无需角速度的含通信时延卫星编队飞行自适应姿态协同跟踪控制_胡庆雷

第40卷第10期2023年10月控制理论与应用Control Theory&ApplicationsV ol.40No.10Oct.2023复杂约束下的挠性航天器姿态参考管理控制党庆庆1,刘贞报1,李文博2,桂海潮3,刘萍4†(1.西北工业大学民航学院,陕西西安710072;2.北京控制工程研究所,北京100190;3.北京航空航天大学宇航学院,北京100191;4.中山大学航空航天学院,广东深圳510275)摘要:本文提出了一种基于显式参考管理与模态观测器的挠性航天器姿态机动控制方法.首先,采用改进的罗德里格斯参数建立了航天器的运动学和动力学模型,分析了存在的控制约束和角速度约束.在此基础上,设计了基于显式参考管理的约束挠性航天器姿态重定向控制算法.由于挠性模态不能直接测量,内层设计了模态观测器,并将观测器观测得到的模态坐标作为内层无约束控制器的输入.随后,外层导航模块根据所需满足的约束条件设计了相应的动态路径,该路径可以根据当前状态以合适的速率收敛到最终状态,通过跟踪该路径,航天器姿态就可以在满足约束的情况下快速到达期望位置.通过构造合适的李雅普诺夫函数,严格证明了该挠性航天器显式参考管理姿态控制算法的稳定性.最后,仿真结果进一步验证所设计算法的约束处理效果与振动抑制能力.关键词:挠性航天器;姿态控制;复杂约束;模态观测器;显式参考管理引用格式:党庆庆,刘贞报,李文博,等.复杂约束下的挠性航天器姿态参考管理控制.控制理论与应用,2023, 40(10):1813–1820DOI:10.7641/CTA.2022.20301Explicit reference governor-based constrainedflexible spacecraftattitude controlDANG Qing-qing1,LIU Zhen-bao1,LI Wen-bo2,GUI Hai-chao3,LIU Ping4†(1.School of Civilaviation,Northwestern Polytechnical University,Xi’an Shaanxi710072,China;2.Beijing Institute of Control Engineering,Beijing100190,China;3.School of Astronautics,Beihang University,Beijing100191,China;4.School of Aeronautics and Astronautics,Sun Yat Sen University,Shenzhen Guangdong510275,China)Abstract:This paper addresses the explicit reference governor and modal observer based attitude reorientation prob-lem.First,the kinematics and dynamics of the spacecraft are established by using the modified Rodrigues parameters, and the control constraints and angular velocity constraints are analyzed.Then,a constrainedflexible spacecraft attitude reorientation control algorithm based on explicit reference governor is proposed.Since the modal displacement cannot be directly measured and the modal observer is designed in the inner layer,the modal displacements observed are used as input to the inner unconstrained controller.The navigation layer is utilized to manipulate the reference state to enforcing constraints satisfaction.By constructing the Lyapunov function,the closed-loop stability of the explicit reference gover-nor basedflexible spacecraft attitude control algorithm is strictly proved.Finally,the simulation results further verify the constraint processing effect and vibration suppression ability of the proposed attitude control algorithm.Key words:flexible spacecraft;attitude control;complex constraints;modal observer;explicit reference governorCitation:DANG Qingqing,LIU Zhenbao,LI Wenbo,et al.Explicit reference governor-based constrainedflexible spacecraft attitude control.Control Theory&Applications,2023,40(10):1813–1820收稿日期:2022−04−21;录用日期:2022−12−21.†通信作者.E-mail:****************.本文责任编委:龙离军.国家自然科学基金项目(11972056),国家自然科学基金优秀青年项目(62022013),广东省基础与应用基础研究基金项目(2019A1515111070),深圳市自然科学基金项目(GXWD20201231165807008,20200830220334001),科技部国家重点研发计划项目(2020YFC2200801,2020YFC2200502),航天科技集团行业特色科研项目(6230109004),陕西省自然科学基金青年项目(2023–JC–QN–0003),中央高校基本科研业务费专项资金项目(23GH020210)资助.Supported by the National Natural Science Foundation of China(11972056),the National Natural Science Funds for Excellent Young Scholars of China(62022013),the Guangdong Basic and Applied Basic Research Foundation(2019A1515111070),the Shenzhen Science and Technology Program(GXWD20201231165807008,20200830220334001),the National Key R&D Program of China(2020YFC2200801,2020YFC2200502), the Industry specific Program of China Aerospace Science and Technology Corporation(6230109004),the Natural Science Foundation of Shaanxi Province(2023–JC–QN–0003)and the Fundamental Research Funds for the Central Universities(23GH020210).1814控制理论与应用第40卷1引言航天器的姿态控制在空间任务中扮演着非常重要的角色,如在轨服务、遥感测控等.为了安全操作或者受制于敏感器与执行机构的物理特性,在姿态机动过程中存在着诸如控制输入饱和、角速度约束、指向限定等约束.此外,现代航天器由于普遍存在着天线、太阳能帆板等挠性附件,在姿态机动时还存在振动问题.这些约束与振动问题若在控制器设计过程中不加以充分考虑,会直接影响到任务的完成质量,甚至导致任务失败,但这些问题依然没有很好地得到解决.因此,研究复杂约束条件下挠性航天器的姿态控制有着重要的理论价值和工程意义.