2020届高三最后一卷数学 Word版含答案

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点(,0)(0)F c c ->作圆2224a x y +=的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若OF OP =u u u r u u u r ，则双曲线的离心率为 A ．102 B ．105 C 10 D 22．执行两次下图所示的程序框图,若第一次输入的x 的值为7,第二次输入的x 的值为9,则第一次、第二次输出的a 的值分别为( )A ．0,0B ．1,1C ．0,1D ．1,03．如图，表n 是(2n ﹣1)×(2n ﹣1)的方阵，最外层数字是n ﹣1，由外而内每层数字递减1，最中心数字为0.表1的各数之和为0，表2的各数之和为8，表3的各数之和为40，则表6的各数之和为（ ）A ．420B ．440C ．460D ．4804．已知数据1，2，3，4，(05)x x <<的平均数与中位数相等，从这5个数中任取2个，则这2个数字之积大于5的概率为（）A ．25B ．12C ．35D ．7105．复数()()2222z a a a a i =-+--对应的点在虚轴上，则（） A ．2a ≠，或1a ≠B ．2a ≠，且1a ≠C ．2a =，或0a =D ．0a =6．某同学在画“切面圆柱体”（用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体）的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若“切面”所在平面与底面成60︒角，则该椭圆的离心率为（）A ．12B ．22C ．32D ．137．若点(),P x y 满足不等式30301x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩，且点P 构成的集合为D ，则下列命题中：1P ：(),x y D ∃∈，5x y +≤-；2P ：当(),x y D ∈时，42x y -++的最大值为9；3P ：(),x y D ∀∈，()953653x y x y +++≥++，其中真命题的个数为（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．38．已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且lim n n S S →∞=，下列条件中，使得()*2n S S n <∈N 恒成立的是（）A ．10a >，0.60.7q >>B ．10a <，0.70.6q -<<-C ．10a >，0.70.8q <<D ．0a <，0.80.7q -<<-9．已知函数()2sin()f x x ωϕ=+(06,||)2πωϕ<<<的图像经过点(,2)6π和2(,2)3π-.若函数()()g x f x m =-在区间[,0]2π-上有唯一零点，则m 的取值范围是（）A ．(]1,1-B ．11{1}(,]22--U C ．[2,1)- D ．{2}(1,1]--U 10．已知函数()21221,1x f x x mx m x ≤=-+-+>⎪⎩，且对于任意实数(0,1)a ∈关于x 的方程()0f x a -=都有四个不相等的实根1234,,,x x x x ，则1234x x x x +++的取值范围是（）A ．(2,4]B ．(,0][4,)-∞⋃+∞C ．[4,)+∞D ．(2,)+∞11．己知(2,0)A -，(2,0)B ，若x 轴上方的点P 满足对任意R λ∈，恒有2AP AB λ-≥u u u v u u u v 成立，则P 点纵坐标的最小值为（）A ．14B ．12C ．1D ．212．设U 为全集，M ,P 是U 的两个子集，且P P M C U =I )(，则=P M IA ．MB ．PC ．P C UD ．φ二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。

“时不我待，只争朝夕”高三模拟考试数学（理科）试卷第Ⅰ卷一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有．．一项．．是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）. 1. 已知集合}021|{},1,1{<-=-=xx N M ，则下列结论正确的是A.M N ⊆B. Φ=M NC. N M ⊆D. R =M N2. 若复数z 满足(1)1z i -=,则z 的实部为 A.12B.12-C. 1D.212+ 3. 已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=︒，则DB DC ⋅= A. 232a -B. 234a -C.234a D.232a 4. 若圆22:2tan 0C x y x y θ+-=-关于直线210x y --=对称，则sin cos θθ=A.25 B. 25- C. 637- D. 23- 5. 若),(),,(d c B b a A 是x x f ln )(=图象上不同两点，则下列各点一定在函数)(x f 图象上的是A. ),(d b c a ++B. ),(bd c a +C. ),(d b ac +D. ),(bd ac6. “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成,相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上,好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如下左图,图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其主视图和侧视图完全相同时,它的俯视图可能是7. 某射击手射击一次击中目标的概率是0.7,连续两次均击中目标的的概率是0.4,已知某次射中,则随后一次射中的概率是A. 710B. 67C. 47D. 258. 函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<，其导函数()f x '的部分图象如图所示，则()f π=A.2B. 3C. 22D. 239. 如下图所示的程序框图,其作用是输入x 的值,输出相应的y 值,则满足输出的值与输入的值是互为相反数的x 的个数为 A.0 B.1C.2D.3 10. 已知在三棱锥P ABC -中，43,P ABC V -=45,APC ∠=︒60,,BPC PA AC PB BC ∠=︒⊥⊥，且平面PAC ⊥平面PBC ，那么三棱锥P ABC -外接球的体积为 A.43π B.823πC.123πD.323π11. 设21,F F 分别椭圆221112211:1(0)xyC a b a b +=>>与双曲线222222222:1(0),xyC a b a b =>-的公共焦点，它们在第一象限内交于点M ，1290F MF ∠=︒，若椭圆的离心率1[]322,43e ∈，则双曲线2C 离心率2e 的取值范围是A.[]22,72143 B. [2,7142) C. 32(2,]2D.[223,)+∞12. 函数2ln ()()()x x b f x b x+-=∈R ，若存在[]1,22x ∈，使得()()f x x f x '>-⋅，则实数b 的取值范围是A.()2，∞-B. ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-23，C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-49，D. ()3，∞- 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题－24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).13. 若a dx x e=⎰11，则3(1)(1)a x x--展开式中的常数项是_________. 14. 已知变量,x y 满足约束条件11x y x y x a+≤-≤≥⎧⎪⎨⎪⎩,若2y x +的最大值为12,则实数a =_______.15. 已知)4ln()(a xx x f -+=,若存在00>x 使得0()0f x =,则实数a 的取值范围是____.16. ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2sin sin cos 2a A B b A a +=，则角A的取值范围是________.三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17. （本小题满分12分）已知等差数列}{n a 中公差0≠d ，有1441=+a a ，且721,,a a a 成等比数列. (1) 求}{n a 的通项公式与前n 项和公式n S ；(2) 令12n n S b n =-，求数列}1{1+n n b b 的前n 项和n T .18. （本小题满分12分）某网站点击量等级规定如下：点击次数 （x 万次）天数511104(2) 从4月份点击量低于100万次的天数中随机抽取3天，记这3天点击等级为差的天数为随机变量X ，求随机变量X 的分布列与数学期望．19. （本小题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，侧面PCD ⊥底面ABCD ，DC PD ⊥，E 为PC 中点，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，90ADC ∠=︒，1,2AB AD PD CD ====. (1) 证明：BC ⊥平面PBD ；(2) 在线段PC 上是否存在一点Q ，使得二面角Q BD P --为45︒？若存在，求||||PQ PC 的值；若不存在，请说明理由. 20. （本小题满分12分）已知椭圆222:1(1)x C y a a +=>的左顶点R 与双曲线2213x y -=的左焦点重合，点(2,1),(2,1),A B O -为坐标原点.(1) 设Q 求椭圆C 上任意一点，(6,0)S ，求QS QR ⋅的取值范围；(2) 设1122(,),(,)M x y N x y 是椭圆C 上的两个动点，满足OM ON OA OB k k k k ⋅=⋅，试探究OMN ∆的面积是否为定值，说明理由.21. （本小题满分12分）已知函数2()ln ()2a f x x x x x a a =--+∈R . (1) 若函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线与直线2y x =-平行，求a 的值；(2) 若函数()f x 在其定义域内有两个不同的极值点，记两个极值点分别为12,x x ，且12x x <，若已知0λ>，不等式112ex x λλ+<⋅恒成立，求λ的取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲. 如图，AB 与圆O 相切于点B ，,C D 为圆O 上两点，延长AD 交圆O 于点E ，BF ∥CD 且交ED 于点F . (1) 求证：BCE ∆∽FDB ∆；(2) 若BE 为圆O 的直径，,2EBF CBD BF ∠=∠=，求AD ED ⋅. 23. （本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲. 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩，（其中α为参数），以坐标原点O 为点击次（x 万次等级极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=. (1) 若,A B 为曲线12,C C 的公共点，求直线AB 的斜率；(2) 若,A B 为曲线12,C C 上的动点，当||AB 取最大值时，求AOB ∆的面积. 24. （本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲. 已知正实数,,a b c .(1) 若1abc =111a b c≤++；(2) 若1a b c ++=，|21||2|3x x ≤---+恒成立，求x 的取值范围.。

2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）最后一卷数 学I 2020.6圆锥的体积13V Sh =，其中S 是圆锥的底面圆面积，h 是高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．． 1. 已知集合{|23},{21,}A x x B x x k k =<<==-∈Z －，则A B =I ▲ . 2．已知复数z 满足1－i z ＋2＝－i ，其中i 为虚数单位，则z 的实部是 ▲ .3. 根据如图所示的伪代码，当输出y 的值为1时，则输入的x 的值为 ▲ .4. 如图是某个容量为100的样本的频率分布直方图，则数据在区间[6，10)上的频数是 ▲ .5．用红、黄、蓝3种颜色给3面信号旗随机染色，每面信号旗只能染一种颜色，则3面信号旗中有且仅有两面信号旗颜色相同的概率是 ▲ ．6．函数sin()(0)y x ωϕω=+>的部分图象如图所示，则ω的值为 ▲ .7． 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：x 2―y 2m＝1的离心率为3，则实数m 的值为 ▲ ． 8．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝2，则S 6＝ ▲ .（第3题）（第4题）FECBAP（第15题）9．如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为6 cm ，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的23(细管长度忽略不计)．细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此锥形沙堆的高度是 ▲ cm.10. 如图，左图是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图．其阴离子排列如下面右图所示，右图中圆的半径为1，且相邻的圆都相切，A ，B ，C ，D 是其中四个圆的圆心，则AB CD ⋅u u u r u u u r▲ ． 11. 已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4=66，α∈(0，π)，则cos ⎝⎛⎭⎫2α+π6＝ ▲ ． 12. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M 经过直线l ：x -3y +23=0与圆C ：x 2+y 2=4的两个交点．当圆M 的面积最小时，圆M 的标准方程为 ▲ ．13.已知函数3()log f x x =，函数()h x 是最小正周期为2的偶函数，且当x ∈[0，1]时，()31x h x =-.若函数)()(x h x f k y +⋅=恰有3个零点，则实数k 的取值范围是 ▲ ． 14. 已知△ABC 的面积等于1，BC =1，则当△ABC 的三边之积取得最小值时，sin A = ▲ . 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P －ABC 中，PC ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，AC ＝PC ，E ，F 分别是P A ，PC 的中点．求证：(1)AC //平面BEF ；(2)P A ⊥平面BCE ．EOCDB（第10题）（第9题）（第17题）M ADCBN16．（本小题满分14分）如图，在△ABC 中，点D 在边BC 上，∠CAD =π4，AC =72，102cos -=∠ADB ．(1)求C ∠sin 的值；(2)若△ABD 的面积为7，求AB 的长．17．（本小题满分14分）如图，在市中心有一矩形空地ABCD ，AB =100 m ，AD =75 m ．市政府欲将它改造成绿化景观带，具体方案如下：在边AD ，AB 上分别取点M ，N ，在三角形AMN 内建造假山，在以MN 为直径的半圆内建造喷泉，其余区域栽种各种观赏类植物．(1)若假山区域面积为400 m 2，求喷泉区域面积的最小值； (2)若MN =100 m ，求假山区域面积的最大值．18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2=1的左、右焦点为F 1, F 2，点A 为左顶点，且OA =F 1F 2，过右焦点F 2作直线l 交椭圆C 于P ,Q 两点，当直线l 垂直于x 轴时，PQ =3． (1)求椭圆C 的标准方程;(2)证明：原点O 总在以PQ 为直径的圆内； (3)若AP ⊥F 1Q (点P 在x 轴上方)，求直线l 的方程．AB CD。

