一元二次方程的解法基础训练

一元二次方程基础练习50题含详细答案一、单选题1．已知一元二次方程x 2+kx-3=0有一个根为1，则k 的值为（ ） A ．−2B ．2C ．−4D ．42．已知关于x 的一元二次方程22(1)210a x x a --+-=有一个根为0x =，则a 的值为（ ） A ．0B ．±1C ．1D ．1-3．若方程（m 2－1）x 2－mx －x ＋2＝0是关于x 的一元一次方程，则代数式|m －1|的值为（ ） A ．0B ．2C ．0或2D ．－24．已知2是关于x 的方程x 2-2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC 的两条边长，则三角形ABC 的周长为（ ） A ．10B ．14C ．10或14D ．8或105．1x =是关于x 的一元一次方程220x ax b ++=的解，则24a+b=（ ） A ．2-B ．3-C ．4D ．6-6．若关于x 的一元二次方程(k+2)x 2﹣3x+1＝0有实数根，则k 的取值范围是( ) A ．k ＜14且k≠﹣2 B ．k≤14C ．k≤14且k≠﹣2 D ．k≥147．下列方程有实数根的是 A ．4x 20+=B 1=-C ．2x +2x −1=0D ．x 1x 1x 1=-- 8．关于x 的二次方程()22110a x x a -++-=的一个根是0，则a 的值是（ ）A ．1B ．-1C ．1或-1D ．0.59．已知关于x 的方程x 2+x ﹣a=0的一个根为2，则另一个根是（ ） A ．﹣3B ．﹣2C ．3D ．610．已知x ＝2是一元二次方程x 2+mx +2＝0的一个解，则m 的值是（ ） A ．﹣3B ．3C ．0D ．0或311．若2x =是关于x 的一元二次方程220180ax bx --=的一个解，则2035－2a ＋b 的值（ ） A ．17B ．1026C ．2018D ．405322值（ ） A ．0B ．1或2C ．1D ．213．把方程x(x+2)=5(x-2)化成一般式，则a 、b 、c 的值分别是( ) A ．1，-3，10B ．1，7，-10C ．1，-5，12D ．1， 3，214．关于x 的方程（m+1）21m x ++4x+2=0是一元二次方程，则m 的值为（ ）A ．m 1=﹣1，m 2=1B ．m=1C ．m=﹣1D ．无解15．已知1x =是一元二次方程22(2)40m x x m -+-=的一个根，则m 的值为（ ） A ．-1或2B ．-1C ．2D ．016．若n （0n ≠）是关于x 的方程220x mx n ++=的根，则m+n 的值为（ ） A ．1B ．2C ．-1D ．-217．已知关于x 的一元二次方程x 2+ax +b =0有一个非零根﹣b ，则a ﹣b 的值为（ ） A ．1B ．﹣1C ．0D ．﹣218．如果﹣1是方程x 2﹣3x+k=0的一个根，则常数k 的值为（ ） A ．4B ．2C ．﹣4D ．﹣219．下列方程中，关于x 的一元二次方程是（ ） A ．x 2+2y=1B ．211x x+﹣2=0 C ．ax 2+bx+c=0 D ．x 2+2x=120．已知1是关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+x+1=0的一个根，则m 的值是（ ） A ．1B ．﹣1C ．0D ．无法确定21．如果2是方程x 2-3x +k =0的一个根，则常数k 的值为（ ） A ．2B ．1C ．-1D ．-222．若关于x 的方程2230mx x -+=有实数根，则m 的取值范围是（ ） A ．m≤13B ．m≤13-C ．m≥13D ．m≤13，且m≠0 23．方程()24310mm x x m ++++=是关于x 的一元二次方程，则（ ）A ．2m =±B ．2m =C ．2m =-D ．2m ≠±24．若关于x 的方程x 2+3x+a=0有一个根为-1，则另一个根为（ ） A ．-2B ．2C ．4D ．-325．下列方程是一元二次方程的是（ ） A ．21x+x 2=0 B ．3x 2﹣2xy=0 C ．x 2+x ﹣1=0D ．ax 2﹣bx=0A ．2B ．0C ．0或2D ．0或﹣227．方程3x 2﹣8x ﹣10＝0的二次项系数和一次项系数分别为（ ） A ．3和8B ．3和﹣8C ．3和﹣10D ．3和1028．已知一元二次方程2x 6x c 0-+=有一个根为2，则另一根为 A ．2B ．3C ．4D ．829．若关于x 的方程（a +1）x 2+2x ﹣1＝0是一元二次方程，则a 的取值范围是（ ） A ．a ≠﹣1B ．a ＞﹣1C ．a ＜﹣1D ．a ≠030．若关于x 的一元二次方程()2210k x x k -+-=的一个根为1，则k 的值为（ ） A ．1-B ．0或1C ．1D ．031．下列方程中一定是一元二次方程的是（ ） A ．5x 2-2x+2=0 B ．ax 2+bx+c=0 C ．2x+3=6D ．（a 2+2)x 2-2x+3=032．若2x =-是关于x 的一元二次方程22502x mx m -+=的一个根，则m 的值为（ ） A ．1或4 B ．-1或-4C ．-1或4D ．1或-4二、填空题33．已知关于x 的一元二次方程mx 2+5x+m 2﹣2m=0有一个根为0，则m=_____． 34．若关于x 的一元二次方程x 2+mx +2n ＝0有一个根是2，则m +n ＝_____． 35．已知m 是关于x 的方程2230x x --=的一个根，则224m m -＝______． 36．a 是方程224x x =+的一个根，则代数式242a a -的值是_______．37．已知x=2是关于x 的方程240x x m -+=的一个根，则m ＝____________． 38．若a 是方程x 2-2x-2015=0的根，则a 3-3a 2-2013a+1=____________． 39．一元二次方程290x 的解是__．40．已知关于x 的方程x 2+3x ﹣m=0的一个解为﹣3，则它的另一个解是_____． 41．若关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+x +m 2﹣1＝0有一个根为0，则m 的值为_____． 42．方程29180x x -+=的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为 ．43．关于x 的方程a(x+m)2+b=0的解是x 1=－2，x 2=1（a ，m ，b 均为常数，a ≠0），则方程a(x+m+2)2+b=0 的解是__________.45．若x 1，x 2是方程x 2﹣4x ﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x 12﹣2x 1+2x 2的值等于_____．46．设m 是一元二次方程x 2﹣x ﹣2019＝0的一个根，则m 2﹣m +1的值为___． 47．若a 是方程2320x x --=的根，则2526a a +-=_____.48．若正数a 是一元二次方程x 2﹣5x +m =0的一个根，﹣a 是一元二次方程x 2+5x ﹣m =0的一个根，则a 的值是______．49．已知x=1是一元二次方程x²+ax+b=0的一个根，则代数式a²+b²+2ab 的值是____________.50．关于x 的一元二次方程22(2)620k x x k k ++++-=有一个根是0，则k 的值是_______．参考答案1．B 【解析】分析：根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入方程得关于k 的一次方程1-3+k=0，然后解一次方程即可．详解：把x=1代入方程得1+k-3=0， 解得k=2． 故选B ．点睛：本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 2．D 【分析】根据一元二次方程的定义，再将0x =代入原式，即可得到答案. 【详解】解：∵关于x 的一元二次方程22(1)210a x x a --+-=有一个根为0x =， ∴210a -=，10a -≠， 则a 的值为：1a =-． 故选D ． 【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义. 3．A 【解析】试题分析：根据一元一次方程的定义知m 2﹣1=0，且﹣m ﹣1≠0，据此可以求得代数式|m ﹣1|的值．解：由已知方程，得（m 2﹣1）x 2﹣（m+1）x+2=0．∵方程（m 2﹣1）x 2﹣mx ﹣x+2=0是关于x 的一元一次方程， ∴m 2﹣1=0，且﹣m ﹣1≠0， 解得，m=1，则|m ﹣1|=0． 故选A ．点评：本题考查了一元一次方程的概念和解法．一元一次方程的未知数的指数为1． 4．B 【解析】试题分析： ∵2是关于x 的方程x 2﹣2mx+3m=0的一个根， ∴22﹣4m+3m=0，m=4， ∴x 2﹣8x+12=0， 解得x 1=2，x 2=6．①当6是腰时，2是底边，此时周长=6+6+2=14； ②当6是底边时，2是腰，2+2＜6，不能构成三角形． 所以它的周长是14．考点：解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解；三角形三边关系；等腰三角形的性质． 5．A 【分析】先把x=1代入方程220x ax b ++=得a+2b=-1，然后利用整体代入的方法计算2a+4b 的值 【详解】将x ＝1代入方程x 2+ax +2b ＝0，得a +2b ＝－1，2a +4b ＝2（a +2b ）＝2×（－1）＝－2. 故选A. 【点睛】此题考查一元二次方程的解，整式运算，掌握运算法则是解题关键 6．C 【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得出k+2≠0且△=（-3）2-4（k+2）•1≥0，求出即可． 【详解】∵关于x 的一元二次方程（k+2）x 2-3x+1=0有实数根，∴k+2≠0且△=（-3）2-4（k+2）•1≥0， 解得：k≤14且k≠-2， 故选C ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，能得出关于k 的不等式是解此题的关键． 7．C 【解析】A ．∵x 4＞0，∴x 4+2=0无解，故本选项不符合题意；B =−1无解，故本选项不符合题意；C ．∵x 2+2x −1=0，∆ =8＞0，方程有实数根，故本选项符合题意；D ．解分式方程1x x -=11x -，可得x =1，经检验x =1是分式方程的增根，故本选项不符合题意． 故选C ． 8．B 【分析】把0x =代入可得210a -=，根据一元二次方程的定义可得10a -≠，从而可求出a 的值． 【详解】把0x =代入()22110a x x a -++-=，得：210a -=，解得：1a =±，∵()22110a x x a -++-=是关于x 的一元二次方程，∴10a -≠， 即1a ≠， ∴a 的值是1-， 故选：B ．本题考查了对一元二次方程的定义，一元二次方程的解，以及一元二次方程的解法等知识点的理解和运用，注意隐含条件10a -≠． 9．A 【解析】试题解析：设方程的另一个根为t ， 根据题意得2+t=﹣1，解得t=﹣3， 即方程的另一个根是﹣3． 故选A ．考点：根与系数的关系． 10．A 【分析】直接把x ＝2代入已知方程就得到关于m 的方程，再解此方程即可． 【详解】解：∵x ＝2是一元二次方程x 2+mx +2＝0的一个解， ∴4+2m +2＝0， ∴m ＝﹣3． 故选：A ． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解，难度系数较低，直接把解代入方程即可. 11．B 【分析】把x=2代入方程得2a-b=1009，再代入 20352a b -+，可求得结果. 【详解】因为x 2=，是关于x 的一元二次方程2ax bx 20180--=的一个解， 所以，4a-2b-2018=0, 所以，2a-b=1009,所以，20352a b -+=2035-（2a-b ）=2035-1009=1026. 故选B.本题主要考查一元二次方程的根的意义.12．D【分析】把x=0代入已知方程得到关于m的一元二次方程，通过解方程求得m的值；注意二次项系数不为零，即m-1≠0．【详解】解：根据题意，将x=0代入方程，得：m2-3m+2=0，解得：m=1或m=2，又m-1≠0，即m≠1，∴m=2，故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的解定义和一元二次方程的定义．注意：本题中所求得的m的值必须满足：m-1≠0这一条件．13．A【分析】方程整理为一般形式，找出常数项即可．【详解】方程整理得：x2−3x+10=0，则a=1，b=−3，c=10.故答案选A.【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的每种形式. 14．B【解析】【分析】根据一元二次方程未知数项的最高次数是2，可得m2＋1＝2且m＋1≠0，计算即可求解. 【详解】因为一元二次方程的最高次数是2，所以m2＋1＝2，解得m＝﹣1或1，又因为m＋1≠0，即m≠﹣1，所以m ＝1，故选B. 【点睛】本题主要考查一元二次方程的概念：只含有一个未知数（一元），且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程，掌握这个概念是解决此题的关键. 15．B 【分析】首先把x=1代入22(2)40m x x m -+-=，解方程可得m 1=2，m 2=-1，再结合一元二次方程定义可得m 的值 【详解】解：把x=1代入22(2)40m x x m -+-=得：2m 2+4m －－=0，2m m 20++=－，解得：m 1=2，m 2=﹣1∵22(2)40m x x m -+-=是一元二次方程， ∴m 20－≠ ， ∴m 2≠， ∴1m =-， 故选：B ． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解和定义，关键是注意方程二次项的系数不等于0． 16．D 【分析】将n 代入方程,提公因式化简即可. 【详解】解：∵()n n 0≠是关于x 的方程2x mx 2n 0++=的根， ∴2n mn 2n 0++=，即n(n+m+2)=0, ∵n 0,≠∴n+m+2=0,即m+n=-2,故选D.