存在约束的姿态机动问题可以通过路径规划实现,如多项式拟合、BCB(bang-coast-bang)等方法.这些方法虽然比较可靠,但需要离线规划,灵活性差,需要提前根据任务需求规划好路径,学术研究已鲜有讨论.直接基于李雅普诺夫函数设计由于灵活性更好等优势受到了更多学者的关注.Gao等人[1]针对姿态跟踪控制中的执行器失效以及奇异等问题,提出了非奇异的终端滑模方法.在李雅普诺夫函数中构造关于约束势函数的方法提供了一种实时自主处理约束的更加一般可行方案,因此近年来有大量的研究成果[2–5].文献[5]针对飞轮作为执行机构的航天器,基于势函数设计了能够避免相机指向太阳的控制算法,并设计了相应的控制分配律.为了解决姿态控制中存在的指向约束问题,文献[6]引入了约束的势函数将其凸化,并纳入到李雅普诺夫函数中,实现姿态指向规避.文献[7]在借鉴文献[6]的基础上,针对存在指向规避约束的姿态控制问题,通过在李雅普诺夫函数中构造类似的势函数来规避约束,并且通过合理的设计规避了四元数可能存在的回旋问题.沈强[4]在文献[6]和文献[8]的基础上,通过构造势函数设计了考虑速度约束的航天器姿态控制算法,并且针对无速度测量的挠性航天器约束姿态控制问题,进行了相应的设计.关于挠性航天器的控制问题已经研究了多年[8–9],但在实际工程中由于存在着参数不确定和测量不确定,该问题在应用层面依然没有得到彻底的解决.针对深空探测航天器姿态机动时存在挠性附件振动及液体晃动的问题,文献[10]采用自抗扰技术,将姿态角控制转化成了角速度跟踪控制,实现了较好的控制效果,但该算法中只考虑了控制输入的饱和约束.由于滑模控制处理扰动具有理论上的优势,因此被广泛应用于挠性航天器的抖动抑制研究[11–13],其中文献[11]针对执行器故障的挠性航天器设计了滑模姿态控制方法,文献[12]针对挠性航天器在姿态机动过程中的振动抑制问题,设计了基于模糊自适应分数阶的滑模控制方法.利用零极点对消的思想,输入成型可以从理论上有效抑制振动,但是这需要事先规划好机动路径,且实际效果与模态测量的准确性密切相关[14].尽管这些方法对于振动抑制研究较多,但对于约束的处理普遍考虑不足.由前面分析可知,采用势函数处理存在指向规避的航天器姿态控制问题,已经有了较多的研究成果,但依然存在的明显的问题:首先,势函数的在处理约束的时候李雅普诺夫函数既要保证状态的收敛,又要规避约束,可能存在局部最小化的问题,这给设计增加了难度,同时作者还发现这种方法会使得系统的鲁棒性变差.当然,也有学者提出采用模型预测方法解决约束姿态控制问题[15–16],尽管理论上行之有效,但由于其在每个采样周期内的在线迭代需要占用大量计算资源,具体实施起来还有诸多困难.作为参考管理(reference governor,RG)的一种,显式参考管理(ex-plicit RG,ERG)提供了另一种行之有效的途径用以处理约束[17–19].某种程度上约束问题的本质是路径规划问题,ERG将约束和系统的稳定性分开处理,通过内层的无约束控制器保证系统的闭环稳定性,而外环的导航层保证系统约束满足.这种控制架构思路清晰,且不需要像模型预测一样反复迭代,有较好的可实现性.本文针对存在角速度约束与控制饱和约束挠性航天器的姿态控制问题设计基于ERG的控制算法.由于挠性模态无法直接测量,内层首先设计模态观测器,然后,在此基础上设计相应的控制器;外层结合约束条件采用李雅普诺夫函数的不变集设计阈值来保证系统状态满足约束条件.通过对比比例–微分(propor-tional differential,PD)控制方法,该方法由于有自主路径规划,角速度变化更为平缓,因此不仅能够有效处理约束,还能够在尽可能快的机动情况下间接的抑制振动.2问题描述2.1航天器动力学模型本文采用改进罗德里格斯参数(modified rodrigues parameters,MRPs描述航天器的姿态,MRPs由欧拉轴{n|n T n=1,n∈R3}和绕其旋转的欧拉角ϕ∈R构成,即:σ=n tan(ϕ/4)∈R3.令fB和fI分别为航天器本体固连坐标系和惯性参考系.航天器运动学模型如下[20]:˙σBI=G(σBI)ωBBI,(1)其中:G(σBI)=12(1−σTBIσBI2I3+σ×BI+σBIσT BI),ωBBI∈R3为绝对角速度;σBI表示本体坐标系相对于惯性坐标系的姿态;I3∈R3×3与(·)×分别为3×3单位矩阵和三维向量张成的反对称矩阵.更一般地,任第10期党庆庆等:复杂约束下的挠性航天器姿态参考管理控制1815意两个坐标系X,Y相对于惯性坐标系的姿态以及其两者之间的关系如下:σXY =σYI(σTXIσXI−1)1+σTXIσXIσTYIσYI+2σTYIσXI+σXI(1−σTYIσYI)−2σ×YIσXI1+σTXIσXIσTYIσYI+2σTYIσXI,(2)此外,在后面章节的推导中,还将用到如下关系[20]:σT G(σ)=1+σTσ4σT1.(3)航天器的挠性附件主要是弹性较小的太阳帆板,因此航天器的动力学模型可以简化成中心刚体加挠性附件的形式,其动力学方程在本体坐标系的表示如下[8]:J˙ω+ω×(Jω+δT˙η)+δT¨η=τc,(4a)¨η+C˙η+Kη=−δ˙ω,(4b)其中:J∈R3×3为挠性航天器整体结构的转动惯量矩阵;τc∈R3表示控制力矩;δ∈R N×3表示中心刚体与挠性附件之间的耦合矩阵;N表示弹性模态阶数;η∈R N×1为柔性附件的模态坐标向量;C=2×diag{ζ1Λ1,···,ζNΛN}和K={Λ1,···,ΛN}分别为阻尼矩阵和刚度矩阵;而ζi和Λi,i=1,···,N分别表示弹性模态的阻尼比和振动频率.显然,振动方程(4b)是一个标准的线性时不变二阶系统,由于K,C是正定的,这说明该系统本身是自稳定的,换句话说若角速度衰减到零,模态坐标向量也必然为0.为了后文观测器与控制器设计方便,将式(4b)改写成状态空间方程形式.令[3]ψ=˙η+δω,(5)对上式求导,利用式(4b)替换掉¨η,并再次代入式(5)得˙ψ=−Cψ−Kη+Cδω,(6)同时令J0=J−δTδ,将式(4b)代入式(4a)替换掉¨η,然后代入式(5),整理后可得J0˙ω+ω(J0ω+δTψ)−δT(Cψ+Kη−Cδω)=τc+τd.(7) 2.2系统约束由于一些传感器对于角速度敏感(如星敏感器),为了保证在机动过程中的事态感知能力,需要限制航天器的最大姿态角速度,其约束集可以表示成如下形式: Cω={(σ,ω,ψ,η):∥ω∥ ωmax,ωmax>0},(8)其中ωmax是最大容许角速度.此外,长期在轨运行的航天器普遍采用角动量交换装置作为控制力矩产生的执行机构,如控制力矩陀螺和飞轮,这些执行存在着饱和问题,因此有必要将控制约束纳入算法设计.为了文章简洁明了重点鲜明,这里只考虑控制输入的饱和约束而不具体讨论执行机构的结构特性,更详细的相关内容可以参考文献[17],具体控制约束集形式如下:Cτ={(σ,ω,ψ,η):|τc| τmax,τmax>0},(9)其中τmax为最大容许控制力.最终,结合式(8)–(9)系统所需满足的约束条件为两者的交集,即C=Cω∩Cτ.(10)至此,就完成了系统模型的推导.可见,挠性航天器模型由运动学模型(1)、动力学模型(5)–(7)以及约束集(10)构成.注1从MRPs的定义可发现:欧拉角ϕ在±π处会产生奇异,且影子集{σ=σs,σs=−σ/σTσ}的存在,会导致同一姿态的表示方式并不唯一的.幸运的是:在−π/2 ϕ π/2时,∥σ∥ 1,就可以完全覆盖所有姿态.因此,在本文中直接限定∥σ∥ 1,溢出部分通过σ与σs进行切换,这样还保证了两个姿态之间的旋转角是最小的,即此时的旋转路径即为最短路径.3控制器设计本文的控制目标为挠性航天器在满足约束条件式(10)的情况下,在所设计的控制算法作用下能够从任意初始状态(σBI(0),ω(0),ψ(0),η(0))机动到期望状态(σDI,03×1,0N×1,0N×1)(对应期望坐标系f D).采用ERG的具体控制架构如图1所示.可以看出:该控制策略由两部分串联构成,分别为外层的导航部分和内层的控制部分,其中参考状态坐标fV为导航层根据当前系统状态、目标状态以及所需要满足的约束条件所自主产生的当前时刻控制器需要跟踪的状态.可见导航层的作用就是产生一条内层控制器跟踪的轨迹,该轨迹能够保证内层控制器产生的控制输入以及系统状态满足约束条件.此时,系统的稳定性、鲁棒性等性能由内层不考虑约束的控制器处理.显然ERG这种控制架构将稳定性与约束条件分开处理,内层控制系统保证系统稳定,而外出产生的状态σVI(t)能够使得系统满足约束条件以及σVI(∞)=σDI.相关算法理论可参考文献[18].σBI,σVI以及σBV相互之间的转换关系可由式(2)获得.此外,关于符号表示本文做如下约定:¯a表示a在暂时假设为常值,ˆa表示a的估计值,˜a表示估计值ˆa与真实值a之间的误差.3.1内环无约束控制器设计在没有附加特殊传感器(如摄影模态测量等)的情况下,模态坐标相关信息ψ,η是无法直接获取的,因此内层需要设计模态观测器.