考研数学(二)题库(高等数学)-第五章 多元函数微分学【圣才出品】

第一篇高等数学第一章函数、极限与连续强化训练（一）一、选择题1.2.提示：参照“例1.1.5”求解。

3.4.解因选项(D)中的 不能保证任意小，故选(D)5.6.7.8.9.10.二、填空题11.提示：由2cos 12sin 2xx =-可得。

12.13.提示：由1 未定式结果可得。

14.提示：分子有理化，再同除以n即可。

15.提示：分子、分母利用等价无穷小代换处理即可。

16.17.提示：先指数对数化，再利用洛必达法则。

18.19.解因()2000122(1cos )22cos 2lim lim lim lim lim 1x x x x x x x xx f x x xxx -----→→→→→⋅---=====- ()0lim lim xx x f x ae a --→→==， 而()0f a =，故由()f x 在 0x =处连续可知，1a =-。

20.提示：先求极限（1∞型）得到()f x 的表达式，再求函数的连续区间。

三、 解答题 21.(1)(2)提示：利用皮亚诺型余项泰勒公式处理12sin ,sin x x。

(3)(4)(5)提示：先指数对数化，再用洛必达法则。

(6)提示：请参照“例1.2.14（3）”求解。

22.23.解 由题设极限等式条件得21()ln(cos )201()lim ,limln(cos )1f x x xxx x f x e e x x x+→→=+=， 即 2201()1()limln(cos )lim ln(1cos 1)1x x f x f x x x x x x x→→+=+-+=， 利用等价无穷小代换，得201()lim(cos 1)1x f x x x x →-+=，即230cos 1()lim()1x x f x x x→-+=， 故 30()3lim 2x f x x →=。

24.提示：先指数对数化，再由导数定义可得。

25.26.28.提示：利用皮亚诺型余项泰勒公式求解。

数二考多元函数微分学的几何应用微分学是数学中的一个重要分支，它研究的是函数的变化规律。

而多元函数微分学则是微分学的一个延伸，研究的是多个变量的函数的变化规律。

在实际应用中，多元函数微分学有着广泛的应用，尤其在几何学中，可以帮助我们揭示图形的性质和变化规律。

我们来看一个简单的例子。

假设有一个平面上的曲线，我们想要研究它的切线方程。

通过多元函数微分学，我们可以求出曲线上任意一点的切线方程。

具体的方法是，首先求出曲线的导数，然后将导数代入切线方程的一般式中，即可得到切线方程。

这样，我们就可以通过切线方程来描述曲线的变化情况了。

接下来，我们来看一个更复杂的例子。

假设有一个三维空间中的曲面，我们想要研究它的切平面方程。

通过多元函数微分学，我们可以求出曲面上任意一点的切平面方程。

具体的方法是，首先求出曲面的偏导数，然后将偏导数代入切平面方程的一般式中，即可得到切平面方程。

这样，我们就可以通过切平面方程来描述曲面的变化情况了。

除了切线方程和切平面方程，多元函数微分学还可以帮助我们研究曲线和曲面的曲率。

曲率是描述曲线弯曲程度的一个重要指标，可以帮助我们了解曲线的形状和性质。

在多元函数微分学中，曲率可以通过求曲线的二阶导数来计算。

具体的方法是，首先求出曲线的一阶导数和二阶导数，然后将导数代入曲率公式中，即可得到曲线的曲率。

通过研究曲线的曲率，我们可以揭示曲线的弯曲情况和变化规律。

同样地，多元函数微分学还可以帮助我们研究曲面的曲率。

曲面的曲率是描述曲面弯曲程度的一个重要指标，可以帮助我们了解曲面的形状和性质。

在多元函数微分学中，曲面的曲率可以通过求曲面的二阶偏导数来计算。

具体的方法是，首先求出曲面的一阶偏导数和二阶偏导数，然后将偏导数代入曲率公式中，即可得到曲面的曲率。

通过研究曲面的曲率，我们可以揭示曲面的弯曲情况和变化规律。

除了切线方程、切平面方程和曲率，多元函数微分学还可以帮助我们研究曲线和曲面的极值。

极值是描述函数在某个区间内取得最大值或最小值的点，可以帮助我们了解函数的最优解。

2023年全国硕士研究生招生考试《数学二》真题及答案解析【完整版】一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。

1．1ln 1y x e x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭曲线的渐近线方程为（ ）。

A ．y ＝x ＋e B ．y ＝x ＋1/e C ．y ＝xD ．y ＝x －1/e 〖答案〗B〖解析〗1ln 11lim lim lim ln 1,1x x x x e y x k e x x x →∞→∞→∞⎛⎫+ ⎪-⎛⎫⎝⎭===+= ⎪-⎝⎭ ()()()11lim lim ln lim ln 11111lim ln 1lim 11x x x x x b y kx x e x x e x x x x e x e x e →∞→∞→∞→∞→∞⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎡⎤=+==⎢⎥--⎣⎦所以斜渐近线方程为y ＝x ＋1/e ．2．函数()()01cos ,0x f x x x x ≤=+>⎩的原函数为（ ）。

A ．())()ln ,01cos sin ,0x x F x x x x x ⎧≤⎪=⎨⎪+->⎩B ．())()ln 1,01cos sin ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪+->⎩C ．())()ln ,01sin cos ,0x x F x x x x x ⎧≤⎪=⎨⎪++>⎩D ．())()ln 1,01sin cos ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪++>⎩〖答案〗D〖解析〗当x ≤0时，()(1d ln f x x x C ==+⎰当x ＞0时，()()()()()2d 1cos d 1dsin 1sin sin d 1sin cos f x x x x xx x x x x x x x x C =+=+=+-=+++⎰⎰⎰⎰原函数在（－∞，＋∞）内连续，则在x ＝0处(110lim ln x x C C -→++=，()220lim 1sin cos 1x x x x C C +→+++=+ 所以C 1＝1＋C 2，令C 2＝C ，则C 1＝1＋C ，故())()ln 1,0d 1sin cos ,0x C x f x x x x x C x ⎧++≤⎪=⎨⎪+++>⎩⎰，综合选项，令C ＝0，则f （x ）的一个原函数为())()ln 1,01sin cos ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪++>⎩.3．设数列{x n }，{y n }满足x 1＝y 1＝1/2，x n ＋1＝sinx n ，y n ＋1＝y n 2，当n →∞时（ ）。

