人教版初二数学上册分式通分

人教版八年级数学上册 15.1分式
1、经历用类比、观察、联想的方法探索分式
通分的方法的过程，理解通分与最简公分母的 意义. 2、能正确熟练地运用分式的基本性质将分式 通分. 学习重点：如何确定最简公分母. 学习难点：分母是多项式的分式的通分.
复习回顾
1.分式的基本性质： 一个分式的分子与分母同乘（或除以） 一个 不为0的整式 ，分式的值___不__变______
系数：各分 因式：各分母所有因
母系数的最 式的最高次幂。
小公倍数。
1
6y2

1
2x3 y 2 z最简公 分母为 12x3y4z。
3xyz
1
2x2z

4x2 y3 12x3 y 4 z
6xy 4 12 x3 y 4 z
2、试确定下列分式的最简公分母：
（分母中虽然有的因式是多项式， 但仍然是积的形式。）
2x2 10x x2 25
3x x5
3x (x （x 5) (x
B.12x2yz D.24x2yz
【解析】选B.6,4的最小公倍数是12，相同字母x，y的最 高次幂分别为2,1，z只在一个分母中出现.综上，两个分式 的最简公分母是12x2yz.
示范
1
11
（1）求分式 2x3 y 2 z , 4x 2 y 3 , 6xy 4 的最简公分母。
12 x3 y 4 z
1、各分母系数的最小公倍数。 2、各分母所含相同字母（或因式）的最高次幂。 3、各分母所含有其他的字母（或因式） 。 4、所得的系数与各字母（或因式）的最高次幂的 积（其中系数都取正数）
注：最简公分母与公因式的区别？
【跟踪训练】
分式

6
5

1)
, a
2(
a
1 2
a1
)2
, 1
的最简公分母（ B ）．
A. (a2 1)2 B. (a1)2(a1)2 C. (a2 1) D. (a 1)4
3.
通分：(1)
x 3y
与 3x 2y2
(2)2xx 2yy与(xxyy)2
4.通分
(1)
x 2ab2
与y 9a2bc
(2)
1 与x x2 4 2x4
“给我最大快乐的，不是已懂得知 识，而是不断的学习；不是已有的 东西，而是不断的获取；不是已达 到的高度，而是继续不断的攀登”
－－－高斯
愿同学们：努力学习！勇攀高峰！
再见
•8、普通的教师告诉学生做什么，称职的教师向学生解释怎么做，出色的教师示范给学生，最优秀的教师激励学生。 2021/11/72021/11/72021/11/72021/11/7
最简公分母的定义：系数取各分母 系数的最小公倍数，字母（或因式） 取各分母字母（或因式）的最高次 幂的积。
如何确定几个异分母分式的最 简公分母呢？
x
1
y
的最简公分母是
(xy)(xy)。
（2）a(xx2)与b(xy2) 最简公分母是
ab(x 2)
。
（3）
2 xy (x y)2
与x (xx2
x yy)2( x
y)
最简分公母是 (xy)2(xy) 。
注意：当分母是单项式时，直接找最简公分母；
当分母是多项式时，可以分解因式的要先 分解因式再找最简公分母。
三、例题分析（师生合作）
例4. 通分：
3 (1)2a2b
与ab ab2c
(2) 2x 与 3x x5 x5

分式通分
教学目的：使学生理解通分的原理及通分的意义。

能力目标：1、培养学生用类比的方法去观察分析问题。

2、培养学生的归纳能力。

德育目标：培养学生理解事物是相互联系的，以及由“特殊＿一般＿特殊”的唯物主义思想。

重点：通分的方法。

难点：确定最简公分母。

教后记
教案设计说明
一、用知识的正迁移引入正题“通分”显得自然流畅。

二、通过两组通分形式的对比，让学生展开讨论，引导学生得出找“最简公分母”的
正确方法，由此不仅突破了难点，而且让学生享受到了获取知识的愉悦，同时也
培养了学生总结能力与归纳能力。