首先给出如下定理.定理1对于挠性航天器运动学模型(1)、动力1816控制理论与应用第40卷学模型(5)–(7)以及给定的常值参考状态¯σVD (˙σVD =0),在外部扰动力矩为零的情况下,在如下模态观测器:[˙ˆη˙ˆψ]=[0N ×N I N −K −C ][ˆηˆψ]+{[−I N C ]+P −1[K C ]}δω,(11)以及控制器τc =−k p σBV −k d ω−δT (C ˆψ+K ˆη−C δω)(12)的作用下,系统状态是渐近稳定的,即:lim t →∞(σBV ,ω,η,ψ)=(03×1,03×1,0N ×1,0N ×1),且观测器也是渐近收敛的,即:lim t →∞(ˆη,ˆψ)=(η,ψ),其中ˆη,ˆψ分别为η,ψ的估计值;P 是如下李雅普诺夫方程的解:P [0N ×N I N−K −C]+[0N ×N I N −K −C ]T P =−2Q ,(13)其中:Q =Q T ,Q 为任意给定正定对称矩阵;此外k p >0,k d >0是用于调节控制器性能的正常数.B BI B BI图1基于ERG 的挠性航天器姿态控制架构The architecture of the ERG based flexible spacecraft attitude control scheme此定理的证明过程如下:证步骤1首先,定义模态观测值与实际值之间的误差为:˜η=ˆη−η,˜ψ=ˆψ−ψ.将式(6)–(7)整理成如下状态空间方程形式:[˙η˙ψ]=[0N ×N I N −K −C ][ηψ]+[−I NC ]δω,(14)将式(11)与式(14)作差,则可得到关于观测误差的方程[˙˜η˙˜ψ]=[0N ×N I N −K −C ][˜η˜ψ,]+P −1[K C ]δω.(15)为证明观测误差渐近稳定,取如下准李雅普诺夫函数:V e =12[˜ηT ˜ψT ]P [˜η˜ψ],(16)对上式求导,并代入式(15)得˙V e =[˜ηT ˜ψT ]P [˙˜η˙˜ψ]=[˜ηT ˜ψT ]P [0N ×N I N −K −C ][˜η˜ψ]+[˜ηT ˜ψT ][K C]δω=−[˜ηT ˜ψT ]Q [˜η˜ψ]+[˜ηT ˜ψT ][K C]δω,(17)上式推导过程使用了式(13).由于式(11)中状态空间矩阵的特征值实部为负,因此,式(13)的解是始终存在的[8].步骤2证明观测器与控制器串联成的闭环系统渐近稳定.从式(17)可以看出:若没有第2项,则˙V e 就是负定的,即观测器是渐近收敛的,第2项的存在是为了保证观测和控制器组成的串联系统是稳定的.取李雅普诺夫函数为V =V c +V e ,(18)其中V c =2k p ln(1+σTBV σBV )+12(ω)T J 0ω,(19)对式(18)求导,利用ωT ω(J 0ω+δT ψ)=0以及式(3),并代入式(12),可得˙V =4k p σT BV ˙σBV 1+σ2BV+ωT J 0˙ω+˙V e =−k d ∥ω∥2−ωT δT (C ˜ψ+K ˜η)+˙Ve =−k d ∥ω∥2−[˜ηT ˜ψT ]Q [˜η˜ψ] 0,(20)上述导数中,只有(ω,˜η,˜ψ)=(03×1,0N ×1,0N ×1)时,“=”才会成立.从而有lim t →∞(ω,˜η,˜ψ)=(03×1,0N ×1,0N ×1).从状态空间方程(14)可以看出,在没有角速度的情况下模态观测器是渐近收敛的,即lim t →∞(η,ψ)=(0N ×1,0N ×1).结合式(1)(7)(12)以及La-Salle 不变原理可得lim t →∞σBV =03×1.因此,定理1得证.证毕.注2综合式(11)(17)以及式(20)可以看出:为了保证模态观测器和控制器串联成的闭环系统的稳定性,模态观测器进行了一定的妥协,即式(11)的最后一项使得关于模态观第10期党庆庆等:复杂约束下的挠性航天器姿态参考管理控制1817测器的准李雅普诺夫函数(式(17))不是半负定的,而是要跟控制器结合成的李雅普诺夫函数整体(式(20))是半负定的.若不需要对模态的观测加以控制,则可以去掉式(11)的最后一项,此时观测器退化为一个标准的线性观测器,它的收敛性将不再依赖于控制器的角速度收敛.3.2外环导航算法设计如图所示,根据ERG 理论,在导航层通过设计附加的参考状态σVI 运动特性来满足约束条件式(10).约束条件的满足可以通过不变集理论设计一定的安全域,在参考轨迹变化的时候保证系统状态在安全域内即可.σVI 的具体形式如下:˙σVD =∆(σBV ,ω,ψ,η)χ(σVD ),(21)其中∆(·)用于表征当前状态距离安全边界的动态系数,通过设计该参数的动态调节就可以保证系统状态满足约束条件(10).该参数越大,说明距离当前系统状态越远离边界,从而可以以更快的速度到达最终期望状态.χ(σVD ):R 3→R 3是关于当前参考状态σVI 与期望状态σDI 的导航函数.由于模态坐标的估计误差是不可得的,V e 具体值无法获取.因此这里近似采用式(19)作为系统的李雅普诺夫函数来设计需要满足约束条件的不变集(即用V c 替代V 假设模态坐标估计值与真实值一致){(σ,ω,ψ,η):V c Γ},其中Γ是由约束条件(10)决定的动态上界(阈值).在文献[18–19]中,安全域设计为∆(·)=k e (Γ−V c ),其中k e 是用于调节性能的常数,根据具体对象模型设计.但是考虑到模态坐标估计是存在误差的,有可能会导致系统状态稍稍溢出边界.为了防止∆(·)为负算法失效,本文采取如下形式:∆(σBV ,ω,ψ,η)={k e (Γ−V c ),Γ>V c ,0,Γ V c .(22)对于式(8)给出的凸集形式的角速度约束集,其阈值可以直接设计如下:Γω=12J m ω2max ,(23)其中J m 是J 0的最小特征值.显然,当V c =Γω时,有˙σVI =03×1.结合˙V0,˙Γω=0,这说明经过一定的时间等待后,必然有V c <Γω,从而保证了角速度约束(8)是始终能够满足的.类似地,借鉴文献[19]中的方法,饱和约束(9)可以通过如下优化目标函数对3个坐标方向(i =1,2,3)依次求解获得.问题1min 2k p ln(1+σBV )+12(ω)T J 0ω,满足|σBV |i 1,(24a)|k p σBV +k d ω|i τmax ,(24b)其结果的最小值即为Γτ=min {Γ1,Γ2,Γ3}.由于挠性附件对控制输入的影响微乎其微,因此在优化时可以忽略模态坐标的影响.综上,满足约束条件(10)的阈值上界为两者中最小的一个,即Γ=min {Γω,Γτ}.总结为如下引理.引理1对于挠性航天器运动学模型(1),动力学模型(5)–(7)需满足约束条件(10),在内环模态观测器(11)及控制器(12)的作用下.若˙Vc 0,Γ=min {Γω,Γτ},则系统约束(10)始终满足.得到安全域的形式(22)后,接下来设计导航轨迹χ(σVD )使得系统状态满足约束条件.由于不存在姿态约束,因此姿态轨迹χ(σVD )采用最短路径,只需要确定跟踪速度即可.导航函数可以设计为如下形式:χ(σVD )=−G (σVD )σVD ,(25)由于在期望位置处有ω=03×1,τc =03×1,因此约束条件(10)在最终状态肯定是满足的.这里首先给出如下定理.定理2对于挠性航天器运动学模型(1),动力学模型(5)–(7)需满足约束条件(10),在内环模态观测器(11)以及控制器(12)的作用下,外环由安全域(22)以及导航路径(25)构成的参考轨迹(21)跟踪下.对于任意满足初始条件V c (0) Γ(0)的状态,以下条件成立:1)对于任意给定的参考状态σDI ∈C ,系统约束条件总是能够满足;2)由式(21)产生的附加状态σVI 最终能够渐近收敛于σDI .此定理的证明过程如下:证步骤1首先,对于条件1),由引理1可知显然成立.步骤2其次,证明条件2),取如下准李雅普诺夫函数:V σ=12σTVD σVD ,(26)对上式求导,利用性质(3),并代入式(21)得˙V σ=−∆σT VD G (σVD )σVD =−∆(1+σTBVσBV 4)σT BV σBV 0,(27)当˙Vσ=0时,则有σVD =01×3或者∆(σVD ,ω)=0.对于前一种情况则表明附加状态已经到达期望状态.对于后一种情况,则说明Γ V 并且σVD =01×3.由于V 的持续减小,Γ V,V >0,˙V0,与˙V =0,V >0并不能稳定保持,因此第2种情况并不能长期保持,系统最终将使得σVD 趋近于0.因此定理2得证.证毕.注3外环附加状态¯σVD 是动态的,定理1只证明了跟踪状态为常值¯σVD (˙σVD =0).在附加状态¯σVD 变化的时候,1818控制理论与应用第40卷并不要求内环控制器使得¯σBD 收敛到¯σVD ,而是只要求李雅普诺夫函数在不变集内即可,即Γ V .