ=．【考点】向量共线．14．若圆()()22341x y -+-=上存在两点A 、B ，使得60APB ∠=︒，P 为圆外一动点，则P 点到原点距离的最小值为__________． 【答案】3【解析】首先由条件求出点P 的轨迹，再求两点间距离的最小值. 【详解】对于点P ，若圆上存在两点A ，B 使得60APB ∠=︒， 只需由点P 引圆的两条切线所夹的角不小于60︒即可， 当正好是60︒时，圆心到点P 的距离2d =，故动点P 在以()3,4为圆心，半径为1与2的圆环内运动， 由()3,4到原点的距离为5，所以P 点到原点距离的最小值为523-= 故答案为：3 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，重点考查转化与化归，临界思想，属于中档题型，本题大概重点是求出点P 的轨迹.15．如图，在正四棱锥P ABCD -中，PO ⊥面ABCD 且22AB =，设点M ，N 分别为线段PD ，PO 上的动点，已知当AN MN +取得最小值时，动点M 恰为PD 的中点，则该四棱锥的外接球的表面积为__________．【答案】64π3【解析】如图，在PC 上取点M '，使得PM PM '=，求出4PA AC ==，PO =，解方程()224r r =+得该四棱锥的外接球的半径，即得该四棱锥的外接球的表面积. 【详解】如图，在PC 上取点M '，使得PM PM '=， ∵顶点P 在底面的投影O 恰为正方形ABCD 的中心， ∴POC POD POA POB ≌≌≌， ∴PA PB PC PD ===， ∴MN MN '=，∴||||||||AN MN AN NM '+=+， ∴当AM PC '⊥时AM '最小， ∵M 为PD 的中点， ∴M '为PC 的中点， ∴4PA AC ==，∴PO =，又∵顶点P 在底面的投影O 恰为正方形ABCD 的中心， ∴外接球的球心在PO 上，设外接球的半径为r ，则()224r r =+．解得r =． 故外接球的表面积为264π4π3r =． 故答案为：64π3．【点睛】本题主要考查几何体的外接球问题，考查几何体的表面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.16．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若存在实数A ，使得对于任意的*n ∈N ，都有n S A <，则称数列{}n a 为“T 数列”．则以下{}n a 为“T 数列”的是__________．①若{}n a 是等差数列，且10a >，公差0d <； ②若{}n a 是等比数列，且公比q 满足1q <； ③若()212n nn a n n +=+；④若11a =，()210nn n a a ++-=． 【答案】②③【解析】根据“T 数列”的定义，分别判断四个数列是否满足存在实数A ，使得对任意的*n ∈N ，都有n S A <，从而可选出答案. 【详解】①若{}n a 是等差数列，且10a >，公差0d <， 则2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， 当n →+∞时，n S →+∞， 所以数列{}n a 不是“T 数列”；②若{}n a 是等比数列，且公比q 满足1q <，所以()11111112111111n n n n a q a a q a a q a S qq q q q q-==-≤+<------， 所以数列{}n a 是“T 数列”； ③若()()121112212n n n n n a n n n n ++==-+⋅+⋅，所以()1223111111112222232212n n n S n n +=-+-++-⨯⨯⨯⨯⋅+⋅ ()11112122n n +=-<+⋅， 则数列{}n a 是“T 数列”；④在数列{}n a 中，11a =，()210nn n a a ++-=，当n 是奇数时，20n na a +-=，数列{}n a 中奇数项构成常数列，且各项均为1； 当n 是偶数时，20nna a ，即任意两个连续偶项和为0，显然当n →+∞时，n S →+∞， 所以数列{}n a 不是“T 数列”； 故答案为：②③． 【点睛】本题考查数列新定义，考查等差数列、等比数列的前n 项和公式的应用，考查裂项相消求和法的运用，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.三、解答题17．已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且99cos c a b A -=. （1）求cos B ；（2）若角B 的平分线与AC 交于点D ，且1BD =，求11a c+的值. 【答案】(1)19；. 【解析】【详解】试题分析：()1方法一：根据余弦定理可得222992b c a c a b bc+--=⋅，化简求出结果即可；方法二：利用正弦定理得99sinC sinA sinBcosA -=，化简即可求得结果()2先求出23sin ABD ∠=，利用面积法，12S S S +=，结合面积公式求出结果 解析：（1）方法一：由99cos c a b A -=及余弦定理得222992b c a c a b bc +--=⋅，整理得22229a c b ac +-=，所以2221cos 29a cb B ac +-==.方法二：由99cos c a b A -=及正弦定理得9sin 9sin cos sinC A B A -=， 又()sinC sin A B sinAcosB cosAsinB =+=+， 所以1909sinAcosB sinA cosB -=⇒=. （2）由（1）可知21cos cos212sin 9ABC ABD ABD ∠=∠=-∠=，且sin 0ABD ∠>，所以2sin 3ABD ∠=， 同理可得2sin 3CBD ∠=，设,,ABC ABD CBD 的面积分别为12,,S S S ，则22111125sin 1cos 12229S ac ABC ac ABC ac ac ⎛⎫=∠=-∠=-= ⎪⎝⎭， 111sin 23S c BD ABD c =⋅∠=，211sin 23S a BD CBD a =⋅∠=，由12S S S +=得112533c a ac +=，所以1125a c +=. 18．某公司为了提高职工的健身意识，鼓励大家加入健步运动，要求200名职工每天晚上9:30上传手机计步截图，对于步数超过10000的予以奖励.图1为甲乙两名职工在某一星期内的运动步数统计图，图2为根据这星期内某一天全体职工的运动步数做出的频率分布直方图.（1）在这一周内任选两天检查，求甲乙两人两天全部获奖的概率；（2）请根据频率分布直方图，求出该天运动步数不少于15000的人数，并估计全体职工在该天的平均步数；（3）如果当天甲的排名为第130名，乙的排名为第40名，试判断做出的是星期几的频率分布直方图.【答案】（1）27，（2）80人，13.25千步，（3）星期二【解析】（1）根据统计图统计出甲乙两人合格的天数，再计算全部获奖概率； （2）根据频率分布直方图求出人数及平均步数；（3）根据频率分布直方图计算出甲乙的步数从而判断出星期几． 【详解】（1）由统计图可知甲乙两人步数超过10000的有星期一、星期二、星期五、星期天设事件A 为甲乙两人两天全部获奖，则24272()7C P A C ==（2）由图可知()0.020.030.040.0651m ++++⨯=，解得0.05m = 所以该天运动步数不少于15000的人数为()0.050.03520080+⨯⨯=（人） 全体职工在该天的平均步数为：2.50.1+7.50.2+12.50.317.50.2522.50.1513.25⨯⨯⨯+⨯+⨯=（千步）（3）因为402000.2,1302000.65÷=÷= 假设甲的步数为x 千步，乙的步数为y 千步 由频率分布直方图可得：10.650.3(10)0.06x --=-⨯，解得656x =0.20.15(20)0.05y -=-⨯，解得19y =所以可得出的是星期二的频率分布直方图. 【点睛】本题考查利用频率分布直方图来求平均数和概率，要注意计算的准确性，较简单. 19．如图，三棱柱111ABC A B C -中，平面11ACC A ⊥平面ABC ，1AA AC =，90ACB ∠=︒.（1）求证：平面11AB C ⊥平面11A B C ；（2）若160A AC ∠=︒，22AC CB ==，求四棱锥11A BCC B -的体积. 【答案】（1）见解析；（223【解析】（1）根据面面垂直性质可证得BC ⊥平面11ACC A ，从而可得1BC A C ⊥，利用平行关系可得111AC B C ⊥；根据四边形11ACC A 是菱形，可得11A C AC ⊥；根据线面垂直判定定理可得1A C ⊥平面11AB C ，根据面面垂直判定定理可证得结论；（2）由图形可知11111122A BCC B A CC B B ACC V V V ---==，可利用三棱锥体积公式求得11B ACC V -，代入可求得结果. 【详解】 （1）平面11ACC A ⊥平面ABC ，平面11ACC A 平面ABC AC =，BC ⊂平面ABC ，90ACB ∠= BC ∴⊥平面11ACC A1A C ⊂平面11ACC A 1BC AC ∴⊥ 11//B C BC 111AC B C ∴⊥ 四边形11ACC A 是平行四边形，且1AA AC = ∴四边形11ACC A 是菱形11AC AC ∴⊥ 1111AC B C C = 1A C ∴⊥平面11AB C又1AC ⊂平面11A B C ∴平面11AB C ⊥平面11A B C （2）四边形11ACC A 是菱形，160A AC ∠=，2AC =1122sin 6032ACC S ∆∴=⨯⨯⨯=11//B C BC ，11B C BC =，BC ⊥平面11ACC A ，1BC =11111111333B ACC ACC V S B C -∆∴=⨯⨯==，111111223A BCCB A CC B B ACC V V V ---∴===即四棱锥11A BCC B -【点睛】本题考查面面垂直关系的证明、四棱锥体积的求解问题，涉及到面面垂直判定定理和性质定理、线面垂直判定定理和性质定理、棱锥体积公式、体积桥求解体积的问题，属于常规题型.20．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的左焦点为(2,0)F -，离心率为3．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设O 为坐标原点，T 为直线3x =-上一点，过F 作TF 的垂线交椭圆于P ，Q ．当四边形OPTQ 是平行四边形时，求四边形OPTQ 的面积．【答案】(1)22162x y +=；（2）【解析】【详解】试题分析：（1）由已知得：c a =2c =，所以a =再由222a b c =+可得b ，从而得椭圆的标准方程. 椭圆方程化为2236x y +=.设PQ 的方程为2x my =-，代入椭圆方程得：22(3)420m y my +--=.面积121222OPTQ OPQ S S OF y y ==⨯⋅-，而12y y -==所以只要求出m 的值即可得面积.因为四边形OPTQ 是平行四边形，所以OP QT =，即1122(,)(3,)x y x m y =---.再结合韦达定理即可得m 的值.试题解析：（1）由已知得：c a =2c =，所以a =又由222a b c =+，解得b =22162x y +=.（2）椭圆方程化为2236x y +=.设T 点的坐标为(3,)m -，则直线TF 的斜率03(2)TF m k m -==----.当0m ≠时，直线PQ 的斜率1PQ k m=，直线PQ 的方程是2x my =- 当0m =时，直线PQ 的方程是2x =-，也符合2x my =-的形式. 将2x my =-代入椭圆方程得：22(3)420m y my +--=. 其判别式22168(3)0m m ∆=++>. 设1122(,),(,)P x y Q x y ， 则121212122224212,,()4333m y y y y x x m y y m m m --+==+=+-=+++. 因为四边形OPTQ 是平行四边形，所以OP QT =，即1122(,)(3,)x y x m y =---.所以1221221233{43x x m my y mm -+==-++==+，解得1m =±.此时四边形OPTQ 的面积121222OPTQ OPQ S S OF y y ==⨯⋅-==【考点定位】1、直线及椭圆的方程；2、直线与圆锥曲线的位置关系；3、三角形的面积.21．已知函数()()()2ln 11af x x a x a=++>+． （1）()f x 的导函数记作f x ，且fx 在()1,-+∞上有两不等零点，求a 的取值范围；（2）若()f x 存在两个极值点，记作1x ，2x ，求证：()()124f x f x +>． 【答案】（1）1,2；（2）证明见解析． 【解析】（1）先求fx ，令0f x ，转化为二次方程根的分布问题，结合二次函数的性质即可得出结论；（2）由（1）知，12a <<，1x ，2x 是0fx的两个不同实根，由韦达定理可得1x ，2x 的关系式，把要证明的结论()()124f x f x +>等价化简变形后换元转化为证明不等式()22ln 1201a a -+->-，构造函数()22ln 2g t t t=+-，利用导数判断单调性即可证明结论成立. 【详解】解：（1）()()()()()22221211x a a af x x x a x x a +-=-=+'+++，1x >-， ()()()()22201x a a f x x x a +-==++'，令()()22h x x a a =+-．由题意，()0{10h ∆>->，解得：12a <<.所以a 的取值范围为1,2． （2）由（1）知，12a <<， 由()()()()22201x a a f x x x a +-==++'，即()220x a a +-=，得()12120{2x x x x a a +==-，()()()()12121222ln 11a af x f x x x a x a x ⎡⎤+=++++⎣⎦++ ()()()1212122121222ln 1a x x a x x x x x x a x x a ++=++++++()()2224ln 12a a a a a =-+-+()22ln 121a a ⎡⎤=-++⎣⎦-，要证明()()124f x f x +>，则只需证明()22ln 1201a a -+->-， 令1a t -=，由()1,2a ∈可得()0,1t ∈， 当()0,1t ∈时，()22ln 2g t t t =+-，()()2210t g t t-'=<， 所以g t 在0,1上是减函数，所以()()10g t g >=，适合题意. 综上，()()124f x f x +>． 【点睛】本题考查函数的零点分布和极值不等式证明，关键在于等价变形转化为常见的问题，属于难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos 1sin x r y r ϕϕ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（0r >，ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的坐标方程为sin 13πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，若直线l 与曲线C 相切. （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）在曲线C 上取两点M 、N 于原点O 构成MON ∆，且满足6MON π∠=，求面积MON ∆的最大值.【答案】（1）4sin 3πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； （2）2.【解析】（1）求出直线l 的直角坐标方程为y =+2，曲线C ，1），半径为r 的圆，直线l 与曲线C 相切，求出r ＝2，曲线C 的普通方程为（x 2+（y ﹣1）2＝4，由此能求出曲线C 的极坐标方程．（2）设M （ρ1，θ），N （ρ2，6πθ+），（ρ1＞0，ρ2＞0），由126MON S OM ON sin π==2sin （23πθ+）MON 面积的最大值．【详解】（1）由题意可知将直线l 的直角坐标方程为2y =+，曲线C 是圆心为)，半径为r 的圆，直线l 与曲线C 相切，可得：2r ==；可知曲线C 的方程为(()2214x y +-=，∴曲线C 的极坐标方程为2cos 2sin 0ρθρθ--=，即4sin 3πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （2）由（1）不妨设()1,M ρθ，2,6N πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，()120,0ρρ>>21211sin ?4sin ?sin 2sin cos 26432MON S OM ON πππρρθθθθθ∆⎛⎫⎛⎫===++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin22sin 23πθθθ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭当12πθ=时，2MON S ∆≤MON ∴∆面积的最大值为2+.【点睛】本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查三角形的面积的最大值的求法，考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．23．已如函数()()2,f x x ax b a b =++∈R ． （1）2a =，0b =，解不等式()4f x x >-；（2）m ，n 是()f x 的两个零点，若1a b +<，求证：1m <，1n <．【答案】（1）{4x x <-或1}x >；（2）证明见解析．【解析】（1）由条件可知不等式等价于224x x x +>-，根据公式去绝对值解不等式；（2）根据韦达定理表示,m n a mn b +=-=，代入1a b +<后，利用含绝对值三角不等式变形证明不等式.【详解】（1）当2a =，0b =时，224x x x +>-⇔22242x x x x x --<-<+， 222424x x x x x x⎧--<-⎨+>-⎩ 不等式的解集为{}41x x x <->或． （2）依题意得m n a mn b +=-⎧⎨=⎩， ∴m n a +=，mn b =．∵1a b +<，∴1m n mn ++<．又∵m n m n -≤+， ∴10m n mn -+-<，()()110m n -+<． ∴1m <． 同理可证，1n <．【点睛】本题考查解含绝对值不等式，含绝对值三角不等式的应用，重点考查转化与化归的思想，计算能力，属于中档题型.。

