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卫星和飞船的跟踪测控模型摘要：本文研究的是在不同条件下建立最少的卫星或飞船的跟踪测控站，以达到对卫星或飞船实施全程跟踪测控的目的。
问题一中不考虑地球的自转，卫星或飞船的飞行轨迹就是一个固定的圆周。
依据得到的图形运用三角函数相关知识建立数学模型一，先计算一个测控站测控范围，再求出测控整个飞行轨迹所需最少的测控站的数目。
并计算得出卫星或飞船在即将脱离地球引力的情况下对其测控所需的测控站的数目至少为3，最后又以神舟七号飞船为例检验了该模型，所得此种情况下要想对其全程测控需要12个测控站。
问题二中考虑到地球自转，此时卫星或飞船在运行过程中相继两圈的经度有一些差异，并且卫星或飞船的运行轨道与地球赤道平面有固定的夹角，因而卫星或飞船轨道构成一个环形区域。
然后，用圆的最大内接正方形来代替圆对环形区域进行覆盖，得到一个合理的所需测控站个数的一般表达式，并带入神七相关数据得到全程测控神七时所需的测控站的个数为37个。
问题三，用与问题二中类似的方法求出测控站的测控范围在环行区域投影圆的内接正方形的边长，再依据每一个纬度或经度在地球表面的实际跨度长求出测控站所测卫星或飞船在其环绕球面上纬度和经度范围，并用上述在地面上的投影描述测控站的实测范围。
本文中，巧妙之处在于采用易操作的圆内接正方形来代替圆覆盖环形区域，此方法有一定的借鉴和推广意义。
关键词：测控站环形区域投影测控范围一问题的重述和分析1.1问题的重述卫星和飞船在国民经济和国防建设中有着重要的作用，对它们的发射和运行过程进行测控是航天系统的一个重要组成部分。
航天测控的理想状况是对卫星和飞船（特别是载人飞船）进行全程跟踪测控。
测控设备只能观测到所在点切平面以上的空域，实际上每个测控站的测控范围只考虑与地平面夹角3度以上的空域。
在一个卫星或飞船的发射与运行过程中，往往有多个测控站联合完成测控任务。
请利用模型分析卫星或飞船的测控情况，具体问题如下：问题1：在所有测控站都与卫星或飞船的运行轨道共面的情况下至少应该建立多少个测控站才能对其进行全程跟踪测控？问题2：如果一个卫星或飞船的运行轨道与地球赤道平面有固定的夹角，且在离地面高度为H的球面S上运行。
航天控制中的数学模型与建模技术研究随着人类社会的不断发展和进步，航空航天技术的发展也越来越迅速。
而在飞行控制这一领域，数学模型与建模技术是不可或缺的重要环节。
数学模型可以通过物理、化学、工程和经济等学科理论和原理，对问题进行抽象和简化，作为研究过程的工具和途径。
在航天领域，数学模型可以帮助人们理解和描述航天器的运动和姿态变化，以及预测其行为和性能等。
而建模技术则是指将实际问题转化为数学模型的过程，即建立数学模型。
航天控制中的数学模型通常包括基于质量、力学和运动方程的姿态控制模型，以及基于信号处理和计算机控制系统的轨道控制模型。
其中，姿态控制是航天控制中最重要的环节之一，因为航天器姿态的调整和控制是保证其安全、有效地完成各项任务的前提。
而姿态控制的过程，主要涉及到航天器的角速率、角位移、旋转矩阵等参数。
在姿态控制模型中，数学模型的主要目的是为了描述航天器的动力学特性。
因此，在进行数学建模时，需要考虑诸如重力、惯性、气动力等因素，并衡量它们之间的相互作用。
此外，数学模型的成功与否还取决于模型的准确性、可靠性和精度等。
在建立模型的过程中，需要大量的实验数据和理论知识作为基础，以实现模型精度的提高。
除了姿态控制之外，轨道控制模型也是航天控制中的重要环节。
在实际操作中，轨道控制是保证航天器正确进入和退出轨道的关键。
而轨道控制涉及到多种因素，如空气动力学、引力和惯性力等。
在数学建模时，必须考虑这些因素对轨道控制的影响，并确保通过计算机程序和控制算法控制航天器的位置和速度等参数。
由于航天控制涉及到多种因素和环节，因此数学建模的过程变得非常复杂。