【点睛】本题考查了一元二次方程的求解,属于简单题,提公因式求出m+n是解题关键.17．A【详解】试题分析：∵关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根﹣b，∴b2﹣ab+b=0，∵﹣b≠0，∴b≠0，方程两边同时除以b，得b﹣a+1=0，∴a﹣b=1．故选A．考点：一元二次方程的解．18．C【分析】把x=-1代入方程可得到关于k的方程，可求得k的值．【详解】∵-1是方程x2-3x+k=0的一个根，∴（-1）2-3×（-1）+k=0，解得k=-4，故选C．【点睛】考查一元二次方程的解，把方程的解代入得到到关于k的方程是解题的关键．19．D【分析】一元二次方程是指含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2次的整式方程，根据定义判断即可．【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；B、分母中含有未知数，是分式方程，故本选项不符合题意；C、当a=0时不是一元二次方程，故本选项不符合题意；D、是一元二次方程，故本选项符合题意；故选D．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键．20．B【解析】解：根据题意得：（m﹣1）+1+1=0，解得：m=﹣1．故选B21．A【分析】把x=2代入已知方程列出关于k的新方程，通过解方程来求k的值．【详解】解：∵2是一元二次方程x2-3x+k=0的一个根，∴22-3×2+k=0，解得，k=2．故选：A．【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．22．A【分析】分m=0和m≠0两种情况求解即可. 当m=0时，方程是一元一次方程，一定有实根；当m≠0时，方程有两个实数根，则根的判别式△≥0，建立关于m的不等式，求得m的取值范围．【详解】当m≠0时，∵a=m，b=−2，c=3 且方程有实数根，∴△=b2−4ac=4−12m≥0∴m≤1 3 .当m=0 时，方程为一元一次方程，仍有解，故m的取值范围是m≤1 3 .故选A.【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式∆=b2﹣4ac与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键.当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根. 23．B【分析】根据次数最高项的次数是2，且次数最高项的系数不为0列式求解即可.【详解】由题意得，2m=，且20m+≠，解之得，2m=.故选B.【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，像这样的方程叫做一元二次方程，根据定义解答即可.24．A【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，利用两根和，两根积，即可求出a的值和另一根．【详解】设一元二次方程的另一根为x1，则根据一元二次方程根与系数的关系，得﹣1+x1=﹣3，解得：x1=﹣2．故选A.考点：根与系数的关系．【分析】根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）二次项系数不为0；（4）是整式方程．由这四个条件对四个选项进行验证．【详解】A.不是整式方程，不是一元二次方程；B.含有两个未知数，不是一元二次方程；C.符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；D.二次项系数a不知是否为0，不能确定是否是一元二次方程．故选C．【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．26．A【解析】试题分析：∵x=2是一元二次方程x2﹣2mx+4=0的一个解，∴4﹣4m+4=0，∴m=2．故选A．考点：一元二次方程的解．27．B【解析】【分析】分别确定2x和x的系数，注意符号不要遗漏.【详解】解：由题意得，二次项系数是3，一次项系数为-8，故选择B.【点睛】遗漏系数的符号是本题的易错点.28．C试题分析：利用根与系数的关系来求方程的另一根．设方程的另一根为α，则α+2=6， 解得α=4．考点：根与系数的关系．29．A【分析】根据一元二次方程的定义可得a +1≠0，即可得出答案.【详解】解：由题意得：a +1≠0，解得：a ≠﹣1．故选A ．【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义：只有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次的整式方程.30．D【分析】把x=1代入()2210k x x k -+-=得以k 为未知数的一元二次方程，解方程求得k 值，再由二次项系数不为0 即可解答.【详解】把x=1代入()2210k x x k -+-=得k-1+1-k 2=0，解得k 1=0，k 2=1， 而k-1≠0，所以k=0．故选D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法、一元二次方程的定义．解决本题的关键是解一元二次方程确定k 的值，过程中容易忽略一元二次方程的二次项系数不等于0这个条件．31．D【解析】【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可得.【详解】A. 5x 2-2x+2=0，不是整式方程，故不符合题意； B. 当a=0时，方程ax 2+bx+c=0不是一元二次方程，故不符合题意；C. 2x+3=6是一元一次方程，故不符合题意；D. （a 2+2)x 2-2x+3=0是一元二次方程，故符合题意，故选D.【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟知一元二次方程是整式方程，含有一个未知数，含有未知数的项的次数最高为2次是解题的关键.32．B【分析】把2x =-代入关于x 的方程22502x mx m -+=，得到2450m m ++=，解关于m 的方程即可．【详解】解：∵2x =-是关于x 的一元二次方程22502x mx m -+=的一个根， ∴2450m m ++=解得121,4m m =-=-故选B ．【点睛】本题考查一元二次方程根的定义和一元二次方程的解法，理解方程根的定义得到关于m 的方程是解题关键．33．2【解析】【分析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解的定义列出关于m 的方程，通过解关于m 的方程求得m 的值即可．【详解】∵关于x 的一元二次方程mx 2+5x+m 2﹣2m=0有一个根为0，∴m 2﹣2m=0且m≠0，解得，m=2，故答案是：2．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的解的定义．解答该题时需注意二次项系数a≠0这一条件．34．﹣2【分析】根据一元二次方程的解的定义把x ＝2代入x 2＋mx ＋2n ＝0得到4＋2m ＋2n ＝0得n ＋m ＝−2，然后利用整体代入的方法进行计算．【详解】∵2（n≠0）是关于x 的一元二次方程x 2＋mx ＋2n ＝0的一个根，∴4＋2m ＋2n ＝0，∴n ＋m ＝−2，故答案为−2．【点睛】本题考查了一元二次方程的解（根）：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．35．6．【解析】试题分析：∵m 是关于x 的方程2230x x --=的一个根，∴2230m m --=，∴223m m -=，∴224m m -=6，故答案为6．考点：一元二次方程的解；条件求值．36．8【分析】直接把a 的值代入得出224a a -=，进而将原式变形得出答案．【详解】解：∵a 是方程224x x =+的一个根，∴224a a -=，∴22422(2)248a a a a -=-=⨯=．故答案为8．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解，正确将原式变形是解题关键．37．1【分析】把x ＝2代入方程得到关于m 的方程，然后解关于m 的方程即可．【详解】解：把x ＝2+代入方程得2(24(20m -++=，解得m ＝1．故答案为1．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．38．-2014【分析】由题意得：222015,a a -=拆项，运用因式分解方法变形求解.【详解】由题意得：222015,a a -=则：a 3-3a 2-2013a+1=22a(2)20131a a a a ---+()22=20152013121201512014a a a a a --+=--+=-+=-.故答案为-2014.【点睛】考核知识点：因式分解的运用.拆项分组是关键.39．x 1＝3，x 2＝﹣3．【分析】先移项，在两边开方即可得出答案．【详解】∵290x -=∴2x =9，∴x =±3，即x 1＝3，x 2＝﹣3，故答案为x 1＝3，x 2＝﹣3．【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，熟练掌握该方法是本题解题的关键.40．0【解析】【分析】设方程的另一个解是n ，根据根与系数的关系可得出关于n 的一元一次方程，解之即可得出方程的另一个解．【详解】设方程的另一个解是n ，根据题意得：﹣3+n=﹣3，解得：n=0，故答案为0．【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，熟记一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两根之和等于﹣b a 、两根之积等于c a是解题的关键． 41．﹣1．【分析】根据一元二次方程的定义得到m-1≠0；根据方程的解的定义得到m 2-1=0，由此可以求得m 的值．【详解】解：把x ＝0代入（m ﹣1）x 2+x +m 2﹣1＝0得m 2﹣1＝0，解得m=±1， 而m ﹣1≠0，所以m ＝﹣1．故答案为﹣1．【点睛】本题考查一元二次方程的解的定义和一元二次方程的定义．注意：一元二次方程的二次项系数不为零．42．15．【详解】解：29180x x -+=，得x 1=3，x 2=6，当等腰三角形的三边是3，3，6时，3+3=6，不符合三角形的三边关系定理，∴此时不能组成三角形；当等腰三角形的三边是3，6，6时，此时符合三角形的三边关系定理，周长是3+6+6=15．故答案是：1543．x=-4,x=-1【解析】【分析】把后面一个方程中的x+2看作整体，相当于前面一个方程中的x求解．【详解】解：∵关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=-2，x2=1，（a，m，b均为常数，a≠0），∴方程a（x+m+2）2+b=0变形为a[（x+2）+m]2+b=0，即此方程中x+2=-2或x+2=1，解得x=-4或x=-1．故方程a（x+m+2）2+b=0的解为x1=-4，x2=-1．故答案为：x1=-4，x2=-1．【点睛】本题考查方程解的定义．注意由两个方程的特点进行简便计算．44．2【解析】试题分析：∵关于x的方程230-+=的一个根是1，∴1﹣3×1+m=0，解得，m=2，x x m故答案为2．考点：一元二次方程的解．45．2028【分析】根据一元二次方程的解的概念和根与系数的关系得出x12-4x1=2020，x1+x2=4，代入原式=x12-4x1+2x1+2x2=x12-4x1+2（x1+x2）计算可得．【详解】解：∵x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，∴x1+x2＝4，x12﹣4x1﹣2020＝0，即x12﹣4x1＝2020，则原式＝x12﹣4x1+2x1+2x2＝x12﹣4x1+2（x1+x2）＝2020+2×4＝2028，故答案为：2028．【点睛】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2=b a -，x 1x 2=c a ． 46．2020.【分析】把x=m 代入方程计算即可求解．【详解】解：把x ＝m 代入方程得：m 2﹣m ﹣2019＝0，即m 2﹣m ＝2019，则原式＝2019+1＝2020，故答案为2020.【点睛】本题考查一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 47．1【分析】利用一元二次方程解的定义得到3a 2-a=2，再把2526a a +-变形为()2523a a --，然后利用整体代入的方法计算．【详解】∵a 是方程2320x x --=的根，∴3a 2-a-2=0，∴3a 2-a=2，∴2526a a +-=()2523a a --=5-2×2=1． 故答案为：1．【点睛】此题考查一元二次方程的解，解题关键在于掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．48．5试题解析：∵a 是一元二次方程x 2-5x+m=0的一个根，-a 是一元二次方程x 2+5x-m=0的一个根，∴a 2-5a+m=0①，a 2-5a-m=0②，①+②，得2（a 2-5a ）=0，∵a ＞0，∴a=5．考点：一元二次方程的解．49．1【分析】把x=1代入x 2+ax+b=0得到1+a+b=0，易求a+b=-1，将其整体代入所求的代数式进行求值即可．【详解】∵x=1是一元二次方程x 2+ax+b=0的一个根，∴12+a+b=0，∴a+b=﹣1.∴a 2+b 2+2ab=（a+b ）2=（﹣1）2=1.50．1【分析】把方程的根代入原方程得到220k k +-=，解得k 的值，再根据一元二次方程成立满足的条件进行取舍即可．【详解】∵方程22(2)620k x x k k ++++-=是一元二次方程，∴k+2≠0，即k ≠-2；又0是该方程的一个根，∴220k k +-=，解得，11k =，22k =-，由于k ≠-2，所以，k=1．故答案为：1．【点睛】本题考查了一元二次方程的解．解此类题时，要擅于观察已知的是哪些条件，从而有针对性的选择解题方法．同时要注意一元二次方程成立必须满足的条件，这是容易忽略的地方．。