2019-2020学年度第二学期高三最后一卷数学Ⅰ（全卷满分160分，考试时间120分钟）注意事项：1．答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方． 2．试题★答案★均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将★答案★填写在答题卷相应的位置上）1. 已知集合2{1,0,}A a =-，{1,1}B =-，则A B B =，则实数a 的值是_______．【★答案★】±1 【解析】 【分析】 由AB B =得到B A ⊆，根据集合B 中的元素都在集合A 中，即可得出a 得值.【详解】因为AB B =，所以B A ⊆，又2{1,0,}A a =-，{1,1}B =-，所以21a =，解得1a =±.故★答案★为：±1【点睛】本题主要考查集合间的基本关系，属于基础题. 2. 已知复数z 满足34ii z+=(i 为虚数单位)，则||z =______． 【★答案★】5 【解析】 【分析】根据复数的代数形式的四则运算法则可求出z ，再根据复数的模的计算公式即可求出． 【详解】因为34ii z +=，所以3443i z i i+==-，即()22||435z =+-=．故★答案★为：5．【点睛】本题主要考查复数的代数形式的四则运算法则和复数的模的计算公式的应用，属于容易题． 3. 某校在高一、高二、高三三个年级中招募志愿者50人，现用分层抽样的方法分配三个年级的志愿者人数，已知高一、高二、高三年级的学生人数之比为4:3:3，则应从高三年级抽取______名志愿者． 【★答案★】15 【解析】 【分析】根据分层抽样的特征可知，抽取人数等于样本容量乘以抽样比，即可求出． 【详解】高三年级抽取的人数为35015433⨯=++．故★答案★为：15．【点睛】本题主要考查分层抽样的特征的理解和运用，属于容易题． 4. 一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为______．【★答案★】15 【解析】 【分析】模拟程序运行的过程，即可得出程序运行后的输出结果. 【详解】解：模拟程序运行的过程如下： 第一步：1i =，055S =+=，12i i =+=； 第二步：24i =<，5510S =+=，13i i =+=； 第三步：34i =<，10515S =+=，14i i =+=； 第四步：44,≥不符合条件，所以输出15S =. 故★答案★为：15.【点睛】本题考查程序语言的应用问题，模拟程序运行的过程是常用的方法，属于基础题.5. 已知抛物线22y x =的准线也是双曲线2213x y m -=的一条准线，则该双曲线的两条渐近线方程是________．【★答案★】3y x =± 【解析】 【分析】依据题意分别求出抛物线的准线方程和双曲线的左准线方程，即可解出m ，从而由双曲线的解析式得到其渐近线方程．【详解】因为抛物线22y x =的准线方程为12x =-，双曲线2213x y m -=的一条左准线方程为：()03m x m m =->+，所以123m m =+，解得1m =，因此，双曲线的方程为2213y x -=，其渐近线方程是3y x =±． 故★答案★为：3y x =±．【点睛】本题主要考查抛物线和双曲线的简单几何性质的应用，属于基础题．6. 某校机器人兴趣小组有男生3名，女生2名，现从中随机选出3名参加一个机器人大赛，则选出的人员中恰好有一名女生的概率为_______． 【★答案★】35【解析】 【分析】由题意求出总的基本事件总数35n C =种，再计算恰有一名女生的基本事件数2132m C C =,利用古典概型计算即可.【详解】由题意，基本事件为机器人兴趣小组有男生3名，女生2名，现从中随机选出3名，共有3510n C ==种选法，其中选出的人员中恰好有一名女生的事件数为2132326m C C ==⨯=种， 由古典概型可知选出的人员中恰好有一名女生的概率为63105m P n ===， 故★答案★为：35【点睛】本题主要考查了概率的求法，考查了古典概型，组合的综合应用，属于容易题. 7. 已知数列{}n a 是等比数列，n T 是其前n 项之积，若567a a a ⋅=，则7T 的值是________． 【★答案★】1 【解析】 【分析】先设等比数列{}n a 的公比为q ，根据题意，得到41a =，再由等比数列的性质，即可求出结果. 【详解】因为数列{}n a 是等比数列，设公比为q ，由567a a a ⋅=得456111a q a q a q ⋅=，即311a q =，即41a =，由等比数列的性质可得，77123456741T a a a a a a a a ===.故★答案★为：1.【点睛】本题主要考查等比数列性质的应用，属于基础题型.8. 已知()cos x f x x e =+，则(3)(31)0f x f x --+>的解集为________． 【★答案★】12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】由已知可得函数为偶函数，求导分析可得f （x ）在[0，+∞）上为增函数，结合函数的奇偶性可得原不等式等价于331x x -+＞，解出x 的取值范围，即可得★答案★． 【详解】由题知，()()f x f x -=，所以()cos x f x x e =+为偶函数，当x ≥0时，()cos xf x x e =+此时有()sin 0x f x x e '=-+>，则()f x 在[0，+∞）上为增函数，由(3)(31)0f x f x --+>，可得(3)(31)f x f x ->+， 而函数()f x 为偶函数， 可得331x x ->+，()()22331x x ->+ 解得122x -<<， 即不等式的解集为12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故★答案★为：12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及利用导数分析函数的单调性，属于中档题．9. 如图，已知正ABC 是一个半球的大圆O 的内接三角形，点P 在球面上，且OP ⊥面ABC ，则三棱锥P ABC -与半球的体积比为_________．【★答案★】338π【解析】 【分析】O 是等边三角形ABC 的外心，设球半径为R ,等边三角形边长为a 得到33R a =，求体积可得. 【详解】设球半径为R ,等边三角形边长为a ，由图知，OP OA R ==,连接OB ,OP ⊥面ABC ,OP OB ∴⊥,由球的对称性知O 是等边三角形ABC 的外心，233323OB a a ∴=⨯= 33R a ∴=22311133133221212P ABC ABC V S OP a R a R a -∆==⨯⨯⨯==3331422323327V R R a πππ=⨯== 331331282327P ABC aV Va ππ-∴== 故★答案★为：338π【点睛】与球有关外接问题的解题规律(1)直棱柱外接球的球心到直棱柱底面的距离恰为棱柱高的12. (2)正方体外接球的直径为正方体的体对角线的长．此结论也适合长方体，或由同一顶点出发的两两互相垂直的三条棱构成的三棱柱或三棱锥．(3)求多面体外接球半径的关键是找到由球的半径构成的三角形，解三角形即可． 10. 已知3sin()283απ-=，则sin cos αα+=______. 【★答案★】23【解析】 【分析】利用倍角公式求出1cos cos 24283παπα⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再利用和差公式展开即可. 【详解】∵3sin()283απ-=∴21cos cos 212sin 428283παπαπα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴221cos sin 223αα+= ∴2cos sin 3αα+=故★答案★为：23. 【点睛】本题主要考查三角函数和差公式与倍角公式的应用，属于基础题.11. 设[]t 表示不超过实数t 的最大整数(如[ 1.3]2-=-，[2.6]2=)，则函数[]()21f x x x =--的零点个数为_______. 【★答案★】2 【解析】 【分析】函数[]()21f x x x =--的零点即方程[]21x x -=的根，由210-≥x 可得0x ≥.分01x ≤<、1x =和1x >讨论，求出方程[]21x x -=的根，即得函数()f x 的零点个数.【详解】函数[]()21f x x x =--的零点即方程[]21x x -=的根，∴函数()f x 的零点个数，即方程[]21x x -=的根的个数.[]210,0,0x x x -≥∴≥∴≥.当01x ≤<时，[]10,210,2x x x =∴-=∴=. 当1x =时，[]1,211,211x x x =∴-=∴-=或211,1x x -=-∴=或0x =（舍）. 当1x >时，[]2121x x x x -=->≥，∴方程[]21x x -=无解. 综上，方程[]21x x -=的根为12，1. 所以方程[]21x x -=有2个根，即函数[]()21f x x x =--有2个零点. 故★答案★为：2.【点睛】本题考查函数与方程，准确分类是关键属于中档题.12. 已知点M 是边长为2的正ABC 内一点，且AM AB AC λμ=+，若13λμ+=，则MB MC ⋅ 的最小值为_______. 【★答案★】13【解析】 【分析】取BC 的中点O ，以点O 为坐标原点，OC 、OA 所在直线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系，求得点M 的轨迹方程为2311333y x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭，可设点23,3M x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，利用平面向量数量积的坐标运算可求得MB MC ⋅的最小值. 【详解】取BC中点O ，以点O 为坐标原点，OC 、OA 所在直线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系xOy ，则点()0,3A 、()1,0B -、()1,0C ，设点(),M x y ，(),3AM x y =-，()1,3AB =--，()1,3AC =-，AM AB AC λμ=+且13λμ+=，则()3313x y λμλμλμ⎧=-+⎪⎪-=-+⎨⎪⎪+=⎩，可得123233x y λ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 由于点M 在正ABC 内，则00λμ>⎧⎨>⎩，可得103λ<<，则11,33x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，231,3MB x ⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭，231,3MC x ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，2241133MB MC x x ∴⋅=-+=+， 所以，当0x =时，MB MC ⋅取最小值13. 故★答案★为：13. 【点睛】本题考查平面向量数量积最值的求解，求出动点M 的轨迹是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.13. 已知等腰梯形ABCD 中，60A B ∠=∠=，2AB =，若梯形上底CD 上存在点P ，使得2PA PB =，则该梯形周长的最大值为________.【★答案★】3+5 【解析】 【分析】建立直角坐标系，设出点D 的坐标，用两点间距离公式表示出2PA PB =，计算出参数的取值范围，写出梯形的周长表达式再求最值即可.【详解】建立如图所示的平面直角坐标系：设AE t =，则01t <<∵四边形ABCD 是等腰梯形，且60DAB ∠= ∴2AD BC t ==，3DE t =，22DC t =- ∴()0,0A ，()2,0B ，(),3D t t ，()2,3C t t - 假设存在点P 在上底CD 上使得2PA PB =∴可设(),3P m t ，其中2t m t ≤≤- ∵2PA PB =∴()()()22223223m t m t +=⨯-+整理得：228830m m t -++= 上底CD 上存在点P 使得2PA PB =，等价于方程228830m m t -++=在2t m t ≤≤-上有解 令()22883f m m m t =-++，[],2m t t ∈-，()0,1t ∈又因为对称轴为42m t =>-∴()()()()222288302282830f t t t t f t t t t ⎧=-++≥⎪⎨-=---++≤⎪⎩ 解得151522t ---+≤≤∴1502t -+<≤又∵梯形ABCD 的周长为2222224C t t t t =+++-=+，在1502t -+<≤单调递增 ∴当152t -+=时，有max 1524352C -+=⨯+=+. 故★答案★为：3+5.【点睛】本题主要考查两点间的距离计算和最值的求法，建立平面直角坐标系和条件间的转化是解题的关键.14. 锐角ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，若cos (1cos )a B b A =+，则22a bb c+的取值范围为_______. 【★答案★】732⎛⎫⎪⎝⎭，【解析】 【分析】用正弦定理对等式cos (1cos )a B b A =+进行边角转化，然后逆用两角差的正弦公式、正弦函数的性质得到,A B 之间的关系，再根据锐角三角形的性质，结合三角形内角和定理求出B 的取值范围，最后利用正弦定理对22a bb c+进行边角转化，根据二倍角的正弦公式和两角和的正弦公式，结合换元法、构造对钩函数，利用对钩函数的单调性进行求解即可. 【详解】由正弦定理可知；sin sin a bA B=，所以由 cos (1cos )sin cos sin (1cos )sin cos sin cos sin ,a B b A A B B A A B B A B =+⇒=+⇒-=即sin()sin A B B -=，因为ABC ∆是锐角三角形，所以,(0,),()(,)222A B A B πππ∈∴-∈-，因此有2A B B A B -=⇒=， 而ABC ∆是锐角三角形，所以,,(0,)2A B C π∈，而3C A B B ππ=--=-,所以020*******B B B B ππππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⇒<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩.由正弦定理可知：sin sin sin a b cA B C==， 所以2222222sin sin 4sin cos sin sin sin sin sin3a b A B B B Bb c B C B B+=+=+，22sin 3sin(2)sin 2cos cos 2sin 2sin cos (12sin )sin B B B B B B B B B B B =+=+=+-，而221sin =cos B B -，所以 3sin 33sin 4sin B B B =-，设222214cos 34sin a b y B b c B=+=+-，令21234sin ,(,)sin (,),(1,2)6422B x B B x ππ-=∈∴∈∴∈，因此有2211,(1,2)a b y x x b c x=+=++∈，因为函数1()1,y f x x x==++在 (1,2)x ∈时是单调递增函数，所以7(1)()(2),3()2f f x f f x <<∴<<， 因此22a b b c+的取值范围为732⎛⎫⎪⎝⎭，.故★答案★为；732⎛⎫⎪⎝⎭，【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查了利用对钩函数的单调性求代数式的取值范围问题，考查了二倍角的正弦公式和余弦公式的应用，考查了锐角三角形的性质，考查了数学运算能力. 二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15. 设函数23()cos sin()3cos 34f x x x x π=⋅+-+，R x ∈.（1）求()f x 的最小正周期和对称中心；（2）若函数()()4g x f x π=+，求函数()g x 在区间[,]66ππ-上的最值． 【★答案★】（1）T π=，对称中心为,026k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭Z k ∈.（2）max 1()2g x =，min 1()4g x =-【解析】 【分析】（1）把已知函数解析式变形，再由辅助角公式化积，利用周期公式求周期，再由23x k ππ-=求得x 值，可得函数的对称中心；（2）求出()g x 的解析式，得到函数在区间[,]66ππ-上的单调性，则最值可求．【详解】（1）由已知，2133()cos sin cos 3cos 224f x x x x x ⎛⎫=⋅+-+ ⎪⎪⎝⎭22133sin cos cos 3cos 224x x x x =+-+2133sin cos cos 224x x x =-+133sin 21cos2444x x13sin 2cos 244x x =- 1sin 223x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ∴最小正周期为2T 2ππ==， 令23x k ππ-=，解得26k x ππ=+，Z k ∈ ∴对称中心为,026k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭Z k ∈ （2）()()4g x f x π=+1sin(2)26x π=+ 当[,]66x ππ∈-时，2[66x ππ+∈-，]2π，可得()g x 在区间[,]66ππ-上单调递增，∴max 1()()62g x g π==，min 1()()64g x g π=-=-【点睛】本题考查三角函数的恒等变换应用，考查sin()y A x ωϕ=+型函数的图象和性质，是中档题．16. 如图，四面体ABCD 被一平面所截，平面与四条棱,,,AB AC CD BD 分别相交于,,,E F G H 四点，且截面EFGH 是一个平行四边形，AD ⊥平面BCD ，BC CD ⊥. 求证：（1）//EF BC ； （2）EF ⊥平面ACD .【★答案★】（1）见详解；（2）见详解. 【解析】 【分析】（1）由题意//EF HG ，根据线面平行的判定定理可得//EF 平面BCD ，再根据线面平行的性质定理可得//EF BC ；（2）由AD ⊥平面BCD ，可得AD BC ⊥.由(1)知//EF BC ，可得EF AD ⊥，又BC CD ⊥，故EF CD ⊥，根据线面垂直的判定定理可得EF ⊥平面ACD .【详解】（1）因为四边形EFGH 为平行四边形，//EF HG ∴，又EF ⊄平面BCD ，HG ⊂平面BCD ，//EF ∴平面BCD ，又EF ⊂平面ABC ，平面ABC 平面BCD BC =，//EF BC ∴.（2）AD ⊥平面BCD ，BC ⊂平面BCD ，AD BC ∴⊥，由(1)知//EF BC ，EF AD ∴⊥.BC CD ⊥，EF CD ∴⊥.又AD CD D ，AD 、CD ⊂平面ACD ，EF ∴⊥平面ACD .【点睛】本题考查线面平行的判定定理、性质定理和线面垂直的判定定理，属于基础题. 17. 如图，边长为1的正方形区域OABC 内有以OA 为半径的圆弧AEC .现决定从AB 边上一点D 引一条线段DE 与圆弧AEC 相切于点E ，从而将正方形区域OABC 分成三块：扇形COE 为区域I ，四边形OADE 为区域II ，剩下的CBDE 为区域III.区域I 内栽树，区域II 内种花，区域III 内植草.每单位平方的树、花、草所需费用分别为5a 、4a 、a ，总造价是W ，设2AOE θ∠=（1）分别用θ表示区域I 、II 、III 的面积； （2）将总造价W 表示为θ的函数，并写出定义域； （3）求θ为何值时，总造价W 取最小值？ 【★答案★】（1）14S πθ=-，2tan S θ=，31tan 4S πθθ=--+（2）(3tan 41)W a θθπ=-++，定义域为(0,)4π（3）=6πθ【解析】 【分析】（1）首先用扇形面积公式求出区域I ，区域II 为两个全等的三角形，所以只需用θ表示出DA ，即可求出三角形面积，进而求出区域II 的面积，区域III 用大正方形面积做差即可.（2）将单位面积造价分别乘以面积数再求和，即可求出总造价，定义域保证每个角度大于零即可.