安徽省怀宁县高河中学2015-2016学年高二数学上学期期末考试试题 理

高二理科数学第页共8页12015—2016学年度第一学期高二年级期末统一考试理科数学试题（必修3、选修2-1）本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（必考题和选考题两部分）.考生作答时，将第Ⅰ卷的选择题答案填涂在答题卷的答题卡上（答题注意事项见答题卡），将第Ⅱ卷的必考题答在答题卷上.考试结束后，将答题卷交回.第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列命题中，真命题是A．B． x ∈R,2x >x 20,0x x R e∃∈≤C．a ＋b ＝0的充要条件是＝－1D．a >1，b >1是ab >1的充分条件ab2.已知命题,则命题的否定是2:,210P x R x ∀∈+>P A. B.012,2≤+∈∀x R x 012,200≤+∈∃x R x C. D.012,2<+∈∀x R x 012,200<+∈∃x R x 3.下列事件中:①任取三条线段，这三条线段恰好组成直角三角形；②从一个三角形的三个顶点各任画一条射线，这三条射线交于一点；③实数a ,b 不都为0，但a 2＋b 2=0；④明年12月28日的最高气温高于今年12月10日的最高气温.其中为随机事件的是A．①②③④B．①②④C．①③④D．②③④4.若某公司从四位大学毕业生甲、乙、丙、丁中录用两人，这四人被录用的机会均等，则甲被录用的概率为高二理科数学第页共8页2A．B．C．D．415．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为A．11B．12C．13D．146.气象台预报“本市明天降雨概率是70%”，下列说法正确的是A．本市明天将有70%的地区降雨B．本市明天将有70%的时间降雨C．明天出行带雨具的可能性很大D．明天出行不带雨具肯定要淋雨7.椭圆的左、右焦点分别为、,则椭圆上满足的点2212516x y +=1F 2F 21PF PF ⊥PA.有2个B.有4个C.不一定存在D.一定不存在8.某单位有老年人30人，中年人90人，青年人60人，为了调查他们的身体健康状况，采用分层抽样的方法从他们中间抽取一个容量为36的样本，则应抽取老年人的人数是A.5B.6C.7D.89．若直线：与曲线C ：恰好有一个公共点，则实数的值构成的l (1)1y a x =+-2y ax =a 集合为A.B. C. D.{}10-，4{2}5--，4{1}5--，4{10}5--，10.某学校举办了一次以班级为单位的广播操比赛，9位评委给高一(1)班打出的分数如茎叶图所示，统计员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x )无法看清，若记分员计算无误，则数字x 应该是A ．2B ．3C ．4D ．5高二理科数学第页共8页311.如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为C.D.453512．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为，且两条曲12F F 、线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆P 21F PF ∆1PF 110PF =与双曲线的离心率分别为，，则的取值范围是1e 2e 121e e +A．（1，）B．（，）C．（，）D．（，+）+∞43+∞65+∞109∞第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13.在如图的程序框图中，输入n ＝60，按程序运行后输出的结果是.高二理科数学第页共8页414.已知命题，，命题，若命:[0,3]p x ∀∈2223a x x ≥-+-2:,40q x R x x a ∃∈++=题“”是真命题，则实数的范围为.p q ∧a 15.若抛物线上的点A （2，m ）到焦点的距离为6，则p =________.)0(22>=p px y 16.一数学兴趣小组利用几何概型的相关知识做实验来计算圆周率，他们向一个边长为1米的正方形区域均匀撒豆，测得正方形区域有豆5001颗，正方形内切圆区域有豆3938颗，则他们所得的圆周率为________（保留三位有效数字）.三、解答题:本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)四棱锥P －ABCD 中，AB ⊥AD ，AD ⊥DC ，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AD ＝AB ＝21CD ＝1，M 为PB 的中点．求直线CM 与平面ABCD 所成角的正弦值．18.(本小题满分12分)已知椭圆：的离心率为，其中左焦点．C )0(12222>>=+b a by a x 22)0,2(-F （Ⅰ）求椭圆的方程；C （Ⅱ）若直线与椭圆交于不同的两点，且线段的中点在圆m x y +=C B A ,AB M 上，求的值．122=+y x m19.(本小题满分12分)如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝4，点E在C1C上，且C1E＝3EC.(Ⅰ)证明A1C⊥平面BED；的余弦值．(Ⅱ)求二面角A1－DE－B5高二理科数学第页共8页高二理科数学第页共8页620.(本小题满分12分)某区四所高中进行高二期中联考，共有5000名学生参加，为了了解数学学科的学习情况，现从中随机的抽取若干名学生在这次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表：(Ⅰ)根据上面的频率分布表，推出①，②，③，④处的数字分别为，____，____，____，____；（Ⅱ）在所给的坐标系中画出上的频率分布直方图；[80,150]（Ⅲ）根据题中的信息估计总体：①120分及以上的学生人数；②成绩在[126,150]中的概率.分组频数频率[80,90）①②[90,100）0.050[100,110）0.200[110,120）360.300[120,130）0.275[130,140）12③[140,150]0.050合计④频率/组距21.(本小题满分12分)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(Ⅰ)从袋中随机取出两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(Ⅱ)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n<m+2的概率.7高二理科数学第页共8页高二理科数学第页共8页822.(本小题满分12分)已知椭圆C ：的焦距为4，其长轴长和短轴长之比为．)0(12222>>=+b a by a x 1:3（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设F 为椭圆C 的右焦点，T 为直线上纵坐标不为0的任意一)2,(≠∈=t t t x R 点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q .（ⅰ）若OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点)，求的值；t （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，当最小时，求点T 的坐标．||||PQ TF高二理科数学第页共8页92015—2016学年度第一学期高二年级期末统一考试试题理科数学（必修3、选修2-1）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13、5；14、；15、8；16、.1[,4]33.15三、解答题:本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)四棱锥P －ABCD 中，AB ⊥AD ，AD ⊥DC ，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AD ＝AB ＝21CD ＝1，M 为PB 的中点．求直线CM 与平面ABCD 所成角的正弦值．解：以AD 、AB 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系A —xyz ．则由题意得A (0,0,0)、B (0,1,0)、D (1,0,0)、C (1,2,0)、P (0,0,1)、M .----4分11(0,,)22则=，平面ABCD 的法向量为=（0，0，1）MC 31(1,,)22-AP 若直线CM 与平面ABCD 所成角记为，q 题号123456789101112答案DBBCBCDBDAAB高二理科数学第页共8页10则sin.------------------------------10分q =18.(本小题满分12分)已知椭圆：的离心率为，其中左焦点．C )0(12222>>=+b a by a x 22)0,2(-F （Ⅰ）求椭圆的方程；C （Ⅱ）若直线与椭圆交于不同的两点，且线段的中点在圆m x y+=C B A ,AB M 上，求的值．122=+y x m 解：（Ⅰ）由题意得，，c a =2c =解得：-----------------------------4分⎩⎨⎧==222b a 所以椭圆C 的方程为：-----------------------------6分14822=+y x （Ⅱ）设点A,B 的坐标分别为，，线段AB 的中点为M ，),(11y x ),(22y x ),(00y x 由，消去y 得⎪⎩⎪⎨⎧+==+m x y y x 148220824322=-++m mx x 3232,08962<<-∴>-=∆m m 3,32200210mm x y m x x x =+=-=+=∴点M 在圆上，),(00y x 122=+y x高二理科数学第页共8页11------------12分222()()133m m m ∴-+==，即0> 19.(本小题满分12分)如图，正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝4，点E 在C 1C 上，且C 1E ＝3EC .(Ⅰ)证明A 1C ⊥平面BED ；(Ⅱ)求二面角A 1－DE －B 的余弦值．解：以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz .依题设B (2,2,0)，C (0,2,0)，E (0,2,1)，A 1(2,0,4)．＝(0,2,1)，＝(2,2,0)，DE DB＝(－2,2，－4)，＝(2,0,4)．1A C 1DA(Ⅰ)∵＝0，＝0，1A C DB × 1A C DE ×∴A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥DE .又DB ∩DE ＝D ，∴A 1C ⊥平面DBE .-------------------------------------------------------------6分(Ⅱ)设向量n ＝(x ，y ，z )是平面DA 1E 的法向量，则n ⊥，n ⊥.DE1DA高二理科数学第页共8页12∴2y ＋z ＝0,2x ＋4z ＝0.令y ＝1，则z ＝－2，x ＝4，∴n ＝(4,1，－2)．∴cos 〈n ，→A 1C 〉==∵〈n ，→A 1C 〉等于二面角A 1－DE －B 的平面角，∴二面角A 1－DE －B.---------------12分20.(本小题满分12分)某区四所高中进行高二期中联考，共有5000名学生参加，为了了解数学学科的学习情况，现从中随机的抽取若干名学生在这次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表：(Ⅰ)根据上面的频率分布表，推出①，②，③，④处的数字分别为，____，____，____，____；分组频数频率[80,90）①②[90,100）0.050[100,110）0.200[110,120）360.300[120,130）0.275[130,140）12③[140,150]0.050合计④频率/组距高二理科数学第页共8页13（Ⅱ）在所给的坐标系中画出上的频率分布直方图；[80,150]（Ⅲ）根据题中的信息估计总体：①120分及以上的学生人数；②成绩在[126,150]中的概率.解:（Ⅰ）①，②，③，④处的数字分别为3，0.025，0.100，1；------------------------------4分（Ⅱ）------------8分（Ⅲ）①（0.275+0.100+0.050）×5000=2125--------------------10分②P=0.4×0.275+0.10+0.050=0.260-----------------------12分21.(本小题满分12分)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(Ⅰ)从袋中随机取出两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(Ⅱ)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，求n <m +2的概率.