解一元二次方程（十字相乘法）专项训练一、一元二次方程的解法归类：1.直接开平方法：适合)0()(2≥=+k k h x 的形式。

如：07)5(2=--x 解：57,57,75,7)5(212+-=+=±=-=-x x x x2.配方法：→万能方法（比较适合二次项系数等于1，而且一次项系数是偶数的方程）关键步骤：方程两边都加上一次项系数一半的平方。

如：1562=+x x 解：362,362,623,24)3(,915962122--=-=±=+=++=++x x x x x x注：代数式的配方，应先提取二次项系数，将二次项系数变成1，再进行配方。

因为代数式没有两边，无法进行两边都加上一次项系数一半的平方，所以必须加多少再减多少，而且配方与常数项无关，所以常数项必须放到括号以外。

如：455)23(37427)23(37)49493(37)3(379322222+--=++--=+-+--=+--=++-x x x x x x x x 3.公式法：→万能方法（系数比较大的方程不太适合） 如：0122=-+x x 解：∵,1,1,2-===c b a ∴,9)1(24142=-⨯⨯-=-ac b ∴431±-=x 4.因式分解法：①提公因式法：如1)2)(1(+=-+x x x解：3,1,0)3)(1(,0)12)(1(,0)1()2)(1(21=-==-+=--+=+--+x x x x x x x x x②运用平方差公式：))((22b a b a b a -+=-如0)12(22=--x x 解：1,31,0)1)(13(,0)12)(12(21===--=--+-x x x x x x x x ③运用完全平方公式：222)(2b a b ab a +=++， 222)(2b a b ab a -=+-如：016)1(8)1(2=++-+x x 解：3,0)3(,0)41(2122===-=-+x x x x④十字相乘法：如：0652=++x x 解：3,2,0)3)(2(21-=-==++x x x xx 2x 3x x x 523=+ 0)3)(2(=++x x又如：035682=-+x x 解：47,25,0)74)(52(21=-==-+x x x x x 2 5x 4 7-x x x 62014=+-0)74)(52(=-+x x二、十字相乘法专题练习：（1）01072=++x x （2）0672=++x x（3）0862=+-x x （4）01582=+-x x（5）01662=-+x x（6）0122=--x x（7）03722=++x x（8）071362=+-x x（9）0101962=++x x（10）0351162=--x x三、用恰当的方法解方程：（1）02732=-x（2）142=-x x （3）42)2(3-=-x x x（4）01522=+-x x （5）01492=+-x x （6）07252=--x x。

《一元二次方程》基础知识反馈卡·第一份时间：10分钟满分：25分一、选择题(每小题3分，共6分)1．若(a－1)x2＋bx＋c＝0是关于x的一元二次方程，则( )A．a≠0 B．a≠1C．a＝1 D．a≠－12．一元二次方程2x2－(m＋1)x＋1＝x(x－1)化成一般形式后二次项的系数为1，一次项的系数为－1，则m的值为( )A．－1 B．1 C．－2 D．2二、填空题(每小题4分，共12分)3．方程(m＋2)x|m|＋3mx＋1＝0是关于x的一元二次方程，则m＝_______________.4．若关于x的方程mx2＋(m－1)x＋5＝0有一个解为2，则m的值是______．5．把一元二次方程(x－3)2＝5化为一般形式为________________，二次项为________，一次项系数为__________，常数项为________.三、解答题(共7分)6．已知关于x的一元二次方程(2m－1)x2＋3mx＋5＝0有一根是x＝－1，求m的值．时间：10分钟 满分：25分一、选择题(每小题3分，共6分)1．用配方法解方程x 2－23x －1＝0，正确的配方为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132＝89B.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －232＝59C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132＋109＝0D.⎝⎛⎭⎪⎫x －132＝1092．一元二次方程x 2＋x ＋14＝0的根的情况是( )A ．有两个不等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．无法确定二、填空题(每小题4分，共12分)3．方程x 2－4x －12＝0的解x 1＝________，x 2＝________. 4．x 2＋2x －5＝0配方后的方程为____________． 5．用公式法解方程4x 2－12x ＝3，得到x ＝________. 三、解答题(共7分)6．已知关于x 的一元二次方程x 2－mx －2＝0.(1)对于任意实数m ，判断此方程根的情况，并说明理由； (2)当m ＝2时，求方程的根．时间：10分钟 满分：25分一、选择题(每小题3分，共6分) 1．一元二次方程x 2＝3x 的根是( ) A ．x ＝3 B ．x ＝0C ．x 1＝0，x 2＝3D ．x 1＝0，x 2＝－32．方程4(x －3)2＋x (x －3)＝0的根为( )A ．x ＝3B ．x ＝125C ．x 1＝－3，x 2＝125D ．x 1＝3，x 2＝125二、填空题(每小题4分，共12分)3．方程x 2－16＝0的解是____________．4．如果(m ＋n )(m ＋n ＋5)＝0，则m ＋n ＝______. 5．方程x (x －1)＝x 的解是________． 三、解答题(共7分)6．解下列一元二次方程：(1)2x 2－8x ＝0； (2)x 2－3x －4＝0.时间：10分钟满分：25分一、选择题(每小题3分，共6分)1．若x1，x2是一元二次方程x2＋4x＋3＝0的两个根，则x1x2的值是( ) A．4 B．3 C．－4 D．－32．如果关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根分别为x1＝2，x2＝1，那么p，q的值分别是( )A．－3,2 B．3，－2 C．2，－3 D．2,3二、填空题(每小题4分，共12分)3．已知一元二次方程的两根之和为7，两根之积为12，则这个方程为____________________．4．已知方程x2－3x＋m＝0的一个根是1，则它的另一个根是______，m的值是______．5．已知x1，x2是方程x2－3x－3＝0的两根，不解方程可求得x21＋x22＝________.三、解答题(共7分)6．已知关于x的一元二次方程x2＋(2m－3)x＋m2＝0的两个不相等的实数根α，β满足1α＋1β＝1，求m的值．时间：10分钟满分：25分一、选择题(每小题3分，共9分)1．某品牌服装原价173元，连续两次降价x%后售价为127元，下面所列方程中正确的是( )A．173(1＋x%)2＝127 B．173(1－2x%)＝127C．173(1－x%)2＝127 D．127(1＋x%)2＝1732．某城市为绿化环境，改善城市容貌，计划经过两年时间，使绿地面积增加44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是( )A．19% B．20% C．21% D．22%3．一个面积为120 cm2的矩形花圃，它的长比宽多2 m，则花圃的长是( ) A．10 m B．12 m C．13 m D．14 m二、填空题(每小题4分，共8分)4．已知一种商品的进价为50元，售价为62元，则卖出8件所获得的利润为__________元．5．有一个两位数等于其数字之和的4倍，其十位数字比个位数字小2，则这个两位数是________．三、解答题(共8分)6．某西瓜经营户以2元/千克的进价购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售，经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克，另外，每天的房租等固定成本共24元，该经营户要想每天赢利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？参考答案基础知识反馈卡·21.11．B 2.B 3.2 4.－125．x 2－6x ＋4＝0 x 2 －6 4 6．解：把x ＝－1代入原方程，得2m －1－3m ＋5＝0，解得m ＝4. 基础知识反馈卡·21.2.1 1．D 2.B 3.6 －24．(x ＋1)2＝6 5.3±2 326．解：(1)Δ＝b 2－4ac ＝m 2＋8， ∵对于任意实数m ，m 2≥0， ∴m 2＋8＞0.∴对于任意的实数m ，方程总有两个不相等的实数根．(2)当m ＝2时，原方程变为x 2－2x －2＝0， ∵Δ＝b 2－4ac ＝(－2)2－4×1×(－2)＝12，∴x ＝2±122.解得x 1＝1＋3，x 2＝1－ 3. 基础知识反馈卡·21.2.2 1．C 2.D3. x ＝±44.0或－55.0或2 6．(1)x 1＝0，x 2＝4 (2)x 1＝4，x 2＝－1基础知识反馈卡·*21.2.3 1．B 2.A3．x 2－7x ＋12＝0(答案不唯一) 4．2 2 5.156．解：∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ>0.∴(2m －3)2－4m 2＞0.解得m ＜34.∵1α＋1β＝1，即α＋βαβ＝1. ∴α＋β＝αβ.又α＋β＝－(2m －3)，αβ＝m 2. 代入上式，得3－2m ＝m 2. 解得m 1＝－3，m 2＝1.∵m 2＝1＞34，故舍去．∴m ＝－3.基础知识反馈卡·21.31．C 2.B 3.B 4.96 5.24 6．解：设每千克小型西瓜的售价降低x 元，根据题意，得(3－2－x )·⎝ ⎛⎭⎪⎫200＋x0.1×40－24＝200，整理，得50x －25x ＋3＝0， 解得x 1＝0.2，x 2＝0.3.答：应将每千克小型西瓜的售价降低0.2元或0.3元．。

