第六章 多元函数微分学

第六章 多元函数微分学§6.1 多元函数的概念、极限与连续性甲 内容要点一．多元函数的概念1．二元函数的定义及其几何意义设D 是平面上的一个点集，如果对每个点()D y x P ∈,，按照某一对应规则f ，变量z 都有一个值与之对应，则称z 是变量x ，y 的二元函数，记以()y x f z ,=，D 称为定义域。

二元函数()y x f z ,=的图形为空间一卦曲面，它在xy 平面上的投影区域就是定义域D 。

例如 221yx z --=，1:22≤+y x D二元函数的图形为以原点为球心，半径为1的上半球面，其定义域D 就是xy 平面上以原点为圆心，半径为1的闭圆。

2．三元函数与n 元函数()z y x f u ,,= ()Ω∈z y x ,,空间一个点集称为三元函数 ()n x x x f u ,,21 = 称为n 元函数它们的几何意义不再讨论，在偏导数和全微分中会用到三元函数。

条件极值中，可能会遇到超过三个自变量的多元函数。

二．二元函数的极限设()y x f ,在点()00,y x 的邻域内有定义，如果对任意0>ε，存在0>δ，只要()()δ<-+-2020y y x x ，就有()ε<-A y x f ,则记以()A y x f y y x x =→→,lim 00或()()()A y x f y x y x =→,lim00,,称当()y x ,趋于()00,y x 时，()y x f ,的极限存在，极限值为A ，否则，称为极限不存在。

值得注意：这里()y x ,趋于()00,y x 是在平面范围内，可以按任何方式沿任意曲线趋于()00,y x ，所以二元函数的极限比一元函数的极限复杂；但考试大纲只要求知道基本概念和简单的讨论极限存在性和计算极限值，不像一元函数求极限要求掌握各种方法和技巧。

三．二元函数的连续性1．二元函数连续的概念若()()00,,lim 00y x f y x f y y x x =→→ 则称()y x f ,在点()00,y x 处连续。

若()y x f ,在区域D 内每一点皆连续，则称()y x f ,在D 内连续。

2．闭区域上连续函数的性质定理1．（有界性定理）设()y x f ,在闭区域D 上连续，则()y x f ,在D 上一定有界. 定理2．（最大值最小值定理）设()y x f ,在闭区域D 上连续，则()y x f ,在D 上一定有最大值和最小值()()M y x f Dy x =∈,m a x ,（最大值），()()m y x f Dy x =∈,min,（最小值）定理3．（介值定理）设()y x f ,在闭区域D 上连续，M 为最大值，m 为最小值。

若M C m ≤≤，则存在()D y x ∈00,，使得()C y x f =00,乙 典型例题一．求二元函数的定义域例1．求函数xy x z +=3arcsin的定义域解：要求13≤x 即33≤≤-x ；又要求 0≥xy 即 0,0≥≥y x 或0,0≤≤y x 综合上述要求得定义域⎩⎨⎧≤≤≤-003y x 或⎩⎨⎧≥≤≤030y x例2．求函数()12ln 4222+-+--=x y yx z 的定义域解：要求1204222>+-≥--x y y x 和即 2222212x y y x⎧+≤⎨+>⎩函数定义域D 在圆2222≤+yx 的内部（包括边界）和抛物线xy 212=+的左侧（不包括抛物线上的点）二．有关二元复合函数例1．设()22,y y x y x y x f +=-+，求()y x f ,解：设u y x =+，v y x =-解出()v u x +=21，()v u y-=21代入所给函数化简()()()()224181,v u v u v u v u f -+-+=故()()()()224181,y x y x y x y x f -+-+=例2．设()53,22+++=+y xy x xy y x f ，求()y x f , 解： 5)2(532222++++=+++xy y xy x y xy x5)(2+++=xy y x5),(2++=∴y x y x f例3．设()1-+=x fy z ，当1=y 时，x z =，求函数f 和z解： 由条件可知2211),1,()1(1)12x f u f u x u u u=+==-=+-=+则1,2)(2-+=+=∴x y z x x x f例4．设()y x f y x z -++=，当0=y 时，2x z =，求函数f 和z 。