当¯σVD =03×1,此时系统状态跟踪的就是常值期望状态,定理1就足以满足条件.此外,该算法从两个层面减少了挠性附件的振动,一方面控制力矩的限制减小了系统激励;另一方面角速度减小,降低里振动幅值,这些性能将在仿真中进一步验证.4仿真本节将针对前面提出的基于ERG 的约束航天器姿态控制方法进行一系列的仿真验证,仿真假设航天器从一个静止位置机动到另一个静止状态.航天器本身的参数参考了文献[8],其动惯量为J =diag {350,280,190}kg .m 2.这里考虑四阶模态,其阻尼比和振动频率分别为:ζ1=0.05607,ζ2=0.08620,ζ3=0.1283,ζ4=0.2516,Λ1=0.7681,Λ2=1.1038,Λ3=1.8733,Λ4=2.5496.从而可以得到相应的阻尼矩阵C 和刚度矩阵K .相应地,中心刚体与挠性附件之间的耦合矩阵为δ= 6.456371.278142.15629−1.256190.91756−1.672641.116872.48901−0.836741.23637−2.6581−1.1250 .航天器的初值姿态与角速度分别设置为:σBI (0)=[−0.1190.0000.159]T 与ω(0)=[000]T rad /s .并且假设最大容许角速度为ωmax =0.035rad /s ;最大容许控制力矩为τmax =1N ·m .此外,为了验证本文所提出算法的鲁棒性,对模型施加了未知的外部扰动力矩,其形式如下:τd = 1−11 + 1.6sin(0.01t +π3)1sin(0.005t +2π3)1.5sin(0.008t +π)×10−4N ·m .ERG 的内层控制器(12)与观测器(11)相关参数选取为:Q =1000I 3,k p =120,k d =120,模态向量的初始值均设置为零.导航层(22)的系数设置为:k e =100,剩余参数可由(23)以及问题1求解获得.为了对比导航层对约束处理以及挠性模态振动的抑制效果,仿真中用虚线给出了只采用PD 控制的仿真结果(没有外环导航层),为了尽可能保证单独PD 控制满足控制约束与角速度约束,PD 参数需要重新设置,为了得到较好的结果,在反复尝试后选取如下:k ′p=8,k ′d =35.图2给出了模态坐标的估计误差,可以看出本文所设计的观测器可以较好的估计出挠性模态.图3–6分别给出了航天器的状态变化曲线,可以看出:ERG 算法在导航层的限制下,航天器的角速度先上升到一个稳定值待姿态接近于目标位置,再逐步收敛,且控制力矩也很好的保持在约束范围内.而PD 控制算法尽管相关参数经过了反复的调制,但响应曲线远不及ERG 算法平滑,同时为了避免角速度过大和控制力饱和,所选择的参数远小于ERG 算法中内层PD 控制器的参数,这就导致其抗干扰能力较差.从图3可以看出,在稳定状态下由于扰动存在,PD 控制器的控制效果远不及ERG.此外,尽管本文中并没有采取诸如输入成型等主动抑制振动的方法,但由于ERG 算法产生的角速度比较光滑,且幅值较小.因此挠性模态位移也远小于单纯的PD 控制.众所周知,直接采取PD 控制,只要系统的响应时间足够长(带宽足够短,截止频率足够小),系统的振动依然可以得到很好的抑制,但这样做的代价是需要有足够的时间来调节.而在采用ERG 算法后,由于参考状态和自身状态较为接近,因此,内层控制器所需跟踪的状态与实际状态偏差比较小,PD 增益可以设置的较大而不用担心超过角速度约束,且调节时间并没有明显变长.05010015086 4 202×10 61234ηU / s~~~~_图2挠性模态估计误差Fig.2Modal displacement estimation error402002040601001500.10.00.1050100150U / sθ / °图3姿态角Fig.3Attitude0.040.020.000.02x y z/ (r a d ·s 1)50100150U / s图4姿态角速度Fig.4Angular velocity第10期党庆庆等:复杂约束下的挠性航天器姿态参考管理控制18191.00.50.00.51.0τx τy τzτ / (N ·m )050100150U / s图5控制力矩Fig.5Control torque0.030.02 0.010.000.01η1η2η3η4η50100150U / s图6挠性模态位移Fig.6Modal displacement结合图4与图7可以看出本文所提出的算法很好的保证了角速度和控制约束得到满足.而对于单纯的PD 控制,尽管经过反复的调整参数,但在初始阶段控制力矩有明显的饱和,而在10s 左右的时候角速度则溢出了边界.并且在稳定状态的角度稳定度(角速度范数)也明显好于单纯的PD 控制.此外,结合图4、图8–9可以看出:在初始时间段内,由于系统远离约束边界(V 与Γ差值较大),参考角速度迅速增加,而参考轨迹迅速接近期望位置.随后不到1s 系统接近边界(V 与Γ接近),参考估计的角速度基本保持恒定,参考轨迹大体匀速接近期望位置.最后参考轨迹到达期望位置,而实际状态也收敛于于期望位置.总体来看,仿真结果验证了本文所提出算法的有效性与鲁棒性,符合预期．10 5050100150U / s10|| || / (r a d ·s 1)图7角速度约束比较Fig.7Comparison of angular velocity constraint0.20.10.00.10.20.3050100150U / sσV Dσ1σ2σ3图8参考轨迹Fig.8Reference trajectory0.000.020.040.060.080.10050100150U / s7τ7图9李雅普诺夫函数与阈值Fig.9Lyapunov function and thresholds5结论本文提出了一种基于显式参考管理的考虑角速度约束与控制约束的挠性航天器姿态重定向控制算法.参考管理算法内层由无约束控制器和模态观测器构成,外层根据需要满足的约束条件采用李雅普诺夫函数不变集的方法设计了相应的导航轨迹.通过理论分析证明了内层观测器与控制器的渐近稳定性,并且证明了外层导航轨迹在保持约束条件满足的情况下收敛到期望位置.仿真结果中引入了扰动,并与传统的PD 算法进行了对比分析,验证了对挠性附件的振动抑制效果以及算法对约束处理的有效性和对扰动的鲁棒性.参考文献:[1]GAO S,JING Y ,LIU X,et al.Finite-time attitude-tracking controlfor rigid spacecraft with actuator failures and saturation constraints.Interional Journal Robust Nonlinear Control ,2020,30(5):1903–1937.[2]A V ANZINI G,RADICE G,ALI I.Potential approach for constrainedautonomous manoeuvres of a spacecraft equipped with a cluster of control moment gyroscopes.Aerospace Engineering ,2009,223(3):285–296.[3]SHENG Q,YUE C,GOH C.Velocity-free attitude reorientation ofa flexible spacecraft with attitude constraints.Journal of Guidance,Control,and Dynamics ,2017,40(5):1289–1295.[4]SHENG Q,YUE C,GOH C,et al.Rigid-body attitude stabiliza-tion with attitude and angular rate constraints.Automatica ,2018,90:157–163.。

控制输入饱和的挠性航天器姿态机动智能鲁棒控制
姜野;胡庆雷;马广富
【期刊名称】《宇航学报》
【年(卷),期】2009(030)001
【摘要】针对挠性航天器带有执行机构饱和的姿态控制问题,提出了一种将自适应变结构和智能控制相结合的智能鲁棒控制方法.首先,在基于非线性和低阶模态的动力学模型基础上,针对挠性模态不可测的特点,给出了仅利用输出信息的智能自适应变结构输出反馈控制器的设计方法,其中利用神经网络控制来补偿执行机构饱和非线性和采用自适应控制技术克服确定不确定性的界的困难,并基于Lyaounov方法分析了滑动模态的存在性及系统的稳定性.最后,将该方法应用于挠性航天器的姿态机动控制,在反作用飞轮存在饱和特性约束的情况下,完成姿态机动的同时,可有效地抑制挠性附件的振动.