除了需要收集和分析大量的实验数据和理论知识之外，还需要建立适当的数学模型来描述和预测航天器的运动和行为。
同时，建模过程还需要考虑如何应用计算机和控制算法来进行有效的控制。
为了实现更精确、可靠和高效的航天控制，必须不断探索和完善数学模型和建模技术。
在未来，基于深度学习和人工智能等新技术的发展，航空航天的数学建模和控制技术将进一步提高。
卫星相对运动动力学模型
首先，从天体力学的角度来看，卫星相对运动动力学模型涉及到引力、离心力和向心力等物理力学原理。
这些力的作用会影响卫星的轨道和运动状态，因此需要建立相应的数学模型来描述这些力的作用及其对卫星轨道的影响。
其次，从控制工程的角度来看，卫星相对运动动力学模型也涉及到卫星姿态控制、轨道控制等方面。
这些控制问题需要考虑卫星与其他天体或卫星之间的相对运动，以及如何通过推进器、姿态控制器等装置来实现对卫星相对运动的控制。
此外，从航天器设计的角度来看，卫星相对运动动力学模型也需要考虑到卫星结构、推进系统、传感器等方面的设计。
这些设计要素会影响卫星在空间中的相对运动状态，因此需要在设计阶段考虑相应的动力学模型来指导设计工作。
总的来说，卫星相对运动动力学模型涉及到天体力学、控制工程、航天器设计等多个学科领域，需要综合考虑各种因素来建立全面完整的模型。
这个模型对于卫星的轨道设计、姿态控制、对地观测等方面都具有重要的理论和实际意义。
卫星和飞船的跟踪测控摘要卫星和飞船在国民经济和国防建设中有着重要的作用，本文通过对卫星或飞船运行过程中测控站需要的数目进行求解，从而实现能够对卫星或飞船进行全程跟踪测控的目标。
对于问题一，由于测控站都与卫星运行轨道共面，且测控站的测控范围只考虑与地平面夹角3度以上的空域，所以，我们首先考虑将卫星或者飞船的运行轨道理想化成圆形，建立其与地球共心的圆形轨道模型，此时，运用几何知识和正弦定理计算出至少应建立12个测控站。
但是，在现实中卫星或飞船的轨道为椭圆形状，接着我们又给出了质点运行轨道为椭圆时的数学模型计算得出需要建立测控站数目的区间为12至16个。
问题二，我们利用每个测控站测控的锥形区域与卫星或飞船轨道曲面相交的圆的内接多边形来覆盖整个卫星轨道曲面，就可以将需要这样内接多边形的个数近似的看作需要建立测控站的最少个数，这里我们只给出内接正四边形和正六边形两种数学模型，此时，计算出需要测控站的最少数目分别为60和67个。
问题三，通过网络查询得到神舟七号的观测站位置和数目，以及飞船运行的倾角和高度等相关数据。
通过线性拟合我们发现测控站的位置近似符合正弦曲线。
最后，我们给出了模型优缺点的分析和评价，并提出了模型的改进的方向。
关键字：卫星或飞船的跟踪测控；圆形轨道模型；圆锥测控模型；测控站点的数目1、问题重述1.1 背景资料现代航天工业中卫星和飞船的测控设备只能观测到所在点切平面以上的空域，且在与地平面夹角3度的范围内测控效果不好，实际上每个测控站的测控范围只考虑与地平面夹角3度以上的空域。
在一个卫星或飞船的发射与运行过程中，往往有多个测控站联合完成测控任务，因此需要分析卫星或飞船的测控情况。
1.2 需要解决的问题问题一：在所有测控站都与卫星或飞船的运行轨道共面的情况下至少应该建立多少个测控站才能对其进行全程跟踪测控。
问题二：如果一个卫星或飞船的运行轨道与地球赤道平面有固定的夹角，且在离地面高度为H的球面S上运行。
航天器动力系统双模型调控原理航天器的动力系统是确保航天器顺利进行各项任务的关键要素之一。
在航天器的动力系统中，双模型调控是一种常见且有效的控制原理。
本文将详细介绍航天器动力系统双模型调控的原理和应用。
一、双模型调控原理概述双模型调控是指在航天器的动力系统中采用两种不同的数学模型进行控制。
一种模型用于正常工作状态下的控制，另一种模型则用于故障发生时的应急控制。
通过双模型调控，可以保证航天器在各种情况下都能够保持稳定运行，并在发生故障时采取相应的措施保持安全。