安徽省合肥市第六中学2020年高二数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有1个白球；都是白球B．至少有1个白球；至少有1个红球C．恰有1个白球；恰有2个白球D．至少有一个白球；都是红球参考答案：C【考点】互斥事件与对立事件．【分析】由题意知所有的实验结果为：“都是白球”，“1个白球，1个红球”，“都是红球”，再根据互斥事件的定义判断．【解答】解：A、“至少有1个白球”包含“1个白球，1个红球”和“都是白球”，故A 不对；B、“至少有1个红球”包含“1个白球，1个红球”和“都是红球”，故B不对；C、“恰有1个白球”发生时，“恰有2个白球”不会发生，且在一次实验中不可能必有一个发生，故C对；D、“至少有1个白球”包含“1个白球，1个红球”和“都是白球”，与都是红球，是对立事件，故D不对；故选C．2. 研究表明某地的山高y(km)与该山的年平均气温x(℃)具有相关关系，根据所采集的数据得到线性回归方程，则下列说法错误的是( )A. 年平均气温为0℃时该山高估计为60kmB. 该山高为72km处的年平均气温估计为60℃C. 该地的山高y与该山的年平均气温x的正负相关性与回归直线的斜率的估计值有关D. 该地的山高y与该山的年平均气温x成负相关关系参考答案：B【分析】由已知线性回归直线方程，可估计平均气温为时该地的山高，即可得到答案。

【详解】线性回归直线方程为，当时即年平均气温为时该山高估计为，故正确；当时解得即山高为处的年平均气温估计为，故错误；该地的山高y与该山的年平均气温x的正负相关性与回归直线的斜率的估计值有关，故正确；由，该地的山高y与该山的年平均气温x成负相关关系，故正确．故选：B【点睛】本题考查线性回归直线方程的应用，考查相关的意义，判断能力，属于基础题．3. 函数的最小正周期（）A. B. C. D.参考答案：C4. 曲线上的点到直线的最短距离是( )A． B．C．D． 0参考答案：B略5. 设f0（x）=sinx，f1（x）=f0′（x），f2（x）=f1′（x），…，f n+1（x）=f n′（x），n∈N，则f2005（x）=（）A．sinx B．﹣sinx C．cosx D．﹣cosx参考答案：C【考点】归纳推理．【分析】通过计算前几项，进行归纳分析，当计算到f4（x）时发现f4（x）=f0（x）出现了循环，所以可看成以4为一个循环周期，那么f2005（x）=f1（x）=cosx．【解答】解：f0（x）=sinx，f1（x）=f0′（x）=cosx，f2（x）=f1′（x）=﹣sinx，f3（x）=f2′（x）=﹣cosx，f4（x）=f3′（x）=sinx，循环了则f2005（x）=f1（x）=cosx，故选C．6. 阅读右边程序框图，为使输出的数据为，则判断框中应填入的条件为（）A． B． C． D．参考答案：A7. 已知，则下列函数的图象错误的是（）参考答案：D略8. 在中，角A、B、C的对应边分别为、、，若满足，的恰有两解，则的取值范围是（）A． B．C．D．参考答案：C略9. 在中，，，则一定是( )A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形D．等边三角形参考答案：D略10. 已知f（x）=x2+2x?f′（1），则f′（0）等于（）A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣4参考答案：D【考点】导数的运算．【分析】首先对f（x）求导，将f′（1）看成常数，再将1代入，求出f′（1）的值，化简f′（x），最后将x=0代入即可．【解答】解：因为f′（x）=2x+2f′（1），令x=1，可得f′（1）=2+2f′（1），∴f′（1）=﹣2，∴f′（x）=2x+2f′（1）=2x﹣4，当x=0，f′（0）=﹣4．故选D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数有零点，则a的取值范围是________参考答案：12. 设函数f1(x)=x,f2(x)=x-1,f3(x)=x2,则= .参考答案：13. 若函数f(x)=,若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是（-1，0）∪（0，1）（-∞，-1）∪（1,+∞）（-1，0）∪（1,+∞）（-∞，-1）∪（0,1）参考答案：C14. 若函数（）有两个极小值点，则实数的取值范围是 .参考答案：15. 在等比数列{a n}中，a1=1，公比q=2，则a4的值为．参考答案：8【考点】等比数列的通项公式．【专题】计算题；对应思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：a4=1×23=8．故答案为：8．【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16. 过椭圆左焦点F1作弦AB，则△ABF2（F2为右焦点）的周长是．参考答案：16【考点】椭圆的简单性质．【分析】依椭圆的定义得：△ABF2（F2为右焦点）的周长等于AB+AF2+BF2=AF1+BF1+AF2+BF2=4a【解答】解：△ABF2（F2为右焦点）的周长等于AB+AF2+BF2=AF1+BF1+AF2+BF2又∵AF1+AF2+=2a，BF1+BF2=2a，∴AF1+BF1+AF2+BF2=4a=16故答案为：1617. 定义在R上的连续函数f（x）满足f（1）=2，且f（x）在R上的导函数f′（x）＜1，则不等式f（x）＜x+1的解集为．参考答案：{x|x＞1}【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【分析】令F（x）=f（x）﹣x，求出函数的导数，不等式转化为F（x）＜F（1），求出不等式的解集即可．【解答】解：令F（x）=f（x）﹣x，则F′（x）=f′（x）﹣1＜0，故F（x）在R递减，而F（1）=f（1）﹣1=1，故f（x）＜x+1即F（x）＜1=F（1），解得：x＞1，故不等式的解集是{x|x＞1}，故答案为：{x|x＞1}．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