【总页数】6页(P188-192,249)
【作者】姜野;胡庆雷;马广富
【作者单位】哈尔滨工业大学航天学院控制科学与工程系,哈尔滨,150001;哈尔滨工业大学航天学院控制科学与工程系,哈尔滨,150001;哈尔滨工业大学航天学院控制科学与工程系,哈尔滨,150001
【正文语种】中文
【中图分类】V448.2
【相关文献】
1.带有输入非线性的挠性航天器姿态机动变结构控制 [J], 胡庆雷;马广富
2.控制受限的挠性航天器姿态机动控制和振动抑制 [J], 陶佳伟;张涛
3.挠性航天器姿态机动智能变结构输出反馈控制 [J], 姜野;胡庆雷;马广富
4.考虑输入饱和的挠性航天器姿态容错控制与振动抑制 [J], TAO Jia-wei;ZHANG Tao
5.挠性航天器变幅值输入成形姿态机动策略 [J], 王杰;吴军;邹杰
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含时变时延的卫星编队姿态协同自适应滑模L2增益控制胡庆雷;张健;马广富
【期刊名称】《系统工程与电子技术》
【年(卷),期】2013(035)011
【摘要】针对带有时变通信时延和输入时延的卫星编队飞行姿态协同控制问题,考虑卫星转动惯量参数不确定性及干扰,提出了一种自适应滑模L2增益控制算法.该方法首先利用自适应参数辨识技术对由转动惯量参数不确定给系统带来的扰动上界进行估计,进而设计了含时变时延信息的滑模自适应控制器,构造Lyapunov-Kra-sovskii函数,从理论上证明了闭环系统在该控制器作用下可以协同达到渐进稳定.在此基础上,进一步考虑存在外部干扰的影响,定义包括外部干扰与自适应参数估计误差在内的广义干扰,设计了对广义干扰具有L2增益抑制作用且含时变时延信息的姿态协同控制器.最后,仿真结果表明了所提出的控制器的可行性、有效性.
【总页数】8页(P2356-2363)
【作者】胡庆雷;张健;马广富
【作者单位】哈尔滨工业大学控制科学与工程系,黑龙江哈尔滨150001;哈尔滨工业大学控制科学与工程系,黑龙江哈尔滨150001;哈尔滨工业大学控制科学与工程系,黑龙江哈尔滨150001
【正文语种】中文
【中图分类】V488.2
【相关文献】
1.增益自适应滑模控制器在微型飞行器飞行姿态控制中的应用 [J], 李迪;陈向坚;续志军
2.基于L2增益稳定的航天器鲁棒姿态控制 [J], 李传江;马广富
3.挠性卫星姿态跟踪自适应L2增益控制 [J], 肖冰;胡庆雷;马广富
4.无需角速度的含通信时延卫星编队飞行自适应姿态协同跟踪控制 [J], 胡庆雷;周稼康;马广富
5.事件驱动的卫星编队姿态分布式协同控制 [J], 王智鹏;郭凤至;孙兆伟;张世杰因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

单轴有限推力下卫星轨道快速机动控制
胡庆雷;姜成平;晋小伟;霍星
【期刊名称】《哈尔滨工业大学学报》
【年(卷),期】2013(045)007
【摘要】针对仅能提供单轴推力的卫星轨道机动的快速性问题,提出了一种利用高斯伪谱法来求解最优控制问题的方法.通过引入“虚拟卫星”的概念,将卫星轨道机动问题转化为实际卫星与虚拟卫星的软交会问题.建立了相对运动方程,以机动时间为性能指标,利用高斯伪谱法将最优控制问题转化为非线性规划问题,避开了求解两点边值问题的困难.通过使用MATLAB优化工具箱求解得到最优轨迹.结果表明,高斯伪谱法针对多约束、非线性强耦合方程,求解速度快,精度高,对初值选取不十分敏感,寻优能力强,且具有一定的鲁棒性.
【总页数】5页(P13-17)
【作者】胡庆雷;姜成平;晋小伟;霍星
【作者单位】哈尔滨工业大学航天学院,150001 哈尔滨;哈尔滨工业大学航天学院,150001 哈尔滨;哈尔滨工业大学航天学院,150001 哈尔滨;哈尔滨工业大学航天学院,150001 哈尔滨
【正文语种】中文
【中图分类】V448.2
【相关文献】
1.单轴挠性卫星快速机动试验台 [J], 饶卫东;徐李佳
2.大椭圆轨道挠性卫星姿态快速机动控制研究 [J], 张洋;朱野;李东;鹿艺;朱振才
3.小卫星三轴稳定模式下的有限推力轨道转移 [J], 荆武兴;吴瑶华
4.卫星轨道圆化的有限推力点火控制策略 [J], 荆武兴;吴瑶华
5.有限推力下的航天器绕飞轨道保持与控制 [J], 师鹏;李保军;赵育善
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无需角速度的含通信时延卫星编队飞行自适应姿态协同跟踪控制胡庆雷;周稼康;马广富【期刊名称】《自动化学报》【年(卷),期】2012(038)003【摘要】针对编队卫星姿态协同跟踪控制中存在相异星间通信时变时间延迟的问题,提出了采用一阶滤波器来设计含通信时延的输出反馈控制器,并通过引入参数在线自适应辨识技术,以实现利用卫星姿态误差信息来实现对卫星的转动惯量进行在线估计.对于系统稳定性的分析,通过构造一新型Lyapunov函数,证明该控制器不仅能够有效地克服通信时间延迟对编队系统协同性的影响,同时可论证无需角速度信息反馈的闭环系统的有界稳定性.最后,将提出的算法应用于只需要角速度信息反馈的卫星编队飞行的协同控制,仿真结果表明该方法的可行性与有效性,具有实际的应用前景.%An output feedback structured attitude synchronization tracking control law has been developed for satellite formation flying without using explicit absolute angular velocity or relative angular velocity feedback, in which the unknown communication non-uniform various time-delays and inertia matrix are explicitly considered. More specifically, the controller structure includes a low-pass linear filter state which is derived without explicit differentiation of attitude to synthesize angular velocity-like signals, and an adaptive updating law is also involved to identify the satellite inertia matrix such that no knowledge of the inertia of the satellites in formation is required a priori. The associated stability proof is constructiveand accomplished by the development of a novel Lyapunov function candidate which proves the formation systems' bounded stability. Simulation results are presented to demonstrate the effectiveness of the control law.【总页数】7页(P462-468)【作者】胡庆雷;周稼康;马广富【作者单位】哈尔滨工业大学控制科学与工程系哈尔滨150001;哈尔滨工业大学控制科学与工程系哈尔滨150001;哈尔滨工业大学控制科学与工程系哈尔滨150001【正文语种】中文【相关文献】1.卫星编队飞行输出反馈姿态协同跟踪控制 [J], 马广富;周稼康;胡庆雷;晋小伟2.基于角速度观测器的卫星编队飞行相对姿态控制技术 [J], 高有涛;陆宇平;徐波3.编队飞行卫星的自适应姿态协同控制 [J], 吕建婷;曹喜滨;高岱4.含自时延和通信时延的Euler-Lagrange系统自适应一致性算法 [J], 刘源;王仕成;闵海波;刘志国;廖守亿5.含时变时延的卫星编队姿态协同自适应滑模L2增益控制 [J], 胡庆雷;张健;马广富因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

