人教版初二数学上册分式通分

人教版八年级数学上册 15.1分式
1、经历用类比、观察、联想的方法探索分式
通分的方法的过程，理解通分与最简公分母的 意义. 2、能正确熟练地运用分式的基本性质将分式 通分. 学习重点：如何确定最简公分母. 学习难点：分母是多项式的分式的通分.
复习回顾
1.分式的基本性质： 一个分式的分子与分母同乘（或除以） 一个 不为0的整式 ，分式的值___不__变______
系数：各分 因式：各分母所有因
母系数的最 式的最高次幂。
小公倍数。
1
6y2

1
2x3 y 2 z最简公 分母为 12x3y4z。
3xyz
1
2x2z

4x2 y3 12x3 y 4 z
6xy 4 12 x3 y 4 z
2、试确定下列分式的最简公分母：
（分母中虽然有的因式是多项式， 但仍然是积的形式。）
2x2 10x x2 25
3x x5
3x (x （x 5) (x
B.12x2yz D.24x2yz
【解析】选B.6,4的最小公倍数是12，相同字母x，y的最 高次幂分别为2,1，z只在一个分母中出现.综上，两个分式 的最简公分母是12x2yz.
示范
1
11
（1）求分式 2x3 y 2 z , 4x 2 y 3 , 6xy 4 的最简公分母。
12 x3 y 4 z
1、各分母系数的最小公倍数。 2、各分母所含相同字母（或因式）的最高次幂。 3、各分母所含有其他的字母（或因式） 。 4、所得的系数与各字母（或因式）的最高次幂的 积（其中系数都取正数）
注：最简公分母与公因式的区别？
【跟踪训练】
分式

6
5

1)
, a
2(
a
1 2
a1
)2
, 1
的最简公分母（ B ）．
A. (a2 1)2 B. (a1)2(a1)2 C. (a2 1) D. (a 1)4
3.
通分：(1)
x 3y
与 3x 2y2
(2)2xx 2yy与(xxyy)2
4.通分
(1)
x 2ab2
与y 9a2bc
(2)
1 与x x2 4 2x4
“给我最大快乐的，不是已懂得知 识，而是不断的学习；不是已有的 东西，而是不断的获取；不是已达 到的高度，而是继续不断的攀登”
－－－高斯
愿同学们：努力学习！勇攀高峰！
再见
•8、普通的教师告诉学生做什么，称职的教师向学生解释怎么做，出色的教师示范给学生，最优秀的教师激励学生。 2021/11/72021/11/72021/11/72021/11/7
最简公分母的定义：系数取各分母 系数的最小公倍数，字母（或因式） 取各分母字母（或因式）的最高次 幂的积。
如何确定几个异分母分式的最 简公分母呢？
x
1
y
的最简公分母是
(xy)(xy)。
（2）a(xx2)与b(xy2) 最简公分母是
ab(x 2)
。
（3）
2 xy (x y)2
与x (xx2
x yy)2( x
y)
最简分公母是 (xy)2(xy) 。
注意：当分母是单项式时，直接找最简公分母；
当分母是多项式时，可以分解因式的要先 分解因式再找最简公分母。
三、例题分析（师生合作）
例4. 通分：
3 (1)2a2b
与ab ab2c
(2) 2x 与 3x x5 x5

2x 2x(x+5) 2x2+10x x 5 = (x 5)(x+5) = x2 25 ， 3x 3x(x 5) 3x2 15x x+5 = (x+5)(x 5) = x2 25 .
初中数学
例 将下列各组分式进行通分:
x 与 2xy
x2 y2
(x+y)2
解：最简公分母是 (x+y)2(x y) .
最简公分母是 4(x 1) .
整式的分母看作1
初中数学
练习 将下列各组分式进行通分:
3
2
2a2b 与 3ab2
解：最简公分母是 6a2b2 .
3 3•3b 2a2b = 2a2b•3b
=
9b 6a2b2
,
2 2•2a 3ab2 = 3ab2•2a
4a = 6a2b2 .
初中数学
练习 将下列各组分式进行通分：
解：最简公分母是 (a+b)(a b) .
2a
2a
a2 b2 = (a+b)(a
b)
,
b
b
b(a+b)
b a = a b = (a b)(a+b) =
ab+b2 . (a b)(a+b)
初中数学
练习
小马同学在做分式
1 x2
,
(x
3 2)(x+3)
,
2 通分的过程中 (x+3)2
得出下列结论，请判断正误（对画√，错画×，并改正）.
心志要坚，意趣要乐。 不怕路远，就怕志短。 志不真则心不热，心不热则功不贤。 人无志向，和迷途的盲人一样。 不怕路远，就怕志短。
(3)
x a(x+2)

