221一元二次方程

一元二次方程公式
一元二次方程的公式是：x=−b±b2−4ac2a(b2−4ac≥0)。

只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。

一元二次方程经过整理都可化成一般形式ax+bx+c=0（a≠0）。

其中ax叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。

一元二次方程的求解方法
1、公式法
在一元二次方程y=ax²+bx+c（a、b、c是常数）中，当△＝b²-4ac＞0时，方程有两个解，根据求根公式x=（－b±√（b²-4ac））／2a即刻求出结果；△＝b²-4ac=0时，方程只有一个解x=-b/2a；△＝b²-4ac＜0时，方程无解。

2、配方法
将一元二次方程化成顶点式的表达式y=a（x-h）²+k（a≠0），再移项化简为（x-h）²=-k/a，开方后可得方程的解。

3、因式分解法
通过因式分解，把一元二次方程化成两个一次因式的积等于零的形式，即交点式的表达式y=a（x-x1）（x-x2），再分别令这两个因式等于0，它们的解就是原方程的解。

21.2解一元二次方程——直接开平方法教学反思第一篇：21.2解一元二次方程——直接开平方法教学反思21.2解一元二次方---直接开平方法的教学反思解一元二次方程是初中数学学习中非常重要的一部分，而直接开平方法则是解一元二次方程的基础方法，它看似简单，却不容忽视。

在这节教材编写中还突出体现了换元、转化等重要的数学思想方法。

因此，这节课不仅是为后续学习打下坚实基础的一节课，更是让学生体验并逐步掌握相关数学思想方法的一节课。

本节课我以出示学习目标开场，让学生明确本节课的学习任务，抓住学习重点。

在复习近平方根的知识，为本节课的教学做好准备，符合学生的认知规律。

然后接着从实际问题切入向学生提出问题，激发学生的学习热情和问题探索的强烈欲望，然后通过一系列的问题让学生在合作与探究中逐步理解并掌握直接开平方法解一元二次方程，同时在问题的解决过程中让学生体会类比的学习方法和换元、转化的数学思想，从而培养学生良好的数学学习学习方法和数学思维方式。

其中教学问题的设计围绕目标环环相扣，同时注重层次性与启发性;在典例解析、巩固新知和达标检测环节中，注重突出重点，分层评价。

整节课学生的参与积极性较高，达到了预期的教学效果。

当然，这节课也存在不足之处，还有学生参与讨论的过程中个别学生参与程度不足，教师应关照这些边缘人员。

今后，我会更努力,多渠道向优秀老师学习，不断地提升自我、完善自我，使课堂教学更高效。

第二篇：配方法解一元二次方程教学反思在“一元二次方程”这一章里，《配方法》是作为解一元二次方程的第三种解法出现的，学生往往会把配方法和前面学过的直接开平方法以及因式分解法等同理解，所以在用配方法解题时只是简单模仿老师的解题步骤，对为什么要配方理解不到位，因此在需要用配方法证明一个代数式一定为正数或负数时往往不知所措。