考研数学二（多元函数微分学、重积分）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(2012年试题，一)设函数f(x，y)为可微函数，且对任意的x，y都有则使不等式f(x1，y1)>f(x2，y2)成立的一个充分条件是( )．A．x1＞x2，y1＜y2B．x1＞x2，y1＞y2C．x1如果f(x1，y1)>f(x2，y1)，则x1＞x2，又，如果有f(x2，y1)>f(x2，y2)，则y1＜y2．所以f(x1，y1)>f(x2，y1)>f(x1，y2)时，就有x1＞x2，y1＜y2．因此选A．知识模块：多元函数微分学2．(2007年试题，一)二元函数f(x，y)在点(0，0)处可微的一个充分条件是( )．A．B．C．D．正确答案：C解析：选项A相当于已知f(x，y)在点(0，0)处连续．选项B相当于已知两个一阶偏导数fx’(0，0)，fy’(0，0)存在，因此A,B均不能保证f(x，y)在点(0，0)处可微．选项D相当于已知两个一阶偏导数fx’(0，0)fy’(0，0)存在，但不能推导出两个一阶偏导数fx’(x，y)fy’(x，y)在点(0，0)处连续，因此也不能保证f(x，y)在点(0，0)处可微．对于选项C，若则即fx’(0，0)=0．同理有fy’(0，0)=0．从而有根据可微的定义，知函数f(x，y)在(0，0)处可微．故应选C．知识模块：多元函数微分学3．(2005年试题，二)设函数其中函数φ具有二阶导数，ψ具有一阶导数，则必有( )．A．B．C．D．正确答案：B解析：由题设可得因为所以选B．知识模块：多元函数微分学4．(2010年试题，5)设函数z=z(x，y)，由方程确定．其中，为可微函数，且F2’≠0，则：A．xB．zC．一xD．一z正确答案：B解析：根据题意可得故而有，即正确答案为B．知识模块：多元函数微分学5．(2011年试题，一)设函数f(x)，g(x)均有二阶连续导数，满足f(0)>0，g(0)0 B．f’’(0)0，g’’(0)>0D．f’’(0)>0，g’’(0)在(0，0)点，A=f’’(0)g(0)，B=f’(0)g’(0)=0，C=f(0)g’’(0)若z=f(x)g(y)在(0，0)有极小值．则AC—B2＞0且A>0→f’’(0)0，故选A．知识模块：多元函数微分学6．(2009年试题，一)设函数z=f(x，y)的全微分为出=xdx+ydy，则点(0，0)( )．A．不是f(x，y)的连续点B．不是f(x，y)的极值点C．是f(x，y)的极大值点D．是f(x，y)的极小值点正确答案：D解析：由全微分dz=xdx+ydy可得令在(0，0)处又因为在此处A=1>0且AC 一B2=1>0，故可知点(0，0)为函数z=f(x，y)的一个极小值点．故正确答案为D．知识模块：多元函数微分学7．(2006年试题，二)设f(x，y)与φ(x，y)均为可微函数，且φ(x，y)≠0．已知(x0，y0)是f(x，y)在约束条件φ(x，y)=0下的一个极值点，下列选项正确的是( )．A．若f’(x0，y0)=0，则fy’(x0，y0)=0B．若f’(x0，y0)=0，则fy’(x0，y0)≠0C．若f’(x0，y0)≠0，则fy’(x0，y0)=0D．若f’(x0，y0)≠0，则fy’(x0，y0)≠0正确答案：D解析：用拉格朗日乘数法判断．令F(戈，y，λ)=f(x，y)+λφ(x，y)，则(x0，y0)满足若fx’(x0，y0)=0，由(1)式→λ或φx(x0，y0)=0，而当λ=0时，由(2)式得fy’(x0;y0)=0；当λ≠0时，由(2)式及φy’(x0，y0)≠0→fy’(x0，y0)≠0．所以排除A，B．若fx’(x0，y0)≠0，则由(1)式λ→0，再由(2)式及φy’(x0，y0)≠0→fy’(x0，y0)≠0，即fx’(x0，y0)≠0时，fy’(x0，y0)≠0．故选D．知识模块：多元函数微分学8．(2010年试题，6)=( )．A．B．C．D．正确答案：D解析：因故根据积分的几何定义可知．即正确答案为D．知识模块：重积分9．(2008年试题，一)设函数f(x)连续，．其中区域Duv为图1-5-1，阴影部分，则( )．A．vf(u2)B．C．vf(u)D．正确答案：A解析：在极坐标系下，则故应选A．知识模块：重积分10．(2004年试题，二)设函数f(u)连续，区域D=｜(x，y)｜x2+y2≤2y｜，则等于( )．A．B．C．D．正确答案：D解析：由题设，从而A不成立；由于仅知f(u)连续，题设并未指出f(xy)是否具有关于坐标轴的对称性，因此B不一定成立；将原积分化为极坐标下二次积分，有所以选择D[评注]由极坐标下面积元dz=rdrdθ可排除(c)，由D的边界曲线x2+(y一1)2=1可排除A，由f(x，y)为抽象函数知B不对，故应选D．知识模块：重积分11．(2012年试题，一)设区域D由曲线围成，则( )．A．πB．2C．-2正确答案：D解析：其中，sinx为奇函数，在对称区间上积为零，应选D 知识模块：重积分12．(2005年试题，二)设区域D={(x，y)｜x2+y2≤4，x>0，y≥0}f(x)为D 上的正值连续函数，a，b为常数,则A．abπB．C．(a+b)πD．正确答案：D解析：由题意可知，D关于直线Y=X对称，于是从而可得所以选D 知识模块：重积分13．(2009年试题，一)设函数f(x,y)连续，则A．B．C．D．正确答案：C解析：[*]的积分区域有两部分：D1={(x，y)｜1≤x≤2，x≤y≤2}，D2={(x，y)｜1≤y≤2，y≤x≤4一y}这两个积分区域可合成一个积分区域D={(x，y)｜1≤y≤2，1≤x≤4一y}，所以题干中的二重积分等于[*]y)dx．故正确答案为C．知识模块：重积分14．(2007年试题，一)设函数f(x，y)连续，则二次积分等于( )．A．B．C．D．正确答案：B解析：由二次积分的积分上、下限可知积分区域为的反函数为x=π—arcsiny，则上述区域等价于，所以积分变换为故应选B．[评注]关键在于先确定x和y的范围，再交换积分次序，确定y的范围时应注意，当时，y=sinx=sin(π一x)于是π一x=arcsiny，从而x=π—arc-siny 知识模块：重积分15．(2006年试题，二)设f(x，y)为连续函数，则等于( )．A．B．C．D．正确答案：C解析：用排除法．若选择先y后x的积分顺序，则要分块积分．由于选项并未分块积分，故A,B错误．又其中D如图1一5—4所求，其极坐标表示为0≤r≤1，0≤θ≤现转换为先x后y的积分顺序：因为y=x与x2+y2=1在第一象限的交点为所以从而故选C．知识模块：重积分填空题16．(2012年试题，二)设y=y(x)是由方程x2一y+1=ey所确定的隐函数，则__________.正确答案：将x=0代入方程x2+y+1=ey，得y=0，在方程x2一y+1=ey两端对x求一阶导，得2x—y’=y’ey，将x=0，y=0代入得y’(0)=0再在2x—y’=y’ey 两端对x求一阶导，得2一y’’=y’’ey+(y’)2ey，将x=0，y=0，y’(0)=0代入得y’’(0)=1，即涉及知识点：多元函数微分学17．(2004年试题，一)设函数z=z(x，y)由方程x=e2x-3x+2y确定，则_________.正确答案：由方程z=e2x-3x+2y两边分别对x，y求偏导得于是所以解析：在函数f(x，y，z)中x,y，z都是相互独立的自变量，求隐函数偏导数有三种方法：按复合函数求导；代公式；利用全微分的形式不变性．知识模块：多元函数微分学18．(2006年试题，三(20))设函数f(u)在(0，+∞)内具有二阶导数．且z=f 满足等式(I)验证(Ⅱ)若f(1)=0,f’(1)=1，求函数f(u)的表达式．正确答案：(I)用复合函数求导法验证．令，则式(1)+式(2)，得(Ⅱ)因为(已证)，所以uf’’(u)+f’(u)=0，即[uf’(u)]’=0积分得uf’(u)=C1由f’(1)=1→C1=1，于是再积分得f(u)=In｜u｜+C2由f(1)=0→C2=0，所以f(u)=In｜u｜．涉及知识点：多元函数微分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学二（多元函数微分学）-试卷5(总分：74.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.（分数：2.00）A.等于0B.不存在√C.D.0解析：解析：当取y=kx k有关，故极限不存在．3.设u=arcsin= ( )（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：解析：将x视为常数，属基本计算．4.（分数：2.00）A.等于0B.不存在√C.D.存在且不等于0解析：解析：取y=x5.设u=f(r)，而r==( )（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：6.考虑二元函数f(x，y)的下面4条性质：①f(x，y)在点(x 0，y 0)处连续；②f(x，y)在点(x 0，y 0)处的两个偏导数连续；③f(x，y)在点(x 0，y 0 )处可微；④f(x，y)在点(x 0，y 0 )处的两个偏导数存在． 若用“P→Q”表示可由性质P 退出性质Q ，则有 ( ) （分数：2.00） A.②→③→① √ B.③→②→① C.③→④→① D.③→①→④解析：解析：本题考查如图1．4—17.设函数u=u(x ，y)满足 及u(x ，2x)=x ，u" 1(x ，2x)=x 2，u 有二阶连续偏导数，则u 11 (x ，2x)=（分数：2.00）A. B. √ C. D.解析：解析：等式u(x ，2x)=x 两边对x 求导得u" 1 +2u" 2 =1，两边再对x 求导得 u" 11 +2u" 12 +2u" 21 +4u"22=0， ① 等式u" 1 (x ，2x)=x 2两边对x 求导得 u" 11 +2u" 12 =2x ， ② 将②式及u" 12 =u" 21 ，u" 11 =u" 22代入①式中得u" 11 (x ，2x)=一x ．8.利用变量替换u=x ，v==z 化成新方程（分数：2.00） A. √ B. C. D.9.若函数，y)u ，则函数G(x ，y)= ( )（分数：2.00） A.x+y B.x —y √C.x 2一y 2(13)(x+y) 210.已知du(x ，y)=[axy 3+cos(x+2y)]dx+[3x 2 y 2+bcos(x+2y)]dy ，则 ( )（分数：2.00） A.a=2，b=一2 B.a=3，b=2 C.a=2，b=2 √ D.a=一2，b=2解析：解析：由du(x ，y)=[axy 3 +cos(x+2y)]dx+[3x 2 y 2 +bcos(x+2y)]dy 可知， 3axy 2一2sin(x+2y)=6xy2一bsin(x+2y)． 故得a=2，b=2．11.设u(x ，y)在平面有界闭区域D u(x ，y)的 ( )（分数：2.00）A.最大值点和最小值点必定都在D 的内部B.最大值点和最小值点必定都在D 的边界上 √C.最大值点在D 的内部，最小值点在D 的边界上D.最小值点在D 的内部，最大值点在D 的边界上解析：解析：令 B 2一AC ＞0，函数u(x ，y)不存在无条件极值，所以，D 的内部没有极值，故最大值与最小值都不会在D 的内部出现．但是u(x ，y)连续，所以，在平面有界闭区域D 上必有最大值与最小值，故最大值点和最小值点必定都在D 的边界上． 12.设函数z=(1+e y)cos x —ye y，则函数z=f(x ，y) ( ) （分数：2.00） A.无极值点 B.有有限个极值点C.有无穷多个极大值点 √D.有无穷多个极小值点解析：解析：本题是二元具体函数求极值问题，由于涉及的三角函数是周期函数，故极值点的个数有可能无穷． 由得驻点为(k π，cosk π一1)，k=0，±1，±2，…， 又z" xx =一(1+e y)cos x ，z" xy =一esin x ，z" yy =e y(cosx —2一y)． (1)当k=0，±2，±4，…时，驻点为(k π，0)，从而 A=z" xx (k π，0)=一2，B=z" xy (k π，0)=0，C=z" yy (k π，0)=一1， 于是B 2一AC=一2＜0，而A=一2＜0，即驻点(k π，0)均为极大值点，因而函数有无穷多个极大值； (2)当k=±1，±3，…时，驻点为(k π，一2)，此时 A=z"xx(k π，一2)=1+e 一2 ，B=z" xy (k π，一2)=0，C=z" yy (k π，一2)=一e 一2 ， 于是B 2 一AC=(1+e 一2)．e 一2＞0，即驻点(k π，一2)为非极值点． 综上所述，故选(C)．二、 填空题(总题数：5，分数：10.00)13.设f 可微，则由方程f(cx 一az ，cy 一bz)=0确定的函数z=z(x ，y)满足az" x +bz" y = 1． （分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：C ）解析：解析：本题考查多元微分法，是一道基础计算题． 方程两边求全微分，得f" 1 ．(cdx —adx)+f" 2．(cdy —bdz)=0，即14.设函数z=z(x ，y)由方程sin x+2y —z=e z所确定，则．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：方程两端对x 求偏导数cos x+015.函数f(x ，y ，z)=一2x 2在x 2一y 2一2z 2=2条件下的极大值是 1． （分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：一4） 解析：解析：由拉格朗日乘数法可得．16.函数的定义域 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ z ｜，且z≠0）解析：解析：由一可得．17.设z=esin xy，则dz= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：esinxycosxy(ydx+xdy)）解析：解析：z" x =e sinxy cos xy．y，z" y =e sinxy os xy．x，则dz=e sinxy cos xy(ydx+xdy)．三、解答题(总题数：20，分数：40.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学二（多元函数微分学、重积分）历年真题试卷汇编2(总分：84.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：18，分数：36.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.设函数f(x，y)可微，且对任意的x，y，都有f(x 1，y 1 )＜f(x 2，y 1 )成立的一个充分条件是（分数：2.00）A.x 1＞x 2，y 1＜y 2．B.x 1＞x 2，y 1＞y 2．C.x 1＜x 2，y 1＜y 2．D.x 1＜x 2，y 1＞2√解析：解析：[详解] 若x 1＜x 2，y 1＞y 2，则由，有f(x 1，y 1)＜(x 2，y 1)，由有f(x 2，y 1 )＜f(x 2，y 2 )，即f(x 1，y 1 )＜f(x 2，y 1 )＜f(x 2，y 1 )．故应选(D)．3.设函数u(x，y)＝ψ(x＋y)＋ψ(x—y)＋∫ x－y x＋yψ(t)dt，其中函数ψ具有二阶导数，ψ具有一阶导数，则必有（分数：2.00）√解析：解析：[详解]＝ψ"(x＋y)＋ψ"(x—y)＋ψ(x＋y)－ψ(x—y)，＝ψ"(x＋y)－ψ"(x—y)＋ψ(x＋y)＋ψ(x—y)，＝ψ"(x＋y)＋ψ"(x—y)＋ψ"(x＋y)－ψ"(z一3，)，＝ψ"(x＋y)＋ψ"(x—y)＋ψ"(x＋y)－ψ"(x—y)，＝ψ"(x＋y)－ψ"(x—y)＋ψ"(x＋y)＋ψ"(x—y)．从故应选(B)．4.二元函数f(x，y)在点(0，0)处可微的一个充分条件是（分数：2.00）√解析：解析：[详解] 选项(A)相当于已知f(x，y)在点(0，0)处连续，选项(B)相当于已知两个一阶偏导数f" x (0，0)，f" y (0，0)存在，因此(A)，(B)均不能保证f(x，y)在点(0，0)处可微．选项(D)相当于已知两个一阶偏导数f" x (0，0)，f" y (0，0)在点(0，0)连续，但不能推导出两个一阶偏导函数f" x (x，y)，f" y(x，y)在点(0，0)处连续，因此也不能保证f(x，y)在点(0，0)处可微．若，则，即f" x (0，0)＝0，同理有 f" y (0，0)＝0．从而根据可微的定义，知函数f(x，y)在(0，0)处可微．故应选(C)．5.设函数，其中函数f（分数：2.00）A.2yf’(x y)√B.－2yf’(x y)解析：解析：由，可得(A)．6.设函数z＝z(x，y)由方程确定，其中F为可微函数，且F" 2≠0 且（分数：2.00）A.x．B.z．√C.－x．D.－z．解析：解析：[分析] 利用公式直接求两个一阶偏导数．[详解] 因为，所以．因此应选(B)．[评注] 。