开发了学生的智力。

三、（1）教师在讲解“通分”时一定要强调把异分母的分式化成同分母分式时，必
须使化成的分式与原分式相等。

故此应让学生时确通分的依据。

（2）通过分析强
调“最简公分母”的重要性。

四、为了避免知识的负迁移，教师运用对比的方法提出了“因式分解”中找“公因式”
的方法。

五、针对不同层次的学生，教师配备了相应的巩固练习，不仅使各层次学生都能‘吃
饱’‘吃好’而且为以后的分式加减法运算奠定了良好的基础。

（五）与（七）的
巩固练习是面向全体学生的。

练习（九）是面向基础较好的的学生。

练习（十一）
是对学有余力的学生留的练习。

教后记：记录教学中出现的有价值或值得反思的问题。

2x 2x(x+5) 2x2+10x x 5 = (x 5)(x+5) = x2 25 ， 3x 3x(x 5) 3x2 15x x+5 = (x+5)(x 5) = x2 25 .
初中数学
例 将下列各组分式进行通分:
x 与 2xy
x2 y2
(x+y)2
解：最简公分母是 (x+y)2(x y) .
最简公分母是 4(x 1) .
整式的分母看作1
初中数学
练习 将下列各组分式进行通分:
3
2
2a2b 与 3ab2
解：最简公分母是 6a2b2 .
3 3•3b 2a2b = 2a2b•3b
=
9b 6a2b2
,
2 2•2a 3ab2 = 3ab2•2a
4a = 6a2b2 .
初中数学
练习 将下列各组分式进行通分：
解：最简公分母是 (a+b)(a b) .
2a
2a
a2 b2 = (a+b)(a
b)
,
b
b
b(a+b)
b a = a b = (a b)(a+b) =
ab+b2 . (a b)(a+b)
初中数学
练习
小马同学在做分式
1 x2
,
(x
3 2)(x+3)
,
2 通分的过程中 (x+3)2
得出下列结论，请判断正误（对画√，错画×，并改正）.
心志要坚，意趣要乐。 不怕路远，就怕志短。 志不真则心不热，心不热则功不贤。 人无志向，和迷途的盲人一样。 不怕路远，就怕志短。
(3)
x a(x+2)

；
4a 3c 5b (2)分式的 5b2c ,10a2b , 2ac2 的最简公分母
是
；
x
1 2x
(3)分式 2x 42 , 6x 3x2 , x2 4 最简公分母
是
；
练习：通分：
(1)
2c 与 3ac
bd 4b2
(2)
1
3ab3
，3
4a2b
，
4 9a3b
(3)
4a
5
12
与
a a2
-1 9
(4 ) (
2xy x y)2
与
x
2
x
y
2
(5 )
4x
1 2x2
与
1 x2
4
133页第7题
例1、如果
:
a b
2，
5
求
a2
4ab 4b2 a2 4b2
的值
2、若 1 1 3，求分式 3a 4ab 3b的值
ab
a ab b
3、已知：a2-5a+1=0,求
(1)a
1 a
1
(4)
x4
x2 3x2
1
分式的通分
1、通分的定义：把几个异分母的分式分别化成与 原来的分式相等的同分母分式，叫分式的通分。
2、通分的根据：分式的基本性质(用乘法)
3、通分的关键：确定最简公分母（所有因式的最 高次幂的积）
4、通分的目的：把异分母分式化成同分母分式
(2)
a2
1
a2
(3)
a4
3a2 a2
1
(4)
a4
a2 3a2
1
练习1、如果
:

八年级—人教版—数学—第十五章
分式的通分
学习目标
1.了解分式通分的概念，理解分式通分的步骤及依据，掌握最简公 分母的求法； 2. 类比分数的通分，利用分式的基本性质探究出分式的通分； 3. 在已有数学经验的基础上，体验学习数学的乐趣.
环节1：温故知新
一、 分式的基本性质： 分式的分子与分母乘 (或除以) 同一个不等于 0 的整式， 分式的值不变.
（2）
2xy
x y
2；与
x2
x
y2
；（3）
解：（2）
2xy
x y2
2xy x x y2 x
y y
2x2 y 2xy2
x y2 x y ;
3与2 a b b a
x
x x y
x2 xy
x2 y2 x y x y x y x y2 x y
环节4：拓展提高 1、通分：
x y
（1）2x 2y
与
xy
x y2
（2）
2xy
x y
2；与
x2
x
y2
；（3）
解：（3）
3 3； a b a b
2 ba
2
a b
a
2 b
3与2 a b b a
环节4：拓展提高
2、已知 1 1 3 ，求 5x xy 5y 的值？
yx
x xy y
环节4：拓展提高
解法1：
113
yx
即： A = B
A ·C B ·C
，A B
=
A÷C B÷C
.(C≠0) 其中 A，B，C都是整式.
环节1：温故知新
二、 通分：（1） 1 与 1 23
（2） 1 与 1