而我认为配方法更多的是一种代数式变形的技巧，她可以为解一元二次方程服务，但不仅仅只是一种解方程的方法。

事实上，一个一元二次方程在配方后还是要结合直接开平方法才能解出方程的解。

一元二次方程解法
想象一下，你手里有个苹果，我再给你两个，现在你手里有几个？简单吧，三个！但要是换成数学式子，说x加2等于5，求x是多少，这就成了一元一次方程。

那咱今天升级一下，来个带平方的，比如x的平方减4x加4等于0，这就是一元二次方程啦！
看到这式子，别急着皱眉，咱们先找找规律。

一元二次方程一般长这样：ax的平方加bx加c等于0。

记住这个模板，接下来咱们玩点花样。

第一种玩法，叫做“因式分解”。

就像咱们分苹果，看能不能把式子拆成两部分，让它们相乘等于0。

比如刚才那个式子，其实就是(x-2)的平方等于0，那x不就是2嘛，简单吧！
第二种，稍微复杂点，叫“公式法”。

有个万能公式，x等于负的b加减根号下b的平方减4ac，再除以2a。

听起来挺绕的，但其实就是把a、b、c的值往里头一套，计算器一按，答案就出来了。

这就像是咱们做菜，配方都给你了，照着做就行！
还有一种，叫“配方法”，这个得动点脑子。

你得想办法把式子变成完全平方的形式，然后开方求解。

这就像是拼图，得把碎片拼起来，才能看出全貌。

说了这么多，是不是觉得一元二次方程也没那么可怕了呢？其实啊，数学这东西，就像是咱们生活中的小工具，学会了，真的能帮上大忙。

下次遇到难题，别急着逃避，试着用这些方法去攻克它，说不定你会发现，原来自己也挺厉害的嘛！
好了，今天的数学小课堂就到这里啦，记得多练练手，让这些解法成为你的“数学秘籍”，下次咱们再聊点更有趣的！。

