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用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程示例文章篇一：《用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程》嗨，小伙伴们！今天咱们来一起研究一个超级有趣的数学问题——用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程。
这就像是一场奇妙的数学冒险呢！我先给大家举个例子吧，比如说方程2x² - 5x + 3 = 0。
这可不像我们之前学的那些简单的方程哦。
那怎么来解这个方程呢？我们第一步要做的，就像是给这个方程来个“大变身”。
我们先把二次项系数2提出来，方程就变成了2(x² - 5/2x) + 3 = 0。
这时候呀，括号里的式子就像是一个小宝贝，我们要把它打扮得漂漂亮亮的。
我们要在括号里加上一个数，又要减去这个数，这样方程才不会变哦。
这个数怎么找呢？对于x² - 5/2x来说，我们看一次项系数- 5/2，把它除以2再平方，那就是(- 5/2÷2)²=( - 5/4)² = 25/16。
这时候方程就变成了2(x² - 5/2x + 25/16 - 25/16)+3 = 0。
这就好比我们给小宝贝穿上了一件漂亮的衣服，又脱了一点东西，但是整体还是一样的。
我们把括号里的式子变形一下，变成2[(x - 5/4)² - 25/16]+3 = 0。
然后展开括号，就是2(x - 5/4)² - 25/8+3 = 0。
接着计算，2(x - 5/4)² - 25/8+24/8 = 0，也就是2(x - 5/4)² - 1/8 = 0。
这时候我们把- 1/8移到等号右边，得到2(x - 5/4)² = 1/8。
再两边同时除以2，(x - 5/4)² = 1/16。
最后求x，x - 5/4 = ±1/4。
如果x - 5/4 = 1/4，那x = 6/4 = 3/2；如果x - 5/4 = - 1/4，那x = 4/4 = 1。
第3课时 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程01 基础题知识点 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程1．用配方法解方程2x 2－4x ＝3时，先把二次项系数化为1，然后方程的两边都应加上(A)A ．1B ．2C ．3D ．52．将方程3x 2－12x －1＝0进行配方，配方正确的是(D)A ．3(x －2)2＝5B ．(3x －2)2＝13C ．(x －2)2＝5D ．(x －2)2＝1333．用配方法解方程2x 2－3＝－6x ，正确的解法是(A)A ．(x ＋32)2＝154，x ＝－32±152B ．(x －32)2＝154，x ＝32±152C ．(x ＋32)2＝－154，原方程无解D ．(x ＋32)2＝74，x ＝－32±724．用配方法解下列方程：(1)2x 2－8x ＋1＝0；解：x 1＝4＋142，x 2＝4－142.(2)2x 2－7x ＋6＝0；解：x 1＝2，x 2＝32.(3)3x 2＋8x －3＝0；解：x 1＝13，x 2＝－3.(4)2x 2＋1＝3x ；解：x 1＝1，x 2＝12.(5)3x 2－2x －4＝0；解：x 1＝1＋133，x 2＝1－133.(6)6x ＋9＝2x 2.解：x 1＝3＋332，x 2＝3－332.5．数学活动课上，李老师出了这样一道题：用配方法解方程1－6x ＝3x 2.小红同学的解答过程：解：移项，得3x 2＋6x ＝1.化二次项系数为1，得x 2＋2x ＝1.配方，得x 2＋2x ＋12＝1＋12.即(x ＋1)2＝2.所以x ＋1＝±2.所以x 1＝－1＋2，x 2＝－1－ 2.请判断小红的解答过程是否有错，若有错，说明错因，并帮小红改正过来．解：有错，在化二次项系数为1时，方程中各项都要除以3，错解中方程右边的1漏除以3. 正确解法为：移项，得3x 2＋6x ＝1.化二次项系数为1，得x 2＋2x ＝13.配方，得x 2＋2x ＋12＝13＋12，即(x ＋1)2＝43.所以x ＋1＝±233.所以x 1＝－1＋233，x 2＝－1－233.02 中档题6．用配方法解下列方程时，配方有错误的是(C)A ．2m 2＋m －1＝0化为(m ＋14)2＝916B ．2x 2＋1＝3x 化为(x －34)2＝116C ．2t 2－3t －2＝0化为(t －32)2＝2516D ．3y 2－4y ＋1＝0化为(y －23)2＝197．方程(2x －5)(x ＋2)＝3x －5的根为(C)A.－2±142 B ．0或－1C.2±142 D ．以上均不对8．把方程2x 2＋4x －1＝0配方后得(x ＋m)2＝k ，则m ＝1，k ＝32．9．已知y 1＝4x 2＋5x ＋1，y 2＝2x 2－x ，则当x ＝－3±72时，y 1＝y 2.10．用配方法解下列方程：(1)2t 2－6t ＋3＝0； 解：t 1＝3＋32，t 2＝3－32.(2)23x 2＋13x －2＝0；解：x 1＝32，x 2＝－2.(3)2y 2－4y ＝4；解：y 1＝1＋3，y 2＝1－ 3.(4)(太原中考)(2x －1)2＝x(3x ＋2)－7.解：x 1＝2，x 2＝4.11．