合肥六中2020届高三冲刺最后一卷文科数学一､选择题1. 已知复数134z i =+，21z i =+，则12z z ⋅=（ ）A. 7i +B. 7i -C. 7i -+D. 7--i【答案】A 【解析】 【分析】写出共轭复数2z ，然后由复数的乘法法则计算．【详解】()()21234133447z z i i i i i i ⋅=+-=-+-=+．故选：A ．【点睛】本题考查复数的乘法运算，考查共轭复数的概念，属于基础题． 2. 已知全集U =R ，集合{}24A x x =-<<，{}2B x x =≥，则()UA B =（ ）A. ()2,4B. ()2,4-C. ()2,2-D. (]2,2-【答案】C 【解析】 【分析】根据集合运算的定义计算． 【详解】{}2UB x x =<，∴()()2,2UAB =-．故选：C ．【点睛】本题考查集合的综合运算，属于基础题．3. 已知直线(:3l y k x =和圆()22:11C x y +-=相切，则实数k =（ ） A. 0 330 30【答案】D 【解析】 【分析】由圆心到直线的距离等于半径求解． 【详解】由23111k k -=+，得230k k -=，所以3k =或0；故选：D ．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，由圆心到直线的距离与半径的大小关系可判断直线与圆的位置关系．4. 已知α为第三象限角，4tan 3α=，则cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A.210B. 210-C.7210D. 72-【答案】A 【解析】 【分析】先由同角的三角函数的关系式求出cos α，sin α，再利用两角和的余弦公式可求cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【详解】由已知得3cos 5α=-，4sin 5α=-，所以()22cos cos sin 4210πααα⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭， 故选：A.【点睛】本题考查同角的三角函数的基本关系式以及两角和的余弦，前者注意角的范围对函数值符号的影响，本题属于基础题.5. 已知函数()f x 的图象如图所示，则该函数的解析式可能是（ ）A. ()ln x xf x e=B. ()ln xf x x e =C. ()ln xf x x=D.()()1ln f x x x =-【答案】D 【解析】 【分析】用排除法，当01x <<时，函数值为正可排除A ，B ，C ．【详解】()0,1x ∈时，()0f x >，但,,A B C 中函数值均为负，故排除，只有D 选项满足． 故选：D ．【点睛】本题考查由函数图象选择函数解析式，可根据图象反应的函数性质判断，方法是排除法．如利用函数的单调性、奇偶性、对称性，特殊的函数值、函数值的正负、函数值的变化趋势等排除错误选项．6. 已知0.512a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log 0.3b =，b c a =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A. a b c << B. c a b << C. b a c <<D. a c b <<【答案】C 【解析】 【分析】由指数函数的性质可得112a <<，由对数函数的性质可得0b <，化简120.3bc a -==，由指数函数的性质可得1020.30.31->=，从而可得结果.【详解】∵0.512a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log 0.3b =，b c a =， ∴10.5111112222a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=<=<= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，22log 0.3log 10b =<=， 1212212120.5log 0.3log 0.31021log 0.321110.30.31220.3121c ⨯--=⎛⎫⎛⎫==>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝==⎭，∴b a c <<. 故选：C .【点睛】本题主要考查利用对数函数和指数函数的单调性比较大小，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.7. 如图，为测得河对岸铁塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在铁塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60︒，再由点C 沿北偏东30方向走10m 到位置D ，测得45BDC ∠=︒，则铁塔AB 的高为（ ）A. 303+B. 30103-C. 10310+D.10310-【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理求得BC ，再在直角三角形中求得高AB ． 【详解】BCD 中，45BDC ∠=︒，15DBC ∠=︒，10CD =，由正弦定理得sin sin BC CDBDC DBC=∠∠，所以)1031BC =，又Rt ABC 中，60ACB ∠=︒，tan 6030103AB BC =⋅︒=+故选：A ．【点睛】本题考查解三角形的应用，认识方位角是解题基础，掌握正弦定理是解题关键． 8. 执行如图所示的程序框图，若判断框中的条件是6n >，则输出的结果为（ ）A. 72B. 30C. 42D. 56【答案】D 【解析】 【分析】直接按照程序框图运行程序，当7n =时输出结果. 【详解】执行如图所示的程序框图，当1n =时，022,224,16s a =+==+=<，2,246,426,26n s a ==+==+=<， 3,6+6=12,628,36n s a ===+=<， 4,12820,8210,46n s a ==+==+=<， 5,201030,10212,56n s a ==+==+=<， 6,301242,12214,66n s a ==+==+=≤， 7,421456,14216,76n s a ==+==+=>，故输出的结果为56. 故选：D.【点睛】本题主要考查程序框图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 9. 某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下：若用同一行业中应聘人数和招聘人数的比值的大小来衡量该行业的就业情况，则根据表中数据，就业形势一定是（ ） A. 计算机行业好于化工行业 B. 建筑行业好于物流行业 C. 机械行业最紧张 D. 营销行业比贸易行业紧张【答案】B 【解析】试题分析：就业形势的好坏，主要看招聘人数与应聘人数的比值，比值越大，就业形势越好，故选B ．考点：本题主要考查不等式的概念、不等式的性质．点评：解答此类题目，首先要审清题意，明确就业形势的好坏，主要看招聘人数与应聘人数的比值．10. 设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、，过1F 作倾斜角为60︒直线与y 轴和双曲线的右支交于A 、B 两点，若点A 平分线段1F B ，则该双曲线的离心率是( )B. 2+C. 21【答案】B 【解析】双曲线22221x y a b-= (0,0)a b >> 的左焦点F 为(),0c -,直线l 的方程为)y x c =+，令0x =，则y =，即()A ，因为A 平分线段1FB ，根据中点坐标公式可得 ()B c ，代入双曲线方程，可得2222121c c a b -=，由于()1c e e a =>，则2221211e e e -=-，化简可得421410e e -+=，解得27e =±1e >，解得2e = B. 【方法点晴】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将 e 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e 的等式，从而求出e 的值.本题是利用点到直线的距离等于圆半径构造出关于e 的等式，最后解出e 的值.11. 历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….即()()121F F ==，()()()12F n F n F n =-+-，(3n ≥，*n N ∈).此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列{}n b ，又记数列{}n c 满11c b =，22c b =，()*13,n n n c b b n n N -=-≥∈，则2020c =（ ） A. 1 B. 2-C. 1-D. 0【答案】A 【解析】 【分析】利用“兔子数列”的前几项除以4的余数得数列{}n b 的前几项（稍微多求几项），归纳出{}n b 的周期性，再根据{}n c 的定义得出{}n c 的前几项，归纳出{}n c 的性质，然后由这个规律可得2020c ．【详解】解：记“兔子数列”为{}n a ，则数列{}n a 每个数被4整除后的余数构成一个新的数列{}n b 为1,1,2,3,1,0,1,1,2,3,1,0,，可得数列{}n b 构成一周期为6的数列，由题意得数列{}n c 为1,1,1,1,2,1,1,0,1,1,2,1,1,0,1,1,2,1,------，观察数列{}n c 可知从该数列从第三项开始后面所有的数列构成一周期为6的数列，202041c c ∴==，故选：A ．【点睛】本题考查数列的递推关系，考查数列的周期性，解题时在数列通项公式不易求出时可利用归纳推理的方法得出结论．12. 不等式()22ln 40ax a x x a ->-->解集中有且仅含有两个整数，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()ln3,2B. [)2ln3,2-C. (]0,2ln3-D.()0,2ln3-【答案】C 【解析】 【分析】设()2ln 4g x x x =--，()2h x ax a =-，通过导数判断()g x 的单调性，结合直线()2h x ax a =-恒过定点()2,0，得到两函数的图象，结合题意得不等式组()()()()01133a h g h g ⎧>⎪>⎨⎪≤⎩，解出即可.【详解】由题意可知，22ln 4ax a x x ->--， 设()2ln 4g x x x =--，()2h x ax a =-. 由()1212x g x x x='-=-.可知()2ln 4g x x x =--在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上为增函数， ()2h x ax a =-的图象恒过点()2,0，在同一坐标系中作出()g x ，()h x 的图象如下，若有且只有两个整数1x，2x，使得()10f x>，且()20f x>，则()()()()1133ah gh g⎧>⎪>⎨⎪≤⎩，即22ln3aaa>⎧⎪->-⎨⎪≤-⎩，解得02ln3a<≤-，故选C.【点睛】本题主要考查了不等式与函数图象的关系，利用导数判断函数单调性，考查了学生的计算能力，属于中档题．二､填空题13. 已知曲线23ln4xy x=-的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为______．【答案】3【解析】【分析】首先求函数的导数，令12y，求切点的横坐标.【详解】因为23ln4xy x=-，()0x>，所以32xyx'=-，由题意知，3122xx-=，解得3x=（负值舍去），所以切点的横坐标为3．故答案：3【点睛】本题考查函数的导数的求法，导数的几何意义，属于基础题型.14. 已知向量()2,1a=，()3,4b=，(),2c k=，若()3a b c-//，则实数k=_________ 【答案】6-【解析】 【分析】由平面向量坐标运算法则得()33,1a b -=-，再由()3a b c -//，列出方程求出k 的值. 【详解】解：向量()2,1a =，()3,4b =，(),2c k =，∴()33,1a b -=-，()3a b c -//，∴312k =-. 解得：6k =-.故答案为：6-.【点睛】本题考查平面向量坐标运算法则，向量平行的性质，考查运算求解能力，属于基础题.15. 已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足()sin 2b A a B =，4b =，点D 为边AB 上的一点，2CD =，锐角ACD △c =________.【答案】72+ 【解析】 【分析】用正弦定理化边为角后可求得B ，在ACD △内，由面积求得sin ACD ∠，从而可得cos ACD ∠，用余弦定理求得AD ，再用正弦定理得出sin A ，最后在ABC 中正弦定理求得BC ，用余弦定理求得AB ．【详解】()sin 2b A a B =及正弦定理得，()sin sin sin 2B A A B =， ∵ACD △是锐角三角形，∴sin 0A ≠，2si sin n 23B B B π⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭，()0,B π∈，6B π∴=，ACD △内，1sin 2ACDSAC CD ACD =⋅⋅⋅∠，所以sin ACD ∠=又ACD ∠是锐角，∴1cos 4ACD ∠=， 由余弦定理可得，222142242164AD =+-⨯⨯⨯=，4AC AD ==，由正弦定理得2sin A =，sin 8A =，在ABC 内，sin sin AC BCB A=，BC ∴= 由余弦定理，2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅216152AB AB =+-∴⨯，解得AB c ==．． 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式，由正弦定理进行边角转化求出B 是解题基础．16. 已知点,,,P A B C 均在表面积为81π的球面上,其中PA ⊥平面ABC ,30,BAC AC ∠=,则三棱锥P ABC -的体积的最大值为__________．【答案】818【解析】分析：先求出球的半径，再求出三棱锥P ABC -的体积的表达式，最后求函数的最大值. 详解：设球的半径为R,所以29814,.2R R ππ=∴=设AB=x,则AC =，由余弦定理得22223,.BC x x x x BC x =+-⨯=∴= 设底面△ABC 的外接圆的半径为r,则02,.sin 30xr x r =∴=所以PA=所以三棱锥P ABC -的体积2221118138132322464V x x x x x =⋅⋅⋅⋅⋅-=- =2223813813814()4(4=6422638x x x =-⋅⋅⋅≤⨯）. 当且仅当x=362时取等. 故答案为818点睛：（1）本题主要考查球的体积和几何体的外接球问题，考查基本不等式，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和空间想象能力.(2)三元基本不等式：3()3a b c abc ++≤，当且仅当a=b=c>0时取等.(3)函数的思想是高中数学的重要思想，一般是先求出函数的表达式，再求函数的定义域，再求函数的最值. 三､解答题17. 某学校为缓解学生的学习压力，其中高三年级经常举行一些心理素质综合能力训练活动，经过一段时间的训练后从该年级1600名学生中随机抽取200名学生进行测试，并将其成绩分为A ､B ､C ､D ､E 五个等级，统计数据如图所示(视频率为概率)：根据以上抽样调查数据，回答下列问题：（1）试估算该校高三年级学生获得成绩为B 的人数；（2）若等级A ､B ､C ､D ､E 分别对应100分､90分､80分､70分､60分，学校要求平均分达90分以上为“考前心理稳定整体过关”，请问该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”是否过关？（3）为了解心理健康状态稳定学生的特点，现从D ､E 两种级别中，用分层抽样的方法抽取5个学生样本，再从中任意选取2位学生样本分析，求事件“至少1位学生来自D 级别”的概率.