专题21.1 一元二次方程定义及配方法解一元二次方程【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一一元二次方程的识别】 (1)【考点二利用一元二次方程的定义求参数的值】 (2)【考点三一元二次方程的一般形式、各项系数】 (2)【考点四已知一元二次方程的解求参数（式子）的值】 (3)【考点五解一元二次方程——直接开平方法】 (3)【考点六解一元二次方程——配方法】 (4)【考点七用配方法解一元二次方程错解复原】 (5)【考点八配方法的应用】 (7)【过关检测】 (9)【典型例题】【考点一一元二次方程的识别】【例题1】（2023春·安徽合肥·八年级统考期中）下列方程中属于一元二次方程的是（）2y x【变式1-1】（2023程的是（）0c 中，属于一元二次方程的有D ．4个【考点二 利用一元二次方程的定义求参数的值】【例题2】（2023·全国·九年级假期作业）当m =______时，关于x 的方程()32690m m x x +++-=是一元二次【考点三 一元二次方程的一般形式、各项系数】【例题3】（2023·全国·九年级假期作业）若方程22533x x x x --=-+的二次项系数是4，则方程的一次项系数是______，常数项是_______．【变式3-1】（2022秋·海南省直辖县级单位·九年级校考阶段练习）将方程221x x -=-化为一般形式为__________，其中=a ________，b =________，c =________．【变式3-2】（2022秋·云南昭通·九年级统考期中）方程3(1)5x x -=的二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是______．【变式3-3】（2023秋·河北廊坊·九年级统考期末）将方程()()32183x x x -+=-化成一元二次方程的一般形式后，二次项系数为a ，一次项系数为b ，常数项为c ，则a b c ++=______．【考点四 已知一元二次方程的解求参数（式子）的值】【例题4】（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）关于x 的一元二次方程2210x x a ++-=的一个根是0，则a 的值为______．【变式4-1】（2023·湖南长沙·校考二模）若1x =是一元二次方程220x x m -+=的一个根，则m 的值是________．【变式4-2】（2023·甘肃平凉·统考二模）若m 是方程22310x x -+=的一个根，则2692023m m -+的值为______．【变式4-3】（2023·全国·九年级假期作业）若m 是一元二次方程230x x --=的根，则325m m m +-的值为_____【考点五 解一元二次方程——直接开平方法】【例题5】（2023·上海·八年级假期作业）解关于x 的方程：251250x -=．【变式5-1】（2023·上海·八年级假期作业）解关于x 的方程：290x ．【变式5-2】（2023·江苏·九年级假期作业）解下列一元二次方程：()2(21)42140x x ++++=；【变式5-3】（2023·上海·八年级假期作业）解下列方程： (1) ()()22231+=-x x ； (2)229(21)16(2)0+--=x x ；(3)24410x x -+=； (4)21236=--x x ．【考点六解一元二次方程——配方法】2210x．【考点七 用配方法解一元二次方程错解复原】 【例题7】（2023·全国·九年级假期作业）以下是圆圆在用配方法解一元二次方程2240x x --=的过程： 解：移项得224x x -=配方：2214x x -+=()214x -=开平方得：12x -=±移项：21x =±+所以：13x =，23x =圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．【变式7-1】（2023秋·河北沧州·九年级统考期末）阅读材料，并回答问题： 佳佳解一元二次方程2640x x +-=的过程如下：解：2640x x +-=264x x +=-------------------------------- ①2694x x ++=----------------------------- ②2(3)4x += -------------------------------③32+=±x --------------------------------④3232x x +=+=-，1215x x ==-，．问题：(1)佳佳解方程的方法是______；A ．直接开平方法B ．配方法C ．公式法D ．因式分解法(2)上述解答过程中，从______步开始出现了错误（填序号），发生错误的原因是______；(3)在下面的空白处，写出正确的解答过程．24x，……………………该同学的解答从第______步开始出错；请写出正确的解答过程．【考点八 配方法的应用】【例题8】（2023秋·甘肃庆阳·八年级统考期末）阅读材料：利用公式法，可以将一些形如()20ax bx c a ++≠的多项式变形为()2a x m n ++的形式，我们把这样的变形方法叫作“配方法”．运用多项式的配方法及平方差()()()()232351x x x x =+++-=+-．根据以上材料，解答下列问题：(1)分解因式：228x x +-．(2)求多项式287x x +-的最小值．【变式8-1】（2023春·浙江·七年级专题练习）代数式243x x -+的最小值为（ ）． A ．1- B ．0 C ．3 D ．5【变式8-2】（2023春·浙江·七年级专题练习）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式：243a a ++，解：原式()22=441=21a a a ++-+- ()()()()=2121=31a a a a +++-++②226M a a =-+，利用配方法求M 的最小值：解：()222=26=215=15M a a a a a -+-++-+因为()210a -≥，所以当1a =时，M 有最小值5请根据上述材料解决下列问题：(1)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式28x x -+ ；(2)用配方法因式分解22412x xy y --；(3)若2=421M x x +-，求M 的最小值．【变式8-3】（2023秋·河南信阳·八年级统考期末）教材中这样写道：“我们把多项式222a ab b ++及222a ab b -+叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．例如：分解因式223x x +-．原式22(21)4(1)4(12)(12)(3)(1)x x x x x x x =++-=+-=+++-=+-；；例如：求代数式246x x ++的最小值．原式22442(2)2x x x =+++=++．2(2)0x +≥，∴当2x =-时，246x x ++有最小值是2．根据阅读材料用配方法解决下列问题：(1)分解因式：245m m --= ；(2)求代数式2612x x -+的最小值；(3)若22y x x =--当x ＝ 时，y 有最 值（填“大”或“小”），这个值是 ．【过关检测】一、选择题二、填空题三、解答题11．（2023春·浙江·八年级专题练习）已知方程21(1)(2)10aa x a x +++--=是关于x 的一元二次方程，求a 的值．12．（2023春·浙江·八年级专题练习）把下列方程化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、。