多元函数微积分学多元函数的极限、连续、偏导数与全微分1、重极限的概念设函数f(x,y)在开区域（或闭区域）D内有定义，P0(x0,y0)是D的内点或边界点，如果对任意给定的ε>0，∃δ>0，使得对适合不等式0<√(x−x0)2+(y−y0)2<δ且P(x,y)∈D一切P(x,y)都有|f(x,y)−A|<ε，则称A为f(x,y)当x→x0，y→y0时的极限，记为limx→x0y→y0f(x,y)=A2、二元函数连续的概念设函数f(x,y)在开区域(或闭区域)D内由定义，P0(x0,y0)是D的内点或边界点，且P0∈D ，如果limx→x0y→y0f(x,y)= f(x0,y0)，则称函数在点P0(x0,y0)连续3、偏导数的概念设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内由定义，如果lim ∆x→0f(x0+∆x,y0)−f(x0,y0)∆x存在，则称此极限为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数，记为f x′(x0,y0)类似地可定义f x′(x0,y0)=lim∆x→0f(x0+∆x,y0)−f(x0,y0)∆x4、偏导数的几何意义偏导数f x′(x0,y0)在几何上表示曲面z=f(x,y)与平面y=y0的交线在点M0(x0,y0,f(x0,y0))处的切线T x对x轴的斜率，f x′(x0,y0)=tanα偏导数f y′(x0,y0)在几何上表示曲面z=f(x,y)与平面x=x0的交线在点M0(x0,y0,f(x0,y0))处的切线T y对y轴的斜率，f y′(x0,y0)=tanβ5、全微分的概念如果函数z=f(x,y)在点(x,y)处的全增量∆z=f(x+∆x,y+∆y)−f(x,y)可表示为∆z=A∆x+B∆y+o(ρ)其中A，B不依赖于∆x，∆y，而仅与x，y有关，ρ=√(∆x)2+(∆y)2，则称函数z=f(x,y)在点(x,y)可微.而称A∆x+B∆y为函数z=f(x,y)的全微分，记为dz=A∆x+B∆y6、可微的必要条件定理1：如果函数z=f(x,y)在点(x,y)处可微，则该函数在点(x,y)处的偏导数ðzðx，ðzðy必定存在，且dz=ðzðxdx+ðzdy7、可微的充分条件定理2：如果函数z=f(x,y)的偏导数ðzðx和ðzðy在点处连续，则函数z=f(x,y)在该点可微8、多元函数连续、可导、可微之间的关系对二元函数z=f(x,y)，我们称它在点(x,y)可导是指它在点(x,y)处两个一阶偏倒数，ðzðx，ðzðy都存在，则二元函数的连续、可导及可微的关系是多元函数一元函数连续可导连续←可导 ↖ ↗↖ ↙↗可微可微↑一阶偏导数连续由上图可以看出一元函数和多元函数的连续、可导、可微之间的关系主要不同在于，一元函数可导能推得连续，也能推得可微；而多元函数的可导既不能推得连续，也不能推得可微，其主要原因在于多元的可导是指一阶偏导数存在，而偏导数是用一元函数极限定义的f x′(x0,y0)=limx→x0f(x,y0)−f(x0,y0)x−x0f y′(x0,y0)=limy→y0f(x0,y)−f(x0,y0)y−y0其动点(x,y0)（或(x0,y)）是沿x（或y）轴方向趋于(x0,y0)，它只与点(x0,y0)邻域内过该点且平行于两坐标轴的十字架方向函数值有关；而连续(lim(x,y)→(x0,y0)f(x,y)=f(x0,y0))和可微(f(x,y)−f(x0,y0)=A(x−x0)+B(y−y0) +o(ρ))是都是用重极限定义的，其动点(x,y)是以任意方式趋于(x0,y0)，它与点(x0,y0)邻域内函数值有关多元函数的微分法1、复合函数求导法则定理1（多元函数与一元函数的复合）如果函数u=φ(t)，v=ψ(t)都在点t可导，函数z=f(u,v)在对应点(u,v)具有连续一阶偏导数，则复合函数z=f(φ(t),ψ(t))在点t可导，且dz dt =ðzðududt+ðzðvdvdt定理2（多元函数与多元函数的复合）如果函数u=φ(x,y)，v=ψ(x,y)在点有对x，y的偏导数，函数z=f(u,v)在对应点有连续一阶偏导数，则复合函数z=f(φ(x,y),ψ(x,y))在点(x,y)有对x，y的偏导数，且ðz ðx =ðfðuðuðx+ðfðvðvðx，ðzðy=ðfðuðuðy+ðfðvðvðy2、全微分形式不变性设函数z=f(u,v)和φ(x,y),ψ(x,y)都具有连续一阶偏导数，则复合函数z=f(φ(x,y),ψ(x,y))可微，且dz=ðzðxdx+ðzðydy由以上定理2知，ðz=ðfðu+ðfðv，ðz=ðfðu+ðfðv.将ðz和ðz代入上式得dz=(ðfðuðuðx+ðfðvðvðx)dx+(ðfðuðuðy+ðfðvðvðy)dy=ðfðu(ðuðxdx+ðuðydy)+ðfðv(ðvðxdx+ðvðydy)=ðfdu+ðfdv=ðzdu+ðzdv3、高阶偏导数及混合偏导数与求导次序无关的问题（1）高阶偏导数的概念设函数z=f(x,y)在区域D内具有偏导数ðz ðx =f x′(x,y)，ðzðy=f y′(x,y)如果f x′(x,y)和f y′(x,y)的偏导数也存在，则称它们是函数z=f(x,y)的二阶导数.二阶导数有以下四个ð2z ðx2=ððx(ðzðx)=f xx′′(x,y)，ð2zðxðy=ððy(ðzðx)=f xy′′(x,y)ð2z ðyðx =ððx(ðzðy)=f yx′′(x,y)，ð2zðy2=ððy(ðzðy)=f yy′′(x,y)（2）混合偏导数与求导次序无关问题定理3：若函数z =f (x,y )的两个混合偏导数和在点都连续，则在点ð2z ðxðy 和ð2zðyðx 在点(x 0,y 0)都连续，则在(x 0,y 0)点ð2z ðxðy =ð2zðyðx4、由一个方程式确定的隐函数（一元函数）求导法设有F (x,y )连续一阶偏导数，且F y ′≠0，则由方程F (x,y )=0确定的函数y =y (x )可导，且dy dx =−F x ′F y ′ 5、由一个方程式确定的隐函数（二元函数）求导法设有F (x,y,z )连续一阶偏导数，且F z ′≠0,z =z (x,y )，由方程F (x,y,z )=0所确定，则ðz =−F x ′z ′，ðz=−F y ′z′极值与最值1、多元函数取得极值的必要条件设函数f (x,y )在点M 0(x 0,y 0)的一阶偏导数存在，且在(x 0,y 0)取得极值，则f x ′(x 0,y 0)=0，f y ′(x 0,y 0)=0由此可见具有一阶偏导数的函数的极值点一定是驻点，但驻点不一定是极值点 2、二元函数取得极值的充分条件（下述定理仅适用于二元函数）设函数z =f (x,y )在点(x 0,y 0)的某邻域内有连续的二阶偏导数，且f x ′(x 0,y 0)=0，f y ′(x 0,y 0)=0.令f xx ′′(x 0,y 0)=A ，f xy ′′(x 0,y 0)=B ，f yy ′′(x 0,y 0)=C ，则 (1)AC −B 2>0时，f (x,y )在(x 0,y 0)点取极值，且{当A >0时极小值当A <0时极大值(2)AC −B 2<0时，f (x,y )在(x 0,y 0)点无极值(3)AC −B 2=0时，不能确定f (x,y )在(x 0,y 0)点是否有极值，还需进一步讨论（一般用极值定义） 3、函数f (x , y )在条件φ(x , y) = 0下的极值的必要条件 解决此类问题的一般方法是拉格朗日乘数法：先构造拉格朗日函数F (x,y,λ)=f (x,y )+λφ(x,y )，然后解方程组{ ðF ðx =ðf ðx +λðφðx =0ðF ðy =ðf ðy+λðφðy =0ðFðλ=φ(x,y )=0所有满足此方程组的解(x,y,λ)中(x,y )是函数f (x,y )在条件φ(x,y )=0下的可能的极值点 4、函数f (x , y ,z )在条件φ(x , y ,z) = 0，Ψ(x , y ,z) = 0下的极值的必要条件 与上一条情况类似，构造拉格朗日函数F (x,y,,z,λ,μ)=f (x,y,z )+λφ(x,y,z )+μψ(x,y,z )以下与上一条情况类似二重积分二重积分的性质 1、比较定理如果在D 上，f (x,y )≤g (x,y )，则∬f (x,y )Ddσ≤∬g (x,y )Ddσ2、估值定理设M ，m 分别为连续函数f (x,y )在闭区间D 上的最大值和最小值，S 表示D 的面积，则mS ≤∬f (x,y )Ddσ≤MS3、中值定理设函数f (x,y )在闭区间D 上连续，S 为D 的面积，则在D 上至少存在一点(ξ,η)，使∬f (x,y )Ddσ=f (ξ,η)S二重积分的计算4、在直角坐标下计算在直角坐标下计算二重积分关键是将二重积分化为累次积分，累次积分分两种次序，累次积分的次序往往根据积分域和被积函数来确定（1）适合先y 后x 的积分域若积分域D 由不等式{φ1(x )≤y ≤φ2(x )a ≤x ≤b确定，则该区域D 上的二重积分适合化成先y 后x 的累次积分，且∬f (x,y )Ddσ=∫dx ∫f (x,y )φ2(x )φ1(x )ba dy（2）适合先x 后y 的积分域若积分域D 由不等式{ψ1(x )≤y ≤ψ2(x )c ≤y ≤d确定，则该区域D 上的二重积分适合化成先x 后y 的累次积分，且∬f (x,y )Ddσ=∫dy ∫f (x,y )ψ2(x )ψ1(x )dc dx如果遇到更复杂的积分区域，总可利用分别平行于两个坐标轴的直线将其化分成若干个以上两种区域进行计算 5、在极坐标下计算在极坐标(ρ,θ)中，一般是将二重积分化为先ρ后θ的累次积分，常见的有以下四种情况： （1）极点O 在区域D 之外，则∬f (x,y )Ddσ=∫dθ∫f (ρcos θ,ρsin θ)ρ2(θ)ρ1(θ)βαρdρ（2）极点O 在区域D 的边界上，则∬f (x,y )Ddσ=∫dθ∫f (ρcos θ,ρsin θ)ρ(θ)βαρdρ（3）极点O 在区域D 的内部，则∬f (x,y )Ddσ=∫dθ∫f (ρcos θ,ρsin θ)ρ(θ)2πρdρ（4）环形域，且极点O 在环形域内部，则∬f (x,y )Ddσ=∫dθ∫f (ρcos θ,ρsin θ)ρ2(θ)ρ1(θ)2πρdρ注：将二重积分化为累次积分计算时，坐标系的选择不仅要看积分域D 的形状，而且要看被积函数的形式，以下我们给出适合用极坐标计算的二重积分其积分域和被积函数的特点，不适合用极坐标计算的当然是用直角坐标 ①适合用极坐标计算的二重积分被积函数一般应具有以下形式f (√x 2+y 2)，f (y x )，f (xy )之所以适合极坐标是由于它们在极坐标下都可化为或的一元函数②适合用极坐标计算的二重积分的积分域一般应具有以下形状：中心在原点的圆域，圆环域，或它们的一部分（如扇形）.中心在坐标轴上且边界圆过原点的圆域（如由x 2+y 2=2ax或x2+y2=2by所围成）或者它们的一部分6、利用对称性和奇偶性进行计算常用的结论有以下两条：（1）利用积分域的对称性和被积函数的奇偶性①若积分域D关于y轴对称，且被积函数f(x,y)关于x有奇偶性，则∬f(x,y)dσD ={2∬f(x,y)dσD1f(x,y)关于x为偶函数，即f(−x,y)=f(x,y)f(x,y)关于x为奇函数，即f(x,−y)=−f(x,y)其中为D在y轴右侧的部分②若积分域D关于x轴对称，且被积函数f(x,y)关于y有奇偶性，则∬f(x,y)dσD ={2∬f(x,y)dσD1f(x,y)关于x为偶函数，即f(x,−y)=f(x,y)f(x,y)关于x为奇函数，即f(x,−y)=−f(x,y)其中为D在x轴上方的部分（2）利用变量的对称性若积分域D关于直线y = x对称，换言之，表示积分域D的等式或不等式中将x与y对调后原等式或不等式不变.如，圆域x2+y2≤R2，正方形域{0≤x≤10≤y≤1则∬f(x,y) D dσ=∬f(y,x)Ddσ即：被积函数中x和y对调积分值不变。