【答案】（1）896；（2）该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关；（3）910. 【解析】 【分析】（1）从条形图中可知这200人中，有112名学生成绩等级为B ，由此可计算频率即概率，作为总体概率可计算整个年级得B 人数； （2）利用频率计算均分后可得．（3）求出D ､E 两种级别中所抽取的人数，编号后写出所有基本事件，并得出事件“至少1位学生来自D 级别”所含有的基本事件，计数后可得概率．【详解】（1）从条形图中可知这200人中，有112名学生成绩等级为B ，所以可以估计该校学生获得成绩等级为B 的概率为，1121420025= 则该校高三年级学生获得成绩为B 的人数约有14160089625⨯= （2）这200名学生成绩的平均分为64112146410090807060200200200200200⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=91.3，因为91.390>，所以该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关.（3）由题可知用分层抽样的方法抽取5个学生样本，其中D 级3个，E 级2个，D 组3人编号为,,A B C ，E 组2人编号为,a b ，则任取2人的基本事件为：,,,,,,,,,AB AC Aa Ab BC Ba Bb Ca Cb ab 共10个，其中事件“至少1位学生来自D 级别”为F 含有的基本事件有,,,,,,,,AB AC Aa Ab BC Ba Bb Ca Cb 共9个，()910P F ∴=. 【点睛】本题考查条形图，考查用样本估计总体．考查分层抽样与古典概型，用列举法写出所有基本事件是计算古典概型概率的常用方法．18. 已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，若11a =，2416a a =. （1）设2log n n b a =，求数列{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b 的前n 项和n S .【答案】(1)1n b n =- (2) ()222nn S n =-+【解析】【详解】试题分析：（1）先根据等比数列的基本量求出等比数列{}n a 通项公式,代入2log n n b a =得数列{}n b 的通项公式（2）根据错位相减法求和: 利用错位相减法求和时，注意相减时项的符号变化，中间部分利用等比数列求和时注意项数，最后要除以1q - 试题解析：（Ⅰ）由数列{}n a 是各项均为正数的等比数列112412216n n a q a a a -=⎧∴==⎨⋅=⎩且即： 2log ,1n n n b a b n =∴=-又（Ⅱ）由（Ⅰ）可知()112n n n a b n -⋅=-⋅则 ()012102122212n n S n -=⨯+⨯+⨯++-⋅① ()123202122212nn S n =⨯+⨯+⨯++-⋅②①-②()()()231222212221212222n nn n nn S n n n --=++++--⋅-=--⋅-=--()222n n S n ∴=-+点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.19. 如图,在以,,,,,A B C D E F 为顶点的五面体中,底面ABCD 是矩形, EF BC <.(1)证明: EF 平面ABCD ;(2)在中国古代数学经典著作《九章算术》中,称图中所示的五面体ABCDEF 为“刍甍”(chúméng),书中将刍甍ABCDEF 的体积求法表述为:术曰:倍下袤,上袤从之,以广乘之,又以高乘之,六而一.其意思是:若刍甍ABCDEF 的“下袤” BC 的长为a ,“上袤” EF 的长为b ,“广” AB 的长为c ,“高”即“点F 到平面ABCD 的距离”为h ,则刍甍ABCDEF 的体积V 的计算公式为: ()126V a b ch =+,证明该体积公式.【答案】(1)见解析;(2)见解析. 【解析】分析：（1）先证明BC EF ，再证明EF平面ABCD .(2)利用割补法证明F ABGH CDE GHF V V V --=+=()126a b ch +. 详解：（1）证明：ABCD 是矩形，BC AD ∴，又AD ⊂平面ADEF ，BC ⊄平面ADEFBC ∴平面ADEF ，又BC ⊂平面BCEF ，平面ADEF ⋂平面BCEF EF =BC EF ∴又BC ⊂平面ABCD ，EF ⊄平面ABCD ，EF ∴平面ABCD .（2）解：设,G H 分别是棱,BC AD 上的点，且满足GC HD EF ==， 链接,,FG FH GH .由第（1）问的证明知，GC HD EF ， 所以四边形GCEF 和GCDH 为平行四边形.,GF CE GH CD ∴，又CD CE C ⋂=，∴平面GHF CDE ，∴多面体CDE GHF -为三棱柱.因此，刍甍ABCDEF 可别分割成四棱锥F ABGH -和三棱柱CDE GHF -. 由题意知，矩形ABGH 中，BG BC CG BC =-= ,EF a b AB c -=-=∴矩形ABGH 的面积()ABGH S a b c =-，又四棱锥F ABGH -的高，即“点F 到平面ABCD 的距离”为h ，∴四棱锥F ABGH -的体积()1133F ABGH ABGH V S h a b ch -==-； 三棱柱CDE GHF -的体积可以看成是以矩形GCDH 为底,以点F 到平面ABCD 的距离h 为高的四棱柱体积的一半. 又矩形GCDH 的面积ABGH S bc =∴三棱柱CDE GHF-的体积1122CDE GHF GCDH V S h bch -== 刍甍ABCDEF 的体积：F ABGH CDE GHF V V V --=+=()1132a b ch bch ch -+= ()12326a b b a b ch -⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭. ∴刍甍ABCDEF 体积公式得证.点睛：（1）本题主要考查空间位置关系的证明和空间体积的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和空间想象转化能力.(2) 求几何体的面积和体积的方法,方法一：对于规则的几何体一般用公式法.方法二：对于非规则的几何体一般用割补法.方法三：对于某些三棱锥有时可以利用转换的方法.注意理解掌握并灵活运用.本题利用的就是割补法求几何体的体积.20. 如图，已知椭圆()2222:10x y a b a bΓ+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为B .（1）若椭圆Γ的离心率为12，线段AF 中点22M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，求BM 的值； （2）若ABF 外接圆的圆心在直线y x =-上，ABF 外接圆的半径为3，求椭圆Γ的方程.【答案】（1）262；（2）221126x y +=.【解析】 【分析】（1）先根据离心率得2a c =，再根据线段AF 中点2M ⎫⎪⎪⎝⎭得22a c -=，解方程得2c =28a =，26b =，故得(6B ，在用两点间距离求解即可；（2）由与三角形外接圆圆心是各边中垂线的交点，故写出AF 的中垂线方程为：2a cx -=，再根据圆心在直线y x =-上得圆心坐标,22a c a c C --⎛⎫-⎪⎝⎭，其在AB 的中垂线方程为：22b a a y x b ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，代入化简得b c =，再根据外接圆半径列式求解即可. 【详解】（1）因为椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，所以12c a =，则2a c =.因为线段AF 中点M 的横坐标为22，所以222a c -=. 所以2c =28a =，2226b a c =-=.上顶点为B 的坐标为：(6B所以262BM =（2）因为(),0A a ，(),0F c -， 所以线段AF 的中垂线方程为：2a cx -=. 又因为ABF 外接圆的圆心C 在直线y x =-上，所以,22a c a c C --⎛⎫- ⎪⎝⎭.因为(),0A a ，()0,B b ，所以线段AB 的中垂线方程为：22b a a y x b ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭. 由C 在线段AB 的中垂线上，得2222a c b a a c a b --⎛⎫--=- ⎪⎝⎭， 整理得，()2b ac b ac -+=，即()()0b c a b -+=. 因为0a b +>，所以b c =.ABF 外接圆的半径2222229222a c a c a c R CA a --+⎛⎫⎛⎫==-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭212a ∴=，26b =，所求椭圆方程：221126x y += 【点睛】本题考查椭圆方程的求解，考查数学运算能力，是中档题. 21. 已知函数()ln 1f x x x ax =++，a R ∈.（1）如果关于x 的不等式()0f x ≥在0x >恒成立，求实数a 的取值范围；（2）当1≥x 时，证明：()()21sin 11ln xx x e x x e≤≤----. 【答案】（1）[)1,-+∞；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）分离参数可得1ln a x x -≤+，只需min 1ln a x x ⎛⎫-≤+ ⎪⎝⎭，令()1ln F x x x =+，利用导数求出()F x 的最小值即可.（2）由（1），当1a =-时，有ln 1x x x ≥-，即1ln x x x -≥.要证()1ln xe x x e -≤，可证，1≥x ，即证1x e e x ≤，1≥x .()11xe x x e x--≤，构造函数()()1x G x e ex x =-≥，利用导数可证出()()10G x G ≥=，从而证出左边；构造函数()()()2ln 1sin 11H x x x x x =-++-≥，利用导数证明函数的单调性，进而可得()()10H x H <=，从而证出右边. 【详解】（1）由()0f x ≥，得()ln 100x x ax x ++≥>. 整理，得1ln a x x -≤+恒成立，即min 1ln a x x ⎛⎫-≤+ ⎪⎝⎭.令()1ln F x x x =+.则()22111x F x x x x='-=-. ∴函数()F x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增. ∴函数()1ln F x x x=+最小值为()11F =. 1a ∴-≤，即1a ≥-.a ∴的取值范围是[)1,-+∞（2）由（1），当1a =-时，有ln 1x x x ≥-，即1ln x x x-≥. 要证()1ln xe x x e -≤，即证1≥x 时()11xe x x e x--≤即1x e e x ≤，. 构造函数()()1xG x e ex x =-≥. 则()xG x e e '=-.当1≥x 时，()0G x '≥.()G x ∴在[)1,+∞上单调递增.()()10G x G ∴≥=在[)1,+∞上成立，即x e ex >，证得1x e e x<. ∴当[)1,x ∈+∞时，()1ln xe x x e-≤成立.构造函数()()()2ln 1sin 11H x x x x x =-++-≥.则()()()()()22112112cos 1x x x x H x x x x x x-+--+-=-+-≥=' 当1x >时，()0H x '<，()H x ∴在[)1,+∞上单调递减.()()10H x H ∴<=，即()()2ln 1sin 101x x x x -++-≤≥∴当[)1,x ∈+∞时，()2ln 1sin 1x x x ≤---成立.综上，当[)1,x ∈+∞时，有()()21ln 1sin 1xe x x x x e-≤≤---.【点睛】本题考查了利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数证明不等式，属于难题.22. 在直角坐标坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22121x t y t ⎧=-⎨=-⎩(t 为参数)，以直角坐标系的原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为()2sin cos m ρθθ-=.（1）求曲线C 的普通方程；（2）若直线l 与曲线C 有且仅有唯一的公共点，且l 与坐标轴交于,A B 两点，求以AB 为直径的圆的直角坐标方程.【答案】（1）()()2121y x +=+；（2）221152416x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）采用代入消元法消去t 即可整理得到所求普通方程；（2）将l 极坐标方程化为普通方程，利用直线与曲线有且仅有唯一的公共点可联立令0∆=，从而求得m ，进而求得,A B 坐标，根据,A B 坐标确定圆心坐标和半径，进而得到所求圆的方程.【详解】（1）由21y t =-得：12y t +=，则22121212y x t +⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，整理得：()()2121y x +=+，故曲线C 的普通方程为()()2121y x +=+.（2）由()2sin cos m ρθθ-=得：2y x m -=，联立()()21212y x y x m⎧+=+⎪⎨-=⎪⎩得：22210y y m -+-=， l 与曲线C 有且仅有唯一的公共点，()44210m ∴∆=--=，解得：1m =，l ∴的方程为21y x -=，l ∴与坐标轴交点为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭与()1,0-， 不妨假设10,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()1,0B -，线段AB 的中点为11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭，2AB ∴==，∴以AB为直径的圆的半径r =， ∴以AB 为直径的圆的直角坐标方程为：221152416x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查极坐标与参数方程的知识的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程、极坐标方程化直角坐标方程、圆的方程的求解等知识，属于常考题型.23. 已知()12f x x x a =-++，a R ∈.（1）当1a =时，求不等式()3f x >的解集；（2）若函数()f x 的最小值为3，求实数a 的值.【答案】（1）{1x x <-∣或1}x >；（2）8a =-或4.【解析】【分析】（1）代入1a =，分段讨论打开绝对值解不等式即可.(2)利用基本不等式性质1122a a x x -++≥+进行求解即可.【详解】（1）当1a =时，()121f x x x =-++， 当12x ≤-时，()3f x x =-，此时解()3f x >得1x <-； 当112x -<≤时，()2f x x =+，此时解()3f x >得无解； 当1x >时，()3f x x =，此时解()3f x >得1x >.综上，不等式()3f x >的解集为{|1x x <-或}1x >（2）()12f x x x a =-++122a x x =-++ 122a a x x x =-++++ 122a a x ≥+++(当且仅当()102a x x ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭时等号成立) 12a ≥+(当且仅当2a x =-时等号成立) 可以知道当2a x =-时，()f x 有最小值12a +， 由132a +=得8a =-或4 . 【点睛】此题考查解绝对值不等式，不含参数时一般分段讨论，注意基本不等式的使用，属于较易题目.。