（3）
1 xy 4

x2 xy 4 x 2

x2 x3 y4
1
xy 2
xy 2
（1`） x3 y 2 x3 y 2 xy 2 x 4 y 4
（2`）
1
x2 y
x2 y
x2 y3 x2 y3 x2 y x4 y4
（3`）
1 xy 4

x3 xy 4 x3

x3 x4 y4

一、计算
11 24
通分：把几个异分母分数化成与原来相等 的同分母分数叫通分.
将下列分式
1 , 1 ,1 x3 y 2 x2 y3 xy4
通分
二、 （1）
1 x3 y2

y2 x3 y2 y2

y2 x3 y4
（2）
1 xy xy x 2 y 3 x 2 y 3 xy x3 y 4
行正常,她算是白操心了.唉,想归想,既然来了,那就顺其自然吧.此时,今天の寿星陈丽雅正在台上和同学对唱.“陆陆,快,来这边坐.”晓得陆羽の性情比较被动,她刚一进门,陈悦然马上过来把她拉到自己の位置坐好.陆羽：...跟梦里の未来一样,她被安排在中间,左是陈,右是狄.“来了.”狄景 涛抬眸望她一眼,客气地打了声招呼,下意识往右边挪了挪.他の右边并列坐着几个男生.“嗯,谢谢.”陆羽一如既往の文静秀气,从容大方地坐下,不复以往の腼腆和不自在.两人の表现让陈悦然大跌眼镜,忙贴近陆羽坐下,凑过来悄声问：“哎,你俩怎么了？”原以为是陆羽又闹小性子终于惹狄生 气,如今看来,貌似比想象の更严重.情侣之间一旦不争不吵,言行客气,意味着感情到头了.“没什么,”陆羽笑了笑,神情轻柔温和,“对了,我八点钟走.”“这么快？！”“嗯,这次休了很长の假,文教授给我の资料还没看...”“

4 x2x2 (x x2 )2 (x x (2 x ) x (2 )2 )2 x x 22 2 x 8
巩固练习：
1、分式1 , 1 , 1 的最简公分 B母
2x3y2z 4x2y3 6xy4
A、12xyz B、12x3y4z C、24xyz D、 24x3y4z
做一做
1、约分 ：
2x3y (1) 4x 2y 2
x2 4 (3) x2 4x4
(2)
x2
xy x2
2、计算：1 3 5 246
各分母的最 小公倍数12
1 16 6 2 26 12
3 33 9 4 43 12
5 52 10 6 62 12
2、m,1 m, 1 的最简公分母是： m1
m 1
活动1：找出下列各题的最简公分母,并通分！
规则：各小组选好题后，迅速完成。
y与x 与1 2x 3y2 4xy
12xy2
1 与2 x2 x2
(x-2)(x+2)
x与 2 2 y 3xy2
6xy2
1 与1 xy x
x(x-y)
1与 x x2 x 2(x1)
解：（2）最简公分母是 (x5)(x5)
2x 2x(x5) 2x21x0 x5 (x5)(x5) x225
3x 3x(x5) 3x21x5


x5 (x5)(x5)
x225
(3) 1 与 x x2 4 42x
解：（3）最简公分母是 2(x2)(x2)
x21 4(x2)1 x (2 2)22x2 28
(1)将各个分式的分母分解因式；(2)取 各分母系数的最小公倍数(3)凡是出现的
所有字母或因式都要取；(4)相同字母 (或含字母的式子)的幂取指数最大的； (5)将上述所得系数的最小公倍数与各字 母(或因式)的最高次幂全都乘起来，就

五、教学反思
在本次教学活动中，我注意到学生在学习分式的基本性质与通分这一章节时，存在一些理解和掌握上的难点。首先，我发现学生在理解分式基本性质时，对于为何乘除同一个数（除数不为0）不会改变分式的值这一点上存在困惑。在今后的教学中，我需要更加形象、具体地解释这一性质的数学原理，以便学生能够更好地理解。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调分式基本性质和通分方法这两个重点。对于难点部分，如选取公倍数和分解因式，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与分式通分相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示分式通分的基本原理。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解分式通分的基本概念。通分是指将分母不相同的分式通过乘以适当的整式，使分母相同，以便进行加减运算。它是分式运算中的重要环节，帮助我们解决实际问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示如何将$\frac{1}{x}$和$\frac{2}{x+1}$通分，以及通分在简化分式运算中的作用。
在授课过程中，我也注意到学生在解决实际问题时构建分式模型的能力较弱。为了提高学生的这一能力，我将在下一节课中增加一些关于建模的讲解和练习，帮助学生学会如何从实际问题中抽象出分式模型。
此外，教学流程的设计方面，导入新课环节的问题设置可能还不够吸引学生的兴趣，今后我需要在这个环节下更多功夫，设计更具趣味性和启发性的问题，激发学生的学习兴趣和好奇心。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《分式的基本性质与通分》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要将不同单位的量进行换算的情况？”比如，将米和厘米的长度进行加减。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索分式通分的奥秘。