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第六章多元函数微分学综述：本章是对一元函数中极限、连续、导数与微分等知识的推广，主要考点是围绕偏导数的一系列计算,由于多元函数微分学计算的复杂性要大于一元函数，考试在微分学中的大题一般都出在本章.在考试中，每年直接涉及到本章知识所占的分值平均在１２分左右．本章的主要知识点有:二重极限的定义及其简单的性质，二元函数的连续、偏导数和可微，多元函数偏导数的计算,方向导数与梯度,多元函数的极值，曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线.其中学习的难点是二重极限、二元函数连续、有偏导数和可微这些概念.这一部分考查的频率不高，且以小题为主,考生在学习时要注重把握相关概念严格的数学定义，并与一元函数的相关概念进行比较．本章考查的重点在偏导数的计算及其应用上:首先，偏导数的计算与一元函数的求导并无本质区别,考生只需将一元函数求导的相关知识进行推广,就可以得到偏导数相应的计算公式；在全面掌握了偏导数的计算方法之后,考生还需要掌握偏导数的各种应用，包括多元函数的极值(无条件极值与条件极值）、曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线，对于它们,考生只要能计算偏导数，再记住相关的公式定理即可.本章常考的题型有：1.关于连续、偏导数与全微分定义的考查;2.偏导数的计算；３.方向导数与梯度；4.极值，５．空间曲线的切线与法平面,６.空间曲面的切平面与法线.常考题型一：连续、偏导数与全微分1.【1９94-１ 3分】二元函数(,)f x y 在点()00,x y 处两个偏导数0000(,),(,)x y f x y f x y ''存在是(,)f x y 在该点连续的()()A 充分条件而非必要条件()B 必要条件而非充分条件 ()C 充分必要条件()D 既非充分条件又非必要条件2．【1９9７-1 ３分】二元函数22(,)(0,0)(,)0(,)(0,0)xyx y x y f x y x y ⎛≠ += =⎝，，,在点(0,0)处()()A 连续，偏导数存在()B 连续,偏导数不存在()C 不连续,偏导数存在ﻩ()D 不连续，偏导数不存在3.【２002-１ 3分】考虑二元函数(,)f x y 的下面４条性质，正确的是（） ①(,)f x y 在点00(,)x y 处连续②(,)f x y 在点00(,)x y 处的两个偏导数连续 ③(,)f x y 在点00(,)x y 处可微④(,)f x y 在点00(,)x y 处的两个偏导数存在()A ②⇒③⇒①()B ③⇒②⇒①()C ③⇒④⇒①()D ③⇒①⇒④４．【2０0３-３ ４分】设可微函数(,)f x y 在点),(00y x 取得极小值，则下列结论正确的是()A ),(0y x f 在0y y =处的导数等于零. ()B ),(0y x f 在0y y =处的导数大于零.()C ),(0y x f 在0y y =处的导数小于零. ()D ),(0y x f 在0y y =处的导数不存在.5．【2０07-１ ４分】二元函数(,)f x y 在点()0,0处可微的一个充分条件是（）()A ()[](,)0,0lim (,)(0,0)0x y f x y f →-=. ()B 00(,0)(0,0)(0,)(0,0)lim 0,lim 0x y f x f f y f x y→→--==且.()C ()22(,)0,0(,)(0,0)lim 0x y f x y f x y→-=+．()D 00lim (,0)(0,0)0,lim (0,)(0,0)0x x y yx y f x f f y f →→⎡⎤⎡⎤''''-=-=⎣⎦⎣⎦且. 6.【200８-3 4分】已知24(,)x y f x y e+=,则()A (0,0)x f ',(0,0)y f '都存在()B (0,0)x f '不存在,(0,0)y f '存在()C (0,0)x f '不存在,(0,0)y f '不存在()D (0,0)x f ',(0,0)y f '都不存在7.【2012－１ ４分】如果(,)f x y 在()0,0处连续，那么下列命题正确的是（） (A)若极限00(,)limx y f x y x y→→+存在，则(,)f x y 在(0,0)处可微(B ）若极限2200(,)limx y f x y x y→→+存在,则(,)f x y 在(0,0)处可微 (C)若(,)f x y 在(0,0)处可微,则极限00(,)limx y f x y x y→→+存在（Ｄ)若(,)f x y 在(0,0)处可微，则极限2200(,)limx y f x y x y→→+存在 8.【2０12-2 ４分】设函数(,)f x y 可微，且对任意,x y 都有(,)0f x y x ∂>∂,(,)0f x y y ∂<∂,则使得1122(,)(,)f x y f x y <成立的一个充分条件是(A) 1212,x x y y ><ﻩﻩﻩ(B)1212,x x y y >> (Ｃ)1212,x x y y <<ﻩﻩﻩ(D ）1212,x x y y <>9.【2０12-３ 4分】连续函数(,)z f x y =满足221(,)22lim0(1)x y f x y x y x y →→-+-=+-,则(0,1)dz=__＿__＿＿＿。