1元二次方程的公式法一元二次方程啊，这可是数学里的一个重要知识点。

咱们先来说说啥是一元二次方程，它的一般形式是 ax² + bx + c = 0 ，这里的 a、b、c 都是常数，而且 a 还不能等于 0 。

要说一元二次方程的公式法，那可是解决这类问题的一把“万能钥匙”。

公式法就是 x = [-b ± √(b² - 4ac)] / （2a）。

这公式看起来有点复杂，但是只要搞清楚每个字母代表的意思，用起来那叫一个顺手。

我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个学生就特别迷糊，怎么都理解不了。

我就拿了个很简单的例子，比如说 x² + 2x - 3 = 0 ，这里 a = 1，b = 2，c = -3 。

咱们把这些数字带进公式里，先算 b² - 4ac ，就是2²- 4×1×（-3）= 16 。

然后再把b 和算出来的这个值带到公式里，x = [-2 ± √16] / （2×1），算出来 x₁ = 1 ，x₂ = -3 。

那孩子眼睛一下子亮了，直说：“老师，原来这么简单！”在实际应用中，公式法可厉害了。

比如说要算一个物体的运动轨迹，或者算一个工程的进度啥的，都可能用到一元二次方程的公式法。

而且啊，这公式法还能检验我们前面用其他方法解出来的答案对不对。

咱再说说怎么能熟练掌握这个公式法。

首先，得把那几个字母代表啥记得牢牢的，可别弄混了。

然后就是多做几道题，俗话说得好，熟能生巧嘛。

还有啊，有些同学一看到根号就害怕，其实没啥好怕的，不就是个数学符号嘛，就把它当成一个普通的运算符号就行。

还有计算的时候要仔细，别粗心大意，一个小数字弄错了，结果可就全错啦。

总的来说，一元二次方程的公式法虽然看起来有点复杂，但只要咱们用心去学，多练习，就一定能掌握好，让它成为我们解决数学问题的有力武器。

就像那个一开始迷糊的同学，后来不也搞明白了嘛。

一元2次方程4种解法
标题：四种解法揭示一元二次方程的奥秘
引言：一元二次方程是数学中的重要概念，它可以用来解决很多实际问题。

本文将介绍四种不同的解法，帮助读者更好地理解和应用一元二次方程。

第一种解法：因式分解法
当一元二次方程可以被因式分解为两个一次因子时，我们可以通过将方程两边因式分解后，令每个因子等于零来求解方程。

这种解法适用于一元二次方程的解为整数或分数的情况。

第二种解法：配方法
对于一元二次方程，如果无法直接因式分解，我们可以采用配方法。

通过将方程两边用合适的常数进行配方，将方程转化为完全平方的形式，从而求解方程。

这种解法适用于无理数根的情况。

第三种解法：求根公式法
一元二次方程的求根公式是解决方程的重要工具。

该公式是通过将方程转化为标准形式后，利用公式计算出方程的根。

这种解法适用于无法通过因式分解或配方法求解的复杂方程。

第四种解法：图像法
通过绘制一元二次方程的图像，我们可以直观地看出方程的解。

根据图像的形状和位置，我们可以判断方程有几个解，以及解的范围。

这种解法适用于对方程的整体特征有较好了解的情况。

结论：通过以上四种解法，我们可以更全面地理解和应用一元二次方程。

无论是因式分解法、配方法、求根公式法还是图像法，都可以帮助我们解决不同类型的一元二次方程。

掌握这些解法，可以提高我们解决实际问题的能力，并在数学学习中更加得心应手。

一元2次方程公式
在数学中，一元二次方程公式是一种非常重要的概念，它可以用
来解决多种问题。

一元二次方程公式通常写成 ax^2 + bx + c = 0 的
形式，其中a、b、c是已知的数（a ≠ 0），x是未知数。

这样的方程也被称为二次方程。

尽管这个公式看起来很简单，但求解它的过程却非常复杂。

首先，我们可以使用这个公式来求解未知数x 的值，从而得出方程的解。

具体来说，我们需要将给定的数a、b和c代入公式，并使用求根公式来
求解x。

如果方程有两个实数解，则表示a、b和c的值满足特定关系。

如果方程没有实数解，则称该方程无解。

另外，我们也可以使用二次方程公式来解决实际生活中的问题。

例如，假设我们知道一个物体从地面上抛出，最高点的高度为h，抛出角度为α，则可以使用二次方程公式计算出物体抛出的初始速度v。