二、双模型调控原理详解1. 正常工作模型：在航天器正常工作状态下，双模型调控使用一种基于航天器正常运行数据建立的数学模型进行控制。
这个模型会根据航天器的运行数据和参数，通过运算预测出航天器的状态，并基于此进行控制。
正常工作模型的任务是确保航天器在正常工作状态下的稳定运行，其控制策略会根据航天器的状态和目标进行调整，以达到最佳控制效果。
2. 应急控制模型：当航天器发生故障或异常情况时，双模型调控会切换到应急控制模型进行控制。
应急控制模型是一种根据航天器可能出现的故障情况建立的数学模型，它会预测并模拟故障对航天器的影响，并制定相应的控制策略。
应急控制模型的任务是在故障发生后，通过相应的控制策略保证航天器的安全运行。
3. 切换策略：双模型调控的关键之处在于切换策略，即如何在发生故障时从正常工作模型切换到应急控制模型，并确保切换过程的平稳进行。
切换策略通常是基于航天器的状态和故障信息进行决策的。
一般情况下，当航天器检测到故障信号时，会触发切换策略，将控制模式从正常工作切换到应急控制。
同时，为了保证切换的平稳，在切换过程中可能会引入一些过渡策略，以确保航天器的稳定运行。
三、双模型调控的优势和应用领域1. 优势：双模型调控在航天器动力系统中具有以下几个优势：- 可靠性：通过使用两种不同的控制模型，可以提高航天器的可靠性和鲁棒性，即使在发生故障时也能保证航天器的安全运行。
基于模型预测控制的航天器姿态控制研究一、引言航天器姿态控制是航天工程中的重要问题之一，它关系着航天器的稳定性和精度，对于载人航天、卫星定位、空间探测等任务都具有重要意义。
传统的姿态控制方法往往基于经验和观察，无法满足对复杂环境中航天器姿态的准确控制需求。
基于模型预测控制（Model Predictive Control，简称MPC）的航天器姿态控制方法在近年来得到了广泛应用，并取得了显著的研究进展。
二、基于模型预测控制的原理与方法1. 模型预测控制原理模型预测控制是一种基于模型的控制方法，通过建立系统的数学模型，对未来一段时间内的系统响应进行预测，并根据预测结果修正控制输入，从而实现对系统的控制。
模型预测控制的核心思想是通过优化问题求解来寻求最优控制策略，以使系统在一定时间范围内满足给定的性能指标。
2. 模型预测控制方法航天器姿态控制中常用的模型预测控制方法包括线性二次型模型预测控制（Linear Quadratic Model Predictive Control，简称LQMPC）和非线性模型预测控制（Nonlinear Model Predictive Control，简称NMPC）。
LQMPC方法假设系统模型是线性的，并通过求解线性二次型优化问题得到最优控制律；而NMPC方法则适用于非线性系统，可以通过迭代求解非线性优化问题近似得到最优控制策略。
三、基于模型预测控制的航天器姿态控制系统1. 系统建模在基于模型预测控制的航天器姿态控制系统中，首先需要建立航天器的数学模型。
航天器姿态控制系统涉及到刚体动力学、航天器运动学等多个方面，因此需要综合考虑刚体力学、电机驱动、传感器测量等多个因素进行建模。
2. 预测模型基于航天器的数学模型，可以通过离散化、线性化等方法获得离散时间的线性预测模型。
预测模型可以用于预测航天器未来一段时间内的姿态变化，进而进行优化计算得到最优控制输入。
3. 优化求解在模型预测控制中，通过求解优化问题得到最优控制输入。
卫星或飞船测控模型摘要本文对通过测控站分布问题进行了简化，建立了数学模型。
我们对卫星或飞船如何运行，如何使测控站合理分布，以及如何使测控站数最少等问题进行了分析讨论，最终计算出最少的测控站数。
对于问题一，我们先得出每一个测控站的最大测控区域对应的圆心角与卫星或飞船离地高度的关系式)93sin arcsin 931802H R R +-- （＝β，因为所有测控站与运行轨道共面且是个圆周，则对卫星或飞船进行全程跟踪测控最少为]360[β =N 个测控站。
但是对于不同的轨道上的卫星或飞船，则有不同的情况。