解：由条件可知yy x y x y x y x z xx x f x x f x zy 2)()()()()(22220+-=---++=-=⇒=+==三．有关二元函数的极限例1．讨论y x xa y x xy +→∞→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+211lim （0≠a 常数） 解：原式y x xy xxy a y x xy +→∞→⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=211lim而e t xy t xy tt xyay x =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞→→∞→11lim _______11lim 令又()ax y y y x xy xay x ay x 111limlim2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+→∞→→∞→∴原式a e 1= 例2．讨论2420limyx y x y x +→→解：沿lx y =原式022430lim=+=→xl x lxx沿424242,lim1x lxl y lx x l xl→===++原式∴原式的极限不存在例3．讨论242320limyx yxy x +→→解： )0)((222224≥-≥+y x yx y x212232242322120yy x yx yx yx =≤+≤∴而00lim ;021lim21==→→→→x x y y y用夹逼定理可知 原式=0例4．讨论22limyxy x y x y x +-+∞→∞→解：0111limlimlim22=+=+≤+-+∞→∞→∞→∞→x yxyy x yxy x y x y x y x§6.2 多元函数的偏导数与全微分甲 内容要点 一．偏导数1．定义设二元函数()y x f z ,=若()()xy x f y x x f x ∆-∆+→∆00000,,lim存在，则记以()00,y x f x '，或()00,y x x z∂∂或()00,y x z x'称为()y x f z ,=在点()00,y x 处关于x 的偏导数。

同理，若()()yy x f y y x f y ∆-∆+→∆00000,,lim存在，则记以()00,y x f y '，或()00,y x y z∂∂或()00,y x z y'称为()y x f z ,=在点()00,y x 处关于y 的偏导数。

类似地，设()z y x f u ,,= ()000,,z y x f x '即()00,,x x dx z y x df =()000,,z y x f y '即()00,,y y dyz y x df =()000,,z y x f z ' 即()00,,z z dzz y x df =2．二元函数偏导数的几何意义()00,y x f x '表示曲面()y x f z ,=与平面0y y =的截线在点()()0000,,,y x f y x 处的切线关于x 轴的斜率；()00,y x f y '表示曲面()y x f z ,=与平面0x x =的截线在点()()0000,,,y x f y x 处的切线关于y 轴的斜率3．高阶偏导数设()y x f z ,=的偏导数()y x f x ,'和()y x f y ,'仍是二元函数，那么它们的偏导数就称为()y x f z ,=的二阶偏导数，共有四种。

()y x f x zx z x xx ,22''=∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂ ()y x f yx zx z y xy ,2''=∂∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂ ()y x f x y zy z x yx ,2''=∂∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂ ()y x f yzyz y yy,22''=∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂ 当yx z ∂∂∂2，xy z ∂∂∂2在()y x ,处为连续则xy z yx z ∂∂∂=∂∂∂22也就是说在这种情况下混合偏导数与求导的次序无关。

类似地可以讨论二元函数的三阶及n 阶偏导数。

也可以讨论n 元函数()3≥n 的高阶偏导数。

二．全微分1．二元函数的可微性与全微分的定义设()y x f z ,=在点()00,y x 处有全增量 ()()0000,,y x f y y x x f z -∆+∆+=∆ 若()ρ0+∆+∆=∆y B x A z ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛→∆+∆=022y x ρ其中B A ,不依赖于y x ∆∆,只与00,y x 有关，则称()y x f z ,=在()00,y x 处可微，而y B x A ∆+∆称为()y x f z ,=在()00,y x 处的全微分，记以()00,y x dz或()00,y x df2．二元函数的全微分公式当()y x f z ,=在()00,y x 处可微时 则()()()y y x f x y x f y x dzy x ∆'+∆'=000000,,,()()dy y x f dx y x f y x 0000,,'+'=这里规定自变量微分x dx ∆=，y dy ∆= 一般地()()()dy y x f dx y x f y x df dz y x ,,,'+'==3．二元函数全微分的几何意义二元函数()y x f z ,=在点()00,y x 处的全微分()00,y x dz在几何上表示曲面()y x f z ,=在点()()0000,,,y x f y x 处切平面上的点的竖坐标的增量。