2020届安徽省合肥市第六中学高三下学期最后一卷数学（理）试题一、单选题1．设集合{ln A x x =≤∣，{|6}B x x =≤，则A B =（ ）A ．{}|03x x <≤B ．{}|6x x ≤C ．{}|06x x <≤D ．{|36}x x ≤≤【答案】B【解析】解对数不等式求出集合A ，由此能求出A ∪B ． 【详解】{ln {ln ln 3}{|03}A x x x x x x =≤=≤=<≤∣∣，{|6}B x x =≤，{|}6A B x x =≤，故选：B ． 【点睛】本题考查并集的求法及简单的对数不等式，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．已知复数z 满足1iz i =-，则z =（ ） A ．1i -- B ．1i -C ．1i -+D ．1i +【答案】C【解析】把i 1i z =-两边同乘以i -，则有()()1i ?i 1i z =--=--，1i z ∴=-+，故选C.3．已知e 为自然对数的底数，又lg0.5a =，0.5b e =，0.5e c =，则（ ） A ．a b c << B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<【答案】B【解析】利用lg y x =，xy e =，0.5xy =的单调性和中间值0、1可得解. 【详解】lg0.5lg10a =<=，0.501b e e =>>，000.50.51e c <=<=所以a c b << 故选：B.【点睛】本题考查了指数、对数值的大小比较，指数、对数函数的单调性，考查了学生综合分析能力、数学运算能力.4．设n S 是等差数列{}n a （*n N ∈）的前n 项和，且11a =，416S =，则4a =（ ） A ．4 B ．5C ．6D ．7【答案】D【解析】本题先建立方程441()42a a S +⨯=，再求4a 即可解题【详解】解：∵ 等差数列{}n a 的11a =，416S =， ∴441()42a a S +⨯=，即4(1)4162a +⨯=解得47a =， 故选：D ．本题考查等差数列前n 项和公式，是基础题.5．中国古代第一部数学名著《九章算术》中，将一般多面体分为阳马，鳖膈，堑堵三种基本立体图形，其中四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，若三棱锥P-ABC为鳖臑，PA ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，PA BC ==PC =积为（ ）A ．3B C ．3D ．【答案】A【解析】先求出PB AB =. 【详解】解：由题意作图：在直角三角形PBC 中，PB =在直角三角形PAB 中，AB ==∴11323V =⨯=，故选：A ． 【点睛】本题考查几何体的体积，是基础题. 6．要得到函数sin()24x y π=-的图象，只需将sin 2xy =的图象（ ）A ．同右平移2π个单位 B ．向右平移4π个单位 C ．向左平移4π个单位 D ．向左平移2π个单位 【答案】A【解析】利用平移变换即可得到平移的过程． 【详解】函数y ＝sin （24x π-）＝sin 12（x 2π-），只需将y ＝sin 12x 的图象向右平移2π个单位，即可得到函数y ＝sin （24x π-）的图象，故选A ． 【点睛】本题考查三角函数的图象的平移，注意自变量x 的系数，属于基础题．7．函数()sin ()x x e e xf x x--=的部分图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据函数的奇偶性和函数图象上的特殊点进行排除，由此确定正确选项. 【详解】函数()f x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，且()()()()sin ()sin x x xx e e x e e x f x xf x x---⋅--==-=---，所以()f x 为奇函数，由此排除CD 选项.而()0f π=，所以B 选项错误.故选：A 【点睛】本小题主要考查函数图象的识别，属于基础题.8．已知P 为抛物线24y x =上一点，Q 为圆2(6)1x y -+=上一点，则PQ 的最小值为（ ） A ．211- B ．52-C ．251D ．2145-【答案】C【解析】设圆心为M ，(),P x y ，利用两点间距离公式求出PM ，根据二次函数的性质求得PM 的最小值，定点距圆上点的距离的最小值为其到圆心的距离减半径. 【详解】设圆心为M ，(),P x y ，则()6,0M ，22222(6)(6)4836(4)20PM x y x x x x x =-+=-+=-+-+当4x =时，min25PM =，min 251PQ =.故选：C 【点睛】本题考查定点距圆上点的距离的最值、二次函数的最小值，属于基础题. 9．已知α，β是两个相交平面，其中l ⊂α，则（ ）A．β内一定能找到与l平行的直线B．β内一定能找到与l垂直的直线C．若β内有一条直线与l平行，则该直线与α平行D．若β内有无数条直线与l垂直，则β与α垂直【答案】B【解析】当l与α，β的交线相交时，β内不能找到与l平行的直线；由直线与平面的位置关系知β内一定能找到与l垂直的直线；β内有一条直线与l平行，则该直线与α平行或该直线在α内；β内有无数条直线与l垂直，则β与α不一定垂直.【详解】由α，β是两个相交平面，其中l⊂α，知：在A中，当l与α，β的交线相交时，β内不能找到与l平行的直线，故A错误；在B中，由直线与平面的位置关系知β内一定能找到与l垂直的直线，故B正确；在C中，β内有一条直线与l平行，则该直线与α平行或该直线在α内，故C错误；在D中，β内有无数条直线与l垂直，则β与α不一定垂直，故D错误．故选：B．【点睛】本题考查了直线和平面的位置关系概念辨析，考查了学生概念理解，逻辑推理，空间想象的能力，属于中档题.10．现有四名高三学生准备高考后到长三角城市群（包括：上海市以及江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市，简称“三省一市”）旅游，假设每名学生均从上海市、江苏省、浙江省、安徽省这四个地方中随机选取一个去旅游，则恰有一个地方未被选中的概率为（）A．2764B．916C．81256D．716【答案】B【解析】四名学生随意选择共256种选法，恰有一个地方未被选中共144种，所以其概率为9 16.【详解】四名学生从四个地方任选一个共有4444256⨯⨯⨯=种选法，恰有一个地方未被选中，即有两位学生选了同一个地方，另外两名学生各去一个地方，考虑先分堆在排序共有23446432144C A⨯=⨯⨯⨯=种，所以恰有一个地方未被选中的概率为144925616=. 故选：B 【点睛】此题考查根据古典概型求概率，关键在于准确求出基本事件总数和某一事件包含的基本事件个数，其本质是利用排列组合知识解决计数问题. 11．已知函数()2xmf x xe mx =-+在(0,)+∞上有两个零点，则m 的取值范围是（ ） A ．()0,e B ．()0,2eC ．(,)e +∞D ．(2,)e +∞【答案】D【解析】原问题等价于函数()x h x xe =与函数1()()2g x m x =-有两个不同的交点，求出两函数相切时的切线斜率，再结合函数特征，求出m 的取值范围即可. 【详解】解：函数()2xmf x xe mx =-+在(0,)+∞上有两个零点，等价于()x h x xe =与1()()2g x m x =-有两个不同的交点，()g x 恒过点1(,0)2，设()g x 与()h x 相切时切点为(,)a a ae ，因为'()(1)xh x e x =+，所以切线斜率为(1)ae a +，则切线方程为(1)()a a y ae a e x a -=+-，当切线经过点1(,0)2时，解得1a =或12a =-（舍），此时切线斜率为2e ，由函数图像特征可知：函数()2xmf x xe mx =-+在(0,)+∞上有两个零点，则实数m 的取值范围是(2,)e +∞. 故选：D . 【点睛】本题考查导数的综合应用，由函数零点求参数的取值范围，难度中等.12．历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…、即()()121F F ==，()()()12F n F n F n =-+-，*()3,n n N ≥∈．此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列{}n b ，又记数列{}n c 满足11c b =，22c b =，1n n n c b b -=-*()3,n n N ≥∈，则1232020c c c c +++⋯+的值为（ ）A ．4B ．2C ．1D ．0【答案】A【解析】首先得出数列{}n b 是以6为周期的周期数列，结合{}n c 的定义即可得结果. 【详解】新数列{}n b 为周期数列：1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，…，332c b b =-，443202*********,..c b b c b b =-⋯=-， 122020122020220201c c c b b b b b b ++⋯+=++-=+ 20203366443b b b ⨯+===，所以1220201220202202014c c c b b b b b b ++⋯+=++-=+=， 故选：A. 【点睛】本题考查了数列递推关系、斐波那契数列的性质、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.二、填空题13．已知向量()2,1a =，()1,2b =-，则向量b 在向量c a b 上的投影为___________．【答案】 【解析】本题先求c ，再求向量b 在向量c 上的投影即可解题. 【详解】解：∵()2,1a =，()1,2b =-， ∴ (3,1)c =-b 在c 上的投影为：||10b c c ⋅==故答案为：.本题考查向量的坐标运算、向量的投影，是基础题. 14．在二项式()521()0x a ax+＞的展开式中x ﹣5的系数与常数项相等，则a 的值是_____． 【答案】2【解析】写出二项式()521()0x a ax+＞的展开式的通项公式，求出x ﹣5的系数与常数项，令其相等，即得解. 【详解】∵二项式()521()0x a ax +＞的展开式的通项公式为 T r +15r C =•1ra ⎛⎫ ⎪⎝⎭•552r x -，令552r -=-5，求得r ＝3，故展开式中x ﹣5的系数为35C •31a ⎛⎫⎪⎝⎭； 令552r -=0，求得r ＝1，故展开式中的常数项为 15C •15a a=， 由为35C •31a ⎛⎫= ⎪⎝⎭5•1a ，可得a 2=， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于基础题.15．如图，为测得河对岸铁塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在铁塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60︒，再由点C 沿北偏东30方向走10米到位置D ，测得45BDC ∠=︒，则铁塔AB 的高为___________米【答案】303+【解析】在△BCD 中，利用三角形内角和定理可得∠B ＝15°，利用正弦定理可得10sin45sin15BC =︒︒，解得BC ．在Rt △ABC 中，AB ＝BC tan60°，即可得出．在BCD 中，45BDC ∠=︒，120BCD ∠=︒，可得∠B ＝15°，且sin15°＝sin （45°﹣30°）1222==由正弦定理得：10sin 45sin15BC ︒︒==，在ABC 中，tan6030AB BC ︒===+故答案为： 【点睛】本题考查了解三角形、和差公式、正弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16．已知1F ，2F 分别为双曲线22:1927x yC -=的左右焦点，点A 为双曲线C 上一点，12F AF ∠的平分线AM 交x 轴于点()2,0M ，则AM =___________．【答案】【解析】本题先求出1F M ，2F M ，再求出1AF ，2AF ，最后建立方程2222228124602824m mm m +-+-+=⨯⨯⨯⨯，求解即可.【详解】在12AF F 中，18F M =，24F M =，由角平分线性质得11222AF F MAF F M==， 设12AF x =，2AF x =，由双曲线定义得：6x =，112AF =，26AF =， 在1AMF 和1AMF 中，AM m =，由余弦定理得：2222228124602824m mm m +-+-+=⨯⨯⨯⨯，解得：m =故答案为：【点睛】本题考查正余弦定理、双曲线的定义与几何性质，是基础题.三、解答题17．在ABC 中，1cos 3A =，sinBC =． （1）求tan B ；（2）若ABC 的面积S =ABC 的周长．【答案】（1）tan B =；（2）2+. 【解析】（1）首先可求sin A 的值，进而利用两角和的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式化简化简求值得解tan B 的值；（2）利用同角三角函数基本关系式可求sin B ，cos B 的值，可得sin B C =，解得sin C 的值，令2a x =，由正弦定理可求b c ==，利用三角形的面积公式可求x 的值，即可得解ABC 的周长. 【详解】解：（1）∵0A π<<，sin A ∴==，1))33sin cos B A B C B B ==+=-∴sin B B =，∴tan B =．（2）tan B =，0B π<<∴sin B =cos B =∵sin B C =，co3s C ∴==∴sin 3C =． 不妨设A ．B ．C 所对的边分别为a 、b 、c ，则sin sin s ::::in 2A C a b c B ==令2a x =，则b c ==，又∵sin 12ABCSbc A ==1x ∴=∴ABC的周长为2+． 【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的余弦函数公式，正弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题. 18．某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满500元的顾客，可以获得一次抽奖机会，有两种方案．方案一：在抽奖的盒子中有除颜色外完全相同的2个黑球，3个白球，顾客一次性摸出2个球，规定摸到2个黑球奖励50元，1个黑球奖励20元，没有摸到黑球奖励15元．