（3）对总造价求导，结合定义域，求出总造价的单调性，则可求出总造价最小时的θ值. 【详解】解：(1)如图，2111(2)12224S r ππαθθ==⨯-⨯=-；连接OD ，则ODE ∆≌ODA ∆，tan DA θ=，2121tan tan 2S θθ=⨯⨯⨯=；31tan 4S πθθ=--+.（2）12355454tan tan (3tan 41)44a a W aS aS aS a a a a a a ππθθθθθθπ=++=-++--+=-++， 由20,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，知(0,)4πθ∈，所以函数的定义域为(0,)4π(3) 23(4)cos W a θ'=-， 由0W '=，得3cos 2θ=或3cos 2θ=-（舍去） 又(0,)4πθ∈，所以6πθ=当06πθ<<时， '0W <，函数在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 当64ππθ<<时，'0W >，函数在,64ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 所以当6πθ=时，W 取最小值.答：=6πθ时，总造价W 取最小值．【点睛】本题考查实际问题的优化问题，涉及函数的实际应用，同时考查了函数导数的应用，考查了学生的转化能力以及计算能力，属于难题.18. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右准线为直线4x =，左顶点为A ，右焦点为F . 已知斜率为2的直线l 经过点F ，与椭圆E 相交于,B C 两点，且O 到直线l 的距离为255（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若过O 的直线:m y kx =与直线,AB AC 分别相交于,M N 两点，且=OM ON ，求k 的值.【★答案★】（1）22143x y +=（2）1【解析】 【分析】（1）根据准线方程和原点到直线的距离可求出,,a b c ，从而可得椭圆的标准方程.（2）设11(,)B x y ，22(,)C x y ，联立直线m 和直线AB 的方程可得M 的坐标，同理可得N 的坐标，根据=OM ON 可得,B C 的坐标关系，联立直线BC 和椭圆的方程，利用韦达定理化简前述关系可求斜率k 的值.【详解】解：（1）设椭圆E 的焦距为2c ， 则直线l 的方程为2()y x c =-，即220x y c --=.因为O 到直线l 的距离为255，故2220022521c cd ⨯--==+， 所以22555c =，则1c =. 因为椭圆E 的右准线的为直线4x =，则24a c =，所以24a =，2223b a c =-=，故椭圆E 的标准方程为22143x y +=.（2）由(1)知l ：2(1)y x =-，设11(,)B x y ，22(,)C x y .由222(1)3412y x x y =-⎧⎨+=⎩得2193240x x -+=，则2121232419403219419x x x x ⎧⎪∆=-⨯⨯>⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩. 由(2,0)A -，11(,)B x y 可知11:(2)2y AB y x x =++， 由11,(2)2y kx y y x x =⎧⎪⎨=+⎪+⎩得1112(2)M y x k x y =+-，同理2222(2)N y x k x y =+-.因=OM ON ，所以2211M N k x k x +=+，由图可知0M N x x +=，所以1222112[(2)]2[(2)]0y k x y y k x y +-++-=，即122211(1)[(2)2(1)](1)[(2)2(1)]0x k x x x k x x -+--+-+--=， 所以121212122112124(1)(1)4[()1](1)(2)(1)(2)2()4x x x x x x k x x x x x x x x ---++==-++-+++-4324[1]4(43219)19191432832419241919-+-+===+-⨯⨯+-.【点睛】求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等.直线与圆锥曲线的位置关系中的弦长、面积等问题，可以利用韦达定理把弦长、面积等表示为直线方程中某参数的函数关系式和方程 等，进而把弦长、面积等问题归结为方程的解或函数的值域等问题. 19. 已知函数2()(R)x f x e ax a =-∈.（1）若曲线()f x 与直线:(2)(R)l y e x b b =-+∈在1x =处相切. ①求a b +的值；②求证：当0x ≥时，()(2)f x e x b ≥-+；（2）当0a =且(0,)x ∈+∞时，关于的x 不等式2()2ln 1x f x mx x ≤++有解，求实数m 的取值范围. 【★答案★】（1）①2a b +=②见解析（2）m 1≥【解析】 【分析】（1）①求出导函数()'f x ，由(1)2f e '=-可求得a ，再由(1)2f e b =-+可求得b ，从而得+a b ；②引入函数()()()2210xh x e x e x x =----≥，利用导数求函数()h x 的最小值（需二次求导确定），确定最小值是(1)0h =，从而证得不等式成立；（2）不等式分离参数得22ln 1x x e x m x --≥，原题等价于(0,)x ∈+∞时，22ln 1x x e x m x--≥有解.求出22ln 1x x e x x--的最小值即可得，为此先证明不等式1x e x ≥+，仍然构造新函数，利用导数研究新函数的单调性与最值得出结论．22ln x x xx e e +=应用刚证的不等式可得结论．【详解】解：（1）①因为()2xe xf x a =-，所以()2x f x e ax '=-.因为曲线()f x 与直线:l (2)y e x b =-+在1x =处相切， 所以()122f e a e '=-=-，所以1a =.所以()2x f x e x =-，所以()11f e =-.又切点(1,1)e -在直线l 上，所以12e e b -=-+， 所以1b =，所以2a b +=② 由①知1,1a b ==，可设()()()2210xh x e x e x x =----≥，则()()()()22,2x xg x h x e x e g x e ''==---=-，当ln 2x <时，()0g x '<，当ln 2x >时，()0g x '>， 所以()h x '在()0,ln 2上单调递减，在()ln 2,+∞上单调递增， 由()()030,10,0ln 21h e h ''=->=<<，所以()ln 20h '<， 所以存在()00,ln 2x ∈，使得()00h x '=， 所以当()()00,1,x x ∈+∞时，()0h x '>，当()0,1x x ∈时，()0h x '<，所以()h x 在()00,x 上单调递增，在()0,1x 上单调递减，在()1,+∞上单调递增. 因为()()010h h ==，所以()0h x ≥，即()()21f x e x ≥-+，当且仅当1x =时取等号， 所以当0x ≥时，()221xe x e x -≥-+，故当0x ≥时，()()2f x e x b ≥-+(3）先证1x e x ≥+. 构造函数()1xp x e x =--，则()1xp x e '=-.故当(0,)x ∈+∞时，()0p x '>，()p x 在(0,)+∞上递增，当(,0)x ∈-∞时，()0p x '<，()p x 在(,0)-∞上递减，所以()(0)0p x p ≥=，即1x e x ≥+又当0a =，且(0,)x ∈+∞时，2()2ln 1x f x mx x ≤++等价于22ln 1x x e x m x--≥故原题等价于(0,)x ∈+∞时，22ln 1x x e x m x--≥有解.因为22lnx 22ln 12ln 1ln 12ln 11x x x e x e x x x x x x x+----++--=≥=（当2ln 0x x +=时取等号）， 所以m 1≥.【点睛】本题考查导数的几何意义，考查用导数证明不等式，研究不等式有解问题．利用导数解决不等式的恒成立问题的策略：1．首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围.2．也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.3．“恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系，即()()f x g a ≥对于x D ∈恒成立，应求()f x 的最小值；若存在x D ∈，使得()()f x g a ≥成立，应求()f x 的最大值.应特别关注等号是否成立问题．20. 已知数列{}n a 的各项均为非零实数，其前n 项和为n S ，且+12=n n n n S aS a +. （1）若3=3S ，求3a 的值；（2）若20211=2021a a ，求证：数列{}n a 是等差数列；（3）若1=1a ，2=2a ，是否存在实数λ，使得2222n m a m a n a a λ≤--对任意正整数m n ，恒成立，若存在，求实数λ的取值范围，若不存在，说明理由.【★答案★】（1）33=2a （2）见解析（3）不存在满足条件的实数λ，见解析【解析】 【分析】（1）由题得1123=S a S a ，所以23=S a ，得33=23S a =，即得3a 的值；（2）利用累乘法得到112=n n a a a +--，所以数列{}21n a -是等差数列，首项为1a ，公差为2a ，求出()21121n a n a -=-，212n a na =，所以1=n a na ，再证明数列{}n a 是等差数列；（3）原题等价于2222n m n m λ≤--，不妨设m n >，即2222m n m n λλ≤--对任意正整数m n，（m n >）恒成立，即220n n λλ--≤对任意正整数n 恒成立，再证明当5n ≥且2+n λλλ≥+时，220n n λλ-->，即得解.【详解】（1）解：由+12=n n n n S a S a +，令1n =，得1123=S a S a ， 因为数列{}n a 的各项均为非零实数，所以2123=+=S a a a ， 所以31233=23S a a a a ++==， 所以33=2a .（2）证明：由+12=n nn n S a S a +得： 1123=S a S a ，2234=S a S a ，3345=S a S a ，……，111=n n n n S a S a --+，相乘得：1121=n n n S a a S a a +，因为数列{}n a 的各项均为非零实数，所以21=n n n a S a a +， 当2n ≥时：211=n n n a S a a --，所以22111=n n n n n n a S a S a a a a -+---， 即()()2111=n n n n n a S S a a a -+---， 即()211=n n n n a a a a a +--，因为0n a ≠，所以112=n n a a a +--，所以数列{}21n a -是等差数列，首项为1a ，公差为2a ， 所以2021121=+1010=2021a a a a ，所以21=2a a ，所以()()21121=+121n a a n a n a --=-，()2221=+12n a a n a na -=，所以1=n a na ， 所以11=n n a a a +-，所以数列{}n a 是等差数列.(3) 解：当1=1a ，2=2a 时，由(2)知=n a n ，所以2222n m a m a n a a λ≤--，即2222n m n m λ≤--，不妨设m n >，则22m n >，22m n >，所以2222m n m n λλ≤--， 即2222m n m n λλ≤--对任意正整数m n ，（m n >）恒成立，则()2+122+12n n n n λλ-≤-，即220n n λλ--≤对任意正整数n 恒成立， 设22n n C n =-，1n =时，1210C =->；2n =时，2440C =-=；3n =时，38910C =-=-<；4n =时，216160C =-=；5n =时，532250C =->；当5n ≥时，012212(1)22(1)202nn n n n n n n n n n n C C C C C C n n n ---=++++++=++=++>， 所以5n ≥时，20,2n n C n >∴>.所以5n ≥时，2222n n n n λλλλ-->--，令2220,n n n λλλλλ-->∴>++或2n λλλ<-+（舍去）. 所以当5n ≥且2+n λλλ>+时，220n n λλ-->， 所以不存在满足条件的实数λ.【点睛】本题主要考查数列性质的证明，考查数列的和与通项关系的应用，考查数列不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.扬州市2020届高三考前调研测试数学Ⅱ（全卷满分40分，考试时间30分钟）21. 已知矩阵1002A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求矩阵A 的逆矩阵1A -的特征值． 【★答案★】11λ=-，212λ=． 【解析】 【分析】求出矩阵A 的逆矩阵1A -，列出矩阵1A -的特征多项式()f λ，然后解方程()0f λ=，即可得出矩阵1A -的特征值.【详解】设矩阵A 的逆矩阵为1a b Ac d -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则10100201a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即102201a b c d --⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 故1a =-，0b =，0c ，12d =，所以矩阵A 的逆矩阵为110102A --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦.矩阵1A -的特征多项式为()()1111202f λλλλλ+⎛⎫==+- ⎪-⎝⎭.令()0f λ=，解得1A -的特征值为11λ=-，212λ=． 【点睛】本题考查矩阵的逆矩阵的求解，同时也考查了矩阵的特征值的计算，考查计算能力，属于基础题.22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是：2cos ,2sin x y m αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）.以O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 13πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．若直线l 与曲线C 相交于P Q 、两点，且23PQ =，求实数m 的值.【★答案★】0m =或433m =-． 【解析】 【分析】分别求出曲线C 和直线l 的直角坐标方程，利用点到直线的距离公式和勾股定理求出PQ ，解方程即可.【详解】曲线C 的直角坐标方程为()224x y m +-=，表示圆心为()0,m ，半径为2的圆由cos 13πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得13cos sin 122ρθρθ-=， 所以直线l 的直角坐标方程为320x y --=． 设圆心到直线l 的距离为d ，则2|032||32|213m m d --+==+， 所以()232244m PQ +=-，因为23PQ =所以()23224234m +-=，解得0m =或433m =-． 【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，将极坐标方程和参数方程转化为直角坐标方程再求解是常规方法.23. 如图，在三棱锥A BCD -中，已知,ABD BCD 都是边长为2的等边三角形，E 为BD 中点，且AE ⊥平面BCD ，F 为线段AB 上一动点，记BFBAλ=.（1）当13λ=时，求异面直线DF 与BC 所成角的余弦值； （2）当CF 与平面ACD 所成角的正弦值为1510时，求λ的值. 【★答案★】（1）52856；（2）12λ=.【解析】 【分析】连接CE ，以,,EB EC EA 分别为,,x y z 轴，建立如图空间直角坐标系，写出点的坐标; (1)当13λ=时，确定点F 的坐标,代入向量的夹角公式中计算得出★答案★; (2) 求出平面ACD 的一个法向量,代入线面角公式中计算可得★答案★. 【详解】连接CE ，以,,EB EC EA 分别为,,x y z 轴， 建立如图空间直角坐标系，则(0,0,3),(1,0,0),(0,3,0),(1,0,0)A B C D -， 因为F 为线段AB 上一动点，且BFBAλ=， 则(1,0,3)(,0,3)BF BA λλλλ==-=-， 所以(1,0,3)F λλ-．（1）当13λ=时，23,0,33F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，53,0,,(1,3,0)33DF CB ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭， 所以()222255283cos(,56531333DF CB ==⎛⎫⎛⎫+⋅+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）()1,3,3CF λλ=--， 设平面ACD 的一个法向量为n =(),,x y z由n DA ⊥,n DC ⊥得(,,)(1,0,3)0(,,)(1,3,0)0x y z x y z ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，化简得3030x z x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，取n (3,1,1)=--设CF 与平面ACD 所成角为θ，则()()()2223115sin cos ,101335CF n λθλλ-===-++⨯. 解得12λ=或2λ=（舍去），所以12λ=． 【点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.24. 一个笼子里关着10只猫，其中有7只白猫，3只黑猫．把笼门打开一个小口，使得每次只能钻出1只猫．猫争先恐后地往外钻.如果10只猫都钻出了笼子，以X 表示7只白猫被3只黑猫所隔成的段数．例如，在出笼顺序为“□■□□□□■□□■”中，则3X =． （1）求三只黑猫挨在一起出笼的概率； （2）求X 的分布列和数学期望. 【★答案★】（1）115；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）利用捆绑法计算三只黑猫挨在一起出笼的情况种数，再利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；（2）由题意可知，随机变量X 的可能取值有1、2、3、4，利用排列组合思想求出随机变量X 在不同取值下的概率，可得出随机变量X 的分布列，利用数学期望公式可求得随机变量X 的数学期望.【详解】（1）设“三只黑猫挨在一起出笼”为事件A ，将三只黑猫捆绑在一起，与其它7只白猫形成8个元素，所以，()38381010115A A P A A ==， 因此，三只黑猫挨在一起出笼的概率为115； （2）由题意可知，随机变量X 的取值为1、2、3、4，其中1X =时，7只白猫相邻，则()747410101130A A P X A ===， ()()2111321732263367101063210A C C CA A C A P X A ++===， ()()1122273263671010132A C A A A A P X A +===； ()37671010146A A P X A ===，所以，随机变量X 的分布列如下表所示：X 1 2 3 4P 1303101216因此，()131114 12343010265E X=⨯+⨯+⨯+⨯=.【点睛】本题考查古典概型概率的计算，同时也考查了随机变量分布列与数学期望的计算，涉及捆绑法与插空法的应用，考查计算能力，属于中等题.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。