当k 为何值时，方程kxk 2－7－3kx ＋2＝3xk 2－7－kx －k 是关于x 的一元二次方程，并用配方法解此方程．解：依题意有k 2－7＝2且k ≠3，解得k ＝－3.当k ＝－3时，原方程为－6x 2＋6x －1＝0，解得x 1＝3＋36，x 2＝3－36.12．若一个三角形的两边长分别为2和3，第三边长是方程2x 2－3x －5＝0的一个根，求这个三角形的周长．解：解方程2x 2－3x －5＝0，得x ＝52或x ＝－1(不合题意，舍去)． 故这个三角形的周长为2＋3＋52＝152.03 综合题13．用配方法说明：不论x 取何值，代数式3x 2＋3x 的值总比代数式x 2＋7x －4的值大，并求出当x 为何值时，两代数式的差最小．解：(3x 2＋3x)－(x 2＋7x －4)＝2x 2－4x ＋4＝2(x －1)2＋2>0，∴不论x取何值，代数式3x2＋3x的值总比代数式x2＋7x－4的值大．∵2(x－1)2≥0，∴当x＝1时，2(x－1)2取最小值为0，即2(x－1)2＋2的最小值为2.∴当x＝1时，两代数式的差最小．。
一元二次方程的解法配方法第3课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程教学目标1、理解用配方法解一元二次方程的根本步骤。
2、会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。
3、进一步体会化归的思想方法。
重点难点重点：会用配方法解一元二次方程．难点：使一元二次方程中含未知数的项在一个完全平方式里。
教学过程〔一〕复习引入1、用配方法解方程x2+x-1=0，学生练习后再完成课本P．13的“做一做〞．2、用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的根本步骤是什么?〔二〕创设情境现在我们已经会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，而对于二次项系数不为1的一元二次方程能不能用配方法解?怎样解这类方程：2x2-4x-6=0〔三〕探究新知让学生议一议解方程2x2-4x-6=0的方法，然后总结得出：对于二次项系数不为1的一元二次方程，可将方程两边同除以二次项的系数，把二次项系数化为1，然后按上一节课所学的方法来解。
让学生进一步体会化归的思想。
〔四〕讲解例题1、展示课本P．14例8，按课本方式讲解。
2、引导学生完成课本P．14例9的填空。
3、归纳用配方法解一元二次方程的根本步骤：首先将方程化为二次项系数是1的一般形式；其次加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里；最后将配方后的一元二次方程用因式分解法或直接开平方法来解。
〔五〕应用新知课本P．15，练习。
〔六〕课堂小结1、用配方法解一元二次方程的根本步骤是什么?2、配方法是一种重要的数学方法，它的重要性不仅仅表现在一元二次方程的解法中，在今后学习二次函数，高中学习二次曲线时都要经常用到。
3、配方法是解一元二次方程的通法，但是由于配方的过程要进行较繁琐的运算，在解一元二次方程时，实际运用较少。
4、按图1—l的框图小结前面所学解一元二次方程的算法。
〔七〕思考与拓展不解方程，只通过配方判定以下方程解的情况。
(1) 4x2+4x+1=0； (2) x2-2x-5=0；(3) –x2+2x-5=0；[解] 把各方程分别配方得(1) (x+ )2=0；(2) (x-1)2=6；(3) (x-1)2=-4由此可得方程(1)有两个相等的实数根，方程(2)有两个不相等的实数根，方程(3)没有实数根。
2.2.1第3课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程2.2.1 配方法第3课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程知识点1二次项系数不为1的一元二次方程的配方1．用配方法解方程2x2－4x－3＝0时，先把二次项系数化为1，然后在方程的两边都加上()A．1B．2C．3D．42．将方程2x2－4x＋1＝0化成(x＋m)2＝n 的形式是()A．(x－1)2＝12B．(2x－1)2＝12C．(x－1)2＝0 D．(x－2)2＝3知识点2运用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程3．下面是用配方法解方程2x2－x－6＝0的步骤，其中，开始出现错误的一步是() 2x2－x＝6，①x2－12x＝3，②7．用配方法解下列方程时，配方错误的是( )A. x 2－2x －99＝0化为(x －1)2＝100B. x 2＋8x ＋9＝0化为(x ＋4)2＝25C. 2t 2－7t －4＝0化为⎝⎛⎭⎪⎪⎫t －742＝8116D. 3y 2－4y －2＝0化为⎝⎛⎭⎪⎪⎫y －232＝1098．慧慧将方程2x 2＋4x －7＝0通过配方转化为(x ＋n )2＝p 的形式，则p 的值为( )A ．7B ．8C ．3.5D ．4.59．用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时加上9的方程是( )A ．3x 2－3x ＝8B ．x 2＋6x ＝－3C ．2x 2－6x ＝10D ．2x 2＋3x ＝3 10．用配方法解下列方程： (1)－23y 2＋13y ＋2＝0；11．已知A＝2x2－3x－10，当x为何值时，A＝4？当x为何值时，A＝－5?12．