最简公分母是：xy(x-y)2(x+y)
归纳：
确定几个分式的最简公分母的方法：
（1）系数：分式分母系数的最小公倍数； （2）因式：凡各分母中出现的不同因式都 要取到； （3）因式的指数：相同因式取指数最高的。
（1）
3 2 a 2b
与
ab ab 2 c
（2）
2x x5
与
3x x5
(3)
1 与x x2 4 42x
全都乘起来，就得到了最简公分母
x3 x5(x3 x5 (x ) (x5 )5)3x x2 2 1 25 x 5
(3)
1 与x
x2 4 42x
解：（3）最简公分母是
2(x2)x (2)
1
1 •2
2
x2 4 (x2 )x ( 2 )•2 2 x2 8
x
x
x • (x 2 )
x 2 2 x
4 2 x 2 (x 2 ) 2 (x 2 )x ( 2 ) 2 x 2 8
1、理解并掌握分式的基本性质； 2、能运用分式基本性质进行分式的 通分. [学习重点] 会找分式中分母的最简公 分母，进行通分.
分式的基本性质： 分式的分子与分母同时乘以（或除以）同一个不等于零
的整式 ，分式的值不变.
用 公 式 表 示 为 : A AM , A AM . B BM B BM (其 中M是 不 等 于 零 的 整)式
巩固练习：
1、分式 1 , 1 , 1 的最简公分 B 母
2x3y2z 4x2y3 6xy4 A、12xyz B、12x3y4z C、24xyz D、24x3y4z
2、m,1 m, 1 的最简公分母是： m1
m 1
规则：各小组选好题后，迅速完成。

第3课时分式的通分
◇教学目标◇
【知识与技能】
了解分式通分的意义,能熟练地进行分式的通分.
【过程与方法】
经历探索分式的通分的过程,继续理解数学中的类比的数学思想.【情感、态度与价值观】
通过鼓励加强学生小组间的探索和交流,培养合作意识.
◇教学重难点◇
【教学重点】
通分的依据和作用.
【教学难点】
找最简公分母.
◇教学过程◇
一、情境导入
我们学过分数的通分,你还记得吗?
计算:.
类似的,你能计算吗?
二、合作探究
探究点1最简公分母
典例1对分式进行通分,则它们的最简公分母为. [解析]的最简公分母为6a2b3.
[答案]6a2b3
将分式进行通分时,分母a2-9可因式分解为,分母9-3a可因式分解为,因此最简公分母是.
[解析]∵a2-9=(a+3)(a-3),9-3a=-3(a-3),∴分式的最简公分母为-3(a+3)·(a-3).
[答案](a+3)(a-3);-3(a-3);-3(a+3)(a-3)
探究点2通分
典例2(1)通分:;
(2)通分:.
[解析](1).
(2).
通分:(1);
(2).
[解析](1)最简公分母:2(a+3)(a-3),
.
(2)最简公分母:(a-3)2(a+3),
,
.
三、板书设计
分式的通分
分式的通分
◇教学反思◇
通分是异分母分式加减的基础,通分的依据也是分式的基本性质,设计好练习,引导学生进行比较归纳,这种学生自主探究的学习方式,让学生探究过程中有所体验,有所感悟,体会确定最简公分母的步骤以及通分需注意的问题.。

分
式
的
概
念
分式的定义

形如 （A、B是整式，B中含有字母）的式子叫做分式。



分式的分子
分式的分母
分
式
的
基
本
性
质
分式的基本性质
分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个非零的整式，
分式的值不变。
A
AC
A
AC


（C≠0）
（C≠0）
B
B C
B
B C
分
式
的
概
念
约
分
和
最
简
分
式
■ 根据分式基本性质，可以把一个分式的分子和分母
作为公分母，也叫最简公分母.
分
式
的
通
分
小小测验
试确定下列分式的最简公分母
1
1
（2） 2 与
4x
2x
1
1
（1） 与
x2
x
最简公分母： 2
最简公分母：
x
1
1
（3） 3 与
3x y
6x2 y 2
最简公分母：
6
x3
y2
4 x2
系数：各分母系数的
最小公倍数
因式：各分母所有因
式的最高次幂
分
式
的
通
分
经典例题
将下列分式通分
分
式
的
通
分
课堂小结
1、分式的通分
把几个异分母的分式化成同分母的分式，
而不改变分式的值，叫做分式的通分。
2、通分的关键是确定最简公分母
（多项式要分解因式，从系数、因式、指数看）