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复变函数 钟玉泉 第三版 第五章第二节

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复变函数钟玉泉讲义大学复变函数课件

复变函数钟玉泉讲义大学复变函数课件

复变函数钟玉泉讲义大学复变函数课件复变函数第一节解析函数的概念及C.-R.方程1、导数、解析函数定义2.1：设是在区域内确定的单值函数，并且。

如果极限存在，为复数，则称在处可导或可微，极限称为在处的导数，记作，或。

定义2.2：如果在及的某个邻域内处处可导，则称在处解析；如果在区域内处处解析，则我们称在内解析，也称是的解析函数。

解析函数的导（函）数一般记为或。

注解1、语言，如果任给，可以找到一个与有关的正数，使得当，并且时，，则称在处可导。

注解2、解析性与连续性：在一个点的可导的函数必然是这个点的连续函数；反之不一定成立；注解3、解析性与可导性：在一个点的可导性是一个局部概念，而解析性是一个整体概念；注解4、函数在一个点解析，是指在这个点的某个邻域内解析，因此在此点可导；反之，在一个点的可导性不能得到在这个点解析。

解析函数的四则运算：和在区域内解析，那么，，（分母不为零）也在区域内解析，并且有下面的导数的四则运算法则：。

复合求导法则：设在平面上的区域内解析，在平面上的区域内解析，而且当时，，那么复合函数在内解析，并且有求导的例子：（1）、如果（常数），那么；（2）、，；（3）、的任何多项式在整个复平面解析，并且有（4）、在复平面上，任何有理函数，除去使分母为零的点外是解析的，它的导数的求法与是实变量时相同。

2、柯西-黎曼条件可微复变函数的实部与虚部满足下面的定理：定理2.1 设函数在区域内确定，那么在点可微的充要条件是：1、实部和虚部在处可微；2、和满足柯西-黎曼条件（简称方程）证明：（必要性）设在有导数，根据导数的定义，当时其中，。

比较上式的实部与虚部，得因此，由实变二元函数的可微性定义知，，在点可微，并且有因此，柯西-黎曼方程成立。

（充分性）设，在点可微，并且有柯西-黎曼方程成立：设则由可微性的定义，有：令，当（）时，有令，则有所以，在点可微的。

定理2.2 设函数在区域内确定，那么在区域内解析的充要条件是：1、实部和虚部在内可微；2、)和在内满足柯西-黎曼条件（简称方程）关于柯西-黎曼条件，有下面的注解：注解1、解析函数的实部与虚部不是完全独立的，它们是方程的一组解，它们是在研究流体力学时得到的；注解2、解析函数的导数形式更简洁：公式可避免利用定义计算带来的困难。

复变函数论_钟玉泉_第三版_高教_答案_清晰版

复变函数论_钟玉泉_第三版_高教_答案_清晰版


z0
, 因此总可以选取 Argzn 的一个值 arg z n . 当
n N 时,有 arg z n 0 ( ) ,因 0 时, ( ) 0 .因而, 总可以选取 ,
使 ( ) 小于任何给定的 0 , 即总有 arg z arg z 0 . 因此 f ( z ) 在 z 0 连 续. 综上讨论得知, f ( z ) 除原点及负实轴上的点外处处连续. 14. 证 明 : 由 于 f ( z ) 的 表 达 式 都 是 x, y 的 有 理 式 , 所 以 除 去 分 母 为 零 的 点
y 0 y x 1 0 arg( z 1) 0 arctan (4)由 4 得 x 1 4 即 2 x3 2 x3 2 Re z 3
可知 z 点的轨迹是一梯形(不包括上,下边界);不是区域. (5) z 点的轨迹是以原点为圆心,2 为半径以及(3,0)为圆心,1 为半径得两闭圆的 外部.是区域. (6) z 点的轨迹的图形位于直线 Im z 1 的上方(不包括直线 Im z 1 )且在以原点 为圆心,2 为半径的圆内部分(不包括圆弧);是区域. (7) z 点的轨迹是 arg z
2
2
z1 z 2 z1 z 2
2
2
2( z1 z 2 )
2
2
几何意义:平行四边形两队角线的平方和等于各边平方和. 5.证明:由第 4 题知 z1 z 2 z1 z 2 由题目条件
2 2
2( z1 z 2 )
2
2
z1 z 2 z 3 0 知 z1 z 2 z 3
z 0 , f ( z ) 是连续的,因而只须讨论 f ( z ) 在 z 0 的情况.