第29卷第9期V ol.29No.9控制与决策Control and Decision2014年9月Sep.2014多航天器系统分布式有限时间姿态协同跟踪控制文章编号:1001-0920(2014)09-1593-06DOI:10.13195/j.kzyjc.2013.0090张海博1,2,胡庆雷1,马广富1,朱志斌2(1.哈尔滨工业大学航天学院，哈尔滨150001；2.北京控制工程研究所空间智能控制技术国家级重点实验室，北京100190)摘要:基于一致性算法,在有向通讯拓扑下,研究存在状态约束的多航天器系统分布式有限时间姿态协同跟踪控制问题.在仅有部分跟随航天器可以获取领航航天器状态,并且跟随航天器之间存在不完全信息交互的情形下,设计了分布式快速终端滑模面,提出了不依赖于模型的分布式有限时间姿态协同跟踪控制律.根据有限时间Lyapunov稳定性定理,证明了系统的状态在有限时间内收敛于领航航天器状态的小邻域内.最后通过仿真算例验证了所提出算法的有效性.关键词:航天器系统；分布式；有限时间；姿态协同控制；快速终端滑模面中图分类号:TP273文献标志码:ADistributedfinite-time attitude coordinated tracking control for multiple spacecraft systemsZHANG Hai-bo1,2,HU Qing-lei1,MA Guang-fu1,ZHU Zhi-bin2(1.School of Astronautics，Harbin Institute of Technology，Harbin150001，China；2.National Key Laboratory of Science and Technology on Space Intelligent Control，Beijing Institute of Control Engineering，Beijing100190，China. Correspondent：HU Qing-lei，E-mail：*****************.cn)Abstract:Based on the consensus algorithm,a distributedfinite-time attitude coordinated tracking control is proposed for multiple spacecraft systems with state constraint under the directed communication topology.A model-independent distributedfinite-time attitude coordinated control algorithm is proposed by using the fast terminal sliding mode in the case that the leader spacecraft may only be available to a part of the follower spacecraft and/or with an incomplete information exchange among the follower spacecraft.The proposed control algorithm can guarantee that the follower spacecraft attitudes and angular velocities converge to a neighborhood of the leader spacecraft state infinite time based on thefinite time Lyapunov theory.Simulation results show the effectiveness and feasibility of the proposed algorithm.Key words:multiple spacecraft systems；distributed；finite-time；attitude coordinated control；fast terminal sliding mode0引言在航天控制领域,为了实现对目标的快速跟踪,往往需要追踪航天器能在有限时间内达到跟踪目标或者星载载荷指向目标,并对目标进行干扰或者攻击,因此研究航天器有限时间姿态控制有着重要的军事意义和科学意义.随着Bhat等人对有限时间齐次性理论[1]和有限时间Lyapunov稳定性理论[2]的提出和完善,连续有限时间控制得到了迅速的发展.基于多智能体一致性理论,多航天器系统分布式姿态协同引起了广大学者的关注.多数文献所研究的是多航天器系统的渐近稳定特性,然而对于工程实际中的航天器系统而言,一般需要在有限时间内达到期望的状态.有限时间控制具有很好的鲁棒性和抗干扰性.有关多智能体(航天器也可看作智能体)系统的有限时间一致性控制问题[3-8],已经引起了一些学者的关注.Cortés[3]提出了一类基于符号梯度函数的非连续控制算法,解决了无向连通拓扑结构下多智能体系统的有限时间一致性问题.Xiao等[4]在有向且强连通拓扑下给出控制协议,解决了多智能体系统有限时间一收稿日期:2013-01-19；修回日期:2013-06-27.基金项目:国家自然科学基金项目(61174200,61273175)；黑龙江省青年科学基金项目(QC2012C024).作者简介:张海博(1983−),男,博士后,从事多航天器系统协同控制等研究；胡庆雷(1979−),男,教授,博士生导师,从事航天器编队飞行控制、航天器故障诊断与容错控制等研究.1594控制与决策第29卷致性控制问题.佘莹莹等[5]提出了基于一类连续非线性函数的有限时间一致性算法,并且考虑了通讯时滞的影响.Meng等[6]研究了存在多个领航航天器的有限时间姿态协同控制问题,提出的控制律使得跟随航天器在有限时间内收敛于多领航航天器所形成的凸包内.Zhou等[7]提出了带有分数幂项的有限时间控制律,在航天器间的通信拓扑为无向连通的情形下,并且至少有一个跟随航天器对期望参考状态可知时,各航天器有限时间收敛于期望状态.高岱等[8]提出了无需绝对角速度和相对角速度测量的多航天器分布式有限时间姿态协同控制算法.考虑到多航天器系统的特点,比如某些跟随航天器不可获取领航航天器的状态,跟随航天器间仅可获取其邻居航天器的信息等,这些特点都为多航天器有限时间协同控制带来了一定的挑战.此外,尽管有限时间控制在多智能体系统协同控制中已有较好的研究成果,但主要是针对一阶积分系统或者二阶积分系统.由于非线性系统的特殊性,上述结果不能直接扩展到多航天器的有限时间协同控制问题中.文献[6-8]虽然研究了多航天器的有限时间协同控制,但航天器间的通讯拓扑图为无向的,不具有一般性.因此本文致力于研究在更具一般性的有向通讯拓扑下,多航天器系统的有限时间协同控制问题.1预备知识1.1图论考虑以有向通讯拓扑图来描述各航天器之间的信息获取关系.关于图论的更多知识,可阅读相关参考文献[9].有向通讯拓扑g由若干个顶点v和若干个边ε组成.顶点v i表示第i个航天器,i=1,2,⋅⋅⋅,n.边(v i,v j)表示航天器j能够获取航天器i的信息, v i为父节点,v j为子节点.定义A=[a ij]∈R n×n表示有向图的加权邻接矩阵.如果(v j,v i)∈ε,则a ij>0,反之,a ij=0.有向路径是指有向图中边的一个序列.如果有向图中任意两个不同的顶点v i,v j都存在路径,则称有向图g是强连通的.强连通分支是有向图的一个极大的强连通诱导子图,图的任何顶点都处在某个强连通分支中.如果有向图中含有一个没有父节点的特殊顶点(称之为根节点),除了此根节点外,其余每个节点均有且仅有一个父节点,并且存在根节点到其余任何节点的路径,则称该有向图为有向树.有向生成树为包含该有向图全部节点的有向树.如果有向图包含一个有向生成树的子图,则称该有向图具有有向生成树.定义有向图g的Laplacian矩阵为L=D−A,其中:D=diag(d1,d2,⋅⋅⋅,d n),d i=n∑j=1a ij.对有向图而言,L一般是不对称的.引理1[10]有向图g的Laplacian矩阵L仅有一个零特征值当且仅当g具有有向生成树.引理2[11]如果有向图g是强连通的,则存在一个正向量ξ=[ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn]T,满足ξT L=0.特别地,对于∀i=1,2,⋅⋅⋅,n,如果ξ满足n∑i=1ξi=1,则矩阵˜L=12(ΞL+L TΞ),Ξ=diag(ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn)是对称半正定的.引理3[12]假设g是强连通的,向量ξ满足ξT L =0,则矩阵diag(ξ)L+L T diag(ξ)是半正定的,0是其代数简单的特征值,1是相应的特征向量.引理4[12]对于任意非负列向量b=[b1,b2,⋅⋅⋅, b n]T,如果b=0且图g是无向连通的,则L+diag(b)是对称正定的.1.2航天器运动模型采用修正罗德里格参数(MRPs)来描述航天器姿态运动,则第i个航天器的姿态运动学和动力学方程分别为˙σi=G(σi)ωi,(1a)J i˙ωi=−S(ωi)J iωi+τi+τdi.(1b)其中:σi为第i个航天器姿态,ωi为第i个航天器本体坐标系相对于地心惯性坐标系的角速度在本体系中的投影,J i为正定对称的航天器转动惯量阵, S(ωi)为ωi的3×3斜对称矩阵,τi为作用于第i个航天器上的控制输入,且有G(σi)=12[1−∥σi∥22I3+S(σi)+σiσT i],对于向量而言,∥⋅∥表示向量的2范数,G(σi)满足如下性质:det(G(σi))=(1+σ2i)34=0,(2a)G T(σi)G(σi)=(1+σ2i4)2I3.