为此我们分别对同步卫星、远距离的卫星或飞船、近地轨道的卫星或飞船进行分序号 出现的情况 所需要测控站个数1 离地36000km 同步卫星 12 远距离超过的卫星 33 近地轨道200km 的卫星或飞船 16α，所以卫星或飞船的运行轨道只在以球心为中心，半径为R+H 的球面，去掉上下两个高度为（H+R ）(1-sin α)的球冠剩余的部分 。
方法一，首先，我们采用测控点测控区域重叠的方式，以圆的内接正方形的边为重叠部分的交线，所以得出重叠后能完全监控测控区域所对应的圆心角)2tan 22arctan(21ββ= 从而得出需要布控监控点的纬线数及纬度，最后得出总监控点数为∑==i i i N 11cos 2βαπ（i=…）方法二，我们经过公式推导，得出经度差的表达式：32⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∆R H R A π；假设卫星或飞船沿固定的轨道运转n 1后，卫星或飞船又回到了原来的出发点上，即满足An n ∆=π212条件。
此时，测控站所要测控的范围，并且所需要的测控站数也减少了，其测控范围即为一条近似于正弦函数曲线图像。
再运用简化思想把曲线拉直成为直线l 。
以测控站所对应的测控圆的直径d 截取。
最后，得到最少所需的测控站数为 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-=)93sin arcsin 87sin(H R R N π 关键词：测控面，经度差， 排布一．问题重述卫星或飞船和飞船在国民经济和国防建设中有着重要的作用，对它们的发射和运行过程进行测控是航天系统的一个重要组成部分，理想的状况是对卫星或飞船和飞船（特别是载人飞船）进行全程跟踪测控。
测控设备只能观测到所在点切平面以上的空域，且在与地平面夹角3度的范围内测控效果不好，实际上每个测控站的测控范围只考虑与地平面夹角3度以上的空域。
请利用模型分析卫星或飞船的测控情况，具体问题如下：1. 在所有测控站都与卫星或飞船的运行轨道共面的情况下至少应该建立多少个测控站才能对其进行全程跟踪测控？2.如果一个卫星或飞船的运行轨道与地球赤道平面有固定的夹角，且在离地面高度为H的球面S上运行。
考虑到地球自转时该卫星或飞船在运行过程中相继两圈的经度有一些差异，问至少应该建立多少个测控站才能对该卫星或飞船可能飞行的区域全部覆盖以达到全程跟踪测控的目的？3. 收集我国一个卫星或飞船的运行资料和发射时测控站点的分布信息，分析这些测控站点对该卫星或飞船所能测控的范围。
二．问题分析对于问题一，因为所有测控站与卫星或飞船的运行轨道共面，所以卫星或飞船相对于地球的运行轨道是一个以地心为圆心，以地球半径R与卫星或飞船离地高度H的和为半径的圆；而每个测控站的测控范围是与地切平面夹角3度以上的空域，所以每个测控站的测控范围相对与卫星或飞船的运行轨道是一段弧，我们利用以上条件构造出一个三角形，利用正弦定理，得出测控弧所对应的圆心角，最后得出至少所需的测控站。
对于问题二：由于卫星或飞船的运行轨道与地球赤道平面有固定的夹角a，所以卫星或飞船的运行轨道只在北纬a南纬a之间，所以所有测控站的测控范围之和应等于北纬a南纬a之间的地区。
由于地球自转，所以卫星或飞船在运行过程中相继两圈有经度差△A。
三．模型假设1 地球是一个球体2 卫星或飞船做匀速圆周运动3 不考虑卫星或飞船发射和降落的情况4 不考虑其他天体对卫星万有引力的影响5不考虑空气对卫星或飞船的阻碍作用四．符号说明O为地心 C为测控站所在地点 β为测控弧所对应的圆心角 Ｒ为地球半径 Ｈ为卫星或飞船离地高度 n 1为卫星或飞船沿固定的轨道运转的圈数 n 2Ａ回到Ｂ0所绕地球转的圈数（可以取任意的自然数） △Ａ为卫星或飞船运行过程中相继两圈经度差 α为卫星或飞船轨道平面与赤道平面的夹角 l为卫星或飞船轨道的周长 m为卫星或飞船的质量 Ｍ为地球的质量 Ｇ为引力常量 g为重力常量 ω为地球自转的角速度 d为测控站在卫星或飞船轨道所在球面上的测控直径 N为所需的测控站数五．模型建立与求解建立问题一的模型5.1.1情形一：不考虑卫星或飞船发射的过程，假设卫星或飞船直接飞到同步卫星的轨道上，因为同步卫星运转的角速度与地球自转的角速度相同，所以相对于地球，同步卫星没有发生运动。