2023年全国硕士研究生招生考试（数学二）试题一、选择题 1.曲线1ln e 1y x x ⎛⎫=+⎪−⎝⎭的斜渐近线方程为 A. e.1B..e C..1D..ey x y x y x y x =+=+==−2.函数0,()(1)cos ,0x f x x x x ⎧≤⎪=⎨⎪+>⎩的一个原函数为),0,A.()(1)cos sin ,0.)1,0,B.()(1)cos sin ,0.),0,C.()(1)sin cos ,0.)1,0,D.()(1)sin cos ,0.x x F x x x x x x x F x x x x x x x F x x x x x x x F x x x x x ⎧⎪≤=⎨+−>⎪⎩⎧⎪+≤=⎨+−>⎪⎩⎧⎪≤=⎨++>⎪⎩⎧⎪++≤=⎨++>⎪⎩3.已知{}{},n n x y 满足：211111,sin ,(1,2,),2n n n n x y x x y y n ++=====则当n →∞时，A.B.C.D.n n n n n n n n x y y x x y x y 是的高阶无穷小.是的高阶无穷小.与是等价无穷小.与是同阶但不等价的无穷小.4.若微分方程0y ay by '''++=的解在()−∞+∞，上有界，则 A.0,0.a b <> B.0,0.a b >> C.0,0.a b => D.0,0.a b =<5.设函数()y f x =由2,sin x t t y t t =+⎧⎨=⎩确定，则A.(),(0).B.(0),()0C.(),(0)D.(0),()0f x f f f x x f x f f f x x '''='''''''=连续不存在存在在处不连续.连续不存在.存在在处不连续.6.若函数121()d (ln )f x x x αα+∞+=⎰在0αα=处取得最小值，则0α=A.1ln(ln 2)−B.ln(ln 2)−C.1ln 2D.ln 27.设函数2()(+)e xf x x a =，若()f x 没有极值点，但曲线()y f x =有拐点，则a 的取值范围 A.[0,1) B.[1,)+∞ C.[1,2) D.[2,)+∞8.设A,B 为n 阶可逆矩阵，E 为n 阶单位矩阵，*M 为矩阵M 的伴随矩阵，则*⎛⎫= ⎪⎝⎭A E O BA.⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭****A B B A O B A B.⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭****A B A B O B A C.⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭****B A B A O A B D.⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭****B A A B O A B 9.二次型222123121323(,,)()+()4()f x x x x x x x x x =++−−的规范形为A.2212y y +B.2212y y −C.2221234y y y +−D.222123y y y +− 10.已知向量121212212,1,5,03191⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααββ.若γ既可由12,αα线性表示，也可由12,ββ线性表示，则=γA.33,4k k⎛⎫⎪∈⎪⎪⎝⎭R B.35,10k k⎛⎫⎪∈⎪⎪⎝⎭R C.11,2k k−⎛⎫⎪∈⎪⎪⎝⎭R D.15,8k k⎛⎫⎪∈⎪⎪⎝⎭R二、填空题2222(1,1)22530()ln(1)()e cos,______.12.______.13.(,)e2,=______.14.321______.15.()(+2)-()xxx f x ax bx x g x x aby tzz z x y xz x yxx y y xf x f x f x→=+++=−==∂=+=−∂=+=11.当时，函数与是等价无穷小则曲线的弧长为设函数由确定则曲线在对应点处的法线斜率为设连续函数满足：23011312312312=,()d0.()d______.1011116.,114,12201202______.x f x x f x xax xa ax ax xa b a ax x axa a bax bx==+=⎧⎪++=⎪==⎨++=⎪⎪+=⎩⎰⎰则，，已知线性方程组有解，其中为常数，若则，三、解答题:()(e)e(,)();(2)L y y x x L P x y yyy xL=>217.设曲线经过点(,0),上任一点到轴的距离等于该点处的切线在轴上的截距.(1)求在上求一点，使该点处的切线与两坐标轴所围三角形的面积最小，并求此最小面积.2cos(,)e.2yxf x y x=+18.求函数的极值19.已知平面区域{(,)|01}.D x y y x=≤≤≥(1)求D的面积；(2)求D绕x轴旋转所成旋转体的体积.222222(12)1,2,0d d.3DD x y xy x y xyy y x yx y+−=+−===+⎰⎰20.分设平面有界区域位于第一象限，由曲线与直线1围成，计算21.（12分）设函数()f x在[,]a a−上具有2阶连续导数，证明：（1）若(0)0f=，则存在(),,a aξ∈−使得21()[()()];''f f a f aaξ=+−（2）若()f x在(,)a a−内取得极值，则存在(),a aη∈−使得()''21()().2f f a f aaη≥−−22.设矩阵A满足对任意123,,x x x均有123121233232.x x xxx x x xx x x++⎛⎫⎛⎫⎪⎪=−+⎪⎪⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭A（1）求A;（2）求可逆矩阵P与对称矩阵Λ，使得1−=P APΛ.。

