当前位置：文档之家 › 7.1-7.2.1定积分的微元法与平面图形的面积

7.1-7.2.1定积分的微元法与平面图形的面积

  • 格式：pdf
  • 大小：1.41 MB
  • 文档页数：29

下载文档原格式

  / 29

合集下载

利用定积分求平面图形面积的一些讨论

利用定积分求平面图形面积的一些讨论

利用定积分求平面图形面积的一些讨论在数学中，定积分是一个非常重要的概念。

它可以用来求曲线下面的面积、体积等。

在这篇文章中，我们将探讨如何利用定积分来求解平面图形的面积，并对其中的一些需要注意的问题进行讨论。

一、定积分求平面图形的面积通常情况下，我们使用定积分求解平面图形的面积主要分为以下两种情况：1. 若平面图形位于第一象限内，我们可以通过将其关于x轴或y轴进行对称，得到其关于某条轴的镜像图形。

然后，我们可以通过积分的方法求得该镜像图形的面积，再将其乘以2即可得到原图形的面积。

2. 若平面图形位于第三象限内，我们可以采用类似的方法，将其关于x轴和y轴进行对称，再将其平移至第一象限内，最后采用积分的方法求解面积。

二、需要注意的问题在使用定积分求解平面图形的面积时，我们还需要注意以下几个问题：1. 积分区间的确定在求解平面图形面积时，我们需要确定积分的区间。

通常情况下，这个区间并不是在平面直角坐标系中所表示的图形区域，而应该是其在积分方程中的区间。

因此，在进行计算之前，我们需要先画出该图形和其在积分方程中的区间，并根据图形和区间的特点确定积分的上下限。

2. 导数、微积分的运用在计算过程中，我们经常需要使用导数和微积分知识。

对于不熟悉这些知识的人来说，可能会产生一定的困难。

因此，在进行平面图形面积的计算时，我们需要对相关的导数和微积分知识有一定的了解，才能更好地进行计算。

3. 曲线積分的處理如果题目本身是一个曲线的方程或者是一个参数方程问题，我们还需要先将其转化为参数方程或者直接采用曲线积分的方法来求解。

另外，对于一些复杂的曲线问题，我们可能需要结合掌握一定的计算技巧和方法来进行计算。

三、总结定积分是求解平面图形面积的一个非常好的工具。

在进行计算时，我们需要注意导数、微积分等方面的知识，并结合所求图形的特点来确定积分区间、上下限等参数。

只有在掌握了这些知识和技巧之后，我们才能更好地求解平面图形的面积问题。

定积分的元素法平面图形的面积PPT课件

定积分的元素法平面图形的面积PPT课件
右脑思维的核心是形象思维， 在大脑中多出现形象的东西，在 各项思维活动中，多借助形象， 就训练了右脑。
1
第六章 定积分的应用
第一节 定积分的元素法 第二节 平面图形的面积 第三节 体积 第四节 平面曲线的弧长 第五节 功 水压力和引力 第六节 平均值
2
第一节 定积分的元素法
求由 x a, x b, y 0 和 y f ( x) 所围成的曲边梯形的
x 1( y)
y dy
x 2( y)
y
A
d c

2
(
y
)

1
(
y
)dy
c
x穿出 x穿入
Y型
x
8
例１计算由 y2 x , y x2
解 解方程组
y2 x

y

x2
所围成的图形的面积。
y
(1,1) 1
得抛物线的两个交点 (0,0)和 (1,1)
取x为积分变量，积分区间为 0,1,
P(r, ) y
x
以极点O为圆心，以 a为半径的的圆的极坐标方程: r a.
x2 y2 a2
以点(a,0) 为圆心，以 a 为半径的的圆的极坐标方程 r 2a cos r 2a cos r 2 2a r cos x 2 y 2 2ax
20
二. 极坐标情形
之间，一般没有一一对应的关系。
但若规定r 0,0 2 ，除极点O外，平面上的点与极坐标
之间就一一对应了。
在通常情况下,我们规定: r 0 ，而极角可以取任意实数。
17
2．极坐标方程
曲线上点的极坐标 r 与 之间的关系可以用式 r r 表示， 称 r r 为曲线的极坐标方程。