九年级上 1.2 一元二次方程的解法（ 因式分解法 ）同步练习含答案第 1 章 一元二次方程1.2 一元二次方程的解法（ 6）【基础提优】1．方程 ( x 1)( x 2） 0 的两个根分别是（ ）A ． x 11， x 2 2B ． x 1 1， x 2 2C ． x 11，x 22D ． x 11， x 222．方程 x 2 5x0 的解是（）A ． x 1 0 ， x 25B ． x 1 x 2 5C ． x 10 ， x 25D ． x 1 x 23．方程 x( x 2) x 2 0 的解是（）A ． x 1 x 2 2B ． x 1 2 ， x 2 1C ． x 1x 21D ． x 1 2 ， x 21．方程 x22 x3 0 的解是（）4A ． x 1 x 2 1B ． x 1 x 2 3C ． x 1x 23D ． x 11， x 235．方程 x( x 2)x 的跟是．6．若一个一元二次方程的两个根分别是Rt △ ABC 的两条直角边的长，且 S △ ABC=3，请写出 一个符合题意的一元二次方程：．．方程 x23 x2 0 的跟是．78．若方程 x 29x18 0 的两个根分别是等腰三角形的底边长和腰长，则这个等腰三角形的周长为．9．用因式分解法解下列方程： （1） ( x 3) 2 90 ； （ 2） 2x(x 4) x 4 02 2（ 4）x 2（3）( 2x 1) (3x 2）；10x 9 0 （5）( 2x1)2x(3x 2） 7【拓展提优】1．一元二次方程x(x 3) 3 x 的根是（）A ．x1 x2 1B ．x1 x2 3C．x1 1， x2 3 D ．x1 3 ， x2 12 x的方程x 2x1 1 0 的解为（）．关于A ．x1 2 ， x2 1B ．x1 0 ， x2 1C．x1 x2 1 D ．x1 x2 23．如果三角形的两条边的长分别是方程x 2 8x 15 0 的两个根，那么连接这个三角形三边的中点，得到的三角形的周长可能是（）A．5.5 B．5 C．4.5 D．44．如果( x2 y2 1)( x2 y 2 4) 0 ，那么x 2 y 2 ．5．现定义运算：对于任意实数a， b ，都有 a ★ b a2 3a b ，如 3 ★5 32 335．若x ★ 2 6 ，则实数 x 的值是．6．若最简二次根式x 2 4 x 3 与2x 13 是同类二次根式，则x ．7．若分式x25x6的值为 0，则x ．8．用适当的方法解下列方程：（1） ( 2x 1)22(2x 1) 3 ；（ 2） 2( x 3) 2 x 2 9（3） ( x 3) 2 (x 4)2 ( x 5) 2 17 x 24（4） x 22x 2x 1 ；（5） x 22x 2 09．已知 x(2x y) y( y 2 x)( xy 0) ，求 x2y 2 的值．xy．先化简，再求值：m 3 ( m 2 5 2 ) ，其中 m 是方程 x 2 2x 3 0 的根．103m 2 6mm参考答案【基础提优】 1-4 DCDD5． x 1 0 ， x 2 36． x 2 5x 6 0 （答案不唯一）7． x 1 1， x 228． 159．解：（ 1） x 16 ， x 2 0（ 2） x 11 4 ， x 21， x 22（ 3） x 1 3 （ 4） x 11， x 2 95（ 5） x 12 ， x 24【拓展提优】 1-3 DBA 4． 4 5．4或 16． 8 7． 68．解：（ 1） x1 ， x21（ 2） x3 ， x2911（ 3） x 1 3 ， x 2 8 （ 4） x 1 2 5 ， x 2 25（5）x 13 1， x 23 19． 5或 2210．化简得：原式1 ，解方程得： m 1 3 （舍去）， m2 1，带入 m1 得：3m(m 3)1 原式12。

【最新整理，下载后即可编辑】一元二次方程的解法专题训练1、因式分解法①移项：使方程右边为0②因式分解：将方程左边因式分解；方法：一提，二套，三十字，四分组③由A∙B=0，则A=0或B=0，解两个一元一次方程2、开平方法(2=ax3、配方法①移项：左边只留二次项和一次项，右边为常数项（移项要变号．．．．．）②同除：方程两边同除二次项系（每项都要除．．．．．）③配方：方程两边加上一次项系数一半的平方．．．．．．．④开平方：注意别忘根号和正负⑤解方程：解两个一元一次方程4、公式法①将方程化为一般式②写出a、b、c③求出acb42-，④若b2-4ac＜0，则原方程无实数解⑤若b2-4ac＞0，则原方程有两个不相等的实数根，代入公式x=2ba-±求解⑥若b2-4ac＝0，则原方程有两个相等的实数根，代入公式2bxa=-求解。

例1、利用因式分解法解下列方程(x－2) 2＝(2x-3)2 042=-xx3(1)33x x x+=+x2x+3=0 ()()0165852=+---xxaxax-==21()0(2≥=+aabx解两个一元一次方程abx±=+例2、利用开平方法解下列方程51)12(212=-y4（x-3）2=25 24)23(2=+x例3、利用配方法解下列方程25220x x-+=012632=--xx1072=+-xx7x=4x2+2例4、利用公式法解下列方程－3x2＋22x－24＝0 2x（x－3）=x－3．3x2+5(2x+1)=0解一元二次方程（因式分解法）练习（一）基础测试：（每题3分，共18分）1．xx52-因式分解结果为，)3(5)3(2---xxx因式分解结果为．2．96202-+xx因式分解结果为，096202=-+xx的根为．3．一元二次方程(1)x x x-=的解是．4．小华在解一元二次方程x2－4x=0时．只得出一个根是x=4,则被他漏掉的一个根是x=____．5．若关于x的方程250x x k-+=的一个根是0，则另一个根是．6．经计算整式1+x与4-x的积为432--xx,则0432=--xx的所有根为（）A．4,121-=-=xx B．4,121=-=xx C．4,121==xx39922=--xxD ．4,121-==x x（二）能力测试：（7，8，9，10题每题3分，11题每个方程7分，共47分）7．三角形一边长为10，另两边长是方程214480x x -+=的两实根，则这是一个 三角形．8．三角形的每条边的长都是方程2680x x -+=的根，则三角形的周长是 ．9．关于x 的一元二次方程（m －1）x 2＋x ＋m 2－1＝0有一根为0，则m 的值为（ ）．A ． 1B ． －1C ． 1或－1D ． 1210．将4个数a b c d ，，，排成2行、2列，两边各 加一条竖直线记成ab c d ，定义a b c d ad bc =-，上述记号就叫做2阶行列式．若1111x x x x +--+ 6=，则x = ．11．用因式分解法解下列方程：（1）035122=+-x x （2）04)13(2=--x （3）0)32(2)32(32=---x x（4）22)52(16)2(9-=+x x （5）06)3(5)3(2=++-+x x（三）拓展测试：（12，13，14每题5分，15，16每题10分，共35分）12．若04)3)((2222=--++b a b a ，则=+22b a． 13．关于x 的一元二次方程052=+-p x x的两实根都是整数，则整数p 的取值可以有（ ） A ．2个 B ．4个 C ．6个 D ．无数个14．若关于x 的多项式x2－px －6含有因式x －3，则实数p的值为（ ）A ．－5B ．5C ．－1D ．115．如果方程062=--bx ax 与方程01522=-+bx ax 有一个公共根是3，求b a ,的值，并分别求出两个方程的另一个根．16．如图所示，在长和宽分别是a 、b 的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x 的正方形．（1）用a ，b ，x 表示纸片剩余部分的面积；（2）当a =6，b =4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．解一元二次方程(配方法)练习1．用适当的数填空：①、x 2+6x+ =（x+ ）2； ②、x 2－5x+ =（x － ）2；③、x 2+ x+ =（x+ ）2； ④、x 2－9x+ =（x － ）22．将二次三项式2x 2-3x-5进行配方，其结果为_________．3．已知4x 2-ax+1可变为（2x-b ）2的形式，则ab=_______．4．将一元二次方程x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a ）2=b 的形式为_______，•所以方程的根为_________．5．若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是（ ）A ．3B ．-3C ．±3D ．以上都不对6．用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形，结果是（ ）A．（a-2）2+1 B．（a+2）2-1 C．（a+2）2+1 D．（a-2）2-17．把方程x+3=4x配方，得（）A．（x-2）2=7 B．（x+2）2=21 C．（x-2）2=1 D．（x+2）2=28．用配方法解方程x2+4x=10的根为（）B．-2C．D．A．29．不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x-4y+7的值（）A．总不小于 2 B．总不小于7 C．可为任何实数D．可能为负数10．用配方法解下列方程：（1）3x2-5x=2．（2）x2+8x=9（3）x2+12x-15=0 1x2-x-4=0（4）411.用配方法求解下列问题（1）求2x2-7x+2的最小值；（2）求-3x2+5x+1的最大值。