解：(I)从袋子中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3和4，共6个.从袋中随机取出的球的编号之和不大于4的事件共有1和2,1和3两个.因此所求事件的概率为.----------------6分13(II)先从袋中随机取一个球，记下编号为m ，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n ，其一切可能的结果（m ,n ）有：（1,1）（1,2）,（1,3）,（1,4）,（2,1）,高二理科数学第页共8页14（2,2）,（2,3）,（2,4）,（3,1）（3,2）,（3,3）（3,4）,（4,1）（4,2），（4,3）（4,4），共16个.有满足条件n ≥m +2的事件为（1,3）（1,4）（2,4），共3个.所以满足条件n ≥m +2的事件的概率为P=,故满足条件n <m +2的事件的概率316为.--------------------------------------------12分22.(本小题满分12分)已知椭圆C ：的焦距为4，其长轴长和短轴长之比为．)0(12222>>=+b a by a x 1:3（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设F 为椭圆C 的右焦点，T 为直线上纵坐标不为0的任意一)2,(≠∈=t t t x R 点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q .（ⅰ）若OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点)，求的值；t （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，当最小时，求点T 的坐标．||||PQ TF 解：（Ⅰ）由已知可得解得⎪⎩⎪⎨⎧==-=,3,42222b a b a c 226 2.a b ＝，＝所以椭圆C 的标准方程是.----------------------------------5分12622=+y x （Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）可得，F 点的坐标是(2，0).设直线的方程为，PQ 2x my +＝将直线的方程与椭圆C 的方程联立，得PQ 222162x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x ，得，其判别式22340)2(m y my +＋－＝22(1683.)0m m ∆>＝＋＋设则1122()()P x y Q x y ，，，，12122242,33m y y y y m m --+==++于是12122(1243)x x m y y m ++＋＝＋＝高二理科数学第页共8页15设为的中点，则点的坐标为.M PQ M 32,36(22+-+m mm 因为，所以直线的斜率为，其方程为.PQ TF ⊥FT m -)2(--=x m y 当时，，所以点的坐标为，t x =()2--=t m y T ()()2,--t m t 此时直线OT 的斜率为，其方程为.()tt m 2--x t t m y )2(-=将点的坐标为代入，M )32,36(22+-+m mm 得.36)2(3222+⋅-=+-m t t m m m 解得.3=t （ⅱ）由（ⅰ）知T 为直线上任意一点可得，点T 的坐标为.3=x ),3(m -于是，1||2+=m TF 221221221221)()]([)()(||y y y y m y y x x PQ -+-=-+-=]4))[(1(212212y y y y m -++=]324)34)[(1(2222+--+-+=m m m m .]324)34)[(1(2222+--+-+=m m m m 3)1(2422++=m m 所以1)3(241)1(2431||||222222++⋅=++⋅+=m m m m m PQ TF 14)1(4)1(2411)3(2412222222+++++⋅=++⋅=m m m m m .414124122++++⋅=m m 33442241=+⋅≥当且仅当，即时，等号成立，此时取得最小值．22411m m +=+1m ±＝||||PQ TF 33故当最小时，T 点的坐标是或-----------------------12分||||PQ TF ()3,1()3,1-。

2015-2016学年度高二年级期末教学质量检测理科数学试卷一、选择题:本大题共10小题,每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．“0x >”是0>”成立的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．非充分非必要条件D ．充要条件 2．抛物线24y x =的焦点坐标是A ．(1,0)B ．(0,1)C ．1(,0)16 D ．1(0,)163．与圆8)3()3(22=-+-y x 相切，且在y x 、轴上截距相等的直线有A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条 4．设l 是直线，,αβ是两个不同的平面，则下列结论正确的是A ．若l ∥α，l ∥β，则//αβB ．若//l α，l ⊥β，则α⊥βC ．若α⊥β，l ⊥α，则l ⊥βD ．若α⊥β, //l α，则l ⊥β 5．已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≥0，则⌝p 是A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<0D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<06．设(2,1,3)a x = ，(1,2,9)b y =-，若a 与b 为共线向量，则A ．1x =，1y =B ．12x =，12y =-C ．16x =，32y =-D ．16x =-，32y =7．已知椭圆2215x y m +=的离心率5e =，则m 的值为A ．3B ．3C D ．253或38．如图,在正方体1111ABCD A BC D -中，,,M N P 分别是111,,B B B C CD 的中点，则MN 与1D P 所成角的余弦值为A． BCD ．9．如图，G 是ABC ∆的重心，,,OA a OB b OC c ===，则OG =A ．122333a b c ++B ．221333a b c ++C ．222333a b c ++D ．111333a b c ++10.下列各数中，最小的数是A ．75B ．)6(210 C ．)2(111111 D ．)9(8511．已知双曲线22214x yb-=的右焦点与抛物线y 2=12x 的焦 点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 A ． B C ．3 D ．512、在如图所示的算法流程图中，输出S 的值为 A 、 11 B 、12 C 、1 D 、15二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，满分20分13．若直线x +a y+2=0和2x+3y+1=0互相垂直，则a = 14．若一个圆锥的侧面展开图是面积为π2的半圆面，则该圆锥的体积为 。

2015-2016学年度 第一学期期末质量监测高二数学（理科）试卷一、选择题：本大题供8小题，每小题5分，供40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 直线023=+-y x 的倾斜角是A.6π B.3π C.23π D.56π 2. 直线l 过点(2,2)P -，且与直线032=-+y x 垂直，则直线l 的方程为 A. 220x y +-= B. 260x y --=C. 260x y --=D. 250x y -+=3. 一个几何体的三视图如图所示，如果该几何体的侧面面积为π12, 则该几何体的体积是A. π4B. 12πC. 16πD. 48π 4. 在空间中，下列命题正确的是 A. 如果直线m ∥平面α,直线α⊂n 内,那么m ∥n ;B. 如果平面α内的两条直线都平行于平面β，那么平面α∥平面βC. 如果平面α外的一条直线m 垂直于平面α内的两条相交直线，那么m α⊥D. 如果平面α⊥平面β，任取直线m α⊂，那么必有m β⊥5. 如果直线013=-+y ax 与直线01)21(=++-ay x a 平行.那么a 等于A. -1B.31 C. 3 D. -1或316. 方程)0(0222≠=++a y ax x 表示的圆A. 关于x 轴对称B. 关于y 轴对称C. 关于直线x y =轴对称D. 关于直线x y -=轴对称7. 如图，正方体1111ABCD A BC D -中，点E ，F 分别是1AA ，AD 的中点，则1CD 与EF 所成角为A. 0︒B. 45︒C. 60︒D. 90︒8. 如果过点M (-2,0)的直线l 与椭圆1222=+y x 有公共点,那么直线l 的斜率k 的取值范围是A.]22,(--∞ B.),22[+∞ C.]21,21[-D. ]22,22[-二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 已知双曲线的标准方程为116422=-y x ，则该双曲线的焦点坐标为，_________________渐近线方程为_________________.10. 已知向量)1,3,2(-=a，)2,,5(--=y b 且a b ⊥ ，则y =________.11. 已知点),2,(n m A -，点)24,6,5(-B 和向量(3,4,12)a =-且AB ∥a .则点A 的坐标为________.12. 直线0632=++y x 与坐标轴所围成的三角形的面积为________. 13. 抛物线x y 82-=上到焦点距离等于6的点的坐标是_________________.14. 已知点)0,2(A ，点)3,0(B ，点C 在圆122=+y x 上，当ABC ∆的面积最小时，点C 的坐标为________.三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. （本小题共13分）如图，在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，E ，F ,G 分别是AC ，AD ,BC 的中点. 求证：（I ）AB ∥平面EFG ;（II ）平面⊥EFG 平面ABC .16. （本小题共13分）已知斜率为2的直线l 被圆0241422=+++y y x 所截得的弦长为求直线l 的方程.17. （本小题共14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面⊥PAB 平面ABCD ，AB ∥CD ，AB AD ⊥，2CD AB =，E 为PA 的中点,M 在PD 上(点M 与D P ,两点不重合).（I ） 求证：PB AD ⊥；（II ）若λ=PDPM,则当λ为何值时, 平面⊥BEM 平面PAB ?（III ）在（II ）的条件下,求证：PC ∥平面BEM .18. （本小题共13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，平面PCD ⊥底面ABCD ，PD CD ⊥，PD CD =,E 为PC 的中点. （I ） 求证：AC ⊥PB ； （II ） 求二面角P --BD --E 的余弦值.19. （本小题共14分）已知斜率为1的直线l 经过抛物线22y px =(0)p >的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，4=AB .（I ） 求p 的值；（II ） 设经过点B 和抛物线对称轴平行的直线交抛物线22y px =的准线于点D ，求证：DO A ,,三点共线(O 为坐标原点).20. （本小题共13分）已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b +=>>的左焦点为F ,离心率为33，过点)1,0(M 且与x 轴平行的直线被椭圆G 截得的线段长为6. （I ） 求椭圆G 的方程；（II ）设动点P 在椭圆G 上（P 不是顶点），若直线FP 的斜率大于2,求直线OP (O 是坐标原点)的斜率的取值范围.2015-2016学年度第一学期期末质量检测高二数学（理科）试卷参考答案2016.1一、ABB C BA CD二、9.（±52,0），2y x =±10. -411. (1,-2,0)12. 313. (-4,24±)14. （13133，13132） 说明：1.第9题，答对一个空给3分。