复变函数论第三版PPT课件

复变函数论第三版PPT课件
导数的性质
导数具有线性、可加性、可乘性和链式法则等性质。这些性质在计算复杂函数 的导数时非常有用。
导数的计算方法
基本初等函数的导数
隐函数的导数
对于常数、幂函数、指数函数、三角 函数等基本初等函数，其导数都有固 定的公式可以查询和使用。
如果一个函数$F(x, y) = 0$，我们可 以通过对$F$求关于$x$或$y$的偏导 数来找到隐函数的导数。
傅里叶级数与傅里叶变换
傅里叶级数
将周期函数表示为无穷级数，通过正 弦和余弦函数的线性组合来逼近原函 数。
傅里叶变换
将函数从时间域转换到频率域，通过 积分形式实现。
傅里叶变换的性质与应用
线性性质
若 $f(t)$ 和 $g(t)$ 是 可傅里叶变换的，$a, b$ 是常数，则 $af(t) + bg(t)$ 也可进行傅里叶 变换。
复数的几何意义
复数可以用平面上的点来 表示，实部为横坐标，虚 部为纵坐标。
复数的运算
复数可以进行加法、减法、 乘法和除法等运算，满足 交换律、结合律和分配律。
02 复数与复变函数
复数及其运算
复数
由实部和虚部构成的数， 表示为 a + bi，其中 a 和 b 是实数，i 是虚数单位。
复数的运算
加法、减法、乘法和除法 等。
共轭复数
如果一个复数的虚部变号， 则得到该复数的共轭复数。
复变函数及其定义域
复变函数
从复平面到复平面的映射。
定义域
复变函数的输入值的集合。
单值函数和多值函数
根据定义域和值域的关系进行分类。
复变函数的极限与连续性
极限
描述函数值随自变量变化的行为。
连续性
函数在某一点处的极限值等于该 点的函数值。

复变函数四五六七章总复习钟玉泉

复变函数四五六七章总复习钟玉泉

若a为f (z)的孤立奇点,则在K {a}内可展成Laurent级数
f (z) cn (z a)n cn (z a)n
cn (z a)n
n
n1
n0
f (z)在a的主要部分 f (z)在a的正则部分
f (z)在点a的奇点性质体现在K内收敛于一解析函数
定义5.3 设a为f (z)孤立奇点
(1) fn (z)(n 1, 2,...)在区域D内解析;
(2) fn (z)在D内内闭一致收敛于函数f (z)
n1
f (z) fn(z).
n1
则 (1) 函数f (z)在区域D内解析;
(2) f ( p) (z)
f
( n
p)
(
z),
(
z
D,
p
1,
2,
).
n1
第二节 幂级数
1. 幂级数的敛散性 阿贝尔(Abel)定理
i z
1,
z 1. 2
f
(z)
(z
1 i)(z
2)
1 2
i
z
1
i
2
1
z
1 2i
1 z1
i z
1 21
2z
1 2
i
(i)n zn1
n0
n0
zn 2n1
1 2
i
n0
( i )n z n1
1 2
i
n0
zn 2n1 .
(2) 在 2 z 内,
i 1, 2 1
1ezຫໍສະໝຸດ n01 n!zn ,
所以
1
z2e z
z21
1 z
1 2! z 2
1 n! z n

复变函数答案 钟玉泉 第五章习题全解

复变函数答案 钟玉泉 第五章习题全解

(z 2 1)2 4(z i)2 n0
2i
1 4(z i)2
(1)n (n 1)( z i)n )n
n0
2i
(0
z i
2)
1
(2) z 2e z
1 z n2
1 1 (0 z )
n0 n!
n2(n 2)! z n
e e e (3) 令 1 ，则 z
1
1z
1
2
(1 ...) 2
f (z) w0 解 析 , 即 为整函数 . 又 因 f (z) 非 常 数 , 所 以 g(z) 非常 数 , 其值全 含于一圆
g(z) 1 之内,与刘维尔定理矛盾. 0
11.证明:由题意, f (z) 在 z0 的去心邻域内的洛朗展开式可设为
f (z)
c1 z z0
cn (z z0 )n
(a)
0
6.证明：令 g(z) (z a)k f (z) 。由题设， g(z) 在 k {a}: 0 | z a | R 内有界。由
定理 5.3（3），a 为 g(z) 的可去奇点，则 a 为 g(z) 的解析点。又由定理 5.4（2），
若
a
为
f
(z) 的
m
级极点，则在点
a
的某去心邻域内能表成
正好是以 1 为中心的无穷远点的去心领域。所以根据题中的洛朗展式，只能判
定 z 是 f (z) 的可去奇点。
3.证明：由孤立奇点的定义，又有 f (z) 在点 a 解析，故知 a 为 g(z) 的孤立奇点，
且 lim g(z) lim f (z) f (a) f (a) g(a) ，故 a 为 g(z) 的可去奇点。故在 a 业
（充分性） 若