完整版)一元二次方程解法及其经典练习题一元二次方程的解法及经典练题方法一：直接开平方法（基于平方根的定义）平方根的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。

即，如果x²=a，那么x=±√a。

注意，x可以是多项式。

一、使用直接开平方法解下列一元二次方程：1.4x²-1=22.(x-3)²=233.81(x-2)²=1644.(x+1)²/4=255.(2x+1)²=(x-1)²6.(5-2x)²=9(x+3)²7.2(x-4)²/3-6=0.方法二：配方法解一元二次方程1.定义：把一个一元二次方程的左边配成一个平方，右边为一个常数，然后利用开平方数求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。

2.配方法解一元二次方程的步骤：1）将方程移项，使等式左边为完全平方，右边为常数。

2）将等式左右两边开平方。

3）解出方程的根。

二、使用配方法解下列一元二次方程：1.y²-6y-6=02.3x²-2=4x3.3x²-4x=94.x²-4x-5=05.2x²+3x-1=06.3x²+2x-7=0方法三：公式法1.定义：利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。

2.公式的推导：使用配方法解方程ax²+bx+c=0（a≠0），解得x=[-b±√(b²-4ac)]/(2a)。

3.由上可知，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因为1）当b²-4ac>0时，方程有两个实数根，x₁=[-b+√(b²-4ac)]/(2a)，x₂=[-b-√(b²-4ac)]/(2a)。

2）当b²-4ac=0时，方程有一个实数根，x₁=x₂=-b/(2a)。

一元二次方程配方法基础训练30题一．选择题（共10小题）1．一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可变形为（）A．（x+4）2=17 B．（x+4）2=15 C．（x﹣4）2=17 D．（x﹣4）2=152．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣10=0时，下列变形正确的为（）A．（x+3）2=1 B．（x﹣3）2=1 C．（x+3）2=19 D．（x﹣3）2=193．用配方法解方程x2+10x+9=0，配方后可得（）A．（x+5）2=16 B．（x+5）2=1 C．（x+10）2=91 D．（x+10）2=1094．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣4=0，下列变形正确的是（）A．（x﹣6）2=﹣4+36 B．（x﹣6）2=4+36 C．（x﹣3）2=﹣4+9 D．（x﹣3）2=4+95．方程x2+6x﹣5=0的左边配成完全平方后所得方程为（）A．（x+3）2=14 B．（x﹣3）2=14 C．D．（x+3）2=46．用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣5=0的过程中，配方正确的是（）A．（x+2）2=1 B．（x﹣2）2=1 C．（x+2）2=9 D．（x﹣2）2=97．用配方法解方程x2+10x+9=0，配方正确的是（）A．（x+5）2=16 B．（x+5）2=34 C．（x﹣5）2=16 D．（x+5）2=258．用配方法解方程x2+4x+1=0时，经过配方，得到（）A．（x+2）2=5 B．（x﹣2）2=5 C．（x﹣2）2=3 D．（x+2）2=39．把方程x2﹣4x+1=0配方，化为（x+m）2=n的形式应为（）A．（x﹣2）2=﹣3 B．（x﹣2）2=3 C．（x+2）2=﹣3 D．（x+2）2=310．用配方法把一元二次方程x2+6x+1=0，配成（x+p）2=q的形式，其结果是（）A．（x+3）2=8 B．（x﹣3）2=1 C．（x﹣3）2=10 D．（x+3）2=4二．填空题（共12小题）11．一元二次方程x2+3﹣2x=0的解是．12．一元二次方程x2﹣6x+a=0，配方后为（x﹣3）2=1，则a=．13．用配方法解方程x2﹣6x=1时，方程两边应同时加上，就能使方程左边配成一个完全平方式．14．已知，关于x的方程x2+2（m+2）x+9m=0，方程的左边是一个完全平方式，则m=．15．把方程x2+6x+3=0变形为（x+h）2=k的形式，其中h，k为常数，则k=．16．若将方程x2+6x=7化为（x+m）2=16，则m=．17．一元二次方程x2﹣4x+2=0的根是．18．方程x2+6x﹣5=0的左边配成完全平方式后所得方程为．19．将一元二次方程x2﹣6x﹣5=0化成（x﹣3）2=b的形式，则b=．20．用配方法解方程x2﹣6x+8=0，配方后得：．21．把方程2x2+8x﹣1=0化为（x+m）2=n的形式，则的值是．22．已知x2+4y2=4xy，则的值为．三．解答题（共8小题）23．用配方法解方程2x2﹣4x﹣3=0．24．解方程：（1）x2+2x=1（2）（x﹣3）2+2（x﹣3）=0．25．解方程：x2+4x﹣7=6x+5．26．解下列方程：（1）（2x﹣3）2=9（2）3x2﹣10x+6=0．27．（1）用配方法解方程：3x2﹣12x﹣3=0 （2）（x+8）（x+1）=﹣1．28．解方程：2x2﹣8x+3=0．29．用配方法解方程：2x2﹣5x+2=0．30．x2+2x﹣35=0（配方法解）配方法参考答案一．选择题（共10小题）1．C；2．D；3．A；4．D；5．A；6．D；7．A；8．D；9．B；10．A；二．填空题（共12小题）11．x1=x2=；12．8；13．9；14．1或4；15．6；16．3；17．x1=2+，x2=2-； 18．（x+3）2=14；19．14；20．（x-3）2=1；21．3；22．4；三．解答题（共8小题）23．；24．；25．；26．；27．；28．；29．；30．；。

22.1一元二次方程 达标训练一、基础·巩固·达标1．下列关于x 的方程中，一元二次方程的个数有（ ） ①03222=-x x ②121-=-x xx ③kx 2－3x +1=0 ④x 2－x 2(x 2+1)－3=0 ⑤(k +3)x 2－3kx +2k －1=0A.0B.1C.2D.32．方程（x －1）（x +3）=12化为ax 2+bx +c =0形式后，a 、b 、c 的值为（）A.1，－2，－15B.1，－2，－15C.1，2，－15D.－1，2，－153．若方程（m 2－1）x 2+x +m =0是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（ ）A.m ≠0B.m ≠1C.m ≠1或m ≠－1D.m ≠1且m ≠－14．若方程（m －1）x 2+m x =1是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是( )A.m ≠1B.m ≥0C.m ≥0且m ≠1D.m 为任意实数5．关于x 的方程（m 2－4）x 2－（m －2）x －1=0，当m 是一元二次方程；当m 是一元一次方程.6．关于x 的方程ax 2－2m －3=x （2－x ）是一元二次方程，则a 的取值范围是 .7．若x =1是一元二次方程ax 2=bx +2的一个根，则a －b 的值为 .8．如果一个一元二次方程的各项系数及常数项之和为0，那么这个方程必有一个根是 .9．把下列方程先化成一元二次方程的一般形式，再写出二次项系数、一次项系数及常数项.（1）8x 2－3=5x ； （2）4－7x 2－11x =0；（3）3y （y +1）=7（y +2）－5； （4）（t +t ）（t －t ）+（t －2）2=7－5t ；（5）（5x －1）2=4（x －3）二、综合·应用·创新10．根据下列问题列方程，并将其化成一元二次方程的一般形式.（1）两连续偶数的积是120，求这两个数；（2）某大学为改善校园环境，计划在一块长80 m ，宽60 m 的矩形场地的中央建一个矩形网球场，网球场占地面积为3 500 m 2，四周为宽度相等的人行道，求人行道的宽度.11．关于x 的一元二次方程（a －1）x 2+x +a 2－1=0的一根为0，求a 的值.12．依据下列条件，分别编写两个关于x的一元二次方程.（1）方程有一个根是－1，一次项系数是－5；（2）有一个根是2，二次项系数为1.三、回顾·热身·展望13．如果a的值使x2+4x+a =(x+2)2－1成立，那么a的值为（）A.5B.4C.3D.214．已知m是方程x2－x－1=0的一个根，则代数式m2－m的值等于（）A. －1B.0C.1D.2参考答案一、基础·巩固·达标1．下列关于x 的方程中，一元二次方程的个数有（ ） ①03222=-x x ②121-=-x x x ③kx 2－3x +1=0④x 2－x 2(x 2+1)－3=0 ⑤(k +3)x 2－3kx +2k －1=0A.0B.1C.2D.3提示：一元二次方程需同时满足以下三个条件：①等号的两边都是整式；②含有一个未知数；③未知数的最高次数是 2.不满足其中的任何一条的方程都不是一元二次方程 .经过化简可得一元二次方程的一般形式为ax 2+bx+c=0（a≠0），其中a≠0是一元二次方程的一般形式的一个重要组成部分.根据上述知识可判断只有①是一元二次方程.答案： B2．方程（x －1）（x +3）=12化为ax 2+bx +c =0形式后，a 、b 、c 的值为（）A.1，－2，－15B.1，－2，－15C.1，2，－15D.－1，2，－15提示：方程（x －1）（x+3）=12的一般形式为x 2+2x －15=0，因此a 、b 、c 的值为1，2，－15.答案： C3．若方程（m 2－1）x 2+x +m =0是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（ ）A.m ≠0B.m ≠1C.m ≠1或m ≠－1D.m ≠1且m ≠－1提示：如果明确指出方程（m 2－1）x 2+x+m=0是关于x 的一元二次方程，那就隐含了m 2－1≠0这个条件，因此m≠1且m≠ －1.答案： D4．若方程（m －1）x 2+m x =1是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是( )A.m ≠1B.m ≥0C.m ≥0且m ≠1D.m 为任意实数提示：着眼两点：①二次项系数；②二次根式中的被开方数m ，于是有：m 的取值范围m≥0且m≠1.答案： C5．关于x 的方程（m 2－4）x 2－（m －2）x －1=0，当m 是一元二次方程；当m 是一元一次方程.提示：关于x 的方程（m 2－4）x 2－（m －2）x －1=0已经化为了一般形式，要使它是一元二次方程只需满足m 2－4≠0即可，因此当m≠±2时是一元二次方程.要使它是一元一次方程需满足m 2－4=0 且m －2≠0，即m=－2.答案：≠±2 =－26．关于x 的方程ax 2－2m －3=x （2－x ）是一元二次方程，则a 的取值范围是 .提示：先将关于x 的方程ax 2－2m －3=x （2－x ）化为一般形式（a+1）x 2－2x －2m －3=0，因为它是一元二次方程需满足a+1≠0，因此a≠－1.答案：a≠－17．若x =1是一元二次方程ax 2=bx +2的一个根，则a －b 的值为 .提示：将x=1代入原方程，有a=b+2,移项，得a －b=2.答案：28．如果一个一元二次方程的各项系数及常数项之和为0，那么这个方程必有一个根是 .提示：当x=1时，a+b+c=0；当x=－1时，a －b+c=0.应注意对问题的逆向思维.设这个一元二次方程为ax 2+bx+c=0(a ≠0).由题意，得a+b+c=0.因为当x=1时，a+b+c=0，所以此方程必有一个根为1.答案：19．把下列方程先化成一元二次方程的一般形式，再写出二次项系数、一次项系数及常数项.（1）8x2－3=5x；（2）4－7x2－11x=0；（3）3y（y+1）=7（y+2）－5；（4）（t+t）（t－t）+（t－2）2=7－5t；（5）（5x－1）2=4（x－3）.提示：先通过去括号、移项、合并同类项等将一元二次方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式，由一般形式即可确定二次项系数、一次项系数及常数项.解：（1）一般形式为8x2－5x－3=0，其中二次项系数为8，一次项系数为－5，常数项为－3.（2）一般形式为7x2+11x－4=0，其中二次项系数为7，一次项系数为11，常数项为－4.（3）一般形式为3y2－4y－9=0，其中二次项系数为3，一次项系数为－4，常数项为－9.（4）一般形式为2t2－3=0，其中二次项系数为2，一次项系数为0，常数项为－3.（5）一般形式为21x2+14x－35=0，其中二次项系数为21，一次项系数为14，常数项为－35.二、综合·应用·创新10．根据下列问题列方程，并将其化成一元二次方程的一般形式.（1）两连续偶数的积是120，求这两个数；（2）某大学为改善校园环境，计划在一块长80 m，宽60 m的矩形场地的中央建一个矩形网球场，网球场占地面积为3 500 m2，四周为宽度相等的人行道，求人行道的宽度.提示：（1）连续的偶数是顺次大2的数，设较小的偶数为x，则较大的偶数是（x+2），根据两连续偶数的积是120可列出方程.（2）设人行道的宽为x，则网球场的长为（80－2x）m，宽为（60－2x）m，根据网球场的面积为3 500 m2可列出方程.解：（1）设较小的偶数为x，则较大的偶数是（x+2），根据题意，得x（x+2）=120，一般形式为x2+2x－120=0.（2）设人行道的宽为x，则网球场的长为（80－2x）m，宽为（60－2x）m，根据题意，得（80－2x）（60－2x）=3 500，一般形式为x2－70x+325=0.11．关于x的一元二次方程（a－1）x2+x+a2－1=0的一根为0，求a的值.提示：依据方程根的概念，将x=0代入原方程得a2－1=0，所以a2=1，根据平方根的意义可得a=±1，又因原方程是一元二次方程，所以题中存在隐含条件a －1≠0，即a≠1，因此a=－1.答案：a=－112．依据下列条件，分别编写两个关于x的一元二次方程.（1）方程有一个根是－1，一次项系数是－5；（2）有一个根是2，二次项系数为1.提示：(1)可以先构造一个算式的模型，如：（－1）2－5×（－1）－6=0，将－1替换成x,则x2－5x－6=0必有一根为－1；(2)类似的构造并给出算式(2)2－2=0,并将2替换成x，则有x2－2=0即为所求.答案：注意本题答案不唯一.(1)x2－5x－6=0；(2)x2－2=0.三、回顾·热身·展望13．如果a的值使x2+4x+a =(x+2)2－1成立，那么a的值为（）A.5B.4C.3D.2提示：将原方程先整理为x2+4x+a=x2+4x+3，比较两边的系数，得a=3.答案： C14．已知m是方程x2－x－1=0的一个根，则代数式m2－m的值等于（）A. －1B.0C.1D.2提示：由方程根的概念可得m2－m－1=0，故m2－m=1.答案：C。