4．n 元函数的全微分公式类似地可以讨论三元函数和n 元()3>n 函数的可微和全微分概念，在可微情况下 ()()()()dz z y x f dy z y x f dx z y x f z y x df z y x ,,,,,,,,'+'+'= ()()k n nk x n dx x x f x x x df k ,,,,,1121 ∑='=三．偏导数的连续性、函数的可微性，偏导数的存在性与函数的连续性之间的关系设()y x f z ,=，则yzx z ∂∂∂∂,连续dz ⇒存在()连续存在y x f z y z x z ,,=⇒∂∂∂∂⇒四．方向导数与梯度（数学一）1．平面情形()y x z ,=在平面上过点()000,y x P 沿方向()βαcos ,cos =l 的方向导数()()()ty x f t y t x f y x lf t 0000000,c o s ,c o s lim,-++=∂∂→βα()y x f z ,=在点()000,y x P 处的梯度为 ()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂=y y x f x y x f y x g r a d f 000000,,,, 而方向导数与梯度的关系为()()[]l y x g r a d f y x lf ⋅=∂∂0000,,()()()l y x g r a d f l y x g r a d f ,,c o s ,0000= 由此可见，当l 的方向与()00,y x gradf的方向一致时，()00,y x lf ∂∂为最大，这时等于()00,y x gradf又方向导数与偏导数的关系为()()()βαc o s ,c o s ,,000000yy x f xy x f y x lf∂∂+∂∂=∂∂这相当用两向量的点乘的坐标公式§6.3 多元函数微分法甲 内容要点一．复合函数微分法——锁链公式模型 1．()v u f z ,=，()y x u u ,=，()y x v v ,=xvv zxu uz xz ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂；yv v z yu u z yz ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂模型2．()z y x f u ,,=，()y x z z ,=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂⋅'+'=∂∂∂∂⋅'+'=∂∂y z f f yu x z f f x uz y z x模型3．()z y x f u ,,=，()x y y =，()x z z =()()x z f x y f f dxdu z y x '⋅'+'⋅'+'=模型4．()v u f w ,=，()z y x u u ,,=，()z y x v v ,,= ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂'+∂∂'=∂∂∂∂'+∂∂'=∂∂∂∂⋅'+∂∂⋅'=∂∂z vf z u f zw y v f y u f ywx vf x u f x w v u v u v u还有其它模型可以类似处理二．隐函数微分法设()0,,=z y x F （1）确定()y x z z ,=则z x F F xz ''-=∂∂；z y F F yz ''-=∂∂（2）确定()z y x x ,=则x y F F y x ''-=∂∂；x z F F zx ''-=∂∂（3）确定()x z y y ,=则y z F F zy ''-=∂∂；y x F F xy ''-=∂∂乙 典型例题例1．设()z y x f u ,,=有连续的一阶偏导数，又函数()x y y =及()x z z =分别由下列两式确定2=-xy e xy 和⎰-=zx x dt e 0tsint ，求dxdu答案：()()zfz x z x e y fx y x f dx du x∂∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+∂∂-∂∂=sin 1例2．设()x y y =，()x z z =是由()y x xf z +=和()0,,=z y x F 所确定的函数，其中f 具有一阶连续导数，F 具有一阶连续偏导数，求dxdz答案：()z y x y F f x F F f x F f x fdxdz ''+'''-''+=例3 求z y x u )(=的偏导数解 1)(-=∂∂z y xy z xu， 121()()zz z uxx z x z y yyy-+∂⋅=-=-∂()l nzux x zy y ∂=∂例 4 设),,(z y x f u =有连续的一阶偏导数，又函数)()(x z z x y y ==及分别由下列两式确定dxdu dt tt e xy ezx xxy求和⎰-==-0sin 2解 dx dz f dx dy f f dxduz y x '+'+'=由)(][,2=+-+=-dxdy xy dxdy xy e x xy exyxy得求导两边对解出 ))1((--=xyexy dxdy分子和分母消除公因子由)1()()sin(,sin 0dxdz z x z x e x dt tt e xzx x---==⎰-得求导两边对解出 )sin()(1z x z x e dxdzx---=所以 z fz x z x e y fx y x fdxdux∂∂---+∂∂-∂∂=])sin()(1[ 例5 设0),,()()(),(=+===z y x F y x xf z x z z x y y 和是由所确定的函数，其中f 具有一阶连续导数，F 具有一阶连续偏导数 求dx dz解 分别在两方程两边对x 求导得[1]0x y z y z x dz dy dy dz f x f xf f xf dx dx dx dxdy dz dy dz F F F F F F dx dx dx dx ⎧⎧'''=++-+=+⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪''''''++=⋅+=-⎪⎪⎩⎩化简解出()y x y z f xf F xf Fdz dxF xf F''''+-='''+例6 设 由方程有连续偏导数),(),,(y x z ，z z y x f u ==duze yexe zyx求所确定=-解一：令yy xx zyxey F e x F zeye xe z y x F )1(,)1(),,(+-='+='--=得,则用隐函数求导公式得zz ez F )1(+-='zy zx z x ez y yz ez x F F xz--++-=∂∂++=''-=∂∂11;11zx z x z x ez x f f xz f f xu-++⋅'+'=∂∂'+'=∂∂11 11y zy z y z u z y f f f f ey yz -∂∂+''''=+=-⋅∂∂+dyez y f f dx ez x f f dy yu dx xu du zy z y zx z x )11()11(--++'-'+++'+'=∂∂+∂∂=∴解二： 在得两边求微分zyxze yexe =-dz e z dy e y dx e x zy x )1()1()1(+=+-+解出 zyx ez dye y dx e x dz )1()1()1(++-+=代入dzf dy f dx f du z y x '+'+'=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+'+'+'=zy x z y x e z dy e y dx e x f dy f dx f )1()1()1(合并化简也得dyez y f f dx ez x f f du zy z y zx z x )11()11(--++'-'+++'+'=例7 设 ),(v u f 具有二阶连续偏导数，且满足,12222=∂∂+∂∂vf uf222222,)(21,),(y g x g y x xy f y x g ∂∂+∂∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=求解：)(21,22y x v xy u -==v f yuf xyg vf xuf yx g∂∂-∂∂=∂∂∂∂+∂∂=∂∂,22gf f f fyx xx u vx v v ∂∂∂∂∂∂∂⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦而222f f u f v x u u x u v x ∂∂∂∂∂∂⎡⎤=⋅+⎢⎥∂∂∂∂∂∂∂⎣⎦； 222f f u f vx v v u x v x ∂∂∂∂∂∂⎡⎤=+⋅⎢⎥∂∂∂∂∂∂∂⎣⎦代入上式故：,2222222222v fvf xvu f xyuf yxg∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂vf vf yvu f xy uf xyg ∂∂-∂∂+∂∂∂-∂∂=∂∂2222222222 所以：22222222222222)()(yx vf y x uf y x yg xg+=∂∂++∂∂+=∂∂+∂∂例8 已知 ),(),,(),(0),(y x z v u F y x z z zy zx F 其中确定==均有连续编导数，求证zyz yxz x=∂∂+∂∂证：),,(),(),(===z y x G zy z x F v u F)()(,1,122zy F zx F G z F G z F G v u zv yu x-'+-'='⋅'='⋅'='根据隐函数求导公式v u u zx F y F x F z G G xz '+''=''-=∂∂v u v zy F y F x F z G G yz'+''=''-=∂∂则得 zyz yxz x=∂∂+∂∂例9 设 zux v x u vzu y zv u x ∂∂∂∂∂∂⎩⎨⎧+=++-=,,,2求解：对 得的两边求全微分，vzu y zv u x ,2⎩⎨⎧+=++-=⎩⎨⎧++=++-=vdz zdv du dy dz dv udu dx 2⎩⎨⎧-=++-=-⇒vdz dy zdv du dzdx dv udu 2 ,12)21(2,12)(++-+=++-+-=⇒uz dzuv dx udy dv uz dydz v z zdx du1,,212121u z v u z v xuz xuz zuz ∂∂∂-⇒=-==∂+∂+∂+§6．4 多元函数的极值和最值甲 内容要点一．求()y x f z ,=的极值第一步 ()()⎩⎨⎧='='0,0,y x f y x f yx 求出驻点()kk y x ,()l k ,,2,1 =第二步 令()()()[]2,,,k k xy k k yy k k xxk y x f y x f y x f ''-''''=∆若0<∆k 则()k k y x f ,不是极值若0=∆k 则不能确定（需从极值定义出发讨论） 若0>∆k 则()k k y x f ,是极值进一步 若()0,>''k k xxy x f 则()k k y x f ,为极小值 若()0,<''k k xxy x f 则()k k y x f ,为极大值二．求多元()2≥n 函数条件极值的拉格朗日乘子法求()n x x f u ,,1 =的极值约束条件()()⎪⎩⎪⎨⎧==0,, 0,,111n m n x x x x ϕϕ()n m <作()()()n mi iin m n x xx x f x x F F ,,,,,,,,,11111 ∑=+==ϕλλλ()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=='=='='='0,, 0,,011111n m n x x x x F x x F F F mnϕϕλλ求出()()()()l k x x k n k ,,2,1,,1 =是有可能的条件极值点，一般再由实际问题的含义确定其充分性。