2015-2016学年度上学期期末素质测试试卷高二数学（理科卷）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．全卷满分150分,考试时间为120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（每小题5 分，共12小题，满分60分） 1．已知a b >，c d >，那么一定正确的是（ ） （Ａ）ad bc >（Ｂ）ac bd >（Ｃ）a c b d ->- （Ｄ）a dbc ->-2.双曲线2221x y -=的渐近线方程是 （A ）0x y ±=（B ）20x y ±=（C）0x = （D）0y =3．某市有大、中、小型商店共1500家，，它们的家数之比为1：5：9，要调查商店的每日零售额情况，要求从抽取其中的30家商店进行调查，则大、中、小型商店分别抽取家数是 （A ）2，10，18 （B ）4，10，16 （C ）10，10，10 （D ）8，10，124、在如图的电路图中，“开关A 的闭合”是“灯泡B 亮”的 （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件（D ）既非充分又非必要条件5．在△ABC 中，15a =，10b =，60A =，则cos B =（A ）13 （B（C（D）36．某程序框图如图所示，执行该程序后输出的S 的值是（A ）23（B ）34 （C ） 45（D ） 567．设()n f x 是等比数列21,,,,n x x x 的各项和，则()2n f 等于（A ）21n- （B ）121n +- （C ）22n - （D ）122n +-8.△ABC 的两个顶点为A(-1,0)，B(1,0)，△ABC 周长为6，则C 点轨迹为( )（A ）22143x y +=(y ≠0) （B ） 22143y x +=(y ≠0) （C ） 22154x y += (y ≠0) （D ） 22154y x += (y ≠0) 9．设等差数列245,4,3,77的前n 和为n S ，若使得n S 最大，则n 等于（A ）7 （B ）8 （C ）6或7 （D ）7或810．若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为m 和n ，则m n -=（A ）5（B ）6（C ）7（D ）811．在△ABC 中,两直角边和斜边分别为,,a b c ,若a b cx +=,试确定实数的取值范围 （A）(（B）(（C）)（D）12．已知点A,B,C 在圆221x y +=上运动，且AB ⊥BC ，若点P 的坐标为（2，0），则PA PB PC ++的最大值为（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）92015-2016学年度上学期期末素质测试试卷高二数学（理科卷） 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（每小题5分，共4小题，满分20分）13.抛物线240x y +=的准线方程是___________．14．为了了解学生的视力情况，随机抽查了一批学生的视力，将抽查结果绘制成频率分布直方图（如图所示）．若在[5.0,5.4]内的学生人数是2，则根据图中数据可得被样本数据在[3.8,4.2)内的人数是 ．15．已知ABC ∆的一个内角为120︒，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC ∆的面积为 ___ ．16.在0a >，0b >的情况下，下面三个结论：①22ab a b a b ++≤； 2a b +≤; ③2a b + ④22b a a b a b ++≥． 其中正确的是_____________________.三、解答题（共6小题，满分70分） 17. （本题满分10分）已知函数6)(2++=ax x x f .（Ⅰ）当5=a 时，解不等式0)(<x f ；（Ⅱ）若不等式()0f x >的解集为R ，求实数a 的取值范围.18.（本题满分12分）在△ABC 中，已知2sin cos sin()B A A C =+． （Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若2BC =，△ABC AB ．19．（本题满分12分）设{}n a 是公比为q 的等比数列． （Ⅰ）推导{}n a 的前n 项和n S 公式；（Ⅱ）设1q ≠，证明数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是等比数列．20. 国家环境标准制定的空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表： 由全国重点城市环境监测网获得2月份某五天甲城市和乙城市的空气质量指数数据用茎叶图表示如下：（Ⅰ）试根据上面的统计数据，判断甲、乙两个城市的空气质量指数的方差的大小关系（只需写出结果）；（Ⅱ）试根据上面的统计数据，估计甲城市某一 天空气质量等级为2级良的概率；（Ⅲ）分别从甲城市和乙城市的统计数据中任取一个，试求这两个城市空气质量等级相同的概率．(注：])()()[(1222212x x x x x x ns n -++-+-=，其中x 为数据n x x x ,,,21 的平均数)空气质量指数 0-5051-100101-150151-200201-300300以上空气质量等级1级优2级良3级轻度污染4级中度污染5级重度污染6级严重污染21．（本题满分12分）如图，直三棱柱111C B A ABC -中，BC AC ⊥，21===CC BC AC ，M ，N 分别 为AC ，11C B 的中点．（Ⅰ）求证：MN // 平面11A ABB ；（Ⅱ）线段1CC 上是否存在点Q ，使⊥B A 1平面MNQ ？说明理由．22．（本题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点分别为12(2,0),(2,0)F F -，离心率为32F 的直线l （斜率不为0）与椭圆C 交于,A B 两点，线段AB 的中点为D ，O 为坐标原点，直线OD 交椭圆于,M N 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）当四边形12MF NF 为矩形时，求直线l 的方程．2015-2016学年度上学期期末素质测试试卷高二数学（理科卷）参考答案一、选择题：DCAB CCBA DBAB二、填空题：13、1y =；14、5；15、16、①②③④.17、解: （Ⅰ）当5=a 时，65)(2++=x x x f .由0)(<x f ,得652++x x ＜0.即 （0)3)(2<++x x ，所以 32x -<<-. ------------------5分 （Ⅱ）若不等式0)(>x f 的解集为R ，则有=∆0642<⨯-a . -----------------------8分 解得6262<<-a ，即实数a 的取值范围是)62,62(-.---------------10分18、解:（Ⅰ）解：由πA B C ++=，得sin()sin(π)sin A C B B +=-=．…………2分所以原式化为B A B sin cos sin 2=． 因为(0,π)B ∈，所以 0sin >B ， 所以 21cos =A ． ………………5分 因为(0,π)A ∈， 所以 π3A =． ………………6分 （Ⅱ）解：由余弦定理，得 222222cos BC AB AC AB AC A AB AC AB AC =+-⋅⋅=+-⋅…………8分因为 2BC =，1πsin 23AB AC ⋅⋅= 所以 228AB AC +=． ………………10分因为 4AB AC ⋅=， 所以 2AB =. ………………12分 19．解：设{}n a 的前n 项和为n S ，当1q =时，11111n n S a a q a q na -=+++=；--------------------1分 当1q ≠时，1111n n S a a q a q -=+++． ①1111n n n qS a q a q a q -=+++， ②----------------3分①-②得()()111nn q S a q -=-，所以 ()111n n a q S q-=-．----------5分所以 ()11, 1,1, 1.1n n n a qS a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩----------------------------7分（Ⅱ）证：由{}n a 是公比为q 的等比数列有10a ≠，若对任意的n N +∈，数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，则考虑数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前三项，有()()22311111111a q a q a q q ⎡⎤--⎢⎥=⋅--⎢⎥⎣⎦，--------------------9分化简得 2210q q -+=，即()210q -=，----------------10分 但1q ≠时，()210q ->，这一矛盾说明数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是等比数列．---------------------12分20．解：（Ⅰ）甲城市的空气质量指数的方差大于乙城市的空气质量指数的方差.…………2分（Ⅱ）根据上面的统计数据，可得在这五天中甲城市空气质量等级为2级良的频率为35， 则估计甲城市某一天的空气质量等级为2级良的概率为35．………………5分, （Ⅲ）设事件A ：从甲城市和乙城市的上述数据中分别任取一个，这两个城市的空气质量等级相同，由题意可知，从甲城市和乙城市的监测数据中分别任取一个，共有25个结果，分别记为：（29，43），（29，41），（29，55），（29，58）（29，78） （53，43），（53，41），（53，55），（53，58），（53，78）， （57，43），（57，41），（57，55），（57，58），（57，78）， （75，43），（75，41），（75，55），（75，58），（75，78）， （106，43），（106，41），（106，55），（106，58），（106，78）.其数据表示两城市空气质量等级相同的包括同为1级优的为甲29，乙41，乙43，同为2级良的为甲53，甲57，甲75，乙55，乙58，乙78. 则空气质量等级相同的为：（29，41），（29，43），（53，55），（53，58），（53，78）, （57，55），（57，58），（57，78），（75，55），（75，58），（75，78）.共11个结果. 则11()25P A =.所以这两个城市空气质量等级相同的概率为1125．…………12分21．（Ⅰ）证明：取AB 中点D ，连接DM ，1DB ．在△ABC 中，因为 M 为AC 中点，所以BC DM //，BC DM 21=． 在矩形11B BCC 中，因为 N 为11C B 中点，所以BC N B //1，BC N B 211=． 所以 N B DM 1//，N B DM 1=．所以 四边形N MDB 1为平行四边形，所以 1//DB MN ．……………4分 因为 ⊄MN 平面11A ABB ，⊂1DB 平面11A ABB ，所以 MN // 平面11A ABB ． ………………6分 （Ⅱ）解：线段1CC 上存在点Q ，且Q 为1CC 中点时，有⊥B A 1平面MNQ ． ………8分证明如下：连接1BC ．在正方形C C BB 11中易证 1BC QN ⊥．又⊥11C A 平面C C BB 11，所以 QN C A ⊥11，从而⊥NQ 平面11BC A ． 所以 1A B QN ⊥． ………………10分 同理可得 1A B MQ ⊥，所以⊥B A 1平面MNQ ．故线段1CC 上存在点Q ，使得⊥B A 1平面MNQ ． ………………12分 22．解：（Ⅰ）由题意可得2222,,c c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得a =b =故椭圆的方程为22162x y +=． ……… 5分 （Ⅱ）由题意可知直线l 斜率存在，设其方程为(2)y k x =-，点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)M x y ，33(,)N x y --，由221,62(2),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(13)121260k x k x k +-+-=，------------------7分 所以21221213k x x k +=+．因为121224(4)13ky y k x x k -+=+-=+，所以AB 中点22262(,)1313k kD k k -++．-----------------------------------------9分 因此直线OD 方程为30x ky +=()0k ¹．由2230,1,62x ky x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得232213y k =+，333x ky =-． 因为四边形12MF NF 为矩形，所以220F M F N ⋅=， 即3333(2,)(2,)0x y x y -⋅---=．所以223340x y --=．所以222(91)4013k k +-=+．解得k =．故直线l的方程为2)y x =-． ……… 12分。

