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D
性质４
性质５
若 为D的面积 1 d d .
D D
若在D上， f ( x , y ) g( x , y )
f ( x , y )d g( x , y )d .
D D
特殊地
f ( x, y )d f ( x, y ) d .
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二、主要内容
定 义 定 义
二 重 积 分
几何意义 几何意义
性 质 性 质
计算法
应 用
计算法
应 用
三 重 积 分
1、二重积分的定义
定义 设 f ( x , y ) 是有界闭区域 D 上的有界函数，将 闭区域 D 任意分成n 个小闭区域 1 ， 2 , ，
n ，其中 i 表示第i 个小闭区域，也表示它的面积，
I o ( x 2 y 2 z 2 ) dv.
三、典型例题 例1. 计算二重积分
(1) I D sgn( y x 2 )d xd y , D : 1 x 1 ， y 1 0
( 2) I D ( x 2 y 2 2 xy 2) d xd y , 其中D 为圆域
I xy z 2 dv, I yz x 2 dv, I zx y 2 dv,
I x ( y 2 z 2 ) dv,
I y ( z 2 x 2 ) dv,
I z ( x 2 y 2 ) dv,
D D
y ( x, y )d y . ( x , y )d
D D
当薄片是均匀的，重心称为形心.
1 x xd , AD 1 y yd . 其中 A d AD D
(4) 转动惯量
D 设有一平面薄片，占有 xoy面上的闭区域 ， 在点( x , y ) 处的面密度为 ( x , y ) ，假定 ( x , y ) 在 x D 上连续，平面薄片对于 轴和 轴的转动惯量为 y
Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴
的直线与区域边界相交不多于两个交点.
（２）极坐标系下
D1 : ,
1 ( ) r 2 ( ).
f (r cos , r sin )rdrd
D1
d
2 ( )
1 ( )
f ( r cos , r sin )rdr .
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D
o
1x
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D2 : ,
0 r ( ).
f (r cos , r sin )rdrd
D2
d
( )
0
f ( r cos , r sin )rdr .
0 r ( ).
D3 : 0 2 ,
f (r cos , r sin )rdrd
D3
d
0
2
( )
0
f ( r cos , r sin )rdr .
5、二重积分的应用
(1) 体积
在曲面 z f ( x , y ) 与区域 D 之间直柱体 的体积为 V f ( x , y )dxdy.
D
(2) 曲面积 设S曲面的方程为： z f ( x , y ). 曲面S的面积为 A 1
1 1 1 x xdv , y ydv, z zdv. M M M
其中 M dv.
(２) 转动惯量
设物体占有空间闭区域 ，在点( x , y , z ) 处的 密度为 ( x , y , z ) ，假定 ( x , y , z ) 在 上连续，则该 物体对坐标面,坐标轴及原点的转动惯量为
D D
性质６ 设M 、m 分别是 f ( x , y ) 在闭区域 D 上的最
大值和最小值， 为 D 的面积，则
m f ( x , y )d M
D
（二重积分估值不等式）
D D 性质７ 设函数 f ( x , y ) 在闭区域 上连续， 为
的面积，则在 D 上至少存在一点( , ) 使得
f ( x, y, z )dxdydz
f ( r sin cos , r sin sin , r cos )r 2 sindrdd .
10、三重积分的应用
(１) 重心
设物体占有空间闭区域 ，在点( x , y , z ) 处的 密度为 ( x , y , z ) ，假定 ( x , y , z ) 在 上连续，则该 物体的重心为
薄片对 z 轴上单位质点的引力 F {Fx , Fy , Fz },
F x G
D
( x, y ) x
(x2 y2 a2 )
3 2
d , F y G
D
( x, y ) y
(x2 y2 a2 )
3 2
d ,
Fz aG
D
( x, y )
(x2 y2 a2 )
: z1 ( x , y ) z z2 ( x , y ); y1 ( x ) y y2 ( x ); a x b.
f ( x , y, z )dv dx
b a
y2 ( x )
y1 ( x )
dy
z2 ( x , y )
z1 ( x , y )
在第一象限部分.
解: (1) 作辅助线 y x 把与D 分成
2
D1 , D2 两部分, 则
I D d xd y D2 d xd y 1
1 1 1 d x x 2 d y
1 D1 1
y
o D2
1 x
1 x2 1 d x 0 d
2 y 3
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3 2
d .
G为引力常数
6、三重积分的定义
设 f ( x , y , z ) 是空间有界闭区域 上的有界函 n 数，将闭区域 任意分成 个小闭区域v1 ， v2 , i , v n ，其中v n 表示第 个小闭区域，也表示它的 体积, 在每个vi 上任取一点( i , i , i ) 作乘积 f ( i , i , i ) vi ，( i 1,2,, n) ，并作和, 如果当各 小闭区域的直径中的最大值 趋近于零时，这和式 的极限存在，则称此极限为函数 f ( x , y , z ) 在闭区域 上的三重积分，记为
(2) 提示:
I D ( x 2 y 2 2 xy 2) d xd y
y 1
作辅助线 y x 将D 分成
D1 D2
yx
D1 , D2 两部分
2 D ( x y )d xd y 2 D d xd y 2
o
1 x
2 ( 2 1) 3 2 说明: 若不用对称性, 需分块积分以去掉绝对值符号.
f ( x , y , z )dz.
{( x, y, z ) ( x, y ) Dz , c1 z c2 }.
f ( x, y, z )dv
c2
c1
dz f ( x , y , z )dxdy.
Dz
(２) 柱面坐标
x r cos , y r sin , z z.
D
即 f ( x , y )d lim f ( i , i ) i
D
n
0 i 1
２、二重积分的几何意义 当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积． 当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的 负值．
３、二重积分的性质
性质１
当 k 为常数时，
kf ( x , y )d k f ( x , y )d .
习题课 重积分的 计算 及应用
一、 重积分计算的基本方法 二、主要内容 三、典型例题
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一、重积分计算的基本方法 —— 累次积分法
1. 选择合适的坐标系 使积分域多为坐标面(线)围成; 被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.
2. 选择易计算的积分序
积分域分块要少, 累次积分易算为妙 . 3. 掌握确定积分限的方法 图示法 列不等式法 (从内到外: 面、线、点)
f ( x , y )d
D
f ( , ) .
（二重积分中值定理）
４、二重积分的计算
（１）直角坐标系下
［X－型］ D : a x b,
1 ( x ) y 2 ( x ).
2 ( x )
1( x)
f ( x, y )d dx
b a D
D D
性质２
[ f ( x, y ) g( x, y )]d
D
f ( x , y )d g ( x , y )d .
D D
性质３
对区域具有可加性 ( D D1 D2 )
D1 D2
f ( x, y )d f ( x, y )d f ( x, y )d .
dv rdrddz,
f ( x, y, z )dv
f ( r cos , r sin , z )rdrddz.
(３) 球面坐标
x r sin cos , y r sin sin , z r cos .
dv r 2 sindrdd ,
在每个 i 上任取一点( i , i ) ， 作乘积 并作和
f ( i , i ) i ，