方案二：在抽奖的盒子中有除颜色外完全相同的2个黑球，3个白球，顾客不放回地每次摸出一个球，直到将所有黑球摸出则停止摸奖，规定2次摸出所有黑球奖励50元，3次摸出所有黑球奖励30元，4次摸出所有黑球奖励20元，5次摸出所有黑球奖励10元．（1）记X 为1名顾客选择方案一时摸出黑球的个数，求随机变量X 的数学期望； （2）若你为一名要摸奖的顾客，请问你选择哪种方案进行抽奖，说明理由． 【答案】（1）0.8；（2）选择方案一进行摸奖．理由见解析.【解析】（1）由题意知X 符合超几何分布，于是有()22235kkC C P X k C -⋅==，即可求出随机变量X 的数学期望；（2）分别求出两种方案获得的奖金数额的期望值，比较大小即可进行判断． 【详解】（1）由题可知X 符合超几何分布，即()2,2,5XH ，所以()22235k kC C P X k C -⋅==，{}0,1,2k ∈，即22251(2)10C P X C ===，11232563(1)105C P X C C =⋅===，0223253(0)10C P C C X ⋅===， ∴133()2100.810510E X =⨯+⨯+⨯=． （2）方案一：记ξ为1名顾客选择方案一进行摸奖获得的奖金数额， 则ξ可取50，20，15．22521(50)10C P X C ===，11232563(20)105C C P X C =⋅===，0223253(15)10C P X C C ⋅===，∴133()50201521.510510E X =⨯+⨯+⨯=． 方案二：记η为1名顾客选择方案二进行摸奖获得的奖金数额， 则η可取50，30，20，10．22221(50)10A P A η===，112232351(30)5C C P A A η⋅⋅===， 123233453(20)10C P C A A η⋅⋅===，1424542(10)5C P A A η⋅===． ∴1132()5030201021105105E η=⨯+⨯+⨯+⨯=． 21.521>，因此，我会选择方案一进行摸奖．【点睛】本题主要考查离散型随机变量的期望的计算，涉及超几何分布的应用，意在考查学生的数学建模能力和数学运算能力，属于中档题．19．如图，在四棱锥P-ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ．平面PCD ⊥平面ABCD ．（1）证明，PD ⊥平面ABCD ；（2）若E 为PC 的中点，DE PC ⊥，四边形ABCD 为菱形，且60BAD ∠=︒，求二面角D-BE-C 的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）17-. 【解析】（1）过B 作BF ⊥CD 于F ，过B 作BG ⊥AD 于G ．证明BF ⊥CD ，BF ⊥PD ．BG ⊥PD ，然后证明PD ⊥平面ABCD ．（2）以DC 所在方向为y 轴，DP 所在方向为z 轴建立如图所示空间直角坐标系，求出平面BDE 的法向量，平面BEC 的一个法向量，利用空间向量的数量积求解即可． 【详解】解：（1）过B 作BF CD ⊥于F ，过B 作BG AD ⊥于G ． ∵平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD平面ABCD CD =，BF ⊂平面ABCD ，BF CD⊥∴BF ⊥平面PCD ，∴BF PD ⊥．同理可得BG PD ⊥，又∵BG BF B ⋂=，∴PD ⊥平面ABCD ．（2）以DC 所在方向为y 轴，DP 所在方向为z 轴，做DC 垂线为x 轴建立如图所示空间直角坐标系，∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD CD ⊥，又DE PC ⊥，E 为PC 的中点，∴PD DC =．不妨假设2PD =，则()0,0,0D ，(3,1,0)B ，()0,1,1E ，()0,2,0C ． 可知(3,0,1)BE =-，()3,1,0DB =，(3,1,0)BC =-．设(,,)m x y z =为平面BDE 的法向量，则00m BE m DB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即3030x z x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩．令1x =，得3y =-，3z =．可知平面BDE 的一个法向量(1,3,3)m =- 同理可得平面BEC 的一个法向量(1,3,3)n =． ∴1cos ,||||7m n m n m n ⋅〈〉==，又二面角D-BE-C 为钝角， ∴二面角D-BE-C 的余弦值为17-．【点睛】本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面垂直的判断定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，过焦点且垂直于长轴的弦长为3．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()1,0的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，在x 轴上是否存在定点P ，使得PA PB ⋅为定值？若存在，求出点p 的坐标和PA PB ⋅的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）22143x y +=；（2）存在点11(,0)8P ，使得PA PB ⋅为定值13564-． 【解析】（1）先根据离心率得到2234b a =，再根据已知得到223b a=，最后求椭圆C 的方程．（2）先分类讨论①当直线l 与x 轴不重合时，先联立得到()2234690m y my ++-= 再用m 表示出12y y +、12y y 、12x x +、12x x 、PA PB ⋅，发现当118t =时，PA PB ⋅为定值；②当直线l 与x 轴重合且118t =时，PA PB ⋅为定值，最后给出定论即可. 【详解】解（1）∵椭圆C 的离心率为12，∴12c a =，∴2234b a = ∵过焦点且垂直于长轴的弦长为3，∴223b a =，解得2243a b ⎧=⎨=⎩ ∴椭圆C 的方程为22143x y +=．（2）假设存在．设(,0)P t ，()11,A x y ，()22,B x y ， 当直线l 与x 轴不重合时，设l 的方程：1x my =+．由221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2234690m y my ++-=易知>0∆，且122634m y y m +=-+，122934y y m =-+； ()121212112x x my my m y y +=+++=++()()()212121212111x x my my m y y m y y =++=+++∴()()1122,,PA PB x t y x t y ⋅=-⋅-()2121212x x t x x t y y =-+++()()2212121()21m y y m mt y y t t =++-++-+222(615)92134t m t t m --=+-++ 当615934t --=，即118t =时，PA PA ⋅的值与m 无关，此时13564PA PB ⋅=-． 当直线l 与x 轴重合且118t =时， 1111135(2,0)(2,0)8864PA PB ⋅=-⋅+=-． ∴存在点11(,0)8P ，使得PA PB ⋅为定值13564-． 【点睛】本题考查求椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系以及定值问题，是偏难题. 21．已知函数2()ln(1)f x a x x（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0x ≥时，()21xe xf x --≥恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2）(,1]-∞.【解析】（1）先求函数()f x 的定义域、求导函数()'f x ，接着构建新函数2()22g x x x a =--+，再分类讨论0∆≤和>0∆时的单调性，当>0∆时，又分0a ≥与102a -<<两种情况讨论即可得到答案； （2）先构建新函数()1ln(1)xh x e a x =--+，分0a ≤、01a <≤、1a >三种情况讨论，最后判断求出a 的取值范围． 【详解】解：（1）()f x 的定义域为()1,-+∞，222()211a x x af x x x x --+'=-=++， 令2()22g x x x a =--+，则48a ∆=+且()f x '与()g x 的符号相同．①当0∆≤即12a ≤-时，()0g x ≤，此时()0f x '≤； ②当>0∆即12a >-时，令()0g x =得1x =，211122x -+=≥->-，（①）当11x ≤-即0a ≥时，当()21,x x ∈-时，()0>g x ，此时()0f x '>； 当()2,x x ∈+∞时，()0g x <，此时()0f x '<； （②）当11x >-即102a -<<时， 当()()121,,x x x ∈-+∞时，()0g x <，此时()0f x '<；当()12,x x x ∈时，()0>g x ，此时()0f x '>；综上，当12a ≤-时，()f x 的单调递减区间为(1,)+∞，无单增区间；当0a ≥时，()f x 的单调递减区间为1()2-++∞，单调递增区间为1(1,2-+-；当102a -<<时，()f x 的单调递减区间为(-和)+∞，单调递增区间为．（2）221()e x f x ≥--即1ln(1)0xe a x --+≥；令()1ln(1)xh x e a x =--+， 则()00h =，()1xah x e x '=-+； 当0a ≤时，()0h x '>，此时()h x 在[0,)+∞上单增，()()00h x h ≥=，符合题意； 当01a <≤时，由xy e =和1ay x =-+都是增函数可知()h x '也为增函数， 故()()010h x h a ''≥=-≥，此时()h x 在[)0,+∞上单增，()()00h x h ≥=，符合题意； 当1a >时，同理()h x '也为增函数， ∵()010h a '=-<，当x →+∞时，()0h x '>，∴()h x '在[0,)+∞上有唯一零点，不妨假设为0x 当[)00,x x ∈时，()0h x '<，此时()h x 单减， ∴当0(0,)x x ∈时，()()00h x h <=，不合题意． 综上所述，a 的取值范围为(,1]-∞． 【点睛】本题考查含参分类讨论求函数的单调区间、利用导数研究不等式恒成立问题，是偏难题.22．在直角坐标坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22121x t y t ⎧=-⎨=-⎩(t 为参数)，以直角坐标系的原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为()2sin cos m ρθθ-=. （1）求曲线C 的普通方程；（2）若直线l 与曲线C 有且仅有唯一的公共点，且l 与坐标轴交于,A B 两点，求以AB 为直径的圆的直角坐标方程.【答案】（1）()()2121y x +=+；（2）221152416x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【解析】（1）采用代入消元法消去t 即可整理得到所求普通方程；（2）将l 极坐标方程化为普通方程，利用直线与曲线有且仅有唯一的公共点可联立令0∆=，从而求得m ，进而求得,A B 坐标，根据,A B 坐标确定圆心坐标和半径，进而得到所求圆的方程. 【详解】（1）由21y t =-得：12y t +=，则22121212y x t +⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，整理得：()()2121y x +=+，故曲线C 的普通方程为()()2121y x +=+. （2）由()2sin cos m ρθθ-=得：2y x m -=，联立()()21212y x y x m⎧+=+⎪⎨-=⎪⎩得：22210y y m -+-=，l 与曲线C 有且仅有唯一的公共点，()44210m ∴∆=--=，解得：1m =，l ∴的方程为21y x -=，l ∴与坐标轴交点为10,2⎛⎫⎪⎝⎭与()1,0-，不妨假设10,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()1,0B -，线段AB 的中点为11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭，2AB ∴==，∴以AB为直径的圆的半径r =， ∴以AB 为直径的圆的直角坐标方程为：221152416x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】本题考查极坐标与参数方程的知识的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程、极坐标方程化直角坐标方程、圆的方程的求解等知识，属于常考题型. 23．已知()12f x x x a =-++，a R ∈. （1）当1a =时，求不等式()3f x >的解集； （2）若函数()f x 的最小值为3，求实数a 的值.【答案】（1）{1x x <-∣或1}x >；（2）8a =-或4.【解析】（1）代入1a =，分段讨论打开绝对值解不等式即可.(2)利用基本不等式性质1122a ax x -++≥+进行求解即可. 【详解】（1）当1a =时，()121f x x x =-++， 当12x ≤-时，()3f x x =-，此时解()3f x >得1x <-； 当112x -<≤时，()2f x x =+，此时解()3f x >得无解； 当1x >时，()3f x x =，此时解()3f x >得1x >. 综上，不等式()3f x >的解集为{|1x x <-或}1x > （2）()12f x x x a =-++122a x x =-++122a a x x x =-++++ 122a a x ≥+++(当且仅当()102a x x ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭时等号成立) 12a ≥+(当且仅当2ax =-时等号成立) 可以知道当2ax =-时，()f x 有最小值12a +，由132a+=得8a =-或4 . 【点睛】此题考查解绝对值不等式，不含参数时一般分段讨论，注意基本不等式的使用，属于较易题目.。