第9题2015年秋高河中学高二第二次月考数学（理）试题时间 120分钟，满分150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．每小题只有一项是符合题目要求的）．1．怀宁县电器开关厂生产车间用传送带将产品送至下一工序，质检人员每隔半小时在传送带上取一件产品进行检验，则这种抽样方法是 ( )A ．抽签法B ．系统抽样C ．分层抽样D ．随机数表法 2.下列事件为随机事件的是( ).A ．抛一个硬币，落地后正面朝上或反面朝上B ．边长为a,b 的长方形面积为abC ．从含有10％次品的100个零件中取出2个,2个都是次品D ．平时的百分制考试中，小强的考试成绩为105分 3．新县城二号路口的红绿灯,红灯时间为30秒,黄灯时间为5秒, 绿灯时间为45秒,当你到这个路口时,看到黄灯的概率是( )A.121; B. 83; C. 65; D. .161 4．已知某赛季甲．乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图(如右图所示)，则 ( )A ．甲篮球运动员比赛得分更稳定，中位数为26B ．甲篮球运动员比赛得分更稳定，中位数为C ．乙篮球运动员比赛得分更稳定，中位数为31D ．乙篮球运动员比赛得分更稳定，中位数为36 5．一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别为 A ．57.2 3.6 B ．57.2 56.4 C.62.8 3.6 D ．62.8 63.66．二进制数101110转化为八进制数是( ). A ．45B ．56C ．67D ．767.椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右顶点分别为B A 、，左右焦点分别为21F F 、，若||||||1211B F F F AF 、、成等比数列，则此椭圆的离心率为（ ） A.41 B. 55 C. 21D. 25-8.下列命题中，真命题是（ ） A.2cos sin ,2,0000≥+⎢⎣⎡⎥⎦⎤∈∃x x x πB.12),,3(2+>+∞∈∀x x x C. 1,0200-=+∈∃x x R xD.x x R x sin tan ,≥∈∀6 7 9 4339．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密规则如图所示，例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16。

2015-2016学年度高河中学高二理科数学期末试题第I 卷（选择题）一、选择题（每小题5分，共60分） 1. 下列各数中最小的数为（ ）A. 1011(2)B. 210(3)C. 31(8)D. 12(12)2．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．163．已知132)(235++++=x x x x x f ，应用秦九韶算法计算3=x 时的值时，3v 的值为( )A ．27B ．11C ．109D ．364．要从已编号（1-60）的60枚最新研制的某型导弹中随机抽取6枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的6枚导弹的编号可能是（ ）A. 5, 10, 15, 20, 25, 30B. 3, 13, 23, 33, 43, 53C. 1, 2, 3, 4, 5, 6D. 2, 4, 8, 16, 32, 485. 样本1021,,,a a a 的平均数为，样本1021,,,b b b 的平均数为，则样本10102211,,,,,,b a b a b a 的平均数是（ ）A. b a +B.)(21b a + C. )(2b a + D. )(101b a +6．一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( )A.814πB.81481π- C.271D.2787．某中学高一有21个班、高二有14个班、高三有7个班，现采用分层抽样的方法从这些班中抽取6个班对学生进行视力检查，若从抽取的6个班中再随机抽取2个班做进一步的数据分析，则抽取的2个班均为高一的概率是（ ）A.51 B. 31 C. 53 D. 32 8．“||||y x =”是“x=y”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．命题 “0)(,>∈∀x f R x ”的否定为( )A. 0)(,00>∈∃x f R xB. 0)(,00≤∈∃x f R xC. 0)(,00≤∈∀x f R xD.0)(,00>∈∀x f R x10．已知两点F 1 (—1, 0)、F 2(1, 0)，且||21F F 是||1PF 与||2PF 的等差中项，则动点P 的轨迹方程是（ ）A ．B ．C ．D ．11．O 为平面四边形ABCD 所在平面外一点，若OC OP λ++=，则=λ（ ）A ．1B. 0C ．52 D ．5312.设OABC 是四面体,G 1是△ABC 的重心,G 是OG 1上一点,且13GG OG =若OC z OB y OA x OG ++=，则),,(z y x 为( )A. )41,41,41(B. )43,43,43(C. )31,31,31(D. )32,32,32(第II 卷（非选择题） 二、填空题（每小题5分，共20分）13．若向量)1,2,1(=a ，)1,1,1(=b ，),1,1(t c =，满足条件2)(2-=-⋅a c b ，则=t _______.14. 已知抛物线)0(22>=p py x 的焦点与椭圆13422=+y x 的顶点重合，则=p _________.15. 空间两个单位向量),,0(),0,,(a b OB b a OA ==，与)1,1,1(=OC 夹角都为3π，则=∠AOB cos ____16．给出如下四个命题：①若“或”为真命题，则、均为真命题；②命题“若且，则”的否命题为“若且，则”；③“”是“”的充要条件；④已知条件，条件，若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，则的取值范围是；其中正确的命题的是 _________ ．三、解答题（70分）17．（10分）为了更好的了解某校高三学生期中考试的数学成绩情况，从所有高三学生中抽取40名学生，将他们的数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如图所示的频率分布直方图．（1）求图中a 值。

2015-2016学年安徽省安庆一中高二上学期期末考试数学（理）试题一、选择题1．抛物线22y x =的焦点坐标是（ ）A ．1(0,)4B ．1(0,)8C ．1(,0)8D ．1(,0)4【答案】B【解析】试题分析：由题211,,24x y p =∴=所以焦点坐标为1(0,)8，故选B ． 【考点】抛物线的性质2．a ＝（1－t ，1－t ，t ），b ＝（2，t ，t ），则|b －a |的最小值是（ ）A C D ．115【答案】C【解析】试题分析：()()()1 12 1120a t t t b t t t R a b t t --∈∴----＝，，，＝，，，，＝，，，(21915555||a b t ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴-=--==-+≥C ． 【考点】平面向量的坐标运算；一元二次函数的图像与性质3．若椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为21，则双曲线12222=-by a x 的渐近线方程为（ ）A ．x y 23±= B ．y = C ．x y 21±= D ．y x =± 【答案】A【解析】试题分析：通过椭圆的离心率，得到ab 的关系式，然后求解双曲线的渐近线方程．椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为21，2222211422c a b b a a a -∴=∴=∴=，，∴双曲线12222=-by a x 的渐近线方程为2y x =±，故选A ． 【考点】双曲线的简单性质的应用；椭圆的性质4．下列命题中正确的是（ ）A ．若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题B ．“0a >，0b >”是“2b aa b+≥”的充分必要条件 C ．命题“若2320x x -+=，则1x =或2x =”的逆否命题为“若1x ≠或2x ≠，则2320x x -+≠”D ．命题:p 0R x ∃∈，使得20010x x +-<，则:p ⌝R x ∀∈，使得210x x +-≥【答案】D【解析】试题分析：由若p q ∨为真命题，则p ，q 中至少有一个为真，则p 且q 真假不确定，即可判断A ；运用充分必要条件的定义和基本不等式，即可判断B ；由原命题和逆否命题的关系，注意或的否定为且，即可判断C ；由存在性命题的否定为全称性命题，即可判断D ． 对于A ．若p q ∨为真命题，则p ，q 中至少有一个为真，则p q ∧的真假不定，则A 错误；对于B ．若00a b >>，，则2b a a b +≥=，当且仅当a=b 取得等号，反之，若2b aa b+≥， ()2222000a b a b ab ab ab ab-+-≥∴≥∴>，，，则“0a >，0b >”是“2b a a b +≥”的充分不必要条件，则B 错误；对于C ．命题“若2320x x -+=，则x=1或x=2”的逆否命题为“若1x ≠且2x ≠，则2320x x -+≠”，则C 错误；对于D ．命题p x R ∃∈：，使得210x x +-<，则p x R ⌝∀∈：，使得210x x +-≥，则D 正确．故选D ．【考点】命题的真假判断5．如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AA 1＝2，AC ＝BC ＝1，则异面直线A 1B 与AC 所成角的余弦值是（ ）．A ．5．4 C ．3 D ．6【答案】D【解析】试题分析：由11ACAC ，知11C A B ∠是异面直线1AB 与AC 所成角，由此利用余弦定理能求出异面直线1A B 与AC 所成角的余弦值． 在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，1111AC A C C A B ∴∠，是异面直线1A B 与AC 所成角，19021ACB AA AC BC ∠=︒===，，，111111651A B C B AC cos C A B ∴==∴∠=，，，∴异面直线1A B 与AC 【考点】异面直线所成角6．设F 1（－4，0），F 2（4，0）为定点，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝8，则动点M 的轨迹是（ ）．A ．椭圆B ．直线C ．圆D ．线段 【答案】D【解析】试题分析：首先确定点M 在直线上，再利用长度关系，确定点M 在线段F 1F 2上，从而得到结论．若点M 与F 1，F 2可以构成一个三角形，则|MF 1|+|MF 2|＞|F 1F 2|，∵|F 1F 2|=8，动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=8，∴点M 在线段F 1F 2上．故选D 【考点】椭圆的定义7．若直线y kx k =-交抛物线2y 4x =于A,B 两点，且线段AB 中点到y 轴的距离为3，则AB =（ ）A ．12B ．10C ．8D ．6【答案】C【解析】试题分析：根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A ，B 的中点横坐标，求出线段AB 的中点到y 轴的距离．直线y k x k =-恒过（1，0），恰好是抛物线2y 4x =的焦点坐标，设1122A x y B x y （，）（，），抛物2y 4x =的线准线1x =-，线段AB 中点到y 轴的距离为3， 1212628x x AB AF BF x x +=∴=+=++=，，故选：C ． 【考点】直线与圆锥曲线的位置关系8．已知双曲线C ：22145x y -=的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为C 的右支上一点，且|PF 2|＝|F 1F 2|，则12PF PF ⋅等于（ ）A ．24B ．48C ．50D ．56 【答案】C【解析】试题分析：设点P 的坐标为（m ，n ），其中m>2，根据点P 在双曲线上且|PF 2|=|F 1F 2|，建立关于m 、n 的方程组，解之得m 、n 的值，从而得到向量12PF PF 、，的坐标，利用向量数量积的坐标公式，可算出12PF PF ⋅．根据双曲线方程22145x y -=得22453a b c ====，，，所以双曲线的焦点分别为123030F F -（，）、（，），设点P 的坐标为（m ，n ），其中m>2， ∵点P 在双曲线上，且|PF 2|=|F 1F 2|，221164536m n m n ⎧-=⎪∴∴===，， 1233PF m n PF m n =---=--（，），（，），221225339959062759PF PF m m n n m n ∴=---+--=--=⋅+=+（）（）（）（）．【考点】双曲线的简单性质9．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的焦点分别为F 1、F 2，b ＝4，离心率为35．