专题21.9 一元二次方程解法-公式法（基础篇）（专项练习）一、单选题类型一、解一元二次方程--公式法1．用公式法解方程22x x +=时，求根公式中a ，b ，c 的值分别是（ ）． A ．1a =，1b =，2c = B ．1a =，1b =-，2c =- C ．1a =，1b =，2c =-D ．1a =，1b =-，2c =2．已知某一元二次方程的两根为x = ）A ．23510x x ++=B ．23510x x -+=C ．23510x x --=D ．23510x x +-=3．小明在解方程x 2﹣4x ＝2时出现了错误，解答过程如下： ∵a ＝1，b ＝﹣4，c ＝﹣2（第一步）∵b 2﹣4ac ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2）＝24（第二步）∵x =∵122222x x =-+=--（第四步） 小明解答过程开始出错的步骤是（ ） A ．第一步B ．第二步C ．第三步D ．第四步4．用公式法解方程4y 2﹣12y ﹣3＝0，得到（ ）A ．yB ．yC ．yD ．y 类型二、根的判别式5．不解方程，判别方程2x 2﹣＝3的根的情况（ ） A ．只有一个实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．有两个不相等的实数根D ．无实数根6．下列一元二次方程中没有实数根的是（ ） A ．2210x x +-= B ．220x ++= C．220x x +-=D ．210x +=7．如果关于x 的方程2(2)(21)0m x m x m ---+=只有一个实数根，那么方程2(2)(4)0mx m x m -++-=的根的情况是（ ）A ．没有实数根B ．有两个不相等的实数根C ．有两个相等的实数根D ．只有一个实数根8．关于x 的方程a 2x 2+（2a ﹣1）x +1＝0，下列说法中正确的是（ ） A ．当a ＝12时，方程的两根互为相反数B ．当a ＝0时，方程的根是x ＝﹣1C ．若方程有实数根，则a ≠0且a ≤14D ．若方程有实数根，则a ≤14类型三、根据一元二次方程求参数9．已知关于x 的一元二次方程()2110m x x -++=有实数根，则m 的取值范围是（ ）A ．54m ≤B ．54m <且1m ≠ C ．54m ≥D ．54m ≤且1m ≠ 10．若一元二次方程220x x m --=无实数根，则一次函数(1)1y m x m =++-的图像经过第（ ）A ．二、三、四象限B ．一、三、四象限C ．一、二、四象限D ．一、二、三象限11．亮亮在解一元二次方程：26x x -+□0=时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一元二次方程有实数根，则丢掉的常数项的最大值是（ ）A ．1B ．0C ．7D ．912．若关于x 的方程2(1)160ax --=的一个根是2，则a 的值为（ ） A ．52B ．32-C ．52-或32D ．52或32-二、填空题类型一、解一元二次方程--公式法13．已知代数式x 2-3与代数式x -的值互为相反数，那么x 的值为______．14．已知2，3，a 分别是等腰三角形三边的长，且a 是关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣x +k 2+1＝0的根，则k 的值为___________．15．已知212271,62y x x y x =+-=+，当x 取__________时12y y =．16．等腰三角形的一边长为4，另两边的长是关于x 的方程212=0x x k -+的两个实数根，则该等腰三角形的周长是______．类型二、根的判别式17．若关于x 的一元二次方程kx 2﹣2x ﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是__________．18．方程()()2153x x x -=+的根的判别式24b ac -=______.19．若b 10-=，且一元二次方程20kx ax b ++=有实数根，则k 的取值范围是____.20．若ac ＜0，则关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根的情况是__________．类型三、根据一元二次方程求参数21．若a b c 、、为ABC 的三边，且关于x 的一元二次方程2())2()0c b x b a x a b -+-+-=有两个相等的实数根，则这个三角形是_________三角形．22．关于x 的方程2(5)410a x x ---=有实数根，则a 的取值范围是_______．23．已知,,a b c 为ABC ∆的三边长，且方程()22a b x cx a b +-+=有两个相等的实数根，则三角形ABC ∆的形状为______24．已知关于x 的一元二次方程210x -=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是_________．三、解答题25．用公式法解下列方程：（1）22980x x -+=； （2）29610x x ++=； （3）21683x x +=． （4）(3)50x x -+=．26．不解方程，判断下列方程的根的情况：（1）2257x x +=； （2）4(1)30x x -+=； （3）()240.09 2.4y y +=．27．已知关于x的方程2(2)0+--=．x m x m(1)试判断方程根的情况；(2)若x=2是方程2(2)0+--=的一个根，求m的值；x m x m(3)是否存在实数m，使方程2(2)0+--=与方程20x m x m-=有一个相同的根？若x x存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．28．已知关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣3＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为非负整数，且该方程的根都是无理数，求m的值．参考答案1．C【分析】将一元二次方程化为一般形式，即可求得,,a b c 的值 解：22x x +=化为一般形式为：220x x +-=∴ 1a =，1b =，2c =-故选C【点拨】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．2．D 【分析】直接根据一元二次方程的求根公式进行判断即可．解：A. 23510x x ++=的两根为x =，故选项A 不符合题意；B. 23510x x -+=的两根为x =B 不符合题意；C. 23510x x --=的两根为x =C 不符合题意；D. 23510x x +-=的两根为x =，故选项D 符合题意；故选：D ．【点拨】本题主要考查了运用公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的求根公式是解答本题的关键．3．C 【分析】根据公式法解一元二次方程的步骤求解判断即可． 解：∵x 2﹣4x ＝2，即x 2﹣4x -2=0，∵a ＝1，b ＝﹣4，c ＝﹣2（第一步）∵24=b ac ∆-＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2）＝24＞0（第二步），∵x ==，∵1222x x == ∵小明解答过程开始出错的步骤是第三步， 故选C ．【点拨】本题主要考查了公式法解一元二次方程，熟知公式法解一元二次方程是解题的关键．4．C 【分析】按照公式法求解一元二次方程的步骤，求解即可． 解：241230y y --=4123a b c ==-=-，，判别式22Δ4(12)44(3)1920b ac =-=--⨯⨯-=>x ====故选：C【点拨】此题考查了公式法求解一元二次方程，解题的关键是掌握公式法求解一元二次方程的步骤．5．C 【分析】根据一元二次方程根的判别式Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根，Δ=0时，方程有两个相等的实数根，Δ＜0时，方程没有实数根，进而确定根的情况即可.解：∵2x 2﹣x ＝3，∵2x 2﹣x ﹣3＝0，∵Δ＝（﹣2﹣4×2×（﹣3）＝18+24＝42＞0， ∵有两个不相等的实数根， 故选：C ．【点拨】本题主要考查了一元二次方程根的判别式判断根的情况，熟练地掌握该知识是解决问题的关键.6．D 【分析】通过计算方程根的判别式，满足0<即可得到结论．解：A 、()2=2411=4+4=8>0-⨯⨯-，方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；B 、()2=22421=0-⨯⨯，方程有两个相等的实数根，故本选项不符合题意；C 、2=14(2)1=9>0-⨯-⨯，方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；D 、2=(2)411=2<0-⨯⨯-，方程无实数根，故本选项符合题意； 故选D ．【点拨】本题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根与判别式的关系是解题的关键．（1）当0>，方程有两个不相等的两个实数根；（2）当=0，方程有两个相等的两个实数根；（3）当0<时，方程无实数根．7．C 【分析】根据方程只有一个实数根，可得：20m -=，或20m -≠且判别式240b ac -=，从而得到2m =，得到方程22420x x -+=，再利用根的判别式解答，即可求解．解：∵关于x 的方程()()22210m x m x m ---+=只有一个实数根，20m ∴-=，即2m =，或20m -≠且判别式240b ac -=，∵判别式()()224214240b ac m m m ⎡⎤⎣-=----=≠⎦，不符合题意舍去， ∵方程()()2240mx m x m -++-=可变形为22420x x -+=，∵判别式()22444220b ac -=--⨯⨯=， ∵一元二次方程有两个相等实数根． 故选：C【点拨】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根据题意，得到20m -=，或20m -≠且判别式240b ac -=是解题的关键．8．D 【分析】先讨论原方程是一元一次方程，还是一元二次方程，然后再根据a 的取值范围解答即可． 解：若a ≠0，则此方程是一元二次方程，由于方程有实数根，∵∵=（2a -1）2-4a 2=-4a +1≥0，∵a ≠0且a ≤14，即A 错误；若a =0，则原方程为-x +1=0，所以方程有实数根为x =1，则B 错误，C 错误．综上所述，当a ≤14时方程有实数根.故选D ．【点拨】本题考查了一元一次方程和一元二次方程，掌握分类讨论思想是解答本题的关键．9．D 【分析】根据根的判别式和一元二次方程的定义得出不等式组，求出不等式组的解集即可． 解：关于x 的一元二次方程2(1)10m x x -++=有实数根，∴∵214(1)10m =--⋅且10m -≠，解得：54m 且1m ≠， 故选：D ．【点拨】本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义，解题的关键是能根据题意得出不等式组的解．10．A 【分析】先根据一元二次方程无实数根，利用判别式求出m 的取值范围，然后判断一次函数经过的象限即可．解：由已知得：22Δ4(2)41()440b ac m m =-=--⨯⨯-=+<，解得1m <-，∵一次函数(1)1y m x m =++-中，10k m =+<，10b m =-< ∵该一次函数图像在第二、三、四象限， 故选A ．【点拨】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根据函数解析式判断函数经过的象限，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程根的判别式．11．D 【分析】设常数项为c ，利用判别式的意义得到∵＝（﹣6）2﹣4c ≥0，再解不等式得到c 的范围，然后在此范围内确定最大值即可．解：设常数项为c ，根据题意得∵＝（﹣6）2﹣4c ≥0，解得c ≤9，所以c 的最大值为9． 故选：D ．【点拨】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的根与∵＝b 2﹣4ac 有如下关系：当∵＞0时，方程有两个不相等的实数根；当∵＝0时，方程有两个相等的实数根；当∵＜0时，方程无实数根．