2020年安徽省合肥一中高考数学最后一卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．记全集U＝R，集合A＝{x|x2≥16}，集合B＝{x|2x≥2}，则（∁U A）∩B＝（）A．[4，+∞）B．（1，4]C．[1，4）D．（1，4）2．若复数z的共轭复数满足（1﹣i），则|z|＝（）A．B．C．D．3．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n＝（）A．5B．4C．3D．24．从区间[0，1]内随机抽取2n个数x1，x2，…x n，y1，…，y n构成n个数对（x1，y1），…，（x n，y n），其中两数的平方和不小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到圆周率π的近似值为（）A．B．C．D．5．已知x，y满足不等式组，则的最大值为（）A．0B．C．D．66．已知log2x＝log3y＝log5z＜0，则、、的大小排序为（）A．B．C．D．7．点M，N分别是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱BC，CC1的中点，动点P在正方形BCC1B1（包括边界）内运动，且PA1∥面AMN，则PA1的长度范围为（）A．B．C．D．8．已知双曲线C的离心率，过焦点F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为M，直线MF交另一条渐近线于N，则＝（）A．2B．C．D．9．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ），（A＞0，）的部分图象如图所示，则使f（2a+x）+f（﹣x）＝0成立的a的最小正值为（）A．B．C．D．10．已知数列{a n}的前n项和为S n，S n＝2a n﹣2，若存在两项a n，a m，使得a n•a m＝64，则的最小值为（）A．B．1C．3+2D．E．【无选项】111．已知函数f（x）＝e x﹣1，，若f（a）＝g（b）成立，则b﹣a的最小值为（）A．B．C．1+ln2D．1﹣ln212．已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝1，以M为圆心的圆过A，B两点，且与直线2y﹣1＝0相切，若存在定点P，使得当A运动时，|MA|﹣|MP|为定值，则点P的坐标为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设向量，不平行，向量与平行，则实数λ＝．14．若圆（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1上存在两点A、B，使得∠APB＝60°，P为圆外一动点，则P点到原点距离的最小值为．15．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，顶点P在底面的投影O恰为正方形ABCD的中心且，设点M，N分别为线段PD，PO上的动点，已知当AN+MN取得最小值时，动点M恰为PD的中点，则该四棱锥的外接球的表面积为．16．设数列{a n}的前n项和为S n，若存在实数A，使得对于任意的n∈N*，都有|S n|＜A，则称数列{a n}为“T数列”．则以下{a n}为“T数列”的是．①若{a n}是等差数列，且a1＞0，公差d＜0；②若{a n}是等比数列，且公比q满足|q|＜1；③若；④若a1＝1，．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且9c﹣a＝9b cos A．（1）求cos B；（2）若角B的平分线与AC交于点D，且BD＝1，求的值．18．某公司为了提高职工的健身意识，鼓励大家加入健步运动，要求200名职工每天晚上9：30上传手机计步截图，对于步数超过10000的予以奖励，图1为甲乙两名职工在某一星期内的运动步数统计图，图2为根据这星期内某一天全体职工的运动步数做出的频率分布直方图．（1）在这一周内任选两天检查，求甲乙两人两天全部获奖的概率（2）请根据频率分布直方图，求出该天运动步数不少于15000的人数，并估计全体职工在该天的平均步数；（3）如果当大甲的排名为第130名，乙的排名为第40名，试判断做出的是星期几的频率分布直方图．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面ACC1A1⊥平面ABC，AA1＝AC，∠ACB＝90°．（1）求证：平面AB1C1⊥平面A1B1C；（2）若∠A1AC＝60°，AC＝2CB＝2，求四棱锥A﹣BCC1B1的体积．20．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣2，0），离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，T为直线x＝﹣3上一点，过F作TF的垂线交椭圆于P、Q，当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积．21．已知函数．（1）f（x）的导函数记作f'（x），且f'（x）在（﹣1，+∞）上有两不等根，求a的取值范围；（2）若f（x）存在两个极值点，记作x1，x2，求证：f（x1）+f（x2）＞4．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（r＞0，φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，若直线l与曲线C相切；（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）在曲线C上取两点M，N与原点O构成△MON，且满足，求面积△MON的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝x2+ax+b（a，b∈R）．（1）a＝2，b＝0，解不等式f（x）＞|4﹣x|；（2）m，n是f（x）的两个零点，若|a|+|b|＜1，求证：|m|＜1，|n|＜1．参考答案一、选择题（共12小题）.1．记全集U＝R，集合A＝{x|x2≥16}，集合B＝{x|2x≥2}，则（∁U A）∩B＝（）A．[4，+∞）B．（1，4]C．[1，4）D．（1，4）【分析】求出集合A，集合B，从而求出∁U A，由此能求出（∁U A）∩B．解：∵全集U＝R，集合A＝{x|x2≥16}＝{x|x≥4或x≤﹣4}，集合B＝{x|6x≥2}＝{x|x≥1}，∴（∁U A）∩B＝{x|1≤x＜4}＝[7，4）．故选：C．2．若复数z的共轭复数满足（1﹣i），则|z|＝（）A．B．C．D．【分析】把已知等式变形求得，再由，结合商的模等于模的商求解．解：由（1﹣i），得，则|z|＝||＝||＝．故选：B．3．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n＝（）A．5B．4C．3D．2【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：当n＝1时，a＝，b＝4，满足进行循环的条件，当n＝2时，a＝，b＝8满足进行循环的条件，当n＝4时，a＝，b＝32不满足进行循环的条件，故选：B．4．从区间[0，1]内随机抽取2n个数x1，x2，…x n，y1，…，y n构成n个数对（x1，y1），…，（x n，y n），其中两数的平方和不小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到圆周率π的近似值为（）A．B．C．D．【分析】以面积为测度，建立方程，即可求出圆周率π的近似值．解：由题意，两数的平方和小于1，对应的区域的面积为π•12，从区间[7，1】随机抽取2n个数x1，x2，…，x n，y6，y2，…，y n，∴＝故选：D．5．已知x，y满足不等式组，则的最大值为（）A．0B．C．D．6【分析】作出不等式组对应平面区域，利用z的几何意义即可得到结论．解：作出不等式组对应的平面区域如图：则则的几何意义为动点Q到原点连线的斜率，由图象可知当P位于A（，3）时，直线AP的斜率最大，故选：D．6．已知log2x＝log3y＝log5z＜0，则、、的大小排序为（）A．B．C．D．【分析】设k＝log2x＝log3y＝log5z＜0，0＜x，y，z＜1．x＝2k，y＝3k，z＝5k．可得＝21﹣k，＝31﹣k，＝51﹣k．由函数f（x）＝x1﹣k在（0，1）上单调递增，即可得出．解：设k＝log2x＝log3y＝log5z＜8，∴0＜x，y，z＜1．则＝27﹣k，＝31﹣k，＝58﹣k．∴21﹣k＜31﹣k＜51﹣k．故选：A．7．点M，N分别是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱BC，CC1的中点，动点P在正方形BCC1B1（包括边界）内运动，且PA1∥面AMN，则PA1的长度范围为（）A．B．C．D．【分析】取B1C1的中点E，BB1的中点F，连结A1E，A1F，EF，取EF中点O，连结A1O，推导出平面AMN∥平面A1EF，从而点P的轨迹是线段EF，由此能求出PA1的长度范围．解：取B1C1的中点E，BB1的中点F，连结A1E，A1F，EF，取EF中点O，连结A6O，∵点M，N分别是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱BC，CC1的中点，∵AM∩MN＝M，A1E∩EF＝E，∵动点P在正方形BCC1B7（包括边界）内运动，且PA1∥面AMN，∵A1E＝A1F＝＝，EF＝＝，∴当P与O重合时，PA1的长度取最小值：A1O＝＝，∴PA1的长度范围为[，]．故选：B．8．已知双曲线C的离心率，过焦点F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为M，直线MF交另一条渐近线于N，则＝（）A．2B．C．D．【分析】画出图形，利用已知条件转化求解即可．解：由题意双曲线的离心率为：，可得，可得，所以＝，渐近线方程为：y＝，如图：所以MN＝，故选：B．9．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ），（A＞0，）的部分图象如图所示，则使f（2a+x）+f（﹣x）＝0成立的a的最小正值为（）A．B．C．D．【分析】根据条件求出函数的解析式，由f（2a+x）+f（﹣x）＝0得f（2a+x）＝﹣f（﹣x），得函数关于（a，0）对称，利用三角函数的对称性进行求解即可．解：由f（2a+x）+f（﹣x）＝0得f（2a+x）＝﹣f（﹣x），得函数关于（a，0）对称，则f（x）＝2sin（ωx+），得ω＝7，由2x+＝kπ，得x＝﹣，即函数的对称中心为（﹣，0），即此时a＝，故选：C．10．已知数列{a n}的前n项和为S n，S n＝2a n﹣2，若存在两项a n，a m，使得a n•a m＝64，则的最小值为（）A．B．1C．3+2D．E．【无选项】1【分析】首先求出数列的通项公式，进一步利用基本不等式的应用求出结果．解：由S n＝2a n﹣2，当n≥2时，可得S n﹣5＝2a n﹣1﹣8，故（常数），所以，，但是mn都为整数解得当m＝n＝3时，最小值为1．故选：B．11．已知函数f（x）＝e x﹣1，，若f（a）＝g（b）成立，则b﹣a的最小值为（）A．B．C．1+ln2D．1﹣ln2【分析】求出b﹣a＝2﹣lny﹣1，根据函数的单调性求出b﹣a的最小值即可．解：设y＝e a﹣1，则a＝1+lny，则b＝2，则（b﹣a）′＝2﹣，∴y＝时，（b﹣a）′＝6，∴y＝时，b﹣a取最小值，故选：C．12．已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝1，以M为圆心的圆过A，B两点，且与直线2y﹣1＝0相切，若存在定点P，使得当A运动时，|MA|﹣|MP|为定值，则点P的坐标为（）A．B．C．D．【分析】设M的坐标为（x，y），然后根据条件得到圆心M的轨迹方程为x2＝﹣y，把|MA|﹣|MP|转化后再由抛物线的定义求解点P的坐标．解：∵线段AB为⊙M的一条弦O是弦AB的中点，∴圆心M在线段AB的中垂线上，设点M的坐标为（x，y），则|OM|2+|OA|2＝|MA|2，∴|y﹣|2＝|OM|7+|OA|2＝x2+y2+，∴M的轨迹是以F（7，﹣）为焦点，y＝为准线的抛物线，＝|y﹣|﹣|MP|+＝|MF|﹣|MP|+，∴存在定点P（0，﹣）使得当A运动时，|MA|﹣|MP|为定值．故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设向量，不平行，向量与平行，则实数λ＝．【分析】利用向量平行即共线的条件，列出关系式，利用向量相等解答．解：因为向量，不平行，向量与平行，所以＝μ（），所以，解得λ＝μ＝；故答案为：．14．若圆（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1上存在两点A、B，使得∠APB＝60°，P为圆外一动点，则P点到原点距离的最小值为5﹣2．【分析】根据题意，点P在以（3，4）为圆心，半径为（，2）的圆环内运动，求出P到原点的最小距离即可．解：对于点P，若圆上存在两点A，B使得∠APB＝60°，只需由点P引圆的两条切线所夹的角不小于60°即可，故动点P在以（3，4）为圆心，半径为（，2）的圆环内运动，故答案为：5﹣3．15．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，顶点P在底面的投影O恰为正方形ABCD的中心且，设点M，N分别为线段PD，PO上的动点，已知当AN+MN取得最小值时，动点M恰为PD的中点，则该四棱锥的外接球的表面积为．．【分析】将折线转化为直线外一点与直线上一点的连线段，求出侧棱的长度解：如图，在PC上取点M'，使得|PM'|＝|PM|∵顶点P在底面的投影O恰为正方形ABCD的中心，∴PA＝PB＝PC＝PD，∴AN+MN＝AN+NM'∵M为PD的中点，∴PA＝AC＝4又∵顶点P在底面的投影O恰为正方形ABCD的中心，设外接球的半径为r，则．解得．故答案为：．16．设数列{a n}的前n项和为S n，若存在实数A，使得对于任意的n∈N*，都有|S n|＜A，则称数列{a n}为“T数列”．则以下{a n}为“T数列”的是②③．①若{a n}是等差数列，且a1＞0，公差d＜0；②若{a n}是等比数列，且公比q满足|q|＜1；③若；④若a1＝1，．【分析】写出等差数列的前n项和结合“T数列”的定义判断①；写出等比数列的前n 项和结合“T数列”的定义判断②；利用裂项相消法求和判断③；由数列递推式分n为奇数与偶数判断数列的特性，再求前n项和判断④．解：①若{a n}是等差数列，且a1＞0，公差d＜0，则，当n→+∞时，|S n|→+∞，②若{a n}是等比数列，且公比q满足|q|＜1，∴数列{a n}是“T数列”；③若＝，∴|S n|＝|+…+|＝||＜，④若a1＝2，，当n为偶数时，有a n+2+a n＝3，即数列{a n}中任意两个连续偶数项的和为0．∴数列{a n}不是“T数列”．故答案为：②③．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且9c﹣a＝9b cos A．（1）求cos B；（2）若角B的平分线与AC交于点D，且BD＝1，求的值．【分析】（1）方法一：由已知利用余弦定理可求cos B的值；方法二：由已知及正弦定理，两角和的正弦函数公式，诱导公式，三角形内角和定理化简可求cos B的值．（2）由已知利用二倍角公式可求，，设△ABC，△ABD，△CBD的面积分别为S，S1，S2，利用三角形的面积公式，根据S1+S2＝S，化简可求．解：（1）方法一：由9c﹣a＝9b cos A，及余弦定理得：，整理得：，方法二：由9c﹣a＝9b cos A，及正弦定理得：9sin C﹣sin A＝9sin B cos A，所以：．所以：，设△ABC，△ABD，△CBD的面积分别为S，S1，S7，由S1+S2＝S，得：，所以：．18．某公司为了提高职工的健身意识，鼓励大家加入健步运动，要求200名职工每天晚上9：30上传手机计步截图，对于步数超过10000的予以奖励，图1为甲乙两名职工在某一星期内的运动步数统计图，图2为根据这星期内某一天全体职工的运动步数做出的频率分布直方图．（1）在这一周内任选两天检查，求甲乙两人两天全部获奖的概率（2）请根据频率分布直方图，求出该天运动步数不少于15000的人数，并估计全体职工在该天的平均步数；（3）如果当大甲的排名为第130名，乙的排名为第40名，试判断做出的是星期几的频率分布直方图．【分析】（1）根据统计图统计出甲乙两人合格的天数，再计算全部获奖概率；（2）根据频率分布直方图求出人数及平均步数；（3）根据频率分布直方图计算出甲乙的步数从而判断出星期几．解：（1）由统计图可知甲乙两人步数超过10000的有星期一、星期二、星期五、星期天设事件A为甲乙两人两天全部获奖，则P（A）＝∴（0.05+0.03）×5×200＝80（人），2.5×0.1+8.5×0.2+12.5×0.3+17.5×3.25+22.5×0.15＝13.25（千步）由频率分布直方图可得0.2﹣0.15＝（20﹣y）×3.05，∴y＝19．（1﹣0.65）﹣0.3＝（x﹣10）×3.06，∴x＝．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面ACC1A1⊥平面ABC，AA1＝AC，∠ACB＝90°．（1）求证：平面AB1C1⊥平面A1B1C；（2）若∠A1AC＝60°，AC＝2CB＝2，求四棱锥A﹣BCC1B1的体积．【分析】（1）推导出BC⊥平面ACC1A1，BC⊥A1C，A1C⊥B1C1．从而ACC1A1是菱形，A1C⊥AC1．进而A1C⊥平面AB1C1．由此能证明平面AB1C1⊥平面A1B1C．（2）由，能求出四棱锥A﹣BCC1B1的体积．【解答】证明：（1）因为平面ACC1A1⊥平面ABC，平面ACC1A1∩平面ABC＝AC，BC⊂平面ABC，∠ACB＝90°，因为A1C⊂平面ACC8A1，所以BC⊥A1C．因为ACC1A1是平行四边形，且AA5＝AC，所以ACC1A1是菱形，A1C⊥AC1．又A5C⊂平面A1B1C，所以平面AB1C1⊥平面A1B6C．所以，所以，即四棱锥A﹣BCC3B1的体积为．20．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣2，0），离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，T为直线x＝﹣3上一点，过F作TF的垂线交椭圆于P、Q，当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积．【分析】（Ⅰ）由题意可得，解出即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得F（﹣2，0），设T（﹣3，m），可得直线TF的斜率k TF＝﹣m，由于TF⊥PQ，可得直线PQ的方程为x＝my﹣2．设P（x1，y1），Q（x2，y2）．直线方程与椭圆方程可得根与系数的关系．由于四边形OPTQ是平行四边形，可得，即可解得m．此时四边形OPTQ的面积S＝．解：（Ⅰ）由题意可得，解得c＝2，a＝，b＝．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得F（﹣3，0），∵TF⊥PQ，可得直线PQ的方程为x＝my﹣2．联立，化为（m2+3）y2﹣4my﹣7＝0，∴x1+x2＝m（y1+y2）﹣4＝．∴，∴（x1，y1）＝（﹣3﹣x8，m﹣y2），此时四边形OPTQ的面积S＝═＝．21．已知函数．（1）f（x）的导函数记作f'（x），且f'（x）在（﹣1，+∞）上有两不等根，求a的取值范围；（2）若f（x）存在两个极值点，记作x1，x2，求证：f（x1）+f（x2）＞4．【分析】（1）求出函数的导数，结合函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可；（2）求出f（x1）+f（x2）的解析式，问题转化为证明ln（a﹣1）2+﹣2＞0，令a ﹣1＝t，由a∈（1，2）可得t∈（0，1），当t∈（0，1）时，g（t）＝2lnt+﹣2，根据函数的单调性证明即可．解：（1），x＞﹣1，，令h（x）＝x2+a（a﹣2）．由题意，，解得：7＜a＜2，（2）证明：由（1）知，a的取值范围是（1，2），即x2+a（a﹣2）＝6，得，＝＝，令a﹣1＝t，由a∈（1，2）可得t∈（0，2），所以g（t）在（0，1）上是减函数，综上，f（x1）+f（x2）＞4．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（r＞0，φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，若直线l与曲线C相切；（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）在曲线C上取两点M，N与原点O构成△MON，且满足，求面积△MON的最大值．【分析】（Ⅰ）求出直线l的直角坐标方程为y＝+2，曲线C是圆心为（，1），半径为r的圆，直线l与曲线C相切，求出r＝2，曲线C的普通方程为（x﹣）2+（y ﹣1）2＝4，由此能求出曲线C的极坐标方程．（Ⅱ）设M（ρ1，θ），N（ρ2，），（ρ1＞0，ρ2＞0），由＝2sin（2）+，由此能求出△MON面积的最大值．解：（Ⅰ）∵直线l的极坐标方程为，∴由题意可知直线l的直角坐标方程为y＝+2，可得r＝＝2，∴曲线C的普通方程为（x﹣）2+（y﹣1）7＝4，即．＝sin2θ+＝2sin（8）+，所以△MON面积的最大值为2+．一、选择题23．已知函数f（x）＝x2+ax+b（a，b∈R）．（1）a＝2，b＝0，解不等式f（x）＞|4﹣x|；（2）m，n是f（x）的两个零点，若|a|+|b|＜1，求证：|m|＜1，|n|＜1．【分析】（1）利用绝对值不等式的解法，可得不等式的解集；（2）由函数的零点与方程实数根的关系，以及根与系数的关系得出m+n＝﹣a，mn＝b；再利用绝对值与不等式证明出结论即可．解：（1）a＝2，b＝0，则f（x）＝x2+2x＞|4﹣x|，﹣x6﹣2x＜4﹣x＜x2+2x，解得不等式的解集为{x|x＜﹣4或x＞1}．∴|m+n|＝|a|，|mn|＝|b|．∴|m+n|+|mn|＜1．∴|m|﹣|n|+|mn|﹣1＜4，（|m|﹣1）（|n|+1）＜0．同理可证，|n|＜1．。