所以在同步卫星下设一个测控站就可以全程跟踪测控，即N ＝1。
5.1.2情形二：所有测控站都与卫星或飞船运行轨道共面的情况：因为卫星或飞船绕地球运行所需的向心力是由地球对卫星或飞船的万有引力所提供的，地球的卫星或飞船做圆周运动都是以地心为圆心，如下图1所示（为卫星或飞船飞行轨道的面），地心为O ，在有测控点C ，其测控范围与飞行轨道的交点为D ，在三角形COD 中，因为每个测控站的测控范围只考虑与地平面夹角3度以上的空域，由图1易得：∠OCD ＝ 90+ 3＝ 93，OC 为地球半径R ，OD 为地球半径R 与离地高度H 的和，即：OD ＝H+R 。
图1首先，在三角形OCD 中，运用正弦定理，求出θ：HR R arc +∠=OCD sin θ （1）因为三角形内角的和为180度，所以：)180(2θβ-∠-=OCD （2）由式（1）和（2）得高度H 与测控弧所对的圆心角β的关系式：)sin arcsin --1802HR OCD R OCD +∠∠ （＝β H R R +93sin arcsin 2-174＝β （3）由模型分析可知，所以问题一的测控总角为360度。
由此可得测控站数至少为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=βπ2N （4） 当H 远大于R 时,β的近似值为17493sin arcsin lim =+=∞→HR R H β那么，至少的测控站数为N⎥⎦⎤⎢⎣⎡=β360N＝35.1.3情形三：当卫星或飞船在近地轨道上运行时，由资料可知，卫星或飞船飞行的轨道的高度为H＝200km由上推导公式：β360=N可得：N=16建立问题二的模型5.2.1 模型二卫星或飞船的运行轨道与地球赤道平面有固定的夹角α。
轨道的范围是：与地球同心半径为（R+H）的球面去掉上、下两个高度为)sin1)((α-+HR的球冠剩下的区域。
该区域对应与地球南纬α到北纬α之间区域，所以只需要安排测控点使所有的测控点的测控范围覆盖该区域，并使测控点最少。
测控站测控的圆心角为)93sinarcsin93(2360HRR++-=β因为每个测控点的测控区域为一个球冠表面，为了能测完整个卫星或飞船的飞行轨道，采用测控点测控区域部分重叠的方式，又因为圆内接四边形为正方形时面积最大，所以重叠部分的交线为圆内接正方形的边，如图2所示：图2)2tan 22arctan(21ββ=为能完全测控区域对应的圆心角。
我们采用在一条或多条同一纬度线上布控测控点，由⎥⎦⎤⎢⎣⎡12βα确定要布控测控点的纬度线的条数m 及度数 i α (i=1.2.3…)。
由i α(i=…)可求出各条纬度线对应在卫星或飞船的飞行轨道球面上的圆的周长i i H R C απcos )(2+= (i=…)，根据弧长公式求出重叠后正方形对应的球冠的弧长为)(1H R l +=β。
所以，各条要布控的纬线上需要的测控点数为 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=l C n i i （i=…)。
最后求出需要布控的总测控点数为i n n n N +++= (21)即 ∑==i i i N 11cos 2βαπ以神舟七号为例，H=343km2.42=α求出 24.31=β， 37.221=β，m=4，1641==n n ，1432==n n ，60=N 。
5.2.2 模型三由于模型二只是简单地考虑卫星可能飞行的区域，没有从飞行原理上分析，因此我们对其进行改进，由于卫星或飞船的运行轨道与地球赤道平面有固定的夹角α，所以卫星或飞船的运行轨道。