2023年全国硕士研究生招生考试数学试题（数学二）一、选择题:1～10小题,每小题5分,共50分,下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的，请将所选选项前的字母填在答题卡指定位置．(1)1ln 1y x e x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭的斜渐近线方程是()(A)y x e =+(B)1y x e =+(C)yx=(D)1y x e=-(2)函数0()(1)cos ,0x f x x x x≤=+>⎩的原函数为()(A))ln ,0()(1)cos sin ,0x x F x x x x x⎧-≤⎪=⎨⎪+->⎩(B))ln 1,0()(1)cos sin ,0x x F x x x x x⎧+≤⎪=⎨⎪+->⎩(C))ln ,0()(1)sin cos ,0x x F x x x x x⎧≤⎪=⎨⎪++>⎩(D))ln 1,0()(1)sin cos ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪++>⎩(3)设数列{}n x ,{}n y 满足211111,sin ,2n n n n x y x x y y ++====,当n →∞时()(A)n x 是n y 的高阶无穷小(B)n y 是n x 的高阶无穷小(C)n x 是n y 的等价无穷小(D)n x 是n y 的同阶但非等价无穷小(4)已知微分方程0y ay by '''++=的解在(,)-∞+∞上有界，则,a b 的取值范围为()(A)0,0a b <>(B)0,0a b >>(C)0,0a b =>(D)0,0a b =<(5)设函数()y f x =由2sin x t ty t t⎧=+⎪⎨=⎪⎩确定，则()(A)()f x 连续，'(0)f 不存在(B)'(0)f 不存在，()f x 在0x =处不连续(C)'()f x 连续，(0)f "不存在(D)(0)f "存在，()f x "在0x =处不连续(6)若函数121()(ln )αα+∞+=⎰f dx x x 在0=αα处取得最小值，则0=α()(A)1ln(ln 2)-(B)ln(ln 2)-(C)1ln 2-(D)ln 2(7)设函数2()()xf x x a e =+，若()f x 没有极值点，但曲线()y f x =有拐点，则a 的取值范围是()(A)[)0,1(B)[)1,+∞(C)[)1,2(D)[)2,+∞(8)设,A B 为n 阶可逆矩阵，E 为n 阶单位矩阵，*M 为矩阵M 的伴随矩阵，则*A E OB ⎛⎫= ⎪⎝⎭()(A)*****0A B B A A B ⎛⎫-⎪⎝⎭(B)****0A B A B B A ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭(C)****0B A B A A B ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭(D)****0B A A B A B ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭(9)二次型222123121323(,,)()()4()f x x x x x x x x x =+++--的规范形为()(A)2212y y +(B)2212y y -(C)2221234y y y +-(D)222123y y y +-(10)已知向量12121221=2=1=5=03191ααββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，若γ既可由12αα，线性表示，也可由12ββ，线性表示，则γ=()(A)33,4k k R ⎛⎫⎪∈ ⎪⎪⎝⎭(B)35,10k k R ⎛⎫ ⎪∈ ⎪⎪⎝⎭(C)11,2k k R -⎛⎫ ⎪∈ ⎪⎪⎝⎭(D)15,8k k R ⎛⎫ ⎪∈ ⎪⎪⎝⎭二、填空题:11～16小题，每小题5分，共30分．(11)当0x →时，函数2()ln(1)=+++f x ax bx x 与2()cos x g x ex =-是等价无穷小，则ab =_______.(12)曲线y =⎰的弧长为________.(13)设函数(,)=z z x y 由2ze xz x y +=-确定，则22(1,1)zx ∂=∂________.(14)曲线35332=+x y y 在1x =对应点处的法线斜率为________.(15)设连续函数()f x 满足：(2)()f x f x x +-=，2()0f x dx =⎰，则31()f x dx =⎰________.(16)已知线性方程组13123123121202ax x x ax x x x ax ax bx +=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪+=⎩有解，其,a b 为常数，若0111412a a a=则，11120a a ab =________.三、解答题:17～22小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17)(本题满分10分)设曲线L ：()()y x x e y =>经过点2(,0)e ，L 上任一点(,)P x y 到y 轴的距离等于该点处的切线在y 轴上的截距，(Ⅰ)求()y x .(Ⅱ)在L 上求一点，使该点的切线与两坐标轴所围三角形面积最小，并求此最小面积.(18)(本题满分12分)求函数2cos (,)2yx f x y xe=+的极值.(19)(本题满分12分)已知平面区域(,)01D x y y x ⎧⎫=≤≤≥⎨⎬⎩⎭，(Ⅰ)求D 的面积.(Ⅱ)求D 绕x 轴旋转所成旋转体的体积.(20)(本题满分12分)设平面有界区域D 位于第一象限，由曲线221x y xy +-=，222x y xy +-=与直线y =，0y =围成，计算2213Ddxdy x y +⎰⎰.(21)(本题满分12分)设函数()f x 在[],a a -上具有2阶连续导数，证明：(Ⅰ)若(0)0f =，则存在(,)a a ξ∈-，使得[]21()()()ξ''=+-f f a f a a .(Ⅱ)若()f x 在(,)a a -内取得极值，则存在(,)a a η∈-使得21()()()2f f a f a aη''≥--.(22)(本题满分12分)设矩阵A 满足：对任意123,,x x x 均有112321233232x x x x A x x x x x x x ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭(Ⅰ)求A ；(Ⅱ)求可逆矩阵P 与对角矩阵Λ，使得1-=ΛP AP .2023年答案及解析（数学二）一、选择题:1～10小题,每小题5分,共50分,下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的，请将所选选项前的字母填在答题卡指定位置．(1)【答案】(B)【解析】1ln()11limlim limln()11→∞→∞→∞+-===+=-x x x x e yx k e x x x 11lim()lim[ln()]lim [ln()1]11→∞→∞→∞=-=+-=+---x x x b y kx x e x x e x x 11lim ln[1lim .(1)(1)→∞→∞=+==--x x x x e x e x e所以斜渐近线方程为1.=+y x e(2)【答案】(D)【解析】当0≤x 时，1()ln(==++⎰f x dx x C当0>x时，()(1)cos(1)sin(1)sin sin=+=+=+-⎰⎰⎰⎰f x dx x xdx x d x x x xdx2(1)sin cos=+++x x x C原函数在(,)-∞+∞内连续，则在0=x处11lim ln(-→+=xx C C，22lim(1)sin cos1+→+++=+xx x x C C所以121=+C C，令2=C C，则11=+C C，故ln(1,0()(1)sin cos,0⎧⎪++≤=⎨+++>⎪⎩⎰x C xf x dxx x x C x，结合选项，令=C，则()f x的一个原函数为)1,0().(1)sin cos,0⎧⎪+≤=⎨++>⎪⎩x xF xx x x x(3)【答案】(B)【解析】在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭中，2sinx xπ<故12sinn n nx x xπ+=>112n ny y+<1111122444n nn n nn n ny y y yx x x xππππ++⎛⎫⎛⎫⇒<⋅=⋅===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Llim0nnnyx→∞⇒=.故n y是n x的高阶无穷小.(4)【答案】(C)【解析】微分方程0'''++=y ay by的特征方程为20++=a bλλ，当240∆=->a b时，特征方程有两个不同的实根12,λλ，则12,λλ至少有一个不等于零，若12,C C都不为零，则微分方程的解1212--=+x xy C e C eλλ在(,)-∞+∞无界；当240∆=-=a b时，特征方程有两个相同的实根，1,22=-aλ，若20≠C ，则微分方程的解2212--=+a x a x y C eC xe 在(,)-∞+∞无界；当240∆=-<a b 时，特征方程的根为1,222=-±a b a i λ，则通解为212(cos sin )22-=+ax y eC x C x ，此时，要使微分方程的解在(,)-∞+∞有界，则0=a ，再由240∆=-<a b ，知0.>b (5)【答案】(C)【解析】1)当0t >时，3sin cos ,sin 3x t dy t t ty t t dx =⎧+=⎨=⎩；当0t <时，sin cos ,sin 1x t dy t t ty t t dx =⎧--=⎨=-⎩；当0t =时，因为()()()000sin '0lim lim 03x t f x f t tf x t+++→→-===；()()()000sin '0lim lim 0x t f x f t tf x t---→→--===所以()'00f =.2)()()()()000sin cos sin cos lim 'lim 0'0;lim 'lim 0'0;33x t x t t t t t t t f x f f x f ++--→→→→+--======所以()()0lim ''00x f x f →==，即()'f x 在0x =连续.3)当0t =时，因为()()()00''0sin cos 2''0lim lim 339x t f x f t t t f x t +++→→-+===⋅；()()()00''0sin cos ''0lim lim 2x t f x f t t tf x t---→→---===-所以()''0f 不存在.(6)【答案】(A)【解析】当0α>时()()()12211111()ln ln ln 2f dx x x x αααααα+∞+∞+==-⋅=⋅⎰所以()()()211ln ln 21111'()ln ln 20ln 2ln 2ln 2f αααααααα⎛⎫=-⋅-⋅=-⋅+= ⎪⎝⎭，即01ln ln 2α=-.(7)【答案】(C)【解析】()()()222(),'()2'()42xxxf x x a e f x x a x e f x x x a e =+=++=+++，，由于()f x 无极值点，所以440a -≤，即1a ≥；由于()f x 有拐点，所以()16420a -+>，即2a <；综上所述[)1,2a ∈.