复合函数零点问题专题训练

高考数学经典常考题型第12专题复合函数零点问题第12专题训练：复合函数零点问题一、基础知识：1、复合函数定义：设 $y=f(t),t=g(x)$，且函数 $g(x)$ 的值域为 $f(t)$ 的定义域的子集，那么 $y$ 通过 $t$ 的联系而得到自变量 $x$ 的函数，称 $y$ 是 $x$ 的复合函数，记为$y=f(g(x))$。

2、复合函数函数值计算的步骤：求 $y=g(f(x))$ 函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层求出函数值。

例如：已知$f(x)=2x,g(x)=x^2-x$，计算 $g(f(2))$。

解：$f(2)=2\times 2=4$，$\therefore g(f(2))=g(4)=12$3、已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求 $x$ 的解，则遵循“由外到内”的顺序，一层层拆解直到求出 $x$ 的值。

例如：已知 $f(x)=2x,g(x)=x^2-2x$，若 $g(f(x))=0$，求 $x$。

解：令 $t=f(x)$，则 $g(t)=0$，$\therefore t=0$ 或 $t=2$。

当 $t=0$ 时，$f(x)=0$，XXX；当 $t=2$ 时，$f(x)=2$，$\therefore x=1$。

综上所述，$x=1$。

由上例可得，要想求出 $g(f(x))=0$ 的根，则需要先将$f(x)$ 视为整体，先求出 $f(x)$ 的值，再求对应 $x$ 的解。

这种思路也用来解决复合函数零点问题。

先回顾零点的定义：4、函数的零点：设 $f(x)$ 的定义域为 $D$，若存在 $x\in D$，使得 $f(x)=0$，则称 $x$ 是 $f(x)$ 的一个零点。

5、复合函数零点问题的特点：考虑关于 $x$ 的方程$g(f(x))=0$ 的根的个数，在解此类问题时，要分为两层来分析。

第一层是解关于 $f(x)$ 的方程，观察有几个 $f(x)$ 的值使得等式成立；第二层是结合着第一层 $f(x)$ 的值求出每一个$f(x)$ 被几个 $x$ 对应，将 $x$ 的个数汇总后即为$g(f(x))=0$ 的根的个数。

1复合函数的零点问题1、直线1y =与曲线2y x x a =-+有4个交点，则a 的取值范围是2、已知函数)(x f 在定义域),0(+∞上是单调函数,若对任意),0(+∞∈x ，都有2]1)([=-xx f f ,则)51(f 的值是 .3、已知函数12)(22+-++=m m mx x x f ,若方程0))((=x f f 无实根，则m 的取值范围为 . 4、已知函数）（R x x x x f ∈=3-)(3.设c x f f x h -=))(()(，其中∈c [-2,2],求函数)(x h y =零点个数.5、已知函数(0)()lg()(0)x e x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，则实数2t ≤-是关于x 的方程2()()0f x f x t ++=.有三个不同实数根的 条件。

