卫星测控模型

卫星或飞船测控模型摘要本文对通过测控站分布问题进行了简化，建立了数学模型。

我们对卫星或飞 船如何运行，如何使测控站合理分布，以及如何使测控站数最少等问题进行了分 析讨论，最终计算出最少的测控站数。

对于问题一，我们先得出每一个测控站的最大测控区域对应的圆心角与卫星 或飞船离地高度的关系式=2( 18093 arcsinR前93)，因为所有测R \ H控站与运行轨道共面且是个圆周，则对卫星或飞船进行全程跟踪测控最少为N [36・]个测控站。

但是对于不同的轨道上的卫星或飞船，则有不同的情况。

为此我们分别对同步卫星、远距离的卫星或飞船、近地轨道的卫星或飞船进行分 类讨序号 出现的情况 所需要测控站个数1 离地36000km 同步卫星 12 远距离超过的卫星3 3近地轨道200km 的卫星或飞船16对于问题二，由于卫星或飞船的运行轨道与地球赤道平面有固定的夹角 ： 所以卫星或飞船的运行轨道只在以球心为中心， 半径为R+H 的球面，去掉上下两 个高度为(H+R (1-sin )的球冠剩余的部分 。

方法一，首先，我们采用测控点测控区域重叠的方式， 以圆的内接正方形的 边为重叠部分的交线，所以得出重叠后能完全监控测控区域所对应的圆心角422arcta n( tan从而得出需要布控监控点的纬线数及纬度，最后得出总监控点数为12 cosi 11假设卫星或飞船沿固定的轨道运转 n 1后，卫星或飞船又回到了原来的出发点上,站数也减少了，其测控范围即为一条近似于正弦函数曲线图像。

再运用简化思想 把曲线拉直成为直线I 。

以测控站所对应的测控圆的直径 d 截取。

最后，得到最 方法二，我们经过公式推导，得出经度差的表达式:即满足n 1条件。

此时，测控站所要测控的范围, 并且所需要的测控少所需的测控站数为关键词：测控面，经度差, sin(87.Rsin93 arcs in排布2一.问题重述卫星或飞船和飞船在国民经济和国防建设中有着重要的作用，对它们的发射和运行过程进行测控是航天系统的一个重要组成部分，理想的状况是对卫星或飞船和飞船（特别是载人飞船）进行全程跟踪测控。

测控设备只能观测到所在点切平面以上的空域，且在与地平面夹角3度的范围内测控效果不好，实际上每个测控站的测控范围只考虑与地平面夹角3度以上的空域。

请利用模型分析卫星或飞船的测控情况，具体问题如下：1. 在所有测控站都与卫星或飞船的运行轨道共面的情况下至少应该建立多少个测控站才能对其进行全程跟踪测控？2. 如果一个卫星或飞船的运行轨道与地球赤道平面有固定的夹角，且在离地面高度为H的球面S上运行。

考虑到地球自转时该卫星或飞船在运行过程中相继两圈的经度有一些差异，问至少应该建立多少个测控站才能对该卫星或飞船可能飞行的区域全部覆盖以达到全程跟踪测控的目的？3. 收集我国一个卫星或飞船的运行资料和发射时测控站点的分布信息，分析这些测控站点对该卫星或飞船所能测控的范围。

二.问题分析对于问题一，因为所有测控站与卫星或飞船的运行轨道共面，所以卫星或飞船相对于地球的运行轨道是一个以地心为圆心，以地球半径R与卫星或飞船离地高度H的和为半径的圆；而每个测控站的测控范围是与地切平面夹角3度以上的空域，所以每个测控站的测控范围相对与卫星或飞船的运行轨道是一段弧，我们利用以上条件构造出一个三角形，利用正弦定理，得出测控弧所对应的圆心角，最后得出至少所需的测控站。

对于问题二：由于卫星或飞船的运行轨道与地球赤道平面有固定的夹角a，所以卫星或飞船的运行轨道只在北纬a南纬a之间，所以所有测控站的测控范围之和应等于北纬a南纬a之间的地区。