(8)【答案】(D)【解析】结合伴随矩阵的核心公式，代入(D)计算知*********A EB A A B B AA AA B A B O B OA B O A BB ⎛⎫⎛⎫--+⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭**2⎛⎫⎛⎫-+=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n B A EOB A E A B A B A B E OA B E O A B E ，故(D)正确.(9)【答案】(B)【解析】由已知()222123123121323,,233228f x x x x x x x x x x x x =--+++，则其对应的矩阵211134143A ⎛⎫⎪=- ⎪⎪-⎝⎭由()()211134730143E A λλλλλλλ----=-+-=+-=--+,得A 的特征值为3,7,0-故选(B).(10)【答案】(D)【解析】设11221122r x x y y ααββ=+=+则112211220x x y y ααββ+--=又()121212211003,,,2150010131910011ααββ--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--=-→- ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭故()()1212,,,3,1,1,1,TTx x y y c c R=--∈所以()()()121,5,81,5,81,5,8,TTTr c c c c k k R ββ=-+=---=-=∈.二、填空题:11～16小题，每小题5分，共30分．(11)【答案】2-【解析】由2200()ln(1)lim lim ()cos x x x f x ax bx x g x e x →→+++=-22222221()211()1()2ax bx x x x x x x x οοο++-+=⎡⎤++--+⎢⎥⎣⎦1=可得10a +=，1322b -=，即1,2a b =-=,2ab =-.(12)43π【解析】y '=由弧长公式可得l ==2sin x t =23024cos tdtπ⎰30441cos 23ππ=+=⎰tdt .(13)【答案】23-【解析】两边同时对x 求导得：02e z-=∂∂⋅++∂∂⋅xzx z x z ①两边再同时对x 求导得：2222e e 0zz z z z z z z x x x x x x x∂∂∂∂∂∂⋅⋅+⋅+++⋅=∂∂∂∂∂∂②将1,1x y ==代入原方程得10ze z z +=⇒=，代入①式得1200=∂∂⇒=∂∂++∂∂⋅xz x z x z e .代入②式得2301112222220-=∂∂⇒=∂∂+++∂∂⋅+⋅x z x z x z e e .(14)【答案】119-【解析】两边对x 求导：242956''=⋅+⋅x y y y y ①当1=x 时，代入原方程得12335=⇒+=y y y 将1,1==x y 代入①式得(1,1)995y 6y y |11'''=+⇒=,所以曲线在1=x 处的法线斜率为119-.(15)【答案】21【解析】⎰⎰⎰+=312132)()()(dxx f dx x f dx x f ⎰⎰++=211)2()(dxx f dx x f⎰⎰++=211])([)(dxx x f dx x f ⎰⎰⎰++=21101)()(xdxdx x f dx x f ⎰⎰+=201)(xdxdx x f 210+=21=(16)【答案】8【解析】由已知()(),34r A r A b =≤<，故,0A b =即()()1444011110111110,1112211112240120012002a a a a a Ab a a a a a baa ba b++==⋅-+⋅-=-+⋅=故111280a a a b=.三、解答题:17～22小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17)【解析】(Ⅰ)曲线L 在点(,)P x y 处的切线方程为()Y y y X x '-=-，令0X =，则切线在y 轴上的截距为Y y xy '=-，则x y xy '=-，即11y y x'-=-，解得()(ln )y x x C x =-，其中C 为任意常数.又2()0y e =，则2C =，故()(2ln )y x x x =-.(Ⅱ)设曲线L 在点(,(2ln ))x x x -处的切线与两坐标轴所围三角形面积最小，此时切线方程为(2ln )(1ln )()Y x x x X x --=--.令0Y =，则ln 1xX x =-；令0X =，则Y x =.故切线与两坐标轴所围三角形面积为211()22ln 12(ln 1)x x S x XY x x x ==⋅⋅=--，则2(2ln 3)()2(ln 1)x x S x x -'=-.令()0S x '=，得驻点32x e =.当32e x e <<时，()0S x '<；当32x e >时，()0S x '>，故()S x 在32x e =处取得极小值，同时也取最小值，且最小值为332()S e e =.(18)【解析】cos cos 0(sin )0y x yy f e x f xe y '⎧=+=⎪⎨'=-=⎪⎩，得驻点为：1(,)e k π--，其中k 为奇数；(,)e k π-，其中k 为偶数.则cos cos 2cos 1(sin )sin (cos )xxy xyy y yy f f e y f xe y xe y ''⎧=⎪''=-⎨⎪''=+-⎩代入1(,)e k π--，其中k 为奇数，得210xxxyyyA fB fC f e -''⎧==⎪''==⎨⎪''==-⎩，20AC B -<，故1(,)e k π--不是极值点；代入(,)e k π-，其中k 为偶数，得210xxxyyy A f B f C f e ''⎧==⎪''==⎨⎪''==⎩，20AC B ->且0A >，故(,)e k π-是极小值点，2(,)2e f e k π-=-为极小值.(19)【解析】(Ⅰ)由题设条件可知：+++2111=1)(1)2tt S dt t t ∞∞∞===+-⎰⎰；(Ⅱ)旋转体体积22222111111(1(1)(1)4πππππ+∞+∞+∞⎡⎤====-⎢⎥++⎣⎦⎰⎰⎰V y dx dx dx x x x x .(20)【解析】本题目采用极坐标进行计算2ln 383tan arctan 312ln 21tan )ta 3(12ln cos )ta 3(12ln 212ln )sin cos 3(1ln )sin cos 3(11)sin cos 3(1)sin cos 3(131303023022302230cos sin 12cos sin 1122cos sin 12cos sin 112230cos sin 12cos sin 112223022πθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθσπππππθθθθθθθθπθθθθπ=⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅+=⋅+=+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰------d n d n d d r d r d rd r d d y x D(21)【解析】(Ⅰ)证明:22()()()(0)(0)(0),02!2!f f f x f f x x f x x x ηηη''''''=++=+介于与之间，则211()()(0),02!f f a f a a a ηη'''=+<<①()222()()(0),02!f f a f a a a ηη'''-=-+-<<②①+②得：[]212()()()()2a f a f a f f ηη''''+-=+③又()f x ''在[]21,ηη上连续，则必有最大值M 与最小值m ，即()()12;;m f M m f M ηη''''≤≤≤≤从而()()12;2f f m M ηη''''+≤≤由介值定理得：存在[]()21,,ξηη∈⊂-a a ，有()()()122f f f ηηξ''''+''=，代入③得：()()22()()()(),f a f a f a f a a f f a ξξ+-''''+-==即(Ⅱ)证明：设()0(),f x x x a a =∈-在取极值，且0()f x x x =在可导，则0()0f x '=.又()()()22000000()()()()()(),02!2!f f f x f x f x x x x x f x x x x γγγ'''''=+-+-=+-介于与之间，则()21001()()(),02!f f a f x a x a γγ''-=+---<<()22002()()(),02!f f a f x a x a γγ''=+-<<从而()()()()22020111()()22f a f a a x f a x f γγ''''--=--+()()()()2202011122a x f a x f γγ''''≤-++又()f x ''连续，设(){}()12max,M f f γγ''''=，则()()()222200011()()22f a f a M a x M a x M a x --≤++-=+又()0,x a a ∈-，则()2220()()2f a f a M a x Ma --≤+≤，则21()()2M f a f a a ≥--，即存在()12,a a ηγηγ==∈-或，有()21()()2f f a f a aη''≥--(22)【解析】(I)因为112312123232331112211011x x x x x A x x x x x x x x x ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭对任意的1x ，2x ，3x 均成立，所以111211011A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭(II)1111111211(1)21111011E A λλλλλλλλ---+----=-+-=-⋅+⋅-+-+-+2(1)(2)2(2)(2)(2)(1)0λλλλλλλ=-+-+=+-+=.所以A 的特征值为1232,2,1λλλ=-==-.12λ=-时，1311100211011011000E A λ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=---→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，可得特征向量1(0,1,1)T α=-；22λ=时，2111104231013013000E A λ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=--→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，可得特征向量2(4,3,1)T α=；31λ=-时，3211201201010010000E A λ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，可得特征向量3(1,0,2)T α=-；令123041(,,)130112P ααα⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪-⎝⎭，则1200020001P AP --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭.。