；
4a 3c 5b (2)分式的 5b2c ,10a2b , 2ac2 的最简公分母
是
；
x
1 2x
(3)分式 2x 42 , 6x 3x2 , x2 4 最简公分母
是
；
练习：通分：
(1)
2c 与 3ac
bd 4b2
(2)
1
3ab3
，3
4a2b
，
4 9a3b
(3)
4a
5
12
与
a a2
-1 9
(4 ) (
2xy x y)2
与
x
2
x
y
2
(5 )
4x
1 2x2
与
1 x2
4
133页第7题
例1、如果
:
a b
2，
5
求
a2
4ab 4b2 a2 4b2
的值
2、若 1 1 3，求分式 3a 4ab 3b的值
ab
a ab b
3、已知：a2-5a+1=0,求
(1)a
1 a
1
(4)
x4
x2 3x2
1
分式的通分
1、通分的定义：把几个异分母的分式分别化成与 原来的分式相等的同分母分式，叫分式的通分。
2、通分的根据：分式的基本性质(用乘法)
3、通分的关键：确定最简公分母（所有因式的最 高次幂的积）
4、通分的目的：把异分母分式化成同分母分式
(2)
a2
1
a2
(3)
a4
3a2 a2
1
(4)
a4
a2 3a2
1
练习1、如果
:

八年级—人教版—数学—第十五章
分式的通分
学习目标
1.了解分式通分的概念，理解分式通分的步骤及依据，掌握最简公 分母的求法； 2. 类比分数的通分，利用分式的基本性质探究出分式的通分； 3. 在已有数学经验的基础上，体验学习数学的乐趣.
环节1：温故知新
一、 分式的基本性质： 分式的分子与分母乘 (或除以) 同一个不等于 0 的整式， 分式的值不变.
（2）
2xy
x y
2；与
x2
x
y2
；（3）
解：（2）
2xy
x y2
2xy x x y2 x
y y
2x2 y 2xy2
x y2 x y ;
3与2 a b b a
x
x x y
x2 xy
x2 y2 x y x y x y x y2 x y
环节4：拓展提高 1、通分：
x y
（1）2x 2y
与
xy
x y2
（2）
2xy
x y
2；与
x2
x
y2
；（3）
解：（3）
3 3； a b a b
2 ba
2
a b
a
2 b
3与2 a b b a
环节4：拓展提高
2、已知 1 1 3 ，求 5x xy 5y 的值？
yx
x xy y
环节4：拓展提高
解法1：
113
yx
即： A = B
A ·C B ·C
，A B
=
A÷C B÷C
.(C≠0) 其中 A，B，C都是整式.
环节1：温故知新
二、 通分：（1） 1 与 1 23
（2） 1 与 1

（3）
1 xy 4

x2 xy 4 x 2

x2 x3 y4
1
xy 2
xy 2
（1`） x3 y 2 x3 y 2 xy 2 x 4 y 4
（2`）
1
x2 y
x2 y
x2 y3 x2 y3 x2 y x4 y4
（3`）
1 xy 4

x3 xy 4 x3

x3 x4 y4

一、计算
11 24
通分：把几个异分母分数化成与原来相等 的同分母分数叫通分.
将下列分式
1 , 1 ,1 x3 y 2 x2 y3 xy4
通分
二、 （1）
1 x3 y2

y2 x3 y2 y2

y2 x3 y4
（2）
1 xy xy x 2 y 3 x 2 y 3 xy x3 y 4
行正常,她算是白操心了.唉,想归想,既然来了,那就顺其自然吧.此时,今天の寿星陈丽雅正在台上和同学对唱.“陆陆,快,来这边坐.”晓得陆羽の性情比较被动,她刚一进门,陈悦然马上过来把她拉到自己の位置坐好.陆羽：...跟梦里の未来一样,她被安排在中间,左是陈,右是狄.“来了.”狄景 涛抬眸望她一眼,客气地打了声招呼,下意识往右边挪了挪.他の右边并列坐着几个男生.“嗯,谢谢.”陆羽一如既往の文静秀气,从容大方地坐下,不复以往の腼腆和不自在.两人の表现让陈悦然大跌眼镜,忙贴近陆羽坐下,凑过来悄声问：“哎,你俩怎么了？”原以为是陆羽又闹小性子终于惹狄生 气,如今看来,貌似比想象の更严重.情侣之间一旦不争不吵,言行客气,意味着感情到头了.“没什么,”陆羽笑了笑,神情轻柔温和,“对了,我八点钟走.”“这么快？！”“嗯,这次休了很长の假,文教授给我の资料还没看...”“