(2b) 1.3稳定性理论及引理引理5[13]考虑非线性系统˙x=f(x,u),若存在正定连续的函数V(x):U→R,满足˙V(x)+λ1V(x)+λ2Vα(x)⩽0,其中λ1>0,λ2>0,α∈(0,1),则系统的原点也是有限时间稳定的,且有限到达时间满足T⩽1λ1(1−α)lnλ1V1−α(x0)+λ2λ2.引理6[14]考虑非线性系统˙x=f(x,u),假设存在连续函数V(x),常数λ>0,0<α<1,且0<β<∞,使得˙V(x)⩽−λVα(x)+β成立,则系统是实际有限时间稳定的(PFS),且系统状态在有限时间内第9期张海博等:多航天器系统分布式有限时间姿态协同跟踪控制1595收敛于如下紧集:lim t →T x ∈(V α(x )⩽β(1−θ)λ),其中0<θ⩽1,有限到达时间为T ⩽V 1−α(x (0))λθ(1−α).引理7[13]对于任意给定的矢量x =[x 1,x 2,⋅⋅⋅,x n ]T,n ⩾1,如果0<p <2,则有不等式∥x ∥p⩽n ∑i =1∣x i ∣p 成立.引理8[15]任意x i ∈R ,i =1,2,⋅⋅⋅,n ,如果∃0<b ⩽1,则有不等式(∣x 1∣+∣x 2∣+⋅⋅⋅+∣x n ∣)b ⩽∣x 1∣b +∣x 2∣b +⋅⋅⋅+∣x n ∣b 成立.引理9[13]d ∣x i ∣α+1d t=(α+1)sig(x i )α˙x i ,d[sig(x )α+1]d t =(α+1)∣x ∣α˙x .其中:x,α∈R ,sig (x )=∣x ∣sgn(x ).2分布式有限时间姿态协同跟踪控制2.1问题描述在仅有部分跟随航天器能够获取领航航天器状态,并且跟随航天器间存在不完全的信息交互的情形下,设计仅利用自身信息和邻居信息的分布式有限时间协同姿态跟踪控制律,使得各跟随航天器在有限时间内跟踪上静态领航航天器.记有向图¯g 表示跟随航天器与领航航天器之间的通讯拓扑.假定领航航天器不能获取跟随航天器的状态信息,即(v i ,v 0)/∈¯ε,∀i =1,2,⋅⋅⋅,n ,则a 0i =0,并且仅有一部分跟随航天器可获取领航航天器的状态.如果跟随航天器可以获得领航航天器的状态,则a i 0>0,否则a i 0=0.领航航天器到所有跟随航天器都有有向路径,则称有向图¯g 具有有向生成树.注意到有向图¯g 的Laplacian 矩阵为¯L=[H −a i 00T n0],其中H =L +diag(a 10,a 20,⋅⋅⋅,a n 0).由引理1和Gersgorin 圆盘定理可知,H 的所有特征值均具有正实部.2.2控制律设计定义第i 个跟随航天器的一致性误差为q i =n ∑j =0a ij (σi −σj ).(3)其中:下标“0”表示领航航天器,a ij 表示航天器之间的信息获取关系,n 表示航天器的个数.结合一致性误差,设计如下快速终端滑模面:s i =ωi +G T (σi )[k 1q i +k 2sig (q i )r ].(4)其中:0<r <1,k 1和k 2为大于零的常数,sig(q i )r =[sgn(q i 1)∣q i 1∣r ,sgn(q i 2)∣q i 2∣r ,sgn(q i 3)∣q i 3∣r ]T .将式(3)和(4)表示为向量的形式,则有q =(H ⊗I 3)[σ−(1n ⊗σ0)],s =ω+G T (σ)[k 1q +k 2sig (q )r ].(5)其中:q ,σ,ω分别为q i ,σi ,ωi 拼成的列向量,G T (σ)=diag(G T (σ1),G T (σ2),⋅⋅⋅,G T (σn )),1n 为全1的列向量,“⊗”表示Kronecker 积,sig(q )r =[sig(q 1)r T ,sig(q 2)r T ,⋅⋅⋅,sig(q n )r T ]T .针对第i 个跟随航天器,提出如下分布式有限时间协同控制律:τi =−ηs i −ςsig(s i )r −μJ ∗i ∥ωi ∥fsat(s i ).(6)其中:i =1,2,⋅⋅⋅,n ,η,ς>0,由设计者给定;定义航天器惯量矩阵的诱导范数∥J i ∥=√λmax (J T i J i ),其中λmax (⋅)为矩阵的最大特征值,选取J ∗i ⩾∥J i ∥为航天器转动惯量矩阵诱导范数的上界;μ可表示为μ=∥S (G T (σ)[k 1q +k 2sig(q )r ])+k 1G T (σ)(H ⊗I 3)G (σ)+k 2rG T (σ)diag(∣q ∣r −1)(H ⊗I 3)G (σ)−S T ([k 1q +k 2sig(q )r ])G (σ)∥+32∥σ∥∥G (σ)[k 1q +k 2sig(q )r ]∥.注意到当q i =0时,表达式∣q i ∣r −1将趋于无穷,为了确保μ的有界性,定义当q i =0时,表达式∣q i ∣r −1也等于0,从而避免了奇异的发生.fsat 可表示为fsat (s i ϕ)=⎧⎨ ⎩∣s i ∣ρ∣s i ∣ρ+ϕsgn(s i ),∥s i ∥⩽ϕ;sgn(s i ),∥s i ∥>ϕ.其中:sgn(s i )=[sgn(s i 1),sgn(s i 2),sgn(s i 3)]T ,0<ρ<1.综上分析,针对多航天器有限时间姿态协同控制问题,给出如下定理.定理1假设领航航天器为静态的,应用分布式有限时间姿态协同控制律(6),如果有向图¯g 具有有向生成树,则对于∀i =1,2,⋅⋅⋅,n ,存在有限时间T ,当t ⩾T 时,各跟随航天器的状态在有限时间内到达领航航天器状态的小邻域内.证明根据引理5和引理6,分两步分析系统在控制律(6)作用下的有限时间稳定性.1)首先证明在控制律(6)作用下,跟随航天器的状态能够在有限时间内到达滑模面的小邻域内.选取如下候选Lyapunov 函数:V 0=12s TJ s ,(7)其中J =diag(J 1,J 2,⋅⋅⋅,J n ).对V 0求导可得1596控制与决策第29卷˙V0=s T [J ˙ω+k 1JG T (σ)˙q +k 2rJG T (σ)diag(∣q ∣r −1)˙q +J ˙GT (σ)[k 1q +k 2sig(q )r ]].(8)其中:diag(∣q i ∣r −1)=diag(∣q i 1∣r −1,∣q i 2∣r −1,∣q i 3∣r −1),diag(∣q ∣r −1)=diag[diag(∣q 1∣r −1),⋅⋅⋅,diag(∣q n ∣r −1)].结合式(1b)和(5),并整理式(8)可得˙V 0=s T {−S (ω)J ω+k 1JG T (σ)(H ⊗I 3)G (σ)ω+k 2rJG T (σ)diag(∣q ∣r −1)(H ⊗I 3)G (σ)ω+12J [−σT [G (σ)ω]I 3+S [G (σ)ω]+G (σ)ωσT +σωT G T (σ)]T [k 1q +k 2sig(q )r ]}+s T τ.(9)其中:τ为τi 拼成的列向量;S (l )=diag[S (l 1),S (l 2),⋅⋅⋅,S (l n )],l 为l i 拼成的列向量,l i 泛指S (⋅)括号中三维向量;注意到ω=−G T (σ)[k 1q +k 2sig(q )r ]+s 和s T S (s )=0,将其代入式(9),并整理可得˙V0⩽μ∥s ∥⋅∥J ∥⋅∥ω∥+s T τ.(10)结合引理7,当∥s i ∥>ϕ时,将分布式控制律(6)代入式(10)可得˙V0⩽μ∥s ∥⋅∥J ∥⋅∥ω∥−ηs T s −ςs T sig(s )r −μn ∑i =1J ∗i ∥ωi ∥s T i sgn(s i )⩽−ηs T s −ςs T sig(s )r .(11)注意到J 对称正定,则有如下不等式:12J min ∥s ∥2⩽V 0⩽12J max ∥s ∥2,其中J max 和J min 分别为J 的最大、最小特征值.结合引理8,进一步整理式(11)可得˙V 0⩽−η∥s ∥2−ςn ∑i =13∑m =3∣s im ∣r +1⩽−2ηJ max V 0−2(r +1)/2ςJ (r +1)/2maxV r +120.(12)由引理5可知,闭环系统(1a)和(1b)的轨迹在有限时间内收敛于边界层内.当系统状态轨迹在边界层内,即∥s i ∥<ϕ时,将控制律(6)代入式(10),并整理可得˙V0⩽μ∥s ∥⋅∥J ∥⋅∥ω∥−ηs T s −ςs T sig(s )r −μn ∑i =1J ∗i ∥ωi ∥s T i∣s i ∣ρ∣s i ∣ρ+ϕsgn(s i ).(13)实际上,在边界层内总存在一个小的正数,使得ϱ⩽∣s i ∣ρ∣s i ∣ρ+ϕ成立,且ϱ<1,则有˙V0⩽−ηs T s −ςs T sgn(s )r +μ∥s ∥⋅∥ω∥(∥J ∥−ϱJ ∗min ),(14)其中J ∗min =min {J ∗i }.系统状态在边界层内,因此s 是有界的,进一步可得ω也是有界的,即∥s ∥⩽c 1,∥ω∥⩽c 2.这里选择∥J i ∥⩽J ∗i ⩽∥J i ∥ϱ,则J ∗min ⩽∥J i ∥ϱ,因此可知0⩽∥J ∥−ϱJ ∗min ⩽c 3.