多元微分考研题库多元微分考研题库在考研复习的过程中，多元微分是数学专业学生必须掌握的重要知识点之一。

多元微分涉及到多变量函数的导数和微分，是微积分的重要分支。

掌握多元微分的理论和技巧，对于解决实际问题和深入理解数学的应用有着重要意义。

为了帮助考研学子更好地复习多元微分，让我们来构建一个多元微分考研题库。

1. 题目类型一：多元函数的偏导数计算第一类题目是关于多元函数的偏导数计算。

考生需要根据给定的多元函数，计算其对应的偏导数。

例如，给定函数$f(x,y)=x^2+3xy+2y^2$，求$\frac{\partial f}{\partial x}$和$\frac{\partial f}{\partial y}$。

解答思路：对于这类题目，考生需要按照偏导数的定义，分别对每个变量求偏导数。

在这个例子中，我们可以得到$\frac{\partial f}{\partial x}=2x+3y$，$\frac{\partial f}{\partial y}=3x+4y$。

2. 题目类型二：多元函数的全微分计算第二类题目是关于多元函数的全微分计算。

考生需要根据给定的多元函数，计算其对应的全微分。

例如，给定函数$g(x,y)=\sin(x)+\cos(y)$，求其全微分$d g$。

解答思路：对于这类题目，考生需要使用全微分的定义，将函数的各个变量的微分相加。

在这个例子中，我们可以得到$d g=\cos(x)dx-\sin(y)dy$。

3. 题目类型三：多元函数的极值点和极值计算第三类题目是关于多元函数的极值点和极值计算。

考生需要根据给定的多元函数，求其极值点和极值。

例如，给定函数$h(x,y)=x^2+y^2-2x+4y$，求其极值点和极值。

解答思路：对于这类题目，考生需要先求出函数的偏导数，并令其为零，解方程组得到极值点。

然后，可以通过二阶偏导数判断极值的类型。

在这个例子中，我们可以得到$\frac{\partial h}{\partial x}=2x-2$，$\frac{\partial h}{\partialy}=2y+4$。

考研数学二真题及答案解析Modified by JACK on the afternoon of December 26, 20202015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

） (1)下列反常积分中收敛的是(A)∫√x +2 (B)∫xxxx+∞2xx (C)∫1xxxx +∞2xx (D) ∫xx x+∞2xx【答案】D 。

【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。

∫√x +2=2√x |2+∞=+∞；∫xxx x+∞2xx =∫xxx +∞2x (xxx )=12(xxx )2|2+∞=+∞；∫1xxxx +∞2xx =∫1xxx +∞2x (xxx )=ln ?(xxx )|2+∞=+∞；∫x x x +∞2xx =−∫x +∞2xx −x =−xx −x |2+∞+∫x −x +∞2xx =2x −2−x −x |2+∞=3x −2， 因此(D)是收敛的。

综上所述，本题正确答案是D 。

【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分(2)函数x (x )=lim x →0(1+xxx x x)x2x 在(-∞,+∞)内(A)连续 (B)有可去间断点(C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点 【答案】B【解析】这是“1∞”型极限，直接有x (x )=lim x →0(1+xxx x x)x 2x=xlimx →0x 2x (1+xxx x x −1)=ex limx →0xxxxx=x x (x ≠0),x (x )在x =0处无定义，且lim x →0x (x )=lim x →0x x =1,所以 x =0是x (x )的可去间断点，选B 。

综上所述，本题正确答案是B 。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限(3)设函数x (x )={x αcos 1x β,x >0，0,x ≤0(α>0,x >0).若x ′(x )在x =0处连续，则(A)α−β>1 (B)0<α−β≤1 (C)α−β>2 (D)0<x −β≤2 【答案】A 【解析】易求出x′(x)={xxα−1cos1xβ+βxα−β−1sin1xβ,x>0，0,x≤0再有x+′(0)=limx→0+x(x)−x(0)x=limx→0+xα−1cos1xβ={0, α>1,不存在，α≤1，x−′(0)=0于是，x′(0)存在α>1，此时x′(0)=0.当α>1时，limx→0xα−1cos1xβ=0，lim x→0βxα−β−1sin1x={0, α−β−1>0,不存在，α−β−1≤0，因此，x′(x)在x=0连续α−β>1。