微专题10复合函数的零点问题

结合图象可知
a
a
f f
3 3 4 8
，可得 3 a
8
（2）若 a 0 ，则关于的不等式 0 f x a 恰有一个整数解．
结合图象可知{
a a f
f 1 1 1 3
，可得 3 a 1
综上， 3 a 1或3 a 8 ．
例
5.已知函数
f
(x) (x2
3)ex
，当 m
，恰好有 4 个不相等实数根
∴关于 的方程
在和
上各有一解
∴
，解得
，
综上：答案为
；
例 2.（13 安徽）若函数 f x x3 ax2 bx c 有极值点 x1, x2 ，且 f x1 x1 ，
则关于 x 的方程 3 f x2 2af x b 0 的不同实根的个数是（
）
A．3
的 4 个公共点，由图象可知 7 b 2 ． 4
8 6 4 2
15
10
5 2
5
10
15
4
6
8
例
7.（13
江西改编） 设函数
f
(x)
1 a
x
,
1
1 a
0 xa,
1 x , a
x
（ 1
a
为常数且
a
0,1
）．
若 x0 是 f f x x 的零点但不是 f x x 的零点，则称 x0 为 f (x) 的二阶周期点，
二 题型攻略·深度挖掘 1.【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出 现，一般综合性强，难度大．
2.【技能方法】求解复合函数 y g f x 零点问题的技巧： （1）借助数形结合思想，处理问题作出 u f x, y g u 的图像

1复合函数的零点问题1、直线1y =与曲线2y x x a =-+有4个交点，则a 的取值范围是2、已知函数)(x f 在定义域),0(+∞上是单调函数,若对任意),0(+∞∈x ，都有2]1)([=-xx f f ,则)51(f 的值是 .3、已知函数12)(22+-++=m m mx x x f ,若方程0))((=x f f 无实根，则m 的取值范围为 . 4、已知函数）（R x x x x f ∈=3-)(3.设c x f f x h -=))(()(，其中∈c [-2,2],求函数)(x h y =零点个数.5、已知函数(0)()lg()(0)x e x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，则实数2t ≤-是关于x 的方程2()()0f x f x t ++=.有三个不同实数根的 条件。

6、设定义域为R 的函数1251,0()44,0x x f x x x x -⎧-≥⎪=⎨++<⎪⎩，若关 于x 的方程22()(21)()0f x m f x m -++=有5个不同的实数解，则m =__________ 7、设定义域为R 的函数2lg (>0)()-2(0)x x f x x x x ⎧=⎨-≤⎩ 则关于x 的函数 1)(3-)(2y 2+=x f x f 的零点的个数为______________.8、已知函数()⎩⎨⎧>≤+=0,log 0,12x x x x x f ，则函数()()1-=x f f y 的零点个数为_________.9、已知函数31+,>0()3,0x x f x xx x ⎧⎪=⎨⎪+≤⎩， 则函数)2(-)2()(F 2>+=a a x x f x 的零点个数可能为_________. 10、已知函数),0()0,()(+∞-∞ 是定义在x f 上的偶函数，当0>x 时，1)(4)(2),2(21,20,12)(|1|-=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<-=-x f x g x x f x x f x 则函数的零点个数为11、函数0.5(x)2log 1xf x =-的零点个数为（ ）12、函数(x)2ln f x =的图像与函数2(x)x 45g x =-+的图像的交点个数为（ ）213、已知函数32, 2(x)(x 1),x 2x f x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，若关于x 的方程(x)f k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是14、已知函数12,0(x)21,x 0x e x f x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩，若关于x 的方程2(x)3(x)0(a R)f f a -+=∈有8个不等的实数根，则a 的取值范围是( )A. 1(0,)4 B. 1(,3)3 C. (1,2) D. 9(2,)415、（2014江苏）已知(x)f 是定义在R 上且周期为3的函数，当[)0,3x ∈时，21(x)x 22f x =-+.若函数(x)a y f =-在区间[]3,4-上有10个零点（互不相同），则实数a 的取值范围是 16、已知函数3221(x 0)(x)x 31,(x),4x 68(x 0)x f x g xx ⎧+>⎪=-+=⎨⎪---≤⎩则方程[]g (x)0(a R )f a +-=∈的解的个数不可能为（ ）17、已知函数12,0(x)21,x 0x e x f x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩，若关于x 的方程2(x)3(x)0(a R)f f a -+=∈有8个不等的实数根，则a 的取值范围是( )B. 1(0,)4 B. 1(,3)3 C. (1,2) D. 9(2,)418、关于x 的方程222x 1)x 10k ---+=（，给出下列4个命题： ①存在实数k,使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数k,使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数k,使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数k,使得方程恰有8个不同的实根。