微元法与平面图形的面积

微元法与平面图形的面积

A 4 ydx 4 π b sin t ( -a sin t )dt
0
a
0
4ab sin tdt ab .
2
0
2
三、极坐标系中平面图形的面积
由曲线 r = r( ) 及两条半直线 = a， = b (a < b) 所围成的图形称为曲边扇形. 求曲边扇形的面积 A， 积分变量为 ， [a , b ]， 下面应用微元法找面积 A 的微元 dA， 任取一个子区 间[ , + d ] [a , b ]，用 处的极径 r( ) 为半径， 以 d 为 圆心角的圆扇形的面积 作为面积微元， 如图中斜线部分 r = r ( ) 的面积. 即
dI = f (x)dx ，
dI 称为量 I 的微元. 上述简化了步骤的定积分方法称为定积分的微 元法.
二、直角坐标系中的平面图形的面积
如果 f (x) 在 [a, b] 上有正有负，那么它的面积 A
的微元应是以 | f (x) | 为高，dx 为底的矩形面积， 即
dA= | f (x) |dx . 于是，总有
1
y = cos x
y = sinx
O
A (cos x - sin x )dx
4 0
(sinx - cos x)dx.
2( 2 - 1).
就不必用公式了.
2 4
π 4
π 2
x
例3 解
求出抛物线 y2 = 2x 与直线 y = x – 4 所 求抛物线与直线的交点， 作草图，如图，
O a
y
f (x )
x x + dx b
dA
x
A | f ( x ) | dx .

微元法与平面图形的面积

微元法与平面图形的面积

3 ,- π 2 3
得两曲线的交点 3 , , 3 ,- . 考虑到图形的对称
性，得面积
2 3 2 3
A
2
3 0
1 (1 cos )2 d
2
2
2
3
1 2
(3
cos
)2
d
3 (1 2cos cos2 )d
0
29cos2 d
3
[ 3 2sin 1 sin2 ] 3 [9 9 sin2 ] 2
2a
b
a
O
x
例 5 求心形线 r = a(1 + cos ) 所围成的图形的
面积 (a > 0) .
解 作出它的草图. 由上述公式，再利用图形的
对称性，得
r = x(1 + cos )
A [a(1 cos )]2d 0
a2
(1
2cos
cos2
)d
0
O
2a x
a2 3 2cos 1 cos 2 d
值，并且要求 I - f (x)dx dA
是 dx 的高阶无穷小量，关于
后一个要求在实际问题中常
常能满足.
Oa
x x + dx
Байду номын сангаас
x
(2) 满足 (1) 的要求后，f (x)dx 是所求量 I 的微分，
所以第二步中的近似式常用微分形式写出，即
dI = f (x)dx ，
dI 称为量 I 的微元. 上述简化了步骤的定积分方法称为定积分的微
dA
( x2
-
x1 )dy
( y
4) -
y2 2
dy,
y