6、设定义域为R 的函数1251,0()44,0x x f x x x x -⎧-≥⎪=⎨++<⎪⎩，若关 于x 的方程22()(21)()0f x m f x m -++=有5个不同的实数解，则m =__________ 7、设定义域为R 的函数2lg (>0)()-2(0)x x f x x x x ⎧=⎨-≤⎩ 则关于x 的函数 1)(3-)(2y 2+=x f x f 的零点的个数为______________.8、已知函数()⎩⎨⎧>≤+=0,log 0,12x x x x x f ，则函数()()1-=x f f y 的零点个数为_________.9、已知函数31+,>0()3,0x x f x xx x ⎧⎪=⎨⎪+≤⎩， 则函数)2(-)2()(F 2>+=a a x x f x 的零点个数可能为_________. 10、已知函数),0()0,()(+∞-∞ 是定义在x f 上的偶函数，当0>x 时，1)(4)(2),2(21,20,12)(|1|-=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<-=-x f x g x x f x x f x 则函数的零点个数为11、函数0.5(x)2log 1xf x =-的零点个数为（ ）12、函数(x)2ln f x =的图像与函数2(x)x 45g x =-+的图像的交点个数为（ ）213、已知函数32, 2(x)(x 1),x 2x f x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，若关于x 的方程(x)f k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是14、已知函数12,0(x)21,x 0x e x f x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩，若关于x 的方程2(x)3(x)0(a R)f f a -+=∈有8个不等的实数根，则a 的取值范围是( )A. 1(0,)4 B. 1(,3)3 C. (1,2) D. 9(2,)415、（2014江苏）已知(x)f 是定义在R 上且周期为3的函数，当[)0,3x ∈时，21(x)x 22f x =-+.若函数(x)a y f =-在区间[]3,4-上有10个零点（互不相同），则实数a 的取值范围是 16、已知函数3221(x 0)(x)x 31,(x),4x 68(x 0)x f x g xx ⎧+>⎪=-+=⎨⎪---≤⎩则方程[]g (x)0(a R )f a +-=∈的解的个数不可能为（ ）17、已知函数12,0(x)21,x 0x e x f x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩，若关于x 的方程2(x)3(x)0(a R)f f a -+=∈有8个不等的实数根，则a 的取值范围是( )B. 1(0,)4 B. 1(,3)3 C. (1,2) D. 9(2,)418、关于x 的方程222x 1)x 10k ---+=（，给出下列4个命题： ①存在实数k,使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数k,使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数k,使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数k,使得方程恰有8个不同的实根。

复合函数零点类型一：直接作图1、直线1y =与曲线2y x x a =-+有4个交点，则a 的取值范围是2、已知(x)f 是定义在R 上且周期为3的函数，当[)0,3x ∈时，21(x)x 22f x =-+.若函数(x)a y f =-在区间[]3,4-上有10个零点（互不相同），则实数a 的取值范围是3、已知函数),0()0,()(+∞-∞ 是定义在x f 上的偶函数，当0>x 时，1)(4)(2),2(21,20,12)(|1|-=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<-=-x f x g x x f x x f x 则函数的零点个数为类型二：与二次函数结合1、设定义域为R 的函数2lg (>0)()-2(0)x x f x x x x ⎧=⎨-≤⎩ 则关于x 的函数 1)(3-)(2y 2+=x f x f 的零点的个数为______________.2、已知函数，若关于 的方程 有 个不同的实数解，则实数 的取值范围是______.3、设定义域为R 的函数1251,0()44,0x x f x x x x -⎧-≥⎪=⎨++<⎪⎩，若关 于x 的方程22()(21)()0f x m f x m -++=有5个不同的实数解，则m =__________4、已知函数12,0(x)21,x 0x e x f x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩，若关于x 的方程2(x)3(x)0(a R)f f a -+=∈有8个不等的实数根，则a 的取值范围是( )A. 1(0,)4 B. 1(,3)3 C. (1,2) D. 9(2,)45.函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，21,(02)16()1(),(2)2x x x f x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，若关于x 的方程[]2()()0f x af x b ++=，,a b R ∈，有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是________.6.已知函数22()||1()x x f x x e m x e m R =++∈有四个零点，则m 的取值范围为________.7、设定义域为R 的函数lg 1,1(x)0, x 1x x f ⎧-≠⎪=⎨=⎪⎩，则关于x 的方程[]2(x)(x)0f bf c ++=有7个不同实数解的充要条件是（ ）.b 0 A <且c>0 .b 0 B >且c<0 .b 0 C <且c=0 .b 0 D ≥且c=0 8、已知函数(0)()lg()(0)x e x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，则实数2t ≤-是关于x 的方程2()()0f x f x t ++=.有三个不同实数根的 条件。