12．D 【分析】将2代入方程，得到关于a 的方程，求解方程即可； 解：把2x =代入方程2(1)160ax --=，得2(21)160a --=， 即2(21)16a -=， 所以214a -=±， 解得52a =或32a =-， 故选D ．【点拨】本题主要考查了一元二次方程的根的知识点，准确理解是解题的关键．13 【分析】根据相反数的性质列出关于x 的方程，再利用公式法求解可得． 解：根据题意知x 2-3+(-x )=0，整理，得：x 2-x -3=0， ∵1a =，1b =-，3c =-，∵()()2241413130b ac =-=--⨯⨯-=>，∵x ，． 【点拨】本题主要考查了解一元二次方程的能力和相反数的性质，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．14．-5【分析】根据等腰三角形的定义，分a =2和a =3，分别代入方程，解之可得k 值． 解：∵2，3，a 分别是等腰三角形三边的长，当a =2时，即x =2，代入()22110k x x k --++=，得：()241210k k --++=，解得：k =-5，或k =1（舍），当a =3时，即x =3，代入()22110k x x k --++=，得：()291310k k --++=，解得：k k故答案为：-5． 【点拨】本题考查了等腰三角形的定义，解一元二次方程，解题的关键是要注意根据等腰三角形的定义进行分类讨论．15．1或32-【分析】根据一元二次方程的解法即可求出答案． 解：当12y y =时，即2271=62x x x +-+，解得1x =或32x =-．故答案为：1或32-【点拨】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．16．16 【分析】分为两种情况：∵腰长为4，∵底边为4，分别求出即可．解：分为两种情况：情况一：当腰为4时，则另一腰4是方程212=0x x k -+的一个解，代入4到方程中，求得=32k ，此时方程的两个解为4和8，对应的三边长为4、4、8，不能构成三角形，故舍去；情况二：当底边为4时，此时方程212=0x x k -+有两个相等的实数根，∵∵=12²-4k =0，解得k =36，此时方程的两个解为6和6，对应的三边长为6、6、4，能构成三角形，此时三角形周长为16，故答案为：16．【点拨】本题考查了一元二次方程的解及解法，等腰三角形的性质等知识点，注意要分类讨论，不要漏解．17．1k >-且0k ≠【分析】根据一元二次方程的定义可知，0k ≠，再根据一元二次方程的根的判别式大于0，解不等式即可求得实数k 的取值范围． 解：关于x 的一元二次方程kx 2﹣2x ﹣1＝0有两个不相等的实数根，,2,1a k b c ==-=-，24440b ac k ∴∆=-=+>，且0k ≠解得1k >-且0k ≠故答案为：1k >-且0k ≠【点拨】此题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系: 当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根; 当Δ=0时，方程有两个相等的实数根;当Δ<0时，方程没有实数根．18．156【分析】先把原方程化为一元二次方程的一般形式，再求出根的判别式即可．解：方程()()2153x x x -=+化为一元二次方程的一般形式为：2x 2﹣6x ﹣15=0，故∵=b 2﹣4ac =（﹣6）2﹣4×2×（﹣15）=156．故答案为156．【点拨】本题考查了一元二次方程的根的判别式，解答此类题目时要先把方程化为一元二次方程的一般形式，再进行解答．19．k 4≤且k 0≠．解：∵b 10-，b 10b 1{{a 40a 4-==⇒-==. ∵一元二次方程为. ∵一元二次方程有实数根，∵2k 0{k 444k 0≠⇒≤∆=-≥且k 0≠. 【点拨】（1）非负数的性质；（2）一元二次方程根的判别式.20．有两个不相等的实数根【分析】先判断出△的符号，再根据一元二次方程的根与△的关系即可得出结论．解：∵∵＝b 2−4ac ，ac ＜0，∵−4ac ＞0，∵∵＝b 2−4ac ＞0，∵关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实数根．故答案为有两个不相等的实数根．【点拨】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0）中，当△＞0时，方程有两个不相等的实数根是解答此题的关键．21．等腰【分析】根据关于x 的一元二次方程2())2()0c b x b a x a b -+-+-=有两个相等的实数根，利用一元二次方程根的判别式进行求解可以得到a b =或a c =，由此判定即可．解：∵关于x 的一元二次方程2())2()0c b x b a x a b -+-+-=有两个相等的实数根，∵2Δ)]4()2()0b a c b a b =---⋅-=，∵()()()2880b a c b a b ----=，∵()()80a b a b c b ---+=即()()80a b a c --=解得a b =或a c =，∵这个三角形为等腰三角形．故答案为：等腰．【点拨】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和等腰三角形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程根的判别式．22．1a ≥【分析】分情况讨论当二次项系数为零时：原式为一元一次方程有实数根；当二次项系数不为零时：根据一元二次方程根的情况结合根的判别式列出不等式，求解即可．解：∵关于x 的方程2(5)410a x x ---=有实数根，当50a -=时，即5a =时，原方程为410x --=有实数根；当50a -≠时，即5a ≠时，则240b ac -≥，即2(4)4(5)(1)0a --⨯-⨯-≥，解得：1a ≥，综上，a 的取值范围是1a ≥，故答案为：1a ≥．【点拨】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程根与根的判别式的关系是解题的关键．23．直三角形【分析】根据一元二次方程根的判别式可得∵=0，即(-2c)2-4(a+b)(a -b)=0，整理可得到c 2+b 2=a 2，根据勾股定理逆定理可判断出∵ABC 是直角三角形．解：∵方程(a+b)x 2-2cx+a=b 有两个相等的实数根，∵∵=0，∵(-2c)2-4(a+b)(a -b)=0，∵c 2-(a 2-b 2)=0，∵c 2-a 2+b 2=0，∵c 2+b 2=a 2，∵∵ABC 的形状为直角三角形，故答案为：直角三角形．【点拨】此题主要考查了根的判别式，以及勾股定理逆定理，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式∵的关系：∵∵＞0∵方程有两个不相等的实数根；∵∵=0∵方程有两个相等的实数根；∵∵＜0∵方程没有实数根．24．k≥1．解：∵关于x 的一元二次方程210x -=有两个不相等的实数根，∵10{140k k -≥-+>，解得k≥1，∵k 的取值范围是k≥1．故答案为k≥1．【点拨】根的判别式．25．（1）1x =2x =（2）1213x x ==-；（3）1213,44x x ==-；（4）没有实数根．【分析】求出判别式判断有无实数根，再根据公式法逐一代入求解即可．解：（1）()2249428170b ac ∆=-=--⨯⨯=> 故原方程有两个不同实数根；x ===或12x x ==（2）22464910b ac ∆=-=-⨯⨯= 故原方程有两个相等的实根；13x ===- 1213x x ==- （3）()22484163160b ac ∆=-=-⨯⨯-=> 故原方程有两个不同的实数根；816216x -±===⨯ 121344x x ==-， （4）()2243415110b ac ∆=-=--⨯⨯=-< 故原方程无实数根．【点拨】本题考查一元二次方程解法的公式法，掌握判别式的使用和公式是本题关键．26．（1）有两个不相等的实数根；（2）没有实数根；（3）有两个相等的实数根．【分析】（1）将原方程变形为22750x x -+=，根据根的判别公式进行解答即可得；（2）将原方程变形为24430x x -+=，根据根的判别公式进行解答即可得；（3）将原方程变形为：20.60.090y y -+=，根据根的判别公式进行解答即可得． 解：（1）2257x x +=，22750x x -+=，∵2a =，7b =-，5c =，∵224(7)425494090b ac ，∵原方程有两个不相等的实数根；（2）4(1)30x x -+=，24430x x -+=，∵4a =，4b =-，3c =，∵224(4)4431648320b ac =-=--⨯⨯=--=-<Δ，∵原方程没有实数根；（3）24(0.09) 2.4y y +=，20.090.6y y +=，20.60.090y y -+=，∵1a =，0.6b =-，0.09c =，∵224(0.6)410.090.360.360b ac =-=--⨯⨯=-=Δ∵原方程有两个相等的实数根．【点拨】本题考查了一元二次方程的根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系：一般地，式子24b ac -叫做一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的根的判别式，通常用希腊字母∆表示，即24b ac ∆=-，∵当240b ac ∆=->时一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 有两个不相等的实数根；∵当240b ac ∆=-=时一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 有两个相等的实数根；∵当240b ac ∆=-<时一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 无实数根．27．（1）方程有两个不相等的实数根；（2）0m =；（3）存在，0m =【分析】(1)计算24b ac ∆=-的值，若240b ac ∆=->，则方程有两个不相等的实数根，若24=0b ac ∆=-，则方程有两个相等的实数根，若240b ac ∆=-<则方程无解；(2)根据题意，将x =2代入方程2(2)0x m x m +--=中，解出m 的值即可；(3) 先解一元二次方程20x x -=的根，再将其代入方程2(2)0x m x m +--=，即可解出m 的值．解：(1) 2224(2)4()40b ac m m m ∆=-=---=+>∴方程有两个不相等的实数根；(2)将x =2代入2(2)0x m x m +--=得，42(2)0m m +--=，0m ∴=(3)解20x x -=得，120=1x x =，当10x =时，2(2)0000m m m +--=∴=当2=1x 时，2)1(210m m +--=∴此时方程无解，综上所述，存在0m =使得使方程2(2)0x m x m +--=与方程20x x -=有一个相同的根．【点拨】本题考查一元二次方程根的判别式、解一元二次方程、方程有相同解等知识，是常见考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．28．（1）m ＜2；（2）m=1．【分析】（1）利用方程有两个不相等的实数根，得∵=[2（m -1）]2-4（m 2-3）=-8m+16＞0，然后解不等式即可；（2）先利用m 的范围得到m=0或m=1，再分别求出m=0和m=1时方程的根，然后根据根的情况确定满足条件的m 的值．解：（1）∵=[2（m ﹣1）]2﹣4（m2﹣3）=﹣8m+16．∵方程有两个不相等的实数根，∵∵＞0．即﹣8m+16>0．解得 m ＜2；（2）∵m＜2，且m 为非负整数，∵m=0 或m=1，当m=0 时，原方程为x2-2x-3=0，解得x1=3，x2=﹣1(不符合题意舍去)，当m=1 时，原方程为x2﹣2=0，解得x1x2=，综上所述，m=1．【点拨】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与∵=b2-4ac有如下关系：当∵＞0时，方程有两个不相等的实数根；当∵=0时，方程有两个相等的实数根；当∵＜0时，方程无实数根．。