大学_高等数学理工类第三版上册(吴赣昌著)课后答案下载

大学_高等数学理工类第三版上册(吴赣昌著)课后答案下载

高等数学理工类第三版上册(吴赣昌著)课后答案下载高等数学理工类第三版上册(吴赣昌著)内容提要绪言第1章函数、极限与连续1.1 函数1.2 初等函数1.3 数列的极限1.4 函数的极限1.5 无穷小与无穷大1.6 极限运算法则1.7 极限存在准则两个重要极限1.8 无穷小的比较1.9 函数的连续与间断1.10 连续函数的运算与性质总习题数学家简介第2章导数与微分2.1 导数概念2.2 函数的求导法则2.3 高阶导数2.4 隐函数的导数2.5 函数的微分总习题二数学家简介第3章中值定理与导数的应用3.1 中值定理3.2 洛必达法则3.3 泰勒公式3.4 函数的单调性、凹凸性与极值 3.5 数学建模——最优化3.6 函数图形的描绘3.7 曲率总习题三数学家简介第4章不定积分4.1 不定积分的概念与性质4.2 换元积分法4.3 分部积分法4.4 有理函数的积分总习题四数学家简介第5章定积分5.1 定积分概念5.2 定积分的性质5.3 微积分基本公式5.4 定积分的换元积分法和分部积分法 5.5 广义积分总习题五数学家简介第6章定积分的应用6.1 定积分的微元法6.2 平面图形的面积6.3 体积6.4 平面曲线的弧长6.5 功、水压力和引力总习题六第7章微分方程7.1 微分方程的基本概念7.2 可分离变量的微分方程7.3 一阶线性微分方程7.4 可降阶的二阶微分方程7.5 二阶线性微分方程解的结构7.6 二阶常系数齐次线性微分方程7.7 二阶常系数非齐次线性微分方程7.8 欧拉方程7.9 常系数线性微分方程组7.10 数学建模——微分方程的应用举例总习题七附录Ⅰ预备知识附录Ⅱ常用曲线附录Ⅲ利用Excel软件做线性回归习题答案第1章答案第2章答案第3章答案第4章答案第5章答案第6章答案第7章答案高等数学理工类第三版上册(吴赣昌著)目录本书根据高等院校理工类本科专业高等数学课程的教学大纲编写而成，并在第二版的基础上进行了修订和完善。

立体几何7.1-7.2

立体几何7.1-7.2
1．下列说法中正确的是（
D
）
A.棱柱的底面一定是平行四边形
B.棱锥的底面一定是三角形
C.棱锥被平面分别的两部分不可能都是棱锥
D.棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱
答错了，再试试！ 答对了，点击此处！
二、典型考题
2． 用一个平面去截一个几何体， 得到的截面是四边形， 这个几何可能是（
A.圆锥
B
）
B.圆柱
（1）圆柱、圆锥、圆台的概念 分别以 矩形 的一边、直角三角形 的一直角 边、 等腰梯形 中垂直底边的腰所在的直线为旋 转轴，其余各边旋转一周而形成的曲面所围成的几 何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台。
一．考点梳理
3．圆柱、圆锥、圆台
（2）圆柱、圆锥、圆台的性质 圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是 矩形 、
1 1 h( S SS S ) Sh 3 ； V棱台 3
；
（2）圆柱、圆锥、圆台的体积 1 2 1 r h h(r 2 rr r 2 ) 2 ； V圆台 3 ； V圆柱 r h ； V圆锥 3
（其中 r , r 为底面半径， h 为高）
二、典型考题
（2）圆柱、圆锥、圆台的侧面积
S圆柱侧
2 rl
； S圆锥侧
rl
； S圆台侧 (r r)l ；
（其中 r , r 为底面半径， l 为母线长）
一．考点梳理
8．柱体、锥体、台体的体积
（1）棱柱、棱锥、棱台的体积
V棱柱 Sh ； V棱锥
（其中 S , S 为底面积， h 为高）
答错了，再试试！ 答对了，点击此处！
二．典型考题(7.2)
4．长方体 ABCD A1B1C1D1 的 8 个顶点在同一个球面 上 ， 且 AB 2 ， AD 3 ， AA1 1 ， 则 球 面 面 积 为

定积分求平面图形的面积

1 4.求曲线 y 1 与直线y=x,x=2所围成的图形面积。
42 x
选择=结果
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
汇报结束 谢谢观看！
欢迎提出您的宝贵意见！
412
412 积。
例2 计算抛物线 y2 2x 与直线 y x 4 所围图形
. 0011 0010 1的01面0 1积101 0001 0100 1011
解: 由
得交点
y
y2 2x
yd y
(8, 4)
(2, 2) , (8, 4)
y
1 为简便计算, 选取 y 作积分变量,
则有
d
A
(
y
4
1 2
y2)ห้องสมุดไป่ตู้y
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
定积分的应用-----求平面图形面积
412
引入
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
1.复习定积分的定义及其几何意义
41 2 2.如何用定积分求平面图形的面积？
一、微元法
y y f (x)
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
边梯形面积为 A , 则
b
A a f1(x) f2 (x) dx
y y f1(x) y f2 (x)
412 o axxdx b x
例1 计算两条抛物线
所围图形的面积 .
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
解: 由
得交点 (0, 0) , (1, 1)
d A x x2 dx
2 4