如图3所示：图35.2.2.1对卫星或飞船相对地球的路径的讨论当卫星或飞船转第一圈时：如图4所示，所设卫星或飞船从赤道与西经180度的交点1出发,因为卫星或飞船相对于地球的速度由两部分合成（地球某一纬度的线速度和卫星或飞船的速度），而地球某一纬度的线速度是随纬度的升高而减少，即卫星或飞船从1到2时，水平速度不断减少，而垂直速度不变，从而得出卫星或飞船从1到2的路径大约下，同理，可以得出从2到3；从3到4的路径。
但由于地球处转的响影，会产经度差。
即如图4所示卫星或飞船转一圈从1到4，而到不了东经180度，即1点。
图4当卫星或飞船转第二圈时：如图5所示，当卫星或飞船转完第一圈后，在4点上，因为西经180度就是东经180度，所以4点可以是西经向西△A 度。
和第一圈一样，卫星或飞船由4点到5点，与4点相差△A 。
由上述可得：卫星或飞船每转一圈，其相对地球的的路径向西平移△A 。
当卫星或飞船转第一圈后，第二圈的起点是第一圈的起点向西平移△A 。
当卫星或飞船转第二圈后，第三圈的起点是第二圈的起点向西平移△A 。
当卫星或飞船转第三圈后，第四圈的起点是第三圈的起点向西平移△A 。
……… ……… ………当卫星或飞船转第1n 圈后，每1n +1的起点是第1n 圈的起点向西平移△A由数学归纳法可得,当卫星或飞船转第1n 圈后，每1n 圈的起点是第一圈的起点向西平移 1n ×△A.假设当卫星或飞船绕地球转1n 时，卫星或飞船回到了原起点。
如果卫星或飞船向西平移1圈重新回到了原出发点则：121⨯=∆⨯πA n如果卫星或飞船向西平移2圈重新回到了原出发点则：221⨯=∆⨯πA n如果卫星或飞船向西平移3圈重新回到了原出发点则：图5321⨯=∆⨯πA n如果卫星或飞船向西平移4圈重新回到了原出发点则：421⨯=∆⨯πA n由数学归纳法可得,若卫星或飞船绕地球转2n 圈重新回到了原出发点则212n A n ⨯=∆⨯πAn n ∆=π212 （5） 5.2.2.2卫星或飞船可能出现的区域与测控站在Ｊ球面上的测控直径的讨论Step1:假设卫星或飞船的运行轨道与地球赤道平面的夹角为α,所以卫星或飞船到达的最高纬度为α.因此卫星或飞船在北纬α到南纬α之间运转，如图6所示。
图6那么卫星或飞船可能出现在区域为（αN,αS ）。
Step2:计算测控站在Ｊ球面上的测控直径如图7所示在三角形ABO 中运用正弦定理93sin sin H R R +=θ得 HR R +=93sin arcsin θ （6）图7在三角形ABO 中，由 180932=++θβ得θβ-= 872（7）因为直角三角形ODB 中得)(2sin 2H R d +⨯=β （8） 由式(6)(7)(8)得)93sin arcsin 87sin()(2H R R H R d +-+=（9） Step3:推导公式首先我们求出卫星或飞船的轨道周长)(2H R l +=π （10）根据卫星或飞船的向心力等于地球对卫星或飞船的万有引力22)()(H R Mm G H R m V +=+得 HR GM v += （11） 位于赤道上的物体，其向心力由物体的重力提供，由mg mR =2ω得R g =ω （12）由式(10)(11)得卫星或飞船转一圈所用的时间GMH R H R v l t ++==)(2π （13） 由式（12）（13）得飞船运行过程相继两圈的经度差：RgGMH R H R t A ⨯++⨯==∆)()(2πω （14） 根据物理黄金代换公式2gR GM = （15）将式(15)带入式子(14)中得32⎪⎭⎫⎝⎛+=∆R H R A π （16）最后由式(5)(16)可得：321⎪⎭⎫ ⎝⎛+=H R R n n (17)由式（17），当1n 为正整数时，1n 越小，卫星或飞船回到原出发点的周期就越短，其相对地球的路径就越简单，比可能要测控的范围（北纬α到南纬α之间）小，所需的测控点就少。