一元二次方程50道题一、基础形式类（1 - 10题）1. 解方程x^2+3x + 2 = 0。

这个方程就像是一个小迷宫，我们得找到让这个等式成立的x的值哦。

2. 求解方程x^2-5x + 6 = 0。

这就好比是给x找一个合适的家，让这个等式舒舒服服的。

3. 解一元二次方程x^2+x - 6 = 0。

这个方程像是一个小谜题，x是那个神秘的答案呢。

4. 求方程x^2-3x - 4 = 0的解。

感觉就像在数字的森林里找宝藏，宝藏就是x的值。

5. 解方程x^2+2x - 3 = 0。

这个方程是一个等待我们破解的小密码，密码就是x 的正确数值。

6. 求解x^2-4x + 3 = 0。

这就像是一场数字的捉迷藏，x躲在某个地方，我们要把它找出来。

7. 解一元二次方程x^2+4x + 3 = 0。

这个方程像是一个数字的小盒子，我们要打开它找到x。

8. 求方程x^2-2x - 8 = 0的解。

就像是在数字的海洋里捞针，针就是x的值。

9. 解方程x^2+5x - 14 = 0。

这个方程是一个数字的小挑战，看我们能不能征服它找到x。

10. 求解x^2-6x + 8 = 0。

这就像给x安排一个合适的位置，让这个等式完美成立。

二、含系数类（11 - 20题）11. 解2x^2+3x - 2 = 0。

这个方程里2就像是x的一个小跟班，我们要一起找到合适的x。

12. 求解3x^2-5x + 2 = 0。

3在这儿可有点小威风，不过我们可不怕，照样能找到x。

13. 解一元二次方程 - x^2+2x + 3 = 0。

这个负号就像个小捣蛋鬼，但我们能搞定它找到x。

14. 求方程4x^2-4x + 1 = 0的解。

4这个家伙让方程看起来有点复杂，不过没关系。

15. 解方程 - 2x^2-3x + 1 = 0。

这个负2就像个小乌云，我们要拨开乌云见x。

16. 求解5x^2+2x - 3 = 0。

5在这里就像个大力士，不过我们要指挥它来找到x。

一元二次方程的解法以及练习利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 这种方法把解一个一元二次方程转化为解两个一元一次方程.课时训练A组基础训练1. 已知AB=0，那么下列结论正确的是（）A. A=0B. A=B=0C. B=0D. A=0或B=02. 一元二次方程x2-2x=0的根是（）A. x1=0，x2=-2B. x1=1，x2=2C. x1=1，x2=-2D. x1=0，x2=23. 方程（x-2）（x+3）=-6的两根分别为（）A. x=2B. x=-3C. x1=2，x2=－3D. x1=0，x2=-14. 方程x-2=x（x-2）的解是（D ）A. x=0B. x1=0，x2=2C. x=2 D . x1=1，x2=25. 已知等腰三角形的三边满足方程（x-3）（x-6）=0，则它的周长为（）A. 9B. 18C. 9或18D. 9或15或186. 若关于x的方程x2+2x+k=0的一个根是0，则另一个根是 .7. 请写出一个两根分别是1，-2的一元二次方程 .8. 解方程：（1）x2-6x=0；（2）4y2-16=0；（3）9（x+1）2-16（x-2）2=0；（4）3（4x2-9）=2（2x-3）；（5）2x2-4x+4=0.29. 文文给明明出了一道解一元二次方程的题目如下：解方程（x-1）2=2（x-1）. 明明的求解过程为：解：方程两边同除以x-1，得x-1=2第1步移项，得x=3第2步∴方程的解是x1=x2=3第3步文文说：你的求解过程的第1步就错了…（1）文文的说法对吗？请说明理由；（2）你会如何解这个方程？给出过程.10. 在实数范围内定义一种新运算“※”，其规则为a ※b=（a-1）2-b 2. 根据这个规则，求方程（x+3）※5=0的解.11. 若n （n ≠0）是关于x 的方程x 2+mx-9n=0的根，求的值.B 组 自主提高12. 已知方程x 2+px+q=0的两根分别为3或－4，则x 2＋px+q 可分解为 .13. 已知△ABC 的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x 2-7x+10=0的根，求△ABC 的周长.14. 阅读下列材料：对于关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0），如果a+b+c=0，那么它的两个根分别为x 1=1，x 2=. 证明：∵a+b+c=0，∴c=-a-b. 将c=-a-b 代入ax 2+bx+c=0，得ax 2+bx-a-b=0，即a （x 2-1）+b （x-1）=0，∴（x-1）（ax+a+b ）=0，∴x 1=1，x 2=. （1）请利用上述结论，快速求解下列方程：①5x 2-4x-1=0，x 1= ，x 2= ；②5x 2+4x-9=0，x 1= ，x 2= . n m ac ac（2）请写出两个一元二次方程，使它们都有一个根是1.参考答案2.2 一元二次方程的解法（第1课时）【课时训练】1—5. DDDDD6. -27. 答案不唯一. 如：（x-1）（x+2）=08. （1）x 1=0，x 2=6 （2）y 1=2，y 2=-2 （3）x 1=，x 2=11 （4）x 1=，x 2=- （5）x 1=x 2=9. （（1）文文的说法正确.只有当x-1≠0时，方程两边才能同除以x-1；（2）移项得（x-1）2-2（x-1）=0，（x-1）（x-1-2）=0，解得：x 1=1，x 2=3.10. x 1=3，x 2=-711. 把x=n 代入得n 2+mn-9n=0，n （n+m-9）=0，∵n ≠0，∴n+m-9=0，∴m+n=9，∴=3.12. （x-3）（x+4）13. 7 将方程x 2-7x+10=0的左边因式分解，得（x-2）（x-5）=0，故x 1=2，x 2=5. 因为2+3=5，则第三边长为5不合题意，应舍去，所以只取第三边的长为2，此时，△ABC 的周长为2+2+3=7.一．14. （1）①1 - ②1 - （2）答案不唯一. 如：3x 2-2x-1=0和-2x 2-3x+5=0二． 填空选择题（每小题6分，36分）7523672n m 51591. 下列各方程中，是一元二次方程的是（ ）A. B.C. D.A. B.C.5)2)(3+=-+x x x （D.02-x 573x 32=+3.一元二次方程 的一次项系数（ ）A.4B.-4C.4xD.-4x4.关于 的一元二次方程 的一个根是 ，则 的值是（ ）A.-1B.1C.1或-1D.-1或0 5．若关于的一元二次方程为（）的解是，则的值是（ ）。