结合式(12),并整理式(14)可得˙V 0⩽−2ηJ max V 0−2(r +1)2ςJ (r +1)2maxV r +120+c 0,(15)其中c 0=μc 1c 2c 3.定义b 1=2ηJ max,b 2=2r +12ς/J r +12max ,则式(15)可重写为如下2种形式:˙V 0⩽−(b 1−c 0V 0)V 0−b 2V r +120,(16)˙V 0⩽−b 1V 0−(b 2−c 0V r +120)V r +120.(17)由式(16)可得,如果b 1−c 0/V 0>0,则由引理5可知,系统终端滑模面有限时间内到达区域∥s ∥⩽√J max c 0J min η=Ω1.(18)由式(17)可得,如果b 2−c 0V r +1/20>0,则同样由引理5可知,系统终端滑模面有限时间内到达区域∥s ∥⩽√(c 0ς)2r +1J max J min=Ω2.(19)综上可知,闭环系统(1a)和(1b)的状态在有限时间内收敛于终端滑模面的小邻域内,即区域∥s ∥⩽Ω内,其中Ω=min {Ω1,Ω2}.2)证明系统轨迹将沿着近似滑模面有限时间内收敛于领航航天器状态的邻域内.假设各航天器间的通讯拓扑为强连通的,选取Lyapunov 函数为V 1=12n ∑i =1ξi 3∑m =1q 2im .(20)对式(20)求导可得˙V1=˙q T (diag(ξ)⊗I 3)q =ωT G T (σ)(H T diag(ξ)⊗I 3)q .(21)结合ω、引理2、引理3、引理4、引理7、引理8、性质(2a)和性质(2b),对式(21)整理可得˙V 1⩽−(λmin k 18max i {ξi }−aλE 2max i {ξi })V 1+λE 4a ∥s ∥2−2r −72λmin k 2max i {ξi }r +12V r +121.(22)其中:λmin 为对称正定矩阵12(diag(ξ)H +H T diag(ξ))的最小特征值;a 为任意的正常数;λE 为矩阵H T diag(ξ)⊗I 3的诱导范数,这里注意到H 的所有特征根具有正实部,因此H T diag(ξ)的全部特征根也具有正实部.选择合适的k 1,保证k 1λmin2−aλE >0.上述已证明∥s ∥⩽Ω,将其代入式(22)可得˙V 1⩽−λ2V r +121+λE 4aΩ2,(23)第9期张海博等:多航天器系统分布式有限时间姿态协同跟踪控制1597其中λ2=2r−72λmin k2 max i{ξi}r+12.根据引理(6),系统的一致性误差q在有限时间内到达包含系统平衡点在内的小紧集内,即lim t→T q(t)∈(∥q∥⩽√1min i{ξi}(λEΩ24a(1−θ0)λ2)1r+1),(24)其中0<θ0⩽1.上述证明了在各航天器间的通讯拓扑为强联通的情形下,系统状态在有限时间收敛.接下来分析在各跟随航天器间的有向通讯拓扑具有有向生成树的情形下系统状态的有限时间收敛特性.对一般的有向通讯拓扑图而言,它是由若干个强连通分支组成的,并且单个航天器也可以看作一个强连通分支.对于一个包含领航航天器的强连通分支,它们的状态不受其他航天器的影响,因此该强连通分支中的各航天器的状态在有限时间内与领航航天器达到一致,随后这些航天器的状态是时不变的,对于其他航天器而言,状态达到一致的几个航天器可以看作一个整体,作为新的领航航天器,与此整体相连通的跟随航天器在有限时间内与此新领航航天器的状态达到一致.以此类推,在有向通讯拓扑下各跟随航天器的状态在有限时间内跟踪领航航天器的状态.因此可知,在一般有向通讯拓扑下,存在时间T,使得一致性误差q收敛于零的小邻域内.由式(5)可知,σi(i=1,2,⋅⋅⋅,n)也收敛于领航航天器状态σ0的小邻域内.由∥s∥⩽Ω和式(5)可知,ωi(i=1,2,⋅⋅⋅,n)也收敛于领航航天器状态的小邻域内.因此,所设计的控制律使得编队中的各跟随航天器状态在有限的时间内收敛于领航航天器状态的小邻域内.□3仿真分析本小节中对所设计的分布式有限时间协同跟踪控制律(6)的有效性进行仿真验证.以6个跟随航天器飞行为例,跟随航天器与领航航天器间的通讯拓扑关系如图1所示.图1跟随航天器与领航航天器通讯拓扑由于篇幅的限制,这里省略各跟随航天器的初始参数.控制器参数选取为r=ρ=0.8,k1=20, k2=2,η=8,ς=4,J∗=1.8,ϕ=0.05.给定领航航天器的状态(期望状态)为σ0=[0.1,0,−0.1]T,ω0=[0,0,0]T rad/s.跟随航天器1、3、5的姿态和角速度随时间的变化曲线如图2所示.图中纵坐标标注中变量的上角标代表滚动、俯仰和偏航3个分量,下角标为跟踪航天器的标号,下同.-0.01050.1505i=1i=3i=5σi1σi205σi31.50.5-0.505ωi1/(rad/s)0.2-0.205ωi2/(rad/s)0-205ωi3/(rad/s)-1t/s-0.05-0.150.050.01-0.050.05i=1i=3i=5i=1i=3i=5i=1i=3i=5i=1i=3i=5i=1i=3i=5图2跟随航天器1、3、5姿态和角速度变化曲线由图2可知,跟随航天器状态能够在有限时间内达到领航航天器的状态.跟随航天器1、3、5所需控制力矩和航天器快速终端滑模面变化曲线如图3所示.s i1t/sτi1/N·mτi2/N·mτi3/N·m-1005-20102-200.100.05s i21-100.100.05s i32-200.100.052005i=1i=3i=5-204010-1005i=1i=3i=5i=1i=3i=5i=1i=3i=5i=1i=3i=5i=1i=3i=5图3跟随航天器1、3、5所需控制力矩和滑模面变化曲线由图3可知,由于分布式有限时间协同控制律(6)没有考虑执行机构输出受限问题,仿真初始阶段所需要的力矩比较大,系统的状态也在很短的时间内到达近似滑模面.为了说明所设计快速终端滑模面的优越性,根据k1和k2的不同取值,给出当滑模面选择为线性滑模面s i=Ωi+k1q i和终端滑模面s i=Ωi+ k2sig(q i)r时,跟随航天器一致性误差∥q∥随时间的变化曲线如图4所示.1598控制与决策第29卷0246810481216t /s||||q /10-3proposed sliding mode terminal sliding mode linear sliding mode图4跟随航天器一致性误差∥q ∥变化曲线由图4仿真曲线可以看出,基于快速终端滑模面的有限时间姿态协同控制算法的收敛速度更快.4结论本文主要研究了在有向通讯拓扑下,跟随航天器对领航航天器姿态的有限时间协同跟踪问题.考虑静态的领航航天器,只要有向通讯拓扑图¯g 具有有向生成树,则所提出的分布式有限时间姿态控制律便能保证各跟随航天器在有限时间内收敛于领航航天器状态的小邻域内.将来的工作主要考虑领航航天器为动态情形和信息时延、执行机构受限情形下的有限时间协同跟踪控制.参考文献(References )[1]Bhat S,Bernstein D.Finite-time stability of homogene-ous systems[C].Proc of the American Control Conf.Albuquerque,1997:2513-2514.[2]Bhat S P,Bernstein D S.Continuous finite-time stabilization of the translational and rotational double integrators[J].IEEE Trans on Automatic Control,1998,43(5):678-682.[3]Cort és J.Finite-time convergent gradient flows with applications to network consensus[J].Automatica,2006,42(11):1993-2000.[4]Xiao F,Wang L,Chen J,et al.Finite-time formation control for multi-agent systems[J].Automatica,2009,45(11):2605-2611.[5]佘莹莹,方华京.基于一类连续非线性函数的多智能体系统有限时间一致性[J].控制与决策,2011,26(7):1101-1104.(She Y Y ,Fang H J.Finite-time consensus for multi-agent systems on continuous nonlinear functions[J].Control and Decision,2011,26(7):1101-1104.)[6]Meng Z Y ,Ren W,You Z.Distributed finite-time attitude containment control for multiple rigid 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