复变函数第一张第二节(钟玉泉第三版)

复变函数第一张第二节(钟玉泉第三版)
2 2
,
特 （1）光滑曲线上的各点都有切线 点 （2）光滑曲线可以求长 由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线 称为按段光滑曲线.
y y
o
x
o
x
12
课堂练习 判断下列曲线是否为简单曲线?
z (a ) z (a ) z (b ) z (b ) z (a ) z (b ) z (a ) z (b )
记作:N(z0)
N(z0)={z | |z-z0|<}
0 z z0 所 z 0 的去心邻域 .
称由不等式 确定的点的集合为
记作：N0(z0)={z | 0<|z-z0|<}
2
定义1.2 聚点、外点、孤立点
设 E 为一平面点集 ( 不必属于 的无穷多点 E ), 如果对 , z 0 为 复平面中任意一点 z 0 的任意一个邻域 , 都有 E
(1) D是一个开集；
(2) D是连通的,就是说D中任何 两点都可以用完全属于D的一 条折线连结起来.
z1

D z2

D加上D的边界称为闭域。记为D＝D+D
6
说明
不包含边界！
C2
(1) 区域都是开的.
(2) 区域的边界可能是 由几条曲线和一些孤立 的点所组成的.
边界
z z
C3
C1
以上基 本概念 的图示
z z ( t ) x ( t ) iy ( t ). ( t )
z
C的复参数方程
起点z()
o
x
C的正向：起点终点
9
对于满足
t1 , t 2 的 t1 与 t 2 , 当
C
t 1 t 2 而有 z ( t 1 ) z ( t 2 ) 时 , 点 z ( t 1 ) 称为曲线 的重点 .

复变函数第五章

C
这是由于 z 0 为f ( z ) 的孤立奇点而使积分 ∫ f ( z )dz 留下”的值 “留下”
11
定义: 的孤立奇点， 定义 设 z0 为 f (z) 的孤立奇点， f (z) 在 z0 邻域内的洛朗级数中负 称为f 在 留数， 幂次项 (z- z0)–1 的系数 c–1 称为 (z)在 z0 的留数，记作 Res [f (z), z0] 或 Res f (z0)。 。 由留数定义, 由留数定义 Res [f (z), z0]= c–1 (1)
z2 z4 z 2n sin z (1) = 1 − + − L + ( −1) n +L z 3! 5! ( 2n + 1)!
特点：没有负幂次项 特点：
e z 1 +∞ z n +∞ z n −1 1 z z n −1 ( 2) = ∑ = ∑ = + 1+ +L+ +L z z n = 0 n! n = 0 n! z 2! n!
1 把扩充z平面上 平面上∞ 作变换 w = 把扩充 平面上∞的去心邻域 R<|z|<+∞映射成扩充 ∞ z w平面上原点的去心邻域： <| w |< 1 . 平面上原点的去心邻域： 平面上原点的去心邻域 0 R 1
又 f ( z ) = f ( ) = ϕ ( w) .这样 我们可把在去心邻域 这样, 这样 我们可把在去心邻域R<|z|<+∞对f (z)的研 ∞ 的研 w 1 的研究.显然 究变为在 0 <| w |< 1 内对ϕ (w)的研究 显然ϕ (w)在 0 <| w |< 内解 的研究 在 R R 所以w=0是孤立奇点 是孤立奇点. 析, 所以 是孤立奇点 在无穷远点 ∞ lim f ( z ) = lim ϕ ( w ) ⇒ f (z)在无穷远点 z=∞ 的奇点类型