具体来说，我们可以使用以下公式：
v²sin²α/2g = h
其中，v表示物体的初始速度，α表示抛出角度，g表示重力加速度。

通过解这个方程，我们可以计算出初始速度v的值，从而得出物
体的抛出速度。

总的来说，一元二次方程公式是一种非常重要的数学公式，它可以被广泛应用到各个领域。

了解这个公式的意义和用途，可以帮助我们更好地理解和解决实际问题。

一元2次方程的公式一元二次方程的公式在数学的世界里，一元二次方程是一个非常重要的概念。

它不仅在数学学科中有着广泛的应用，在物理、工程等领域也发挥着关键作用。

今天，咱们就来好好聊聊一元二次方程的公式。

一元二次方程的一般形式是：＄ax^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0$（其中$a$、＄b$、＄c$是常数，且$a ＼neq 0$）。

对于这个方程，我们有一个神奇的求解公式，那就是：＼x ＝＼frac{b ＼pm ＼sqrt{b^2 4ac}｝｛2a}＼这个公式看起来可能有点复杂，但只要我们把它拆解开来，逐步理解，就会发现其实并没有那么难。

先来说说这个公式中的各个部分。

＄a$是二次项系数，它决定了方程的“形状”和“弯曲程度”。

＄b$是一次项系数，它在方程中也有着重要的作用。

＄c$是常数项，它是方程中的一个固定值。

那这个求解公式是怎么来的呢？这就得从配方法说起。

我们先将方程$ax^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0$变形为$x^2 ＋＼frac{b}｛a}x＝＼frac{c}｛a}＄。

然后在等式两边加上$＼left(＼frac{b}｛2a}＼right)＾2$，得到：＼x^2 ＋＼frac{b}｛a}x ＋＼left(＼frac{b}｛2a}＼right)＾2 ＝＼left(＼frac{b}｛2a}＼right)＾2 ＼frac{c}｛a}＼左边可以写成完全平方式：＼（＼left(x ＋＼frac{b}｛2a}＼right)＾2\），右边经过化简得到：＼（＼frac{b^2 4ac}｛4a^2}＼）然后开平方，就得到了我们前面提到的求解公式。

有了这个公式，我们就可以求解任意一个一元二次方程的根。

但在使用这个公式的时候，要先计算$b^2 4ac$的值，这个值被称为判别式，通常用$＼Delta$表示。

当$＼Delta ＞ 0$时，方程有两个不相等的实数根；当$＼Delta ＝0$时，方程有两个相等的实数根；当$＼Delta ＜ 0$时，方程没有实数根，但有两个共轭复数根。

一元二次方程公式
一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a ≠ 0。

一元二次方程的求解公式，也称为根的公式，给出了方程的两个
解x1和x2的计算公式：
x1 = (-b + √(b^2 - 4ac)) / (2a)
x2 = (-b - √(b^2 - 4ac)) / (2a)
这个公式成立的前提是方程的判别式 D = b^2 - 4ac大于等于零。

当D大于零时，方程有两个不相等的实根；当D等于零时，方程有两
个相等的实根；当D小于零时，方程没有实根，但有两个共轭复根。

拓展部分：
1.方程的判别式D有着重要的几何意义，它等于二次曲线所对应
的抛物线与x轴交点的个数。

当D大于零时，抛物线与x轴有两个交点；当D等于零时，抛物线与x轴相切于一个交点；当D小于零时，
抛物线与x轴没有交点。

2.一元二次方程的解还可以用完全平方的形式表示。

将方程写成(x + p)^2 = q的形式，其中p和q分别为常数，可以通过展开完全平方得到一元二次方程的标准形式。

3.当一元二次方程的系数为实数时，如果方程有两个不相等的实根，那么这两个实根一定是互为相反数。

也就是说，如果x1和x2是方程的两个实根，那么必须有x1 = -x2。

4.一元二次方程在物理学、工程学和经济学等领域中具有重要的应用。

例如，二次函数可以描述物体的运动轨迹、电路中的电流电压关系以及成本函数与收益函数之间的关系等。

求解一元二次方程可以帮助我们预测、优化和解决实际问题。