过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，则2ABF ∆的周长为（ ）A ．10B ．12C ．16D ．20【答案】【解析】试题分析：先根据条件求出椭圆的标准方程中a 的值，再由△ABF 2的周长是1212|||2|2AF AF BF BF a a +++=+（）（）求出结果．椭圆()222210x y a b a b +=>>的焦点分别为12,4,F F b =，离心率355e a =∴=，，∵2ABF ∆的周长是1212|||2240|2AF AF BF BF a a a +++=+==（）（），故选D 【考点】椭圆的定义、标准方程10．已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧棱长与底面边长相等，则AB 1与侧面ACC 1A 1所成角的正弦等于（ ）． A．2 D【答案】A【解析】试题分析：根据正三棱柱及线面角的定义知，取A 1C 1的中点D 1，∠B 1AD 1是所求的角，再由已知求出正弦值．取A 1C 1的中点D 1，连接B 1D 1，AD 1，在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，B 1D 1⊥面ACC 1A 1，则∠B 1AD 1是AB 1与侧面ACC 1A 1所成的角，∵正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧棱长与底面边长相等，114sin B AD∴∠，故选A．【考点】空间中的线面位置关系11．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F，0），直线y＝x－1与其相交于M，N 两点，MN中点的横坐标为-23，则此双曲线的方程是（）A．22134x y-= B．22125x y-= C．22152x y-= D．22143x y-=【答案】B【解析】试题分析：先根据题意设出双曲线的方程，然后与直线方程联立方程组，消元得二元一次方程，根据韦达定理及MN中点的横坐标建立a、b的一个方程，又双曲线中有c2=a2+b2，则另得a、b的一个方程，最后解a、b的方程组即得双曲线方程．设双曲线方程为22221x ya b-=将y＝x－1代入22221x ya b-=整理得222222220b a x a x a a b-+--=（）．由韦达定理得2222222121222222272523x xa ax x c a b a ba b a b++=∴==-=+=∴== --，．，，，所以双曲线的方程是22125x y-=，故选B．【考点】双曲线的标准方程【易错点睛】1．应用双曲线的定义需注意的问题在双曲线的定义中要注意双曲线上的点（动点）具备的几何条件，即“到两定点（焦点）的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用．2．求双曲线方程时一是标准形式判断；二是注意a，b，c的关系易错易混．12．抛物线22(0)y px p=>的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线上的两个动点，且满足23AFBπ∠=，设线段AB的中点M在l上的投影为N，则||||MNAB的最大值是（）ACD【答案】C【解析】试题分析：设|AF|=a、|BF|=b，由抛物线定义结合梯形的中位线定理，得2|MN|=a+b．再由余弦定理得222AB a b ab=++，结合基本不等式求得|AB|的范围，从而可得||||MNAB的最大值．设AF a BF b A B ==，，、在准线上的射影点分别为Q P 、，连接AQ BQ 、， 由抛物线定义，得|AF|=|AQ|且|BF|=|BP|，在梯形ABPQ 中根据中位线定理， 得2MN AQ BP a b =+=+． 由余弦定理得2222222223AB a b abcosa b ab AB a b ab π=+-=++∴=+-，（），2222232242a b a b ab a b ab a b a b AB a b ++≤∴+-≥+-=+∴≥+（），（）（）（）（）,（）．3a b MN MN +∴≤=，故选C【考点】抛物线的简单性质【方法点睛】与抛物线有关的最值问题的解题策略 该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关．实现由点到点的距离与点到直线的距离的相互转化．（1）将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．二、填空题13．已知命题2:,210p x R ax ax ∃∈++≤．若命题p ⌝是真命题，则实数a 的取值范围是 ．【答案】[0，4]【解析】试题分析：根据已知条件容易判断出一元二次不等式20x ax a ++<无解，从而得到判别式240a a ∆=-≤，解该不等式即得实数a 的取值范围．p ⌝是真命题,∴p 是假命题；∴不等式20x ax a ++<无解；24004a a a ∴∆=-≤≤≤，；∴实数a 的取值范围是[0，4]．【考点】复合命题的真假判断14．已知(2,1,2)a =-，(1,3,3)b =--，(13,6,)c λ=，若向量,,a b c 共面，则λ= ．【答案】3【解析】试题分析：根据所给的三个向量的坐标，写出三个向量共面的条件，点的关于要求的两个方程组，解方程组即可．因为(2,1,2)a =-，(1,3,3)b =--，(13,6,)c λ=，所以212133136x b y c a x y λ∴+∴-=--+=，（，，）（，，）（，，），13236,1332x y x y x y λλ-+=+=--+=⎧⎪∴∴⎨⎪⎩＝【考点】共线向量与共面向量15．设12,F F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，P 是C 的右支上的点，射线PT 平分12F PF ∠,过原点O 作PT 的平行线交1PF 于点M ,若121||||3MP F F =,则C 的离心率为 ．【答案】32【解析】试题分析：运用极限法，设双曲线的右顶点为A ，考察特殊情形，当点P →A 时，射线PT →直线x=a ，此时PM →AO ，即|PM|→a ，结合离心率公式即可计算得到． 设双曲线的右顶点为A ，考察特殊情形，当点P →A 时，射线PT →直线x=a ，此时PM →AO ，即|PM|→a ，特别地，当P 与A 重合时，|PM|=a ．1212233332c c MP F F a e ==∴=∴=，，．【考点】双曲线的简单性质【名师点睛】双曲线的渐近线与离心率问题是每年各地高考命题的热点．归纳起来常见的命题角度有：（1）已知离心率求渐近线方程；（2）已知渐近线求离心率；（3）由离心率或渐近线确定双曲线方程；（4）利用渐近线与已知直线位置关系求离心率范围． 16．已知ABCD-A 1B 1C 1D 1为正方体，①（1A A ＋11A D ＋11A B ）2＝311A B 2；②1AC ·（11A B －1A A ）＝0；③向量1AD 与向量1A B 的夹角是60°；④正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的体积为|AB ·1A A ·AD |．其中正确命题的序号是________． 【答案】①②【解析】试题分析：本题考查的是用向量的知识和方法研究正方体中的线线位置关系及夹角与体积．用到向量的加法、减法、夹角及向量的数量积，研究了正方体中的线线平行、垂直，异面直线的夹角及正方体的对角线的计算、体积的计算．①向量的加法得到：222211111111111133()()A A A D A B AC AC A B AC A B ++=∴，＝，＝，所以①正确； ②111111110A B A A AB AB AC AC AB -⊥=∴=⋅，，，故②正确；③∵△ACD 1是等边三角形，∴∠AD 1C ＝60°，又A 1B ∥D 1C ，∴异面直线AD 1与A 1B 所成的夹角为60°，但是向量1AD 与向量1A B 的夹角是120°，故③不正确； 111||00AB AA AB AA AB AA AD ⊥∴∴⋅=⋅⋅=④，，，因此④不正确． 故答案为①②．【考点】命题的真假判断与应用；平面向量数量积的性质及其运算律．【名师点睛】平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为选择题、填空题，难度适中，属中档题．归纳起来常见的命题角度有：（1）平面向量的模；（2）平面向量的夹角；（3）平面向量的垂直．三、解答题17．已知命题p ：实数m 满足227120m am a -+<(0)a >，命题q ：实数m 满足方程22112x y m m+=--表示焦点在y 轴上的椭圆，若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，求a 的取值范围．【答案】1338a ≤≤【解析】试题分析：根据命题p 、q 分别求出m 的范围，再根据非q 是非p 的充分不必要条件列出关于m 的不等式组，解不等式组即可试题解析：由227120(0)m am a a -+<>，则34a m a <<，即命题:34p a m a << 由22112x y m m +=--表示焦点在y 轴上椭圆可得：210m m ->->， ∴312m <<，即命题3:12q m <<由q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，则p 是q 的充分不必要条件，从而有：31342a a ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩∴1338a ≤≤ 【考点】充要条件【方法点睛】根据命题真假求参数的方法步骤（1）先根据题目条件，推出每一个命题的真假（有时不一定只有一种情况）； （2）然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围； （3）最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．18且过点2,0D （）．（1）求该椭圆的标准方程；（2）设点），（211A ，若P 是椭圆上的动点，求线段PA 的中点M 的轨迹方程． 【答案】（1）2214x y +=；（2）14142122=-+-）（）（y x 【解析】试题分析：（1）由题椭圆的半长轴2=a ，半焦距3=c ，则半短轴1=b ，结合椭圆的焦点在x 轴上, 得到椭圆的标准方程；（2）（2）设点00,P x y （），线段PA 的中点为M （x ，y ），根据中点坐标公式将x 0、y 0表示成关于x 、y 的式子，将P （x 0，y 0）关于x 、y 的坐标形式代入已知椭圆的方程，化简整理即可得到线段PA 的中点M 的轨迹方程．试题解析：（1）由已知得椭圆的半长轴2=a ，半焦距3=c ，则半短轴1=b ． 又椭圆的焦点在x 轴上, ∴椭圆的标准方程为1422=+y x ． （2）设线段PA 的中点为）（y ,x M ,点P 的坐标是）（00y ,x ，由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=2212100y y x x ，得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=2121200y y x x ，由点P 在椭圆上,得121241222=-+-）（）（y x , ∴线段PA 中点M 的轨迹方程是14142122=-+-）（）（y x ．【考点】轨迹方程；椭圆的标准方程19．在边长是2的正方体ABCD -1111A B C D 中，,E F 分别为1,AB A C 的中点．应用空间向量方法求解下列问题．（1）求EF 的长；C D 1（2）证明：//EF 平面11AA D D ； （3）证明:EF ⊥平面1A CD ．【答案】（1；（2）见解析；（3）见解析【解析】试题分析：（1）建立适当的空间直角坐标系，求出向量EF 的坐标表示，代入长度公式求解；（2）求出1AD 的坐标表示，关键坐标关系判断1EF AD ，再利用线面平行的判定定理证明；（3）利用100CD EF EF A D ⋅⋅==，，可证直线EF 垂直于CD 、A 1D ，再利用线面垂直的判定定理证明． 试题解析：（1）如图建立空间直角坐标系11(2,0,2),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,0,2)A A B C D =====(2,1,0),(1,1,1)E F ==(1,0,1),||EF EF =-=（2）11(2,0,2)AD AD EF =-∴，而11ADD A EF ⊄面//EF ∴平面11AA D D（3）11EF CD 0,EF A D=0EF CD,EF A D ⋅=⋅∴⊥⊥ 又1CD A D=D ⋂EF ∴⊥平面1A CD ．【考点】向量方法证明线、面的位置关系定理；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．20．在直角坐标系xOy 中，设动点P 到定点)0,1(F 的距离与到定直线1:-=x l 的距离相等，记P 的轨迹为Γ,又直线AB 的一个方向向量(1,2)d =且过点)0,1(，AB 与Γ交于B A 、两点，求||AB 的长．