复变函数论第三版钟玉泉第五章


(3)
(1).
因主要部分的系数
cn
1
2i
f
a n1
d
其中 : a , 可任意小，故
cn
1
2
f
a n1
d
1
2
M
n1
2
M n
cn 0 n 1，2,
13
2020/7/9
复变函数
华中科技大学数学与统计学院
3. 施瓦茨(Schwarz)引理
Schwarz引理 如果函数f(z)在单位圆|z|<1内解析, 并且满足条件 f(0)=0,|f(z)|<1(|z|<1)，则在单位圆 |z|<1内恒有|f(z)|≤|z|,且有 | f (0) |1. 如果上式等号成立,或在圆|z|<1内一点z0≠0 处前一式等号成立,则(当且仅当)
12
2020/7/9
复变函数
华中科技大学数学与统计学院
证 (1) (2). 由(1)有
f z c0 c1z a c2z a2 0 z a R
因此 lim za
(2) (3).
f
z
因
c0
lim
f z
b
则
0,
za
0, z
:0
|
z
a
| ,有 |
f
(z) b |
,
于是,有 | f (z) || b | ,即f (z)在a的去心邻域内有界。
ez z3
展开成洛朗级数.
例2 求函数
f
z
sinh z2
z
在 0 z
内的洛朗级数。
例3 试问函数 f 洛朗级数？
z
tan

(完整版)复变函数习题答案第5章习题详解

(完整版)复变函数习题答案第5章习题详解第五章习题详解1．下列函数有些什么奇点？如果是极点，指出它的级：1) ()2211+z z解：2)31z z sin3)1123+--z z z4)()z z lz 1+5)()()z e z z π++1126)11-z e7)()112+z e z 8) n nzz +12，n 为正整数9)21z sin2．求证：如果0z 是()z f 的()1>m m 级零点，那么0z 是()z f'的1-m 级零点。

3．验证：2i z π=是chz 的一级零点。

4．0=z 是函数()22--+z shz z sin 的几级极点？5．如果()z f 和()z g 是以0z 为零点的两个不恒等于零的解析函数，那么()()()()z g z f z g z f z z z z ''lim lim 00→→=（或两端均为∞）6．设函数()z ?与()z ψ分别以z =为m 级与n 级极点（或零点），那么下列三个函数在z =处各有什么性质：1) ()()z z ψ?；2)()()z z ψ?；3) ()()z z ψ?+；7．函数()()211-=z z z f 在1=z 处有一个二级极点；这个函数又有下列洛朗展开式：()()()()345211111111-+---+=-z z z z z Λ，11>-z ，所以“1=z 又是()z f 的本性奇点”；又其中不含()11--z 幂，因此()[]01=,Re z f s 。

这些说法对吗？8．求下列各函数()z f 在有限奇点处的留数：1)zz z 212-+ 2) 421z e z-3)()32411++z z4)zz cos5) z -11cos6) z z 12sin7) z z sin 18) chz shz9．计算下列各积分（利用留数；圆周均取正向）1) ?=23z dz z zsin2) ()?=-2221z zdz ze3) ?=-231z m dz z zcos ，其中m 为整数4)?=-12i z thzdz5) ?=3z zdz tg π6) ()()?=--11z n n dz b z z （其中n 为正整数，且1≠，1≠b ，b =r z13．计算下列积分：1)?+∞+0351??d sin2)?∞++02???d b cos sin ，()0>>b3)()?+∞∞-+dx x 2211 4) ?∞+∞-+dx x x 4215)?+∞∞-++dx x x x 542cos6)?+∞∞-+dx x x x 21sin 14．试用图5.10中的积分路线，求例4中的积分：?+∞0dx x x sin15．利用公式()145..计算下列积分：1) ?=31z dz z 解：2)?=-321z dz z z3)?=3z tgzdz4)()?=+311z dz z z16．设C 为区域D 内的一条正向简单闭曲线，0z 为C 内一点。

复变函数第五章


定义
设z0是f (z)的一个孤立奇点，在z0 的去心邻域内，
若f (z)的洛朗级数
( i ) f ( z ) cn ( z z0 ) n
n 0

没有负幂次项，称z=z0为可去奇点; ~~~~~~~~
( ii ) f ( z )
n m

cn ( z z0 )n (c m 0, m 1)
设f ( z )
n
c (z z )
n 0

n
,0 z z0 r
( z0是f ( z )的孤立奇点 c包含z0在其内部) ,
对 上 式 两 边 沿 简 单 闭 线c逐 项 积 分 得 ： 曲 dz c f ( z )dz c1 c z z0 2ic1
(3) f ( z )
z z 1
2