一、函数概念1. 设f(x) = x^2 + 1，g(x) = 2x 3，求f(g(x))。

2. 若f(x) = 3x + 4，g(x) = x^2 5，求f(g(2))。

3. 设h(x) = x 2，f(x) = h(x) + 1，求f(h(3))。

4. 若g(x) = 2x 1，f(x) = g(x^2)，求f(1)。

5. 设f(x) = 5x 2，g(x) = f(x^2)，求g(4)。

二、复合函数的求值6. 若f(x) = x^3，g(x) = f(x + 1)，求g(2)。

7. 设h(x) = 4x^2 1，f(x) = h(x 1)，求f(3)。

8. 若g(x) = 2x + 5，f(x) = g(x^2)，求f(1)。

9. 设h(x) = x^2 + 3x + 2，f(x) = h(x + 1)，求f(2)。

10. 若g(x) = 3x 2，f(x) = g(x^3)，求f(2)。

三、复合函数的求导11. 设f(x) = x^2 + 1，g(x) = 2x 3，求(f ∘ g)'(x)。

12. 若f(x) = 3x + 4，g(x) = x^2 5，求(g ∘ f)'(2)。

13. 设h(x) = x 2，f(x) = h(x) + 1，求(f ∘ h)'(3)。

14. 若g(x) = 2x 1，f(x) = g(x^2)，求(f ∘ g)'(1)。

15. 设h(x) = x^2 + 3x + 2，f(x) = h(x + 1)，求(f ∘h)'(x)。

四、复合函数的极值16. 设f(x) = x^3 3x^2 + 4x 1，求f(g(x))的极值点。

17. 若f(x) = 2x^2 4x + 3，g(x) = x 1，求f(g(x))的极值。

18. 设h(x) = x^2 + 2x + 1，f(x) = h(x 1)，求f(h(x))的极值点。

数学上册综合算式专项练习题求复合函数的零点复合函数的零点是指，对于给定的复合函数，在定义域内存在使得函数取零值的数值。

本文将通过综合算式专项练习题，探讨如何求解复合函数的零点。

在解决复合函数的零点问题之前，我们需要了解复合函数的基本概念。

复合函数是指由两个或多个函数构成的新函数，其中一个函数的输出值是另一个函数的输入值。

表示为：f(g(x))，先进行g(x)的运算，再将结果作为f(x)的输入。

为了求解复合函数的零点，我们可以采用以下步骤：步骤一：给定复合函数表达式。

例如，我们考虑一个复合函数表达式：f(g(x)) = x^2 + 2x，其中g(x) = 2x + 1。

步骤二：找到复合函数的定义域。

在这个例子中，我们需要确定x的取值范围，使得g(x)的结果在f(x)的定义域内。

步骤三：将g(x)代入f(x)的表达式中，得到复合函数的具体形式。

根据我们的例子，复合函数的表达式为：f(x) = (2x + 1)^2 + 2(2x + 1)。

步骤四：将复合函数化简为一般形式，即将其展开并进行合并运算。

根据我们的例子，将f(x) = (2x + 1)^2 + 2(2x + 1)展开并合并运算后，得到f(x) = 4x^2 + 8x + 4。

步骤五：找到复合函数的零点。

复合函数的零点即为满足f(x) = 0的x的取值。

对于我们的例子，我们需要求解4x^2 + 8x + 4 = 0的解。

步骤六：使用合适的方法求解二次方程。

对于本例，我们可以使用因式分解、配方法或求根公式等方法来解决4x^2 + 8x + 4 = 0。

以求解零点为例，我们可以使用求根公式，根据一元二次方程的求根公式：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)，其中a、b、c分别为二次项、一次项和常数项的系数。

对于4x^2 + 8x + 4 = 0，我们有a = 4，b = 8，c = 4。

代入求根公式，我们可以得到两个解：x = (-8 ± √(8^2 - 4*4*4)) / (2*4)。

复合函数方程与函数零点经典好题一、典例讲解典例1．设函数(0)()ln (0)x e x f x x x ⎧≤=⎨>⎩则函数(]1[)y f f x =-的零点个数为（ ）个． A ．0B ．1C ．2D ．4解：设(),t f x =原式等价于()()1,f t t f x ==分别画出函数(),t f x =和t=1的图像：得到()1,f t =的两个零点为t=0,和t=e, 即()0f x =或()f x e =，解得1e x x e ==或 故有两个根.故答案为：C.小结： ★这个题目考查了复合函数方程的根的问题，这类题目一般是设出内外层，先得到外层的零点，再找到对应的内层的零点个数。