4 x2x2 (x x2 )2 (x x (2 x ) x (2 )2 )2 x x 22 2 x 8
巩固练习：
1、分式1 , 1 , 1 的最简公分 B母
2x3y2z 4x2y3 6xy4
A、12xyz B、12x3y4z C、24xyz D、 24x3y4z
做一做
1、约分 ：
2x3y (1) 4x 2y 2
x2 4 (3) x2 4x4
(2)
x2
xy x2
2、计算：1 3 5 246
各分母的最 小公倍数12
1 16 6 2 26 12
3 33 9 4 43 12
5 52 10 6 62 12
2、m,1 m, 1 的最简公分母是： m1
m 1
活动1：找出下列各题的最简公分母,并通分！
规则：各小组选好题后，迅速完成。
y与x 与1 2x 3y2 4xy
12xy2
1 与2 x2 x2
(x-2)(x+2)
x与 2 2 y 3xy2
6xy2
1 与1 xy x
x(x-y)
1与 x x2 x 2(x1)
解：（2）最简公分母是 (x5)(x5)
2x 2x(x5) 2x21x0 x5 (x5)(x5) x225
3x 3x(x5) 3x21x5


x5 (x5)(x5)
x225
(3) 1 与 x x2 4 42x
解：（3）最简公分母是 2(x2)(x2)
x21 4(x2)1 x (2 2)22x2 28
(1)将各个分式的分母分解因式；(2)取 各分母系数的最小公倍数(3)凡是出现的
所有字母或因式都要取；(4)相同字母 (或含字母的式子)的幂取指数最大的； (5)将上述所得系数的最小公倍数与各字 母(或因式)的最高次幂全都乘起来，就

五、教学反思
在本次教学活动中，我注意到学生在学习分式的基本性质与通分这一章节时，存在一些理解和掌握上的难点。首先，我发现学生在理解分式基本性质时，对于为何乘除同一个数（除数不为0）不会改变分式的值这一点上存在困惑。在今后的教学中，我需要更加形象、具体地解释这一性质的数学原理，以便学生能够更好地理解。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调分式基本性质和通分方法这两个重点。对于难点部分，如选取公倍数和分解因式，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与分式通分相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示分式通分的基本原理。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解分式通分的基本概念。通分是指将分母不相同的分式通过乘以适当的整式，使分母相同，以便进行加减运算。它是分式运算中的重要环节，帮助我们解决实际问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示如何将$\frac{1}{x}$和$\frac{2}{x+1}$通分，以及通分在简化分式运算中的作用。
在授课过程中，我也注意到学生在解决实际问题时构建分式模型的能力较弱。为了提高学生的这一能力，我将在下一节课中增加一些关于建模的讲解和练习，帮助学生学会如何从实际问题中抽象出分式模型。
此外，教学流程的设计方面，导入新课环节的问题设置可能还不够吸引学生的兴趣，今后我需要在这个环节下更多功夫，设计更具趣味性和启发性的问题，激发学生的学习兴趣和好奇心。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《分式的基本性质与通分》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要将不同单位的量进行换算的情况？”比如，将米和厘米的长度进行加减。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索分式通分的奥秘。

最简公分母是：xy(x-y)2(x+y)
归纳：
确定几个分式的最简公分母的方法：
（1）系数：分式分母系数的最小公倍数； （2）因式：凡各分母中出现的不同因式都 要取到； （3）因式的指数：相同因式取指数最高的。
（1）
3 2 a 2b
与
ab ab 2 c
（2）
2x x5
与
3x x5
(3)
1 与x x2 4 42x
全都乘起来，就得到了最简公分母
x3 x5(x3 x5 (x ) (x5 )5)3x x2 2 1 25 x 5
(3)
1 与x
x2 4 42x
解：（3）最简公分母是
2(x2)x (2)
1
1 •2
2
x2 4 (x2 )x ( 2 )•2 2 x2 8
x
x
x • (x 2 )
x 2 2 x
4 2 x 2 (x 2 ) 2 (x 2 )x ( 2 ) 2 x 2 8
1、理解并掌握分式的基本性质； 2、能运用分式基本性质进行分式的 通分. [学习重点] 会找分式中分母的最简公 分母，进行通分.
分式的基本性质： 分式的分子与分母同时乘以（或除以）同一个不等于零
的整式 ，分式的值不变.
用 公 式 表 示 为 : A AM , A AM . B BM B BM (其 中M是 不 等 于 零 的 整)式
巩固练习：
1、分式 1 , 1 , 1 的最简公分 B 母
2x3y2z 4x2y3 6xy4 A、12xyz B、12x3y4z C、24xyz D、24x3y4z
2、m,1 m, 1 的最简公分母是： m1
m 1
规则：各小组选好题后，迅速完成。