2020年江苏省高考学最后一卷一、填空题(本大题共14小题，共70.0分)1.已知集合A={0』，2},B=[x\-l<x<1).C\B=2.若复数z=i(2—z),贝ljz=.3.读如下两个伪代码，完成下列题目.:L1:Readj廿・2不::f+6；北・3上:VPrint j（1）<11）(1) 1输出的结果为・(2) 若I、II输出的结果相同，则伪代码U输入x的值为.4.己知样本2000个，其频率分布直方图如下，那么在[2,8)之间的有个.5.用红、黄、蓝三种不同的颜色给A.B两点涂色,每个点只涂一种颜色，则点A,点3颜色不同的概率为____________.6.函=Asin(a)x+<p)(A>0,co>0)在R上的部分图象如图所示，则s的值为.7.在平面直角坐标系xOy中，双曲线二一y2=i的离心率为2.则实数，“的值是_________8.己知等差数列伊异的前〃项和为S”，若a1+。

2。

=1・则52。

=9.若一个圆锥的母线与底面所成的角为:,体积为1257T.则此圆锥的高为10.如图，在圆C中，CM心，AC为圆的半径，A8是弦，若|而1=6,则衣•AB=・11.若s ina=则s in(a—：) +-^-cosa=12.在平面直角坐标系.9)，中.己知圆Af：x2+y2-4x-8y+12=0,圆N与圆M外切于点(0,m),且过点(0,—2),则圆N的标准方程为.13.巳知函数/(幻=仁若函数y=/(/(r))-1有3个零点，则实数A的取值范围为.14.己知△砧C中，4,匕8.“所对的边分别为"，b.c,且满足2/+况=6.贝IJA4BC而积的最大值为______.二、解答题(本大题共11小题，共142.0分)15.如图，在三棱锚％BC-Ai^iCi中，AB=AC.zliClBCi,.。

，E分别是AB】，BC的中点.求证:(1)DE〃平面ACC^i；(2)AE1平面B C(\B l16.如图，在△ABC中，ZB=30°.AC=2>[S^。

高三数学最后一卷试题（含解析）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．已知集合A ＝{}02x x <<，B ＝{}1x x >，则A I B ＝ ． 答案：(1，2) 考点：集合的运算 解析：∵02x <<，1x >∴12x <<∴A I B ＝(1，2) 2．设i 是虚数单位，复数i2ia z -=的模为1，则正数a 的值为 ． 答案：3 考点：虚数 解析：i 1i 2i 22a az -==--，因为复数z 的模为1， 所以21144a +=，求得a ＝3． 3．为了解某团战士的体重情况，采用随机抽样的方法．将样本体重数据整理后，画出了如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右前三个小组频率之比为1：2：3，第二小组频数为12，则全团共抽取人数为 ．答案：48考点：频率分布直方图解析：15(0.03750.0125)0.75-⨯+= 212(0.75)6÷⨯＝484．执行如图所示的程序框图，输出的k 的值为 ．答案：7考点：算法初步解析：s 取值由3→9→45，与之对应的k 为3→5→7，所以输出k 是7．5．设x ∈[﹣1，1]，y ∈[﹣2，2]，记“以(x ，y )为坐标的点落在不等式221x y +≥所表示的平面区域内”为事件A ，则事件A 发生的概率为 ． 答案：1﹣8π 考点：几何概型解析：设事件A 发生的概率为P ，P ＝88π-＝1﹣8π． 6．已知△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，若a ＞b 且sin A cosCa b=，则A ＝ ． 答案：2π考点：三角函数与解三角形 解析：因为sin A cosC a b =，所以sin A cosCsin A sin B=，则sinB ＝cosC ，由a ＞b ，则B ，C 都是锐角，则B ＋C ＝2π，所以A ＝2π．7．已知等比数列{}n a 满足112a =，且2434(1)a a a =-，则5a ＝ ． 答案：8考点：等比中项 解析：∵2434(1)a a a =-∴2334(1)a a =-，则3a ＝2∴223512812a a a ===． 8．已知函数221()log (1)1x ax f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，，，若[(0)]2f f =，则实数a 的值是 ．答案：2 考点：分段函数解析：∵0(0)223f =+= ∴[(0)](3)log 2a f f f == ∵[(0)]2f f =∴log 22a =，解得a ＝2．9．如图，在一个圆柱形容器内盛有高度为8cm 的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球，则此圆柱底面的半径是 cm ．答案：4考点：圆柱、球的体积解析：设此圆柱底面的半径是r cm ． 得：32243863r r r r πππ⨯+=⋅ 解得：r ＝410．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A ，F 分别为椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的右顶点和右焦点，过坐标原点O 的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，线段AP 的中点为M ，若Q ，F ，M 三点共线，则椭圆C 的离心率为 ． 答案：13考点：椭圆的离心率解析：设点B为椭圆的左顶点，由题意知AM∥BQ，且AM＝12BQ∴AM AFBQ BF=，则12a ca c-=+求得a＝3c，即e＝13．11．设函数()sin(2)3f x xπ=+，若12x x<，且12()()0f x f x+=，则21x x-的取值范围是．答案：(3π，+∞)考点：三角函数的图像与性质解析：不妨设12x x<<，则2121x x x x-=-，由图可知210()33x xππ->--=．12．已知圆C：22(1)(4)10x y-+-=上存在两点A，B，P为直线x＝5上的一个动点，且满足AP⊥BP，则点P的纵坐标取值范围是．答案：[2，6]考点：圆的方程解析：要使AP⊥BP，即∠APB的最大值要大于或等于90°，显然当PA切圆C于点A，PB切圆C于点B时，∠APB最大，此时∠CPA最大为45°，则sin∠CPA≥2，即CACP≥22，设点P(5，y)，则21016(4)y+-≥22，解得2≤y≤6．13．如图，已知P是半径为2，圆心角为3π的一段圆弧AB上一点，AB2BC=u u u r u u u r，则PC PA⋅u u u r u u u r 的最小值为．答案：5﹣考点：平面向量数量积解析：取AC 中点M ，由极化恒等式得22219PC PA PM AC PM 44⋅=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，要使PC PA ⋅u u u r u u u r 取最小值，就是PM 最小，当圆弧AB 的圆心与点P 、M 共线时，PM 有最小值为2﹣2，代入求得PC PA ⋅u u u r u u u r的最小值为5﹣14．已知实数a ，b ，c 满足2121a cb c ee a b +--+≤++（e 为自然对数的底数），则22a b +的最小值是 ． 答案：15考点：函数与导数解析：设()(1)xu x e x =-+，则()1xu x e '=-，可知()(0)0u x u ≥=，即1xe x ≥+； 可知211221a cb c ee a c b c a b +--+≥+++-=++，当且仅当210a c b c +=--=时取等； 即2121a cb c ee a b +--+=++，210a c b c +=--=．解得22222(1)51144245c c a b c c ++=+=++≥，当且仅当15c =时，取等号． 二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）已知向量a r ＝(sin θ，cos θ﹣2sin θ)，b r＝(1，2)． （1）若a r ∥b r ，求2sin cos 13cos θθθ⋅+的值；（2）若a b =r r，0＜θ＜π，求θ的值．16．（本小题满分14分）如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是平行四边形，平面PBD⊥平面ABCD，PB＝PD，PA ⊥PC，CD⊥PC，O，M分别是BD，PC的中点，连结OM．（1）求证：OM∥平面PAD；（2）求证：OM⊥平面PCD．17．（本小题满分14分）已知椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为12，P是椭圆C上的一个动点，且△P F1F23．（1）求椭圆C的方程；（2）设斜率不为零的直线PF2与椭圆C的另一个交点为Q，且PQ的垂直平分线交y轴于点T(0，18)，求直线PQ的斜率．18．（本小题满分16分）如图为一块边长为2km 的等边三角形地块ABC ，为响应国家号召，现对这块地进行绿化改造，计划从BC 的中点D 出发引出两条成60°角的线段DE 和DF ，与AB 和AC 围成四边形区域AEDF ，在该区域内种上草坪，其余区域修建成停车场，设∠BDE＝α．（1）当α＝60°时，求绿化面积；（2）试求地块的绿化面积()S α的取值范围．19．（本小题满分16分）数列{}n a 的前n 项和记为A n ，且A n ＝1()2n n a a +，数列{}n b 是公比为q 的等比数列，它的前n 项和记为B n ．若110a b =≠，且存在不小于3的正整数k ，m ，使k m a b =．（1）若11a =，35a =，求2a ； （2）证明：数列{}n a 为等差数列；（3）若q ＝2，是否存在整数m ，k ，使A k ＝86B m ，若存在，求出m ，k 的值；若不存在，说明理由．20．（本小题满分16分）若函数()()f x g x +和()()f x g x ⋅同时在x ＝t 处取得极小值，则称()f x 和()g x 为一对“()P t 函数”．（1）试判断()f x x =与2()g x x ax b =++是否是一对“(1)P 函数”；（2）若()xf x e =与2()1g x x ax =++是一对“()P t 函数”．①求a 和t 的值；②若a ＜0，若对于任意x ∈[1，+∞)，恒有()()()()f x g x m f x g x +<⋅，求实数m 的取值范围．附加题21. 【选做题】本题包括A，B，C三小题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A选修4-2：矩阵与变换变换是逆时针旋转的旋转变换，对应的变换矩阵是变换对应用的变换矩阵是求曲线的图象依次在变换的作用下所得曲线的方程.B.选修4-4:极坐标与参数方程在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为设点P是曲线上的动点，求P到直线l距离的最大值.C.选修4-5:不等式选讲已知函数若存在实数x，使不等式成立，求实数m的最小值，【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.（本小题满分10分）在四棱锥△PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD.(1)求二面角P-EC-D的余弦值；(2)线段PC上是否存在一点M，使得异面直线DM和PE所成的角的余弦值为若存在，指出点M的位置；若不存在，请说明理由.23.（本小题满分10分）已知非空集合M满足MN*若存在非负整数使得当时，均有则称集合M具有性质P，记具有性质P的集合M的个数为（1)求的值；(2)求的表达式.。