微专题10复合函数的零点问题(含隐零点问题)例1已知函数f(x)＝|x2－4x＋3|，若方程f2(x)＋bf(x)＋c＝0恰有七个不相同的实数根，则实数b的取值范围是________．变式已知函数f(x)＝|e x－1|，又g(x)＝f2(x)－t f(x)(t∈R)，若满足g(x)＝－1的x有三个，则t的取值范围是________．例2(隐零点问题)已知函数f(x)＝x(1＋ln x)．(1) 求函数f(x)的单调区间及其图象在点x＝1处的切线方程；(2) 若k∈Z，且k(x－1)<f(x)对任意x>1恒成立，求k的最大值．1.复合函数零点问题：考虑关于x的方程g(f(x))＝0的根的个数，在解此类问题时，要分为两层来分析，第一层是解关于f(x)的方程，观察有几个f(x)的值使得等式成立；第二层是结合第一层f(x)的值求出每一个f(x)被几个x对应，将x的个数汇总后即为g(f(x))＝0的根的个数．2.“隐零点”问题：求解导数压轴题时，我们一般对零点设而不求，通过一种整体的代换和过渡，再结合其他条件，从而最终获得问题的解决．我们称这类问题为“隐零点”问题．其处理方法如下：第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程f′(x0)＝0，并结合f(x)的单调性得到零点的范围；第二步：以零点为分界点，说明导函数f′(x)的正负，进而得到f(x)的最值表达式；第三步：将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简证明；有时候第一步中的零点范围还可以适当缩小，我们将其称为隐形零点三部曲．导函数零点虽然隐形，但只要抓住特征(零点方程)，判断其范围(用零点存在性定理)，最后整体代入即可．1. 关于x 的方程(x 2－1)2－3|x 2－1|＋2＝0的不相同实数根的个数是________．2. 设定义域为R 的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1|x －1|，x ≠1，1，x ＝1，若关于x 的方程f 2(x )＋b f (x )＋c ＝0有3个不同的解x 1，x 2，x 3，则x 21＋x 22＋x 23＝________． 3. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤a ，x 2，x >a ，若存在实数b ，使函数g(x )＝f (x )－b 有2个零点，则实数a 的取值范围是________．4. 已知定义在R 上的函数f (x )＝⎩⎨⎧|x 2＋x |，x ≤0，ln （x ＋1），x >0，若函数g(x )＝f (x )－a(x ＋1)恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________．5. 已知函数f (x )＝x |ln x |，若关于x 的方程f 2(x )－(2m ＋1)f (x )＋m 2＋m ＝0恰好有4个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是________．6. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x －t ）2，x ≤t ，x 4，x >t ，其中t>0，若函数g(x )＝f (f (x )－1)有6个不同的零点，则实数t 的取值范围是________．7. 已知函数f (x )＝a x 2－a x －x ln x ，且f (x )≥0.(1) 求实数a 的值；(2) 求证：f (x )存在唯一的极大值点x 0，且e －2<f (x 0)<2－2.。

二、复合函数零点个数分两类问题
一类是判断零点个数，另一类是已知零点个数求参
数的取值范围．以下本文通过对典型例题的分析来探究
一下复合函数零点问题中求零点个数和求参数的问题．
１．判断复合函数零点的个数
｛ 例１ 已知函数犳（狓）＝
５ 狓－１ －１（狓 ≥０）， 则 狓２＋４狓＋４（狓 ＜０），
关 于狓的方程犳２（狓）－５犳（狓）＋４＝０的实数根的个数
零点个数即方程犳（狓）＝０的
根个数，也即犳（狓）的图像与
狓 轴 交 点 的 个 数，若 方 程
犳（狓）＝０犵（狓）＝犺（狓），即
为两函数犵（狓）与犺（狓）图像
图１
交点的个数．该问题只需要确
定零点个数并 不 需 要 求 出 零 点，也 可 画 出 函 数 图 像，
结合图像确定交点的个数，由狋２ －５狋＋４＝０，得狋＝４ 或１，所以犳（狓）＝４或１，由函数图像犳（狓）分别与狔＝ １、狔＝４有４个交点和３个交点，所以犳（狓）＝１、犳（狓） ＝４分别有４个根和３个根，所以方程犳２（狓）－５犳（狓） ＋４＝０共有７个根．
图２ 图３
２．已知复合函数的零点个数求参数的取值范围 例２ 已 知 函 数 犳（狓）的 图 像，若 函 数 犵（狓）＝ ［犳（狓）］２ －犽犳（狓）＋１恰有４个零点，则实数犽 的取值 范围是（ ）．
（ ） Ａ．（－
∞，－２）∪
（２，＋
∞）
８ Ｂ．ｅ２
，２
（ ） ４
Ｃ．ｅ２
若犳（狓）＝１，当狓 ≥０时，即５ 狓－１ －１＝１，解得
狓＝１±ｌｏｇ５２，当狓 ＜０时，即狓２＋４狓＋３＝０，解得狓
＝－１或 －３．
若犳（狓）＝４，当狓 ≥０时，即５ 狓－１ －１＝４，解得