zy【答案】5【解析】试题分析：根据抛物线的定义得动点P 的轨迹Γ是抛物线，求出其方程为x y 42=．由直线方程的点斜式，算出直线AB 的方程为22-=x y ，再将直线方程与抛物线方程联解，并结合抛物线的定义加以计算，可得线段AB 的长．试题解析：由抛物线的定义知，动点P 的轨迹Γ是抛物线，方程x y 42=． 直线AB 的方程为211yx =-，即22-=x y ． 设),(11y x A 、),(22y x B ，22-=x y 代入x y 42=， 整理，得0132=+-x x ． 所以52||21=++=x x AB ．【考点】抛物线的标准方程；两点间的距离公式21．如图，平面ABEF ⊥平面ABC ，四边形ABEF 为矩形，AB=BC ．O 为AB 的中点，OF ⊥EC ．（1）求证：OF ⊥FC ；（2）若AC AB =F-CE-B 的余弦值． 【答案】（1）见解析；（2）1-3【解析】试题分析：（1）连结OC ，则OC ⊥AB ，从而得到OC ⊥OF ，进而得到OF ⊥OE ，由此能证明OE ⊥FC ．（2）由（1）得AB=2AF ．不妨设AF=1，AB=2，取EF 的中点为O ，建立坐标系，求出平面FCE 的法向量、平面CEB 的法向量，利用向量的夹角公式，求二面角F-CE-B 的余弦值为即可 试题解析：（1）证明：连结OC ，因AC=BC ，O 是AB 的中点，故OC AB ⊥．又因平面ABC ⊥平面ABEF ，故OC ⊥平面ABEF ，于是OC OF ⊥．又O F EC ⊥，所以OF ⊥平面OEC ，所以OF OE ⊥，又因OC OE ⊥，故OE ⊥平面OFC ，所以OE FC ⊥． （2）由（1），得2AB AF =，不妨设1AF =，2AB =，取EF 的中点D ，以O 为原点，OC ，OB ，OD 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设OC k =，则(0,1,1),(0,1,1),(0,1,0),(,0,0)F E B C k -，在的直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则(0,1,1),(0,1,1),(0,1,0),F E B C -从而(2,1,1),(0,2,0),CE EF =-=-设平面FCE 的法向量(,,)n x y z =，由00CE n EF n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得(1,0,2)n =， 同理可求得平面CEB 的法向量(1,2,0)m =， 设,n m 的夹角为θ，则1cos 3n mn m ==θ， 由于二面角F CE B --为钝二面角，则余弦值为13-【考点】与二面角有关的立体几何综合题【易错点睛】利用法向量求二面角时应注意（1）对于某些平面的法向量要注意题中隐含着，不用单独求．（2）注意判断二面角的平面角是锐角还是钝角，可结合图形进行，以防结论失误．22x 轴被曲线22:C y x b =-截得的线段长等于C 1的长半轴长．（1）求实数b 的值；（2）设C 2与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线l 与C 2相交于点A 、B ，直线MA 、MB 分别与C 1相交于点D 、E ． ①证明：0MD ME ⋅=②记MAB MDE ∆∆，的面积分别是12,,S S 若12S S λ=，求λ的取值范围． 【答案】（1）1；（2）①见解析；②⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+,6425 【解析】试题分析：（1）确定半长轴为2，利用x 轴被曲线22C y x b =-：截得的线段长等于C 1的长半轴长，可求b 的值；（2）①设直线的方程与抛物线方程联立，利用点M 的坐标为（0，-1），可得1MA MB k k =-，从而得证；②设直线的斜率为1k ，则直线的方程为11y k x =-，代入抛物线方程可得21x k x =，从而可得点A 的坐标、点B 的坐标，进而可得1S ，同理可得2S ，进而可得比值，由此可得λ的取值范围． 试题解析：（1）由题意知：半长轴为2，则有22=b ，1=∴b（2）①由题意知，直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为．由21y kx y x =⎧⎨=-⎩得210x kx --=， 设1122(,),(,)A x yB x y ，则12,x x 是上述方程的两个实根，于是1212,1x x k x x +==-，又点M 的坐标为(0,1)-，所以2221212121212121211(1)(1)()1111MA MBy y kx kx k x x k x x k k k k x x x x x x +++++++-++⋅=⋅====--故MA MB ⊥，即MD ME ⊥，故0MD ME ⋅=； ②设MA 的斜率为1k ，则MA 的方程为11y k x =-，由1211y k x y x =-⎧⎨=-⎩解得01x y =⎧⎨=-⎩或1211x k y k =⎧⎨=-⎩， 则点A 的坐标为211(,1)k k -又直线MB 的斜率为11k -，同理可得点B 的坐标为21111(,1)k k --．于是211111111||||||||.22||k S MA MB k k k +=⋅=-=由1221440y k x x y =-⎧⎨+-=⎩得2211(14)80k x k x +-=，解得01x y =⎧⎨=-⎩或12121218144114k x k k y k ⎧=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩，则点D 的坐标为2112211841(,)1414k k k k -++；又直线MB 的斜率为11k -，同理可得点E 的坐标211221184(,)44k k k k --++ 于是2112221132(1)||1||||2(14)(4)k k S MD ME k k +⋅=⋅=++ 因此⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=1744641212121k k S S ， 又由点,A B 的坐标可知，21211111111k k k k k k k -==-+，平方后代入上式，所以642564254221≥+==k S S λ， 故λ的取值范围为⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+,6425 【考点】圆锥曲线综合。

2015-2016学年安徽省安庆市怀宁县高河中学高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题1．设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．P是双曲线上一点，F1，F2分别是双曲线左右焦点，若|PF1|=9，则|PF2|=（）A．1 B．17C．1或17 D．以上答案均不对3．椭圆与双曲线﹣=1有相同的焦点，则a的值为（）A．1 B．C．2 D．34．抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离是10，则P点的坐标是（）A．（9，6）B．（6，9）C．（±6，9）D．（9，±6）5．函数y=3x﹣x2的单调增区间是（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，）C．（﹣1，1）D．（1，+∞）6．设函数f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f′（x）可能为（）A．B．C．D．7．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．1 B．3 C．7 D．158．在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于的概率是（）A．B．C．D．9．从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a，从{1，2，3}中随机选取一个数为b，则b＞a 的概率是（）A．B．C．D．10．已知双曲线9y2﹣m2x2=1（m＞0）的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则m=（）A．1 B．2 C．3 D．411．某高中共有学生900人，其中高一年级240人，高二年级260人，为做某项调查，拟采用分层抽样抽取容量为45的样本，则在高三年级抽取的人数是（）A．25 B．24 C．22 D．2012．已知椭圆x2+my2=1的离心率，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题13．已知函数f（x）=xlnx，若f′（x）=2，则x= ．14．顶点在坐标原点，对称轴是坐标轴，并且经过的抛物线方程为．15．曲线y=﹣x3+3x2在点（1，2）处的切线方程为．16．命题p：存在，q：对∀x∈R，x2+mx+1≥0，当p∨（¬q）为假命题，则实数m的取值范围是．三、计算题．（6小题，共70分）17．从装有编号分别为a，b的2个黄球和编号分别为 c，d的2个红球的袋中无放回地摸球，每次任摸一球，求：（Ⅰ）第1次摸到黄球的概率；（Ⅱ）第2次摸到黄球的概率．18．函数，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=1．（1）求b，c的值；（2）设函数g（x）=f（x）+2x，g（x）在R上为单调递增，求实数a的取值范围．19．20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图：（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；（Ⅱ）分别求出成绩落在[50，60）与[60，70）中的学生人数；（Ⅲ）从成绩在[50，70）的学生任选2人，求此2人的成绩都在[60，70）中的概率．20．设椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点（0，4），离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被椭圆所截得线段的中点坐标．21．已知函数f（x）=x2+lnx（1）求函数f（x）在[1，e]上的最大值，最小值；（2）求证：在区间[1，+∞）上，函数f（x）的图象在函数g（x）=x3图象的下方．22．已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1和F2且|F1F2|=2，点P（1，）在该椭圆上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若△A F2B的面积为，求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程．2015-2016学年安徽省安庆市怀宁县高河中学高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1．设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】本题考查的判断充要条件的方法，我们可以根据充要条件的定义进行判断，此题的关键是对不等式性质的理解．【解答】解：因为a，b都是实数，由a＞b，不一定有a2＞b2，如﹣2＞﹣3，但（﹣2）2＜（﹣3）2，所以“a＞b”是“a2＞b2”的不充分条件；反之，由a2＞b2也不一定得a＞b，如（﹣3）2＞（﹣2）2，但﹣3＜﹣2，所以“a＞b”是“a2＞b2”的不必要条件．故选D【点评】判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．⑥涉及不等式平方大小的比较问题，举反例不失为一种有效的方法．2．P是双曲线上一点，F1，F2分别是双曲线左右焦点，若|PF1|=9，则|PF2|=（）A．1 B．17C．1或17 D．以上答案均不对【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求得双曲线的a，b，c，由双曲线的定义，可得||PF1|﹣|PF2||=2a=8，求得|PF2|，加以检验即可．【解答】解：双曲线的a=4，b=2，c=6，由双曲线的定义可得||PF1|﹣|PF2||=2a=8，|PF1|=9，可得|PF2|=1或17，若|PF2|=1，则P在右支上，应有|PF2|≥c﹣a=2，不成立；若|PF2|=17，则P在左支上，应有|PF2|≥c+a=10，成立．故选：B．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，注意讨论P的位置，运用双曲线的性质，属于中档题和易错题．3．椭圆与双曲线﹣=1有相同的焦点，则a的值为（）A．1 B．C．2 D．3【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】确定a＞0，且椭圆的焦点应该在x轴上，4﹣a2=a+2，即可求出a的值．【解答】解：因为椭圆与双曲线﹣=1有相同的焦点，所以a＞0，且椭圆的焦点应该在x轴上，所以4﹣a2=a+2，所以a=﹣2，或a=1．