★本题考查分段函数的运用，考查函数方程的转化化归思想，考查数形结合思想方法。

典例2．已知函数()f x 和()g x 的图像如图所示，若关于x 的方程(())1f g x =和(())0g f x =的实数根的个数分别为m 和n ，则m n +=（ ）A ．15B ．13C ．12D ．10解：根据函数的图像，由()()1f g x =，得()1g x =-或()1g x =.当()1g x =-时，由()g x 的图像可知x 有三个解，即()()1f g x =有三个根.当()1g x =时，由()g x 的图像可知x 有三个解，即()()1f g x =有三个根.故()()1f g x =有336+=个根，即6m =.由()()0g f x =，结合()g x 图像可知，()g x 有三个零点()()1230,1,0,0,1x x x =∈-∈.当()10f x x ==时，由()f x 图像知此时有3个零点；当()()21,0f x x =∈-时，由()f x 图知此时有2个零点；当()()30,1f x x =∈时，由()f x 的图像知此时有4个零点.故()()0g f x =有3249++=个根.故6915m n +=+=，所以本题选A.二、闯关题 ●选择题1．已知函数()32e ,0461,0x x f x x x x ⎧<=⎨-+≥⎩，其中e 为自然对数的底数，则函数 ()()()2310g x f x f x ⎡⎤=-⎣⎦3+的零点个数为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．32．已知定义在R 上的奇函数f （x ），当x ＞0时，则关于x 的方程的实数根个数为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．93．已知函数11ln ,01()1,12x x x f x x -+<≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，若方程2()(1)()0f x a f x a -++=恰有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围为（ ） A ．)0,(-∞B ．(0,)+∞C ．(1,)+∞D ．(0,1)4．已知函数，则下列关于函数的零点个数的判断正确的是（ ） A ．当时，有4个零点；当时，有1个零点B ．当时，有3个零点；当时，有2个零点C ．无论a 为何值，均有2个零点D ．无论a 为何值，均有4个零点5．已知函数，若方程恰有5个不同的根，则的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ． 6．定义域为的函数，若关于的方程,恰有5个不同的实数解，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．●填空题7．已知21,0()ln ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，则方程[]()3f f x =的根的个数是_________． 8．已知函数22,0()log (),0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩若关于x 的方程2()2()0f x f x m ++=有三个不同的实根，则m 的取值范围为__________.9．设定义域为R 的函数()151,0244,0x x f x x x x --≥⎧⎪=++<⎨⎪⎩若关于x 的方程()()()22210f x m f x m -++=有7个不同的实数根，则实数m =______．10．已知函数，，若方程有四个不同的实数解，则实数m 的取值范围是______．●解答题11．已知函数2log 21xf x ax x R =++∈（）（），． （1）若f x （）是偶函数，求实数a 的值；（2）当0a ＞时，判断f x （）的单调性，不需要证明；（3）当0a ＞时，关于x 的方程411211[]xf f x a x og -+--=（）（）（）在区间[12]，上恰有两个不同的实数解，求实数a 的取值范围．复合函数方程与函数零点经典好题参考答案1．A 【详解】当x ≥0时，f （x ）＝4x 3﹣6x 2+1的导数为f ′（x ）＝12x 2﹣12x ， 当0＜x ＜1时，f （x ）递减，x ＞1时，f （x ）递增，可得f （x ）在x ＝1处取得最小值，也为最小值﹣1，且f （0）＝1， 作出函数f （x ）的图象，g （x ）＝()()23103f x f x ⎡⎤-+⎣⎦，可令g （x ）＝0，t ＝f （x ）， 可得3t 2﹣10t +3＝0，解得t=3或13， 当t 13=，即f （x ）13=，g （x ）有三个零点； 当t ＝3，可得f （x ）＝3有一个实根， 综上g （x ）共有四个零点；故选：A ． 2．B 解：设，则关于x 的方程，等价，解得或，当时，，此时不满足方程．若，则，即， 若，则，即，作出当时，的图象如图：当时，对应3个交点．∵函数是奇函数， ∴当时，由，可得当时，，此时函数图象对应4个交点，综上共有7个交点，即方程有7个根．故选：B ．小结：本题主要考查函数方程根的个数的判断，利用换元法，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．3．D 解：2()(1)()0f x a f x a -++=可变形为[()][()1]0f x a f x --=， 即()a x f =或()1=x f ，由题可知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，当(]0,1x ∈时， 函数()f x 单调递增；当()1,x ∈+∞时，函数()f x 单调递减， 画出函数()f x 的大致图象，如图所示，当且仅当1x =时，()1=x f ，因为方程2()(1)()0f x a f x a -++=恰有三个不同的实数根， 所以()a x f =恰有两个不同的实数根，即(),y f x y a ==的图象有两个交点，由图可知10<<a 时，(),y f x y a ==的图象有两个交点， 所以实数a 的取值范围为(0,1)，故选D ．小结：本题主要考查分段函数的解析式、方程的根与函数图象交点的关系，考查了数形结合思想的应用，属于难题. 函数零点的几种等价形式：函数()()y f x g x =-的零点⇔函数()()y f x g x =-在x 轴的交点⇔方程()()0f x g x -=的根⇔函数()y f x =与()y g x =的交点.4．A 解：分四种情况讨论． （1）时，，∴，此时的零点为 （2）时，，∴，则a ＞0时，有一个零点，时，没有零点， （3）若，时，，则a ＞0时，有一个零点，时，没有零点， （4）若，时，，则时，有一个零点，时，没有零点， 综上可知，当时，有4个零点；当时，有1个零点故选：A ．小结：本题目考查了函数的零点个数，运用了分类讨论的方法；属于中档题. 求函数零点的方法： 1.解方程f(x)=0的根；2.利用函数零点存在性定理和函数的单调性；3.利用数形结合，找图像的交点个数. 5．B 解：当时，，，当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增，。