高等数学(第三版)课件：定积分的应用


线 y f ( x，) 直线 x a, x b (a b) 与
• x 轴围成的面积是在x 轴上方和下方曲边梯形
面积的差.
• • 同样可由微元法分析
•⒉ 一般地，根据微元法由曲线 y f ( x), y g( x),
• ( f ( x) g( x)) 及直线x a, x b 所围的图形
• 面积.（右图所示）
• 解: 取 为积分变量,
•
面积微元为
d
A
1 2
(a )2
d
• 于是
A 2 1 (a )2d a 2 2
02
23
2 4 a 2 3
03
• 例5 计算双纽线 r 2 a2 cos2 (a 0)
•
所围成的平面图形的面积（下图所示）
• 解 因 r 2 0,故 的变化范围是 [ 3 , 5 ,]
• ⑴分割区间[a,b],将所求量(曲边梯形面积 A )
分为部分量(小曲边梯形面积 Ai）之和;
• ⑵确定各部分量的近似值(小矩形面积);
Ai f (i )xi
• ⑶求和得所求量的近似值（各小矩形面积之和);
n
A f (i )xi
i 1
• ⑷对和式取极限得所求量的精确值（曲边梯形面积）.
n
A lim 0
• 它表示高为f ( x) 、底为 dx 的一个矩形面积.
• ⑵由定积分几何意义可知,当 f (x) 0 时,由曲
线 y f (x)，直线 x a, x b (a b) 与 x 轴所围成
的曲边梯形的面积A为
A
b
f (x)dx
.
a
• ⑶当 f ( x)在区间 [a, b]上的值有正有负时，则曲
•

定积分的应用一-2022年学习资料


求由连续曲线y=fx,y=gx及x=a,x=b-所围成的平面图形的面积的计算公式为-A=['lfx-gxl x.a<b-类似地，-求由连续曲线x=py,x=y及y=c,y=d-A=∫1p-y1dy.-c<d
例1-求曲线y=x2与直线x+y=2所围成的平面图形的面积.-解-1求积分区间-联立方程组-「y=x-求得 点：A-2,4,B1,1.-积分区间x∈[-2,1].-微分元素dA=[2-x-x2]dx.-3计算面积-可e-wa2-4分
为简便和醒目起见略去下标，将具有代表性的第个-小区间[x-1,x]表示为[x,x+dx],称之为典型小区间 取-5:为区间的左端点x,则有-△A≈fxdx.-通常称fxdx为量A的微分元素或积分元素，记为-dA=f dx.-由量A对区间的可加性取极限过程dx→0（相当于-‖△x→0，将微分元素dA在区间[a,b]上“无限 加”起来-即作定积分就得到量A在区间[α，b]上的值：-A=∫°dA=fxdx.-简言之，我们在这里将定积 解为微分元素的无限剥加.
求由曲线r=rO及射线r=a,r=Ba<B-所围成的平面图形的面积的计算公式为-A=∫2dA=∫2r0d0 该公式也称为极坐标系种曲边扇形的面积公式
求圆r=3cos0与心形线r=1+cos0所围成的-例7-平面图形的面积.-解-由对称性，求出上半部分的面 A,则A=2A-r =3cos 0-1求积分区间联立方程组-∫r=3cos0-2微分元素-当0≤0≤g时， 边为r=1+cos日，dA=号1+cos62d0-0≤7时，曲边为r=3cos0,dA=6cosd8,
例5-求由摆线x=at-sint,y=aI-cost的第一拱-0≤t≤2π与横轴x所围成的平面图形的面积. 解-1求积分区间-x:0→2πa时，t:0→2π.-2求微分元素-2na x-d A=l yldx=a1ostdat-si1-cost2dt-1-2cost+cos'dt-A =3xd.

主要内容1.微元法.2.平面图形的面积.