全国I卷2020高三最后一模数学(理)试题及答案work Information Technology Company.2020YEAR2020年高考理科数学押题密卷(全国新课标I卷)说明：一、本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷．第Ⅰ卷为选择题；第Ⅱ卷为非选择题，分为必考和选考两部分．二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．三、做选择题时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑．如需改动，用橡皮将答案擦干净后，再涂其他答案．四、考试结束后，将本试卷与原答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．（1）已知集合A={ (x，y)|x，y为实数，且x2＋y2=4}，集合B={(x，y) |x，y为实数，且y=x－2}，则A ∩ B的元素个数为（）（A）0 （B）1（C）2 （D）3（2）复数z＝1－3i1＋2i，则（A）|z|＝2 （B）z的实部为1（C）z的虚部为－i （D）z的共轭复数为－1＋i（3）已知随机变量X服从正态分布N(1，σ2)，若P(X≤2)＝0.72，则P(X≤0)＝（A）0.22 （B）0.28（C）0.36 （D）0.64（4）执行右面的程序框图，若输出的k＝2，则输入x的取值范围是（A）(21，41) （B）[21，41]（C）(21，41] （D）[21，41)（5）已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ， a 1＋a 3＝ 5 2，且a 2＋a 4＝ 5 4，则S na n ＝（A ）4n －1 （B ）4n －1 （C ）2n －1（D ）2n －1（6）过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF（O 为原点）的垂直平分线上，则双曲线的离心率为 （A ） 2（B ）2（C ） 5（D ） 3（7）已知函数f (x)＝cos (2x ＋π 3)，g (x)＝sin (2x ＋2π3)，将f (x)的图象经过下列哪种变换可以与g (x)的图象重合（A ）向左平移 π12（B ）向右平移π12（C ）向左平移π 6 （D ）向右平移 π6（8）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （A ）1136（B ） 3 （C ）533（D ）433（9）已知向量a=（1, 2），b=（2,3）若（c+a ）∥b ，c⊥（b+a ），则c=（A ）（ 79 ， 73 ） （B ）（ 73，79） （C ）（ 73 ， 79 ） （D ）（－ 79 ，－ 73）（10）4名研究生到三家单位应聘，每名研究生至多被一家单位录用，则每家单位至少录用一名研究生的情况有 （A ）24种 （B ）36种 （C ）48种（D ）60种（11）函数，其图像的对称中心是俯视图正视图（A）（－1，1）（B）（1，－1）（C）（0，1）（D）（0，－1）（12）关于曲线C：x 12＋y12＝1，给出下列四个命题：①曲线C有且仅有一条对称轴；②曲线C的长度l满足l＞2；③曲线C上的点到原点距离的最小值为24；④曲线C与两坐标轴所围成图形的面积是 1 6上述命题中，真命题的个数是（A）4 （B）3（C）2 （D）1第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．（13）在(1＋x2)(1－ 2x)5的展开式中，常数项为__________．（14）四棱锥P-ABCD的底面是边长为42的正方形，侧棱长都等于45，则经过该棱锥五个顶点的球面面积为_________．（15）点P在△ABC内部（包含边界），|AC|=3，|AB|=4，|BC|=5，点P到三边的距离分别是d1, d2,d 3 ，则d1+d2+d3的取值范围是_________．（16）△ABC的顶点A在y2＝4x上，B，C两点在直线x－2y+5=0上，若|－AC |＝2 5 ，则△ABC面积的最小值为_____．三、解答题：本大题共70分，其中（17）—（21）题为必考题，（22），（23），（24）题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a≥b，sin A＋3cos A＝2sin B．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求a＋bc的最大值．（18）（本小题满分12分）某篮球队甲、乙两名队员在本赛季已结束的8场比赛中得分统计的茎叶图如下：（Ⅰ）比较这两名队员在比赛中得分的均值和方差的大小；（Ⅱ）以上述数据统计甲、乙两名队员得分超过．．15分的频率作为概率，假设甲、乙两名队员在同一场比赛中得分多少互不影响，预测在本赛季剩余的2场比赛中甲、乙两名队员得分均超过．．．15分次数X的分布列和均值．（19）（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧面ABB1A1为正方形，侧面BB1C1C为菱形，∠CBB1＝60 ，AB⊥B1C．（Ⅰ）求证：平面ABB1A1⊥BB1C1C；（Ⅱ）求二面角B-AC-A1的余弦值．BCB1BAC1A1A（20）（本小题满分12分）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）经过点M (－2，－1)，离心率为22．过点M 作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C 交于异于M 的另外两点P 、Q ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）证明：直线PQ 的斜率为定值，并求这个定值； （Ⅲ）∠PMQ 能否为直角？证明你的结论．（21）（本小题满分12分）已知函数 x 轴是函数图象的一条切线．（Ⅰ）求a ； （Ⅱ）已知；（Ⅲ）已知：请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图所示，AC 为⊙O 的直径，D 为BC ︵的中点，E 为BC 的中点．（Ⅰ）求证：DE∥AB ；（Ⅱ）求证：AC ·BC ＝2AD·CD ．（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系Ox 中，直线C 1的极坐标方程为ρsi n θ＝2，M 是C 1上任意一点，点P 在射线OM 上，且满足|OP|·|OM|＝4，记点P 的轨迹为C 2． （Ⅰ）求曲线C 2的极坐标方程；（Ⅱ）求曲线C 2上的点到直线ρcos (θ＋4)＝2距离的最大值．（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设f (x)＝|x －3|＋|x －4|． （Ⅰ）解不等式f (x)≤2；（Ⅱ）若存在实数x满足f(x)≤ax－1，试求实数a的取值范围．2020年高考理科数学押题密卷(全国新课标I卷)一、选择题：CDBCD ABCDD BA二、填空题：（13）41；（14）100π；（15）[ 125，4]；（16）1．三、解答题：（17）解：（Ⅰ）sin A＋3cos A＝2sin B即2sin(A＋π3)＝2sin B，则sin(A＋π3)＝sin B．…3分因为0＜A，B＜π，又a≥b进而A≥B，所以A＋π3＝π－B，故A＋B＝2π3，C＝π3．……………………………6分（Ⅱ）由正弦定理及（Ⅰ）得a＋b c ＝sin A＋sin Bsin C＝23[sin A＋sin(A＋π3)]＝3sin A＋cos A＝2sin(A＋π6)．…10分当A＝π3时，a＋bc取最大值2．……………………………12分（18）解：（Ⅰ）x-甲＝ 18(7＋9＋11＋13＋13＋16＋23＋28)＝15，x-乙＝ 18(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15，s2甲＝ 18[(－8)2＋(－6)2＋(－4)2＋(－2)2＋(－2)2＋12＋82＋132]＝44.75，s2乙＝ 18[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25．甲、乙两名队员的得分均值相等；甲的方差较大（乙的方差较小）．…4分（Ⅱ）根据统计结果，在一场比赛中，甲、乙得分超过15分的概率分别为p 1＝ 3 8，p 2＝ 1 2，两人得分均超过15分的概率分别为p 1p 2＝316， 依题意，X ～B (2，316)，P (X ＝k)＝C k 2(316)k(1316)2－k ，k ＝0，1，2， …7分X 的分布列为…10分 X 的均值E (X)＝2×316＝8．……………………………12分（19）解：（Ⅰ）由侧面ABB 1A 1为正方形，知AB⊥BB 1．又AB⊥B 1C ，BB 1∩B 1C ＝B 1，所以AB⊥平面BB 1C 1C ，又AB ⊂平面ABB 1A 1，所以平面ABB 1A 1⊥BB 1C 1C ．…………………………4分（Ⅱ）建立如图所示的坐标系O-xyz ．其中O 是BB 1的中点，Ox∥AB ，OB 1为y 轴，OC 为z 轴．设AB ＝2，则A (2，－1，0)，B (0，－1，0)，C (0，0，3)，A 1(2，1，0)． AB →＝(－2，0，0)，AC →＝(－2，1，3)，AA 1→＝(0，2，0)．…6分设n 1＝(x 1，y 1，z 1)为面ABC 的法向量，则n 1·AB →＝0，n 1·AC →＝0， 即⎩⎨⎧－2x 1＝0，－2x 1＋y 1＋3z 1＝0．取z 1＝－1，得n 1＝(0，3，－1)．…8分设n 2＝(x 2，y 2，z 2)为面ACA 1的法向量，则n 2·AA 1→＝0，n 2·AC →＝0， 即⎩⎨⎧2y 2＝0，－2x 2＋y 2＋3z 2＝0．取x 2＝3，得n 2＝(3，0，2)．…………………10分所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－77．因此二面角B-AC-A 1的余弦值为－77．……………………………12分 （20）解：（Ⅰ）由题设，得4a 2＋1b2＝1，①且a 2－b 2a ＝22，②由①、②解得a 2＝6，b 2＝3，椭圆C 的方程为x 26＋y 23＝1． …………………………………………………3分（Ⅱ）记P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)．设直线MP 的方程为y ＋1＝k(x ＋2)，与椭圆C 的方程联立，得 (1＋2k 2)x 2＋(8k 2－4k)x ＋8k 2－8k －4＝0，－2，x 1是该方程的两根，则－2x 1＝8k 2－8k －41＋2k 2，x 1＝－4k 2＋4k ＋21＋2k 2．设直线MQ 的方程为y ＋1＝－k(x ＋2)，同理得x 2＝－4k 2－4k ＋21＋2k 2． (6)分因y 1＋1＝k(x 1＋2)，y 2＋1＝－k(x 2＋2)，故k PQ ＝y 1－y 2x 1－x 2＝k(x 1＋2)＋k(x 2＋2)x 1－x 2＝k(x 1＋x 2＋4)x 1－x 2＝8k1＋2k28k1＋2k 2＝1，因此直线PQ 的斜率为定值． ……………………………………………………9分（Ⅲ）设直线MP 的斜率为k ，则直线MQ 的斜率为－k ， 假设∠PMQ 为直角，则k·(－k)＝－1，k ＝±1． 若k ＝1，则直线MQ 方程y ＋1＝－(x ＋2)， 与椭圆C 方程联立，得x 2＋4x ＋4＝0，该方程有两个相等的实数根－2，不合题意； 同理，若k ＝－1也不合题意． 故∠PMQ 不可能为直角．…………………………………………………………12分（21）解：（Ⅰ）f '(x) =当x∈(0，a)时，f '(x)＜0，f (x)单调递减， 当x∈(a ，＋∞)时，f '(x)＞0，f (x)单调递增． ∵ x 轴是函数图象的一条切线，∴切点为（a ，0）．f (a)=lna ＋1=0，可知a=1. ……………………………4分 （Ⅱ）令1＋，由x>0得知t>1，，于是原不等式等价于： .取，由（Ⅰ）知：当t∈(0，1)时，g '(t)＜0，g (t)单调递减， 当t∈(1，＋∞)时，g '(t)＞0，g (t)单调递增． ∴ g (t)> g (1)=0，也就是.∴ . ……………………………8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知：x 是正整数时，不等式也成立，可以令： x=1，2，3，…，n-1，将所得各不等式两边相加，得： 即. ……………………………12分（22）证明：（Ⅰ）连接OE ，因为D 为BC ︵的中点，E 为BC 的中点，所以OED 三点共线．因为E 为BC 的中点且O 为AC 的中点，所以OE∥AB ，故DE∥AB ． ………………………… …5分OA（Ⅱ）因为D 为BC ︵的中点，所以∠BAD ＝∠DAC ，又∠BAD ＝∠DCB ⇒∠DAC ＝∠DCB ． 又因为AD ⊥DC ，DE ⊥CE ⇒△DAC∽△ECD ． ⇒AC CD ＝AD CE ⇒AD ·CD ＝AC ·CE ⇒ 2AD ·CD ＝AC ·2CE ⇒ 2AD ·CD ＝AC ·BC ． ……………………………10分 （23）解： （Ⅰ）设P (ρ，θ)，M (ρ1，θ)，依题意有 ρ1sin θ＝2，ρρ1＝4．……………………………3分 消去ρ1，得曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ．……………………………5分 （Ⅱ）将C 2，C 3的极坐标方程化为直角坐标方程，得 C 2：x 2＋(y －1)2＝1，C 3：x －y ＝2．……………………………7分C 2是以点(0，1)为圆心，以1为半径的圆，圆心到直线C 3的距离d ＝322， 故曲线C 2上的点到直线C 3距离的最大值为1＋322． ……………………………10分（24）解： （Ⅰ）f (x)＝|x －3|＋|x －4|＝⎩⎨⎧7－2x ，x ＜3，1，3≤x≤4，2x －7，x ＞4． ……………………………2分作函数y ＝f (x)的图象，它与直线y ＝2交点的横坐标为 5 2和 9 2，由图象知 不等式f (x)≤2的解集为[ 5 2， 9 2]．……………………………5分（Ⅱ）函数y ＝ax －1的图象是过点(0，－1)的直线． 当且仅当函数y ＝f (x)与直线y ＝ax －1有公共点时，存在题设的x ． 由图象知，a 取值范围为(－∞，－2)∪[ 1 2，＋∞)． ………………………10分 ＝12。

2020年江苏省高考数学最后一卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合A={x|−2<x<3}，B={x|x=2n,n∈Z}，则A∩B=______．2.若复数z满足i·z=1+2i，其中i是虚数单位，则z的实部为________．3.执行如图所示的伪代码，则输出的S的值为______．4.如图是容量为100的样本的频率分布直方图，则样本数据落在区间[6,18)内的频数为____．5.一只口袋中装有形状、大小都相同的6只小球，其中有3只红球、2只黄球和1只蓝球．若从中1次随机摸出2只球，则2只球颜色相同的概率为______．6.函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象如图所示．若AB=5，则ω的值为________．7.在平面直角坐标系xOy中，双曲线x2−y2=1的离心率为2，则实数m的值是_________．m+18.设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3=6，S4=12，则S7=______ ．9.如图(1)所示，一个装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为1cm和半径为3cm的两个圆柱组成的简单几何体．当这个几何体如图(2)所示水平放置时，液面高度为20cm；当这个几何体如图(3)所示水平放置时，液面高度为28cm，则这个简单几何体的总高度为________cm．10.已知a⃗=(x,1)(x>0)，b⃗ =(−1,2)，|a⃗+b⃗ |=√10，则a⃗⋅b⃗ =_____．11.已知sin(α+π4)=7√210，α∈(π4,π2)，则cosα=______ ．12.在平面直角坐标系xOy中，过点A(1,3)，B(4,6)，且圆心在直线x−2y−1=0上的圆的标准方程为________．13.已知函数f(x)=|x2−1|x−1−kx+2，恰有两个零点，则k的取值范围是______ ．14.在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2+b2+2c2=8，则△ABC面积的最大值为__________．二、解答题（本大题共11小题，共142.0分）15.如图，三棱锥D−ABC中，已知AC⊥BC，AC⊥DC，BC=DC，E，F分别为BD，CD的中点，求证：(1)EF//平面ABC;(2)BD⊥平面ACE．16.如图，在平面四边形ABCD中，0<∠DAB<π2，AD=2，AB=3，△ABD的面积为3√32，AB⊥BC．(1)求sin∠ABD的值；(2)若∠BCD=2π3，求BC的长．17.某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3m宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x(m)，三块种植植物的矩形区域的总．面．积．为S(m 2).(1)求S 关于x 的函数关系式；(2)求S 的最大值．18. 在平面直角坐标系xOy 中，过点A(−2,−1)椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左焦点为F ，短轴端点为B 1、B 2，FB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FB 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2b 2．(1)求a 、b 的值；(2)过点A 的直线l 与椭圆C 的另一交点为Q ，与y 轴的交点为R.过原点O 且平行于l 的直线与椭圆的一个交点为P.若AQ ⋅AR =3OP 2，求直线l 的方程．19.已知函数f(x)=ae x(a≠0)，g(x)=12x2．(1)当a=−2时，求曲线f(x)与g(x)的公切线方程；(2)若y=f(x)−g(x)有两个极值点x1，x2，且x2≥3x1，求实数a的取值范围．20.已知数列{a n}的前n项和S n满足S n=2a n−1(n∈N∗).(Ⅰ)求a1，a2，a3的值；(Ⅱ)若数列{b n}满足b1=2，b n+1=a n+b n，求数列{b n}的通项公式．21.已知矩阵[122a ]的属于特征值b的一个特征向量为[11]，求实数a、b的值．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =4t,y =4t 2(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 2的极坐标方程为ρ=4sin θ．(1)求C 1的极坐标方程与C 2的直角坐标方程；(2)已知射线θ=α(0<α<π2)与C 1交于O ，P 两点，与C 2交于O ，Q 两点，且Q 为OP 的中点，求α．23. 设实数a ，b ，c 满足a +2b +3c =4，求证：a 2+b 2+c 2≥87．24. 如图，在棱长为1的正方体AC 1中，E 、F 分别为A 1D 1和A 1B 1的中点．(1)求异面直线AF 和BE 所成的角的余弦值；(2)求平面ACC 1与平面BFC 1所成的锐二面角．25.已知集合A={1,2,3,4}和集合B={1,2,3,⋯,n}，其中n≥5，n∈N∗.从集合A中任取三个不同的元素，其中最小的元素用S表示；从集合B中任取三个不同的元素，其中最大的元素用T表示．记X=T−S．(1)当n=5时，求随机变量X的概率分布和数学期望E(X)；(2)求P(X=n−3)．-------- 答案与解析 --------1.答案：{0,2}解析：解：∵集合A={x|−2<x<3}，B={x|x=2n,n∈Z}，∴A∩B={0,2}．故答案为：{0,2}．利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：2解析：本题考查了复数的四则运算，根据除法运算算出z，进而可以求出z的实部．=2−i，所以复数z的实部为2．解：因为复数z=1+2ii3.答案：17解析：本题考查的知识点是算法语句的循环结构，是基础题．模拟程序运行过程，条件满足时执行循环，条件不满足时跳出循环，即可得到答案．解：模拟程序运行过程：s=3进入循环：i=2，S=3+2=5，满足条件，执行循环：i=3，S=5+3=8，满足条件，执行循环：i=4，S=8+4=12，满足条件，执行循环：i=5，S=12+5=17，i=6不满足条件i≤5，跳出循环，输出S=17，故答案为17．4.答案：80解析：本题考查频率分布直方图．属于基础题．由频率分布直方图可得样本数据落在[6,18)内的频率为0.08×4+0.09×4+0.03×4=0.8，又因为样本容量为100，则频数为100×0.8可得结果，解：由频率分布直方图可得样本数据落在[6,18)内的频率为0.08×4+0.09×4+0.03×4=0.8，又因为样本容量为100，则频数为100×0.8=80．故答案为805.答案：415解析：解：一只口袋中装有形状、大小都相同的6只小球，其中有3只红球、2只黄球和1只蓝球，从中1次随机摸出2只球，基本事件总数n=C62=15，2只球颜色相同包含的基本事件个数m=C32+C22=4，∴2只球颜色相同的概率为p=mn =415．故答案为：415．基本事件总数n=C62=15，2只球颜色相同包含的基本事件个数m=C32+C22=4，由此能求出2只球颜色相同的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.答案：π3解析：本题主要考查了由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的图象和性质，属于基础题.设A(x1,2)，B(x2,−2)，由函数图象可得(x2−x1)2+42=52，解得：x2−x1=3，利用T=2×3=2πω，即可解得ω的值．解：∵函数为f(x)=2sin(ωx+φ)，图象中AB两点距离为5，设A(x1,2)，B(x2,−2)，。