1

2
si nz ( 4) f ( z ) 3 z 1 ( 6) f ( z ) z sinz
1 ( 5) f ( z ) 3 z z2 z 1
(7) f ( z ) e
1 z 1
( z 1)2 ( z 2)2 (8) f ( z ) 3 sinz
z=1为f (z)的一个三级极点， z=i为f (z)的一级极点。
若z0为f (z)的本性奇点
f ( z )的 洛 朗 级 数 有 无 穷 多 负 幂 次 项 项 l i m f ( z )不 存 在 ， 也 不 为
n
4. 零点与极点的关系
定义 不恒等于0的解析函数f (z)如果能表示成
奇点的类型，对求留数更为有利。
以下就三类孤立奇点进行讨论：
(i )若z z0为可去奇点 c1 0 Re s[ f ( z ), z0 ] 0
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A≠∞
iLn iA 1 A2 zn


ln iA 1 A2 2n i

i

例5.10 A=∞ A=0
f (z) e
zn
1 z
1 f ( zn ) e n பைடு நூலகம் (n ) n
1 zn f ( zn ) e n 0(n ) n
cn 0
注：a为可去奇点时，补充 f(z)=c0,则a就成为 f(z)的解析点了。
2.极点的性质
定理5.4 如果f(z)以a为孤立点,则a为f(z)的m 阶极点 c m c1 (1)f(z)在a点的 (c m 0); m z a 主要部分为 ( z a ) 或：(2)f(z)在点a的某 去心邻域内能表成
|
f ( z) z
| 1 r
让r1即得 | ( z0 ) | 1. 于是 | f ' (0) || (0) | 1 ,且当 z0 0 时,有 即
| f ( z0 ) || z0 | .
| f ( z0 ) ||
f ( z0 ) z0
| 1,
如果这些关系中,有一个取等号,这就意味着 在单位圆|z|<1内某一点z0,模数| ( z ) |达到最大 i 值,这只有 ( z) e (为常数) 时才可能.此即 f ( z) ei z.
(2)推出(3):设在点a的某去心邻域内有
1 ( z a )m g( z ) ( z a )m ( z ), f (z) ( z)
(由例1.28)
1 其中 ( z ) ( z )在点a的某去心邻域内解析,且 (a ) 0
因此a为g(z)的可去奇点,作为解析点来看,只 要令g(a)=0,a就为g(z)的m级零点. 则在点a的某邻域内 g( z ) ( z a ) ( z ) 其中 (z )在此邻域内解析,且 (a) 0.这样一来
于是f(z)在点a的主要部分就是
c( m 1) c m c1 1 (c m 0). m m 1 (z a) ( z a) z a (a )
定理5.5 f(z)的孤立奇点a为极点的充要 条件是 lim f ( z )
z a
3.本性奇点的性质
于是
lim f ( z ) c0 ( ).
z a
(2)推出(3):即例1.27.
(3)推出(1):设当a∈K-{a}＝{z| 0<|z-a|<a} 时 |f(z)|≤M(M>0).考虑f(z)在点a的主要部分
c n c1 c 2 , 2 n z a ( z a) (z a)
定义5.3 设a为f(z)的孤立奇点. (1)如果f(z)在点a的主要部分为零,则称a为 f(z)的孤立奇点. (2)如果f(z)在点a的主要部分为有限多项,
c( m1) cm c1 (cm 0), 设为 m m 1 ( z a) ( z a) za
则称a为f(z)的m阶(级)极点.一级极点也称为简单 极点. (3)如果f(z)在点a的主要部分有无限多项, 则称a为f(z)的本性奇点.
( k 0 , 1 , 2 , ) 均为 f (z )
5.2.3 Picard(毕卡)定理
定理5.8 如果a为f(z)的本性奇点,则对于 任何常数A,不管它是有限数还是无穷,都有一个 收敛与a的点列{zn},使得
z n a
lim f ( z n ) A.
换句话说,在本性奇点的无论怎样小的去心邻 域内,函数f(z)可以取任意接近于预先给定的任 何数值(有限的或无穷的). 证 (1) 在 A＝∞的情形,定理是正确的.因为函 数f(z)的模在a的任何去心邻域内都是无界的.
若 lim f ( z )广义存在. za
b a是f(z)的可去奇点 lim f ( z ) z a a是f(z)的极点
矛盾！
定理5.7 若z=a为f(z)之一本性奇点,且在点 1 a的充分小去心邻域内不为零,则z=a亦必为 f ( z ) 的本性奇点. ①若z=a为(z)的可去奇点(解析点), lim ( z ) b 0 a为f(z)的极点 z a b( ) b 0 a为f(z)的可去奇点 ②若z=a为(z)的极点 lim ( z ) z a lim f ( z ) 0 a为f(z)的可去奇点
否则,a必为f(z)的可去奇点. (2)现在设 A . 可能有这种情形发生,在点a的任意小的 邻域内有这样一点z存在,使f(z)=A.定理得证 因此,我们可以假定,在点a的充分小去心邻域 K-{a}内f(z)≠A .这样,由定理5.7,函数 1 在K-{a}内解析,且以a为本 (z) f (z) A 性奇点(因a为f(z)的本性奇 点).根据前面(1)段的结果,必定有一个趋向a 的点列{zn}存在,使得 zlim g( zn ) . a

cm c( m 1) ( z a ) (z a)
m
c0 c1 ( z a)