数学活动课上，汤老师出了这样一道题：用配方法解方程：3x2－6x－1＝0.小红的解答过程如下：解：化二次项系数为1，得x2－2x－1＝0，移项，得x2－2x＝1，配方，得x2－2x＋12＝1＋12，即(x－1)2＝2，所以x－1＝±2，所以x1＝1＋2，x2＝1－ 2.请判断小红的解答过程是否有错．若有错，说明错因，并帮小红改正过来．13．用配方法说明：不论x为何值，代数式2x2＋5x－1的值总比代数式x2＋7x－4的值大，并求出当x为何值时，两代数式的值的差最小．14．大家知道在用配方法解一般形式的一元二次方程时，都先要把二次项系数化为1，再进行配方．现请你先阅读如下方程的解答过程．解方程：2x2－2 2x－3＝0.解：2x2－2 2x＝3，(2x)2－2 2x＋1＝3＋1，(2x －1)2＝4， 2x －1＝±2， x 1＝－22，x 2＝3 22.请你按照上面的解法解方程5x 2－215x ＝2. 1．A2．A [解析] ∵2x 2－4x ＋1＝0，∴2x 2－4x ＝－1，∴x 2－2x ＝－12，∴x 2－2x ＋1＝－12＋1，∴(x －1)2＝12.3．C [解析] 移项，得2x 2－x ＝6.二次项系数化为1，得x 2－12x ＝3.配方，得x 2－12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫142＝3＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫142，即⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －142＝3116.观察上面的步骤可知，开始出现错误的一步是③.故选C.4．C5．x 2－43x ＋13＝0 23 23 23 19 1 136．解：(1)移项，得2x 2－8x ＋1＝0，将二次项系数化为1，得x 2－4x ＋12＝0.配方，得x 2－4x ＋4－4＋12＝0，(x －2)2－72＝0.根据平方根的意义，得x －2＝±142，∴x 1＝142＋2，x 2＝－142＋2.(2)将二次项系数化为1，得x 2＋83x －1＝0.配方，得x 2＋83x ＋(43)2－(43)2－1＝0，(x ＋43)2＝259.根据平方根的意义，得x ＋43＝±53，∴x 1＝13，x 2＝－3.(3)将二次项系数化为1，得x 2－34x －14＝0.配方，得x 2－34x ＋(38)2－(38)2－14＝0，(x －38)2＝2564.根据平方根的意义，得x －38＝±58，∴x 1＝－14，x 2＝1.(4)移项，得2x 2－6x －9＝0.将二次项系数化为1，得x 2－3x －92＝0.配方，得x 2－3x ＋(32)2－(32)2－92＝0，(x －32)2＝274.根据平方根的意义，得x －32＝±3 32，∴x 1＝3＋3 32，x 2＝3－3 32.(5)原方程可化为x 2－2x －35＝0.配方，得x 2－2x ＋1－1－35＝0，(x －1)2＝36.根据平方根的意义，得x －1＝±6，∴x 1＝－5，x 2＝7.7．B8．D [解析] ∵2x 2＋4x －7＝0， ∴2x 2＋4x ＝7，∴x 2＋2x ＝72，则x 2＋2x ＋1＝72＋1，∴(x ＋1)2＝92，则p ＝92＝4.5.故选D.9．B [解析] 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程时，应在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，故把方程x 2＋6x ＝－3配方时，方程两边应同时加上⎝⎛⎭⎪⎪⎫622，即加上9.故选B.10．解：(1)y 2－y2－3＝0，y 2－y 2＋(14)2－(14)2－3＝0，(y －14)2＝4916，y －14＝±74，∴y 1＝2，y 2＝－32.(2)x2＋22x－15＝0，x2＋22x＋(24)2－(24)2－15＝0，(x＋24)2＝24216，x＋24＝±11 24，∴x1＝5 22，x2＝－3 2.11．解：当A＝4时，即2x2－3x－10＝4，解得x1＝72，x2＝－2.∴当x＝72或x＝－2时，A＝4.当A＝－5时，即2x2－3x－10＝－5，解得x1＝－1，x2＝5 2，∴当x＝－1或x＝52时，A＝－5.12．解：有错．在化二次项系数为1时，常数项－1漏除以3.正解：化二次项系数为1，得x2－2x－13＝0，移项，得x 2－2x ＝13， 配方，得x 2－2x ＋(－1)2＝13＋(－1)2， 即(x －1)2＝43，所以x －1＝±2 33， 所以x 1＝1＋2 33，x 2＝1－2 33. 13． [解析] 利用求差法，即“a －b ＞0，则a ＞b ；a －b ＝0，则a ＝b ；a －b ＜0，则a ＜b ”比较大小．解：(2x 2＋5x －1)－(x 2＋7x －4)＝2x 2＋5x －1－x 2－7x ＋4＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2.不论x 为何值，(x －1)2≥0，则(x －1)2＋2＞0，因此代数式2x 2＋5x －1的值总比代数式x 2＋7x －4的值大．当x ＝1时，两代数式的值的差最小．14．5x 2－215x ＝2，(5x )2－215x ＋(3)2＝2＋(3)2， (5x －3)2＝5，5x －3＝±5，155，x2＝－1＋15 5.x1＝1＋。