由于地球自转，所以卫星或飞船在运行过程中相继两圈有经度差△ A。

\ 三.模型假设1地球是一个球体2卫星或飞船做匀速圆周运动3不考虑卫星或飞船发射和降落的情况4不考虑其他天体对卫星万有引力的影响5不考虑空气对卫星或飞船的阻碍作用四.符号说明五.模型建立与求解建立问题一的模型5.1.1情形一：不考虑卫星或飞船发射的过程，假设卫星或飞船直接飞到同步卫星的轨道上，因为同步卫星运转的角速度与地球自转的角速度相同，所以相对于地球，同步卫星没有发生运动。

所以在同步卫星下设一个测控站就可以全程跟踪测控，\ 即N= 1 o5.1.2情形二：所有测控站都与卫星或飞船运行轨道共面的情况：因为卫星或飞船绕地球运行所需的向心力是由地球对卫星或飞船的万有引力所提供的，地球的卫星或飞船做圆周运动都是以地心为圆心，如下图1所示（为卫星或飞船飞行轨道的面），地心为0,在有测控点C,其测控范围与飞行轨道的交点为D,在三角形C0D 中，因为每个测控站的测控范围只考虑与地平面夹角3度以上的空域，由图1易得：/ 0C匡90 +3 = 93，0C为地球半径R, 0D为地球半径R与离地高度H的和，即：0D= H+R图1首先，在三角形OCD中，运用正弦定理，求出：…Rsin OCD(1)HCll VR因为三角形内角的和为180 度, 所以：2(180OCD )(2)由式（1）和（2）得高度H与测控弧所对的圆心角B的关系式:= 2（180 - OCD-arcsin 只攀°C D）Rsin 93 = 174 - 2 arcsin一R H(3)360度。

由此可得测控站数至少由模型分析可知，所以问题一的测控总角为为：(4)当H远大于R时,的近似值为Rsin 93lim arcs in 174H R HN 360域对应与地球南纬到北纬之间区域，所以只需要安排测控点使所有的测控点的测控范围覆盖该区域，并使测控点最少。

测控站测控的圆心角为360 2(93 arcsinR RT)因为每个测控点的测控区域为一个球冠表面，为了能测完整个卫星或飞船的飞行轨道，采用测控点测控区域部分重叠的方式，又因为圆内接四边形为正方形时面积最大，所以重叠部分的交线为圆内接正方形的边，如图2所示：那么，至少的测控站数为N5.1.3情形三：当卫星或飞船在近地轨道上运行时，由资料可知，卫星或飞船飞行的轨道的高度为H= 200km由上推导公式:0二口4° - 2 ar亡如空空可得：N=16建立问题二的模型5.2.1 模型二卫星或飞船的运行轨道与地球赤道平面有固定的夹角半径为（R+H）的球面去掉上、下两个高度为（R H）（1 sin ）的球冠剩下的区域。

该区。

轨道的范围是：与地球同心i2 arcta n( — ta n )为能完全测控区域对应的圆心角。

我们采用在一条或多条同一纬2 2由i (i=…)可求出各条纬度线对应在卫星或飞船的飞行轨道球面上的圆的周长C i 2 (R H)cos i(i=-)，根据弧长公式求出重叠后正方形对应的球冠的弧长为C il i (R H)。

所以，各条要布控的纬线上需要的测控点数为n i〒 (i=…)。

最后求出需要布控的总测控点数为N n 1 n 2 ... n j2 cos Ni 11以神舟七号为例，H=343km 42.25.2.2模型三由于模型二只是简单地考虑卫星可能飞行的区域， 没有从飞行原理上分析,因此我们对其进行改进，由于卫星或飞船的运行轨道与地球赤道平面有固定的夹 角，所以卫星或飞船的运行轨道。