( z)
( z a )m ,
其中： ( z) cm c( m1) ( z a)
显然在点a的邻域内解析,且 (a ) cm 0.
c n
1 2i
f ( ) ( a )n1 d (n 0,1,2, ),
cn
1 2i
f ( ) 1 M ( a )n1 d 2 n1 2
: z-a (0 R)
M n 0 ( )
f ( z) c1z c2 z 2 (| z | 1). 证设
f ( z) ( z) c1 c2 z ( z 0), z
(0) c1 f ' (0)
max | z|r
(z )
| ( z0 ) |
| ( z) |
max | z|r
n
由此推出 zlim f ( zn ) A. a
n
用下列例子来验证定理5.8成立
例5.9 A=∞
1 f ( z ) sin z i zn f ( zn ) sin(in) n e n e n ( n ) 2i 1 1 sin A Arcsin( A) z z
f (z)
(z)
(z a)
m
其中λ(z) 在点a邻域内解析,且λ(a)≠0
1 或 (3) g( z ) f (z)
以a为m阶零点
(可去奇点a要当作解析点看,只要令g(a)=0). 证 (1)(2): 设在点a的某去心邻域内有
c( m 1) c m c 1 f (z) m m 1 ( z a) ( z a) z a
A≠∞, A≠∞
1 e A zn i =1,2. ln A 2n i f ( zn ) A
1 z
定理5.9(毕卡(大)定理) 如果a为f(z)的本 性奇点,则对于每一个A≠∞,除掉可能一个值 A=A0外,必有趋于a的无限点列{zn}使f(zn)=A (n=1,2,…).
m
1 (3)推出(1):如果 g( z ) 以点a为m级零点, f (z)
定理4.17
1 1 f (z) . m (z a) (z)
因1/(z) 在点a某邻域内解析(例1.28),则可展 成泰勒级数，设为：
1 cm c( m 1) ( z a ) (z)
f (z)
5 1 ez
若设 z k (2k 1)π i (k 0 , 1, 2 , ) ，则易知 为 f (z ) 的孤立奇点．另外，因
(1 ez )
zzk
zk
0 , (1 ez )
zzk
0
所以，由零点的定义知 z k 为 1 e z 的一级 零点．从而知 z k 的一级极点．
5.2.4 Schwarz引理
席瓦尔兹(Schwarz)引理 如果函数f(z)在 单位圆|z|<1内解析,并且满足条件 f(0)=0,|f(z)|<1(|z|<1), 则在单位圆|z|<1内恒有|f(z)|≤|z|,) 且有 |f /(0)|≤1. 如果上式等号成立,或在圆|z|<1内一点z0≠0 处前一式等号成立,则(当且仅当) f ( z ) e i z(| z | 1), 其中α为一实常数.
f (z)

n
c ( z a) c
n n n1


n
( z a ) cn ( z a ) .
n n n 0

cn ( z a )n 为f(z)在点a的正则部分,而称 则称
c n ( z a ) n
n 1
n 0
为f(z)在点a的主要部分.
5.2 解析函数的有限孤立奇点
5.2.1孤立奇点的分类 5.2.2孤立奇点的性质 1. 可去奇点的性质 2. 极点的性质 3. 本性奇点的性质 5.2.3 Picard定理 5.3.4 Schwarz引理
5.2.1孤立奇点的分类
定义5.2 如果f(z)在点a的某一去心邻域 K-{a}:0<|z-a|<R(即除去圆心a的某圆)内解析, 点a是f(z)的奇点(见定义2.3),则称a为f(z)的孤立 奇点. 如a为f(z)的孤立奇点,则f(z)在a的某去心邻域 K-{a}内可以展成罗朗级数
定理5.6 f(z)的孤立奇点a为本性奇点 b(有 限 数 ) lim f ( z ) ， 即lim f ( z )广义不 存 在 . z a z a 证明：(反证法) a是f(z)的 lim f ( z ) b( ) 若a不是f(z) z a 可去奇点 lim f ( z ) 的本性奇点 a是f(z)的极点 z a