因为a＞0，所以a=1．故选：A．【点评】本小题主要考查椭圆与双曲线的标准方程及其应用．椭圆中c2=a2﹣b2，而在双曲线中，c2=a2+b2．4．抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离是10，则P点的坐标是（）A．（9，6）B．（6，9）C．（±6，9）D．（9，±6）【考点】抛物线的定义．【专题】计算题．【分析】先求出抛物线的准线，再由P到焦点的距离等于其到准线的距离，从而可确定P的横坐标，代入抛物线方程可确定纵坐标，从而可确定答案．【解答】解：∵抛物线y2=4x的准线为：x=﹣1抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离是10，∴P到x=﹣1的距离等于10设P（x，y）∴x=9代入到抛物线中得到y=±6故选D．【点评】本题主要考查抛物线的简单性质﹣﹣抛物线上的点是到焦点的距离等于到准线的距离的集合．5．函数y=3x﹣x2的单调增区间是（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，）C．（﹣1，1）D．（1，+∞）【考点】二次函数的性质．【专题】计算题．【分析】根据所给的二次函数的二次项系数大于零，得到二次函数的图象是一个开口向下的抛物线，根据对称轴，考查二次函数的变化区间，得到结果．【解答】解：∵函数y=3x﹣x2的二次项的系数小于零，∴抛物线的开口向下，∵二次函数的对称轴是x=，∴函数的单调递减区间是（﹣∞，）故选B．【点评】本题考查二次函数的性质，考查二次函数的最基本的运算，是一个基础题，千万不要忽视这种问题，它可以以各种身份出现在各种题目中．6．设函数f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f′（x）可能为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象；导数的运算．【专题】函数的性质及应用．【分析】先从f（x）的图象判断出f（x）的单调性，根据函数的单调性与导函数的符号的关系判断出导函数的符号，判断出导函数的图象【解答】解：由f（x）的图象判断出f（x）在区间（﹣∞，0）上递增；在（0，+∞）上先增再减再增∴在区间（﹣∞，0）上f′（x）＞0，在（0，+∞）上先有f′（x）＞0再有f′（x）＜0再有f′（x）＞0故选D．【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，属于基础题7．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．1 B．3 C．7 D．15【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】算法的功能是求S=1+21+22+…+2k的值，根据条件确定跳出循环的k值，计算输出的S 值．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=1+21+22+…+2k的值，∵跳出循环的k值为3，∴输出S=1+2+4=7．故选：C．【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．8．在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【专题】计算题．【分析】首先分析题目求△PBC的面积大于的概率，可借助于画图求解的方法，然后根据图形分析出基本的事件空间与事件的几何度量是线段的长度，再根据几何关系求解出它们的比例即可．【解答】解：记事件A={△PBC的面积大于}，基本事件空间是线段AB的长度，（如图）因为，则有；化简记得到：，因为PE平行AD则由三角形的相似性；所以，事件A的几何度量为线段AP的长度，因为AP=，所以△PBC的面积大于的概率=．故选C．【点评】本小题主要考查几何概型、几何概型的应用、三角形的面积等基础知识，考查化归与转化思想．属于基础题．一般地，在几何区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率为：P（A）=．9．从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a，从{1，2，3}中随机选取一个数为b，则b＞a 的概率是（）A．B．C．D．【考点】等可能事件的概率．【专题】概率与统计．【分析】由题意知本题是一个古典概型，试验包含的所有事件根据分步计数原理知共有5×3种结果，而满足条件的事件是a=1，b=2；a=1，b=3；a=2，b=3共有3种结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验包含的所有事件根据分步计数原理知共有5×3种结果，而满足条件的事件是a=1，b=2；a=1，b=3；a=2，b=3共有3种结果，∴由古典概型公式得到P==，故选D．【点评】本题考查离散型随机变量的概率问题，先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．10．已知双曲线9y2﹣m2x2=1（m＞0）的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则m=（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】由双曲线9y2﹣m2x2=1（m＞0）可得，顶点，一条渐近线为mx﹣3y=0，再由点到直线的距离公式根据一个顶点到它的一条渐近线的距离为可以求出m．【解答】解：，取顶点，一条渐近线为mx﹣3y=0，∵故选D．【点评】本小题主要考查双曲线的知识，解题时要注意恰当选取取公式．11．某高中共有学生900人，其中高一年级240人，高二年级260人，为做某项调查，拟采用分层抽样抽取容量为45的样本，则在高三年级抽取的人数是（）A．25 B．24 C．22 D．20【考点】分层抽样方法．【专题】对应思想；定义法；概率与统计．【分析】求出高三的人数，再根据分层抽样方法的特征，即可求出高三应抽出的人数．【解答】解：高三的人数为900﹣240﹣260=400人，所以高三抽出的人数为400×=20人．故选：D．【点评】本题考查了分层抽样方法的应用问题，是基础题目．12．已知椭圆x2+my2=1的离心率，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】分类讨论．【分析】将方程化为标准方程，再分类讨论，确定焦点的位置，求椭圆的离心率，从而可求实数m的取值范围．【解答】解：椭圆x2+my2=1化为标准方程为①若1＞，即m＞1，，∴，∴，∴②若，即0＜m ＜1，，∴，∴，∴∴实数m 的取值范围是故选C ．【点评】本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查分类讨论的数学思想，考查计算能力，属于基础题． 二、填空题13．已知函数f （x ）=xlnx ，若f′（x ）=2，则x= e ．【考点】导数的运算．【专题】计算题；函数思想；定义法；导数的概念及应用． 【分析】先求导，再代值得到lnx=1，解得即可． 【解答】解：f′（x ）=1+lnx ，∵f′（x ）=2， ∴1+lnx =2， 即lnx=1=lne ， ∴x=e， 故答案为：e ．【点评】本题主要考查导数的计算以及对数方程，要求熟练掌握常见函数的导数公式，比较基础．14．顶点在坐标原点，对称轴是坐标轴，并且经过的抛物线方程为y 2=4x 或x 2=﹣y ．【考点】抛物线的简单性质．【专题】综合题；分类讨论；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】对称轴分为是x轴和y轴两种情况，分别设出标准方程为y2=2px和x2=﹣2py，然后将M点坐标代入即可求出抛物线标准方程，【解答】解：（1）抛物线的顶点在坐标原点，对称轴是x轴，并且经过点设它的标准方程为y2=2px（p＞0）∴12=2p×解得：p=2，∴y2=4x；（2）抛物线的方程为x2=﹣2py（p＞0），将点的坐标代入x2=﹣2py（p ＞0），得：p=，∴抛物线的方程为：x2=﹣y．所以所求抛物线的标准方程为：y2=4x或x2=﹣y．故答案为：y2=4x或x2=﹣y．【点评】本题考查了抛物线的标准方程，解题过程中要注意对称轴是x轴和y轴两种情况作答，属于基础题．15．曲线y=﹣x3+3x2在点（1，2）处的切线方程为y=3x﹣1 ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题．【分析】根据曲线方程y=﹣x3+3x2，对f（x）进行求导，求出f′（x）在x=1处的值即为切线的斜率，曲线又过点（1，2）利用点斜式求出切线方程；【解答】解：∵曲线y=﹣x3+3x2，∴y′=﹣3x2+6x，∴切线方程的斜率为：k=y′|x=1=﹣3+6=3，又因为曲线y=﹣x3+3x2过点（1，2）∴切线方程为：y﹣2=3（x﹣1），即y=3x﹣1，故答案为：y=3x﹣1．【点评】此题主要考查导数研究曲线上某点的切线方程，要求切线方程，首先求出切线的斜率，利用了导数与斜率的关系，这是高考常考的知识点，此题是一道基础题；16．命题p：存在，q：对∀x∈R，x2+mx+1≥0，当p∨（¬q）为假命题，则实数m的取值范围是[﹣2，2] ．【考点】复合命题的真假．【专题】计算题；转化思想；不等式的解法及应用；简易逻辑．【分析】命题p：存在，化为＜0，m∈∅．可得￢p：m∈R．q：对∀x∈R，x2+mx+1≥0，△≤0．由p∨（¬q）为假命题，可得￢p为假命题，q为真命题．【解答】解：命题p：存在，化为＜0，m∈∅．∴￢p：m∈R．q：对∀x∈R，x2+mx+1≥0，∴△=m2﹣4≤0，解得﹣2≤m≤2．∵p∨（¬q）为假命题，∴￢p为假命题，q为真命题，∴﹣2≤m≤2．则实数m的取值范围是[﹣2，2]，故答案为：[﹣2，2]．【点评】本题考查了一元二次不等式的解集与判别式的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、计算题．（6小题，共70分）17．从装有编号分别为a，b的2个黄球和编号分别为 c，d的2个红球的袋中无放回地摸球，每次任摸一球，求：（Ⅰ）第1次摸到黄球的概率；（Ⅱ）第2次摸到黄球的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）袋中共有四球，故总的摸法有四种，再求出事件“第1次摸到黄球”的基本事件数；（Ⅱ）列举出所有可能的情况数，查出事件“第2次摸到黄球”包含的基本事件数，利用公式求出概率．【解答】解：（Ⅰ）第1次摸球有4个可能的结果：a，b，c，d，其中第1次摸到黄球的结果包括：a，b，故第1次摸到黄球的概率是．（Ⅱ）先后两次摸球有12种可能的结果：（a，b）（a，c）（a，d）（b，a）（b，c）（b，d）（c，a）（c，b）（c，d）（d，a）（d，b）（d，c），其中第2次摸到黄球的结果包括：（a，b）（b，a）（c，a）（c，b）（d，a）（d，b），故第2次摸到黄球的概率为．【点评】本题考查列举法计算基本事件数及事件发生的概率，解题的关键是不重不漏地列举出所有的基本事件数，再由等可能事件的概率公式求出概率．18．函数，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=1．（1）求b，c的值；（2）设函数g（x）=f（x）+2x，g（x）在R上为单调递增，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】综合题；函数思想；转化法；导数的概念及应用．【分析】（1）求函数的导数，利用导数的几何意义建立方程即可求b，c的值；（2）求函数的导数，利用g（x）在R上为单调递增，转化为g′（x）≥0恒成立，进行求解即可．【解答】解：（1）f（0）=c，函数的导数f′（x）=x2﹣ax+b，则函数在点（0，f（0））处的切线斜率k=f′（0）=b，即切线方程为y﹣c=bx，即y=bx+c，∵曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=1，∴b=0，c=0（2）∵b=0，c=0∴f（x）=x3﹣x2，f′（x）=x2﹣ax，则g（x）=f（x）+2x在R上为单调递增，则g′（x）=f′（x）+2=x2﹣ax+2≥0恒成立，即判别式△=a﹣8≤0，即a≤8，即实数a的取值范围是a≤8．【点评】本题主要考查导数的应用，根据导数的几何意义以及函数单调性和导数之间的关系进行转化是解决本题的关键．19．20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图：（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；（Ⅱ）分别求出成绩落在[50，60）与[60，70）中的学生人数；（Ⅲ）从成绩在[50，70）的学生任选2人，求此2人的成绩都在[60，70）中的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图．【专题】概率与统计．【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图求出a的值；（Ⅱ）由图可知，成绩在[50，60）和[60，70）的频率分别为0.1和0.15，用样本容量20乘以对应的频率，即得对应区间内的人数，从而求出所求．