如图 3所示：度线上布控测控点，由确定要布控测控点的纬度线的条数m 及度数i (i=1.2.3 …)。

求出31.24 , 1 22.37 , m=4, n 1 n 416 , n 2 n 3 14 , N 60。

当卫星或飞船转第一圈时：如图4所示，所设卫星或飞船从赤道与西经180 度的交点1出发,因为卫星或飞船相对于地球的速度由两部分合成（地球某一纬度的线速度和卫星或飞船的速度），而地球某一纬度的线速度是随纬度的升高而减少，即卫星或飞船从1到2时，水平速度不断减少，而垂直速度不变，从而得出卫星或飞船从1到2的路径大约下，同理，可以得出从2到3;从3到4的路径。

但由于地球处转的响影，会产经度差。

即如图4所示卫星或飞船转一圈从1 到4,而到不了东经180度，即1点。

当卫星或飞船转第二圈时：如图5所示，当卫星或飞船转完第一圈后，在4 点上，因为西经180度就是东经180度，所以4点可以是西经向西△ A度。

和第由上述可得：卫星或飞船每转一圈，其相对地球的的路径向西平移△A。

当卫星或飞船转第一圈后，第二圈的起点是第一圈的起点向西平移△Ao当卫星或飞船转第二圈后，第三圈的起点是第二圈的起点向西平移△Ao当卫星或飞船转第三圈后，第四圈的起点是第三圈的起点向西平移△Ao \当卫星或飞船转第n i圈后，每n i +1的起点是第n i圈的起点向西平移△ A由数学归纳法可得，当卫星或飞船转第n i圈后，每n i圈的起点是第一圈的起点向西平移n i A.假设当卫星或飞船绕地球转n i时，卫星或飞船回到了原起点。

如果卫星或飞船向西平移i圈重新回到了原出发点则：n i A 2 i如果卫星或飞船向西平移2圈重新回到了原出发点则：n i A 2 2如果卫星或飞船向西平移3圈重新回到了原出发点则：百度文库-让每个人平等地提升自我如果卫星或飞船向西平移4圈重新回到了原出发点则:n i由数学归纳法可得，若卫星或飞船绕地球转n2圈重新回到了原出发点则n i2n2(5)N, S)A522.2卫星或飞船可能出现的区域与测控站在J球面上的测控直径的讨论Step1 :假设卫星或飞船的运行轨道与地球赤道平面的夹角为，所以卫星或飞船到达的最高纬度为.因此卫星或飞船在北纬至肺纬之间运转，如图那么卫星或飞船可能出现在区域为（Step2:计算测控站在J球面上的测控直径R如图7所示在三角形ABO中运用正弦定理》sin.Rsin 93arcs in7得sin 93(6)在三角形ABO中，由一93 180得2-87 ( 7)2因为直角三角形0D沖得-si n— (R H) ( 8)2 2由式⑹(7)(8) 得d 2( R H )sin(87 arcsin Rsin 93 ) (9)R HStep3 :推导公式首先我们求出卫星或飞船的轨道周长\ l 2 (R H) (10)根据卫星或飞船的向心力等于地球对卫星或飞船的万有引力V2m(R H)位于赤道上的物体，其向心力由物体的重力提供，由2mR mg得(⑵图7G_^得(R H)2由式(10)(11)得卫星或飞船转一圈所用的时间t； 2®H)¥GM \由式(12)( 13)得飞船运行过程相继两圈的经度差最后由式(5)(16)可得:(R H);测控站在轨道运行球面的测控圆的直径为(13)根据物理黄金代换公式将式(15)带入式子(14)中得(R H). (R H)GMR (14)GM gR 2(15)(⑹n 1 n 2(17)由式(17),当山为正整数时, n 1越小，卫星或飞船回到原出发点的周期就 越短，其相对地球的路径就越简单, 小，所需的测控点就少比可能要测控的范围(北纬到南纬之间)由上述分析可得，这里以n 1 n 23R为目标函数，其模型如下R H目标函数: 3J Rmin n 1 n 2-------- V R Hs.t厲，n 2 N (自然数)H 0;当n 1 1时, 即卫星或飞船沿轨道转一圈时，回到了原出发点。