一道与三角函数有关的复合函数的零点个数问题湖北天门 薛德斌 2022年2月函数()cos 2sin f x x m x =+在区间(0,)k π()k N *∈上恰有n 个零点． （1）若9k =，讨论m ，n 的取值； （2）若101n =，讨论m ，k 的取值； （3）若301n =，讨论m ，k 的取值； （4）若2021n =，讨论m ，k 的取值； （5）若2023n =，讨论m ，k 的取值．【要点】换元＋变量分离＋数形结合＋分类讨论＋三角函数的值域和周期 【答案】（1）18m n >⎧⎨=⎩或113m n =⎧⎨=⎩或1118m n -<<⎧⎨=⎩或114m n =-⎧⎨=⎩或110m n <-⎧⎨=⎩．（2）1m =-，67k =． （3）1m =，201k =．（4）1m =-，1347k =． （5）1m =，1349k =．22(0,1])及2当1m >时，关于的t 方程有一个解1(,0)2t ∈-；当1m =时，方程有两个解112t =-，21t =； 当11m -<<时，方程有两个解1(1,)2t ∈--，1(,1)2t ∈；当1m =-时，方程有两个解11t =-，212t =；当1m <-时，方程有一个解1(0,)2t ∈．（1）当1m >时，关于的t 方程有一个解1(,0)2t ∈-，248n =⨯=；当1m =时，方程有两个解112t =-，21t =，34113n =⨯+=；当11m -<<时，方程有两个解1(1,)2t ∈--，1(,1)2t ∈，44218n =⨯+=；当1m =-时，方程有两个解11t =-，212t = 34214n =⨯+=，；当1m <-时，方程有一个解1(0,)2t ∈，24210n =⨯+=．【注：一般地，对于任意k N *∈，当1m ≠±时，n 为偶数．】（2）101是奇数，且101≡2（mod3），∴1m =-，101221673k -=⨯+=． 【注：一般地，若n 是奇数，且n ≡2（mod3），则1m =-，2212133n n k --=⨯+=．】 （3）301是奇数，且101≡1（mod3），∴1m =，3011212013k -=⨯+=．【注：一般地，若n 是奇数，且n ≡1（mod3），则1m =，1212133n n k -+=⨯+=．】 （4）1m =-，1347k =． （5）1m =，1349k =．。