合肥六中2020届高三冲刺最后一卷语文试题注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，井将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

非网阅学校的考生，请将相关信息填在答题卡密封线内。

2.选择题用2B铅笔在答题卡把对应选项标号涂黑，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔作答。

3.选考题的作答，先把所选题目的题号在答题卡上指定位置用2B铅笔涂黑。

4.将答案直接答在答题卡上指定位置，答在试题卷、草稿纸上无效。

考试结束，请将答题卡上交。

一、现代文阅读(36分)(一)论述类文本阅读(本题共3小题，9分)阅读下面的文字，完成1-3题。

不同的哲学和传统彼此开放才能相互激发和成长，才能找到自己的方向。

一种思路的力量不在于其自我封闭起来并宣布其真理性，而恰恰在于其有信心和能力向别的思想开放，并且有信心和能力应对同样开放的别的思想。

只有在与别的思想的平等对话、交流和碰撞中，一种思想的价值或者无价值才能显示出来。

一种开放性的思想才是有可能不断完善和修正的思想，一个有开放性精神的人才可能是不断自我提升和进步的人。

不仅如此，开放性的精神还可以使我们具备一种更好的判断力和更高级的趣味，当我们见识和领略了人类思想史上最精微和最高深的思想，那么一切平庸、丑陋和荒谬的东西在我们这里冒充伟大就变得不可能，鉴别假币的最好方式就是知道什么是真币。

在我们大力弘扬中国传统文化的今天，这种开放的胸怀显得尤其必要。

西方哲学和文化不应当被视作妨碍和威胁中国哲学和文化生长的对立面，中国的哲学和文化也不应当被视作用来抵御西方哲学和文化的长城。

一种开放性的胸怀不仅要求把自身的、纵向的、内生的资源视作传统，而且要善于把他者的、横向的、外生的资源化作自己的传统。

传统上把中国的哲学研究分为马克思主义哲学、中国哲学、西方哲学，这样的划分很容易制造学科壁垒并把三者理解为一种竞争甚至对立关系。

三者当然存在某种竞争。

但是要看到，任何不同的哲学之间都有一种竞争关系，竞争不仅发生在这三者之间，而且发生在三者内部。