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1．已知直线1:70l x my ++=和()2:2320l m x y m -++=互相平行，则实数m =（） A ．3m =-B ．1m =-C ．1m =-或3D ．1m =或3m =-2．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是34，则判断框中应填入的条件是（）A ．5?i >B ．5?i <C ．4?i >D ．4?i <3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且324,2n n S a a n +==，则2019a =（） A ．1010B ．1011C ．2019D ．20204．已知实数,a b 满足01,01a b ≤≤≤≤,则函数()321f x x ax bx =-++存在极值的概率为（）A ．19B ．13C ．25 D ．895．若复数()234sin 12cos z i θθ=-++为纯虚数，()0,θπ∈，则θ=（）A ．6πB ．3π C ．23π D ．3π或23π 6．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，p ：m n ⊥，若p 是q 的必要条件，则q 可能是（）A ．q ：m α⊥，//n β，αβ⊥B ．q ：m α⊂，n β⊥，//αβC ．q ：m α⊥，n β⊥，//αβD ．q ：m α⊂，//n β，αβ⊥7．已知,x y 满足2303301x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，2z x y =+的最大值为m ，若正数,a b 满足a b m +=，则14a b+的最小值为（） A ． B ．32C ．D ．528．数列{}n a 满足11a =，1(1)(1)n n na n a n n +=+++，且2cos3n n n b a π=，记n S 为数列{}n b 的前n 项和，则24S 等于（）A ．294B ．174C ．470D ．3049．已知函数()sin()(0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的图象如图所示，令()()'()g x f x f x =+，则下列关于函数()g x 的说法中不正确的是（）A ．函数()g x 图象的对称轴方程为()12x k k Z ππ=-∈B ．函数()g x 的最大值为22C ．函数()g x 的图象上存在点P ，使得在P 点处的切线与直线l ：31y x =-平行D ．方程()2g x =的两个不同的解分别为1x ，2x ，则12x x -最小值为2π 10．已知函数()21,1254,12xx f x x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪-+->⎪⎩，若函数()()g x f x mx m =--的图象与x 轴的交点个数不少于2个，则实数m 的取值范围是（）A ．(]1,2ln2,6304⎡-∞-⋃⎢⎣B ．1,6304⎡-⎢⎣C ．(]1,2ln2,6304e ⎡-∞-⋃-⎢⎣D ．1,6304⎡+⎢⎣11．已知ABC ∆是边长为23EF 为ABC ∆的外接圆O 的一条直径，M 为ABC∆的边上的动点，则ME FM ⋅u u u v u u u u v的最大值为（） A ．3B ．4C ．5D ．612．若集合(){},,,|04,04,04,,,p q r s p s q s r s p q r s E =≤<≤≤<≤≤<≤∈N 且，(){}F ,,,|04,04,,,t u v w t u v w t u v w 且=≤<≤≤<≤∈N ，用()card X 表示集合X 中的元素个数，则()()card card F E +=（） A ．50B ．100C ．150D ．200二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年江苏省高考数学最后一卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合A={0,1，2}，B={x|−1<x<1}，则A∩B=________．2.若复数z=i(2−z)，则z=______ ．3.读如下两个伪代码，完成下列题目．(1)Ⅰ输出的结果为________．(2)若Ⅰ、Ⅱ输出的结果相同，则伪代码Ⅱ输入x的值为________．4.已知样本2000个，其频率分布直方图如下，那么在[2,8)之间的有__________个．5.用红、黄、蓝三种不同的颜色给A，B两点涂色，每个点只涂一种颜色，则点A，点B颜色不同的概率为____________.6.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在R上的部分图象如图所示，则ω的值为______ ．7. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2m+1−y 2=1的离心率为2，则实数m 的值是_________． 8. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a1+a 200=1，则S 200=_____ 9. 若一个圆锥的母线与底面所成的角为π6，体积为125π，则此圆锥的高为_______。

10. 如图，在圆C 中，C 为圆心，AC 为圆的半径，AB 是弦，若|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=6，则AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =______．11. 若sinα=45，则sin(α−π4)+√22cosα=__________． 12. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M ：x 2+y 2−4x −8y +12=0，圆N 与圆M 外切于点(0,m)，且过点(0,−2)，则圆N 的标准方程为______________．13. 已知函数f(x)={k(x +2),x ≤0−lnx,x >0(k <0)，若函数y =f(f(x))−1有3个零点，则实数k 的取值范围为______ ．14. 已知△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足2a 2+bc =6，则△ABC 面积的最大值为______．二、解答题（本大题共11小题，共142.0分）15. 如图，在三棱锥ABC −A 1B 1C 1中，AB =AC ，，，D ，E 分别是AB 1，BC的中点．求证：(1)DE//平面ACC 1A 1；(2)AE ⊥平面BCC 1B 1.16.如图，在△ABC中，∠B=30°，AC=2√5，D是边AB上一点．(Ⅰ)求△ABC的面积的最大值；(Ⅱ)若CD=2，△ACD的面积为4，∠ACD为锐角，求BC的长．17.某社区有一块直角三角形的闲置土地MON，OM=ON=60米，该区域内有处P，点P到边界OM的距离PC=20米，点P到边界ON的距离PD=10米．社区为改善居民生活环境，决定将其改造为居民休闲广场．方案为：经过点P修建一条笔直小路(两端A,B分别在边界OM,ON上，宽度不计)将该区域分为两部分，在区域AOB内安装健身器材，平均每平方米造价600元，剩余区域种植草皮，每平方米造价100元．(1)当OP ⊥AB 时，求休闲广场的总造价为多少元？(2)求休闲广场总造价的最低费用为多少元？18. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右焦点分别为，F 1和F 2，上顶点为B ，BF 2，延长线交椭圆于点A ，△ABF 的周长为8，且BF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)若直线l ⊥AB 且与椭圆C 相交于两点P ，Q ，求|PQ|的最大值．19.已知函数f(x)=lnx．(1)若直线y=2x+p(p∈R)是函数y=f(x)图象的一条切线，求实数p的值．(2)若函数g(x)=x−mx−2f(x)(m∈R)有两个极值点，求实数m的取值范围．20.已知数列{a n}中，a1=1，其前n项和为S n，且满足a n=2S n22S n−1(n≥2,n∈N+).(Ⅰ)求证：数列{1S n}是等差数列；(Ⅱ)证明：13S1+15S2+17S3+⋯+12n+1S n<12．21.已知矩阵[122a ]的属于特征值b的一个特征向量为[11]，求实数a、b的值．22.已知曲线C的极坐标方程为，直线l:θ=a(a∈[0,π),ρ∈R)与曲线C相交于M、N两点．以极点O为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系．(Ⅰ)求曲线C的参数方程；(Ⅱ)记线段MN的中点为P，若|OP|⩽λ恒成立，求实数λ的取值范围．23.设实数a，b，c满足a+2b+3c=4，求证：a2+b2+c2≥8．724.如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，点M，N分别为A1A和B1B的中点．(Ⅰ)求异面直线CM与D1N所成角的余弦值；(Ⅱ)求点D1到平面MDC的距离．25.设随机变量X的分布列为P(X=k)=1，k=1，2，3，4，5.求E(X+2)2，V(2X−1)．5-------- 答案与解析 --------1.答案：{0}解析：【分析】本题考查集合的交集运算，属于基础题．直接利用交集定义即可求得答案．【解答】解：根据交集的定义可得A∩B={0}．故答案为{0}．2.答案：1+i解析：解：复数z=i(2−z)，则z=2i1+i =2i(1−i)(1+i)(1−i)=1+i．故答案为：1+i．化简已知条件，利用复数的除法的运算法则化简求解即可．本题考查复数的代数形式的混合运算，基本知识的考查．3.答案：(1)6(2)0解析：【分析】本题考查算法中的赋值语句，(1)根据题中的伪代码直接写出答案；(2)利用两个伪代码输出结果相同，得到关于x的方程，即可求出x的值，属基础题．【解答】解：(1)第一次赋值：x=1;第二次赋值：x=2×1=2;第三次赋值：x=3×2=6，输出：6．(2)由伪代码可知Ⅱ输出的结果是x2+6，若Ⅰ、Ⅱ输出的结果相同，则x2+6=0，解得x=0．故答案为(1)6(2)0．4.答案：880解析：本题考查频率分布直方图的应用，属于简单题。