（Ⅲ）分别列出满足[50，70）的基本事件，再找到在[60，70）的事件个数，根据古典概率公式计算即可．【解答】解：（Ⅰ）根据直方图知组距=10，由（2a+3a+6a+7a+2a）×10=1，解得a=0.005．（Ⅱ）成绩落在[50，60）中的学生人数为2×0.005×10×20=2，成绩落在[60，70）中的学生人数为3×0.005×10×20=3．（Ⅲ）记成绩落在[50，60）中的2人为A，B，成绩落在[60，70）中的3人为C，D，E，则成绩在[50，70）的学生任选2人的基本事件有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE 共10个，其中2人的成绩都在[60，70）中的基本事件有CD，CE，DE共3个，故所求概率为P=．【点评】本题考查频率分布直方图的应用以及古典概型的概率的应用，属于中档题．20．设椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点（0，4），离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被椭圆所截得线段的中点坐标．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点（0，4），可求b，利用离心率为，求出a，即可得到椭圆C的方程；（2）过点（3，0）且斜率为的直线为y=（x﹣3），代入椭圆C方程，整理，利用韦达定理，确定线段的中点坐标．【解答】解：（1）将点（0，4）代入椭圆C的方程得=1，∴b=4，…由e==，得1﹣=，∴a=5，…∴椭圆C的方程为+=1．…（2）过点（3，0）且斜率为的直线为y=（x﹣3），…设直线与椭圆C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），将直线方程y=（x﹣3）代入椭圆C方程，整理得x2﹣3x﹣8=0，…由韦达定理得x1+x2=3，y1+y2=（x1﹣3）+（x2﹣3）=（x1+x2）﹣=﹣．…由中点坐标公式AB中点横坐标为，纵坐标为﹣，∴所截线段的中点坐标为（，﹣）．…【点评】本题考查椭圆的方程与几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，确定椭圆的方程是关键．21．已知函数f（x）=x2+lnx（1）求函数f（x）在[1，e]上的最大值，最小值；（2）求证：在区间[1，+∞）上，函数f（x）的图象在函数g（x）=x3图象的下方．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】计算题；证明题；压轴题；转化思想．【分析】（1）先求导，由导数研究函数的单调、极值，计算端点函数值，比较极值与端点函数值，进而求出函数的最大值、最小值；（2）构造函数设F（x）=x2+lnx x3，利用导数可知函数F（x）的单调性为递减，从而可得F（x）＜F（1）=0可证．【解答】解：（1）由f（x）=x2+lnx有f′（x）=x+当x∈[1，e]时，f′（x）＞0∴f（x）max=f（e）=e2+1，f（x）min=f（1）=（2）设F（x）=x2+lnx﹣x3，则F′（x）=x+﹣2x2=当x∈[1，+∞）时，F′（x）＜0，且F（1）=﹣＜0故x∈[1，+∞）时F（x）＜0∴x2+lnx＜x3，得证【点评】本题主要考查了导数的应用：求单调区间，求极值、最值，利用单调性证明不等式，解（2）的关键是构造函数，转化为研究函数的单调性．22．已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1和F2且|F1F2|=2，点P（1，）在该椭圆上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若△A F2B的面积为，求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程．【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）根据题意求出a=2，b=，即可得出方程．（Ⅱ）由消去x得：（4+3t2）y2﹣6ty﹣9=0，运用韦达定理得出|y1﹣y2|=，S△ABF2=×|y1﹣y2|×|F1F2|，求解即可．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，∴设椭圆C的标准方程为： =1，∵|F1F2|=2，∴F1（﹣1，0），F2（1，0），∵点（1，）在该椭圆上．∴|PF1|+|PF2|=+=4，a=2，b=，∴椭圆C的方程：，（Ⅱ）设直线l的方程为：x=ty﹣1，由消去x得：（4+3t2）y2﹣6ty﹣9=0，∵△＞0恒成立，设A（x1，y1），B（x2，y2），∴y1+y2=，y1y2=，∴|y1﹣y2|=，|F1F2|=2，圆F2的半径为r=，∵S△ABF2=×|y1﹣y2|×|F1F2|=××2=，∴=，∴t2=1，∴r==，故：F2为圆心的圆的方程：（x﹣1）2+y2=2．【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的方程，置关系，运算量较大，属于难题．。

2015-2016学年度高二第一学期期末（理科）数学试题一．选择题 (本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.“若α＝4π，则tan α＝1”的逆否命题是 ( )A ．若α≠4π，则tan α≠1B ．若α＝4π，则tan α ≠12．若平面α，β垂直，则下面可以作为这两个平面的法向量的是( )A 。

n 1＝(1,2,1)，n 2＝(－3,1,1)B ．n 1＝(1,1,2)，n 2＝(－2,1,1)C ．n 1＝(1,1,1)，n 2＝(－1,2,1)D ．n 1＝(1,2,1)，n 2＝(0，－2，－2)3．下列说法中，正确的是（ ）A ．命题“若，则”的逆命题是真命题B ．命题“，”的否定是：“，”C ．命题“p 或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题D ．已知，则“”是“”的充分不必要条件C ．若tan α≠1，则α≠4πD ．若tan α≠1，则α＝4π4.如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知→AB ＝a ，→AD ＝b ，→AA1＝c ，则用向量a ，b ，c 可表示向量→BD1等于( )A ．a ＋b ＋cB ．a －b ＋cC ．a ＋b －cD ．－a ＋b ＋c5．若平面α的法向量为n ，直线l 的方向向量为a ，直线l 与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是( )A ．sin θ＝|n||a||n ·a|B ．cos θ＝|n||a||n ·a|C ．sin θ＝|n||a|n ·aD ．cos θ＝|n||a|n ·a 6．已知命题p ：对任意x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))·(x 2－x 1)≥0，则非p 是 ( )A ．对任意x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0B ．存在x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0C ．存在x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0D ．对任意x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<07.“”是“方程表示焦点在y 轴上的椭圆”的 ( )A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8 . 如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 是底面正方形ABCD 的中心，M 是D 1D的中点，N 是棱A 1B 1上任意一点，则直线NO 、AM 的位置关系是 ( )A ．平行B ．相交C ．异面不垂直D ．异面垂直9． 如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且EF ＝21，则下列结论中错误的是 ( )A ．△AEF 的距离与△BEF 的面积相等B ．EF ∥平面ABCDC ．三棱锥A －BEF 的体积为定值D ．AC ⊥BE10．若△ABC 顶点B , C 的坐标分别为(－4, 0), (4, 0)，AC , AB 边上的中线长之和30则△ABC 的重心G 的轨迹方程为( )A ．B ．C ．D ． 11.已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x 0∈R ，x 02＋2ax 0＋2－a ＝0”．若命题“(非p )∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤－2或a ＝1B ．a ≤2或1≤a ≤2C ．a >1D ．－2≤a ≤112.如图，设动点P 在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上，记D1B D1P ＝λ.当∠APC 为钝角时，则λ的取值范围是( ) A.31 B.21 C.，11 D.，11二．填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分．将答案填写在题中的横线上)13.已知命题存在．若命题是假命题，则实数的取值范围是 ．14.如图，椭圆的中心在坐标原点，当→FB ⊥→AB 时，此类椭圆称为“黄金椭圆”，可推算出“黄金椭圆”的离心率e ＝________.15．（如图）一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点 为端点的三条棱长都等于1，且它们彼此的夹角都是，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长为 。

2015-2016学年高二质量检测数学（理科）试题（三）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题所给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知数列}{n a 满足)2(3,111≥+==-n a a a n n ，则100a 等于（ ）.A .297B .298C .299D .300 2. 在△ABC 中，若2,45,3000==∠=∠BC B A ，则AC 等于（ ）.A .332 B .2 C .1 D .233. 下列命题中，真命题是（ ）.A .0,2>∈∀x R xB . 24是3的倍数且是9的倍数01,0200=+-∈∃x x R x C . 01,0200=+-∈∃x x R x D .“若b =0，则函数c bx ax x f ++=2)(为偶函数”的逆否命题 4. 袋中有5个黑球和3个白球，从中任取2个球，则其中至少有1个黑球的概率是（ ）A ．115328C C CB ．1120535328C C C C C + C ．115728C C CD ．5787⨯⨯ 5. 观察下面程序，循环变量i 共循环了 （ ）A ． 11次B ． 10次C ． 9次D ．8次6. 已知椭圆121022=-+-m y m x ，长轴在y 轴上，若焦距为4，则m=( ) A ．4B ．5C ．7D ．87. 已知双曲线1422=-my x 的右焦点到其渐近线的距离等于3，则该双曲线的离心率等于（ ）. A .21 B .23 C .2 D .27 8. 如图，平行六面体C B A O OABC ''''-中，设c O b a ='==,,，G 为C B '的中点，用a ，b ，c 表示向量OG ，则OG 等于（ ）.A .c b a 2121++B .c b a ++2121 C .c b a 2121++ D .c b a 2121-+9. 设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若02752=-a a ，则24S S 等于A .-27B .10C .27D .80 10. 已知a >0，b >0，若不等式ba mb a +≥+212恒成立，则m 的最大值等于（ ）. A .7 B .8 C .9 D .10 11. 已知函数x x x f sin )(=，当)2,2(,21ππ-∈x x 时，)()(21x f x f <，则21,x x 的关系是（ ）. A .21x x > B .021=+x x C .21x x < D .2221x x < 12. 已知抛物线C ：x y 82=的焦点F ，点M （-1,0），不垂直与x 轴的直线与抛物线相交于A ，B 两点，若x 轴平分AMB ∠，则△F AB 的面积的取值范围是（ ）.A .),22(+∞B .),22[+∞C .),24(+∞D .),24[+∞ 二、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分。