2 2
10
一般地， 当曲边梯形的曲边 y f ( x ) ( f ( x ) 0, x [a, b]
由参数方程
x x(t ) y y( t )
给出， 且 x( ) a , x( ) b, x( t )在以 , 为端点的区间上
具有连续导数，y = y ( t )连续，则由曲边梯形面积公 式及定积分的换元积分法可知，该曲边梯形的面积为
4
微元法的步骤： 1、在区间 [ a ,b ] 上任取一个子区间 [ x , x+dx ]， 在该子区间上以不变代变求出总量 Q 的微分 dQ = f (x) dx
2、从 a 到 b 积分得总量
Q a dQ a f ( x )dx
b
b
例如，已知质点运动的速度为v (t)，计算在时间区间 [a ,b]上质点走过的路程 s 。 解 任取一小段时间间隔 [t, t+dt]，在这一段时间 dt 内，以匀速代变速，得到路程的微分 ds = v (t) dt 对上述微分式从 a 到 b 积分，就得到质点在[a ,b]内 走过的路程
2 2 2 2
S1 O a x
且当 x 0时，t
a

2
,当 x a 时，t 0，
0 0
根据定积分的换元积分法，得
S1 0 ydx b sin td (a cos t ) ab sin 2 tdt
1 cos 2 t ab 1 2 2 ab0 dt ( t sin 2t ) 0 ab 2 2 2 4 S 4S1 ab
S c [ ( y ) ( y )]dy
d
(﹡﹡)
y
注意：上述(﹡) 式和(﹡﹡)式在计 x=ψ( y) 算平面图形的面积时可以当公式用。 求解面积问题的一般步骤为： （1）作草图，求曲线的交点， 确定积分变量和积分区间；c （2）写出积分公式； （3）计算定积分。
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