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1．数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心（三边中垂线的交点）、重心（三边中线的交点）、垂心（三边高的交点）依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知ABC ∆的顶点为()0,0A ，()5,0B ，()2,4C ，则该三角形的欧拉线方程为（）．注：重心坐标公式为横坐标：1233x x x ++；纵坐标：1233y y y ++ A ．2100x y --= B ．250x y --= C ．2100x y +-=D ．250x y +-=2．执行如图所示的程序框图（其中mod a b 表示a 除以b 后所得的余数），则输出的N 的值是（）A ．78B ．79C ．80D ．813．甲、乙、丙、丁四个孩子踢球打碎了玻璃．甲说：“是丙或丁打碎的．”乙说：“是丁打碎的．”丙说：“我没有打碎玻璃．”丁说：“不是我打碎的．”他们中只有一人说了谎，请问是（）打碎了玻璃． A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁4．某学生将语文、数学、英语、物理、化学、生物6科的作业安排在周六、周日完成，要求每天至少完成两科，且数学，物理作业不在同一天完成，则完成作业的不同顺序种数为（） A ．600B ．812C ．1200D ．16325．已知z C ∈，且1z =，则22i z --（i 为虚数单位）的最大值是（） A ．221-B ．221+C ．2D ．226．如图，直角梯形ABCD ，90ABC ∠=o ，2CD =，1AB BC ==，E 是边CD 中点，ADE ∆沿AE 翻折成四棱锥D ABCE '-，则点C 到平面ABD '距离的最大值为（）A ．12B ．22C ．D ．17．已知,x y 满足2303301x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，2z x y =+的最大值为m ，若正数,a b 满足a b m +=，则14a b+的最小值为（） A ． B ．32C ．D ．528．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，公差0d ≠，11a =，若125,,a a a 成等比数列，则93++n n S a 的最小值为() A ．136B ．2C ．101-D ．949．如图,矩形ABCD 中,1AB =,3BC =,F 是线段BC 上一点且满足1BF =,E 是线段FC 上一动点,把ABE △沿AE 折起得到1AB E △,使得平面1⊥B AC 平面ADC ,分别记1B A ,1B E 与平面ADC 所成角为α,β,平面1B AE 与平面ADC 所成锐角为θ,则:（）⇒A ．θαβ>>B ．θβα>>C ．αθβ>>D ．βθα>>10．已知函数，其中，若对任意的非零实数，存在唯一的非零实数（），使得成立，则的取值范围为（）A ．B ．C ．或D ．11．在四边形ABCD 中,已知M 是AB 边上的点,且1MA MB MC MD ====,120CMD ∠=o ,若点N 在线段CD (端点,C D 除外)上运动,则NA NB ⋅u u u r u u u r的取值范围是() A ．[)1,0- B ．[)1,1-C ．3,04⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D ．1,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭12．已知集合，若，则等于A ．1B ．2C ．1或D ．1或2二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）最后一卷数 学I 2020.6圆锥的体积13V Sh =，其中S 是圆锥的底面圆面积，h 是高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．． 1. 已知集合{|23},{21,}A x x B x x k k =<<==-∈Z －，则A B =I ▲ . 2．已知复数z 满足1－i z ＋2＝－i ，其中i 为虚数单位，则z 的实部是 ▲ .3. 根据如图所示的伪代码，当输出y 的值为1时，则输入的x 的值为 ▲ .4. 如图是某个容量为100的样本的频率分布直方图，则数据在区间[6，10)上的频数是 ▲ .5．用红、黄、蓝3种颜色给3面信号旗随机染色，每面信号旗只能染一种颜色，则3面信号旗中有且仅有两面信号旗颜色相同的概率是 ▲ ．6．函数sin()(0)y x ωϕω=+>的部分图象如图所示，则ω的值为 ▲ .7． 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：x 2―y 2m＝1的离心率为3，则实数m 的值为 ▲ ． 8．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝2，则S 6＝ ▲ .（第3题）（第4题）FECBAP（第15题）9．如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为6 cm ，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的23(细管长度忽略不计)．细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此锥形沙堆的高度是 ▲ cm.10. 如图，左图是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图．其阴离子排列如下面右图所示，右图中圆的半径为1，且相邻的圆都相切，A ，B ，C ，D 是其中四个圆的圆心，则AB CD ⋅u u u r u u u r▲ ． 11. 已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4=66，α∈(0，π)，则cos ⎝⎛⎭⎫2α+π6＝ ▲ ． 12. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M 经过直线l ：x -3y +23=0与圆C ：x 2+y 2=4的两个交点．当圆M 的面积最小时，圆M 的标准方程为 ▲ ．13.已知函数3()log f x x =，函数()h x 是最小正周期为2的偶函数，且当x ∈[0，1]时，()31x h x =-.若函数)()(x h x f k y +⋅=恰有3个零点，则实数k 的取值范围是 ▲ ． 14. 已知△ABC 的面积等于1，BC =1，则当△ABC 的三边之积取得最小值时，sin A = ▲ . 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P －ABC 中，PC ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，AC ＝PC ，E ，F 分别是P A ，PC 的中点．求证：(1)AC //平面BEF ；(2)P A ⊥平面BCE ．EOCDB（第10题）（第9题）（第17题）M ADCBN如图，在△ABC 中，点D 在边BC 上，∠CAD =π4，AC =72，102cos -=∠ADB ．(1)求C ∠sin 的值；(2)若△ABD 的面积为7，求AB 的长．17．（本小题满分14分）如图，在市中心有一矩形空地ABCD ，AB =100 m ，AD =75 m ．市政府欲将它改造成绿化景观带，具体方案如下：在边AD ，AB 上分别取点M ，N ，在三角形AMN 内建造假山，在以MN 为直径的半圆内建造喷泉，其余区域栽种各种观赏类植物．(1)若假山区域面积为400 m 2，求喷泉区域面积的最小值； (2)若MN =100 m ，求假山区域面积的最大值．18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2=1的左、右焦点为F 1, F 2，点A 为左顶点，且OA =F 1F 2，过右焦点F 2作直线l 交椭圆C 于P ,Q 两点，当直线l 垂直于x 轴时，PQ =3． (1)求椭圆C 的标准方程;(2)证明：原点O 总在以PQ 为直径的圆内； (3)若AP ⊥F 1Q (点P 在x 轴上方)，求直线l 的方程．AB CD已知函数f (x )=a e x (a ≠0,a ∈R ),g (x )=12x 2.(1)当a =-2时，若直线l 与曲线y =f (x )及y =g (x )都相切，求直线l 的方程； (2)若y =f (x )-g (x )有两个极值点x 1，x 2. ①求实数a 的取值范围； ②若x 2≥3x 1,求实数x 1的最大值20．( 本小题满分 16 分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，b n =S na n (n ∈N*).若{b n }是公差不为0的等差数列，且b 2b 7=b 11．(1)求数列{b n }的通项公式； (2)证明：数列{a n }是等差数列； (3)记c n =2nn a S ，若存在k 1，k 2∈N*(k 1≠k 2)，使得12k k c c =成立，求实数a 1的取值范围．2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）最后一卷数 学II(附加题)21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，每小题10分. 请选定其中两．．．．．小．题．，并在相应的．．．．．答题区域．．．．内作答．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. 【选修4—2：矩阵与变换】(本小题满分10分)已知矩阵1=14a ⎡⎤⎢⎥⎣-⎦A 的一个特征向量1α＝11⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （1）求实数a 的值；（2）若向量32⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，计算3A α．B. 【选修4—4：坐标系与参数方程】(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为2221121t x t t y t ⎧+=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩(t 为参数).以直角坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为4cos ρθ=.(1)求曲线C 1的普通方程； (2)射线(0)6πθρ=>与曲线C 1和曲线C 2分别交于点M ，N ，已知点Q (4，0)，求△QMN的面积.C . 【选修4—5：不等式选讲】(本小题满分10分)已知实数a ，b ，c 满足a +b +c =7，求证：a 2+4b 2+9c 2≥36.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）已知直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长均相等，且∠BAD =60︒，M 是侧棱DD 1的中点，N 是棱C 1D 1上的点．(1)求异面直线BD 1和AM 所成角的余弦值；(2)若二面角M —AC —N 的大小为π4，试确定点N 的位置．23．（本小题满分10分）现有n (n ≥2，n ∈N*)份血液样本需要进行2019-nCoV 检验，假设每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p (0＜p ＜1)．检验方式如下：将n 份血液样本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，则表明n 份血液样本全为阴性，终止检验；若检验结果为阳性，则再对这n 份样本逐份检验．记这n 份血液样本的检验次数为X ．(1)求X 的概率分布与数学期望E (X )；(2)若1p =(e 为自然对数的底数)，且E (X )≤n ，求n 的最大值参考数据：ln 20.6931≈，ln3 1.0986≈．（第22题）ABCDA 1D 1 C 1BM N2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）最后一卷数学试题参考答案与评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1. 已知集合{|23},{21,}A x x B x x k k =<<==-∈Z －，则A B =I ▲ .{―1，1} 2．已知复数z 满足1－iz ＋2＝－i ，其中i 为虚数单位，则z 的实部是 ▲ . ―13. 根据如图所示的伪代码，当输出y 的值为1时，则输入的x 的值为 ▲ .24. 如图是某个容量为100的样本的频率分布直方图，则数据在区间[6,10)上的频数是 ▲ .70 5．用红、黄、蓝3种颜色给3面信号旗随机染色，每面信号旗只能染一种颜色，则3面信号旗中有且仅有两面信号旗颜色相同的概率是 ▲ ．236．函数sin()(0)y x ωϕω=+>的部分图象如图所示，则ω的值为 ▲ . 47． 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：x 2―y 2m ＝1的离心率为3，则实数m 的值为 ▲ ．28．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝2，则S 6＝ ▲ . -69．如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为6 cm ，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的23 (细管长度忽略不计)．细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此锥形沙堆的高度是 ▲ cm.16910. 如图，左图是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图．其阴离子排列如下面右图所示，右图中圆的半径为1，且相邻的圆都相切，A ，B ，C ，D 是其中四个圆的圆心，则AB CD ⋅=u u u r u u u r▲ ．26（第3题）Read xI f x ≤0 Theny ←x 2＋2 Elsey ← log 2x End If Print y（第4题）0.2000.025468 10 12 频率组距0.075 20.050 xy y 011π24-y 05π24O （第6题）（第10题）FECBAP（第15题）11. 已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4=66，α∈(0，π)，则cos ⎝⎛⎭⎫2α+π6＝ ▲ ．2―15612. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M 经过直线l ：x -3y +23=0与圆C ：x2+y 2=4的两个交点．当圆M 的面积最小时，圆M 的标准方程为 ▲ ．223(()12x y +-= 13.已知函数3()log f x x =，函数()h x 是最小正周期为2的偶函数，且当x ∈[0，1]时，()31x h x =-.若函数)()(x h x f k y +⋅=恰有3个零点，则实数k 的取值范围是 ▲ ．)3log 2,2(5--14. 已知△ABC 的面积等于1，BC =1，则当△ABC 的三边之积取得最小值时，sin A = ▲ . 817二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P －ABC 中，PC ⊥平面ABC ，10AB =， 6BC =，8AC PC ==，E ，F 分别是P A ，PC 的中点．求证：(1)AC //平面BEF ；(2)P A ⊥平面BCE ．【证】（1）在△PAC 中，E F ，分别是PA PC ，的中点，所以EF ∥AC ． …… 2分 又因为EF BEF ⊂平面，AC BEF ⊄平面， 所以AC ∥平面BEF ． …… 4分 （2）在△ABC 中，所以222AB AC BC =+，所以BC AC ⊥． …… 6分 因为PC ABC ⊥平面，BC ⊂平面ABC ，所以PC BC ⊥． …… 8分 又因为BC PC ⊥，AC PC C =I ，AC ⊂平面PAC ，PC ⊂平面PAC ． 所以BC ⊥平面PAC ．因为PA ⊂平面PAC ，所以BC PA ⊥． …… 10分 在△PAC 中，因为AC PC =，E 为PA 的中点，所以PA EC ⊥． …… 12分 又因为PA BC ⊥，CE BC C =I ，CE ⊂平面BCE ，BC ⊂平面BCE ． 所以PA ⊥平面BCE ． …… 14分16．（本小题满分14分）如图，在△ABC 中，点D 在边BC 上，∠CAD =π4，AC =72，102cos -=∠ADB ．(1)求C ∠sin 的值；(2)若△ABD 的面积为7，求AB 的长．【解】（1）因为102cos-=∠ADB ，所以sin ADB ∠==. ………………… 2分 A B CD（第17题） MA DCBN又因为,4π=∠CAD 所以,4π-∠=∠ADB C所以4sin cos 4cos sin )4sin(sin πππADB ADB ADB C ∠-∠=-∠=∠45=. ……………………6分 （2）在ADC ∆中，由正弦定理得ADCACC AD ∠=∠sin sin ， 故2210275427sin sin )sin(sin sin sin =⨯=∠∠⋅=∠-∠⋅=∠∠⋅=ADB C AC ADB C AC ADC C AC AD π.…………… 8分又11sin 72210ABD S AD BD ADB BD ∆=⋅⋅⋅∠=⋅⋅=，解得5=BD . ………………… 10分 在ADB ∆中，由余弦定理得2222cos 82525(37,AB AD BD AD BD ADB =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯=所以AB. …………………………14分17．（本小题满分14分）如图，在市中心有一矩形空地ABCD ，AB =100 m ，AD =75 m ．市政府欲将它改造成绿化景观带，具体方案如下：在边AD ，AB 上分别取点M ，N ，在三角形AMN 内建造假山，在以MN 为直径的半圆内建造喷泉，其余区域栽种各种观赏类植物．(1)若假山区域面积为400 m 2，求喷泉区域面积的最小值； (2)若MN =100 m ，求假山区域面积的最大值． 【解】方法一：（1）设∠ANM =θ，()π02θ∈，， 半圆的直径MN =2r ，半圆的圆心为O ．在直角三角形AMN 中，∠MAN =π2，所以AM =2r sin θ，AN =2r cos θ．因为假山区域面积为400 m 2，所以12AM ·AN =12×2r sin θ×2r cos θ= r 2sin2θ=400， …… 2分所以r 2=400sin 2θ，所以喷泉区域面积S 喷泉=π2r 2=200π200πsin 2θ≥，当且仅当sin2θ=1，即θ=π4时取等号．此时r =20． …… 5分因为点O 到CD 的距离d 1=AD －12AM ，点O 到BC 的距离d 2=AB －12AN ，所以d 1=75－r sin θ=75－102＞20=r ，即d 1＞r ，d 2=100－r cos θ=100－102＞20=r ，即d 2＞r ．所以以MN 为直径的半圆区域一定在矩形广场内．所以当θ=π4时，S 喷泉取得最小值200π m 2．答：喷泉区域面积的最小值为200π m 2． …… 7分 （2）由（1）知，若MN =100 m ，则2r =100， AM =100sin θ，AN =100cos θ．所以点O 到CD 的距离d 1=75－r sin θ=75－50sin θ，点O 到BC 的距离d 2=100－50cos θ， 因为以MN 为直径的半圆区域在矩形广场内， 所以12d r d r ⎧⎨⎩≥，≥，即7550sin 5010050cos 50θθ-⎧⎨-⎩≥，≥，所以1sin 2θ≤．又因为()π02θ∈，，所以(π06θ⎤∈⎥⎦，． …… 11分 所以假山区域面积S 假山=12AM ·AN =12×100sin θ×100cos θ=2500sin2θ，因为(π06θ⎤∈⎥⎦，，所以(π203θ⎤∈⎥⎦，， 所以当π6θ=时，假山区域面积的最大值为1250 3 m 2． 答：假山区域面积的最大值为1250 3 m 2． …… 14分方法二：（1）设AM =x m ，AN =y m ，半圆的直径2r ，半圆的圆心为O ．在直角三角形AMN 中，∠MAN =π2，所以MN =2r因为假山区域面积为400 m 2，所以12AM ·AN =12xy = 400，所以xy =800， …… 2分所以喷泉区域面积S 喷泉=2π()22MN =22ππ(2200π88x y xy +⋅=)≥，当且仅当x y ==r =20． …… 5分 因为点O 到CD 的距离d 1=AD －12AM ，点O 到BC 的距离d 2=AB －12AN ，所以d 1=75－2x =75－102＞20=r ，即d 1＞r ，d 2=100－2y=50－102＞20=r ，即d 2＞r ． 所以以MN 为直径的半圆区域一定在矩形广场内．所以当x y ==S 喷泉取得最小值200π m 2．答：喷泉区域面积的最小值为200π m 2． …… 7分 （2）由（1）知，若MN =100 m ，则2210000x y +=．所以点O 到CD 的距离1752x d =-．因为以MN 为直径的半圆区域在矩形广场内， 所以d 1≥r ，即75502x -≥，所以50x ≤，注意到，在边AD ，AB 上分别取点M ，N ，构成△AMN ，所以050x <≤． …… 9分所以假山区域面积S 假山=12AM ·AN =12xy =12…… 11分=， 所以当50x =时，假山区域面积取得最大值为1250 3 m 2．答：假山区域面积的最大值为1250 3 m 2． …… 14分方法三：（1）以AB 所在的直线为x 轴，AD 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy ．设直线MN 的方程为y ＝kx ＋b (k <0，b >0)，半圆的直径2r ，半圆的圆心为O ，则AM =b m ，AN =b k-m ， ()22b b O k -，，在直角三角形AMN 中，∠MAN =π2，所以MN =2r = 因为假山区域面积为400 m 2，所以12AM ·AN =12b (b k⋅-= 400，所以b 2=－800k ，所以喷泉区域面积S 喷泉=()2π22MN =()()222π1π111(800)1100π()200π88()b k k k k k ⎡⎤+-+-+⎢⎥-⎣⎦==≥， 当且仅当1k =-时，取等号．此时b =202，r =20，O ．所以半圆方程为22((400(0)x y x y -+-=+->．因为AB =100 m ，AD =75 m ，所以直线BC ，CD 方程分别为x ＝100，y ＝75， 所以点O 到CD 的距离d 1=75－102＞20=r ， 点O 到BC 的距离d 2=100－102＞20=r ，所以AM =202＜75=AD ，AN =202＜100=AB ，所以满足以MN 为直径在矩形广场内画一半圆区域用于修建喷泉． 所以S 喷泉取得最小值200π m 2． 答：喷泉区域面积的最小值为200π m 2．（2）由（1）知，AM =b m ，AN =b k-m ，()22b b O k -，，若MN =100 m ，则22210000b b k+=，所以k =点O 到CD 的距离1752b d =-，点O 到BC 的距离21002b d k =+．因为以MN 为直径在矩形广场内画一半圆区域用于修建喷泉， 所以1d r ≥，2d r ≥，即75502b -≥，100502b k +≥，所以50b ≤，0k ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭． 注意到，在边AD ，AB 上分别取点M ，N ，构成△AMN ，所以050b <≤．所以假山区域面积S 假山=12AM ·AN =12b ()b k ⋅-=12所以当50b k ==，时，假山区域面积取得最大值为1250 3 m 2．（另解）假山区域面积S 假山=12AM ·AN =12b ()b k ⋅-=250001k k-+，记25000()(0)1k f k k k -=<+，则2225000(1)()0(1)k f k k -'=<+， 所以()250001k f k k -=+在0⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是单调减函数，所以当k =S 假山取得最大值1250 3 m 2．答：假山区域面积的最大值为1250 3 m 2． 18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2=1的左、右焦点为F 1, F 2，点A 为左顶点，且OA =F 1F 2，过右焦点F 2作直线l 交椭圆C 于P ,Q 两点，当直线l 垂直于x 轴时，PQ =3． (1)求椭圆C 的标准方程; (2)证明：原点O 总在以PQ 为直径的圆内；(3)若AP ⊥F 1Q (点P 在x 轴上方)，求直线l 的方程．【解】(1)设椭圆的焦距为2(0)c c >，因为12OA F F =，所以2a c =， 由当直线l 垂直于x 轴时，3PQ =，将x c =代入椭圆方程得22221c y a b+=，解得2b y a =±所以223bPQ a ==， …………………………………2分联立2222223+a c b aa b c =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩解得2, 1.a b c === 所以椭圆方程为22143x y +=. …………………………………4分（2）证明：当直线l 斜率为0时，此时P ,Q 位于长轴两个顶点，原点O 为圆心，满足题意. ……………………6分 当直线l 斜率不为0时，设l 方程为1x my =+，联立221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去x 得22(34)690m y my ++-=， 由求根公式可得1,2y = 故122634m y y m +=-+，122934y y m =-+， ……………………8分 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则 12121212(1)(1)OP OQ x x y y my my y y ⋅=+=+++u u u r u u u r21212(1)()1m y y m y y =++++222296(1)()13434m m m m =+--+++22125034m m +=-<+. 故原点O 总在以PQ 为直径的圆内. …………………………………10分（3）因为(2,0)A -,(2,0)F -，由AP ⊥F 1Q 得：10AP FQ ⋅=u u u r u u u r，即 1122(2,)(1,)0x y x y +⋅+=，121212220x x x x y y ++++=，212122(1)2()60m y y m y y my +++++=， ……………………………12分因为点P 在x轴上方，所以268y m =+，代入上式得：22296(1)2()603434m m m m m m -++-++=++，整理得：2252m =-， …………………………14分 两边平方得：22425m =，解得m 舍去) 所以直线l 得方程为1x y =+，即1)y x =-. ………………………………16分19．( 本小题满分 16 分）已知函数f (x )=a e x (a ≠0,a ∈R ),g (x )=12x 2.(1)当a =-2时，若直线l 与曲线及都相切，求直线l 的方程； (2)若y =f (x )-g (x )有两个极值点x 1，x 2. ①求实数a 的取值范围； ②若x 2≥3x 1,求实数x 1的最大值 【解】（1）当2a =-时，()2x f x e =-，设曲线y =f (x )上的切点为11,2x x e -（），则切线方程为11122()x x y e e x x +=--，设曲线y =g (x )上的切点为2221,2x x （），则切线方程为22221()2y x x x x -=-.由两条切线重合得112212212(1)2x x e x e x x ⎧-=⎪⎨-=-⎪⎩，则12=0=2x x ⎧⎨-⎩， 所以公切线方程为22y x =--. ………………4分（2）①因为21()()2x y f x g x ae x =-=-，所以'x y ae x =-，令x x ae x ϕ-（）=，则'1x x ae ϕ=-（）， 当0a <时，'0x ϕ<（）所以x ϕ（）单调递减，不合题意. ………………6分 当0a >时，令10x ae -=，得1lnx a=， 当x <ln 1a 时，'0x ϕ<（）；当x > ln 1a时，'0x ϕ>（）， 所以x ϕ（）在1(,ln )a -∞上单调递减，x ϕ（）在1(ln ,)a+∞单调递增， 若y =f (x )-g (x )有两个极值点x 1，x 2，则1ln 111ln ln 1ln 0a ae a a aϕ=-=-<（）， 解得10a e<<． ……………………………8分因为00a ϕ=>（），1211110a ae a a a a aϕ=->⋅-=（）(可以证明：当x >0时，e x >x 2)所以10ln 0a ϕϕ⋅<（）（），11ln 0a aϕϕ⋅<（）（）因为函数的图象连续不断，所以函数在1(0,ln )a ，11ln ,a a ⎛⎫⎪⎝⎭各存在一个零点，故实数a 的取值范围是10.e ⎛⎫⎪⎝⎭， …………………………10分②令21(3)x kx k =≥，可得1111x kx x kx e e =，则1ln 1kx k =-， ………………………12分 令ln ()(3)1x h x x x =≥-，则'211ln (),(1)xx h x x --=- 又令1()1ln (3),t x x x x =--≥则'21()0,xt x x-=<所以()t x 在[3，＋∞）上单调递减，所以2()(3)ln 30,3t x t ≤=-<所以'()0,h x <即()h x 在[3，＋∞）单调递减，ln 3()(3),2h x h ≤=故1x 的最大值是ln 3.2……………………………16分20．( 本小题满分 16 分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，b n =S na n (n ∈N*).若{b n }是公差不为0的等差数列，且b 2b 7=b 11．(1)求数列{b n }的通项公式； (2)证明：数列{a n }是等差数列； (3)记c n =2nn a S ，若存在k 1，k 2∈N*(k 1≠k 2)，使得12k k c c =成立，求实数a 1的取值范围．【解】（1）设等差数列{}n b 的公差为d ，因为1111S b a ==，所以1(1)n b n d =+-．由2711b b b =得，(1)(16)110d d d ++=+，即220d d -=，因为0d ≠，所以12d =，从而1(1)2n b n =+. …… 3分（2）由（1）知，1(1)2n n Sn a =+，n *∈N ，即有2(1)n n S n a =+， ① 所以112(2)n n S n a ++=+， ②②-①得，112(2)(1)n n n a n a n a ++=+-+，整理得1(1)n n na n a +=+． …… 5分 两边除以(1)n n +得，101n n a a n n+-=+（n *∈N ），所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是常数列．所以111n a a a n ==，即1n a na =，所以11n n a a a +-=， 所以数列{}n a 是等差数列． …… 8分（3） 因为nn n S b a =，所以1(1)122n n n n n S a a ++==，所以111(1)22nn n a na S n n a c ++==． 因为111111111111(1)(2)(1)(1)(2)1()22222n n na a na na a n n a n n a n n a n c c n ++++++++++-=-=-+， 当n *∈N 时，)2111223n n n ⎡=-∈⎢++⎣，． …… 10分 显然10a ≠，①若10a <，则1112a >，11022a n n ->+恒成立， 所以10n n c c +-<，即1n n c c +<，n *∈N ，所以{}n c 单调递减，所以不存在12k k c c =； ②若12log 3a >，则11132a <， 11022a n n -<+恒成立， 所以10n n c c +-<，即1n n c c +<，n *∈N ，所以{}n c 单调递减，所以不存在12k k c c =； …… 12分 ③若12log 3a =，则11132a =，所以当n =1，11022a n n -=+成立， 所以存在12c c =．④若120log 3a <<，则111132a <<．当1221a n <-，且n *∈N 时，1n n c c +>，{}n c 单调递增；当1221a n >-，且n *∈N 时，1n n c c +<，{}n c 单调递减，不妨取0120002log (2)k a k k k *+=∈N ，≥，则001k k c c +=．综上，若存在12k k *∈N ，，使得12k k c c =成立，则1a 的取值范围是2(0log 3]，． ……16分数 学II(附加题)附加题共四道题，三选二为容易题，第22题为中档题，第23题最后一问题较难．解答附加题不要急于求成，要确保将这 30 分收入囊中．三选二注意事项：(1)切记根据要求填涂选定题号前小方框；(2)如无特殊情况应选择A 、B ，不选择其他题目，如 A 、B 确实有困难可尝试选择C 题目．21．A. 【选修4—2：矩阵与变换】(本小题满分10分)已知矩阵1=14a ⎡⎤⎢⎥⎣-⎦A 的一个特征向量1α＝11⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （1）求实数a 的值；（2）若向量32⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，计算3A α．【解】（1）由已知，得114a ⎡-⎤⎢⎥⎣⎦11⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝λ11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即114a λλ+=⎧⎨-+=⎩,解得a =2. …… 5分 (2) 由特征多项式12()(1)(4)214f λλλλλ--==--+-， 令()0f λ=，得2560λλ-+=，解得1223λλ==，，属于特征值13λ=的一个特征向量1α＝11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，属于特征值22λ=的一个特征向量2α＝21⎡⎤⎢⎥⎣⎦， …… 8分所以12=+ααα，33331131233221243132135λλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=+=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦A A A ααααα …… 10分B. 【选修4—4：坐标系与参数方程】(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为2221121t x t t y t ⎧+=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩(t 为参数).以直角坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为4cos ρθ=. (1)求曲线C 1的普通方程；(2)射线(0)6πθρ=>与曲线C 1和曲线C 2分别交于点M ，N ，已知点Q (4，0)，求△QMN的面积.【解】(1) 曲线C 1的普通方程为x 2-y 2=1. ……………………………2分(2)曲线C 1的极坐标方程为2cos 21ρθ=，令6πθ=，得1ρ=M6π). ………………………………4分曲线C 2的极坐标方程为4cos ρθ=，令6πθ=，得2ρ=即N(6π)．…6分所以MN＝………………………………8分又点Q (4，0) 到射线(0)6πθρ=>的距离为4sin 6π=2,所以△QMN的面积为………………………………10分A C ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）若实数a ，b ，c 满足7a b c ++=，求证：2224936a b c ++≥．【证】因为222111()()23⎡⎤++⎢⎥⎣⎦222211(49)(23)23a b c a b c +++⋅+⋅≥， …… 5分所以2222()49111++49a b c a b c ++++≥．又7a b c ++=，所以2224936a b c ++≥． …… 10分 22．（本小题满分10分）已知直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长均相等，且∠BAD =60︒，M 是侧棱DD 1的中点，N 是棱C 1D 1上的点．(1)求异面直线BD 1和AM 所成角的余弦值； (2)若二面角M —AC —N 的大小为π4，试确定点N 的位置．【解】连结BD ，取AB 的中点E ．因为直四棱柱1111ABCD A B C D -的棱长均相等， 所以底面ABCD 是菱形．又60BAD ∠=︒，所以△ABD 是正三角形， 所以DE AB ⊥， 因为//AB DC ，所以DE DC ⊥．因为直四棱柱1111ABCD A B C D -中，1D D ⊥平面ABCD ，DC DE ⊂，平面ABCD ，所以1D D DC ⊥，1D D DE ⊥． …… 2分 分别以直线1DE DC DD ，，为x y z ，，轴建立如 图所示的空间直角坐标系．（1）设直四棱柱1111ABCD A B C D -的棱长均为2，则(000)D ，，，10)A -，，10)B ，，(020)C ，，，1(002)D ，，，(001)M ，，．所以1(12)BD =-u u u u r，，(11)AM =u u u ，． 设异面直线1BD 与AM 所成角的大小为θ，则111cos cos ||||BD AMBD AM BD AM θ⋅=<>===⋅u u u u r u u u u ru u u u r u u u u r u u u ur u u u u r ，， 所以异面直线1BD 与AM ． …… 4分（2）由（1）知，(30)AC =u u u r ，(11)AM =u u u u r，． 设平面AMC 的法向量为1111()x y z =，，n ，则11AC AM ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩u u u r u u u u r ，，n n 即1100AC AM ⎧⋅=⎪⎨⋅⎪⎩u u u ru u u ur ，=，n n 所以11111300.y y z ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩， 取1x 11y =，12z =，即平面AMC 的一个法向量为112)=，n ． …… 6分 设(02)N λ，，，02λ≤≤，则(022)CN λ=-u u u r，，． 设平面ACN 的法向量为2222()x y z =，，n ，则22AC CN ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩u u u r u u u r ，，n n 即2200AC CN ⎧⋅=⎪⎨⋅⎪⎩u u u r u u u r，=，n n 所以222230(2)20.y y z λ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩， （第22题） AB CD A 1D 1 C 1 B MN取2x =21y =，222z λ-=，即平面ACN的一个法向量为221)2λ-=，n ． …… 8分则121212cos cos 4|||⋅π=<⋅>===⋅n n n n |n n 解得2λ=．所以当二面角M AC N --的大小为4π，点N 与点1C 重合． …… 10分23．（本小题满分10分）现有n (n ≥2，n ∈N*)份血液样本需要进行2019-nCoV 检验，假设每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p (0＜p ＜1)．检验方式如下：将n 份血液样本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，则表明n 份血液样本全为阴性，终止检验；若检验结果为阳性，则再对这n 份样本逐份检验．记这n 份血液样本的检验次数为X ．(1)求X 的概率分布与数学期望E (X )；(2)若1p =(e 为自然对数的底数)，且E (X )≤n ，求n 的最大值．参考数据：ln 20.6931≈，ln3 1.0986≈． 【解】(1)X 的可能值为1，n.p (X ＝1)＝(1-p )n ，p (X ＝n +1)＝1-(1-p )n .p )n . (2) 若E (X )≤n ，则1n ≤(1-p )n ，两边取自然对数，得ln n ≥-n ln(1-p )，因为1p =，所以ln n ≥n 4．设f (x )=ln x -14x ，则f ´(x )=4-x4x，当x >4时f ´(x )<0，当0<x <4时f ´(x )＞0，所以f (x )在(0，4)上是增函数，在(4，＋∞)上是减函数， 又f (4)＝ln4-1>0，f (8)＝3ln2-2>0，f (9)=2ln3-94<0，故n 的最大值为8．。