面积元素为： [f 上(x)-f 下(x)]dx．
所求图形的面积为：
A=
b a
[f
上(x)-f
下(x)]dx．
y=f 上(x) y
O
a
y=f 下(x) x x+dx
bx
求由曲线y=f 上(x)、 y=f 下(x)及直线x=a、 x=b所围成的图形的 面积，也可以按如下方法求面积：
所求的图形的面积可以看成是两个曲边梯形面积的差
y = f(x) bx
•在 [a, b]中任意插
入 n -1个分点．
y
y = f(x) f(i)
得n个小区间： [xi-1 , xi ]
f(2) f(1)
区间[xi-1 , xi ]的长
度Dxi xi -xi-1 ．
f(i)Dxi
(i=1, 2 , ···, n)． n
A DAi i 1
O
a 1 x1 2 x2
被积函数=大函数-小函数
例2 计算抛物线y22x 与直线yx-4所围成的图形的面积．
解 画图．求两曲线的交点得：(2，-2)，(8，4)．
将图形向 y 轴投影得区间[-2，4]．
y 2=2x
选 y 为积分变量 y [-2, 4] 4
(8, 4)
[ y, y dy] [-2, 4],
2
y=x-4
lim
0
i1
f (i )Dxi
．记
b
f ( x) dx
a
y
简化步骤：
任取 x, x dx a,b
DA f x dx dA
面积元素 O a
A
b
a
f
x dx
y = f(x)
f(x)dx
x x+dx
bx
二、元素法（微元法）
当所求量U 符合下列条件： “整体量 = 部分量之和”
（1）U 是与一个变量 x的变化区间a, b有关的
y
是否要讨论f上, f下 的正负?
只有x能做积分变量?
y
y=f 上(x)
d x=f 左( y)
x=f 右( y)
Oa
A1
bx
A3
y=f 下(x)
y
c
a
y=f 上(x)
O
A2
y=f 下(x)
bx
O
x
A1=A2=
b a
[f
上(x)-f
下(x)]dx．
A3 = d [f 右(y)-f 左(y)]dy． c
b
b
A= a f 上(x)dx - a f 下(x)]dx．
y=f 上(x) y
O
a
y=yf=下f(下x)(x) bx
例1 计算由两条抛物线：y2x、yx 2 所围成的图形的面积。
解 两曲线的交点(0,0) , (1,1). 选 x为积分变量x [0,1]
[x, x dx] [0,1]
在[x,x+dx]上 DA ( x -x 2)dx ， y
几何：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；
应用： 物理：功；水压力；引力
计算：平均值等．
7.2 几何应用
一、平面图形的面积 二、平面曲线的弧长 三、体积
7.2.1 平面图形的面积
一、在直角坐标情形下求图形的面积 二、在极坐标情形下求图形的面积
一、在直角坐标情形下求图形的面积
求由曲线y=f 上(x)、 y=f 下(x)及直线x=a、 x=b所围成的图形 的面积．
于是面积元素为 dA = ( x -x 2)dx ，
以( x -x 2)dx为被积表达式，
1
以[0, 1]为积分区间求定积分
y2x yx 2
得所求的图形面积
11
A ( 00
x
-x
22)dx
[
2 3
x
- 33//22
1 3
x] 130130
1 3
．
0
x x+dx 1
x
求出积分区间后,可直接套公式.
讨论：如果下图形的面积元素是什么？面积公式是什么？
量；
（2）U 对于区间a, b具有可加性，就是说， 如果把区间a, b分成许多部分区间，则U 相应
地分成许多部分量，而整体量U 等于所有部分
量之和；
（3）部分量 DU 的近似值可表示为 f (x)Dx 。
就可以考虑用定积分来表达这个量 U
元素法的一般步骤：
1）根据问题的具体情况，选取一个变量例如 x 为 积分变量，并确定它的变化区间[a, b] ；
xi-1 i xi
xn-1 b x
•任取i [xi-1，xi ] ,∆Ai ≈ f ( i) Dxi i=1,2,…,n.
n
•曲边梯形的面积近似为：A f (i )Dxi ．
四步哪一步 最重要？
i1
•记 max{Dx1, Dx2， ···, Dx n }．则
n
•曲边梯形的面积的精确值为：A=
2) x, x dx a,b， U在[x, x + dx]上的部分量
DU f x dx dU
3）
U
b
a
f
x dx
需要我们找出的 被积表达式
注 DU f x dx 中，f (x)dx必须是DU的线性主部，
即要 DU - f x dx o Dx
此时实际上 f (x)d x = d U
一般地，若曲线由参数方程
x x t
y
y
t
x t 不变号且连续，y ( t ) 连续．
例3
求椭圆 x2 y 2 1所围成的图形面积． a2 b2
解 设椭圆在第一象限的面积为A1，则椭圆的面积为A4A1．
第一象限的部分椭圆在x 轴上的投影区间为[0，a]．
y
因为面积元素为ydx， 所以
b
A1
a
ydx
0
，
椭圆的参数方程为: xa cos t ， yb sin t ，
于是
注意上下限
第七章 定积分应用和广义积分
7.1 微元法 7.2 几何应用 7.3 物理应用 7.5 广义积分
7.1 定积分的微元法
一、问题的提出
回顾 曲边梯形求面积的问题 y
曲边梯形由连续曲线
y f ( x)( f ( x) 0) 、
x 轴与两条直线 x a 、
x b所围成。
Oa
b
A a f ( x)dx
在[y, y+dy]上面积元素为
dA = (y 4 - 1 y2)dy ，
所求的图形面积为
2
0 2 4 6 8x
-2
(2, -2)
A
4
A
-2
(4y
-2
(y
4
4--1212yy22))dyy
[[1212y
2y24y4-y1-y
6
1
3]
6
y4
-2
3]14-82．18．
思考: 选x为积分变量?
2
8
A 0 [ 2x - (- 2x)]dx 2 ( 2x - x 4)dx
y O dx
x2 y2 1 a2 b2
axБайду номын сангаас
a
A1 0
ydx 0 b sin t d (a cos t) - a b 0 sin 2t d t
2
2
1
a 1ba
b2
(2 1(-1c-ocos s22tt))dd t
11
aabb··
1
a1bab．．
2 2 00
22 2 2 4 4
A 4A1 a b．